9 - Tech and Math

www.techandmath.gr
r
4 η Εργασία ΔEO13
th.
g
Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13
Άσκηση 1η
ch
an
dm
a
Μια βιομηχανική επιχείρηση χρησιμοποιεί ένα εργοστάσιο (Ε) για την παραγωγή των προϊόντων της. Τα παραγόμενα προϊόντα στη συνέχεια αποθηκεύονται σε δύο ιδιόκτητους αποθηκευτικούς χώρους (Α1, και Α2 αντίστοιχα). Κατόπιν, η ζήτηση της αγοράς καλύπτεται μέσω τεσσάρων συνεργαζόμενων εμπόρων χονδρικής που αποτελούν τα κέντρα διανομής των προϊόντων της (Δ1, Δ2, Δ3, και Δ4 αντίστοιχα). Η επιχείρηση χρησιμοποιεί ιδιόκτητο στόλο οχημάτων για τη μεταφορά των προϊόντων της από το εργοστάσιο στους αποθηκευτικούς χώρους, και στη συνέχεια για τη μεταφορά τους από τις αποθήκες στα κέντρα διανομής. Στους παρακάτω πίνακες, καταγράφονται η μέγιστη ποσότητα που μπορεί να μεταφερθεί μηνιαία από το εργοστάσιο στις αποθήκες, και η μέγιστη ποσότητα που μπορεί να μεταφερθεί μηνιαία από τις αποθήκες στα κέντρα διανομής. Οι τιμές αφορούν πλήρη φορτία (το πλήρες φορτίο αποτελεί τη μονάδα μέτρησης) των διαθέσιμων μεταφορικών μέσων της επιχείρησης. Ο μέγιστος συνολικός αριθμός μηνιαίων φορτίων που είναι δυνατό να αποσταλούν από το εργοστάσιο στα κέντρα διανομής, όπως φαίνεται και στον πίνακα, ανέρχεται σε 54 φορτία. Αποθήκη Εργοστάσιο Α1 Α2 Ε 31 23 Αποθήκη w.t
e
Α1 Α2 Δ1 5 8 Κέντρο Διανομής Δ2 Δ3 9 6 7 9 Δ4 4 5 ww
Χρησιμοποιείστε κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης προκειμένου να βοηθήσετε τη διοίκηση της επιχείρησης να καταρτίσει το μηνιαίο πρόγραμμα διανομής των προϊόντων της, για τον υπολογισμό του μέγιστου αριθμού φορτίων που είναι δυνατό να μεταφερθούν από τους χώρους παραγωγής δια μέσω των αποθηκευτικών χώρων στα κέντρα διανομής, με σκοπό την προώθησή τους στην αγορά. Tech and Math - Εκπαιδευτική πύλη
www.techandmath.gr
Τηλέφωνο επικοινωνίας : 6974473322
www.techandmath.gr
ww
w.t
e
ch
an
dm
a
th.
g
r
Άσκηση 2η
Η χρηματιστηριακή εταιρεία ΧΑ διαθέτει έναν αντικριστή1 για τη διενέργεια των συναλλαγών στο Χρηματιστήριο Αθηνών. Ο αντικριστής επικοινωνεί μέσω μιας τηλεφωνικής γραμμής με την εταιρεία μέσω της οποίας του διαβιβάζονται οι εντολές των πελατών. Δέχεται κατά μέσο όρο τρεις (3) κλήσεις (εντολές) ανά λεπτό (ο αριθμός των κλήσεων ακολουθεί την κατανομή Poisson) και απαιτούνται κατά μέσο όρο 15 δευτερόλεπτα για την εξυπηρέτηση μιας κλήσης‐
εντολής (ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανομή). Ο αριθμός των πελατών της ΧΑ θεωρείται πολύ μεγάλος (πρακτικά άπειρος). Το κόστος του αντικριστή ανέρχεται σε 20 € ανά λεπτό ενώ το κόστος για έναν πελάτη που εξυπηρετείται ή περιμένει, ανέρχεται σε 50 € ανά λεπτό. Ερώτημα 1. Η ΧΑ ενδιαφέρεται να προσδιορίσει με την παρούσα διαμόρφωση λειτουργίας τα εξής μέτρα απόδοσης: Βαθμός απασχόλησης αντικριστή 1. Πιθανότητα άμεσης απάντησης σε μια κλήση 2. Μέσος αριθμός κλήσεων σε αναμονή 3. Μέσος αριθμός κλήσεων είτε σε αναμονή είτε σε εξυπηρέτηση 4. Μέσος χρόνος αναμονής μιας κλήσης 5. Μέσος χρόνος μέχρι και την ολοκλήρωση της εξυπηρέτησης μιας κλήσης 6. Συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος (ανά λεπτό) Ερώτημα 2. Η ΧΑ εξετάζει το ενδεχόμενο να συνεργαστεί με περισσότερους από έναν αντικριστές έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος (ανά λεπτό). 8. Ποιος είναι ο βέλτιστος αριθμός αντικριστών που πρέπει να διαθέτει; Για το βέλτιστο σχήμα που βρήκατε στο ερώτημα 8, προσδιορίστε τα εξής μέτρα απόδοσης: 9. Πιθανότητα άμεσης απάντησης σε μια κλήση 10. Μέσος χρόνος αναμονής μιας κλήσης 11. Μέσος χρόνος μέχρι και την ολοκλήρωση εξυπηρέτησης μιας κλήσης Tech and Math - Εκπαιδευτική πύλη
www.techandmath.gr
Τηλέφωνο επικοινωνίας : 6974473322
www.techandmath.gr
Στρατηγική ch
an
dm
a
th.
g
r
Άσκηση 3η
Το επιτελείο δύο πολιτικών, Α και Β, οι οποίοι είναι οι βασικοί διεκδικητές της θέσης του αιρετού Περιφερειάρχη στις επικείμενες εκλογές, συσκέπτεται προκειμένου να αποφασίσει τη στρατηγική των δύο τελευταίων ημερών. Επειδή πρόσφατες δημοσκοπήσεις έδειξαν ότι η μάχη θα είναι ιδιαίτερα αμφίρροπη, οι δύο υποψήφιοι επιθυμούν να περάσουν τις δύο τελευταίες ημέρες της εκστρατείας τους στις δύο μεγάλες πόλεις της περιφέρειας που είναι η Μακρυχώρα και η Μεγαλόπολη. Προκειμένου να εξοικονομήσουν όσο το δυνατόν περισσότερο χρόνο για να τον περάσουν με τους ψηφοφόρους, οι στρατηγικές που προτείνονται είναι να ταξιδεύουν τη νύχτα και να έχουν μια πλήρη ημέρα στη διάθεσή τους σε κάθε μία εκ των δύο πόλεων, ή να επιλέξουν μία εξ’ αυτών για παραμονή δύο ημερών. Οι επιτελείς του πολιτικού Α κατέληξαν στον ακόλουθο πίνακα, ο οποίος δίνει το πλήθος των ψήφων που εκτιμάται ότι θα κερδηθούν ή θα απολεσθούν ανάλογα με τον πιθανό συνδυασμό στρατηγικών του ιδίου και του αντιπάλου του. 1 ημέρα σε κάθε πόλη Α 2 ημέρες στη Μακρυχώρα 2 ημέρες στη Μεγαλόπολη Πλήθος ψήφων που κερδίζει ο Πολιτικός Α (μετρημένες σε μονάδες των 10.000 ψήφων) Β 1 ημέρα σε κάθε 2 ημέρες στη 2 ημέρες στη πόλη Μακρυχώρα Μεγαλόπολη 0 ‐2 2 3 4 ‐3 2 3 ‐4 ww
w.t
e
Ερώτημα 1. Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας. Ερώτημα 2. Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε πολιτικό. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα Tech and Math - Εκπαιδευτική πύλη
www.techandmath.gr
Τηλέφωνο επικοινωνίας : 6974473322
www.techandmath.gr
ww
w.t
e
ch
an
dm
a
th.
