μαθηματικα μοντελα στις επιστημες του περιβαλλοντος : μια μικρη

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ:
ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Τάσος Πατρώνης – Γιάννης Ρίζος – Δημήτρης Σπανός
Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών
1. Εισαγωγή
Είχε ήδη αρχίσει να αποδίδει καρπούς η βιομηχανία του Χόλλυγουντ, όταν ο
Ηλίας Καζάν, σε σενάριο του Τζων Στάιμπεκ και με πρωταγωνιστή το νεαρό τότε
Μάρλον Μπράντο, γύρισε την ταινία «VIVA ZAPATA». Μέχρι ποιο βαθμό ο
σεναριογράφος και ο σκηνοθέτης απέδωσαν την προσωπικότητα του Μεξικανού
επαναστάτη και μέχρι ποιο βαθμό υποτάχθηκαν στις γνωστές νόρμες του
Χόλλυγουντ; Είναι πολύ δύσκολο να απαντήσει κανείς διεξοδικά σ’ αυτό το
ερώτημα. Το αποτέλεσμα όμως ήταν μια εξαιρετική ταινία κι ένας από τους λόγους
της επιτυχίας της ήταν ότι σ’ αυτή την ταινία υπήρχε κάτι το αληθινό.
Υπάρχει κάτι το αληθινό στους ζωγραφικούς πίνακες της Αναγέννησης, πέρα
από την προσομοίωση της προοπτικής αντίληψης του “πραγματικού” τρισδιάστατου
χώρου: οι πίνακες αυτοί απεικονίζουν με μια σκηνική ενάργεια τον τρόπο που η
εποχή τους αντιλαμβανόταν τον κόσμο και τα μεγάλα ανθρώπινα προβλήματα. Σ’
έναν πίνακα του Τιτσιάνο («Αλληγορία του Έρωτα») μια νεαρή δέσποινα
ναρκισσεύεται μπροστά σ’ έναν καθρέφτη που της κρατάει ένας άντρας κοιτάζοντας
την ίδια, χωρίς αυτή να δείχνει ενδιαφέρον για κανέναν άλλον εκτός από τον εαυτό
της, ενώ τον θαυμαστή κοιτάζει περιπαθώς και χωρίς ανταπόκριση μια άλλη νεαρή
που παίζει κιθάρα. Πώς θα μπορούσε αλλιώς να αποδοθεί τόσο πειστικά η λειψή και
ανικανοποίητη φύση του έρωτα;
Αρχίζοντας από την τέχνη και περνώντας από την ιστορία και τις κοινωνικές
επιστήμες προς τις βιολογικές και φυσικές επιστήμες του περιβάλλοντος, συναντάμε
μια σειρά από μοντέλα ή πρότυπα, που αναπαριστούν φαινόμενα, διαδικασίες ή
συστήματα. Τα μοντέλα αυτά χαρακτηρίζονται από μια ολοένα και μεγαλύτερη
δυνατότητα για εμπειρική επαλήθευση ή διάψευση, χωρίς αυτή η αυξανόμενη
δυνατότητα να σημαίνει αναγκαία και “βελτίωση”. Επιπλέον η ίδια πανοραμική
εικόνα αυτής της σειράς προτύπων μας δείχνει ότι οι επιστημονικές κατασκευές,
όπως και κάθε άλλο ανθρώπινο κατασκεύασμα, είναι ιστορικά και πολιτισμικά
προϊόντα και εξαρτώνται από την εκάστοτε εποχή.
Γενικά μιλώντας, ένα μοντέλο (ή πρότυπο) είναι μια κατασκευή που
αναπαριστάνει, αναλύει ή προσομοιώνει ένα φαινόμενο, μια διαδικασία, ένα
σύστημα, ή μια συμπεριφορά, με σκοπό όχι την πιστή αναπαράσταση της
“πραγματικότητας”, αλλά την εξήγηση, τη διατύπωση εικασιών και πιθανά την
πρόβλεψη μελλοντικών καταστάσεων. Όπως γράφει η Olga Waelder1: «Ένα μοντέλο
είναι μια απλοποίηση. Μπορεί να είναι αληθινό, μπορεί να είναι ανολοκλήρωτο,
μπορεί να είναι ψεύτικο. Επιπλέον, ένα μοντέλο είναι μια εξιδανίκευση και έχει
πάντα περιορισμούς στην εφαρμοσιμότητά του. Ξεκινάει κανείς με το απλούστερο
μοντέλο, το οποίο μπορεί να γίνει περισσότερο πολύπλοκο. Εάν ένα μοντέλο ή η
γενίκευσή του δεν ικανοποιεί το σκοπό του, πρέπει να αντικατασταθεί από άλλο».
