2.2 ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η έννοια της

Βρέντζου Τίνα – Φυσικός – Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
1
Email : [email protected]
Μπορούμε να προσθέτουμε κατά
μέλη ομοιόστροφες ανισότητες
2.2 ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Όχι όμως να αφαιρούμε.
Η έννοια της διάταξης
Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β, και γράφουμε α > β,
όταν η διαφορά α - β είναι θετικός αριθμός.
Ο αριθμός α είναι μικρότερος του β (συμβολικά α < β), όταν η διαφορά α – β είναι
αρνητικός αριθμός.
Ορισμός : α > β <=>α – β > 0 (ισχύει και αντίστροφα)
Ιδιότητες

(α > 0 και β > 0) =>α + β > 0 (όχι αντίστροφα)
(α < 0 και β < 0) =>α + β < 0 (όχι αντίστροφα)

α, β ομόσημοι <=>α.β > 0 <=> > 0
α, β ετερόσημοι<=>α.β < 0 

α2 ≥ 0 για κάθε α ℝ
α2 = 0 <=>α = 0
Όταν
πολλαπλασιάζουμε
(διαιρούμε) τα δύο μέλη
ανίσωσης με αρνητικό αριθμό,
πρέπει να αλλάζουμε τη φορά
της ανίσωσης. Το ίδιο όταν
αλλάζουμε πρόσημα στα δύο
μέλη.
α2 + β2 = 0 <=>α = 0 και β = 0
α2 + β2 > 0 <=>α ≠ 0 και β ≠ 0

Μεταβατική ιδιότητα
(α > β και β > γ) <=>α > γ (όχι αντίστροφα)
α > β <=>α + γ > β + γ
ή

<=>α - γ > β - γ
Για γ > 0 : α > β <=>α.γ > β.γ
Για γ < 0 : α > β <=>α.γ < β.γ

α > β και γ > δ <=>α + γ > β + δ

Για α, β, γ, δ θετικούς : (α > β και γ > δ) <=>α.γ > β.δ
Μπορούμε να
πολλαπλασιάζουμε κατά
μέλη ομοιόστροφες
ανισότητες , εφ’όσον
όλα τα μέλη είναι
θετικά.
Όχι όμως να διαιρούμε.
Γενικότερα (α1>β1 και α2>β2 και … και αν > βν) ⇒ α1 + α2 +... + αν > β1 + β2 + ... + βν
Αν, επιπλέον, τα μέλη των ανισοτήτων είναι θετικοί αριθμοί, τότε:
(α1 > β1 και α2 > β2 και … και αν > βν) ⇒ α1 · α2 · ... · αν > β1 · β2 · ... · βν*
1
Βρέντζου Τίνα – Φυσικός – Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
2
Email : [email protected]

Για α, β θετικούς και α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α>β ⇔ αν
> βν
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω α > β .Τότε, από τη (*), για α1 = α2 = ... = αν = α > 0 και β1 = β2 = ... = βν = β >
0,προκύπτει ότι: αν > βν.
Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο.
Έστω λοιπόν ότι αν > βν και α ≤ β. Τότε: αν ήταν α = β , από τον ορισμό της ισότητας θα
είχαμε αν = βν (άτοπο), ενώ αν ήταν α < β , θα είχαμε αν < βν (άτοπο).
Άρα, α > β .

Για α, β θετικούς και ν ℕ : α = β <=> αν = βν
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω α = β . Τότε, από τον ορισμό της ισότητας προκύπτει, όπως είπαμε και προηγουμένως,
ότι αν = βν
Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε
άτοπο. Έστω λοιπόν ότι αν = βν και α ≠ β . Τότε:
αν ήταν α > β , λόγω της (4), θα είχαμε αν > βν (άτοπο), ενώ
αν ήταν α < β, λόγω της (4), θα είχαμε αν < βν (άτοπο).
Άρα, α = β.
Προσοχή!

Σε μία ανίσωση, όταν κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών, δεν κάνουμε τίποτε
άλλο
παρά να πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη με το Ε.Κ.Π των παρανομαστών.
Πρέπει, λοιπόν, να προσέχουμε αν το Ε.Κ.Π είναι θετικό ή
αρνητικό, οπότε θα
παραμείνει ή θα αλλάξει η φορά της ανίσωσης.
Προσοχή στο λάθος : x < 5 ⇒ x 2< 25
Ας θέσουμε όπου x το – 7
– 7 < 5 ⇒ (−7)2 < 25 δηλαδή 36 < 25 !
Ισχύει μόνο για x ≥ 0
Προσοχή στο λάθος : x 2< 25 ⇒ x < 5
Ισχύει μόνο για x ≥ 0
2
Βρέντζου Τίνα – Φυσικός – Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
3
Email : [email protected]
Η αντιστροφή των μελών
Όταν αντιστρέφουμε τα δύο θετικά μέλη ανίσωσης , αντιστρέφουμε και τη φορά της
ανίσωσης. : Αν α, β θετικοί και α < β τότε 1/α > 1/β
Ποιες ιδιότητες δεν έχουν οι ανισότητες
Δεν επιτρέπεται να αφαιρέσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες.
Δεν επιτρέπεται να διαιρέσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες.
Δεν επιτρέπεται να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες, αν δεν είναι
όλα τα μέλη τους θετικά.
Κλειστό διάστημα από αριστερά.
Αυτό σημαίνει ότι το χ μπορεί να
πάρει και την τιμή α .
Ανοικτό διάστημα από
δεξιά. Αυτό σημαίνει ότι
το χ δεν μπορεί να πάρει
την τιμή β .
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΔΙΑΣΤΗΜΑ
ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ
[α , β ]

[α , β )

(α , β ]

(α , β )
 
[α ,)
 
(α ,)
χ β
(, β ]
χ β
(, β )
Συν άπειρο
Μείον άπειρο
3
Βρέντζου Τίνα – Φυσικός – Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
4
Email : [email protected]
4

Download Report