Dodatna iz matematike
Prva kragujevaˇcka gimnazija
- ord¯e Barali´c
D
JENSENOVA NEJEDNAKOST
Definicija 1. Funkcija f naziva se J-konveksna, ili konveksna u Jensenovom
smislu na intervalu I, ako za bilo koje x, y ∈ I vaˇzi
µ
¶
x+y
f (x) + f (y)
f
≤
.
2
2
Ako je pri tome za x 6= y
µ
f
x+y
2
¶
<
f (x) + f (y)
.
2
kaˇzemo da je f -striktno J-konveksna.
Definicija 2.Funkcija f se naziva konveksna na intervalu I ako za bilo koje
x, y ∈ I i bilo koje α, β > 0, α + β = 1 vaˇzi
f (αx + βy) ≤ αf (x) + βf (y).
Ako je pri tom za x 6= y
f (αx + βy) < αf (x) + βf (y).
kaˇzemo da je f striktno konveksna.
Teorema 1.(Uopˇ
stena Jensenova nejednakost)Ako je f konveksna na
intervalu I tada za svaki prirodan broj
Pnn i bilo koje xi ∈ I, i = 1, 2, . . . , n i bilo
koje αi > 0, i = 1, 2, . . . , n za koje je i=1 αi = 1 vaˇzi
f (α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn ) ≤ α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) + . . . + αn f (xn ).
Ako je pri tome f striktno konveksna jednakost vaˇzi ako i samo ako je x1 =
x2 = . . . = xn .
Teorema 2.(Specijalni sluˇ
caj Jensenove nejednakosti)Ako je funkcija
J-konveksna na intervalu I tada za svaki prirodan broj n i za bilo koje xi ∈
I, i = 1, 2, . . . , n vaˇzi
µ
¶
x1 + x2 + . . . + xn
f (x1 ) + f (x2 ) + . . . + f (xn )
f
≤
.
n
n
Ako je pri tome f striktno J-konveksna jednakost vaˇzi ako i samo ako je x1 =
x2 = . . . = xn .
1
Teorema 3.Ako je funkcija f neprekidna na intervalu I tada je ona konveksna na I ako i samo ako je ona J-konveksna na I.Neprekidna funkcija f je
striktno konveksna ako i samo ako je f striktno J-konveksna.
Teorema 4.Neka funkcija f ima u svakoj taˇcki intervala I.Funkcija f je
konveksna ako i samo ako je f 00 (x) ≥ 0 za svako x ∈ I.Funkcija f je striktno
konveksna ako i samo ako je f 00 (x) > 0 za svako x ∈ I.
1.(Teˇzinska nejednakost izmedju aritmetiˇcke i geometrijske
Pnsredine)Dokazati
da za sve pozitivne brojeve x1 , x2 , . . . , n i α1 , α2 , . . . , αn , i=1 αi = 1 vaˇzi
αn
1 α2
α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn ≥ xα
1 x2 . . . xn
i jednakost vaˇzi ako i samo ako je x1 = x2 = . . . = xn .
Pn
Pn
2. Neka su aij > 0, i=1 aij = j=1 aij = 1 za sve i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, xi > 0 i
yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn (i = 1, 2, . . . , n).Dokazati da vaˇzi
y1 · y2 . . . · yn ≥ x1 · x2 . . . · xn .
3.(Nejednakost izmed¯u aritmetiˇcke i stepene P
sredine)Dokazati da za pozitivne
n
brojeve x1 , x2 , . . . , xn , αi > 0, i = 1, 2, . . . , n, i=1 αi = 1 i k > 1 vaˇzi
¡
¢1
α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn ≤ α1 xk1 + α2 xk2 + . . . + αn xkn k
pri ˇcemu znak jednakosti vaˇzi ako i samo ako je x1 = x2 = . . . = xn .
4.(Nejednakost izmed¯u stepenih sredina) Za pozitivne brojeve x1 , x2 , . . . , xn
³ k k
´ k1
√
x +x +...xk
n
oznaˇcimo Mk = 1 2n
za k 6= 0 i M0 = n x1 · x2 · . . . · xn .Tada je za
α ≤ β, Mα ≤ Mβ i jednakost vaˇzi ako i samo ako je x1 = x2 = . . . = xn .
