ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ www.askisopolis.gr Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης Μιχάλης Μιχαήλογλου Στέλιος Πανούσης Γιώργος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμπάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος Φανέλη Αναστασία Φερεντίνου Σταυρούλα www.askisopolis.gr ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 2ο 2_16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος που ορίσατε στο α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ α) Έστω το γραμμικό σύστημα 3 x  2 y  10 1 (1) (2) ( ) :   0x  0 y  6 . 3 x  2 y  4  2  Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο. β) Το σύστημα παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες. Άρα δεν υπάρχει σημείο τομής οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. 2_16954 Δίνεται η εξίσωση: 8x + 2y = 7 (1) α) Να γράψετε μια άλλη εξίσωση που να μην έχει καμία κοινή λύση με την εξίσωση (1). (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ α) Παίρνουμε την εξίσωση 8x+2y=25. Λύνουμε το γραμμικό σύστημα 8 x  2 y  7 1 (1)  (2) ( ) :   0 x  0 y  18 . Το σύστημα είναι αδύνατο. 8 x  2 y  25  2  Άρα η 8x+2y=25 δεν έχει καμιά κοινή λύση με την εξίσωση 8x+2y=7. 1 www.askisopolis.gr β) Το σύστημα είναι αδύνατο διότι παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες. Άρα δεν υπάρχει σημείο τομής οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. 2_ 16957 Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13) β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες 12) ΛΥΣΗ Έστω ότι η ηλικία του Μάρκου είναι: x και του Βασίλη είναι: y. Έχουμε ότι x+y=27 και x>y. α) Η εξίσωση x+y=27 είναι γραμμική εξίσωση α΄ βαθμού άρα έχει άπειρες λύσεις. Επομένως δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την ηλικία του καθενός. β) Μας δίνεται η πληροφορία ότι x-y=5. Λύνουμε το σύστημα λοιπόν  x  y  27 1 (1)  (2) ( ) :   2 x  32  x  16 .Επομένως (1)  y  27  16  11 . Άρα ο  x  y  5  2  Μάρκος είναι 16 χρονών και ο Βασίλης 11 χρονών. 2_ 16960 α) Με βάση τα δεδομένα του σχήματος, να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών (ε) και (η). (Μονάδες 12) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους. (Μονάδες 13) 2 www.askisopolis.gr ΛΥΣΗ α) Έστω y  λ1x  β1 η εξίσωση της (ε) Επειδή διέρχεται από τα σημεία  0,2  και  2,0  , ισχύει ότι:  β1  2  2  λ1  0  β1  2  β1  2  β1     , άρα ε: y   x 2  2 0  λ1  2  β1 0  2λ1  2  2λ1  2  λ1   2  1  O συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας η είναι ίσος με    45  1 Η ευθεία η έχει εξίσωση της μορφής y  x   ,   R . To σημείο (4,0) ανήκει στην (η) οπότε : 0  4      4 . Άρα η εξίσωση της ευθείας η είναι : y  x 4  x  y  2 1 (1)  (2)  2 x  6  x  3 . Άρα (1)  y  2  3  1 .  x  y  4  2  β) Λύνω το σύστημα () :  Άρα το σημείο τομής τους είναι το (3,-1). 2_17647 x  2 y  8 Δίνεται το σύστημα:  με παραμέτρους  ,  ,   .  ax   y   α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (2, -3). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο. (Μονάδες 12) ΛΥΣΗ α) Επειδή το ζεύγος  2, 3 είναι λύση του συστήματος επαληθεύει την εξίσωση αx  βy  γ , άρα 2α  3β  γ (1). Παρατηρούμε ότι τα α, β, γ μπορούν να είναι όλοι οι αριθμοί που επαληθεύουν τη σχέση (1). Για α  0 και β  1 είναι γ  2  0  3  1  3 , οπότε αυτές μπορούν να είναι τιμές των α,β,γ για τις οποίες το σύστημα έχει λύση το ζεύγος  2, 3 . β) Το σύστημα είναι αδύνατο όταν κατ’ αρχάς έχει D  0 . 1 2 D0  0  β  2α  0  β  2α α β  x  2y  8 Έστω α  1 , τότε β  2 και το σύστημα γίνεται:  .  x  2y  γ Είναι φανερό ότι το σύστημα είναι αδύνατο για κάθε γ  8 . 3 www.askisopolis.gr 2_17650 Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος x cm, πλάτος y cm, περίμετρο ίση με 38 cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά 2 cm και μειώσουμε το πλάτος του κατά 4 cm, θα προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x, y του ορθογωνίου. (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ α) Επειδή το αρχικό ορθογώνιο έχει περίμετρο 38 cm ισχύει ότι: y :2 2x  2y  38  x  y  19 (1) Το εμβαδόν του αρχικού ορθογωνίου είναι E1  x  y και το εμβαδόν του καινούργιου ορθογωνίου είναι: E 2   x  2  y  4   xy  4x  2y  8 Επειδή τα δύο ορθογώνια έχουν το ίδιο εμβαδό, ισχύει ότι: x y4 x2 :2 E1  E 2  xy  xy  4x  2y  8  4x  2y  8  2x  y  4 (2)  x  y  19 Το ζητούμενο σύστημα είναι το  .  2x  y  4 β) Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (1),(2) έχουμε: 3x  15  x  σχέση (1)  5  y  19  y  14 15  5 και από τη 3 2_17651 Στο δημοτικό parking μιας επαρχιακής πόλης στις 10 το πρωί, το σύνολο των δίκυκλων και τετράτροχων οχημάτων που έχουν παρκάρει είναι 830 και το πλήθος των τροχών τους 2700. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων. (Μονάδες 12) ΛΥΣΗ α) Έστω x τα δίκυκλα και y τα τετράτροχα οχήματα που βρίσκονται στο δημοτικό parking εκείνη την ώρα. Επειδή το σύνολο των οχημάτων που έχουν παρκάρει εκείνη την ώρα στο δημοτικό parking είναι 830, ισχύει ότι: x  y  830 . Οι τροχοί των δίτροχων είναι συνολικά 2x και των τετράτροχων είναι 4y , οπότε αφού το :2 σύνολο των τροχών είναι 2.700, ισχύει ότι: 2x  4y  2.700  x  2y  1.350 .  x  y  830 Το ζητούμενο σύστημα είναι το  x  2y  1.350 4 www.askisopolis.gr x  830  y  x  y  830   x  830  y β)     x  2y  1.350 830  y  2y  1.350 y  1.350  830  x  830  520 x  310    y  520  y  520 Τα δίτροχα είναι 310 και τα τετράτροχα 520 2_17683 (  1)  x  2 y  3 Δίνεται το σύστημα :  , με παράμετρο   . 4 x  (  1) y  6 α) Αν λ = -3, να δείξετε ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Να βρείτε μια λύση. (Μονάδες 8) β) Αν λ = 3, να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 8) γ) Αν λ = 0, να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 9) ΛΥΣΗ (  1) x  2 y  3 α) Για λ=-3 το σύστημα  4 x  (  1) y  6 2 x  2 y  3 2 x  2 y  3 γίνεται:    2 x  2 y  3 . (:  2)  4 x  4 y  6   2 x  2 y  3 Οπότε αν x=κ με κℝ ,τότε 3  Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x, y)    ,    ,   και μία λύση 2   3 του π.χ. για κ=0 είναι ( x, y )   0,   2 4 x  2 y  3 ( ) (  1) x  2 y  3  0 x  0  y  9 άρα το β) Για λ=3 το σύστημα  γίνεται:   4 x  2 y  6 4 x  (  1) y  6 σύστημα είναι αδύνατο. (  1) x  2 y  3 γ) Για λ=0 το σύστημα  γίνεται: 4 x  (  1) y  6  x  2 y  3 (1) (1) 2(2)  x  2 y  3 1  2 y  3 2 y  4 y  2       4 x  y  6(2) 9 x  9  x  1  x  1  x  1 Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση ( x, y )   1, 2  . 5 www.askisopolis.gr 2_17703 Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις: 1  : 2 x  y  1  2  :   1 x  y  6 , με παράμετρο   R α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ευθείες ε1 και ε2 να είναι παράλληλες. (Μονάδες 8) β) Να παραστήσετε γραφικά τις ε1 και ε2, για λ= 3. (Μονάδες 8) γ) Υπάρχει τιμή του   R , ώστε οι ευθείες ε1 και ε2 να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) α) 1  : 2 x  y  1  y  2 x  1 ΛΥΣΗ  2  :   1 x  y  6  y     1 x  6 α τρόπος Για να είναι οι ευθείες ε1 και ε2 παράλληλες θα πρέπει  να έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή   1  2    3 και  διαφορετικά σημεία τομής με τον άξονα y΄y (διαφορετικά β) το οποίο ισχύει 1  6 β τρόπος  2 x  y  1 Για να είναι οι ευθείες ε1 και ε2 παράλληλες θα πρέπει το σύστημα:  να    1 x  y  6 είναι αδύνατο : 2 1  D0  0  2    1  0    3  0    3 και   1 1  όταν αντικαταστήσουμε το λ=3 να προκύψουν διαφορετικές εξισώσεις ευθειών Για η εξίσωση της (ε2) γίνεται y  2 x  6 . Επομένως η ζητούμενη τιμή είναι λ=3 6 www.askisopolis.gr β) Για   3 έχουμε: 1  : y  2 x  1 και   2  : y  2 x  6 Σχηματίζουμε για την καθεμία ευθεία ξεχωριστά τον πίνακα τιμών της y 0 1 0 1 1 3 -6 -4 Με βάση τους πίνακες αυτούς προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των δύο ευθειών. γ) Για να ταυτίζονται οι δύο ευθείες πρέπει το σύστημα να έχει άπειρο πλήθος λύσεων,δηλαδή :  D  0    3 και  όταν αντικαταστήσουμε το λ=3 να προκύψει η ίδια εξίσωση Για η εξίσωση της (ε2) γίνεται y  2 x  6 . Άρα δεν υπάρχει   R ώστε οι ευθείες και να ταυτίζονται. 