Πού βρίσκονται όμως τα μαθηματικά μοντέλα, σε ποια θέση τοποθετούνται
στην πιο πάνω σειρά προτύπων από την τέχνη ως τις φυσικές επιστήμες; Οι
μαθηματικοί συχνά φαίνεται να ξεχνούν ότι οι “εφαρμογές” της επιστήμης τους σε
1
O. Waelder, Mathematical Methods for Engineers and Geoscientists, Springer, 2008, p. 6.
άλλους κλάδους ή περιοχές της πραγματικότητας δεν αποτελούν παρά τη λογική και
συνεκτική διάρθρωση κάποιων ιδεών και υποθέσεων. Θαρρείς πως η φύση περίμενε
εξαρχής τον Γαλιλαίο και τον Νεύτωνα για να διαβάσουν τα μυστικά της και να τα
διατυπώσουν κατευθείαν σε μια τέλεια και οριστική μορφή με τα μαθηματικά τους!
Τα σχολικά βιβλία Μαθηματικών – αλλά και πολλές φορές τα πανεπιστημιακά –
δίνουν μια τέτοια εντύπωση, και ο ιδεολογικός πυρήνας της “μαθηματικής
μοντελοποίησης” εκεί μας παραπέμπει.
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν κάποιοι τρόποι για να διακρίνουμε τα
φυσικομαθηματικά μοντέλα σε “(αυστηρά) ποσοτικά” και σε “ποιοτικά” (όπου στα
δεύτερα θα κατατάσσαμε (κάπως παρακινδυνευμένα) και τα «μαθηματικά πρότυπα
της μορφογένεσης» του René Thom, επειδή και στις δύο αυτές περιπτώσεις δεν
επιδιώκονται ακριβείς προβλέψεις αλλά μόνον η εξήγηση και κατανόηση των
φαινομένων). Θα μπορούσαμε τότε να πούμε ότι ένα “αυστηρά ποσοτικό”
μαθηματικό μοντέλο αποτελεί μια πειραματικά ελέγξιμη επιστημονική υπόθεση. Έτσι
π.χ. η αστρονομική παρατήρηση έδειξε σημαντικές αποκλίσεις από το Νευτώνειο
πρότυπο, που, λόγω πολλαπλών και ανεπαίσθητων διαταραχών, παρουσιάζει μια
γενική αδυναμία ακριβούς πρόβλεψης ακόμα και για φαινόμενα του ηλιακού μας
συστήματος. Η μη–δυνατότητα για πειραματικό έλεγχο δεν απαλλάσσει, βέβαια, και
τα “ποιοτικά” μοντέλα από έναν κριτικό έλεγχο, αφού αποτελούν (όπως και τα
“ποσοτικά”) αναπαραστάσεις κάποιων εννοιολογικών συστημάτων 2.
Στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση το “μαθηματικό μοντέλο” μιας κατάστασης
είναι συνήθως μια συνάρτηση που, είτε η ίδια μέσω ενός εκπεφρασμένου τύπου, είτε
ορισμένες χαρακτηριστικές ιδιότητές της δίνονται με αυθαίρετο τρόπο στους
μαθητές3. Στην τριτοβάθμια εκπαίδευση τα μαθηματικά μοντέλα έχουν μια πιο μακρά
ιστορία και περισσότερο στέρεα βάση, αλλά και εκεί δεν παύουν να αποτελούν ένα
διδακτικό πρόβλημα. Στο κεφάλαιο αυτό θα συζητήσουμε τα προβλήματα αυτά,
καθώς και τις πιθανές προοπτικές της “μοντελοποίησης” στη δευτεροβάθμια
εκπαίδευση, μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα.