g
r
Άσκηση 4η
Η βιομηχανία ΧΥΖ παρασκευάζει τροφές για σκύλους και γάτες και τις διαθέτει σε μία συγκεκριμένη αλυσίδα σούπερ μάρκετ. Η τροφή για σκύλους αποφέρει καθαρό κέρδος 700 ευρώ ανά τόνο και η τροφή για γάτες 400 ευρώ ανά τόνο. Στο τελικό στάδιο της παραγωγής οι τροφές συσκευάζονται με ένα ειδικό μηχάνημα. Όταν το μηχάνημα συσκευάζει τροφή για σκύλους, έχει δυνατότητα συσκευασίας 6 τόνων ανά ώρα, ενώ όταν συσκευάζει τροφή για γάτες έχει δυνατότητα συσκευασίας 4 τόνων ανά ώρα. Λόγω απρόβλεπτων βλαβών, αλλά και της προγραμματισμένης συντήρησης, το μηχάνημα συσκευασίας λειτουργεί 8 ώρες ανά ημέρα. Από προηγούμενη έρευνα αγοράς είναι γνωστό ότι για κάθε 5 τόνους τροφής για σκύλους η βιομηχανία πρέπει να παράγει τουλάχιστον 2 τόνους τροφής για γάτες. Επιπλέον, η βιομηχανία πρέπει να τροφοδοτεί την αλυσίδα σούπερ μάρκετ με τουλάχιστον 20 τόνους τροφής ανά ημέρα, από τους οποίους τουλάχιστον 10 τόνοι να είναι τροφή για σκύλους. Η βιομηχανία αναζητεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής που μεγιστοποιεί τα συνολικά της κέρδη. Ερώτημα 1. Να διαμορφώσετε το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για τον καθορισμό του βέλτιστου σχεδίου παραγωγής που μεγιστοποιεί τα κέρδη της βιομηχανίας. Να εξηγήσετε με σαφήνεια τις μεταβλητές που χρησιμοποιείτε και το φυσικό νόημα των περιορισμών του μοντέλου που θα κατασκευάσετε. Χρησιμοποιήστε τη γραφική μέθοδο για να σκιαγραφήσετε την εφικτή περιοχή και να βρείτε τη βέλτιστη λύση του μοντέλου που διαμορφώσατε. Τα αποτελέσματα της επίλυσης να τα διατυπώσετε με όρους της εκφώνησης του προβλήματος. Ερώτημα 2. Να χρησιμοποιήσετε το Εxcel για να επιλύσετε αλγεβρικά το μοντέλο σας και να επιβεβαιώσετε τα αποτελέσματα του προηγούμενου ερωτήματος. Να συμπεριλάβετε στο αρχείο Word της εργασίας που θα παραδώσετε, το φύλλο εργασίας με τα δεδομένα μετά την επίλυση, την αναφορά απάντησης (answer report) και την αναφορά ευαισθησίας (sensitivity report) ως εικόνες από το Excel. Ερώτημα 3. Να αξιοποιήσετε κατάλληλα τα προηγούμενα αποτελέσματα από το Excel, προκειμένου να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: 1. Υποθέστε ότι η βιομηχανία θέλει να αυξήσει τις πωλήσεις τροφής για σκύλους και αποφασίζει να μειώσει το κέρδος της σε 500 Ευρώ ανά τόνο. Πώς θα επηρεάσει η απόφαση αυτή το σχέδιο παραγωγής και το κέρδος της βιομηχανίας; 2. Υποθέστε ότι, λόγω αυξημένων βλαβών, ο ημερήσιος χρόνος λειτουργίας του μηχανήματος συσκευασίας μειώνεται κατά δύο ώρες. Πώς θα επηρεάσει το γεγονός αυτό τα κέρδη της βιομηχανίας; Tech and Math - Εκπαιδευτική πύλη
www.techandmath.gr
Τηλέφωνο επικοινωνίας : 6974473322
www.techandmath.gr
η
ww
w.t
e
ch
an
dm
a
th.
g
r
Άσκηση 5 Η εταιρεία «ΕΠΙΠΛΑ ΑΕ» κατασκευάζει έπιπλα γραφείου και έχει συνάψει ένα συμβόλαιο ύψους 6.500.000 ευρώ για την προμήθεια του γραφειακού εξοπλισμού ενός οργανισμού. Στη συμφωνία προβλέπονται παραγγελίες για τρία είδη γραφείων καθένα από τα οποία απαιτεί συγκεκριμένο χρόνο επεξεργασίας στο τμήμα ξυλουργείου και στο τμήμα βαφής. Ο κατωτέρω Πίνακας 1 παραθέτει τα μεγέθη παραγγελιών και τους απαιτούμενους χρόνους ανά τμήμα και ανά είδος γραφείου. ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Γραφείο 1 Γραφείο 2 Γραφείο 3 Αριθμός γραφείων που έχουν 3000 2000 900 παραγγελθεί Απαιτούμενος χρόνος στο τμήμα 2 ώρες 1,5 ώρες 3 ώρες ξυλουργείου (για ένα γραφείο) Απαιτούμενος χρόνος στο τμήμα 1 ώρα 2 ώρες 1 ώρα βαφής (για ένα γραφείο) Η εταιρεία δεν διαθέτει τον απαιτούμενο χρόνο για να παράγει όλη την παραγγελία μέσα στην προβλεπόμενη ημερομηνία παράδοσης. Διαθέτει 10.000 εργατοώρες στο τμήμα ξυλουργείου και 5.000 εργατοώρες στο τμήμα βαφής. Υπάρχει εναλλακτική λύση η εταιρεία να δώσει υπεργολαβία (κατασκευή από άλλη εταιρεία) μέρους της παραγγελίας. Τα στοιχεία κόστους κατασκευής και υπεργολαβίας ανά είδος γραφείου εκτίθενται στον παρακάτω Πίνακα 2: ΠΙΝΑΚΑΣ 2 Γραφείο 1 Γραφείο 2 Γραφείο 3 Κόστος κατασκευής ενός γραφείου (ευρώ) 500 830 1.300 Κόστος υπεργολαβίας ενός γραφείου 610 970 1.450 (ευρώ) Ερώτημα 1. Να αναπτύξετε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού που όταν επιλυθεί να μπορεί να απαντήσει στο ερώτημα: «Πόσα γραφεία από κάθε είδος θα παράγει μόνη της και πόσα γραφεία από κάθε είδος θα δώσει ως υπεργολαβία έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος κατασκευής»; Να χρησιμοποιήσετε το Εxcel για να επιλύσετε αλγεβρικά το μοντέλο σας και να απαντήσετε στο ερώτημα. Να συμπεριλάβετε στο αρχείο Word της εργασίας που θα παραδώσετε το φύλλο εργασίας με τα δεδομένα μετά την επίλυση, την αναφορά αποτελεσμάτων και την αναφορά ευαισθησίας (εικόνες από φύλλα Εxcel) Ερώτημα 2. Πόσο είναι το κέρδος της ΕΠΙΠΛΑ ΑΕ; Ερώτημα 3. Η εταιρεία εξετάζει το ενδεχόμενο να αυξήσει κατά 500 τις εργατοώρες σε ένα από τα δύο
τμήματα (ξυλουργείο ή βαφής) με κόστος 20.000 ευρώ. Να χρησιμοποιήσετε τις προηγούμενες
αναφορές του Εxcel για να βρείτε σε ποιο τμήμα συμφέρει την ΕΠΙΠΛΑ ΑΕ να διαθέσει τις
επιπλέον εργατοώρες. Στη συνέχεια να υπολογίσετε το νέο συνολικό κέρδος και κατόπιν να
βρείτε το νέο σχέδιο παραγωγής και υπεργολαβίας. Tech and Math - Εκπαιδευτική πύλη
www.techandmath.gr
Τηλέφωνο επικοινωνίας : 6974473322
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
31
Α1
5
ΕΕ
Ε
Δ1
8
Α2
7
ch
an
dm
a
9
23
th.
