Univerzitet u Istočnom Sarajevu
Pedagoški fakultet Bijeljina
Studijski program za predskolsko obrazovanje
Nastavni predmet:
POCETNI MATEMATICKI POJMOVI
RJEŠENJA ZADATAKA / PITANJA ZA ZAVRŠNI DIO ISPITA
Datum: 08.02.2011.
Zadatak 1.
(1.1) Koliko tačaka ima na pravoj? Obrazloži svoj odgovor.
(1.2) Kako objašnjavaš da je prava neograničena?
Rješenje: (1.1) Prava je jednoznačno odreñena sa dvije različite tačke. Označimo ih sa A i B. Kako je A ≠ B, mora biti A 〈 B
ili B 〈 A. radi odreñenosi, pretpostavimo da je A 〈 B. Duž AB možemo podijeliti na dva dijela tačkom A1 tako da vrijedi A 〈
A1 〈 B. (Dakle, zaključujemo da za svake dvije različite tačke X i Y na pravoj p postoji tačka izmeñu njih.) Nastavimo ovaj
postupak tako što ćemo duž A A1 podijeliti tačkom A2 tako da je A 〈 A2 〈 A1 . Tada je naravno A 〈 A2 〈 A1 〈 B. Poslije n
koraka izmeñu tačaka A i B konsruisane su tačke A1 , As ..., An pri čemu vrijedi A 〈 An 〈 ... 〈 A2 〈 A1 〈 B . Ako ovaj proces
konstruisanja tačaka nastavimo na ovaj način zaključujemo da izmeñu tačaka A i B ima najmanje beskonačno prebrojivo
mnogo različitih tačaka. (Iz drugih aksioma Euklidove geometrije izvodi se zaključak da na pravoj ima besknačno neprebrojivo
mnogo različitih tačaka.)
(1.2) Pogledati rješenje zadatka (8.2) druge grupe zadataka sa ovog ispitnog roka.
Zadatak 2
(2.1) Deterniniši odnos dvije prave.
(2.2) Definiši paralelne prave.
(2.3) Dvije paralelne prave su u dvije različite tačke beskonačne. Obrazloži svoj odgovor.
Rješenje: (2.1) Neka su date dvije prave p i q. prave p i q mogu biti incidentne ili neincidentne (Princip isključenja trećeg.)
Ako su incidentne modući su slijedeći slučajevi:
(a) p ≡ q (prave p i q su podudarne);
(b) p ∩ q = {P}. U tom slučaju prave p i q leže u istoj ravni i imaju samo jednu zajedničku tačku. Dakle, prave p i q se sijeku u
tački P. Tu tačku nazivamo presječna tačka pravih p i q.
(c) Prave p i q imaju najmanje dvije zajedničke tačke, tj. p ∩ q ⊇ {P, Q}. U tom slučaju prave p i q se poklapaju, tj. vrijedi p ≡
q.
Neka, sada, prave p i q nisu incidentne. Ako prave p i q leže u istoj ravni, tada za njih kažemo da su paralelne, tj.
p q ⇔ (∃α∈ℜ)(p⊂ α ∧ q ⊂ α ∧ p ∩ q = ∅).
Ako prave p i q ne leže u istoj ravni, tada za njih kažemo da su mimoilazne prave.
(2.2) Prema veće rečenom, za prave p i q kažemo da su paralelne prave ako i samo ako leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih
tačaka.
(2.3) ...
Zadatak 3.
Neka je data kružnica k(O,r) sa centrom u tački O i dvijema dijametralno suprotnim tačkama A i B na toj kružnici. Razmisli o
svom mogućim trouglovima ∆ABC sa vrhom C koji leži na kružnici. Koliko ima takvih trouglova? Nacrtaj dva trougla takve
da je visina h trougla (od tačke C do duži AB): (1) najveća moguća; (2) najmanja moguća. U svakom od ova dva slučaja opiši
(što je moguće preciznije) položaj tačake C.
Rješenje:
Izaberimo po volji tačku C na (gornjoj) polukružnici AB kružnice k(O,r). Budući da luk AB ima beskonačno neprebrojivo
mnogo tačaka, to traženih trouglova ima beskonačno neprebrojivo mnogo. Ako tačku C izaberemo na (gornjoj) polukružnici
tako da je CA = CB, tada je trougao ∆ABC jedankokraki trougao čija je visina jednaka poluprečniku kružnice. Budući da nije
moguće naći najmanji pozitivan realan broj, to ne postoji mogućnost izbora tačke C na polukružnici tako da visina
konstruisanog trougla bude minimalna. (Izborom tačke C tako da se poklapa sa A ili sa B dobija se degenerisani trougao koji
se ’pretvorio’ u duž AB. U tom slučaju visina je 0.)
Zadatak 4
Jedan učenik kaže da može napisati najmanji broj! Kada je u pravu a kada nije?
(4.1) Kako izgleda odgovor u ureñenom poluprstenu prirodnih brojeva?