2. “Πώς αυξάνεται το χρήμα” ή ένας ελκυστικός τρόπος παρουσίασης του
αριθμού e
Στην ελληνική έκδοση του περιοδικού QUANTUM έχει παρουσιαστεί,
μεταξύ άλλων, ένα μοντέλο για την «αύξηση του χρήματος» με βάση τον ανατοκισμό
ενός κεφαλαίου που κατατίθεται σε μια τράπεζα4. Το μοντέλο αυτό έχει παραβληθεί
με το εκθετικό πρότυπο της αύξησης ενός πληθυσμού (βλ. πιο κάτω). Αν υποθέσουμε
ότι το αρχικό κεφάλαιό σας είναι
Ν (0) = Α Ευρώ,
το επιτόκιο (ας πούμε) 5% και τα χρήματά σας ανατοκίζονται μια φορά το χρόνο,
τότε μετά από k χρόνια το κεφάλαιό σας θα είναι ίσο με
k
1 

N (k) = A 1  
k = 1, 2, 3,…
 20 
Εννοείται βέβαια ότι ο τύπος αυτός δεν σας δίνει και την τρέχουσα αγοραστική αξία
των χρημάτων σας, εκτός αν είστε τόσο τυχερός ώστε η οικονομική κρίση να μην τα
2
Γερ. Κουζέλης, Από τη Βιωματική Εμπειρία στον Επιστημονικό Κόσμο, εκδ. Κριτική, 1991.
Η αυθαιρεσία εδώ συνίσταται όχι μόνο στον τρόπο της παρουσίασης αλλά και στην επιλογή του
εκάστοτε θέματος για συζήτηση στην τάξη.
4
Kurt Kreith, QUANTUM, Ιαν. – Φεβ. 1995.
3
πειράζει καθόλου, ή τόσο πλούσιος ή και τόσο φτωχός ώστε να μη σας νοιάζει
καθόλου (Α = 0 ή Α = )!
Εντελώς αντίστοιχα, σ’ ένα ερημονήσι που διαθέτει ασφάλεια και
κυριολεκτικά άπειρη τροφή για αγριοκούνελα (!), το εκθετικό πρότυπο αύξησης, της
§ 7 που ακολουθεί, εφαρμόζεται άνετα και μας δίνει ότι ο αριθμός των (ζευγών)
κουνελιών που θα υπάρχουν στο νησί (αν φυσικά μπορούν να χωρέσουν στην
επιφάνειά του) μετά από t χρόνια θα ίσος περίπου με
N (t )  N (0)  e ct
όπου υποτίθεται ότι η ετήσια αύξηση των κουνελιών είναι σταθερή και ίση με μια
σταθερά c, με 0<c<1 (όπως συμβαίνει και με το επιτόκιο της τράπεζας).
Από την άλλη μεριά, θα πρέπει να αναγνωριστεί ότι τα μαθηματικά μοντέλα
που παρουσιάζονται στο παραπάνω άρθρο έχουν κάποια δόση αλήθειας. Αποτελούν
πιθανές όψεις της πραγματικότητας – βέβαια όψεις εντελώς μονόπλευρες και ακραία
απλουστευτικές. Υπ’ αυτή την έννοια μπορούμε να δεχτούμε ότι τα παραπάνω
μοντέλα δεν αποτελούν απλά μια “ένδυση” των μαθηματικών εννοιών που
παρουσιάζονται, αλλά θα μπορούσαν να θεωρηθούν και σαν μια «διδακτική
φαινομενολογία» τους, δηλαδή ανταποκρίνονται (έστω και πολύ χονδροειδώς) σε
κάποια υπαρκτά φαινόμενα του πραγματικού κόσμου που κάνουν πιο ελκυστική τη
διδασκαλία.
Έτσι, στα πιο πάνω παραδείγματα, μπορούμε να συγκρίνουμε τα δύο μοντέλα
1
και να πάρουμε π.χ. για k = 20, c 
και Α = N(0) = 1 την προσεγγιστική τιμή
20
20
1 

N (20) = 1    2,65
 20 
που μας παραπέμπει στη γνωστή παρουσίαση του αριθμού e ως ορίου της ακολουθίας
n
 1
n = 1, 2, 3,…
1  
 n
Τουλάχιστον έτσι φαίνεται ότι η ακολουθία αυτή, αλλά και ο ίδιος ο αριθμός e, δεν
έπεσαν από τον ουρανό, αλλά έχουν μια κάποια φαινομενολογική βάση στην
ανθρώπινη κοινωνία.
