Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected] Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Sadržaj 1 Grede T ili Γ preseka Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice 2 Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Sadržaj 1 Grede T ili Γ preseka Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice 2 Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je: - statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (Mi ) - geometrija poprečnog preseka (veličine B, b, d, dp ) - mehaničke karakteristike (M B, σv ) Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi: - površina potrebne armature (Aa ) - položaj neutralne linije, odn. napon u sredini ploče (σbp ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sračunaju se granični statički uticaji X Mu = γui Mi Pretpostavi se rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a1 , pa se odredi statička visina h = d − a1 Iz uslova ravnoteže momenata odredi se napon pritiska u sredini ploče: M u σbp = d B dp h − 2p Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju da se dobije da je σbp > fB , postupak se prekida i vrši se tačniji proračun (sa uzimanjem u obzir i nosiosti rebra) Iz veze σ − ε odredi se dilatacija u sredini ploče: r σbp εbp = 2(1 − 1 − ) εa = 10 ‰ ⇒ fB s0 Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je dat sa: εbp dp dp x0 = h− = s0 h − εbp + εa 2 2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Uprošćeni proračun T preseka x0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče: ako je x0 > dp /2 neutralna osa je ispod ploče (u rebru) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Dilatacija na gornjoj pritisnutoj ivici ploče mora da zadovolji uslov: d x0 + 2p εb = εbp ≤ 3.5‰ x0 Naravno, ako je neutralna linija u ploči (x0 ≤ dp /2), presek se dimenzioniše kao pravougaoni dimenzija B × d Ako je neutralna linija u rebru, odn. za x0 > dp /2, potrebna površina armature se određuje iz relacije (uslov ravnoteže normalnih sila) M u Aa = d σv h − 2p Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Ukoliko se utvrdi da se neutralna osa nalazi u ploči, presek se dimenzioniše kao pravougaoni širine B Za sračunatu statičku visinu izračuna se bezdimenzionalni koeficijent k: h k=q Mu B fB Na osnovu dobijenog k iz tabela za dimenzionisanje pravougaonih preseka očita se vrednost mehaničkog koeficijenta armiranja µ ¯ ili koeficijenta kraka sila ζ Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sa ovim se izračuna potrebna površina armature prema relaciji Aa = µ ¯× B × h fB × 100 σv ili prema izrazu Aa = Mu Mu = z × σv ζ × h × σv Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sa određenom potrebnom količinom armature Aa usvoji se prečnik i broj šipki Usvojena armatura se raspoređuje u preseku (vodeći računa o čistom razmaku a0 ) Sračuna se težište armature a1 i odredi se tačna vrednost statičke visine h Statička visina h se upoređuje sa računskom i u slučaju odstupanja proračun se ponavlja Posle konvergencije prikaže se presek i armatura (u razmeri 1:10) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Odrediti potrebnu količinu armature Aa za gredu T preseka poznatih dimenzija i poznatog graničnog momenta Mu Dato je: - granični momenat savijanja . . . Mu = 600 kNm - dimenzije T preseka [cm] . . . b = 40, B = 120, d = 60 i dpl = 12 - kvalitet materijala . . . MB 30, RA 400/500 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 ⇒ fB = 20.5 M P a = 2.05 kN/cm2 RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2 Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice: a1 = 0.1 d = 6 cm Statička visina preseka h = d − a1 = 60 − 6 = 54 cm Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Napon u sredini ploče: σbp = M u B dp h − dp 2 = 600 · 102 120 · 12 · (54 − 12 2 ) = 0.87 kPa Dilatacija u sredini ploče: εbp ! r