BIBLIOTEKA SIGMA
Pavle M. Mili~i}
RAVENSTVA
RAVENKI
IDENTITETI
IDENTI^NI TRANSFORMACII
zbirka nestandardni re{eni zada~i
Skopje, 2013
Издавач: Сојуз на математичари на Македонија
Претседател: Алекса Малчески
Рецензенти
м-р Павел Димовски, Технолошко-Металуршки факултет-Скопје
м-р Бојан Прангоски, Машински факултет-Скопје
CIP - Каталогизација во публикација
Национална и универзитетска библиотека "Св. Климент Охридски", Скопје
511/512.1(076)(075.3)
Павле Миличиќ
ИДЕНТИЧНИ трансформации : (збирка нестандардни решени задачи). 2. изд. - Скопје : Сојуз на математичари на Македонија, 2013. - 112
стр. : табели ; 24 см.
ISBN 978-9989-646-43-0
а) Елементарна математика - Трансформации - Идентитети - Задачи за
основно и средно образование
COBISS.MK-ID 93773322
Печати: АЛФА 94, Скопје
Тираж 1200 примероци
PREDGOVOR
Ovaa zbirka zada~i se razlikuva od postoe~kite zbirki zada~i za
sredno obrazovanie i ne e nameneta za ve`bawe na zada~i od posebni
oblasti od matematikata. Pred vas e zbirka kompletno re{eni zada~i,
koja opfa}a razli~ni sodr`ini od matematika, prete`no od treta i
~etvrta godina od srednoto obrazovanie. Se prepora~uva i za u~enicite
od site godini od srednoto obrazovanie, nivnite profesori kako i na
studentite po matematika.
Vo nejzinoto sozdavawe i komponirawe, vlo`eno e ~etiriesetgodi{noto iskustvo na avtorot za odbirawe i re{avawe na razni matemati~ki zada~i. Zbirkata e sostavena od raznovidni, nestandardni
zada~i, prete`no na povisoko nivo, koe bara znaewa od razni oblasti na
elementarnata matematika. Me|utoa, vo skoro site prilo`eni re{enija, na predlo`enite zada~i, se koristi identi~no transformirawe na
izrazi i formuli. Ottuka e i naslovot na zbirkata. Imeno, mnogu
zada~i, na prv pogled te{ki, se poednostavuvaat ako ravenstvoto, ili
neravenstvoto, poznatite ili nepoznatite elementi vo niv, se napi{at
vo drug oblik, odnosno ako nekoi izrazi koi figuriraat vo zada~ata,
identi~no se transformiraat vo oblik od koj re{enieto e o~igledno.
Su{tinata na tvrdeweto stanuva o~igledna ako se najde dobar identi~en oblik na osnovniot element vo toa tvrdewe. A tvrdewata mo`at da
bidat mnogu razli~ni: po~nuvaj}i od razlo`uvawe na algebarski izrazi
na prosti mno`iteli, re{avawe na ravenki, neravenki, delivost na
broevi i polinomi, tvdewa koi se doka`uvaat so metodot na matemati~ka indukcija, do razni problemi od geometrija.
Zna~i, vo zbirkata se sodr`at zada~i ~ii re{enija kako presuden ~ekor koristat identi~ni transformacii na izrazi. Osnovna ideja
na zbirkata e da se uka`e na plodotvornosta na identi~nite transformacii vo matematikata. Toj koj {to dobro }e gi sovlada ovie transformacii, sigurno }e bide (ili ve}e é) kreativen matemati~ar. Mislam
deka prilo`enite re{enija se pou~ni i ubavi. Zaradi toa tie se dadeni
vedna{ posle formulacijata na zada~ata, so `elba, korisnikot na zbirkata da nau~i korisni transformacii na izrazi, koi ovozmo`uvaat polesni re{enija na razni zada~i.
Zada~ite, pokraj originalnite, poteknuvaat od razni konkursi i
natprevari kako vo zemjata taka i od razni drugi zemji. Vo zbirkata se i
zada~ite od zbirkata: P. M. Mili~i} “Ednakvosti, identi~ni transformacii”, Materijal za mladi matemati~ari, kniga 1, vo izdanie na
Dru{tvoto na matemati~ari, fizi~ari i astronomi na SR Srbija izdadena 1964 godina.
