Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων

Υλικό Φυσικής-Χηµείας
Κύµατα
Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων.
∆ύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 που απέχουν απόσταση d=8m, παράγουν στην επιφάνεια ενός
υγρού αρµονικά κύµατα που έχουν ταχύτητα διάδοσης υ=20m/s. Η εξίσωση της αποµάκρυνσης των
πηγών σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται από τη σχέση y=0,4ηµ20πt (S.I.).
1. Σε ένα σηµείο Σ της επιφάνειας του υγρού που απέχει απόσταση r1=4m από την πηγή Π1 και
απόσταση r2 από την πηγή Π2 µε r2> r1, τα δύο κύµατα φτάνουν µε χρονική καθυστέρηση
∆t=0,2s.
α) Να διερευνήσετε αν στο σηµείο Σ έχουµε ενισχυτική ή αποσβεστική συµβολή.
β) Να βρεθεί η απόσταση r2.
γ) Να βρεθεί η υπερβολή ενίσχυσης ή απόσβεσης στην οποία βρίσκεται το σηµείο Σ.
δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης του σηµείου Σ σε συνάρτηση µε
το χρόνο για t≥0.
ε) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του Σ τη χρονική στιγµή t=0,45s.
ζ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της δύναµης επαναφοράς που δέχεται το υλικό
σηµείο Σ σε συνάρτηση µε το χρόνο για t≥0 αν θεωρήσουµε ότι η στοιχειώδης µάζα του
υλικού σηµείου Σ είναι m=5 10-3 Kg.
η) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση του πλάτους ταλάντωσης του σηµείου Σ σε
συνάρτηση µε το χρόνο για t≥0.
2.
Για ένα σηµείο Ρ που βρίσκεται πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα Π1Π2 και απέχει x1 και x2 (x1>x2)
από τις πηγές Π1 και Π2 αντίστοιχα, η γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσής του σε
συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται στο παρακάτω σχήµα:
υ
(m/s)
8π
0,375
0
0,025
t (s)
-8π
α) Να διερευνήσετε αν στο σηµείο Ρ έχουµε ενισχυτική ή αποσβεστική συµβολή.
β) Να βρεθούν οι αποστάσεις x1 και x2. Σε ποια υπερβολή ενίσχυσης ή απόσβεσης βρίσκεται
το σηµείο Ρ;
γ) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της αποµάκρυνσης του σηµείου Ρ σε συνάρτηση µε το
χρόνο, για κάθε κύµα ξεχωριστά. Ποια αρχή επιβεβαιώνεται από τις γραφικές παραστάσεις;
3.
Να βρείτε ποια σηµεία µεταξύ των Π1 και Π2 ταλαντώνονται µε ενέργεια ταλάντωσης ίση µε
την ενέργεια ταλάντωσης του σηµείου Σ και ποια σηµεία µεταξύ των Π1 και Π2 ταλαντώνονται
µε ενέργεια ταλάντωσης ίση µε την ενέργεια ταλάντωσης του σηµείου Ρ αν θεωρήσουµε ότι
όλα τα υλικά σηµεία µεταξύ των πηγών έχουν την ίδια στοιχειώδη µάζα µε το Σ.
4.
Να σχεδιάσετε τις υπερβολές ενίσχυσης και απόσβεσης µεταξύ των πηγών Π1 και Π2.
www.ylikonet.gr
1
Υλικό Φυσικής-Χηµείας
5.
Κύµατα
Να βρείτε τη διαφορά των αποστάσεων από τις δύο πηγές για ένα σηµείο Λ που ανήκει στην 2η
υπερβολή αποσβεστικής συµβολής δεξιά της µεσοκαθέτου του Π1Π2.
6. Ένα σηµείο Κ της επιφάνειας του υγρού που ανήκει στην 5η υπερβολή ενισχυτικής συµβολής
δεξιά της υπερβολής του Σ, µετά τη συµβολή των δύο κυµάτων σε αυτό ταλαντώνεται µε
εξίσωση y=0,8ηµ(20πt-5π) (S.I.). Να βρείτε τις αποστάσεις d1 και d2 του σηµείου Κ από τις
πηγές Π1 και Π2. ∆ίνεται: π2=10.