2_17709 Δίνονται οι ευθείες ε1 : 2x + y = 5 , ε2: -2x + 3y = −9 και ε3 : 3x + 2y = 7 . α) i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε1 και ε2. ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε1 και ε3. (Μονάδες 12) β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α), να δείξετε ότι το κοινό σημείο των ε2 και ε3 είναι σημείο της ε1 . (Μονάδες 13) ΛΥΣΗ α)  2x  y  5  Δίνεται το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών:  2 x  3 y  9  3x  2 y  7  i. Για τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε1 και ε2 πρέπει να λύσουμε το 2x  y  5   προσθέτω κατά μέλη και έχω 4 y  4  y  1 άρα η  2 x  3 y  9 2 x  y  5 γίνεται 2 x  1  5  2 x  6  x  3 Οπότε το σημείο τομής των ευθειών ε1 και ε2 είναι Α 3,1 σύστημα: ii. Για τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε1 και ε3 πρέπει να λύσουμε το σύστημα: 2x  y  5  y  5  2x y  5  2x  y  5  2x       3x  2 y  7 3 x  2(5  2 x)  7  3 x  10  4 x  7  3 x  4 x  7  10  7 www.askisopolis.gr y  5  2 x y  5  2 x y  1 y  5  2  3      x  3  x3  x3 x3  Οπότε το σημείο τομής των ευθειών ε1 και ε3 είναι Α 3,1 β) Παρατηρούμε ότι οι ευθείες ε2 , ε3 και ε1 τέμνονται στο σημείο Α 3,1 άρα και οι ευθείες ε2 και ε3 τέμνονται στο Α 3,1 αφού οι συντεταγμένες του σημείου Α επαληθεύουν τις εξισώσεις των ευθειών αυτών. 2_17717 Ένα θέατρο έχει 25 σειρές καθισμάτων χωρισμένες σε δύο διαζώματα. Η κάθε μια από τις σειρές του κάτω διαζώματος έχει 14 καθίσματα και η κάθε μια από τις σειρές του πάνω διαζώματος έχει 16 καθίσματα, ενώ η συνολική χωρητικότητα του θεάτρου είναι 374 καθίσματα. α) Αν x ο αριθμός σειρών του κάτω και y o αριθμός σειρών του πάνω διαζώματος, να εκφράσετε τα δεδομένα του προβλήματος με ένα σύστημα δύο εξισώσεων. (Μονάδες 12) β) Πόσες σειρές έχει το πάνω και πόσες το κάτω διάζωμα; (Μονάδες 13) ΛΥΣΗ α)Έστω x οι σειρές του κάτω διαζώματος και y οι σειρές του πάνω διαζώματος. Επειδή το σύνολο των σειρών είναι 25 θα έχουμε την εξίσωση x  y  25 Κάθε σειρά του κάτω διαζώματος έχει 14 καθίσματα και κάθε σειρά του πάνω διαζώματος έχει 16 καθίσματα. Αφού το σύνολο των καθισμάτων είναι 374 θα έχουμε την εξίσωση: 14 x  16 y  374 . Άρα θα πρέπει να λύσουμε το σύστημα: x  y  25   14 x  16 y  374  β) Πρέπει να λύσουμε το σύστημα: x  y  25 y  25  x y  25  x       14 x  16 y  374  14 x  16(25  x)  374  14 x  400  16 x  374  y  25  x  y  25  x  y  25  13 y  12       2 x  26  x  13  x  13  x  13  Άρα οι σειρές που έχει το πάνω διάζωμα είναι 12 και οι σειρές που έχει το κάτω διάζωμα είναι 13. 8 www.askisopolis.gr 2_17734 Δίνονται οι ευθείες: ε1: 2x + y = 6 και ε2: x - 2y = -3 α) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο Μ. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, η ευθεία 3x + αy = α + 5 διέρχεται από το Μ. (Μονάδες 12) ΛΥΣΗ α)Για να προσδιορίσω το σημείο τομής των ευθειών αρκεί να λύσω το σύστημα των εξισώσεων τους: 2 x  y  6   y  6  2 x   y  6  2x   y  6  2x        x  2 y  3  x  2(6  2 x)  3  x  12  4 x  3  x  4 x  12  3 9 18  12     y  6  2  y 6  y   y  6  2x     y  6  2x      5 5 5 9       5 x  9 9 9 9 x            x  x  x  5  5 5 5        9 12  Άρα το σημείο τομής των δυο ευθειών είναι Μ  ,  5 5  β) Το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ε : 3x + αy = α + 5 αφού η ευθεία διέρχεται από αυτό. Άρα οι συντεταγμένες του σημείου θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. ( 5) 9 a  12 2 3   a  5  27  12a  5a  25  7 a  2  a   5 5 7 2.18637.  x  2y  9 με παραμέτρους α, β, γ  .  x   y   Δίνεται το σύστημα:  α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1, -4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας. (Μονάδες 12) ΛΥΣΗ α) . Για να έχει μοναδική λύση το σύστημα την (1,-4) πρέπει D  0 δηλαδή 1 2  0 άρα   2  0    2 . a  Για να έχει λύση το ζεύγος (1,-4) πρέπει οι συντεταγμένες του ζεύγους να επαληθεύουν το σύστημα δηλαδή πρέπει:  1  2( 4)  9   1 8  9   99     .  1    (4)      4      4    Για α=-1 και β=3 και γ= -13 το σύστημα θα γίνεται: 9 www.askisopolis.gr  x  2y  9     προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε y  4 θα είναι και   x  3y  13 x  2(4)  9 δηλαδή x  8  9 . Άρα x=1 Επομένως έχει μοναδική λύση την (x,y)=(1,4) β)Για να είναι το σύστημα αδύνατο ή αόριστο πρέπει D  0    2  0    2 . x  2 y  9 Για α=1,β=-2 και γ=20 έχουμε το σύστημα  που είναι αδύνατο.  x  2 y  20 2_18638 2 x  y  3  Δίνεται το σύστημα:   με παραμέτρους α, β,γ    ax   y    α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (-1, 5). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει άπειρες λύσεις και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας. (Μονάδες 12) ΛΥΣΗ α) Έχουμε το σύστημα το οποίο για να έχει μοναδική λύση πρέπει 2 1  0  2    0    2 . a  Για να έχει λύση το ζεύγος (-1,5) πρέπει οι συντεταγμένες του ζεύγους να επαληθεύουν το σύστημα δηλαδή πρέπει: 2  (1)  5  3  2  5  3   3  3      a  (1)    5    a  5    a  5    Για α=1 και για β=1 και γ=4 έχουμε το σύστημα : 2 x  y  3 (1)   x  1   x  1  (1) (2)  x  1                 x  y  4 (2)  x  y  4  1  y  4   y 5  D0 10 www.askisopolis.gr β) Για να αδύνατο ή να έχει άπειρες λύσεις πρέπει : 2 1 D0  0  2    0    2 a  2 x  y  3  Για β=1 και α=2 έχουμε το σύστημα :   2 x  y    2 x  y  3 για γ=3 προκύπτει το σύστημα    2x  y  3 2 x  y  3 το οποίο έχει άπειρες λύσεις.Άρα για α=2, β=1 και γ=3 το σύστημα που προκύπτει έχει άπειρες λύσεις. Η γραφική παράσταση του συστήματος είναι δύο ευθείες που ταυτίζονται ( ε1: 2x+y=3) 2_20328  x  y  2 Δίνεται το σύστημα :  , με παράμετρο   .  x   y    1 α) Να αποδείξετε ότι για τις ορίζουσες D , Dx ,Dy του συστήματος ισχύουν D   (  1) , Dx    1 και Dy   (  1) (Μονάδες 15) β) Αν είναι   0 και   1 , τότε να λύσετε το σύστημα. (Μονάδες 10) ΛΥΣΗ α) D   1   2     (  1)   Dx  2 1  1   2  (  1)  2    1    1  2   (  1)  2   2    2   2     (  1)   1 β) Για   0 και   1 η ορίζουσα D  0 οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση : Dy  (  1) D  1 1  1 x x   , y D D  (  1)   (  1) Dy  11 www.askisopolis.gr ΘΕΜΑ 4ο 4_17834 Για τις ηλικίες των μελών μιας τριμελούς οικογένειας ισχύουν τα παρακάτω: Η ηλικία της μητέρας είναι τριπλάσια από την ηλικία του παιδιού. Ο λόγος της ηλικίας το πατέρα προς την ηλικία του παιδιού ισούται με 11 . Επιπλέον το άθροισμα των ηλικιών και 3 των τριών ισούται με 115 χρόνια. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες 12) ΛΥΣΗ α) Έστω x(>0) η ηλικία μητέρας , y(>0) η ηλικία του παιδιού και z (>0) : η ηλικία του πατέρα. Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε : x  3y , z 11   3 z  11 y και x  y  z  115 y 3 x  3y    Άρα έχουμε το σύστημα () : 11 y  3 z   x  y  z  115    (1)  x  3y x  3y    11     (2)  β) ( ) : 11 y  3 z   z  y 3  x  y  z  115      x  y  z  115 (3)  (1),(2) 11 y  115  9 y  3 y  11y  345  23 y  345  y  15 3 11 5 (1)  x  3 15  45 (2)  z   15  55 3 (3)  3 y  y  Άρα η μητέρα είναι 45 χρονών, το παιδί 15 και ο πατέρας 55. 4_17835 Δίνονται οι ευθείες  1 και  2 με εξισώσεις x  (  2) y  3 , (  2) x  5 y  3 αντίστοιχα και   . α) Για τις διάφορες τιμές του   , να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών. (Μονάδες 13) β) Στην περίπτωση που οι ευθείες  1 και  2 τέμνονται, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής  των δύο ευθειών. (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε την τιμή του   για την οποία το σημείο  ανήκει στην ευθεία με εξίσωση: x  2 y  3 . (Μονάδες 5) 12 www.askisopolis.gr ΛΥΣΗ  x   λ  2  y  3 α) Θεωρούμε το σύστημα των δύο εξισώσεων των δύο ευθειών:   λ  2  x  5y  3 Η ορίζουσα του συστήματος, είναι: 1 λ2 D  5   λ  2  λ  2   5   λ2  4   5  λ2  4  9  λ2   3  λ  3  λ  , λ2 5 Αν D  0   3  λ  3  λ   0   3  λ  0  λ  3 και  3  λ  0  λ  3 , το σύστημα έχει μοναδική λύση οπότε οι δύο ευθείες τέμνονται. Αν D  0  λ  3 ή λ  3 , έχουμε:  x  5y  3  x  5y  3 . Για λ  3 το σύστημα γίνεται:   x  5y  3 Στη περίπτωση αυτή οι δύο ευθείες ταυτίζονται με την x  5y  3 .  xy3  xy3   Για λ  3 το σύστημα γίνεται:  3 , οπότε το σύστημα είναι  5x  5y  3  x  y   5  αδύνατο και οι δύο ευθείες είναι παράλληλες. β) Η μοναδική λύση του συστήματος είναι: x  y Dy D  3 3  λ  3  λ  3  λ   3 3  λ  Dx 3 και   D 3  λ  3  λ  3  λ 3  3  3 , , δηλαδή το σημείο τομής τους είναι το A  . 