g
r
ΑΣΚΗΣΗ 1
4
6
Δ2
9
5
Δ3
Δ4
ww
w.t
e
Έχουμε να λύσουμε το πρόβλημα εύρεσης της μέγιστης ροής φορτίων
εμπορευμάτων από το εργοστάσιο Ε διαμέσου των αποθηκών Α1 και Α2 προς την
αγορά μέσω των 4 διανομέων Δ1,Δ2,Δ3,Δ4.
Ξεκινάμε επιλέγοντας ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα ροής
(δ.ρ.), όπως για παράδειγμα το Ε – Α1 – Δ2 με δ.ρ. = 9, όπως καθορίζεται από την
ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α1 – Δ2 . Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 9και
σε κάθε εισροή προσθέτουμε 9. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα:
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
9
Α1
5
Δ1
8
Α2
7
0
9
6
Δ2
9
5
ch
an
dm
a
4
23
r
ΕΕ
Ε
22
th.
g
Ε – Α1 – Δ2 Æ 9
Δ3
Δ4
ww
w.t
e
Συνεχίζουμε επιλέγοντας πάλι ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα
ροής , όπως για παράδειγμα το Ε – Α2 – Δ3 με δ.ρ. = 9, όπως καθορίζεται από την
ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α2 –Δ3 . Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 9 και
σε κάθε εισροή προσθέτουμε 9. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα:
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
ΕΕ
Ε
22
14
r
Ε – Α1 – Δ2 Æ 9
th.
g
Ε – Α2 – Δ3 Æ 9
9
9
5
Α1
8
Δ1
7
0
9
6
5
0
Δ2
ch
an
dm
a
4
Α2
9
Δ3
Δ4
Συνεχίζουμε επιλέγοντας πάλι ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα
ροής , όπως για παράδειγμα το Ε – Α2 – Δ2 με δ.ρ. = 7, όπως καθορίζεται από την
ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α2 –Δ2 . Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 7 και
σε κάθε εισροή προσθέτουμε 7. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα:
Ε – Α1 – Δ2 Æ 9
ΕΕ
Ε
22
7
w.t
e
Ε – Α2 – Δ3 Æ 9
9
Α1
16
5
8
Δ1
0
Ε – Α2 – Δ2 Æ 7
ww
4
6
Α2
0
9
7
Δ2
0
5
9
Δ3
Δ4
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
Ε – Α1 – Δ2 Æ 9
ΕΕ
Ε
22
0
Ε – Α2 – Δ3 Æ 9
9
Α1
23
5
Δ1
7
1
Α2
0
ch
an
dm
a
0
Ε – Α2 – Δ2 Æ 7
Ε – Α2– Δ1 Æ 7
th.
g
r
Συνεχίζουμε επιλέγοντας πάλι ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα
ροής , όπως για παράδειγμα το Ε – Α2 – Δ1 με δ.ρ. = 7, όπως καθορίζεται από την
ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Ε –Α2 . Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 7 και
σε κάθε εισροή προσθέτουμε 7. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα:
9
4
6
7
Δ2
0
5
9
Δ3
Δ4
ww
w.t
e
Συνεχίζουμε επιλέγοντας πάλι ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα
ροής , όπως για παράδειγμα το Ε – Α1 – Δ3 με δ.ρ. = 6, όπως καθορίζεται από την
ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α1 –Δ3 . Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 6 και
σε κάθε εισροή προσθέτουμε 6. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα:
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
16
ΕΕ
Ε
0
r
Ε – Α1 – Δ2 Æ 9
th.
g
Ε – Α2 – Δ3 Æ 9
15
Α1
23
5
Δ1
7
1
0
0
Ε – Α2 – Δ2 Æ 7
Ε – Α1 – Δ3 Æ 6
9
7
0
4
5
0
Δ2
ch
an
dm
a
Ε – Α2– Δ1 Æ 7
Α2
6
9
Δ3
Δ4
Συνεχίζουμε επιλέγοντας πάλι ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα
ροής , όπως για παράδειγμα το Ε – Α1 – Δ1 με δ.ρ. = 5, όπως καθορίζεται από την
ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α1 –Δ1 . Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 5 και
σε κάθε εισροή προσθέτουμε 5. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα:
Ε – Α1 – Δ2 Æ 9
11
ΕΕ
Ε
0
w.t
e
Ε – Α2 – Δ3 Æ 9
21
Α1
0
23
5
Δ1
7
1
0
Ε – Α2 – Δ2 Æ 7
Ε – Α2– Δ1 Æ 7
ww
Ε – Α1 – Δ3 Æ 6
Ε – Α1 –Δ1 Æ 5
4
Α2
0
9
7
0
Δ2
6
0
5
9
Δ3
Δ4
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
Ε – Α1 – Δ2 Æ 9
7
ΕΕ
Ε
0
Ε – Α2 – Δ3 Æ 9
25
23
0
Α1
5
Δ1
7
0
Ε – Α1 –Δ1 Æ 5
Α2
ch
an
dm
a
Ε – Α1 – Δ3 Æ 6
1
0
Ε – Α2 – Δ2 Æ 7
Ε – Α2– Δ1 Æ 7
th.
g
r
Τέλος συνεχίζουμε επιλέγοντας το τελευταίο εναπομείναν μονοπάτι με θετική
δυναμικότητα ροής, που είναι το Ε – Α1 – Δ4 με δ.ρ. = 4, όπως καθορίζεται από την
ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α1 – Δ4 . Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 4 και
σε κάθε εισροή προσθέτουμε 4. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα:
9
0
7
0
Δ2
6
0
5
9
Δ3
Ε – Α1 – Δ4 Æ 4
4
Δ4
Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε πλέον να στείλουμε φορτία σε κανέναν διανομέα,
άρα η μέγιστη ροή φορτίων είναι:
w.t
e
9+9+7+7+6+5+4 = 47 φορτία.