Απάντηση:
1. Από την εξίσωση ταλάντωσης των πηγών y=Aηµωt και τη δοθείσα έχω: Α=0,4m, ω=20π rad/s
οπότε Τ=2π/ω → T=0,1s , f=10 hz και υ=λf ή λ=υ/f ή λ=20/10 ή λ=2m.
α) Μετά
τη
συµβολή των δύο κυµάτων στο Σ αυτό ταλαντώνεται µε πλάτος
r −r
υ t − υ t2
υ
|Α´Σ| = 2Α|συν2π 1 2 | → |Α´Σ| = 2Α|συν2π 1
| → |Α´Σ| = 2Α|συνπ (t1 − t2 ) | →
2λ
2λ
λ
|Α´Σ| = 2Α|συνπf∆t| →|Α´Σ| = 2Α|συνπ 10 0,2| →|Α´Σ|= 2Α|συν2π| →|Α´Σ| = 2Α.
Άρα στο Σ έχουµε ενισχυτική συµβολή.
4
→ t1 = 0,2s ενώ το κύµα της Π2 φτάνει
υ 20
στο Σ την t2=t1+∆t=0,2+0,2 → t2 = 0,4s αφού r2> r1. Άρα r2=υt2 → r2=20 0,4 → r2 = 8m.
β) Το κύµα της πηγής Π1 φτάνει στο Σ την t1=
r1
=
γ) Αφού στο Σ έχουµε ενισχυτική συµβολή ισχύει r1-r2=Nλ → 4-8=Ν 2 → -4 = Ν 2 → Ν = -2.
∆ηλαδή το Σ ανήκει στη δεύτερη υπερβολή ενίσχυσης αριστερά της µεσοκαθέτου του Π1Π2.
δ) Για 0 ≤ t < 0,2 s yΣ = 0 (1) αφού κανένα κύµα δεν έχει φτάσει στο Σ.
t r
Για 0,2 ≤ t < 0,4 s έχω: yΣ = Αηµ2π ( − 1 ) → yΣ = 0,4ηµ2π(10t – 2) (S.I.) (2) αφού το Σ
T λ
ταλαντώνεται λόγω του κύµατος της Π1.
r1 − r2
t r +r
ηµ2π( − 1 2 ) → yΣ = 0,8ηµ2π(10t – 3) (S.I.) (3)
2λ
T
2λ
αφού στο Σ τώρα έχουν φτάσει και τα δύο κύµατα. Οπότε η γραφική παράσταση της yΣ = f(t)
είναι η παρακάτω:
Για t ≥ 0,4 s έχω: yΣ = 2Α συν2π
t = 0,45 s
yΣ
(m)
0,8
0,4
0
-0.4
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
t (s)
-0,8
www.ylikonet.gr
2
Υλικό Φυσικής-Χηµείας
ε)
Κύµατα
1ος Τρόπος: Τη χρονική στιγµή t = 0,45 s στο Σ έχουµε συµβολή , άρα ταλαντώνεται σύµφωνα
µε την εξίσωση (3) οπότε υΣ =ω(+Α´Σ)συν2π(10t–3) και αντικαθιστώντας έχουµε :
υΣ = 20π 0,8συν(20π 0,45 – 6π)
→
υΣ = 16πσυν(9π – 6π) → υΣ = 16πσυν(3π)
→
υΣ = -16π m/s.
2ος Τρόπος: Τη χρονική στιγµή t = 0,45 s το σηµείο Σ βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του
κινούµενο προς τα αρνητικά, όπως προκύπτει από την προηγούµενη γραφική παράσταση άρα
υΣ = - υmax(Σ) = - ω|Α´Σ| = - 20π 0,8 → υΣ = -16π m/s.
ζ)
Για τη δύναµη επαναφοράς ισχύει: Fεπαν = -mω2yΣ
Fεπαν = -20 10-3 10+3yΣ
→
Fεπαν = -20yΣ
→
Fεπαν = -5 10-3 202 π2yΣ
→
οπότε από τις σχέσεις (1), (2), (3) του
ερωτήµατος δ έχω:
Για 0 ≤ t < 0,2 s
Fεπαν = 0 αφού κανένα κύµα δεν έχει φτάσει στο Σ.