r σbp 0.87 =2 1− 1− = 0.481 ‰ =2 1− 1− fB 2.05 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je: εbp dp 0.481 12 h− = 54 − = 2.20 cm x0 = εbp + εa 2 0.481 + 10 2 Kako je x0 < dp /2 = 6cm, neutralna linija se nalazi u ploči i presek se računa kao pravougaoni širine B = 120 cm Bezdimenzionalni koeficijent k je k=q h Mu B fB =q Stanko Brčić 54 = 3.458 600·102 120·2.05 Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Iz tablica se dobija εb /εa = 1.70/10 ‰, kao i koeficijent neutralne ose s = 0.145 Prema tome, neutralna osa je na rastojanju x = s h = 0.145 · 54 = 7.84 cm < dp = 12cm Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Sa ovim se izračuna potrebna površina armature prema relaciji Aa = µ ¯× B × h fB 120 × 54 2.05 × = 8.851× × = 29.39 cm2 100 σv 100 40 ili prema izrazu Aa = Mu 600 × 102 = = 29.33 cm2 ζ × h × σv 0.947 · 54 · 40 Usvojeno 6RΦ25 (29.45 cm2 ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Uprošćeni proračun T preseka - primer 1 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju slobodnog dimenzionisanja poznato je: - statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (Mi ) - mehaničke karakteristike materijala(M B, σv ) - geometrija poprečnog preseka: širine B i b i debljina ploče dp Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi: - površina potrebne armature (Aa ) - visina poprečnog preseka (d) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Izračunaju se granični statički uticaji X Mu = γui Mi (i = g, p, ∆) i Usvaja se napon u betonu u nivou srednje ravni ploče σbp Za veći usvojen napon, presek je manje visine i ima više armature Napon σbp se usvaja u granicama 0.3 fB ≤ σbp ≤ 0.75 fB Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sa usvojenim naponom σbp izračunava se statička visina: h= dp Mu + B · dp · σbp 2 Iz poznate veze napon-dilatacija za beton i sa usvojenim naponom u sredini ploče izračunava se dilatacija u sredini ploče r σbp εbp = 2 1 − 1 − fB a usvaja se εa = 10‰ Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Radni dijagram betona - veza σ − ε σb = fB 4 fB ⇒ za 0 ≤ εb ≤ 2‰ za 2 ≤ εb ≤ 3.5‰ q σ = 2 1 − 1 − fbp B (4 − εb ) εb εbp Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Određuje se položaj neutralne ose u odnosu na srednju ravan ploče: εbp dp x0 = h− εbp + εa 2 Veličina x0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče dp /2 Ako se utvrdi da je neutralna linija u rebru x0 > dp /2, presek je oblika T Ako je neutralna linija u ploči x0 ≤ dp /2, presek je pravougaonog oblika širine B Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Ako je u pitanju T presek, potrebna količina armatura se određuje prema Mu Aa = d (h − 2p ) σv Ako je u pitanju pravougaoni presek, za sračunatu statičku visinu h određuje se koeficijent k k=q h Mu B fB Iz tablica se za dobijeno k očitaju vrednosti mehaničkog koeficijenta armiranja µ ¯ i/ili koeficijenta ζ Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U tom slučaju, potrebna količina armature se određuje iz relacije B × h fB Aa = µ ¯× × 100 σv ili prema izrazu Aa = Mu Mu = z × σv ζ × h × σv Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sa određenom količinom armature Aa usvoji se profil i broj šipki, pa se rasporede u preseku (širina je poznata ili usvojena), vodeći računa o razmacima Odredi se položaj težišta raspoređene armature a1 i izračuna se (pa usvoji zaokruživanjem) visina preseka d: d = h + a1 Konačno se konstruiše i prikaže poprečni presek (u razmeri 1:10) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2 Odrediti visinu preseka i potrebnu količinu armature Aa za gredu T preseka zadatih dimenzija i poznatih momenata savijanja Mi Dato je: - momenti savijanja . . . Mg = 200 i Mp = 250 kNm - dimenzije T preseka [cm] . . . b = 40, B = 180 i dpl = 10 - kvalitet materijala . . . MB 30, RA 400/500 