ΑΣΚΗΣΗ 2
ww
Από την στιγμή που οι πελάτες αναμένουν σε μία τηλεφωνική γραμμή («ουρά
αναμονής») με πειθαρχία FIFO, έχουμε να κάνουμε με μία ουρά αναμονής τύπου
M/M/1.
Ο ρυθμός κλήσεων είναι:
λ = 3 κλήσεις / λεπτό
ενώ για να βρούμε τον ρυθμό εξυπηρέτησης χρησιμοποιούμε την απλή μέθοδο των
τριών:
Σε 15 δευτερόλεπτα εξυπηρετείται 1 κλήση
Σε 60 δευτερόλεπτα εξυπηρετούνται μ; κλήσεις
_______________________________________
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
μ = 1 * (60 / 15) => μ = 4 κλήσεις / λεπτό
έχουμε
για
τους
βασικούς
δείκτες
ch
an
dm
a
Σε κατάσταση ισορροπίας λοιπόν
λειτουργικότητας του συστήματος:
th.
g
r
Παρατηρούμε αρχικά ότι μ > λ , άρα το σύστημα συγκλίνει σε κατάσταση
(στατιστικής) ισορροπίας και επομένως μπορούμε να προχωρήσουμε στους
υπολογισμούς σύμφωνα με τους τύπους του συστήματος Μ/Μ/1.
Επίσης έχουμε για τα κόστη:
Κόστος αναμονής ανά λεπτό c w = 50 ευρώ
Κόστος λειτουργίας ανά λεπτό cs = 20 ευρώ
λ 3
= = 0, 75 = 75%
μ 4
2. Πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης = Πιθανότητα να μην υπάρχει κανείς
πελάτης στο σύστημα = P0 = 1 − ρ = 1 − 0, 75 = 0, 25 = 25%
1. Βαθμός απασχόλησης του συστήματος ρ =
λ2
32
9
=
= = 2, 25 πελάτες
μ ( μ − λ ) 4(4 − 3) 4
λ
λ 9 3
4. Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα: L =
= Lq + = + = 3 πελάτες
μ −λ
μ 4 4
3. Μέσο μήκος της ουράς αναμονής: Lq =
9
Lq 4 3
λ
5. Μέσος χρόνος αναμονής: Wq =
=
= = = 0, 750 λεπτά
μ (μ − λ ) λ
3 4
6. Μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα: W =
1
L 3
= = = 1 λεπτό
μ −λ λ 3
w.t
e
7. Συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος:
TC1 = cw L + cs s = 50*3 + 20*1 = 170 ευρώ / λεπτό
8. Το εναλλακτικό σχέδιο πρόσληψης ενός αντικρυστή σημαίνει ότι τότε θα
υπάρχει ουρά αναμονής Μ/Μ/2 με τα εξής δεδομένα:
Ρυθμός αφίξεων (κλήσεων):
ww
λ = 3 κλήσεις / λεπτό
Ρυθμός εξυπηρέτησης:
μ = 4 κλήσεις / λεπτό
Συνολικός ρυθμός εξυπηρέτησης
s μ = 8 κλήσεις / λεπτό , δηλ. s μ > λ , άρα το σύστημα ισορροπεί.
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
Σε κατάσταση ισορροπίας λοιπόν
λειτουργικότητας του συστήματος:
P0 =
∑⎢
s
=
βασικούς
δείκτες
1
⎡ (3 / 4) ⎤ (3 / 4) 2 ⎛ 8 ⎞
∑
⎢ n ! ⎥ + 2! * ⎜ 8 − 3 ⎟
⎝
⎠
n=0 ⎣
⎦
1
n
r
⎡ (λ / μ ) ⎤ (λ / μ ) ⎛ s μ ⎞
*⎜
+
⎟
n ! ⎦⎥
s!
n=0 ⎣
⎝ sμ − λ ⎠
n
τους
th.
g
P0 =
1
s −1
για
1
1
1
=
=
⇒
1
2
(3 / 4) (3 / 4) (3 / 4) 8 1 + 3 + 9 * 8 1 + 3 + 9
+
+
*
4 32 5
4 20
0!
1!
2!
5
0
5
= 0, 4545
1
ch
an
dm
a
P0 =
έχουμε
Μέσο μήκος ουράς αναμονής:
Lq =
Lq =
( λ ) s λμ
μ
( s − 1)!( s μ − λ )
* P0 =
2
(3 / 4) 2 *3* 4 5 27
=>
* =
1!52
11 220
27
= 0,1227 πελάτες
220
Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα:
λ 27 3 48
=
+ =
= 0,8727 πελάτες
μ 220 4 55
Άρα το συνολικό κόστος θα είναι για 2 υπαλλήλους ίσο με:
w.t
e
L = Lq +
48
920
+ 20* 2 =
= 83,6364 ευρώ / λεπτό
55
11
Κάνουμε στο EXCEL τους υπολογισμούς και για συστήματα με s=3,4 αντικρυστές
και βλέπουμε ότι:
ww
TC2 = cw L + cs s = 50*
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
0,2500
2,2500
0,7500
3,0000
1,0000
0,7500
3
4
0,4545
0,4706
0,4722
0,1227
0,0147
0,0018
0,0409
0,0049
0,0006
0,8727
0,7647
0,7518
0,2909
0,2549
0,2506
0,3750
0,2500
0,1875
0,3409
0,7955
83,6364 98,2353 117,5884
ch
an
dm
a
Po, πιθανότητα να μην υπάρχει πελάτης στο σύστημα =
Lq,μέσο μήκος ουράς αναμονής =
Wq, μέσος χρόνος αναμονής =
L, μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα =
W, μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα =
ρ, βαθμός απασχόλησης του συστήματος =
P1 =
πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης (Ρο+Ρ1) =
Συνολικό κόστος ανά λεπτό λειτουργίας =
th.
g
r
Υπολογισμοί Δεικτών Λειτουργικότητας Συστήματος M/M/s
Μέσος ρυθμός άφιξης (λ)
3
Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης (μ)
4
Μοναδιαίο κόστος αναμονής (cw)
50
Μοναδιαίο κόστος εξυπηρέτησης (cs)
20
λ/μ=
0,7500
Θέσεις εξυπηρέτησης (s=2)
1
2
170
TC(s)
180
160
140
TC(s)
120
100
80
60
40
w.t
e
20
0
1
2
3
4
s
ww
Το μικρότερο συνολικό κόστος επιτυγχάνεται με 2 αντικρυστές και είναι 83,6364
ευρώ ανά λεπτό λειτουργίας.
Επίσης τότε έχουμε:
9. Πιθανότητα άμεσης απάντησης σε μια κλήση = P0 + P1 = 0,7955 = 79,55%
10. Μέσος χρόνος αναμονής μιας κλήσης = Lq = 0,1227 κλήσεις
11. Μέσος χρόνος μέχρι και την ολοκλήρωση εξυπηρέτησης μιας κλήσης = W =
0,2909 λεπτά
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
ΑΣΚΗΣΗ 3
r
Ερώτημα 1
th.
g
Πρόκειται καταρχήν για παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος.