3 λ 3 λ 3 λ  γ) Όταν το Α ανήκει στην ευθεία με εξίσωση x  2y  3 , την επαληθεύει, δηλαδή:  3 λ  3 3 2  3  3  6  3  3  λ   9  9  3λ  3λ  0  λ  0 3 λ 3 λ 4_17839 (α  1)x  3y  3 , με παράμετρο   .  x  (α  1)y  3 Δίνεται το σύστημα:  α) Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα έχει μοναδική λύση την ( x0 , y0 ) , τότε x0  y0 . (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τις τιμές του   για τις οποίες το σύστημα: i. έχει άπειρες σε πλήθος λύσεις και να δώσετε τη μορφή τους. (Μονάδες 6) ii. δεν έχει λύση. (Μονάδες 4) γ) Να εξετάσετε τις σχετικές θέσεις των δύο ευθειών που προκύπτουν από τις εξισώσεις του παραπάνω συστήματος για α = 3 , α = 2 , α = -2. (Μονάδες 5) 13 www.askisopolis.gr ΛΥΣΗ α) Έχουμε ότι :  1 3 D  2  1  3  2  4 , 1  1 Dx  Dy  3 3 3  1  1 3 1 3  3  3  9  3  6  3(  2)  3  3  3  3  6  3(  2) Επειδή το σύστημα έχει μοναδική λύση τότε D  0   2  4  0    2 και Dx Dy 3(  2) 3 3(  2) 3   , yo  .Άρα : x0  y0 xo  0   D (  2)  (  2)   2 D (  2)  (  2)   2 β) Για να είναι αδύνατο ή να έχει έχει άπειρες λύσεις το σύστημα πρέπει : D  0  a 2  4  0  a  2  x  3 y  3  i) Για α=2 έχουμε το σύστημα    x  3y  3  x  3  3y x  3 y  3    Άρα το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων τα ζεύγη της μορφής (3  3 ,3),   R  (:3)  x  y  1  3x  3 y  3 ii) Για α=-2 έχουμε το σύστημα    ,το οποίο είναι αδύνατο  x y 3   x  y  3   γ)  Για α=3 : D  5  0 οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση και οι ευθείες τέμνονται 3 στο σημείο Μ με συντεταγμένες xo=yo= 5  Για α=2 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και οι ευθείες ταυτίζονται  Για α=-2 το σύστημα είναι αδύνατο και οι ευθείες είναι παράλληλες 4_20336. 2x  4y  1  λ Δίνεται το σύστημα:  , λ .  x  6y  λ  2 α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τα x και y συναρτήσει του λ. (Μονάδες 8) γ) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, για την οποία οι ευθείες: 2x  4y  1  λ , x  6y  λ  2 και 16x  16y  19 διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Μονάδες 10) ΛΥΣΗ α) Η ορίζουσα του συστήματος είναι: D  2 4 1 6  2  6  1   4   12  4  16  0 , άρα το σύστημα έχει λύση για κάθε λ  . 14 www.askisopolis.gr β) Είναι Dx  Dy  1 λ 4 λ2 6 2 1 λ 1 λ2  6 1  λ   4  λ  2   6  6λ  4λ  8  14  2λ ,  2  λ  2   1  λ   2λ  4  1  λ  3λ  3 . D D x 14  2λ 3λ  3  και y  y  . D 16 D 16  14  2λ 3λ  3  , Λύση του συστήματος είναι το ζεύγος  x 0 , y 0    . 16   16 Η μοναδική λύση του συστήματος είναι x  γ) Για να διέρχονται και οι τρεις ευθείες από το ίδιο σημείο αρκεί η ευθεία 16x  16y  19 να διέρχεται από το σημείο τομής των δύο άλλων ευθειών, άρα αρκεί το σημείο  14  2λ 3λ  3  ,   , να επαληθεύει την 16x  16y  19 . Είναι: 16   16 14  2λ 3λ  3 16  16  19  14  2λ  3λ  3  19  λ  17  19  λ  2 16 16 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 2ο 2_17659  y  x2  1  α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα:    x  y  1 (Μονάδες 15) β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος που βρήκατε στο ερώτημα α). (Μονάδες 10) ΛΥΣΗ   y  x 1   y  x2  1  y  x 1    α)       2 x  (1  x )  0 x  x  1   1    x  y  1     2 2   y  x 2  1  y  1     y  x 2  1  y  2       ή      x  0    1  x  0   x  1     x  0 Επομένως οι λύσεις του συστήματος είναι οι (x,y)=(1,2) ή (x,y)=(0,1) β) Οι λύσεις του συστήματος είναι τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων της παραβολής y  x 2  1 με την ευθεία x  y  1 . 15 www.askisopolis.gr ΘΕΜΑ 4ο 4_17850 Ο Κώστας έχει τρία παιδιά. Δύο δίδυμα κορίτσια και ένα αγόρι. Στην ερώτηση πόσων χρονών είναι τα παιδιά του απάντησε ως εξής. 1. Το άθροισμα των ηλικιών και των τριών παιδιών είναι 14 2. Το γινόμενο της ηλικίας της κόρης μου επί την ηλικία του γιου μου είναι 24 3. Το άθροισμα των ηλικιών των κοριτσιών είναι μικρότερο από την ηλικία του αγοριού. α) Να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν τα στοιχεία 1. και 2. που έδωσε ο Κώστας. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τις ηλικίες των παιδιών του Κώστα. (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ α) Έστω x (>0) χρονών είναι η ηλικία κάθε κοριτσιού και y (>0) του αγοριού Τότε από 1 : x  x  y  14 και από 2 : x  y  24 β) Λύνουμε το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων  y  14  2 x  y  14  2 x  y  14  2 x 2 x  y  14      2 2   x  y  24  2 x  14 x  24  0 14 x  2 x  24  x  14  2 x   24 Η εξίσωση 2x2  14x  24  0 έχει διακρίνουσα   196  192  4 και ρίζες 14  2  x1  3 και x2  4 x1,2  4 Επομένως: για x  3 έχουμε y  14  2  3  y  8 και για x  4 έχουμε y  14  2  4  y  6 . Όμως από 3. πρέπει 2x  y που ισχύει όταν x  3 και y  8 Επομένως τα κορίτσια είναι 3 χρονών και το αγόρι 8 χρονών. 4_20337. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περίμετρο ίση με 24cm έχει την ακόλουθη ιδιότητα: αν αυξήσουμε το μήκος του κατά 3cm και ελαττώσουμε το πλάτος του κατά 2cm, θα προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν διπλάσιο του εμβαδού του αρχικού ορθογωνίου. α) Να εκφράσετε την παραπάνω κατάσταση με ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου. (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ α) Έστω x cm το μήκος και y cm το πλάτος του ορθογωνίου με x, y  0 . Επειδή το :2 ορθογώνιο έχει περίμετρο 24 cm, ισχύει ότι: 2x  2y  24  x  y  12 (1). Το εμβαδόν του ορθογωνίου αυτού είναι 1  xycm2 Το νέο ορθογώνιο έχει μήκος  x  3 cm , πλάτος  y  2  cm , περίμετρο και εμβαδό E 2   x  3 y  2  . 2  x  3  2  y  2   2x  6  2y  4  2x  2y  2 Επειδή το νέο ορθογώνιο έχει εμβαδό διπλάσιο του εμβαδού του αρχικού ορθογωνίου, 16 www.askisopolis.gr ισχύει ότι: E 2  2E1   x  3 y  2   2xy  xy  2x  3y  6  2xy  2xy  xy  2x  3y  6  0  xy  2x  3y  6  0 (2). x  y  12  Οι εξισώσεις (1),(2) δημιουργούν το σύστημα:  που εκφράζει τα  xy  2x  3y  6  0 δεδομένα του προβλήματος. y  12  x x  y  12   β)     xy  2x  3y  6  0  x 12  x   2x  3 12  x   6  0  y  12  x y  12  x y  12  x 1    2  2  2 12x  x  2x  36  3x  6  0  x  17x  30  0  x  17x  30  0  2  Η (2) είναι εξίσωση 2ου βαθμού με    17   4  1  30  289  120  169  132 και ρίζες 2 17  13  x  15 ή x  2 . 2 Αν x  15 τότε από την (1) έχουμε y  12  15  3  0 που είναι αδύνατο και αν x  2 τότε από την (1) έχουμε y  12  2  10 . Άρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 2 cm και 10 cm. x1,2  17 www.askisopolis.gr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ 2ο 2_16962 Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f :  διέρχεται από τα σημεία (5, 2) και (4,9) . α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 12) β) Να λύσετε την ανίσωση f (5  3x)  2 . (Μονάδες 13) ΛΥΣΗ α) Επειδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α και Β ισχύει ότι: f  5   2 και f  4   9 . Είναι 5  4 και f  5   f  4  και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη, είναι γνησίως φθίνουσα. f2 β) f  5  3x   2  f  5  3x   f  5   5  3x  5  3x  0  x  0 2_17688 Δίνεται η συνάρτηση f ( x )  α) Να δείξετε ότι f ( x)  1 2x ,x x 1 2 (Μονάδες 8) β) Είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 8) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια η περιττή (Μονάδες 9) ΛΥΣΗ α) f ( x)  1  x 2 1 0 2x  1  2 x  x 2  1  0  x 2  2 x  1  0  ( x  1) 2 που ισχύει για κάθε x 1 2 x β) Nαι διότι παρατηρούμε ότι για x  1 έχουμε f (1)  1 . Aρα από το ερώτημα α έχουμε f ( x)  1  f ( x)  f (1) για κάθε x  επομένως το f (1)  1 είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης. γ) Για κάθε x  R,  x  R .Επίσης για κάθε  x  ισχύει 2( x) 2 x 2x f ( x)   2  2   f ( x) . Άρα η συνάρτηση είναι περιττή. 2 ( x)  1 x  1 x 1 18 www.askisopolis.gr 2_17698 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το ℝ . Nα απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα: α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς f ( x1 ), f ( x2 ) και f ( x3 ) (Μονάδες 10) β) Είναι η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο ℝ ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 10) γ) Παρουσιάζει η f μέγιστο στο σημείο x2; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 5) Λύση α) Από τη γραφική παράσταση, αν προβάλλουμε στον y΄y άξονα τα σημεία με τετμημένες x1 , x2 , x3 συμπεραίνουμε ότι f  x1   f  x3   f  x2  β) Η συνάρτηση f δεν είναι ούτε γνησίως αύξουσα ούτε γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της, άρα δεν είναι γνησίως μονότονη. Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι είναι γνησίως μονότονη κατά διαστήματα. Πιο αναλυτικά: Αν ήταν γνησίως αύξουσα, τότε για x1  x2  x3 θα ίσχυε f  x1   f  x2   f  x3  ενώ αν ήταν γνησίως φθίνουσα, τότε για x1  x2  x3 θα ίσχυε f  x1   f  x2   f  x3  Όμως από το ερώτημα έχουμε ότι f  x1   f  x3   f  x2  Άρα η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη. γ) Η γραφική παράσταση δεν παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο σημείο x 2 γιατί δεν ισχύει ότι f  x   f  x2  , για κάθε x  . (όπως φαίνεται από το σχήμα f ( x4 )  f ( x2 ) ) 19 www.askisopolis.gr 2_17732 Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f:    , η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β (4,5) . α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f . (Μονάδες 13) β) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο -2, να δείξετε ότι f (0)  0 . (Μονάδες 12) Λύση α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το Α(2,3) αυτό σημαίνει ότι f (2)  3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το Β(4,5) αυτό σημαίνει ότι f (4)  5 . Παρατηρούμε ότι για 2<4, ισχύει f (2)  f (4) και αφού η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα. β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα x΄x στο -2 δηλαδή ισχύει ότι f (2)  0 . Επειδή -2<0 και αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα θα είναι f (2)  f (0) δηλαδή 0  f (0) ΘΕΜΑ 4ο ΘΕΜΑ 4 _17833 Δίνεται η συνάρτηση f (x)  8  x  8  x . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . (Μονάδες 5) β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή. (Μονάδες 8) γ) Αν η συνάρτησης f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, να επιλέξετε ποια από τις παρακάτω τρείς προτεινόμενες, είναι η γραφική της παράσταση και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. (Μονάδες 7) δ) Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις g(x) = f (x) − 3 και h(x) = f (x + 3) δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές . (Μονάδες 5) ΛΥΣΗ: α)Πρέπει 8  x  0  x  8 και 8  x  0  x  8 . Άρα : A f   8,8 20 www.askisopolis.gr β) Για κάθε x   f ,  x   f .Επίσης και για κάθε  x   f έχουμε : f (  x )  8  (  x)  8  (  x)  8  x  8  x     8  x  8  x)   f ( x). Άρα η f είναι περιττή. γ) Η γραφική παράσταση που αντιστοιχεί η f είναι η ΙΙΙ. f  8   8  (8)  8  (8)  16  0  4 και f  8   8  8  8  8  0  16  4 f(-8)=4 και f(8)=-4. Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε το f(-8) είναι ολικό μέγιστο και το f(8) ολικό ελάχιστο. δ) αλγεβρικά:  g ( x)  f ( x)  3  g(x)  8  x  8  x  3 με  f  [8,8] Για κάθε x  Ag ,  x  Ag Για κάθε  x  Ag έχουμε g ( x)  8  x  8  x  3 Επομένως g ( x)   g ( x),g(x) και η g δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή  h( x )  f ( x  3)  h( x)  8  ( x  3)  8  ( x  3)  h( x)  5  x  11  x h  [11,5] . Το 11 Ah , 11 Ah Άρα η h δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή γραφικά: Οι συναρτήσεις g και h δεν έχουν άξονα συμμετρίας ούτε τον y΄y ούτε την αρχή των αξόνων, άρα δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές. 4_20332 Δίνονται οι συναρτήσεις  ( x)   x 2 , x  και f ( x)   x2  2 x  1 , x  α) Να αποδείξετε ότι f ( x)  ( x  1)2  2 , x  για κάθε x  και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f . (Μονάδες 10) β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της f να βρείτε: i. Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη. ii. Το ολικό ακρότατο της f καθώς και τη θέση του. (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) 21 www.askisopolis.gr iii. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f ( x)   ,   2 . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5) ΛΥΣΗ α) f ( x)   x2  2 x  1  (x 2  2 x)  1  (x 2  2 x  1)  1  1  (x  1) 2  2 H γραφική παράσταση της f προκύπτει από τη γραφική παράσταση της φ με δύο μετατοπίσεις μία οριζόντια κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και μία κατακόρυφη κατά 2 μονάδες προς τα πάνω β) i. Είναι γνησίως αύξουσα στο (  ,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,  ) ii. Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 1 (θέση) το f(1)=2 iii. Οποιαδήποτε ευθεία της μορφής y=k ,k<2 τέμνει την γραφική παράσταση της f σε 2 σημεία άρα έχει δύο ρίζες. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΘΕΜΑ 2ο 2_16965 Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  x2  4 x  5 , x  R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f ( x)  ( x  2)2  1 . (Μονάδες 12) β) Στο διπλανό σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f, μετατοπίζοντας κατάλληλα την y  x 2 (Μονάδες 13) α) f  x   x  4x  5  x 2 2 ΛΥΣΗ: 2  4x  4  1   x  2   1 β) Αρχικά μετατοπίζουμε την y  x 2 2 θέσεις δεξιά και στη συνέχεια 1 θέση πάνω. 22 www.askisopolis.gr 2_18632 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι παραβολές Cf και Cg που είναι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα με πεδίο ορισμού το ℝ. Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση. Παρατηρώντας το σχήμα: α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της f και την τιμή του. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε μέσω ποιων μετατοπίσεων της Cf προκύπτει η Cg. (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ: α) Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( , 2] και γνησίως αύξουσα στο [ 2,  ) και η f στο x0  2 παρουσιάζει ελάχιστο με τιμή f min  f (2)  3 β) γραφική παράσταση της g προκύπτει με κατακόρυφη μετατόπιση κατά 4 μονάδες προς τα κάτω και οριζόντια μετατόπιση 4 μονάδες προς τα δεξιά δηλ g ( x)  f ( x  4)  4 2_18634 Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  2 x2  12 x  19 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη μορφή: f ( x)  2( x  3)2  1 f ( x)  2( x  3) 2  1 (Μονάδες 10) β) Δίπλα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( x)  2 x 2 .Στο ίδιο σύστημα αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πώς αυτή προκύπτει μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της g. (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ: 19 19 α) f ( x )  2 x 2  12 x  19  2( x 2  6 x  )  2( x 2  6 x  9  9  )  2 2 18 19  2  2  x  3     2 2  1 2  2  x  3    2( x  3) 2  1 2  Άρα f ( x)  2( x  3)2  1 23 www.askisopolis.gr β) Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από τη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά (οριζόντια μετατόπιση) και κατά 1 μονάδα προς τα πάνω ( κατακόρυφη μετατόπιση) 2_19914 Δίνεται η συνάρτηση f  x   x 2  5, x  α) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x =0 . β) Είναι η f άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 2 γ) Με ποια μετατόπιση της g  x   x προκύπτει η Cf ; α) Είναι x  0  x  5  5 (1), όμως η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x = 0 . 2 2 (Μονάδες 8) (Μονάδες 8) (Μονάδες 9) ΛΥΣΗ: f  0   5 , άρα η (1) γίνεται: f  x   f  0  , οπότε β) Επειδή το πεδίο ορισμού της f είναι το , ισχύει ότι: για κάθε x  2 Είναι f   x     x   5  x 2  5  f  x  άρα η f είναι άρτια. και x  . γ) Η C f προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά 5 θέσεις προς τα κάτω. 2_20329 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g, που ορίζονται στους πραγματικούς αριθμούς. Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση. Από τις γραφικές παραστάσεις να βρείτε: α) Τα διαστήματα μονοτονίας της f, το είδος του ακρότατου της f , τη θέση και την τιμή του. (Μονάδες 12) β) Ποιες μετατοπίσεις της f δίνουν τη g. Να προσδιορίσετε στη συνέχεια τον τύπο της συνάρτησης g, αν f ( x ) | x  2 | . (Μονάδες 13) 24 www.askisopolis.gr ΛΥΣΗ α) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( , 2] και γνησίως αύξουσα στο [ 2,  ) . Παρουσιάζει ελάχιστο στο -2 το f (2)  0 β) Η συνάρτηση g προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση κατά 5 μονάδες δεξιά και 2 μονάδες κάτω αντίστοιχα. Επομένως ο τύπος της συνάρτησης g είναι : g ( x)  f ( x  5)  2 | x  2  5 | 2 | x  3 | 2 ΘΕΜΑ 4ο 4_17842 1 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x )  ( x  c ) 2  d , x  2 με c, d θετικές σταθερές, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία A(0, 16) και B(4, 0). α) Με βάση τα δεδομένα, να κατασκευάσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους τους c, d και να υπολογίσετε την τιμή τους. (Μονάδες 10) β) Θεωρώντας γνωστό ότι c = 6 και d = 2, i. να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες. (Μονάδες 3) ii. να μεταφέρετε στην κόλα σας το σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πώς αυτή 1 σχετίζεται με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( x )  x 2 2 (Μονάδες 6) iii. με βάση την παραπάνω γραφική παράσταση, να βρείτε το ακρότατο της συνάρτησης f, τα διαστήματα στα οποία η f είναι μονότονη, καθώς και το είδος της μονοτονίας της σε καθένα από αυτά τα διαστήματα (Μονάδες 6) 25 www.askisopolis.gr ΛΥΣΗ α) Aφού η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α και Β θα έχουμε ότι 1 2  2 c  d  16 (1)  f (0)  16 . Aρα δημιουργούμε το σύστημα  , όπου με αφαίρεση   f (4)  0  1  4  c  2  d  0 (2)  2 κατά μέλη των εξισώσεων (1) και (2) παίρνουμε την εξίσωση 1 2 1 2 2 c   4  c   16  c 2   4  c   32  c 2  16  8c  c 2  32  8c  48  c  6 . 2 2 1 2 Aντικαθιστώντας στην σχέση (2) παίρνουμε  4  6   d  0  d  2 2 1 β) Για c  6, d  2 η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f ( x )  ( x  6) 2  2, x  2 i) Το σημείο τομής με τον άξονα y y είναι το A(0, 16) Για το σημείο τομής με τον άξονα xx λύνουμε την εξίσωση x  6  2  x  8 1 2 . f ( x)  0  ( x  6)2  2  0   x  6   4  x  6  2   2  x  6  2  x  4 Άρα βρήκαμε δυο σημεία του xx τα B(4, 0) , Γ(8,0) ii) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f παρατηρούμε ότι σε σχέση με τη συνάρτηση g είναι μετατοπισμένη κατά 6 μονάδες δεξιά στον άξονα xx και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω στον άξονα y y . iii) Από το γράφημα του ερωτήματος ii) παρατηρούμε ότι στο διάστημα  ,6 η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα ενώ στο διάστημα 6,   η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Το σημείο Δ είναι το ακρότατο της συνάρτησης στη θέση x  6 με τιμή f (6)  2 το όποιο είναι το ολικό ελάχιστο της f. 26 www.askisopolis.gr 4_20334 Στο σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας παραβολής f ( x)  ax2   x   και της ευθείας g ( x)   x  2 α) Δεδομένου ότι η παραβολή διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ, να βρείτε τα α, β, γ. (Μονάδες 8) 1 β) Αν a  ,β=0 και γ=-2 ,να βρείτε αλγεβρικά τις συντεταγμένες των κοινών σημείων 2 ευθείας και παραβολής . (Μονάδες 8) γ) Αν μετατοπίσουμε την παραβολή κατά 4,5 μονάδες προς τα πάνω, να δείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή θα έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. (Μονάδες 9) ΛΥΣΗ α) Αφού η παραβολή διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ οι συντεταγμένες των σημείων ικανοποιούν την εξίσωση της παραβολής. Οπότε : για το σημείο Α έχουμε : 0  4  2    4  2    0 (1) για το σημείο Β έχουμε : 0  4  2    4  2     0 (2) για το σημείο Γ έχουμε : 2      2 (3) (1)  (2)  4   0    0 (4) (3),(4) 2 1 (1)  4  2  0  4  2       (5) 4 2 1 β) Για τις τιμές των α,β,γ που δίνονται η παραβολή έχει τύπο f ( x )  x 2  2 2 Για να βρούμε τα κοινά σημεία της ευθείας και της παραβολής λύνουμε την εξίσωση: ( 2) 1 2 x  2   x  2  x 2  4  2 x  4  x 2  2 x  8  0  ( x  2) ή ( x  4) 2 1 1 2  f (2)   22  2   4  2  2  2  0 2 2 1 1 8  f (4)   (4) 2  2   16  2  8  2  6 2 2 Άρα τα κοινά σημεία τους έχουν συντεταγμένες (2,0) και (-4,6) γ) Αν μετατοπίσουμε την παραβολή κατά 4,5 μονάδες προς τα πάνω ο τύπος της θα γίνει 1 f ( x )  x 2  2,5 οπότε αν λύσουμε την παραπάνω εξίσωση θα έχουμε: 2 27 www.askisopolis.gr ( 2) 1 2 x  2,5   x  2  x 2  5  2 x  4  x 2  2 x  1  0  2 (x  1)2  0  x  1  0  x  1 1 1 5 6  f ( 1)   ( 1) 2  2,5     3 2 2 2 2 Άρα θα έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το (-1,3) 28 www.askisopolis.gr ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ 2ο 2_17663  και (2 x  1)  (5 x  4)  0 , τότε: 2 4 α) Να αποδείξετε ότι: x  5 Αν 0  x  (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ α) Η εξίσωση ( 2συνx + 1) ⋅( 5συνx − 4 ) = 0  2συνx + 1=0 ή 5συνx – 4=0   1 4     x    ή   x   . Επειδή 0  x  2 : συνx>0 . 2 5   4 Άρα τελικά  x  5 β) Γνωρίζουμε ότι : 2 16 9  4  x   x  1   x  1   x   x  1      2 x  1    2 x  25 25 5 2 2 2  2 2 9 3  2 25 5 3 4  x 3  x 4 5  5  Έχουμε  x  και  x  3 3  x 4 4  x 5 5 Αλλά 0  x  τότε ημx>0.Επομένως  x  ΘΕΜΑ 4ο 4_17844  x  y  1 α) Να λύσετε το σύστημα:  2 2 x  y  1 (Μονάδες 12) 29 www.askisopolis.gr β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) και του τριγωνομετρικού κύκλου, να βρείτε όλες τις γωνίες ω με 0 ≤ ω ≤ 2π, που ικανοποιούν τη σχέση συνω + ημω = -1 και να τις απεικονίσετε πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο. (Μονάδες 13) ΛΥΣΗ α) Λύνουμε την ως προς και αντικαθιστούμε στη Έχουμε x  y  1  x   y  1 Επομένως:  3 . x 2  y 2  1    y  1  y 2  1   y  1  y 2  1  y 2  2 y  1  y 2  1 2 2 2 y 2  2 y  0  2 y  y  1  0   y  0  ή  y  1 Από την  3  για y  0 έχουμε x  1 και για y  1 έχουμε x  0 Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις, τις  1, 0  και  0, 1 β) Η δοσμένη σχέση     1 , μαζί με τη σχέση  2   2  1 σχηματίζουν      1 το σύστημα:  με 0    2 2 2       1 1  x  1  x  y  1 Αν θέσουμε x   και y   προκύπτει το σύστημα:  2 με 2 1  y  1 x  y  1  x  1  x0 που με τη βοήθεια του ερωτήματος προκύπτει ότι:  ή   y0  y  1   10  2   0 0  2 3 Αντικαθιστώντας έχουμε:     ή    2    0   1 Στον διπλανό τριγωνομετρικό κύκλο απεικονίζονται οι γωνίες ω που είναι λύσεις του παραπάνω συστήματος. 30 www.askisopolis.gr ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΘΕΜΑ 2ο 2_17699 Δίνεται   3 , όπου φ η οξεία γωνία που 5 σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας (ε) του διπλανού σχήματος. α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών θ και ω του σχήματος. (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ α) Από την ταυτότητα προκύπτει ότι 3 9 25  9 16  3 Αντικαθιστούμε το ημφ με και έχουμε  2  1     1    5 25 25 25 5 2 , οπότε έχουμε    Επειδή φ οξεία γωνία είναι β) Από το σχήμα προκύπτει ότι 16 4  25 5 και 3 Άρα :           5                       4 5 3 5            4 5 31 www.askisopolis.gr ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 2ο 2_17656 1 f ( x )   2 x, x  . 2 α) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η περίοδος της f ; (Μονάδες 9) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. (Μονάδες 10) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μπορεί να πάρει την τιμή 1. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6) Δίνεται η συνάρτηση ΛΥΣΗ 1 1 1 α) 1   2 x  1     2 x  2 2 2 2 2     2 β)Έχουμε τον πίνακα x 0 2x 0 συν2x 1  2 x 2 1 1 2 γ) Αν f(x)=1 τότε  4  2 0 0  2  -1 1 2 αρα ymax= 3 4 3 2 0 1 1 και ymin=  .Η περίοδος είναι 2 2  2 1 1 2 0 1  2 x  συν2x=2 που είναι αδύνατο γιατί 1  2x  1 2 32 www.askisopolis.gr 2_17704 Δίνεται η συνάρτηση f (x)  3συν2x , x   α) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. (Μονάδες 12) β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και να παραστήσετε γραφικά την f σε διάστημα μιας περιόδου. (Μονάδες 13) x 0 π 4 π 2 3π 4 π 2x συν2x f ( x)  3συν2x ΛΥΣΗ α)Έχουμε τη συνάρτηση f (x)  3συν2x , x   Για την περίοδο έχουμε T  2π 2 με ω=2 άρα είναι    ω 2 Επίσης έχουμε ότι  1  συν2x  1 (πολ/ζω με -3)   3  (1)  3συν2x  -3 1  3  3συν2x  -3    3  3συν2x  3  3  f ( x)  3  f (0)  f ( x)  f   2 Οπότε η μέγιστη τιμή της f είναι το 3 ( f max  3 ) και ελάχιστη τιμή της f είναι το -3( f min  3 ) 33 www.askisopolis.gr β) x 0 π 4 π 2 3π 4 π 2x 0 π 2 π 3π 2 2π συν2x 1 0 -1 0 1 f ( x)  3συν2x -3 0 3 0 -3 2_17725 Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  ημ(π - 3x)  συν( π  3x), x   2 α) Να δείξετε ότι f ( x)  2ημ3x (Μονάδες 10) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f . (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ α)Έχουμε ότι f ( x)  ημ(π - 3x)  συν( π  3 x) . 