Belgrad, 2000
P.M. Mili~i}
PREDGOVOR NA PREVEDUVA^OT
Pred vas se nao|a zbirka so retka sodr`ina i kompozicija,
kakva {to nema na na{ite prostori. Ova e originalna rabota na
avtorot, koja retko mo`e da se sretne vo pe~atenata literatura po
matematika, koj sekako za da sozdade vakvo delo potro{il mnogu vreme.
Dolgogodi{noto iskustvo na avtorot vo matematikata i vnimatelno
odbirawe na zada~ite e skoncentrirano na stranicite koi sleduvaat i
ovaa kniga }e pretstavuva ubavo ~etivo za mladite matemati~ari i
site qubiteli na matematikata.
Zbirkata obiluva so niza zada~i i serii zada~i od razli~ni
podra~ja na elementarnata matematika, pri {to nekoi od niv se suptilni matemati~ki problemi. Nivnoto re{avawe bara soodvetna prethodna podgotovka. Poslo`enite problemi, prezentirani kako zada~i,
za ~ie re{avawe vo matematikata se koristat i posofisticirani matemati~ki aparati, so nizi od identi~ni elementarni transformacii
se sveduvaat na ednostavni matemati~ki zada~i koi lesno se re{avaat.
Toa e i bitta na knigata, da se poka`e mo}ta na identi~noto transformirawe na izrazite i matemati~kite objekti za polesno re{avawe
na matemati~kite problemi.
Zbirkata ne e nameneta za edna oblast od elementarnata matematika, tuku se razgledani identi~nite tranasformacii vo skoro site
oblasti od elementarnata mateamtika. So sekoe delewe na oblasti
knigata bi ja izgubila smislata i ubavinata. Ubavinata na ovaa kniga
e i vo toa {to istata ne e nameneta za definiran stepen na
obrazovanie, tuku taa e korisna kako za onie koi u~at matematika,
taka i za site na koi matematikata im e profesija.
Odredeni metodi vo re{avaweto na zada~ite mo`e da se primenuvaat kako idei za re{avawe na poslo`eni matemati~ki problemi
koi gi nema vo ovaa kniga. Sekoj ~itatel koj seriozno }e pristapi na
re{avawe na zada~ite od zbirkata }e stekne mo} i navika za pravilen
pristap kon re{avawe na drugi matemati~ki problemi kako i na razni
problemi od drugi oblasti koi vo svojot predmet imaat dopir so
matematikata.
Prevel
Skopje, april, 2013
Aleksa Mal~eski
Идентични трансформации
1
Dali se to~ni slednite tvrdewa?
( x + 2 )2 ≡ x + 2 ,
a)
b)
3
( x + 2 )3 ≡ x + 2 ,
c ) x ≡1,
x
x( x 2 − 1 ) = x
d)
x 2 −1 .
a ) Ne, bidej}i levata strana e sekoga{ nenegativna, a desnata
strana mo`e da bide ñ negativna (ako x < −2 ).
Izrazot
( x + 2) 2 ≡ x + 2 e identitet.
b ) Da. Tret koren postoi i vo slu~aj koga potkorenovata veli~ina e negativna.
c ) Ne. Za x = 0 levata strana ne e definirana, a desnata ima
vrednost 1 .
d ) Ne. Desnata strana postoi za x ≥ 1 , a levata strana za x ≤ −1
ili x ≥ 1 , t.e. x ∈ ( −∞, −1] ∪ [1, +∞ ) .
2
Dali
a ) log x 2 ≡ 2 log x,
b ) 2 log 2 x ≡ x ,
c ) 1 − sin 2 x ≡ cos x − sin x ,
( )
d) xx
x
≡ x (x ) ?
x
a ) Ne. Levata strana postoi za sekoj x ≠ 0 , a desnata va`i samo
za x > 0 . Ravenstvo va`i samo za x > 0 .
b ) Ne. Desnata strana postoi za sekoj x , a levata strana postoi
samo za x > 0 .
c ) Da. Za potkorenovata veli~ina e ispolneto
1 − sin 2 x ≡ sin 2 x + cos 2 x − 2 sin x cos x ≡ (cos x − sin x )2 .
d ) Ne. Levata strana e ednakva na desnata strana edinstveno za
x = 1 ili x = 2 . (Zapisot napi{i go vo ekvivalenten oblik x x ≡ x (x ).