3. Το μοντέλο του Malthus
Ένα από τα θέματα που απασχολούν σήμερα την οικολογία και τις επιστήμες
του περιβάλλοντος γενικότερα είναι το πρόβλημα της αύξησης του πληθυσμού. Οι
επιστήμονες δεν ενδιαφέρονται μόνο για την αύξηση του ανθρώπινου πληθυσμού,
αλλά και για την αύξηση του πληθυσμού των ζώων, των μικροβίων, κλπ. Θεωρούμε
ότι όταν ο υπό εξέταση πληθυσμός είναι απομονωμένος, δηλαδή δεν επηρεάζεται από
μεταβολές άλλων πληθυσμών, τότε η αύξησή του είναι απλή, ενώ όταν αλληλεπιδρά
με άλλους πληθυσμούς τότε μιλάμε για σύνθετη αύξηση.
Η δυναμική των πληθυσμών (population dynamics) είναι ένας κλάδος των
Μαθηματικών με ιστορία μεγαλύτερη των 200 ετών, που ασχολείται με την εύρεση
μοντέλων τα οποία περιγράφουν τις μεταβολές και την αλληλεπίδραση των
πληθυσμών συναρτήσει του χρόνου. Είναι επίσης γνωστό ότι ο Απειροστικός
Λογισμός έχει τις ρίζες του στην προσπάθεια να εξηγηθεί το “πως μεταβάλλονται
διάφορα μεγέθη με την πάροδο του χρόνου” (π.χ. η έννοια της ταχύτητας). Επομένως
είναι λογικό στο πεδίο της δυναμικής πληθυσμών να χρησιμοποιούνται εργαλεία που
βασίζονται στον Απειροστικό Λογισμό, όπως η παράγωγος, το ολοκλήρωμα και οι
διαφορικές εξισώσεις.
Το πρώτο και πιο απλό μαθηματικό μοντέλο δόθηκε το 1798 από τον Άγγλο
οικονομολόγο Thomas R.Malthus (1766 – 1834) στην εργασία του “An Essay on the
Principle of Population” και προκύπτει υποθέτοντας ότι ο ρυθμός μεταβολής του
πληθυσμού είναι ανάλογος του εκάστοτε μεγέθους του πληθυσμού. Πιο
συγκεκριμένα, ο Malthus θεώρησε ότι σε πολλούς βιολογικούς πληθυσμούς, ο
ρυθμός των γεννήσεων και ο ρυθμός των θανάτων είναι ανάλογοι του μεγέθους του
πληθυσμού. Ακόμη υπέθεσε ότι ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού είναι ανάλογος
της διαφοράς μεταξύ του ρυθμού των γεννήσεων και του ρυθμού των θανάτων. Έτσι
αν τη χρονική στιγμή t ο πληθυσμός είναι N(t) θα έχουμε:
dN (t )
 αN (t )  βN (t )
dt
dN (t )
ή
(1)
 rN (t )
dt
όπου α και β είναι θετικές σταθερές οι οποίες σχετίζονται με το ρυθμό των γεννήσεων
και το ρυθμό των θανάτων αντίστοιχα, ενώ r = α – β.