(4.2) Kako izgleda odgovor u ureñenom prstenu cijelih brojeva?
(4.3) Ako je učenik u pravu napišite taj broj, a ako nije, navedite obrazloženje!
Rješenje: (4.1) U ureñenom poluprstenu (N,+,⋅, 1, ≤) prirodnih brojeva najmanji broje je 1.
(4.2) U ureñenom prstenu (Z,+,0,⋅,1,≤) ne postoji najmanji broj.
Zadatak 5
Jedna učenica kaže da može napisati najmanji pozitivan broj! Kada je u pravu a kada nije?
(5.1) Kako izgleda odgovor u ureñenom poluprstenu prirodnih brojeva?
(5.2) Kako izgleda odgovor u ureñenom prstenu cijelih brojeva?
(5.3) Kako izgleda odgovor u ureñenom polju racionalnih brojeva?
(5.4) Ako je učenica u pravu napišite taj broj, a ako nije, navedite obrazloženje!
Rješenje: (a) U ureñenom poluprstenu (N,+,⋅, 1, ≤) prirodnih brojeva najmanji pozitivan broje je 1.
(b) U ureñenom prstenu (Z,+,0,⋅,1,≤) najmanji pozitivan broj je 1.
(c) U ureñenom polju (Q,+,0,⋅,1,≤) racionalnih brojeva ne postoji najmanji pozitivan broj.
Zadatak 6
(6.1)
Nabroj nekoliko parnih prirodnih brojeva.
(6.2)
Šta je to paran prirodan broj. Kako se to zapisuje.
(6.3)
Ako je kvadrat prirodan broja paran broj, tada je i taj broj paran broj. Dokazati.
(6.3)
Koristeći gornju tvrdnju, bez direktnog dokazivanja izvesti tvrdnju: „Ako je prirodan broj neparan, tada je njegov
kvadrat takoñe neparan broj.“
Rješenje: (6.1) Primjeri prirodnih brojeva su: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
(6.2) Za prirodan broj kažemo da je paran ako i samo ako je djeljiv brojem 2. Dakle, prirodan broj n je paran broj ako i samo
ako se može napisati u obliku n = 2a za neki prirodan broj a.
(6.3) Da bi dokazali tvdnju iskazanu u zadatku:
„Ako je kvadrat prirodnog broja paran broj, tada je i taj broj paran.“,
potrebno je i dovoljno da dokažemo kontrapoziciju te tvrdnje:
„Ako je prirodna broj neparan, tada je i njegov kvadrat takoñe neparan broj.“
Ova dva iskaza logički ekvivalentna. Sa A označimo iskaz:
„Kvadrat prirodnog broja je paran“,
a sa B iskaz:
„Broj je paran.“
Sada, ova tvrdnja ima oblik:
A ⇒ B.
Kontrapozicija ove implikacije glasi:
¬B ⇒ ¬A.
Riječima se to iskazuje ovako:
„Ako broj nije paran, tada njegov kvadrat nije paran.“,
odnosno ovako:
„Ako je broj neparan, tada je i njegov kvadrat neparan.“
Ako uzmemo bilo koji neparan prirodan broj n = 2m – 1, tada imamo
n2 = (2m – 1)2 = 4m2 – 4m + 1 = 2(2m2 – 2m) + 1.
Budući da je rezultat kvadriranja napisan u obliku 2(...)+1, on je takoñe neparan broj. Ovim je dokaz završen.
(6.4) Dokazavši tvrdnju: „Ako je kvadrat prirodnog broja paran broj, tada je i taj broj paran.“ (na indirektan način), mi smo
istovremeno dokazali i tvrdnju - koja je kontrapozicija te tvrdnje: „Ako je prirodan broj neparan, tada je i njegov kvadrat
takoñe neparan.“
Zadatak 7. Data je prava z i tačke A i B na njoj. Treba razmisliti o svim mogućim pravougaonicima ABCD.
7.1. Gdje se nalaze tačke C i D?
7.2. Koji je to pravougaonik ABCD čija je površina minimalna?
7.3. Koji je to pravougaonik čija je površina maksimalna?
Rješenje: (7.1) Tačke C i D pravougaonika ABCD moraju biti na pravoj koja je paralelna pravoj z.
(7.2) Da bi površina pravougaonika ABCD bila minimalna dovoljno je da dužine duži BC = DA budu minimalne. Kako to
nije moguće jer ne postoji najmanji pozitivan realna broj, to ni pravougaonik ABCD takav da je njegova površina minimalna
ne postoji.
(7.3) Da bi površina pravougaonika ABCD bila maksimalna dovoljno je da dužina duži BC = DA bude maksimalna. kako to
nije moguće jer ne postoji najveći pozitivan realan broje, to ni pravougaonik ABCD takav da je njegova špovršina
maksimalna ne postoji.