Ako ovoj zapis go razgleduvame kako eksponencijalna ravenka, dobivame
2
x
x = 1 ili x 2 = x x . Re{enija na poslednata ravenka se x = 1 ili x = 2 . (Gi
dobivame kako posledica na ednakvost na stepeni so ista osnova.)
33
Идентични трансформации
Realnite broevi x kπ , k se edinstveni za koi funkcijata ne
2
e opredelena. Za site ostanati vrednosti na x imame
tg x cos x tg x
tg x cos x 1
y
.
ctg x sin x ctg x ctg x sin x 1
Ne mo`e da se ispolneti ravenstvata sin x = 0 i cos x = −1 , a ne
mo`e da se ispolneti ni ravenstvata cos x = 0 i sin x = −1 , vo isto vreme.
Zaradi toa, za dopu{tenite vrednosti x , cos x + 1 > 0 i sin x + 1 > 0, {to
zna~i deka y > 0.
252
Odredi ja minimalnata vrednost na funkcijata
y = x 2 + x +1 + x 2 − x +1 , x .
Lesno se doka`uva deka funkciite
f ( x) = x 2 + x + 1 i g ( x) = x 2 − x + 1
se pozitivni za bilo koja vrednost na x (nemaat realni nuli). Zatoa
funkcijata y = f ( x ) + g ( x ) e pozitivna za bilo koja vrednost na x .
Spored toa y e minimalno za onaa vrednost na x , za koja y 2 e minimalno. Bidej}i
y 2 = x 2 + x + 1 + 2 ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) + x 2 − x + 1 = 2( x 2 + 1 + x 4 + x 2 + 1 ),
y 2 e minimalen koga x = 0 . Spored toa, minimalnata vrednost na y e
y( 0 ) = 2 .
253
Doka`i deka x =
3
x=
=
3
7 + 5 2 .( 2 − 1 )
4+2 3 − 3
7 + 5 2 ⋅ 3 ( 2 − 1) 3
( 3)2 + 2 3 + 1 − 3
3
(5 2 + 7 ).(5 2 − 7 )
3 +1− 3
=
=
3
e priroden broj, i najdi go.
3
( 7 + 5 2 ) ⋅ ( 2 2 − 6 + 3 2 − 1)
( 3 + 1) 2 − 3
50 − 49
=1
1
254
Dali x = 3 6 + 847 + 3 6 − 847 e priroden broj? Vo slu~aj na potvrden
27
27
odgovor najdi go.
Ako stepenuvame na treti stepen dobivame
107
Идентични трансформации
x 3 = 12 + 33 6 + 847 6 − 847 ⋅ (
27
27
3
6 + 847 + 3 6 − 847
27
27
) = 12 + 33 36 − 847 ⋅ x
27
Ako go sredime posledniot izraz dobivame x 3 − 5 x − 12 = 0. Edinstveno realno re{enie na ovaa ravenka e x = 3 .
255
x
x
Re{i ja ravenkata 2 + 3 + 2 − 3 = 2 x .
Dadenata ravenka e ekvivalentna so ravenkata
x
x
2+ 3 2− 3
+
=1⇔
2
2
x
x
x
1
3 1
3
+
+
−
=1⇔
2 4 2 4
x
1+ 3 / 2 1− 3 / 2
+
⇔ 1 + cos 30
⇔
2
2
2
x
+ 1 − cos 30
2
x
=1⇔
⇔ cos x 15 + sin x 15 = 1 ⇒ x = 2 .
256
Najdi gi celobrojnite re{enija na sistemot ravenki
x 3 + y 3 + z 3 = 3, x + y + z = 3.
Od dadenite ravenki dobivame
( x + y + z ) 3 − ( x 3 + y 3 + z 3 ) = 3 3 − 3 = 24.
Ako steppenuvame na treti stepen i ja sredime levata strana dobivame
( x + y )( x + z )( y + z ) = 8.
Bidej}i x + y , x + z , y + z se celi broevi, tie se deliteli na brojot 8 . Zna~i, x + y = 3 − z mora da bide eden od broevite ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 .
So direktna proverka dobivame deka celobrojni re{enija na dadeniot
sistem se slednite podredeni trojki celi broevi ( 1 , 1 , 1 ) , ( − 5 , 4 , 4 ) ,
( 4, − 5, 4) , ( 4, 4, − 5) .