Εφαρμόζουμε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών και έχουμε:
Β1
κάθε πόλη
2 ημέρες
στη
Α2
Μακρυχώρα
2 ημέρες
στη
Α3
Μεγαλόπολη
Μέγιστο στηλών
minimax
Β3
maximin
2 ημέρες
2 ημέρες
στη
στη
Μακρυχώρα Μεγαλόπολη
Ελάχιστο
γραμμών
ch
an
dm
a
Α1 1 ημέρα σε
1
ημέρα
σε
κάθε
πόλη
0
Β2
-2
3
2
4
2
-3
3
3
-3
-4
4
-2
-2
-4
2
2 # -2
2
Δηλαδή minimax = 2 ≠ -2 = maximin, άρα δεν υπάρχει ισορροπία με αμιγείς
στρατηγικές.
w.t
e
Ερώτημα 2
Προχωρούμε διαγράφοντας τυχόν υπάρχουσες υποδεέστερες στρατηγικές.
ww
Παρατηρούμε τα στοιχεία της Α3 γραμμής είναι μικρότερα ή ίσα από τα αντίστοιχα
στοιχεία της Α2 γραμμής, άρα η στρατηγική Α3 είναι υποδεέστερη της Α2 κι έτσι
διαγράφουμε την Α3:
Β1
Β2
Β3
Α1
0
-2
2
Α2
3
4
Α3
2
-3
3
-4
Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να διαγράψουμε καμία στρατηγική για τον B και
έτσι ο Πίνακας Πληρωμών του παιγνίου γίνεται:
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
4η εργασία ΔΕΟ13
th.
g
r
Tech and Math
Β1
Β2
Β3
Α1
0
-2
2
Α2
3
4
-3
ch
an
dm
a
Παρατηρούμε ότι πρόκειται για παίγνιο 2 x n , για την ακρίβεια 2 x 3, δηλ. 2
γραμμών και 3 στηλών, το οποίο θα επιλύσουμε γραφικά ονομάζοντας x την
πιθανότητα ο παίκτης A να ακολουθήσει τη στρατηγική A1 και (1-x) την πιθανότητα
να ακολουθήσει τη στρατηγική A2:
Β1
Β2
Β3
2
Α1
x
0
-2
Α2
1-x
3
4
-3
Για τον παίκτη A οι αναμενόμενες τιμές εισπράξεων για τις τρεις στρατηγικές που
μπορεί να ακολουθήσει ο B θα είναι:
V(A,B1) = 0*x +3*(1-x)
= - 3*x + 1
V(A,B2) = (-2)*x + 4*(1-x) = - 6*x + 4
V(A,B3) = 2*x + (-3)*(1-x) = 5*x -3
w.t
e
Σύρουμε δύο παράλληλους κάθετους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν
μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις δύο στρατηγικές του
παίκτη A.
Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας x.
ww
Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη
Α (δηλαδή τα V(A, Bi), i=1,2,3) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο B και
την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη A είτε της A1 είτε της A2.
Για να χαράξουμε τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις
αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να
χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί π.χ. στο V(A, B1) συνδέουμε το 0 του άξονα
Α1 με το 3 του άξονα Α2, για το V(A, B2) συνδέουμε το -2 του άξονα Α1 με το 4 του
άξονα Α2 και για την ευθεία V(A, B3) συνδέουμε το 2 άξονα Α1 με το –3 του άξονα
Α2 κι έχουμε το ακόλουθο σχήμα:
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
4η εργασία ΔΕΟ13
th.
g
r
Tech and Math
A1
A2
4
3
B1
ch
an
dm
a
2
K
V=0,1818
0
-2
B2
B3
1 - x = 4 / 11
-3
x = 7 / 11
ww
w.t
e
Επειδή ο παίκτης A επιλέγει maximin στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το
μέγιστο από τα ελάχιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που
βρίσκεται στην κατώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με πιο
έντονες μπλε γραμμές. Επάνω σ’ αυτήν, θα επιλέξει το υψηλότερο (maximin) σημείο
δηλαδή το σημείο Κ, όπως σημειώνεται. Ως εκ τούτου, η στρατηγική Β1 από την
πλευρά του παίκτη Β απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του
maximin σημείου Κ και η διάσταση του προβλήματος γίνεται 2x2 με τον ακόλουθο
πίνακα πληρωμών:
Α1
Α2
Β2
Β3
y
1-y
x
-2
2
1-x
4
-3
Ας ονομάσουμε y την πιθανότητα ο παίκτης B να ακολουθήσει τη στρατηγική B2,
οπότε (1-y) θα είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την B3. Τότε για τον παίκτη Β οι
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
Θέτοντας V(A,B2) = V(A,B3) έχουμε:
th.
g
V(B,A1) = (-2)*y +2*(1-y) = - 4*y + 2
V(B,A2) = 4*y + (-3)*(1-y) = 7*y - 3
r
αναμενόμενες τιμές εισπράξεων για τις δύο στρατηγικές που μπορεί να ακολουθήσει
ο Α θα είναι:
-6*x + 4 = 5*x –3 => 4 + 3 = 5*x + 6*x => 7 = 11*x => 11*x = 7 =>
x = 7 / 11 => 1 – x = 4 / 11 ή αριθμητικά:
ch
an
dm
a
x = 0,6364 => 1 – x = 0,3636
Θέτοντας V(B,A1) = V(B,A2) έχουμε:
-4*y + 2 = 7*y - 3 => 2 + 3 = 7*y + 4*y => 5 = 11*y => 11*y = 5 =>
y = 5 / 11 => 1 – y = 6 / 11 ή αριθμητικά:
y = 0,4545 => 1 – y = 0,5455
Η τιμή του παιγνίου προκύπτει λ.χ. από:
V = V(A,B2) = - 6*x + 4 = -6*7 / 11 + 4 => V = 2 /11 ή V = 0,1818
Το οποίο είναι κέρδος για τον Α και ισόποση ζημία για τον Β.
Δηλαδή, τελικά, ο πολιτικός Α αναμένεται ότι θα κερδήσει 0,1818*10000 = 1818
ψήφους συνολικά ακολουθώντας το μεικτό σχήμα στρατηγικών με πιθανότητες:
(A1,A2,A3) = (7 / 11 , 4 / 11 , 0)
w.t
e
(B1,B2,B3) = (0, 5 / 11 , 6 / 11 )
Η ερμηνεία των πιθανοτήτων έχει ως εξής:
“Στις 11 φορές που παίζεται το παίγνιο ο Α ακολουθεί 7 φορές την στρατηγική
Α1 και, 4 φορές την Α2 ενώ ο Β ακολουθεί 5 φορές την Β2 και 6 φορές την Β3”.
ΑΣΚΗΣΗ 4
ww
Ερώτημα 1
Έστω ότι η εταιρεία θα παρασκευάσει τελικά σε μία ημέρα:
x1 = τόνους τροφής για σκύλους
x2 = τόνους τροφής για γάτες
Επειδή το κέρδος ανά τόνο τροφής για σκύλους και γάτες είναι 700 ευρώ και 400
ευρώ αντίστοιχα, το συνολικό κέρδος σε μία ημέρα θα είναι:
z=700*x1 + 400*x2
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
th.
g
r
Αυτό το κέρδος πρέπει να μεγιστοποιηθεί κάτω από τους περιορισμούς στις
διαθέσιμες ώρες λειτουργίας του μηχανήματος συσκευασίας για κάθε είδος τροφής,
τον περιορισμό που προκύπτει από την αναλογία μεταξύ των δύο ποσοτήτων και τον
περιορισμό για την ολική ζήτηση της αγοράς, συνολικά και ανά είδος τροφής.