Για 0,2 ≤ t < 0,4 s Fεπαν = - 8ηµ2π(10t – 2) (S.I.)
Για t ≥ 0,4 s
Fεπαν = - 16ηµ2π(10t – 3) (S.I.) και η αντίστοιχη γραφική παράσταση
φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.
Fεπαν
(Ν)
16
8
0
0,1
-8
0,2
0,3
0,4
0,6
0,5
t (s)
-16
η) Για το πλάτος ταλάντωσης του Σ έχω:
Για 0 ≤ t < 0,2 s
ΑΣ = 0
Για 0,2 ≤ t < 0,4 s ΑΣ = 0,4m
Για t ≥ 0,4 s
ΑΣ = 0,8m
AΣ
(m)
0,8
0,4
0
-0.4
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
t (s)
-0,8
www.ylikonet.gr
3
Υλικό Φυσικής-Χηµείας
2.
Κύµατα
α) Από τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου παρατηρούµε ότι µετά τη χρονική στιγµή
t2 = 0,375 s το σηµείο Ρ δεν ταλαντώνεται, άρα το σηµείο Ρ είναι σηµείο αποσβεστικής
συµβολής.
β) Από τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου παρατηρούµε ότι το κύµα της πιο κοντινής
πηγής Π2 (x2<x1) φτάνει στο Ρ την t1 = 0,025 s άρα x2 = υt1 ή x2 = 20 0,025 ή x2 = 0,5m.
Από τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου παρατηρούµε ότι το κύµα της πιο µακρινής
πηγής Π1 (x2<x1) φτάνει στο Ρ την t2 = 0,375 s άρα x1 = υt2 ή x1 = 20 0,375 ή x1 = 7,5m.
Αφού το Ρ είναι σηµείο αποσβεστικής συµβολής έχω: x1 – x2 = (2Ν+1)λ/2
άρα 7,5-0,5 =
(2Ν+1) 1 άρα 7 = 2Ν+1 → Ν = 3, άρα το σηµείο Ρ είναι σηµείο της τέταρτης!!! υπερβολής
αποσβεστικής συµβολής δεξιά της µεσοκαθέτου του Π1Π2. (Ν= 0, 1, 2, 3).
γ) Το κύµα της Π2 για το Ρ δίνει y2=Αηµ2π(t/T- x2/λ) άρα y2=0,4ηµ2π(10t- 0,5/2) άρα
y2=0,4ηµ(20πt- 0,5π) για t ≥ 0,025 s.
Το κύµα της Π1 για το Ρ δίνει y1=Αηµ2π(t/T- x1/λ) άρα y1=0,4ηµ2π(10t- 7,5/2) άρα
y1=0,4ηµ(20πt- 7,5π) για t ≥ 0,375 s. Με τις εξής γραφικές παραστάσεις:
y2
(m)
0,375s
0,4
0
-0.4
0,025
y1
(m)
t (s)
0,4
0
t (s)
-0.4
0,375s
(Παρατηρείστε ότι σε χρόνο ∆t = 0,375-0,025 = 0,35s = 0,3+0,05=3T+T/2 το σηµείο Ρ έχει
εκτελέσει 3,5 ταλαντώσεις).
Παρατηρούµε ότι επιβεβαιώνεται η αρχή της επαλληλίας. Ειδικά µετά την t = 0,375s όταν
λόγου του κύµατος της Π1 το σηµείο Ρ είναι στη θέση +Α, λόγω του κύµατος της Π2 είναι στη
θέση -Α οπότε µετά την t = 0,375s , y1 = -y2 άρα y1+y2=0. Άρα αποσβεστική συµβολή.
www.ylikonet.gr
4
Υλικό Φυσικής-Χηµείας
3.
Κύµατα
Ίδια ενέργεια ταλάντωσης µε το Σ έχουν τα σηµεία του Π1Π2 που ταλαντώνονται µε πλάτος 2Α
αφού έχουν την ίδια µάζα µε το Σ. ∆ηλαδή ζητούνται τα σηµεία ενισχυτικής συµβολής. Για τα
σηµεία ενισχυτικής συµβολής του Π1Π2 έχω:
r1 – r2 = Νλ
r1 + r2 = d
2r1 = Nλ + d → 2r1 = N 2+8 → r1 = N+4 .