257
Nizata broevi a n e definirana so: a1 = a 2 = 1, a3 = −1 i a n = a n −1 ⋅ a n −3
za n > 3 . Najdi go a 2000 .
a 4 = a3 ⋅ a1 = −1,
108
a5 = a 4 ⋅ a 2 = −1,
a 6 = a5 ⋅ a3 = 1, ...
Идентични трансформации
Lesno se gleda deka a n 2 = 1. Zaradi toa
a n = a n − 2 a n −3 a n − 4 = ( a n −3 ) 2 a n − 4 a n −5 = 1 ⋅ a n − 4 a n −5 = ( a n −5 ) 2 a n − 7 = a n − 7 .
Spored toa a 2000 = a 7⋅285+5 = a5 = −1.
258
Dali postoi polinom P = P ( x ) so realni koeficijenti, takov {to, za
sekoj x od nekoj interval ( α , β ), α < β , P (sin x ) = sin 2 x ?
Neka P (sin x ) = sin 2 x , za sekoj x od (α , β ). Voveduvame oznaka
sin x = y. Toga{ ravenstvata sin 2 x = 2 sin x cos x = ±2 sin x 1 − sin 2 x , impliciraat ravenstvo P ( y ) = ±2 y 1 − y 2 za nekoj y od nekoj interval (γ , δ ).
Toa zna~i deka Q ( y ) = P 2 ( y ) − 4 y 2 + 4 y 4 = 0 , za sekoj y od intervalot
(γ , δ ). Zna~i, polinomot Q ima beskone~no nuli na (γ , δ ) . Spored toa
ovoj polinom e identi~ki ednakov na nula, a toa zna~i
P 2 ( y ) = −4 y 4 + 4 y 2 .
Spored toa postojat realni broevi a i b takvi {to
P ( y ) = ay 2 + by ⇒ P 2 ( y ) = a 2 y 4 + 2 aby 3 + b 2 y 2 = − 4 y 4 + 4 y 2 ⇒ a 2 = −4 .
Zaradi dobienata kontradikcija toa ne e mo`no. Zna~i, polinom
so takvi svojstva ne postoi.
259
a ) Izrazi ja dol`inata na stranata na pravilen mnoguagolnik so 2 n
strani, i so radius na opi{anata kru`nica ednakva na 1 , kako funkcija od brojot n .
b ) Vo {to preminuva perimetarot na toj mnoguagolnik koga n neograni~eno raste (koga n → ∞ )?
c ) Zapi{i go vo oblik na ravenstvo odgovorot na vtoroto pra{awe
(t.e. pra{aweto od b ) ).
d ) Doka`i deka lim n→∞
koreni i n dvojki).
2 + 2 + ... + 2 = 2 (na levata strana ima n
a ) Lesno se proveruva deka pravilen mnoguagolnik so 2 n strani,
i radius na opi{anata kru`nica R , ima dol`ina na strana
a = 2 R sin πn . Vo na{iot slu~aj a = 2 sin πn .
2
2
b ) Vo kru`nica so radius 1 nejziniot perimetar 2 n ⋅ 2 sin πn
2
preminuva vo perimetar na dobienata kru`nica t.e. vo 2π .
109
Идентични трансформации
c ) 2π = lim n→∞ ( 2 n ⋅ 2 sin πn ), t.e. π = lim n→∞ ( 2 n sin πn ).
2
2
d ) Bidej}i cos πn → 1 koga n → ∞, spored a ) od zada~a 176 se
2
dobiva baranoto ravenstvo.
260
Ako a , b, c se pozitivni realni broevi, doka`i deka
a b c
a b c
a +b + c
≥ ( abc ) 3 .
Dadenoto neravenstvo e ekvivalentno so neravenstvata
a log a + b log b + c log c ≥ 1 ( a + b + c ) log abc ⇔
3
3( a log a + b log b + c log c ) ≥ ( a + b + c )(log a + log b + log c ) ⇔
( a − b )(log a − log b ) + ( a − c )(log a − log c ) + (b − c )(log b − log c ) ≥ 0 .
Bidej}i x log x e strogo raste~ka funkcija, ( a − b )(log a − log b ) ≥ 0, odnosno sekoj sobirok vo prethodnoto neravenstvo e nenegativen, pa i
nivniot zbir e nenegativen. Zaradi koristenite ekvivalentni neravenstva i po~etnoto neravenstvo e to~no.
261
Re{i ja ravenkata tg(ctg x) ctg(tg x) 0.