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 ⇒ fB = 20.5 M P a = 2.05 kN/cm2 RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2 Granični momenat savijanja Mu = 1.6 × 200 + 1.8 × 250 = 770 kNm Usvaja se napon betona u sredini debljine ploče σbp = 0.3 fbk = 0.3 · 30 = 9.0 MPa = 0.9 kN/cm2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2 Izračunava se statička visina h h= dp Mu 770 · 102 10 + = + = 52.53 cm B × dp × σbp 2 180 · 10 · 0.9 2 Sa usvojenim naponom σbp izračunava se odgovarajuća dilatacije betona u sredini ploče: ! r r σbp 0.90 =2 1− 1− = 0.502 ‰ εbp = 2 1 − 1 − fB 2.05 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2 Izračunava se položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče: εbp dp 0.502 10 h− = 52.53 − = 2.27 cm x0 = εbp + εa 2 0.502 + 10 2 Kako je x0 < dp /2 = 5.0cm, to se presek dimenzioniše kao pravougaoni širine B Izračunava se bezdimenzionalni koeficijent k: k=q h Mu B fB 52.53 =q Stanko Brčić = 3.636 770·102 180·2.05 Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2 Iz tablica se, za izračunato k, očitava εb /εa = 1.575/10‰ µ ¯ = 7.903% pa se izračunava potrebna količina armature Aa = µ ¯× 180 · 30 2.05 B × h fB × = 7.903 × · = 38.30 cm2 100 σv 100 40 Usvojeno: 8RΦ25 (39.27 cm2 ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Sadržaj 1 Grede T ili Γ preseka Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice 2 Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak Ako je računska širina ploče B manja od 5 širina rebra b: B < 5b pri čemu je još i neutralna osa na delu rebra, posmatrani T presek dimenzioniše se po tačnijem postupku To znači da se ne zanemaruje nosivost dela rebra u ukupnoj nosivisti T preseka Posmatra se složeno savijanje - veliki ekscentricitet sa silom pritiska (ili zatezanja) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Računski model sa uzimanjem u obzir nosivosti pritisnutog dela rebra P Ma1 = 0 : Dbu × z = Mau = Mu + Nu (yb1 − a1 ) Dbu = Dbu1 − Dbu2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 ⇒ s Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak Poznati su granični uticaji u preseku Mu i Nu Postavlja se uslov ravnoteže momenata za težište zategnute armature X Ma1 = 0 : Dbu × z = Mau = Mu + Nu (yb1 − a1 ) (1) Sila u betonu je data kao razlika dve sile Dbu = Dbu1 − Dbu2 Sila Dbu1 je ukupna sila u zamišljenom pravougaonom preseku B×x Sila Dbu2 je sila u dodatom delu preseka ispod ploče, a do neutralne ose i ova sila se oduzima od Dbu1 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Pritisnuti deo betonskog preseka Dbu = Dbu1 − Dbu2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak Ako je u pitanju vezano dimenzionisanje, uz pretpostavljeno težište zategnute armature a1 odredi se statička visina h Jednačina ravnoteže momenata (1) se, na način kao i za pravougaone preseke, svodi na relaciju k=q h Mau B·fB iz koje se iz tablica očita bezdimenzionalan koeficijent položaja neutralne ose s Sa time se odredi položaj neutralne ose x = s h, pa se proveri da li je neutralna osa u ploči (x ≤ dP ) ili u rebru (x > dP ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Sila u pravougaonom pritisnutom delu preseka data je sa Dbu1 = αb1 · B · x · fB gde je - αb1 = αb1 (εb ) . . . koeficijent punoće dijagrama napona - η1 = η1 (εb ) . . . koeficijent položaja rezultante Dbu1 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Sila u fiktivnom delu preseka (oduzima se) data je sa Dbu2 = αb2 · (B − b) · (x − dp ) · fB gde je - αb2 = αb2 (εb ) . . . koeficijent punoće dijagrama napona - η2 = η2 (εb ) . . . koeficijent položaja rezultante Dbu2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak Moguć je i alternativni pristup u kome se odredi zamenjujuća širina pravougaonog preseka Umesto da se ukupna sila pritiska u betonu sa udelom dela rebra odredi kao Dbu = Dbu1 − Dbu2 , odredi se ekvivalentna širina preseka bi na celoj visini do neutralne ose Ekvivalentna širina preseka data je sa bi = K · B gde je αb2 δ b K =1− × 1− × 1− αb1 s B Stanko Brčić gde je δ = Betonske konstrukcije 1 dp h Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Širina zamenjujućeg (ekvivalentnog) preseka bi = K · B gde je αb2 δ b × 1− × 1− K =1− αb1 s B Stanko Brčić gde je δ = Betonske konstrukcije 1 dp h Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3 Odrediti potrebnu količinu armature Aa za gredu T preseka zadatih dimenzija i poznatih momenata savijanja Mi Dato je: - momenti savijanja . . . Mg = 200 i Mp = 250 kNm - dimenzije T preseka [cm] . . . b = 30, B = 60, d = 60 i dpl = 10 - kvalitet materijala . . . MB 30, RA 400/500 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 ⇒ fB = 20.5 M P a = 2.05 kN/cm2 RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2 Granični momenat savijanja Mu = 1.6 × 200 + 1.8 × 250 = 770 kNm Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature a1 = 9 cm, tako da je statička visina jednaka h = d − a1 = 60 − 9 = 51 cm Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3 Pretpostavlja se da je x < dp , odn. da je u pitanju pravougaoni presek širine B Bezdimenzionalni koeficijent k dat je sa k=q h Mau B·fB =q 51 770×102 60×2.05 = 2.038 Iz tablica za pravougaone preseke očitava se s = 0.348, tako da je neutralna osa određena sa x = s h = 0.348 × 51 = 17.7 cm odn. x > dp = 10 cm Pretpostavka o položaju neutralne ose nije tačna, pa presek mora da se dimenzioniše kao T presek Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3 Kako je pri tome B = 60cm, b = 30cm, dn. kao je B/b = 2 < 5, posmatrani T presek mora da se računa tačnije, odn. sa učešćem nosivosti i pritisnutog dela rebra Koristi se pristup sa ekvivalentnom širinom pravougaonog preseka, tako da je širina zamenjujućeg pravougaonika data sa bi = K · B gde je koeficijent K dat sa δ b αb2 × 1− × 1− K =1− αb1 s B gde je δ = Postoje tablice za određivanje koeficijenta K Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 dp h Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3 Sa novom ekvivalentnom širinom bi = 45 cm, dobija se koeficijent k k=q h Mau B·fB =q 51 770×102 45×2.05 = 1.765 Iz tablica za pravougaone preseke očitava se s = 0.501 ≈ 0.5 Takođe, iz tablica se očitava µ ¯ = 40.533%, pa je potrebna količina armature Aa = µ ¯· B · h fB 45 · 51 2.05 · = 40.533 · · = 47.67 cm2 100 σv 100 40 Usvojeno: 10RΦ25 (49.09 cm2 ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Sadržaj 1 Grede T ili Γ preseka Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice 2 Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnog i povremenog opterećenja. Dati su podaci: - stalno opterećenje . . . Mg = 485 kNm, Ng = 600 kN povremeno opterećenje . . . Mp = 680 kNm, Np = 800 kN dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/90 cm kvalitet materijala . . . MB 40, RA 400/500 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 40 ⇒ fB = 25.5 M P a = 2.55 kN/cm2 RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2 Granični uticaji Mu i Nu (u odnosu na težište) Mu = 1.6 Mg + 1.8 Mp = 2000 kNm Nu = 1.6 Ng + 1.8 Np = 2400 kN Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a1 = 8cm, statička visina preseka je h = d − a1 = 90 − 8 = 82 cm Granična vrednost spoljašnjeg momenta savijanja u odnosu na težište zategnute armature: d Mau = Mu + Nu − a1 = 2888 kNm 2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Bezdimenzionalni koeficijent k je k=q h Mau b fB =q 82 2888×102 40×2.55 = 1.541 Iz tablica se za k = 1.541 očitava: εb = 3.5‰, kao i εa = 1.10‰ Kako je εa = 1.10 < 3.0‰, presek se dvojno armira Iz tablica se, za εb = 3.5‰ i εa = 3.0‰, očitava: k ∗ = 1.719 iµ ¯∗ = 43.589% Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Granična