Η (1) είναι μια διαφορική εξίσωση χωριζομένων μεταβλητών με αρχική
συνθήκη N(0) = N0, η οποία έχει λύση την
N(t) = N0ert
(2)
Σαν ένα παράδειγμα ελέγχου της εφαρμοσιμότητας του μοντέλου, στον
παρακάτω πίνακα δίνεται ο πληθυσμός (σε εκατομμύρια) των ΗΠΑ για τα έτη 1790 –
1850 καθώς και ο σχετικός ρυθμός αύξησης του πληθυσμού:
Χρονολογία
Έτος (t)
Πληθυσμός
N(t)
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
0
10
20
30
40
50
60
3,90
5,30
7,24
9,64
12,68
17,06
23,19
Ετήσιος ρυθμός αύξησης
N (t )
N (t )
3,59%
3,66%
3,31%
3,15%
3,45%
3,59%
Ο μέσος όρος των ετήσιων σχετικών ρυθμών αύξησης του πληθυσμού είναι ίσος με
3,46% επομένως σε μια δεκαετία ο πληθυσμός αυξάνεται κατά 34,6% περίπου,
δηλαδή κατά το συντελεστή 0,346. Προσαρμόζοντας τα δεδομένα αυτά στο μοντέλο
του Malthus, προκύπτει:
N(10) = N(0) + 0,346N(0)
= 1,346N(0)
ή N0e10r = 1,346N0
1
απ’ όπου r =
ln(1,346) = 0,0297  0,03
10
Επομένως η (2) γίνεται:
N(t) = 3,9e0,03t
(3)
Με τη βοήθεια της (3) μπορούμε τώρα να εκτιμήσουμε την αύξηση του ίδιου
πληθυσμού τα επόμενα χρόνια:
Χρονολογία
Έτος (t)
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
Πραγματικός Πληθυσμός Εκτίμηση από
N(t)
την (3)
3,90
3,90
5,30
5,26
7,24
7,11
9,64
9,59
12,68
12,95
17,06
17,48
23,19
23,59
31,44
31,85
38,56
42,99
50,19
58,03
62,98
78,33
76,21
105,74
92,33
142,73
106,02
192,67
123,20
260,08
Σφάλμα
0,04
0,13
0,05
-0,27
-0,42
-0,40
-0,41
-4,43
-7,84
-15,35
-29,53
-50,40
-86,65
-136,88
Παρατηρούμε ότι για μικρές τιμές του t (μέχρι 70 περίπου) ο τύπος (3) δίνει
καλές προσεγγίσεις του πληθυσμού. Όμως για t = 220 δηλαδή για το έτος 2010, ο
τύπος (3) προβλέπει τον εξωπραγματικό πληθυσμό των 2.866.871.000 ατόμων.
Οι αποκλίσεις αυτές μέχρι και για το 1930 παρουσιάζονται στο ακόλουθο
χρονόγραμμα στο οποίο συνυπάρχουν ο πραγματικός πληθυσμός N(t) καθώς και η
εκτίμηση του πληθυσμού που προκύπτει από την εξίσωση (3).
300
(3)
Εκατομμύρια
250
200
150
N(t)
100
50
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Έτος
90
100
110
120
130
140
150
Συμπερασματικά λοιπόν θα λέγαμε ότι για μικρές χρονικές περιόδους, το μοντέλο του
Malthus αποτελεί ένα καλό προσεγγιστικό μοντέλο, για μεγαλύτερες όμως, μας
οδηγεί σε εξωπραγματικά συμπεράσματα. Ο λόγος γι’ αυτό είναι ότι το μοντέλο δεν
λαμβάνει υπ΄ όψη εξωγενείς παράγοντες (ασθένειες, πολέμους, οικονομικές κρίσεις,
κλιματικές αλλαγές κλπ) που μειώνουν το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού,
ανακόπτοντας την εκθετική του αύξηση. Με άλλα λόγια, το περιβάλλον μπορεί να
υποστηρίξει μόνον έναν περιορισμένο αριθμό ατόμων. Καθώς ο πληθυσμός
πλησιάζει αυτή την οριακή τιμή (που καλείται φέρουσα ικανότητα), επιβραδύνεται η
περαιτέρω αύξηση.
Μετά τα παραπάνω γεννάται το ερώτημα, σε τι αποβλέπει η διδασκαλία
μοντέλων τα οποία οδηγούν σε εξωπραγματικές προβλέψεις. Βέβαια, μοντέλα όπως
αυτό του Malthus μπορεί να χρησιμεύσουν και ως ελκυστική παρουσίαση μιας
σημαντικής συνάρτησης στα Μαθηματικά (της εκθετικής). Είναι όμως αυτή η μόνη
χρησιμότητά τους;
4. Το λογιστικό μοντέλο και η πραγματική αύξηση των πληθυσμών
Στο μοντέλο του Malthus θεωρήσαμε ότι ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού
είναι ανάλογος της διαφοράς μεταξύ του ρυθμού των γεννήσεων και του ρυθμού των
θανάτων, δηλαδή ότι τα α και β στην εξίσωση (1) είναι σταθερές. Κάτι τέτοιο όμως
δεν συμβαίνει για μεγάλους πληθυσμούς, γιατί τότε υπάρχει έλλειψη χώρου και
τροφής, επομένως η μετανάστευση, οι ασθένειες, οι διαμάχες μεταξύ των ατόμων του
πληθυσμού κλπ, βρίσκονται σε έξαρση και γενικότερα αυξάνεται ο ρυθμός των
θανάτων, ενώ ταυτόχρονα μειώνεται ο ρυθμός των γεννήσεων.