Αναλυτικά:
Περιορισμός ωρών λειτουργίας του μηχανήματος συσκευασίας:
ch
an
dm
a
Το μηχάνημα συσκευάζει 6 τόνους τροφής σκύλων σε 1 ώρα
Το μηχάνημα συσκευάζει x1 τόνους τροφής σκύλων σε Τ1; Ώρες
Τ1 = 1 * x1 / 6 ώρες = x1/6 ώρες
Το μηχάνημα συσκευάζει 4 τόνους τροφής γατών σε 1 ώρα
Το μηχάνημα συσκευάζει x2 τόνους τροφής γατών σε Τ2; Ώρες
Τ2 = 1 * x2 / 4 ώρες = x2/4 ώρες
Άρα έχουμε για 8 ώρες ότι:
T1+T2 ≤ 8 =>
x1 / 6 + x2 / 4 ≤ 8 => 2*x1 + 3*x2 ≤ 96
Περιορισμός αναλογίας μεταξύ των δύο ποσοτήτων τροφής:
Για 5 τόνους σκυλοτροφής πρέπει να παράγονται τουλάχιστον 2 τόνοι γατοτροφής
Για x1 τόνους σκυλοτροφής πρέπει να παράγονται τουλάχιστον x2; τόνοι γατοτροφής
w.t
e
x2 ≥ 2 * x1 / 5 =>
-2 * x1 / 5 + x2 ≥ 0 => -2*x1 + 5*x2 ≥ 0
Περιορισμός ολικής ζήτησης της αγοράς:
x1 + x2 ≥ 20
ww
Περιορισμός ολικής ζήτησης της αγοράς για σκυλοτροφή:
x1 ≥ 10
Δηλαδή τελικά έχουμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού:
Maximize z=700*x1 + 400*x2
Υπό τους περιορισμούς:
2*x1 + 3*x2 ≤ 96
(1)
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
4η εργασία ΔΕΟ13
(2)
x1 + x2 ≥ 20
(3)
x1 ≥ 10
(4)
th.
g
-2*x1 + 5*x2 ≥ 0
r
Tech and Math
και φυσικά
(5)
x2 ≥ 0
(6)
ch
an
dm
a
x1 ≥ 0
Χαράζουμε πρώτα τις ευθείες των περιορισμών κάνοντας γραφικές παραστάσεις των
αντιστοίχων ισοτήτων και κατόπιν βρίσκουμε την εφικτή περιοχή του προβλήματος.
2*x1 + 3*x2 =96 => x2 =32 – 2/3*x1
(1α)
-2*x1 + 5*x2 = 0 => x2 = 2/5*x1
(2α)
x1 + x2 =20 => x2 = 20 –x1
(3α)
x1=10
(4α)
Θέτοντας x1 = 0 στην (1α) βρίσκουμε το σημείο (0,32) ενώ για x2 =0 βρίσκουμε
x1=48, δηλ. το σημείο (48,0).
Θέτοντας x1 = 0 στην (2α) βρίσκουμε το σημείο (0,0) ενώ για x1 =5 βρίσκουμε x2=2
δηλ. το σημείο (5,2).
w.t
e
Θέτοντας x1 = 0 στην (3α) βρίσκουμε το σημείο (0,20) ενώ για x2 =0 βρίσκουμε
x1=20, δηλ. το σημείο (20,0).
Η (4α) είναι η κατακόρυφη ευθεία στο σημείο (4,0).
ww
Εξισώνοντας τα δεξιά μέλη των (1α) και (2α) βρίσκουμε το σημείο τομής:
32 – 2/3*x1 = 2/5*x1 => 32 = 2/3*x1 + 2/5*x1 => 16/15 * x1 = 32 =>
16*x1 = 32*15 => 16*x1 = 480 => x1 = 30 άρα x2 = 2/5*x1 =2/5*30 = 12 κι έχουμε
το σημείο Γ(30 , 12).
Εξισώνοντας τα δεξιά μέλη των (2α) και (3α) βρίσκουμε το σημείο τομής:
20 –x1 = 2/5*x1 => 20 = 2/5*x1 + x1 => 7/5 * x1 =20 =>
7*x1 = 20*5 => 7*x1 = 100 => x1 = 100/7 άρα x2 = 2/5*x1 =2/5*100/7 = 40/7 κι
έχουμε το σημείο Δ(100/7, 40/7).
Θέτοντας την (3α) στις (1α), (2α) και (4α) αντίστοιχα βρίσκουμε:
x2 =32 – 2/3*x1 = x2 =32 – 2/3*10 = 76/3 δηλ. η τομή είναι το σημείο B(10 , 76/3)
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
th.
g
΄Ετσι η εφικτή περιοχή είναι η κίτρινη περιοχή του σχήματος:
x2
32
(5)
(1α)
ch
an
dm
a
B
20
r
x2 = 2/5*x1 =2/5*10 = 4 δηλ. η τομή είναι το σημείο (10 , 4)
x2 = 20 –x1 = 20 –10 δηλ. η τομή είναι το σημείο A(10 , 10)
(2α)
(4α)
12
Γ(30,12)
A
Δ
(3α
)
10
20
30
48
x1
w.t
e
Η αντικειμενική συνάρτηση είναι:
Κορυφή
Τιμή z
Α(10 , 10)
Β(10 , 76/3)= Β(10 , 25.33)
Γ(30 , 12)
Δ(100/7, 40/7) = Δ(14.29 , 5.71)
11000
51400/3 = 17133.33
25800
86000/7 = 12285.71
z=700*x1 + 400*x2
ww
και ο υπολογισμός της σε κάθε κορυφή δίνει το αντίστοιχο συνολικό κέρδος της
εταιρείας:
Βέλτιστη
Άρα η βιομηχανία θα έχει το μέγιστο κέρδος ίσο με 25800 ευρώ όταν κατασκευάσει
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
x1 = 30 τόνους σκυλοτροφή και x2 = 12 τόνους γατοτροφή.
r
Τότε η αντικειμενική συνάρτηση είναι:
th.
g
25800=700*x1+400*x2 => 400*x2 = 25800 - 700*x1 => x2 = 64,5 – 1,75*x1
και είναι η έντονη κόκκινη διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα μας.