Zadatak 8. Date su tvrdnje kao o pravougaoniku iz prethodnog zadatka:
(a) Pravougaonik ABCD čija je površina minimalna ne postoji!
(b) Pravougaonik ABCD čija je površina maksimalna ne postoji!
1. Napravi konjukciju tvrdnji (a) i (b).
2. Napravi negaciju ove konjukcije.
3. Napravi negacije tvrdnji (a) i (b).
4. Napravi disjunkciju tvrdnji ¬(a) i ¬(b).
5. Uporedi tvrdnje iz odgovora u tačkama 2 i 4 ovog zadatka.
Rješenje
(8.1 Pravougaonik ABCD čija je površina minimalna ne postoji i pravougaonik ABCD čija je površina maksimalna ne
postoji.
(8.2) Nije tačno da pravougaonik ABCD čija je površina minimalna ne postoji ili nije tačno da pravougaonik ABCD čija je
površina maksimalna ne postoji. (Iskorišten je de’Morganov stav: ¬((a) ∧ (b)) ⇔ ¬(a) ∨ ¬(b).)
(8.3) ¬(a): Nije tačno da pravougaonik ABCD čija je površina minimalna ne postoji.
¬(b): Nije tačno da pravougaonik ABCD čija je površina maksimalna ne postoji.
(8.4) Nije tačno da pravougaonik ABCD čija je površina minimalna ne postoji ili nije tačno da pravougaonik ABCD čija je
površina maksimalna ne postoji.
(8.5) Tvrdnje (8.2) i (8.4), kao što se vidi, su iste tvrdnje.
Zadatak 9
9.1. Šta je to prost prirodan broj?
9.2. Koliko ima prostih prirodnih brojeva?
9.3. Dokaži tvrdnju iz tačke 9.2.
9.4. Kakav je to dokaz: (i) direktan; (ii) indirektan?
Rješenje. (9.1) Za prirodan broj, osim jedinice, kažemo da je prost ako i samo ako je djeljiv samim sobom i jediniciom. To su,
na primjer, brojevi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, ...
(9.2) Prostih prirodnih brojeva ima besjkonačno prebrojivo mnogo.
(9.3) Pretpostavimo da tvrdnja iskazana u (9.2) nije tačna, tj. pretpostavimo da prostih prirodnih brojeva ima konačno mnogo.
Neka su to brojevi: p1, p2, ..., pk . Podsjetimo se da se svaki prirodan broj može na jedinstven način prikazati kao proizvod
samo prostih brojeva. Dakle, broj a = p1 ⋅ p2, ⋅... ⋅ pk + 1 budući da nije dijeljiv ni sa jednik od brojeva : p1, p2, ..., pk je prost
broja različit od svih pomenutih prostih brojeva. Ovo je kontradikcija. dakle, pretpostavka da postoji samo konačno mnogo
prostih brojeva dovela nas je u kontradikciju. Zato je treba odbaciti: Ne postoji konačno mnogo prostih brojeva.
(9.4) Kao što se vidi, dokaz o beskonačnom broju prostih brojeva dobuijen je na indirektan način .
Zadatak 10
10.1. Nabroj nekoliko neparnih prirodnih brojeva.
10.2. Šta je to neparan prirodan broj? Kako se to zapisuje?
10.3. Kojih brojeva ima više: parnih ili neparnih ?
10.4. Skup svih neparnih prirodnih brojeva ima više (ili manje, ili jednako) elemenata nego skup svih prirodnih brojeva?
Obrazložite!
Rješenje: 10.1.-10.2. Neparni prirodni brojevi su brojevi koji nisu parni brojevi. To su, na primjer, brojevi 1, 3, 5, 7, .... Dakle,
ne mogu se dijeliti brojem 2, bez ostatka. Prema tome, prirodan broj je neparan ako ima ostatak kod dijeljenja sa brojem 2.
Dakle, ako prirodan broj n dijelimo brojem 2, imamo da je rezultat neki prirodan broj – m, i još imamo ostatak kod dijeljenja.
Taj ostatak mora biti 1. Zaključujuemo da se neparni prirodni brojevi mogu zapisivati u opštem obliku, ovako n = 2m+1. Na
ovaj način zapisani su prirodni brojevi 3, 5, 7, ... Da bi ovom nizu dodali broj 1, opšti oblik neparnih prirodnih brojeva treba
zapisivati u obliku n = 2m – 1. Zaista, jer za m = 1, dobijamo n = 1; za m = 2, dobijamo n = 3. I tako dalje. Očigledno je da je
bilo koji prirodni broj ili paran ili neparan, i da da svaki prirodni broj mora biti paran ili neparan. Dakle, ako broj nije paran,
tada je neparan, Obrnuto, ako broj nije neparan, tada mora biti paran.
10.3. Skup parnih i skup neparnih prirodnih brojeva su ekvipotentni.
10.4. Skup svih neparnih prirodnih brojeva je ekvipotentan skupu svih prirodnih brojeva.
© Copyright 2024 Paperzz