2 Xρησιμοποιώντας παραπληρωματικά και συμπληρωματικά τόξα έχουμε f ( x)  ημ3x  ημ3x δηλαδή θα είναι f ( x)  2ημ3x β) Θα πρέπει να υπολογίσουμε την περίοδο T  0 π 6 3x 0 π 2 π 3π 2 ημ3x 0 1 0 -1 0 f ( x)  2ημ3x 0 2 0 -2 0 x π 3 3π 6 2π 3 2π 2π 2π με ω=3 άρα T  ω 3 34 www.askisopolis.gr 2_19913 2 Έστω η συνάρτηση f ( x )   x   x  , x  . α) Να αποδείξετε ότι : f ( x)  1   2 x , για κάθε x  . β) Να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της f . (Μονάδες 12) (Μονάδες 13) ΛΥΣΗ α) f ( x)   x   x    x  2 x x   2 x  1  2 x x  f ( x )  1   2 x 2 2 2 β) Η περίοδος της συνάρτησης είναι :     2  . 2     1   2 x  1  0  1   2 x  2  0  f ( x)  2  f     f ( x)  f   .  4 6 Επομένως έχει ελάχιστη τιμή 0 και μέγιστη τιμή 2. ΘΕΜΑ 4ο 4.20331. Η θερμοκρασία μιας περιοχής σε βαθμούς Κελσίου (οC) κατά τη διάρκεια ενός πt εικοσιτετράωρου δίνεται κατά προσέγγιση από τη συνάρτηση: f  t   8συν  4 με 12 0  t  24 (t ο χρόνος σε ώρες). α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη θερμοκρασία κατά τη διάρκεια του εικοσιτετράωρου. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις χρονικές στιγμές που η θερμοκρασία είναι ίση με 0οC. (Μονάδες 6) γ) Να παραστήσετε γραφικά την f για t   0, 24 . (Μονάδες 7) δ) Να βρείτε, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, πότε η θερμοκρασία είναι πάνω από 0οC. (Μονάδες 5) ΛΥΣΗ πt πt πt πt α) Είναι 1  συν  1  8  8συν  8  8  8συν  8  4  8συν  12  12 12 12 12 4  f  t   12  f (0)  f  t   f (π) . Η ελάχιστη θερμοκρασία είναι fmin  4 όταν συν είναι f max  12 όταν συν β) f  t   0  8συν πt  1  t  0 ή t  24 και η μέγιστη 12 πt  1  t  12 . 12 πt πt πt 4 1 πt π  4  0  8συν  4  συν    συν  συν  12 12 12 8 2 12 3 πt π  2κπ   πt  24κπ  4π  t  24κ  4, κ  12 3 35 www.askisopolis.gr Είναι 0  t  24  0  24κ  4  24  4  24κ  20   Επειδή κ  , είναι κ  0 οπότε t  24  0  4  4 . Ακόμη 0  t  24  0  24κ  4  24  4  24κ  28  Επειδή κ  , είναι κ  1 οπότε t  24 1  4  20 . 4 20 1 5 κ  κ . 24 24 6 6 4 28 1 7 κ  κ . 24 24 6 6 γ) Αρχικά θα σχεδιάσουμε την  πt  y  8συν   . Έχει μέγιστο το 8,  12  2π  24 . ελάχιστο το -8 και περίοδο T  π 12 Με βάση τη περίοδο κατασκευάζουμε πίνακα τιμών και έχουμε: x 0 6 12 18 24 y -8 0 8 0 -8  πt  Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της y  8συν    12  κατά 4 θέσεις προς τα πάνω. δ) Για να είναι η θερμοκρασία πάνω από 0οC πρέπει η γραφική παράσταση της f να βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x. Αυτό συμβαίνει όταν t   4, 20  . ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 2ο 2_16968  λύση της εξίσωσης 3 4 x  3  0 ; 4 Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. α) Είναι η τιμή x  (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( x)   4 x με την ευθεία y=-1. (Μονάδες 15) 36 www.askisopolis.gr ΛΥΣΗ α) Για να είναι η τιμή x  π λύση της εξίσωσης 3συν4x  3  0 πρέπει να την επαληθεύει, 4  π δηλαδή: 3συν  4   3  0  3συνπ  3  0  3  1  3  0  3  3  0 που ισχύει  4 β) Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y  1 είναι οι λύσεις της εξίσωσης f  x   1 . Είναι: f  x   1  συν4x  1  συν4x  συνπ  4x  2κπ  π  x  κ π π  , κ 2 4 2_17652 Δίνεται γωνία  που ικανοποιεί τη σχέση: (   )2  1 α) Να αποδείξετε ότι είτε   0 είτε   0 . β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας  . (Μονάδες 13) (Μονάδες 12) ΛΥΣΗ ημ 2 ω  συν 2 ω 1  α)  ημω  συνω   1  ημ 2 ω  2ημω  συνω  συν 2 ω  1 2ημω  συνω  0  ημω  0 ή συνω  0 π β) ημω  0  ω  κπ , κ  ή συνω  0  ω  κπ  , κ  2 2 1  2ημω  συνω  1  2_17681 Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  2 x  1, x  α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f . β) Για ποια τιμή του x  [0, 2 ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή; (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ α) Ισχύει ότι 2  2 x  2  1  2 x  1  3  1  f ( x)  3 Άρα η μέγιστη τιμή της f είναι f max  3 και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f είναι f min  1.  β) Έχουμε f ( x)  3  2 x  1  3  2 x  2   x  1   x    2 x[0,2 ]   x  2  ,   Z  x  2 2 37 www.askisopolis.gr 2_17692   α) Να δείξετε ότι    x      x   0 2  (Μονάδες 10)   β) Να βρείτε τις τιμές του x   0, 2  για τις οποίες ισχύει  x     x  2  (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ     α)    x      ( x)      x    x 2 2        x    x   Άρα    x      x    x  ( x)  0 2       α β)  x     x    x     x   2  2     x    x   x   x  2 x  0   x  0  x    x   0, 2   0  x  2  0     2  2  0     2 ,  1 1 3  2      Επειδή   2 2 2     0 αρα x  2 τότε  .   1 αρα x  3  2 2_17693 α) Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς   17  , , (Μονάδες 12) 6 4 10 3   β) Αν   x1  x2  να συγκρίνετε τους αριθμούς  (  x1 ) και  (  x2 ) 2 2 2 (Μονάδες 13) ΛΥΣΗ 17  3       2     10 10      3  3       12  10  . Έχουμε ότι :   6 4 10 10 4   Επειδή η συνάρτηση f ( x )   x είναι γνησίως φθίνουσα στο[0,π] άρα 3        10 4 6 α)  17  17     10  10 38 www.askisopolis.gr Επομένως έχουμε  β) Παρατηρούμε ότι  (   x1  x2   2 17       10 4 6  x1 )   x1 και  (  2  x2 )   x2 . Επομένως αφού 3 και η συνάρτηση f ( x )   x στο διάστημα 2 αύξουσα τότε x1  x2   x1   x2   (  2  x1 ) < (  2  3    ,  είναι γνησίως 2    x2 ) . 2_17736 Δίνεται η παράσταση: Α= ημ 2 x , με x ≠ 2κπ,    . 1  συνx α) Να αποδείξετε ότι Α = 1+συνx β) Να λύσετε την εξίσωση (Μονάδες 12) ημ 2 x 1  στο διάστημα (0, 2π). 1  συνx 2 (Μονάδες 13) ΛΥΣΗ α) A  ημ x 1  συν x (1  συνx)(1  συνx)    (1  συνx) 1  συνx 1  συνx 1  συνx 2 2 ημ 2 x 1  λόγω του (α) ερωτήματος είναι 1  συνx 2 1 1 π π 2 1   x   συνx  -  συνx  -συν   x  συν(π- )   x   2 3 3 2 3 2 2 άρα x  2  ή x  2  με    3 3 Έχουμε το διάστημα (0, 2π) άρα είναι: 2 2π 2 0  x  2  0  2   2    2   2    3 3 3 2 2 1 1 1 2   2  2       1       3 3 3 3 3 3 2 και επειδή    θα είναι κ=0 Άρα x  3 Έχουμε και β) 4 2 2  2 8 0  x  2  0  2   2   2  2    2    3 3 3 3 3 39 www.askisopolis.gr 1 4   και επειδή    θα είναι κ=1 3 3 2 4  Για κ=1 : x  2  3 3 2_17739 Έστω γωνία x , για την οποία ισχύουν: α) Να αποδείξετε ότι  x   2  x   και ημ(π-x)-ημ(π  x)  1 1 2 (Μονάδες 12) β) Να βρείτε την γωνία x. (Μονάδες 13) ΛΥΣΗ α)Για π  x  π έχουμε ότι: 2 ημ(π-x)-ημ(π  x)  1 2ημx  1  ημx  β)  x   ά  ό   ό   ά   ί  ό ημx-ημ(  x)  1  ημx  ημx  1  1 2 1 π π  π 5   ημx  ημ   x  2κπ   ή  x  2κπ  π-  x  2  2 6 6  6 6    ,  Z  π π και  x  π έχουμε ότι 6 2 2 5 π      2       2      2  2 6 2 6 6 6 6 2 5 άρα και επειδή    θα είναι αδύνατο.   12 12 5π π Για x  2 κπ  και  x  π έχουμε ότι 6 2 2   5  5 5  2      2       2  2 6 2 6 6 6 6 2 1 5π 5π άρα  και επειδή    θα είναι κ=0 άρα x  2  0  π  οπότε x    12 12 6 6 Για x  2 κπ  2_17741 ημx ημx 2 , όπου x ≠κπ ,      1-συνx 1  συνx  x ημx ημx 4 β) Να λύσετε την εξίσωση:   1-συνx 1  συνx 3 α) Να αποδείξετε ότι : (Μονάδες 13) (Μονάδες 12) 40 www.askisopolis.gr ΛΥΣΗ α)Για x ≠κπ ημx ημx ημx(1  συνx)  ημx(1-συνx) ημx  ημxσυνx  ημx-ημxσυνx     1-συνx 1  συνx (1  συνx)(1  συνx) 1  συν 2 x 2  x  x 2 β)  2  x ημx ημx 4 από (α) ερώτημα θα έχουμε ότι   1-συνx 1  συνx 3 π 2 4 3   4ημx  2 3  ημx=  ημx  ημ ημx 2 3 3   Οπότε x  2  ή x  2    ,   . Άρα θα είναι: 3 3 x  2 κπ  π 2π ή x  2 κπ  με    .Δεκτές αφού x ≠ κπ 3 3 ΘΕΜΑ 4ο 4_17837 Δίνεται η συνάρτηση f (x)  |   1|  ( x) με   τιμή 3 και περίοδο 4. α) Να δείξετε ότι   2 ή   4 και   και   0 , η οποία έχει μέγιστη 1 . 