Ερώτημα 2
ch
an
dm
a
Με την βοήθεια της επίλυσης του EXCEL έχουμε τον ακόλουθο πίνακα δεδομένων
και αποτελεσμάτων, αφού μετατρέψουμε το πρόβλημα στην κανονική του μορφή:
Ημερήσια ποσότητα
παραγόμενης
τροφής σε τόνους
Σκυλοτροφή
x1
Γατοτροφή
x2
30
12
ΣΥΝΟΛΙΚΟ
ΚΕΡΔΟΣ
700
400
25800
2
3
96
<=
96
2
-5
0
<=
0
-1
-1
-42
<=
-20
-1
0
-30
<=
-10
ww
w.t
e
Κέρδος
Περιορισμός ωρών
λειτουργίας
συσκευασίας
Περιορισμός
αναλογίας των δύο
ποσοτήτων
Συνολική ζήτηση
τροφών
Συνολική ζήτηση
σκυλοτροφής
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
Κελί προορισμού (Μέγιστο)
Κελί
$E$8 Κέρδος ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ
Τελική τιμή
25800
Ρυθμιζόμενα κελιά
Κελί
Όνομα
$C$5 Ημερήσια ποσότητα παραγόμενης τροφής σε τόνους x1
$D$5 Ημερήσια ποσότητα παραγόμενης τροφής σε τόνους x2
Αρχική τιμή
0
0
Τελική τιμή
30
12
Περιορισμοί
Κελί
Όνομα
$E$11 Συνολική ζήτηση τροφών ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ
$E$10 Περιορισμός αναλογίας των δύο ποσοτήτων ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ
$E$12 Συνολική ζήτηση σκυλοτροφής ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ
$E$9 Περιορισμός ωρών λειτουργίας συσκευασίας ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ
Τιμή κελιού
-42
0
-30
96
Κελί
Όνομα
$C$5 Ημερήσια ποσότητα παραγόμενης τροφής σε τόνους x1
$D$5 Ημερήσια ποσότητα παραγόμενης τροφής σε τόνους x2
Περιορισμοί
Κελί
$E$11
$E$10
$E$12
$E$9
Όνομα
Συνολική ζήτηση τροφών ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ
Περιορισμός αναλογίας των δύο ποσοτήτων ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ
Συνολική ζήτηση σκυλοτροφής ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ
Περιορισμός ωρών λειτουργίας συσκευασίας ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ
Ερώτημα 3
th.
g
Τύπος
$E$11<=$G$11
$E$10<=$G$10
$E$12<=$G$12
$E$9<=$G$9
Κατάσταση
Μη υποχρεωτικός
Υποχρεωτικός
Μη υποχρεωτικός
Υποχρεωτικός
Απόκλιση
22
0
20
0
ch
an
dm
a
Ρυθμιζόμενα κελιά
r
Αρχική τιμή
0
Όνομα
Τελική Μειωμένο Αντικειμενικός Επιτρεπόμενη Επιτρεπόμενη
τιμή
κόστος
συντελεστής
αύξηση
μείωση
30
0
700
1E+30
433,3333333
12
0
400
650
2150
Τελική Σκιώδης
τιμή
τιμή
-42
0
0
81,25
-30
0
96
268,75
Περιορισμός Επιτρεπόμενη Επιτρεπόμενη
R.H. Side
αύξηση
μείωση
-20
1E+30
22
0
96
106,6666667
-10
1E+30
20
96
1E+30
50,28571429
w.t
e
1. Από την ανάλυση ευαισθησίας βλέπουμε ότι αν μειωθεί το κέρδος ανά τόνο
σκυλοτροφής κατά 200 ευρώ και γίνει 500 ευρώ, η μείωση αυτή είναι εντός
της επιτρεπόμενης μείωσης και μάλιστα 200<433,33. Επομένως δεν θα
αλλάξει η βέλτιστη λύση x1=30, x2 =12 και τα συνολικά κέρδη θα είναι
τώρα:
z = 500*x1+400*x2 = 500*30+400*12 = 19800 ευρώ
ww
2. Η σκιώδης τιμή του περιορισμού ωρών εργασίας του μηχανήματος
συσκευασίας είναι 268,75 άρα ο περιορισμός αυτός είναι δεσμευτικός και η
τιμή αυτή είναι το (οριακό) κέρδος που προκύπτει αν αυξήσουμε τις ώρες
συσκευασίας κατά 1 ώρα ή, επειδή έχουμε κάνει απλοποίηση στον περιορισμό
(1) πολλαπλασιάζοντας με 12, είναι το ίδιο με την αύξηση του δεξιού μέλους
του (1) κατά 12 μονάδες. Επομένως μία μείωση κατά 2 ώρες (ισοδύναμα
μείωση του δεξιού μέλους του (1) κατά 2*12 = 24 μονάδες) θα επιφέρει
μείωση στο κέρδος κατά: 24 * 268,75 = 6450 ευρώ και το κέρδος θα γίνει
25800 – 6450 = 19350 ευρώ.
ΑΣΚΗΣΗ 5
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
Ερώτημα 1.
th.
g
X1=αριθμός γραφείων τύπου 1 που παράγει η εταιρεία μόνη της
X2=αριθμός γραφείων τύπου 2 που παράγει η εταιρεία μόνη της
X3=αριθμός γραφείων τύπου 3 που παράγει η εταιρεία μόνη της
Y1=αριθμός γραφείων τύπου 1 που θα δώσει ως υπεργολαβία
Y2=αριθμός γραφείων τύπου 2 που θα δώσει ως υπεργολαβία
Y3=αριθμός γραφείων τύπου 3 που θα δώσει ως υπεργολαβία
r
Έστω ότι έχουμε τους ακόλουθους ορισμούς μεταβλητών:
ch
an
dm
a
Τότε προφανώς το συνολικό κόστος της επιχείρησης θα είναι:
Z=500*X1+830*X2+1300*X3+610*Y1+970*Y2+1450*Y3
Το οποίο φυσικά θέλει να ελαχιστοποιήσει κάτω από κάποιους περιορισμούς.
Περιορισμός συνολικής παραγγελίας γραφείων ανά τύπο γραφείου:
X1+Y1 = 3000
X2+Y2 = 2000
X3+Y3 = 900
Περιορισμός απαιτούμενου χρόνου στο τμήμα ξυλουργείου ανά τύπο γραφείου:
2*Χ1+1,5*Χ2+3*Χ3 ≤ 10000
Περιορισμός απαιτούμενου χρόνου στο τμήμα βαφής ανά τύπο γραφείου:
Χ1+2*Χ2+Χ3 ≤ 5000
w.t
e
Συνοπτικά η επιχείρηση έχει να λύσει το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού:
Minimize Z=500*X1+830*X2+1300*X3+610*Y1+970*Y2+1450*Y3
Υπό τους περιορισμούς:
ww
X1+Y1 = 3000
X2+Y2 = 2000
X3+Y3 = 900
2*Χ1+1,5*Χ2+3*Χ3 ≤ 10000
Χ1+2*Χ2+Χ3 ≤ 5000
X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3 ≥ 0
Εισάγουμε το πρόβλημα σε μορφή κατανοητή από το EXCEL και έχουμε:
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
4η εργασία ΔΕΟ13
Τύπος Γραφείου
Γραφείο 1 Γραφείο 2
3000
550
0
1450
Γραφεία που κατασκευάζονται
Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία
(για
2
1
Γραφείο 3
900
0
1,5
3
2
1
ch
an
dm
a
Απαιτούμενες ώρες ξυλουργείου
ένα γραφείο)
Απαιτούμενος ώρες βαφής
(για ένα γραφείο)
th.