5.Funkcija f je konveksna na [a, b] ako i samo ako za sve
x1 , x2 , . . . , xn ∈ [a, b], x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn vaˇzi
x1 f (x2 ) + x2 f (x3 ) + . . . + xn f (x1 ) ≥ x1 f (xn ) + x2 f (x1 ) + . . . + xn f (xn−1 ).
6.(Petrovi´ceva nejednakost)Ako je f konveksna na [0, a] i ako su
x1 , x2 , . . . , xn ∈ [0, a], x1 + x2 + . . . + xn ∈ [0, a] tada je
f (x1 ) + f (x2 ) + . . . + f (xn ) ≤ f (x1 + x2 + . . . + xn ) + (n − 1)f (0).
7.Ako je 0 < a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an , onda je
a
n
aa1 2 · aa2 3 · . . . · aan−1
· aan1 ≥ aa2 1 · aa3 2 · . . . ann−1 · aa1 n .
8.Ako je a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ 0 i neka je f konveksna funkcija na [0, a1 ].Tada
vaˇzi
a) f (a1 ) − f (a2 ) + . . . + f (an ) ≥ f (a1 − a2 + . . . + an ) ako je n neparan broj.
2
b) f (a1 ) − f (a2 ) + . . . − f (an ) ≥ f (a1 − a2 + . . . − an ) − f (0) ako je n paran
broj.
9.Ako je f rastu´ca funkcija i ako za brojeve xi , yi , i = 1, . . . , n vaˇzi
y1 ≥ y2 ≥ . . . ≥ yn ,
i
x1 ≥ y1 , x1 + x2 ≥ y1 + y2 , . . . , x1 + x2 + . . . + xn ≥ y1 + y2 + . . . + yn
tada vaˇzi
f (x1 ) + f (x2 ) + . . . + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + . . . + f (yn ).
10.Na´ci minimume slede´cih funkcija:
a) z = xy +
b) u = x +
c) u =
x1
x2
50
x
y2
4x
+
+
+
x2
x3
20
y
z2
y
+
(x > 0, y > 0),
2
z
+ ... +
(x > 0, y > 0, z > 0),
xn−1
xn
+
xn
2x1
(xi > 0 za i = 1, . . . , xn )
d) u = −xm y n z p , ako je x + y + z = a, (x > 0, y > 0, z > 0, m, n, p ∈ N )
e) u = x21 + x22 + . . . + x2n ako je
i = 1, . . . , n),
x1
a1
+
x2
a2
+ ... +
xn
an
= 1,
(xi , ai > 0 za
f) u = sin x · sin y · sin z, ako je x + y + z = π2 , (x > 0, y > 0, z > 0),
³
´ ³
´
³
´
g) u = 1 + x11 · 1 + x12 · . . . · 1 + x1n ako je
x1 + x2 + . . . + xn = n, (xi > 0 za i = 1, . . . , n),
h) u = −x1 x22 · . . . · xnn · (1 − x1 − 2x2 − . . . − nxn ), (xi > 0 za i = 1, . . . , n).
11.(Nejednakost Minkovskog)Ako su xi , yi (i = 1, . . . , n) nenegativni brojevi
tada vaˇzi:
p
√
√
n
(x1 + y1 ) · (x2 + y2 ) · . . . · (xn + yn ) ≥ n x1 · x2 · . . . · xn + n y1 · y2 · . . . · yn .
12.Ako su xi > 0 (i = 1, . . . , n) i x1 + x2 + . . . + xn = 1 onda je:
µ
¶ µ
¶
µ
¶ µ 2
¶n
1
1
1
n +1
x1 +
· x2 +
· . . . · xn +
≥
.
x2
x3
x1
n
13.Za pozitivne brojeve a, b, c vaˇzi:
a
b
c
a+b+c
a2 + b2 + c2
≥ a a+b+c · b a+b+c · c a+b+c ≥
.
a+b+c
3
3
14.Ako su a, b, c, d pozitivni brojevi, onda je:
a + b + c ≤ adb−c + bdc−a + cda−b .