nosivost jednostruko armiranog preseka za εb = 3.5‰ i εa = 3.0‰ 2 h Mabu = bfB k∗ tako da se dobija Mabu = 0.82 1.719 2 0.40 × 25.5 × 103 = 2321 kNm Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Razlika u graničnim momentima: ∆Mau = Mu − Mabu = 2888 − 2321 = 567 kNm se pokriva spregom pritisnute i dodatne zategnute armature Uz pretpostavku da je rastojanje težišta pritisnute armature do pritisnute ivice preseka jednako a2 = 5cm, pritisnuta armatura je ∆Mau 567 × 102 Aa2 = = = 18.41 cm2 σv (h − a2 ) 40 (82 − 5) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Ukupna površina zategnute armature je Aa1 = µ ¯∗1 b h ∆Mau Nu fB + − σv σv (h − a2 ) σv odnosno, Aa1 = 43.589 2.55 2400 40 × 82 × + 18.41 − = 49.55 cm2 100 40 40 Prema tome, površine pritisnute i ukupne zategnute armature su: Aa2 = 18.41 cm2 Aa1 = 49.55 cm2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Kako je Aa2 < Aa1 , obe zone se armiraju prema izračunatim površinama armature Usvaja se sledeća armatura: zategnuta armatura: Aa1 = 49.55 cm2 . . . usvojeno 8RΦ28 (49.26 cm2 ) pritisnuta armatura: Aa2 = 18.41 cm2 . . . usvojeno 3RΦ28 (18.47 cm2 ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Usvojeno armiranje dvojno armiranog preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi Posmatra se pravougaoni presek koji je izložen složenom savijanju u oblasti velikog ekscentriciteta pritiska Poznati su granični uticaji Mu i Nu , kao i dimenzije poprečnog preseka b/d, dok je kvalitet betona i čelika usvojen: vezano dimenzionisanje Određen je granični momenat za težište zategnute armature (uz pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature a1 : d Mau = Mu + Nu − a1 2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi Za dilatacije u betonu i zategnutoj armaturi εb = 3.5 ‰, kao i εa = 3.0 ‰, odgovarajući koeficijenti iz tablica za pravougaone preseke su: k ∗ = 1.719 µ ¯∗ = 43.927% ζ ∗ = 0.776 Granični momenat loma jednostruko armiranog pravougaonog preseka je dat sa ∗ Mau = Stanko Brčić h k∗ 2 · b · fB Betonske konstrukcije 1 (2) Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi Razlika graničnih momenata data je sa " 2 # k ∗ × Mau ∆Mau = Mau − Mau = 1 − k∗ (3) Potrebna površina zategnute armature usled graničnog momenta savijanja iznosi Aa1 = ∗ ∆Mau Mau − zb∗ σv (h − a2 ) σv Stanko Brčić gde je Betonske konstrukcije 1 zb∗ = ζ ∗ h (4) Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi ∗ i za ∆M , datih sa (2) i Posle unošenja vrednosti za Mau au (3), izraz za površinu armature (4), posle sređivanja, može da se napiše u obliku Aa1 = Mau Nu · ka − h · σv σv (5) Na sličan način, koristi se izraz za površinu pritisnute armature Aa2 : ∆Mau Aa2 = σv (h − a2 ) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi Posle malo transformacija, dobija se izraz za površinu pritisnute armature: Aa2 = Mau · k0 h · σv a (6) Koeficijenti ka i ka0 dati su izrazima (1 − α2 − ζ ∗ ) · (k/k ∗ )2 + ζ ∗ (1 − α2 ) ζ ∗ 1 − (k/k ∗ )2 a2 ka0 = gde je α2 = 1 − α2 h ka = Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 (7) Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi U izrazima (7) vrednosti k ∗ , ζ ∗ i zb∗ = ζ ∗ h odgovaraju graničnom momentu nosivosti jednostruko armiranog preseka ∗ Mau Koeficijent k se odnosi na ukupni granični momenat savijanja Mau U izrazima za površinu armature za silu pritiska se unosi Nu > 0, a za silu zatezanja Nu < 0 Ako je k < k ∗ presek se dvojno armira, a ako je k ≥ k ∗ , presek se tretira kao jednostruko armiran Postoje tablice za koeficijente ka i ka∗ Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnog i povremenog opterećenja. Dati su podaci: - stalno opterećenje . . . Mg = 485 kNm, Ng = 600 kN povremeno opterećenje . . . Mp = 680 kNm, Np = 800 kN dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/90 cm kvalitet materijala . . . MB 40, RA 