Όµως 0 <Ν+4<8
→ -4 < Ν < 4
άρα Ν= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
∆ηλαδή έχουµε 7 σηµεία ενισχυτικής συµβολής µεταξύ των Π1Π2 στις θέσεις:
Ν=-3
r1=1m
Ν=-2
r1=2m
Ν=-1,
r1=3m
Ν=0
r1=4m
Ν=1
r1=5m
Ν=2
r1=6m
Ν=3
r1=7m
Ίδια ενέργεια ταλάντωσης µε το Ρ έχουν τα σηµεία του Π1Π2 που ταλαντώνονται µε πλάτος 0
αφού έχουν την ίδια µάζα µε το Ρ. Για τα σηµεία αποσβεστικής συµβολής του Π1Π2 έχω:
r1 – r2 = (2Ν+1)λ/2
άρα 2r1 = (2N+1)λ/2 + d → r1 = (2Ν+1)/2+4.
r1 + r2 = d
Όµως
→
0 < (2Ν+1)/2+4 <8
-4 < (2Ν+1)/2 < 4
→
-8 < 2Ν+1 < 8 →
-9 < 2Ν < 7 →
-4,5 < Ν < 3,5
άρα Ν= -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 .
∆ηλαδή έχουµε 8 σηµεία αποσβεστικής συµβολής (µαζί µε το Ρ) µεταξύ των Π1Π2 στις θέσεις:
Ν=-4 r1=0,5m
Ν=-3 r1=1,5m
Ν=-2 r1=2,5m
Ν=-1 r1=3,5m
Ν=0 r1=4,5m
Ν=1 r1=5,5m
Ν=2 r1=6,5m
Ν=3 r1=7,5m (το Ρ)
Άρα άλλα 7 σηµεία µεταξύ των Π1Π2 έχουν ενέργεια ταλάντωσης ίση µε την ενέργεια
ταλάντωσης του σηµείου Ρ.
www.ylikonet.gr
5
Υλικό Φυσικής-Χηµείας
4.
Κύµατα
Εποµένως οι αντίστοιχες υπερβολές φαίνονται στο παρακάτω σχήµα:
Ν=0
Ν=-1
Ν=-2
Ν=1
Ν=2
Ν=-3
Ν=3
Π2
Π1
Ρ
Σ
Ν=3
Ν= -4
Ν = -3
Ν= -2
Ν= -1
απόσβεση
5.
Ν=0
Ν=2
Ν=1
και
ενίσχυση
Το σηµείο Λ που ανήκει στη 2η υπερβολή αποσβεστικής συµβολής αντιστοιχεί στο Ν=1
άρα x1- x2 = (2N+1)λ/2 → x1- x2 = (2+1)2/2 → x1- x2 = 3m.
6.
Βρήκαµε στο ερώτηµα 1γ ότι το σηµείο Σ ανήκει στην υπερβολή ενισχυτικής συµβολής µε
Ν= -2 εποµένως το σηµείο Κ αφού είναι στην 5η υπερβολή δεξιά του Σ θα έχει Ν=3 άρα:
d1- d2 = 3λ → d1- d2 = 6m (4).
Από την εκφώνηση για την ταλάντωση του Κ έχω: yΚ = 0,8ηµ(20πt-5π) (5) (S.I.)
όµως
yΚ = 2Ασυνπ
yΚ = -0,8ηµ (20πt- 2π
d1 − d 2
λ
ηµ2π(10t-
d1 + d 2
d + d2
) ή yΚ = 2Ασυν(3π)ηµ2π(10t- 1
)ή
2λ
2λ
d1 + d 2
d + d2
) ή yΚ = 0,8ηµ(20πt- π 1
+π) (6) οπότε συγκρίνοντας τις
2λ
λ
δύο σχέσεις (5) και (6) έχω: -π
d1 + d 2
λ
+π = -5π → π
d1 + d 2
λ
= 5π+π → d1+ d2 = 12 m (7).
Λύνοντας το σύστηµα των (4) και (7) έχω d1 = 9m και d2 = 3m.
Επιµέλεια
Μαρούσης Βαγγέλης
www.ylikonet.gr
6

Download Report