15.Ako su x1 , x2 , . . . , xn > 0, α1 , α2 , . . . , αn ≥ 0 i α1 + α2 + . . . + αn = 1,
tada je:
a) αx11 + αx22 + . . . + αxnn ≥ α1 x1 +α2 x21+...+αn xn ,
√
√
√
√
b)α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn ≤ α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn .
16.Ako su a1 , a2 , . . . , an ∈ [−1, 1] tada je:
p
1 − a21 +
p
1 − a22 + . . . +
n
s
p
1 − a2n
≤
µ
1−
a1 + a2 + . . . + an
n
¶2
.
17.Ako su ai > 0
i = 1, 2, . . . , n i a1 + a2 + . . . + an = 1 tada je:
q
a1
a2
an
n
a)(Kina 1989) √1−a
+ √1−a
+ . . . + √1−a
≥ n−1
,
1
³
b) a1 +
³
c) 1 +
³
d)
³
e)
1
a1
1
a1
´α
2
³
+ a2 +
´ ³
· 1+
1
a2
´
1
a2
´α
n
³
+ . . . + an +
³
· ... · 1 +
1
an
1
an
´α
´
³
≥n·
n2 +1
n
´α
( za α > 0),
n
≥ (n + 1) ,
´ ³
´
³
´
n
− 1 · a12 − 1 · . . . · a1n − 1 ≥ (n − 1) ,
1
a1
1+a1
1−a1
´ ³
´
³
´ ³
´n
1+a2
1+an
n+1
· 1−a
·
.
.
.
·
≥
.
1−an
n−1
2
18.Ako su xi
onda je:
(i = 1, . . . , n) pozitivni brojevi za koje je x21 + x22 + . . . + x2n = 1,
x1
a) 1+x
2 +
+ ... +
1
x1
1−x21
+
x2
1+x22
x2
1−x22
+ ... +
xn
1+x2n
xn
1−x2n
≥
≤
√
n n
n+1 ,
√
n n
n−1 .
19.(Predlog za 7. Balkanijadu)Ako su a, b, c pozitivni brojevi, tada je:
b3
c3
ab + bc + ca
a3
+
+
≥3
.
2
2
2
2
2
2
b − bc + c
c − ca + a
a − ab + b
a+b+c
20.Za realne brojeve xi , 0 < xi ≤
1
2
(i = 1, . . . , n) vaˇzi:
(1 − x1 ) + (1 − x2 ) + . . . + (1 − xn )
x1 + x2 + . . . + xn
p
≤ √
.
n
n
x1 · x2 · . . . · xn
(1 − x1 ) · (1 − x2 ) · . . . · (1 − xn )
21.(Rogers-Helderova nejednakost)Ako su xi , yi
brojevi i 0 ≤ α, β ≤ 1, α + β = 1,tada je:
(i = 1, . . . , n) nenegativni
α
β
β
α β
α β
xα
1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn ≤ (x1 + x2 + . . . + xn ) · (y1 + y2 + . . . + yn ) .
4
22.(Nejednakost Minkovskog)Ako su ai , bi (i = 1, . . . , n) realni brojevi tada za
sve p ≥ 1 vaˇzi:
Ã
n
X
! p1
p
|ai + bi |
Ã
≤
k=1
n
X
! p1
|ai |
p
Ã
+
k=1
n
X
! p1
|bi |
p
.
k=1
23.Ako su x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yn pozitivni, onda je:
1
x1
1
+
1
y1
+ ... +
1
xn
1
+
≤
1
yn
1
x1 +...+xn
1
+
1
y1 +...+yn
.
24.Ako brojevi x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn zadovoljavaju nejednakost
x2i + yi2 ≤ 1 (i = 1, . . . , n) onda je:
s
p
p
p
µ
¶2 µ
¶2
1 − x21 − yi2 + 1 − x22 − y22 + . . . + 1 − x2n − yn2
x1 + . . . + xn
y1 + . . . + yn
≤ 1−
−
.
n
n
n
25.Ako su x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn , z1 , . . . , zn > 0 i xi yi − zi2 > 0(i = 1, . . . , n)
tada je:
n
X
n3
1
.