400/500 (alternativno ponovljen primer 4) Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a Dobijeno je, za a1 = 8 cm i statičku visinu h = 82cm, Mu = 2000 kNm, Nu = 2400 kN, Mau = 2888 kNm Koeficijent k koji odgovara granično momentu Mau iznosi k = 1.541, dok je za εb/a = 3.5/3.0‰ koeficijent k ∗ jednak k ∗ = 1.719 Prema tome, odnos koeficijenata k i k ∗ je k 1.541 = = 0.896 ≈ 0.90 ∗ k 1.719 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a Uz pretpostavljeno rastojanje težišta pritisnute armature a2 = 8 cm, dobija se α2 = a2 8 = = 0.0976 ≈ 0.10 h 82 Za vrednosti k/k ∗ = 0.90 i α2 = 0.10 iz tablica se očitava ka = 1.255 i ka0 = 0.211 Ukupna površina zategnute armature je data sa (5): Aa1 = Mau 2400 Nu 2888 · 100 ·ka − = ·1.255− = 50.50 cm2 h · σv σv 82 · 40 40 U primeru 4 je dobijeno Aa1 = 49.55 cm2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a Površina pritisnute armature data je sa (6): Aa2 = Mau 2888 · 100 · k0 = · 0.211 = 18.58 cm2 h · σv a 82 · 40 U primeru 4 je dobijeno Aa2 = 18.41 cm2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Sadržaj 1 Grede T ili Γ preseka Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice 2 Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Posmatra se naprezanje preseka usled normalne sile pritiska, koja deluje u ravni simetrije preseka i malo je ekscentrična u odnosu na težišnu osu Granični statički uticaju su Nu i Mu = Nu · e, pri čemu je ekscentricitet e relativno mali: e < d/6 Normalna sila pritiska je unutar jezgra preseka i ceo presek je pritisnut “Donja” ivica 1 je manje pritisnuta, a “gornja” ivica 2 je više pritisnuta Ovako stanje napona i deformacija je karakteristično za stubove Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Deformacijska stanje preseka Mali ekscentricitet sile pritiska - oblast između linija g i h Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Proračunski model za ekscentrični pritisak, mali ekscentricitet Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Granične dilatacije u preseku se kreću u intervalu od εb1 = 0‰ do εb2 = 3.5‰, zavisno od ekscentriciteta normalne sile, pa do εb1 = εb2 = 2‰, što odgovara centričnom pritisku (oblast između linija g i h) Ceo presek je pritisnut, odn. neutralna osa je izvan poprečnog preseka (x ≥ d) Preseci koji su napregnuti u oblasti malog ekscentriciteta armiraju se, po pravilu, simetrično postavljenom armaturom Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Minimalan procenat ukupne armature je µa,min = 0.8% (najčešće je u granicama od 0.8% do 1%, ali i do 3%) u odnosu na bruto površinu betonskog preseka Imajući u vidu dijagram dilatacija u preseku, dilatacija na više pritisnutoj ivici “2” je εb1 ∈ [2.0 ÷ 3.5] ‰ Dilatacija na manje pritisnutoj ivici “1” je zavisna od dilatacije na ivici “2”: 14 − 4 εb2 εb2 = 3 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Dakle, kod ekscentrično pritisnutih elemenata u fazi malog ekscentriciteta ceo presek je pritisnut, odn. εa ≤ 0‰, pa se granični uticaji određuju sa maksimalnim vrednostima parcijalnih koeficijenata sigurnosti Pri ovakvoj vrsti naprezanja (ceo presek je pritisnut), nema prslina u preseku, pa je aktivan ceo betonski presek, odn. ukupna površina betona Ab , kao i površine armatura Aa1 i Aa2 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Proračunski model za ekscentrični pritisak, mali ekscentricitet Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Uslovi ravnoteže sila u porečnom preseku glase (redukciona tačka za momente je težište preseka Gb ): X N = 0 : ⇒ Dbu + Dau1 + Dau2 = Nu X d −a MGb = 0 : ⇒ Dbu · yd + Da2u · (8) 2 d − Da1u · − a = Mu = Nu · e 2 Kako je presek po pravilu simetrično armiran, to su rastojanja težišta armatura Aa1 i Aa2 međusobno ista: a1 = a2 = a Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta U jednačinama ravnoteže (8) spoljašnji uticaji su granične sile u preseku P - Nu = Pγui Ni . . . granična sila pritiska - Mu = γui Mi = Nu e . . . granični momenat savijanja kao i granične unutrašnje sile - Dbu . . . sila pritiska u betonu - Da1u , Da2u . . . sile pritiska u donjoj i gornjoj armaturi Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Broj jednačina ravnoteže (8) je dva, tako da se biraju dva nezavisna parametra preko kojih mogu da se izraze ostale veličine Za dva nezavisna parametra usvajaju se: 1 2 εb2 . . . dilatacija betona na jače pritisnutoj ivici a µ= A Ab . . . ukupni koeficijent (procenat) armiranja Uvode se oznake (zbog usvojenog simetričnog armiranja) - Aa1 = Aa2 = A2a . . . površina armature uz obe ivice su međusobno iste - a1 = a2 = a . . . rastojanje težišta armature do bliže ivice betona Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Iz dijagrama napona pritisaka u preseku može da se odredi rezultanta, odn. granična sila pritiska u betonu: Dbu = αd b d fB gde je αd koeficijent “punoće” naponskog dijagrama: αd = 125 + 64 εb2 − 16 ε2b2 189 Položaj rezultujuće sile pritiska u betonu (težište naponskog dijagrama) je dat sa yd = k d · d Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Koeficijent kd položaja rezultante sile pritiska Dbu dat je sa kd = (εb2 − 2)2 40 · 7 125 + 64 εb2 − 16 ε2b2 Dilatacija u manje pritisnutoj ivici betona d εb1 = 1 − εb2 x Na primer, - za εb2 = 2.0‰ . . . εb1 = 2‰, kd = 0, αd = 1.0 - za εb2 = 3.5‰ . . . εb1 = 0‰, kd = 0.084, αd = 0.809 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Sile pritiska u armaturi dole i gore Daiu = σai · Aai Napon u armaturi Ea · εai σai = σv za za εai < εai ≥ Dilatacije u armaturi dole i gore h εa1 = 1 − · εb2 x Stanko Brčić (i = 1, 2) σv Ea σv Ea (i = 1, 2) a εa1 = 1 − · εb2 x Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Površine armature dole i gore Aai = µi · Ab (i = 1, 2) µ1 = µ2 = Geometrijski koeficijenti armiranja µi = Aai b·d (i = 1, 2) µ ¯1 = µ ¯2 = Mehanički koeficijenti armiranja µ ¯i = µi · Stanko Brčić σv fB (i = 1, 2) Betonske konstrukcije 1 µ ¯ 2 µ 2 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Kao što je rečeno, minimalan ukupni procenat armiranja za silu pritiska i mali ekscentricitet je µmin = 0.8 ÷ 1.0% Ukupni koeficijent ariranja µ je definisan u odnosu na ukupnu površinu betona: Aa Aa µ= = Ab b·d Na ovaj način, sve veličine koje figurišu u jednačinama ravnoteže (8) su izražene preko dva izabrana parametra εb2 i µ Rešavanjem jednačina ravnoteže i odgovarajućim transformacijama i sređivanjima mogu da se odrede sve veličine Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Sadržaj 1 Grede T ili Γ preseka Uprošćeni proračun T preseka - nastavak Tačniji postupak proračuna T preseka Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice 2 Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Navedeni izrazi su komplikovani za primenu i takav pristup za dimenzionisanje nije praktičan Ekscentrično pritisnuti AB elementi u oblasti malog ekscentriciteta dimenzionišu se primenom interakcionih dijagrama Dijagrami interakcije M − N su grafička interpretacija granične nosivosti preseka Konstruišu se na osnovu uslova ravnoteže, za usvojeni oblik i dimenzije preseka, raspored i količinu armature i mehaničke karakteristike materijala Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Primena dijagrama interakcije najviše se koristi za ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta, ali može da se proširi praktično na čitavu oblast naprezanja Mu i Nu , odnosno Mu i Zu Interakcioni dijagrami “pokrivaju” svih pet naponsko-deformacijskih oblasti, pa mogu, načelno, da se korista za dimenzionisanje i drugačije opterećenih preseka Za usvojeni oblik i dimenzije poprečnog preseka, raspored i količinu armature i mehaničke karakteristike betona i čelika, bira