Matematiqka gimnazija, Beograd Jelena Jevremov, profesor matematike MATEMATIKA Tema za struqno usavrxavae VELIKI KRUG - OJLEROV KRUG Leonard Ojler (1707 − 1783) Primer 1. Neka je H ortocentar trougla ABC . Ako su K, L, M, N , sredixta dui AB, AC, HC, HB, dokazati da je qetvorougao KLM N pravougaonik . Rexee: Dui KL i M N su srede linije trouglova ABC i HBC i odgovaraju istoj stranici BC , pa su kao takve podudarne i paralelne (KL = M N = 12 BC ; KL, M N k BC ). Dakle, qetvorougao KLM N je paralelogram. Dovono je jox dokazati da mu je jedan ugao prav. Ali, KN je srede linija trougla ABH , pa je paralelna sa AH tj. sa visinom trougla iz temena A. Dakle, KN je normalna na stranicu BC , odnosno oj paralelnoj dui KL, pa je paralelogram KLM N zaista pravougaonik. Primer 2. Dokazati da sredixta stranica, podnoja visina i sredixta dui odresjenih ortocentrom i temenima proizvonog trougla pripadaju jednom krugu. Rexee: Koristiemo tvree dokazano u prethodnom primeru. Ako su dakle, oznake iste kao u prethodnom primeru, qetvorougao KLM N je pravougaonik. Na isti naqin, ako je P sredixte stranice BC i Q sredixte dui AH tada je i P M QL takoe pravougaonik. Kako je KM zajedniqka dijagonala tih pravougaonika oko ih se moe opisati krug (nad KM kao nad preqnikom). Ostaje da dokaemo da i podnoja visina pripadaju tom krugu. Ali, taqka A , kao podnoje visine iz temena A, pripada tom krugu jer je ugao QA P prav (a P Q preqnik kruga). Sliqno se dokazuje i za preostale dve taqke. 0 0 U prethodnim dokazima koristili smo samo znaja o podudarnosti trouglova i o znaqajnim taqkama trougla. Sledei primer je dokaz prethodnog na osnovu osobina tetivnih qetvorouglova. Primer 3. Ojlerov krug trougla sadri sredixta stranica trougla, podnoja visina i "Ojlerove taqke". Rexee: Neka su oznake kao u prethodnim primerima. Dakle, taqka H je ortocentar trougala ABC , a taqke Q, N, M ( Ojlerove taqke ) su sredixtima dui koje spajaju ortocentar trougla sa egovim temenima (AH, BH, CH ). Taqke A , B , C su podnoja visina iz temena A, B, C , dok su taqke P, L, K sredixta stranica BC, CA, AB trougla ABC . Posmatrajmo krug k opisan oko trougal P LK . Pokaimo da taqke A , Q, M, B , N, C pripadaju krugu k. Trougao ABA je pravougli, a A K je egova teixna linija koja odgovara hipotenuzi AB , pa je KA = 12 AB . Du P L je sreda linija trougla ABC , pa je i P L = 21 AB i KA = P L. Kako je P L k BC , sledi da je qetvorougao P LKA jednakokraki trapez i oko ega se moe opisati krug. To je upravo krug k i taqka A pripada tom krugu. Du KQ je sreda linija trougla ABH , pa je KQ k BB , a kako je P K k AC i BB ⊥ AC , sledi da je ∠P KQ = 90◦ . Sliqno se dokazuje i da je ∠P LQ = 90◦ , pa je qetvorougao P LQK tetivan, xto znaqi da taqka Q pripada krugu opisanom oko trougla P LK , tj. pripada krugu k . Na isti naqin se dokazuje da krug k sadri i taqke M, C , N, B . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Primer 4. Preqnik Ojlerovog kruga trougla ABC jednake je polupreqniku opisanog kruga tog trougla. Centar Ojlerovog kruga polovi du SH , gde je S centar opisanog kruga, a H ortocenatr trougla. Rexee: Trouglovi P LK i ABC su sliqni, sa koeficijentom sliqnosti 12 , pa je preqnik kruga k upola mai od preqnika kruga opisanog oko trougla ABC . Oznaqimo sa O centar kruga k. Taqka O dobija se u preseku simetrala tetiva A P i B L. Ove simetrale sadre srede linije trapaza P SHA i LB HS , pa je taqka O sredixte ihovog zajedniqkog kraka HS . 0 0 0 0 Primer 5. Teixte T i ortocentar H trougla dele harmonijski du SO, gde je O centar opisnaog kruga, a S centar Ojlerovog kruga. Rexee: Iz osobina Ojlerove prave znamo da je T na pravoj OH i da je OT : T H = 1 : 2. Kako je, na osnovu prethodnog zadatka SO = SH , to je OT = 13 OH i ST = 13 OH . Otuda sledi da je OT : ST = 2 : 1 = OH : SH . Primer 6. Ako su SA, SB , SC centri spoa pripisanih krugova trougla ABC , tada opisani krug trougla ABC predstava Ojlerov krug trougla SA SB SC . Rexee: U trouglu SASB SC taqke A, B i C su podnoja visina tog trougla, pa krug koji sadri taqke A, B i C predstava Ojlerov krug trougla SA SB SC . Primer 7. Neka su BE i CF visine oxrouglog trougla ABC sa ∠BAC = 45◦ i H, M i K redom egov ortocentar i sredixta BC i AH . a) Dokazati da je qetvorougao M EKF kvadrat; b) Dokazati da je presek dijagonala qetvorougla M EKF ujedno i sredixte dui OH , gde je O centar opisanog kruga trougla ABC . Rexee: a) Qetvorougao AEHF je tetivan (∠AEH + ∠AF H = 90◦ + 90◦ = 180◦ ), pri qemu je AH preqnik i ∠EKF = 2∠EAF = egovog opisanog kruga k1 . Dakle, AK = EK = KH = KF = AH 2 2∠CAB = 90◦ Qetvorougao BF EC je kruga k2 opisanog oko BC BM = M F = . 2 tetivan (∠BEC = ∠BF C = 90◦ ), a egova stranica BC je preqnik ega. Kako je taqka M centar kruga k2 imamo da je M C = EM = Iz uslova zadatka imao da je ∠ACF = 45◦ , pa je centralni ugao kruga k2 ∠EM F = 2∠ECF = 2∠ACF = 90◦ . Iz dokazanog, do sada, moemo tvrditi da su trouglovi EKF i EM F jednakokrako-pravougli BC i podudarni. Dakle, KE = KF = M E = M F = AH = . Konaqno qetvorougao M EKF 2 2 ◦ ima sve podudarne stranice i dva nasparmna ugla od 90 , pa je kvadrat. b) Prvo rexee : Ugao ∠BOC = 2∠BAC = 90◦ jer je to centralni ugao kruga opisanog oko trougla ABC , pa taqka O pripada krugu k2 . Kako je taqka M sredixte kruga k2 vai da je M C = EM = BC OM = M F = M B = . Na osnovu dokazanog pod a) imamo da je KH = BC = OM . 2 2 Dae, iz OM ⊥ BC , KH ⊥ BC sledi da su OM i KH paralelne, tj. qetvorougao OM HK paralelogram. Na osnovu osobina paralelograma imao da se dui OH i M K polove, kao dijagonale paralelograma. Sredixte dui M K je sredixte i dui EF jer se i dijagonale kvadrataM EKF polove. Drugo rexee : Presek dijagonala kvadrata M EKF je centar opisnog kruga oko tog kvadrata, a ovaj krug je Ojlerov krug trougla ABC (zbog naqina na koji smo izabrali taqke M, E, K i F ). Ali, centar Ojlerovog kruga se nalazi na sredini dui OH , pa se u naxem sluqaju ova taqka poklapa sa presekom dijagonala M K i KF .
© Copyright 2024 Paperzz