Ravenkata e ekvivalentna so ravenkata tg ( ctgx ) = tg π − tgx .
2
Ottuka ctgx = π − tgx + kπ , k ∈ Z . Sleden ekvivalenten oblik e
2
π
4
ctgx + tgx = + kπ ⇔ cos x + sin x = π + kπ ⇔ 2 = π + kπ ⇔ sin 2 x =
.
2
sin x cos x 2
π (1 + 4 k )
sin 2 x 2
Ovaa ravenka ima re{enija ako
4
16
−1 ≤
≤1⇔
≤ 1 ⇔ 2 k + 1 + 4 2 k + 1 − 4 ≥ 0.
2
2
π (1 + 2 k )
π
π
( 2 k + 1) π
Poslednoto neravenstvo e ispolneto za sekoj k ∈ Z osven za k = 0 i
k = −1 . Toa zna~i deka re{enijata na po~etnata ravenka se dobivaat
4
, za k ≠ 0 i k ≠ −1.
kako re{enija na ravenkata sin 2 x =
π (1 + 2 k )
262
Re{i ja ravenkata 2x ⋅
110
x = 24.
x −1
Идентични трансформации
x ( x − 1)
Bidej}i x =
, ravenkata e ekvivalentna so
2
2
x ( x − 1) x
⋅
= 24 ⇒ x 2 = 48 ⇒ x = ±4 3 .
2
x −1
263
Za daden pozitiven broj n najdi pozitivni broevi x i y takvi {to
x x+ y = y n , y x+ y = x 2 n y n .
Ako gi pomno`ime ovie dve ravenki dobivame ( xy ) x + y = ( xy ) 2n .
Spored toa, mo`ni se dva slu~ai i toa:
1
x+
a ) xy = 1 ⇒ y = 1 ⇒ x x = x − n ⇒ x = 1, y = 1.
x
b ) xy ≠ 1 ⇒ x + y = 2 n ⇒ x 2 n = y n ⇒ x 2 = y ⇒ x + x 2 = 2 n ⇒ x = 12 ( −1 + 8n + 1 ) .
264
Re{i ja ravenkata x ! + y ! = z ! .
Jasno e deka x < z i y < z. Neka x !< y ! , toga{ vo ravenkata
x ! = z !− y ! desnata strana e deliva so y ! no levata ne e, {to ne e mo`no.
Analogno se poka`uva deka ne e mo`no y !< x ! . Edinstvena mo`nost e
x ! = y ! , pa ravenkata se sveduva na 2 x ! = z !. Od ovde dobivame
2 = ( x + 1) ⋅ ( x + 2) ⋅ ⋅ ⋅ z. Bidej}i x i y se nenegativni celi broevi, ispolnet e uslovot x ≤ 1. Zemaj}i za x , 0 ili 1 , lesno zaklu~uvame deka
re{enija na ravenkata se: ( 0 ,0, 2) , ( 0 ,1, 2) , ( 1 ,0, 2) , ( 1 ,1, 2) .
265
Brojot a = 4 n + 3 , n ne e kvadrat na priroden broj. Doka`i!
Da pretpostavime sprotivno, t.e. deka postoi priroden broj m
takov {to 4 n + 3 = m 2 za nekoj priroden broj n . Neka
m = a 0 10 0 + a1101 + ... + a k 10 k , kade a i ∈ {0,1, 2,...,9}.
Bidej}i m 2 e neparen broj imame a 0 ∈ {1, 2,3,5,7,9}. Spored toa
m 2 = a 0 2 + a1 2 10 2 + a 2 2 10 4 + ... + a k 2 10 2 k + 20( a 0 a1 + 10 a 0 a 2 + ... + 10 2 k a k −1 a k )
= a 0 2 + 20l , l ∈ N .
Vo ravenstvoto a 0 2 + 20l = 4 n + 3 zamenuvaj}i posledovatelno a 0 = 1,
a 0 = 3, ... , a 0 = 9 sekoga{ se dobiva nevozmo`no ravenstvo. Na ednata
111
Идентични трансформации
strana se dobiva paren broj, a na drugata se dobiva neparen broj. Toa zna~i
deka 4 n + 3 ne e kvadrat ni za eden priroden broj n .
266
Neka n prirodan broj. Doka`i deka nitu edna od kru`nicite
x 2 + y 2 = 4 n ne minuva niz to~ka so celobrojni koordinati, koja ne e
na x -oska ili na y -oska.