2 (Μονάδες 7) 1 , 2 i. να λυθεί η εξίσωση f (x)  3 β) Για   2 και   (Μονάδες 10) ii. να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα [0,8] . (Μονάδες 8) ΛΥΣΗ α) Η μέγιστη τιμή της f είναι f max  α  1 . Όμως f max  3 , άρα α  1  3  α  1  3 , δηλαδή  α  1  3  α  2 Η περίοδος της f είναι  f  ή  α  1  3  α  4  2π 2  . Επειδή η f έχει περίοδο 4, ισχύει ότι: βπ β 2 2 1  4  2  4β  β   . β 4 2 41 www.askisopolis.gr β) Για α  2 και β  1  πx  είναι f  x   3ημ   2  2  πx π  πx   πx   2κ π   x  4κ  1, κ  i. f  x   3  3ημ    3  ημ    1  2 2  2   2  ii. Αρχικά κάνουμε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f x 0 3 0 -3 0 3 0 -3 0 4_17840  x  2 y  1 Δίνεται το σύστημα:  , με παράμετρο   . x   y   α) Να λύσετε το σύστημα για τις διάφορες τιμές του λ∊ℝ . (Μονάδες 10) β) Αν λ = -1 και (x0, y0) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να βρείτε γωνία θ∊[0, 2π) τέτοια ώστε x0 = συνθ και y0 = ημθ . (Μονάδες 7) γ) Αν λ = 1 και (x1, y1) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να δείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία ω, τέτοια ώστε x1 = συνω και y1= ημω. (Μονάδες 8) ΛΥΣΗ α) Αρχικά υπολογίζουμε τις ορίζουσες του συστήματος: 1 2  D  D    2 1   Dx  1 2    Dx    2   42 www.askisopolis.gr 1 1  Dy    1 1  Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:  Dy  i) Αν D  0    2  0    2 ,τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση: Dy   1   1 D   την x  x  δηλαδή την (x,y)=(  , y   D   2   2 D   2   2 ii) Αν ,τότε το σύστημα γίνεται:  x  2 y  1  x  2 y  1 .    x  2 y  2  x  2 y  2 , Επομένως αν λ=-2 τότε το σύστημα είναι αδύνατο. β) Αν λ=-1και (x 0 , y0 ) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, τότε 1 0  1, y0   0 (από το ερώτημα ) x0  1 1   1 [0,2 ] Επομένως (x0 , y0 )  (1,0) ,οπότε        0 γ) Αν λ=1και (x1 , y1 ) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος τότε (από το ερώτημα 1 2 x1  , y1  3 3 1    3 Επομένως    2  3 2 ) .Όμως αν υπήρχε τέτοια γωνία θ θα έπρεπε:  2   2  1 2 4 1 5  2 1       1    1   1 άτοπο. 9 9 9  3  3 Άρα δεν υπάρχει γωνία ω, τέτοια ώστε x1   και y1   4_17841 Η Αλίκη και η Αθηνά διασκεδάζουν στη ρόδα του λούνα παρκ. Η απόσταση, σε μέτρα, του καθίσματός τους από το έδαφος τη χρονική στιγμή t sec δίνεται από τη συνάρτηση   t  h(t )  8  6   .  και 0  30  α) Να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει το κάθισμα, καθώς και τις στιγμές κατά τις οποίες το κάθισμα βρίσκεται στο ελάχιστο και στο μέγιστο ύψος. 43 www.askisopolis.gr (Μονάδες 8) β) Να υπολογίσετε την ακτίνα της ρόδας. (Μονάδες 3) γ) Να βρείτε την περίοδο της κίνησης, δηλαδή το χρόνο στον οποίο η ρόδα ολοκληρώνει μια περιστροφή. Πόσους γύρους έκαναν οι δύο φίλες στο διάστημα από 0 έως 180 sec; (Μονάδες 4+2=6) δ) Να μεταφέρετε στην κόλα σας τον πίνακα τιμών και το σύστημα συντεταγμένων που δίνονται παρακάτω και : i. να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης του ύψους h(t). (Μονάδες 3) ii. να σχεδιάσετε στο σύστημα συντεταγμένων το τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h(t) με 0 ≤ t ≤ 90. (Μονάδες 5) t 0 15 30 45 60 75 90 h(t) ΛΥΣΗ   t   t   με 0  t  180 ισχύει ότι 1      1   30   30   t   t  6  (1)  6    6  1  6  6    6   30   30   t  6  8  6    8  6  8  2  h(t )  14  h(45)  h(t )  h(15)  30  Άρα το μέγιστο ύψος της h είναι hmax  14 και το ελάχιστο ύψος της συνάρτησης h είναι hmin  2 . Το μέγιστο ύψος της h συμβαίνει τις στιγμές t για τις οποίες h(t )  14  α) Για την h(t )  8  6    t   t   t   t  8  6    14  6    6      1     2  ,     2 30 2  30   30   30  t  60  15 (1) Όμως 15 165 1 33 0  t  180  0  60  15  180  15  60  165          60 60 4 12 Επειδή ο αριθμός κ είναι ακέραιος κ=0 ή κ=1 ή κ=2 Όταν κ=0 τότε (1)  t=15 sec Όταν κ=1 τότε (1)  t=75 sec 44 www.askisopolis.gr Όταν κ=2 τότε (1)  t=135 sec Το ελάχιστο ύψος της h συμβαίνει τις στιγμές t για τις οποίες h(t )  2   t   t   t    8  6    2  6    6      1        30   30   30   2 t   2  ,     t  60  15 (2) 30 2 Όμως 15 195 1 39 0  t  180  0  60  15  180  15  60  195       60 60 4 12 Επειδή ο αριθμός κ είναι ακέραιος κ=1 ή κ=2 ή κ=3 Όταν κ=1 τότε (1)  t=45 sec Όταν κ=2 τότε (1)  t=105 sec Όταν κ=3 τότε (1)  t=165 sec β) Ισχύει : ά ό  hmax  hmin  14  2  12 m οπότε  ί  ό  ά  ό 2 γ) Η περίοδος της κίνησης είναι T  2   12 6 m 2    60 sec. 30 Oι δύο φίλες στο διάστημα από 0 έως 180 sec, έκαναν δ) i) t h(t) 0 8 180  3 γύρους 60 15 30 45 60 75 90 14 8 2 8 14 8 δ) ii) 45 www.askisopolis.gr 4_17843 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f η οποία είναι της μορφής f(x) = ρ∙ημ(ωx) + k, με ρ, ω, k πραγματικές σταθερές. α) Με βάση τη γραφική παράσταση, να βρείτε: i. τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (Μονάδες 3) ii. την περίοδο T της συνάρτησης f (Μονάδες 3) β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των σταθερών ρ, ω και k. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) 1 γ) Θεωρώντας γνωστό ότι ρ = 3,   και k = 2, να προσδιορίσετε αλγεβρικά την 2  7 τετμημένη x0 του σημείου   x0 ,  της γραφικής παράστασης, που δίνεται στο σχήμα.  2 (Μονάδες 10) ΛΥΣΗ α) i) Από το γράφημα της συνάρτησης παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της είναι το 5 και η ελάχιστη το -1. ii) Η περίοδος Τ είναι το διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών τετμημένων των σημείων στα οποία η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο. Οπότε   5    4 ,όπου 5π και π είναι τα διαδοχικά μέγιστα. 2 2 2 1  4      β)     4 2 Από τη μορφή του γραφήματός βλέπουμε ότι   0 άρα μέγιστη τιμή της συνάρτησης f είναι   k ενώ η ελάχιστη τιμή είναι    k . Άρα με βάση το ερώτημα α)   k  5 δημιουργούμε το σύστημα  όπου με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε     k  1 2k  4  k  2 και   k  5    5  k    3 1 1  και k = 2 έχουμε f ( x)  3  x   2 .Το σημείο Α ανήκει στη 2 2  γραφική παράσταση της f οπότε : 7 7 1  1  3 f ( x0 )   3  x0   2   3  x0    2 2 2  2  2 γ) Για ρ = 3,   1  1 1      x0      x0       2 2 2 6       46 www.askisopolis.gr   1   2 x0  2  6  x0  4  3 ,    ,  .   1 x  2      x  4  5 0 0 6 3  2  Λόγω του γραφήματος της f αυτές οι λύσεις για το x πρέπει να βρίσκονται στο διάστημα  5 ,6  άρα  1 17 17   14 14 5  4  3  6 5  4  3  6  3  4  3 12    12     . Επειδή    ή  ή  ή ή     5 5 10 13 10 13 5  4  5  4   6   4      6 3 3 3 12 12   3 από τις δυο ανισώσεις έχουμε ότι η μόνη τιμή του κ είναι   1 για τη δεύτερη ανίσωση το 5 17  x0  οποίο μας δίνει ότι x0  4  3 3 4_17846 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = συνx και g(x) = συν2x. α) Να μεταφέρετε στην κόλα σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των συναρτήσεων f και g. Στη συνέχεια, να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) και g (x), για x ∊ [0, 2π]. (Μονάδες 8) x 0  4  2 3 4  5 4 7 4 2 f  x g  x β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης συν2x = συνx (1) στο διάστημα [0, 2π]. (Μονάδες 4) γ) Να λύσετε αλγεβρικά την εξίσωση (1) στο διάστημα [0, 2π] και να σημειώσετε πάνω στο σχήμα του ερωτήματος (α) τις συντεταγμένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. (Μονάδες 13) 47 www.askisopolis.gr ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f  x    x είναι περιοδική με περίοδο 2 και σύνολο τιμών το  1,1    3  Άρα f  0   1, f    0, f    1, f    0, f  2   1 2    2  Πιο αναλυτικά: f  0    0  1    f      0 2 2 f      1 3    3   f          0    2 2 2  2   f  2    2   0  1  2   f      4 4 2   3   2  3   f              4 4 4 2  4   5   2  5   f              4 4 4 2  4    7 f  4 7   2        2              4 4 4 2    4 2   και σύνολο τιμών Η συνάρτηση g  x    2 x είναι περιοδική με περίοδο 2 το  1,1      3  Άρα g  0   1, g    0, g    1, g    0, 4 2  4   5   3   7  g    1, g    0, g    1, g    0, g  2   1  4   2   4  Με βάση τα παραπάνω σχηματίζεται ο παρακάτω πίνακας τιμών: x 0 f  x 1 g  x 1  4 2 2 0  2 0 -1 3 4  2 2 0  -1 1 5 4  2 2 0 7 4 0 -1 2 2 0 2 1 1 48 www.askisopolis.gr Με βάση τον παραπάνω πίνακα τιμών προκύπτουν οι διπλανές γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων. β) Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων προκύπτει ότι οι γραφικές παραστάσεις έχουν 4 κοινά σημεία, άρα η εξίσωση  2x   x έχει 4 λύσεις. γ)  2 x   x  2 2 x  1   x  2 2 x  1   x  0   2 x   2 x  1   x  0   2 x  1   2 x   x   0   x  1 x  1   x  x  1  0   x  1 x  1   x   0   x  1 2 x  1  0   x  1 ή  x   1 2   x   0 ή  x     2          3 3 3  2   x  2  3  ή ,   x  2 ή   2  x  2  3  Οι λύσεις πρέπει να ανήκουν στο διάστημα  0, 2  δηλαδή: 0  2  2  0  2  2  0   1   0 ή   1 (   ) Επομένως : x  0 ή x  2 2  2  3 2 4   2   3 3 1 2         0 3 3 2 Επομένως x  3  2 Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι:   0,1 ,   2 ,1 ,    3 0  2  2  2  3 2 8  2   3 3 1 4       1 3 3 2 4 x  2   3 3 1   4 1  ,  ,  ,  2  3 2 0  2  49 www.askisopolis.gr 4__17852 Ένα παιγνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο από το ταβάνι. Το ύψος του από το πάτωμα σε cm συναρτήσει του χρόνου t (sec) δίνεται από τη σχέση: h(t )  a   (t )   , όπου α, ω, β πραγματικές σταθερές. Όταν το ελατήριο ταλαντώνεται, το ελάχιστο ύψος του παιχνιδιού από το πάτωμα είναι 20cm και το μέγιστο 100cm. Τη χρονική στιγμή t=0 το ύψος παίρνει την ελάχιστη τιμή του και ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης (θέσεις: ελάχιστο-ηρεμία-μέγιστο-ηρεμία-ελάχιστο) είναι 6 sec.  