µ n ¶ µ n ¶ µ n ¶2 ≤
x y − zi2
P
P
P
i=1 i i
xi
yi −
zi
i=1
i=1
i=1
26.U kruˇznici radijusa 1 upisan je konveksan ˇsestougao.Ako je proizvod duˇzina
svih dijagonala koje spajaju vrhove susednih stranica jednak 27,onda su svi
uglovi ˇsestougla jednaki.Dokazati.
27.Ako su R1 , R2 , R3 rastojanja neke unutrasnje taˇcke O trougla do njegovih
vrhova,a r1 , r2 , r3 rastojanja od O do stranica trougla,tada je
R1 · R2 · R3 ≥ (r1 + r2 ) · (r2 + r3 ) · (r3 + r1 ).Dokazati.
28.Ako su R1 , R2 , . . . , Rn rastojanja neke unutraˇsnje taˇcke O konveksnog
n-tougla do njegovih vrhova,a r1 , r2 , . . . , rn rastojanja od O do stranica
n-tougla tada je:
R1 · R2 · . . . · Rn
π
≥ secn .
r1 · r2 · . . . · rn
n
29.Dokazati da od svih n-touglova upisanih u kruˇznicu pravilni n-tougao ima:
a)najve´cu povrˇsinu,
b)najve´ci obim.
30.Neka su R i r radijusi opisane i upisane kruˇznice konveksnog
n-tougla.Dokazati da je Rr ≥ sec nπ .
5
31.U kruˇznicu K upisan je konveksan mnogougao M = A1 A2 . . . An i
konveksan mnogougao M 0 = A01 A02 . . . A0n ˇcija su temena sredine lukova
odred¯enih temenima mnogougla M .Ako su O i P ,O0 i P 0 obim i povrˇsina
mnogougova M i M 0 redom,tada je:
a)P 0 ≥ P,
b)O0 ≥ O.
32.Konveksni ˇsestougao S je podeljen na n konveksnih mnogouglova
P1 , P2 , . . . , Pn , tako da za bilo koja dva od njih vaˇzi da, ili nemaju zajedniˇckih
taˇcaka, ili imaju zajedniˇcko teme ili imaju zajedniˇcku stranicu.Sa si , Li , Ti
oznaˇcimo broj stranica,obim i povrˇsinu mnogougla Pi (i = 1, . . . , n).Tada vaˇzi:
n
a) s1 +s2 +...+s
≤ 6,
n
b) √LT1 +
1
L2
√
T2
+ ... +
Ln
√
Tn
√
≥ 2n 12.
33.(Predlog za IMO’98)Neka su r1 , r2 , . . . , rn realni brojevi, ne manji od 1.
Dokazati nejednakost
n
X
1
n
s
≥
.
r
+
1
n
Q
i=1 i
n
1+
ri
i=1
34.(Jugoslavija 2002)Neka su a, b i c pozitivni brojevi, a n i k prirodni
brojevi.Dokazati da vaˇzi nejednakost
an+k
bn+k
cn+k
+
+
≥ ak + bk + ck .
bn
cn
an
35.(Predlog za BMO’02)Neka su x, y, z pozitivni realni brojevi, takvi da je
x + y + z ≥= 1.Dokazati da je
√
√
√
√
y y
x x
z z
3
+
+
≥
.
y+z
z+x x+y
2
- ord¯e Barali´c
D
e-mail:[email protected]
Literatura
1.Amer Beˇslagi´c:Jensenova nejednakost,Triangl Vol.3,No.4.(1999)
- ukic,M.Luki´c,I.Mati´c:Nejednakosti,Druˇstvo matematiˇcara
2.Z.Kadelburg,D.D
Srbije,2003
6

Analiticka geometrija ravnine – osnovne formule

VELIKI KRUG - OJLEROV KRUG