se stanje graničnih dilatacija u preseku Sa poznatim rasporedom dilatacija, potpuno je određen i raspored napona pritisaka u betonu, kao i veličina napona u zategnutoj i pritisnutoj armaturi Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Iz uslova ravnoteže normalnih sila i momenata savijanja za težište betonskog preseka, jednoznačno se određuju granični momenti Mu i odgovarajuća granična normalna sila Nu koji dovode presek u stanje granične nosivosti pri odabranim dilatacijama u betonu i armaturi Ponavljajući postupak za konačan broj različitih stanja graničnih dilatacija, dobija se niz tačaka koje odgovaraju usvojenom koeficijentu (procentu) armiranja Variranjem količine armature u preseku, dobija se familija krivih linija u funkciji mehaničkog koeficijenta armiranja kao parametra Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Dijagram interakcije M-N (a) za pojedinačan presek (b) familija krivih u bezdimenzionalnoj formi za sva naponska stanja preseka Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Da bi se uopštila i proširila upotreba dijagrama interakcije, oni se prikazuju u sistemu bezimenzionalnih koordinata mu − nu Bezdimenzionalne koordinate su bezdimenzionalni granični momenat savijanja Mu mu = b d2 fB kao i bezdimanzionalna granična normalna sila nu = Stanko Brčić Nu b d fB Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Tako konstruisani dijagrami interakcije mogu da se koriste za proizvoljan odnos strana b/d pravougaonog preseka, kao i za bilo koju marku betona Dijagrami interakcije konstruišu se za izabran oblik poprečnog preseka, za usvojen kvalitet armature (GA ili RA), za usvojen način armiranja: odnos donje i gornje armature, kao i položaj armature definisan odnosom a/d (odnos položaja težišta armature i visine preseka), a parametarski zavisno od niza vrednosti mehaničkog koeficijenta armiranja Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Dijagrami interakcije prikazuju računsku nosivost preseka za izabrane parametre Sigurnost u odnosu na lom preseka je zadovoljena kada je granična nosivost preseka veća ili jednaka nosivosti tog preseka za granične uticaje Znači, ako se granični uticaju mu i nu nalaze unutar površine oivičene graničnom krivom i koordinatnim osama, za određeni mehanički koeficijent armiranja Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Postupak vezanog dimenzionisanja preseka primenom dijagrama interakcije je sledeći: 1 za poznate granične uticaje Mu i Nu , kao i dimenzije preseka b/d i kvalitet betona fB , odrede se bezdimenzionalne veličine mu = 2 3 Mu b d2 fB nu = Nu b d fB zavisno od kvaliteta (σv ), položaja (a/d) i rasporeda (Aa1 /Aa2 ) armature, bira se odgovarajući dijagram interakcije iz dijagrama interakcije, za određeno mu i nu , očitaju se mehanički procenat armranja µ ¯, kao i dilatacije u betonu i armaturi εb2 i εa1 Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Sa određenim mehaničkim koeficijentom armiranja, potrebna površina armature se određuje Aa = µ ¯bd fB σv Očitane vrednosti graničnih dilatacija u betonu i armaturi olakšavaju određivanje parcijalnih koeficijenata sigurnosti (provera da li su granični uticaji Mu i Nu dobro određeni) Analogno se konstruišu dijagrami interakcije za, npr. kružni ili sandučasti poprečni presek Takođe se konstruišu dijagrami interakcije i za preseke opterećene na koso savijanje Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Dijagram interakcije M-N Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Dijagram interakcije M-N Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Dijagram interakcije M-N Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1 Grede T ili Γ preseka Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Dijagram interakcije M-N Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1
© Copyright 2024 Paperzz