Za fiksen priroden broj n , dadenata kru`nica minuva niz
to~kite so celobrojni koordinati ( ±2 n ,0) i ( 0, ±2 n ). Da pretpostavime
deka postoi celobroen par ( x , y ) koj ja zadovoluva ravenkata i za koj
x < 2 n , y < 2 n . Ne e mo`no ednata koordinata da bide paren, a drugata
neparen broj. (Toga{ levata strana na ravenkata bi bila neparen broj, a
desnata paren broj). Isto taka ne e mo`no dvete koordinati da bidat
neparni broevi. Imeno, ako
x = 2 p + 1, y = 2 q + 1, ( p , q ∈ Z ) , toga{ x 2 + y 2 = 2[ 2( p 2 + q 2 + p + q ) + 1] ,
pa spored toa 2( p 2 + q 2 + p + q ) + 1 = 2 2 n −1 {to ne e mo`no. Da pretpostavime deka dvete koordinati se parni celi broevi. Toga{ postojat
neparni celi broevi a i b i priroden broj k , ( k < n ) takvi {to
x = 2 k a , y = 2 k b. Vo toj slu~aj po~etnoto ravenstvo go dobiva oblikot
a 2 + b 2 = 2 2 ( n − k ) koe, kako {to vidovme, ne e ispolneto za nituedni a i b .
267
Neka n i k se prirodni broevi, k ≤ n . Doka`i gi ravenstvata:
a ) 333...3 ⋅ 333...3 = 111...1 0 999...9 888...8 9 (Levata strana e proizn
k
k −1
n− k
k −1
vod na dva prirodni broja ~ii cifri se trojki, prviot broj e sostaven
od n trojki, a vtoriot od k trojki; na desnata strana i.t. e eden
priroden broj so oznaka kolku ima edinici vo kontinuitet, devetki
vo kontinuitet i osumki vo kontinuitet).
b ) 666...6 ⋅ 666...6 = 444...4 3 999...9 555...5 6
(M.I.Levin).
n
k
k −1
n− k
k −1
a ) L = 3 ⋅ (10 0 + 101 + 10 2 + ... + 10 n −1 ) ⋅ 3 ⋅ (10 0 + 101 + 10 2 + ... + 10 k −1 )
n
k
= 9 ⋅ 10 − 1 ⋅ 10 − 1 = 1 (10 n + k − 10 n − 10 k + 1).
9
9
9
k −1
k
D = 9 + 8 ⋅ 10 + ... + 8 ⋅ 10 + 9 ⋅ 10 + ... + 9 ⋅ 10 n −1 + 0 ⋅ 10 n + 10 n +1 + ... + 10 n + k −1
k −1
10 n − k − 1
10 k −1 − 1 1 n + k
= 9 + 8 ⋅ 10 ⋅ 10 + 9 ⋅ 10 k ⋅
+ 10 n +1⋅
= (10 − 10 n − 10 k + 1) ⇒ L = D.
9
9
9
9
b ) Dokazot e sli~en kako pod a ) .
112
Pavle M. Mili~i}, redoven profesor vo
penzija na Univerzitetot vo Belgrad, roden e
1934 godina. Vo 1958 godina zavr{uva Matemati~ka grupa na predmeti na PMF vo Belgrad. Po
diplomiraweto edna {kolska godina raboti kako
profesor po matematika vo Nik{i}. Vkupno 39
godini dr`i ve`bi i predavawe od razni predmeti, na PMF vo Belgrad, odnosno na Matemati~kiot fakultet vo Belgrad. Honorarno dr`i
predavawa na razni fakulteti vo Srbija. Tri
godini honorarno predava Matemati~ka analiza
i Geometrija pri Matemati~kata gimnazija vo
Belgrad. Objavil 25 stru~ni raboti od matematika, od koi 12 u~ebnici za studenti ili sredno{kolci. Eden od univerzitetskite u~ebnici ima
do`iveano 20 izdanija. Objavil 40 nau~ni trudovi vo razni doma{ni i stranski spisanija. Mnogu
negovi rezultati od Geometrija na Banahovi prostori se citirani vo me|unarodni nau~ni spisanija
i vo tri me|unarodni monografii od Funkcionalna analiza. ^len e na Ameri~koto matemati~ko dru{tvo.
© Copyright 2024 Paperzz