Σε φυσικές συνθήκες η εκθετική αύξηση του πληθυσμού αναστέλλεται από
την αντίσταση του περιβάλλοντος. Ο υπερπληθυσμός προκαλεί είτε μείωση των
γεννήσεων (και του εποικισμού), είτε αύξηση της θνησιμότητας (και της αποδημίας),
είτε και τα δύο μαζί.
Η βιοχωρητικότητα του συγκεκριμένου περιβάλλοντος, στο οποίο
αναπτύσσεται ο πληθυσμός, προσδιορίζεται από τους διαθέσιμους πόρους (χώρος,
τροφή κλπ), οι οποίοι συνήθως είναι περιορισμένοι και οριοθετούν το «επίπεδο
κορεσμού» του πληθυσμού. Όταν το μέγεθος του πληθυσμού πλησιάζει σ’ αυτό το
επίπεδο, ο ρυθμός της πραγματικής του αύξησης ελαττώνεται και στη συνέχεια
μηδενίζεται. Στην περίπτωση αυτή, η αύξηση του πληθυσμού ρυθμίζεται σε σχέση με
την πυκνότητά του. Ο τρόπος αυτός της αύξησης των φυσικών πληθυσμών
εκφράζεται με τη λογιστική εξίσωση του Verhulst
dN (t )
N (t ) 

 rN (t )1 

dt
K 

(4)
όπου K είναι η οριακή τιμή του N(t), η μέγιστη βιοχωρητικότητα του περιβάλλοντος
για τον θεωρούμενο πληθυσμό (σχήμα 3). Το λογιστικό μοντέλο αύξησης του
πληθυσμού περιγράφει θεωρητικές περιπτώσεις που προσεγγίζονται με πειραματικές
συνθήκες στο εργαστήριο, αλλά έχει εφαρμογή και σε πραγματικά πληθυσμιακά
δεδομένα.
N
K
εκθετική
αύξηση
Αντίσταση του
περιβάλλοντος
Μέγιστη
βιοχωρητικότητα
λογιστική
αύξηση
t
Σχήμα 1
Η εξίσωση (4) είναι μια διαφορική εξίσωση χωριζομένων μεταβλητών και η
γενική λύση της είναι:
K
N (t ) 
(5)
1  rt
1
e
c΄΄
N0
 c΄΄ . Αντικαθιστώντας την
Από την (5), για t = 0 και Ν(0) = Ν0 έχουμε
K  N0
τελευταία στην (5) προκύπτει
K
(6)
N (t ) 
 K
  rt
1  
 1e
N
 0

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης (6) ονομάζεται λογιστική καμπύλη (σχήμα 1)
και έχει την παρακάτω “σιγμοειδή” μορφή:
N
K
N0
t
Σχήμα 2
Το μοντέλο του Verhulst εισάγει ένα μέγιστο πληθυσμιακό όριο βασιζόμενο
στην υπόθεση ότι η μεταβολή του πληθυσμού είναι ανάλογη του μεγέθους του
πληθυσμού αλλά και της απόκλισης του πληθυσμού από το μέγιστο πληθυσμιακό
όριο.
Ενδιαφέρον παρουσιάζει το επόμενο σχήμα (σχήμα 2) όπου φαίνεται η
N (t )
γραφική παράσταση της συνάρτησης (6) στην οποία έχουμε θέσει x(t ) 
, δηλ.
K
1
της συνάρτησης x(t ) 
για διάφορες τιμές του ρυθμού αύξησης r.
 1
  rt
1    1e
 x0

Σχήμα 3
Όπως αναμενόταν, όσο μεγαλύτερος είναι ο ρυθμός αύξησης r, τόσο γρηγορότερα η
συνάρτηση x προσεγγίζει την οριακή τιμή της (αρνητική αύξηση = μείωση).
Η πυκνότητα και η πραγματική αύξηση των πληθυσμών εξαρτώνται από
τέσσερις βασικές δημογραφικές διαδικασίες. Αφενός μεν από τη γεννητικότητα και
την εποίκηση, που προσθέτουν άτομα στον πληθυσμό, αφετέρου από τη θνησιμότητα
και την αποδημία, που αφαιρούν άτομα από τον πληθυσμό.

Download Report