g
r
Tech and Math
Κόστος κατασκευής ενός γραφείου (ευρώ)
500
830
1300
Κόστος υπεργολαβίας ενός γραφείου (ευρώ)
610
970
1450
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 1
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 2
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 3
Διαθέσιμες Εργατοώρες ξυλουργείου
Διαθέσιμες Εργατοώρες βαφής
Περιορισμός Συνολικού κόστους
Συνολικό Κόστος
3000
2000
900
9525
5000
4533000
=`
=`
=`
<=
<=
<=
3000
2000
900
10000
5000
6500000
4533000
Αν επιλύσουμε με το EXCEL το πρόβλημα θα βρούμε ότι:
Τύπος Γραφείου
Γραφείο 1 Γραφείο 2
3000
550
0
1450
Γραφεία που κατασκευάζονται
Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία
Απαιτούμενες ώρες ξυλουργείου
ένα γραφείο)
Απαιτούμενος ώρες βαφής
(για ένα γραφείο)
(για
Γραφείο 3
900
0
1,5
3
1
2
1
Κόστος κατασκευής ενός γραφείου (ευρώ)
500
830
1300
Κόστος υπεργολαβίας ενός γραφείου (ευρώ)
610
970
1450
w.t
e
2
ww
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 1
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 2
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 3
Διαθέσιμες Εργατοώρες ξυλουργείου
Διαθέσιμες Εργατοώρες βαφής
Συνολικό Κόστος
3000
2000
900
9525
5000
=`
=`
=`
<=
<=
3000
2000
900
10000
5000
4533000
Αναφορά απάντησης:
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
Αρχική τιμή
4533000
Τελική τιμή
4533000
Ρυθμιζόμενα κελιά
Κελί
Όνομα
$E$3 Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 1
$F$3 Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 2
$G$3 Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 3
$E$4 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 1
$F$4 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 2
$G$4 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 3
Αρχική τιμή
3000
550
900
0
1450
0
Τελική τιμή
3000
550
900
0
1450
0
Περιορισμοί
Κελί
Όνομα
$E$11 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 3 Γραφείο 1
$E$12 Διαθέσιμες Εργατοώρες ξυλουργείου Γραφείο 1
$E$9 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 1 Γραφείο 1
$E$10 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 2 Γραφείο 1
$E$13 Διαθέσιμες Εργατοώρες βαφής Γραφείο 1
Τιμή κελιού
900
9525
3000
2000
5000
th.
g
r
Κελί προορισμού (Ελάχιστο)
Κελί
Όνομα
$E$14 Συνολικό Κόστος Γραφείο 1
Κατάσταση
Υποχρεωτικός
Μη υποχρεωτικός
Υποχρεωτικός
Μη υποχρεωτικός
Υποχρεωτικός
ch
an
dm
a
Τύπος
$E$11=$G$11
$E$12<=$G$12
$E$9=$G$9
$E$10=$G$10
$E$13<=$G$13
Απόκλιση
0
475
0
0
0
Αναφορά ευαισθησίας:
Ρυθμιζόμενα κελιά
Κελί
$E$3
$F$3
$G$3
$E$4
$F$4
$G$4
Όνομα
Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 1
Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 2
Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 3
Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 1
Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 2
Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 3
Περιορισμοί
Όνομα
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 3 Γραφείο 1
Διαθέσιμες Εργατοώρες ξυλουργείου Γραφείο 1
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 1 Γραφείο 1
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 2 Γραφείο 1
Διαθέσιμες Εργατοώρες βαφής Γραφείο 1
Τελική
τιμή
900
9525
3000
2000
5000
Σκιώδης
τιμή
1370
0
570
970
-70
Περιορισμός Επιτρεπόμενη Επιτρεπόμενη
R.H. Side
αύξηση
μείωση
900
211,1111111
900
10000
1E+30
475
3000
380
2900
2000
1E+30
1450
5000
633,3333333
1100
w.t
e
Κελί
$E$11
$E$12
$E$9
$E$10
$E$13
Τελική Μειωμένο Αντικειμενικός Επιτρεπόμενη Επιτρεπόμενη
τιμή
κόστος
συντελεστής
αύξηση
μείωση
3000
0
500
39,99999995
1E+30
550
0
830
140
79,99999991
900
0
1300
80,00000022
1E+30
0 39,99999995
610
1E+30
39,99999995
1450
0
970
79,99999991
140
0 80,00000022
1450
1E+30
80,00000022
Ερώτημα 2.
Το κέρδος της ΕΠΙΠΛΑ ΑΕ είναι:
ww
ΚΕΡΔΟΣ = ΕΣΟΔΑ – ΕΞΟΔΑ = 6500000 – 4533000 = 1967000 ευρώ
Ερώτημα 3.
Από την αναφορά ευαισθησίας παρατηρούμε ότι η σκιώδης τιμή του περιορισμού
εργατοωρών βαφής είναι –70, διάφορη του μηδενός, άρα ο περιορισμός είναι
δεσμευτικός. Η τιμή αυτή εκφράζει το (οριακό) κόστος από την αύξηση των
εργατοωρών βαφής κατά 1 ώρα κι επειδή είναι αρνητική σημαίνει ότι μία αύξηση
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]
Tech and Math
4η εργασία ΔΕΟ13
th.
g
r
εργατοωρών βαφής θα οδηγήσει σε μείωση του συνολικού κόστους κατά 70 ευρώ.
Επομένως συμφέρει στην βιομηχανία να κάνει την επένδυση στην αύξηση των
διαθεσίμων ωρών βαφής, γιατί θα κερδίσει συνολικά 500*70 – 20000 = 15000 ευρώ
από αυτή την επένδυση.
Πράγματι όπως βλέπουμε και μετά την επίλυση στο EXCEL:
Τύπος Γραφείου
Γραφείο 1 Γραφείο 2
3000
800
0
1200
Γραφεία που κατασκευάζονται
Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία
(για
2
1,5
ch
an
dm
a
Απαιτούμενες ώρες ξυλουργείου
ένα γραφείο)
Απαιτούμενος ώρες βαφής
(για ένα γραφείο)
Γραφείο 3
900
0
3
1
2
1
Κόστος κατασκευής ενός γραφείου (ευρώ)
500
830
1300
Κόστος υπεργολαβίας ενός γραφείου (ευρώ)
610
970
1450
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 1
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 2
Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 3
Διαθέσιμες Εργατοώρες ξυλουργείου
Διαθέσιμες Εργατοώρες βαφής
Συνολικό Κόστος
3000
2000
900
9900
5500
=`
=`
=`
<=
<=
3000
2000
900
10000
5500
4498000
Το συνολικό λειτουργικό κόστος μειώθηκε κατά 35000 ευρώ:
4533000 – 4498000 = 35000
w.t
e
από όπου αν αφαιρέσουμε το ύψος της επένδυσης:
35000 – 20000 = 15000
βρίσκουμε την καθαρή μείωση του συνολικού κόστους, άρα θα έχουμε μία ισόποση
αύξηση του κέρδους της βιομηχανίας το οποίο γίνεται τώρα:
ww
ΚΕΡΔΟΣ = (ΣΥΝΟΛΙΚΑ ΕΣΟΔΑ) – (ΣΥΝΟΛΙΚΑ ΕΞΟΔΑ)
=
6500000
– (4498000+20000)
ΚΕΡΔΟΣ = 1982000 ευρώ
www.techandmath.gr
τηλ. 6974473322
[email protected]