α) Να δείξετε ότι   3 (Μονάδες 5) β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των α και β αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 6) γ) Να υπολογίσετε το ύψος του παιγνιδιού από το πάτωμα 14sec μετά την έναρξη της ταλάντωσης. (Μονάδες 8) δ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h(t), για 0 ≤ t ≤12. (Μονάδες 6) ΛΥΣΗ α) Ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης είναι η περίοδος της άρα   6sec και   Έχουμε: 6  2   6  2    2   3   t 3  β) h  t       t     h  t       Για t  0 παίρνει την ελάχιστη τιμή της οπότε : h  0   20    0    20      20 (1) Επίσης τη μέγιστη τιμή της θα την λαμβάνει στο   3sec οπότε θα ισχύει: 2   h  3   100       3     100      100 (2) 3  Προσθέτοντας τις (1) και (2): 2  120    60 οπότε   60  20    40 γ) Το ύψος του από το πάτωμα σε cm συναρτήσει του χρόνου t (sec) δίνεται από τη σχέση:   h  t   40  t   60 3  Το ύψος του παιχνιδιού από το πάτωμα 14 sec μετά την έναρξη της ταλάντωσης:    14  h 14   40  14   60  40    60  3   3  2   1   2  40  4    60  40    60  40   2   60 =80 3      3  50 www.askisopolis.gr   h  t   40  t   60 3  δ) t  0 t 3     t  3    40  t  3    40  t   60 3  3 2 3 9 2 3 2 6 0  2  1 0 1 0 1 40 0 40 0 40 20 60 100 60 20 2 Γραφική παράσταση: 4.17855. Ένα σώμα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώματος από το έδαφος (σε cm), δίνεται από την συνάρτηση: f (t)  12 t  13 , όπου t ο χρόνος 4 σε ώρες. α) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την απόσταση του σώματος από το έδαφος τις χρονικές στιγμές t = 5 και t = 8. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε κατά το χρονικό διάστημα από t = 0 έως t = 8, ποια χρονική στιγμή η απόσταση του σώματος από το έδαφος είναι ελάχιστη. Ποια είναι η απόσταση αυτή; (Μονάδες 10) 51 www.askisopolis.gr ΛΥΣΗ α) Γνωρίζουμε ότι σε κάθε συνάρτηση της μορφής ρημωx + κ η περίοδος είναι ίση με 2 t  . Οπότε για τη συνάρτηση f (t)  12  13 είναι   και η περίοδος της 4  4 2  8 ταλάντωσης θα είναι     8 ώρες.   4 Τ  β) Η ζητούμενη απόσταση δίνεται από την f(t), οπότε θα υπολογίσουμε τις τιμές f(5) και f(8) της συνάρτησης f . f (5)  12 5 4        13  12  13  12      13  12     13  4 4 4 4   2  13  6 2  13 cm. 2 8 f (8)  12  13  122  13  12  0  13  13 cm. 4 12  γ) Γνωρίζουμε ότι η ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτηση της μορφής ρημωx, με ρ > 0, είναι η – ρ οπότε η ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτηση της μορφής ρημωx + κ , με ρ > 0, θα είναι η – ρ + κ. Συνεπώς η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (t)  12 t  13 θα είναι – 12 + 13 = 1, έτσι 4 έχουμε:  t   2    4 2 t t t    f (t)  1  12  13  1    1          η  4 4 4  2  t    2         4  2   t  4  2  2    t   η  2   t  8  2  t  8  2,   Z  4 2  t 3    2   2  4 Άρα η ελάχιστη τιμή της f παρατηρείτε τη χρονική στιγμή t  8  2 , για   Z . Όμως αυτή θα πρέπει να βρίσκεται στο χρονικό διάστημα από t = 0 έως t = 8, (δηλαδή στο χρονικό διάστημα μιας περιόδου Τ = 8 ωρών) 0  t  8  0  8  2  8  2  8  10  1 5    . Το   Z άρα κ = 1. 4 4 Επομένως η απόσταση του σώματος από το έδαφος θα είναι ελάχιστη τη χρονική στιγμή t = 8 – 2 = 6, και η ελάχιστη απόσταση θα είναι f(6) = 1cm. 52 www.askisopolis.gr 4_20338. Στο διπλανό σχήμα, δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, που είναι της μορφής f  x   α  βσυν2x , όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. α) Mε βάση τη γραφική παράσταση της f, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. (Mονάδες 4) β) Ποια είναι η περίοδος Τ της συνάρτησης f ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4) γ) Mε βάση τα δεδομένα του σχήματος, να αποδείξετε ότι: α  2 και β  6 . (Μονάδες 8) δ) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y  1 στο διάστημα  0, 2π  . (Μονάδες 9) ΛΥΣΗ α) Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι η f έχει μέγιστο το 4 στα σημεία με 3π π π 3π x  2π,  π, 0, π, 2π και ελάχιστο το 8 στα σημεία με x   ,  , , 2 2 2 2 β) Επειδή μία πλήρη περιστροφή τη πραγματοποιεί στο διάστημα  0, π  , η περίοδός της είναι   π . Πράγματι: f  x  π   α  βσυν2  x  π   α  βσυν  2π  2x   α  βσυν2x  f  x  και f  x  π   α  βσυν2  x  π   α  βσυν  2π  2x   α  βσυν  2x   α  βσυν  2x   f  x  γ) Στο σχήμα βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία  0,4  και π   , 8  , οπότε οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν τον τύπο της συνάρτησης. Δηλαδή: 2   f  0   4  α  βσυν0  4  α  β  4  β  4  α (1) και 1 π  π f    8  α  βσυν  2   8  α  βσυνπ  8  α  β  8  α   4  α   8  2  2 4 α  4  α  8  2α  8  4  4  α   2 και λόγω της (1) είναι β  4   2   6 2 δ) Για α  2 και β  6 είναι f  x   2  6συν2x Τα σημεία τομής της C f με την y  1 αποτελούν λύσεις της εξίσωσης f  x   1 . Είναι f  x   1  2  6συν2x  1  6συν2x  3  συν2x  3 1 π  συν2x   συν  6 2 3 π π  x  κπ  , κ  3 6 π π π π 11 π 1 11  κ . Είναι 0  κπ   2π    κπ  2π     κ π  6 6 6 6 6 6 6 π π 7π Επειδή κ  είναι κ  0 ή κ  1 και οι λύσεις είναι: x  ή x  π   . 6 6 6 2x  2κπ  53 www.askisopolis.gr π π π π 13 π 1 13  2π   κπ  2π    κ π   κ 6 6 6 6 6 6 6 π 5π π 11π ή x  2π   είναι κ  1 ή κ  2 και οι λύσεις είναι: x  π   . 6 6 6 6 Ακόμη 0  κπ  Επειδή κ  ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 2ο 2_17664 Δίνονται οι γωνίες ω, θ με   0 και   0 για τις οποίες ισχύει: ω + θ = 135°. Να αποδείξετε ότι: α)  (   )  –1 (Μονάδες 10) β)     1  · (Μονάδες 15) ΛΥΣΗ α) εφ  ω  θ   εφ135  εφ 180  45   εφ45  – 1 εφω  εφθ  1  εφω  εφθ  1  εφω  εφθ  1  εφω  εφθ εφω  εφθ  1  εφω  εφθ β) εφ  ω  θ   1  2_19911   α) Να αποδείξετε ότι:   x   3 1 x  x  3 2 2 (Μονάδες 13) β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να λύσετε στο διάστημα (0, π) την εξίσωση: 3 2 x  1 2 x  0 (Μονάδες 12) ΛΥΣΗ π π π 1 3   συνx α) ημ  x    ημx  συν  συνx  ημ   ημx  3 3 3 2 2  β) 3 1 π π    συνx   ημx  0  ημ  x    0  ημ  x    ημ0  2 2 3 3   π π x   κπ  x  κπ  , κ  3 3 54 www.askisopolis.gr ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α ΘΕΜΑ 2ο 2 _19912 Δίνεται γωνία ω για την οποία ισχύει ότι:  2  5  2  0 α) Να αποδείξετε ότι ισχύει: 2 2   5  3  0 β) Να αποδείξετε ότι   1 (Μονάδες 12) (Μονάδες 13) 2 ΛΥΣΗ α) συν2ω  5ημω  2  0   1  2ημ ω  5ημω  2  0  1  2ημ 2ω  5ημω  2  0  2 2ημ 2ω  5ημω – 3  0 (1) β) Έστω ημω  x, x   1,1 , τότε η (1) γίνεται: 2x 2  5x  3  0 . Η τελευταία είναι εξίσωση 2ου βαθμού με   52  4  2   3  49 και ρίζες ΘΕΜΑ 4ο 4 _17838 Για τη γωνία ω ισχύει ότι 5συν2ω + 28συνω + 21 = 0. 4 α) Να δείξετε ότι:    5  β) Αν για τη γωνία ω επιπλέον ισχύει     τότε: 2 7 24 i. να δείξετε ότι:  2  και  2   25 25 ii. να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:  13   2 2   2 2  12 18  2 2  25  2   2 (Μονάδες 10) (Μονάδες 8) (Μονάδες7 ) ΛΥΣΗ α)Η εξίσωση γίνεται : 5  2 2  1  28  21  0  10  2  28  16  0  (:2) 5 2  14  8  0 . Θέτουμε x=συνω με 1  x  1οπότε έχουμε 5 x 2  14 x  8  0 14  6 14  6 8 4    142  4  5  8  36 και x   x     10 10 10 5  14  6 20     2  (απορρίπτεται) ή x  10 10   55 www.askisopolis.gr 2 32 7  4 β) i) Έχουμε : συν2ω=2συν ω-1   2  2     1  1  25 25  5 2 Επίσης :  x 2 2 49 576  7   2   2  1   2  1   2   2  1     1    625 625  25   576 24  2     . Όμως        2  2 τότε ημ2ω<0. Άρα 2 625 25 24  2   25 2 ii)   2 2 13    2 2   2 2  12 2 2 18  2  2  25   2   2  13  1  12 25   25 7 24   18  17 18  1  25     25 25  56 www.askisopolis.gr