Ponavljanje za pismeni ispit – trigonometrijski identiteti
1. Koristeći osnovne trigonometrijske relacije, pojednostavni izraz
1
2
(1 − tgx )
2
+ (1 + tgx )
1

sin 2 x 
2 1 +

cos 2 x 

=
1
=
2
2
1
 cos 2 x + sin 2 x 

2
2


cos x


=
1
 1 

2 
 cos 2 x 
=
(1 − tgx )
1
=
1 − 2tgx + tg x + 1 + 2tgx + tg x
1
2
2
=
2 + 2tg x
1
1
2
=
+ (1 + tgx )2
1
(
2 1 + tg 2 x
)=
cos 2 x
2
cos 2 x
2. Koristeći osnovne trigonometrijske relacije, dokaži da vrijedi jednakost
cos t
cos t
−
= 2ctg 2 t .
1 − cos t 1 + cos t
cos t
cos t
cos t (1 + cos t ) − cos t(1 − cos t ) cos t + cos 2 t − cos t + cos 2 t
−
=
=
=
1 − cos t 1 + cos t
(1 − cos t )(1 + cos t )
1 − cos 2 t
2 cos 2 t
2
= 2ctg 2 t
sin t
3. Ako je sin x = −
3π
21
3π
,x∈
,2π i tgy = 3 , y ∈ π,
, odredi:
29
2
2
a. cos x ,
sin 2 x + cos 2 x = 1
2
 21 
2
−
 + cos x = 1
 29 
441
+ cos 2 x = 1
841
441
cos 2 x = 1 −
841
841
− 441
cos 2 x =
841
400
cos 2 x =
/
841
20
cos x = ±
29
.
cos x =
20
29
b. tgx ,
sin x
cos x
21
−
tgx = 29
20
29
21
−
tgx = 1
20
1
21
tgx = −
20
tgx =
c. ctgx ,
ctgx =
1
tgx
ctgx = −
20
21
d. cos y ,
sin 2 y + cos 2 y = 1 / : cos 2 y
1
tg 2 y + 1 =
cos 2 y
2
1
3 +1=
cos 2 y
1
3 +1=
cos 2 y
1
4=
cos 2 y
1
cos 2 y =
/
4
1
cos y = ±
2
( )
cos y = −
1
2
e. sin y ,
sin y
cos y
sin y = cos y ⋅ tgy
1
sin y = − ⋅ 3
2
tgy =
3
2
sin y = −
f.
ctgy ,
ctgy =
ctgy =
ctgy =
ctgy =
1
tgy
1
3
1
⋅
3
3
3
3
3
g. sin (x − y ) ,
sin (x − y ) = sin x ⋅ cos y − cos x ⋅ sin y = −
21  1  20 
3  21 20 3
⋅ −  −
⋅ −
=
=
+
29  2  29  2  58
58
21+ 20 3
58
π

h. cos  x +  ,
6

π
π
π 20 3 21 1 20 3 21

cos  x +  = cos x ⋅ cos − sin x ⋅ sin =
=
+
⋅
+
⋅ =
6
6
6 29 2
29 2
58
58

20 3 + 21
58
i.
tg (x + y ) ,
tgx + tgy
tg (x + y ) =
=
1 − tgx ⋅ tgy
21
3 − 21 + 20 3 − 21 + 20 3
21
+
+ 3 −
1 =
20
20
1
= 20
=
=
21
1
21
3
20
+
21
3
20
+
21
3
1+
⋅ 3
+
20
1
20
20
1
−
− 21 + 20 3
( )2 =
− 21 + 20 3 20 − 21 3 − 420 + 441 3 + 400 3 − 420 3
=
⋅
=
2
20 + 21 3
20 + 21 3 20 − 21 3
20 2 − 21 3
(
)
− 420 + 841 3 − 420 ⋅ 3 − 420 + 841 3 − 1260 − 1680 + 841 3
=
=
=
400 − 441 ⋅ 3
400 − 1323
− 923
1680 − 841 3
923
j.
π

ctg  − y  ,
4

3
3 1
3 +3
3 +3
π
+1
+
ctg ⋅ ctgy + 1 1 ⋅
π

3
1 = 3 +3 =
4
ctg  − y  =
=
= 3 1= 3
=
3
3 1
3 −3
3 −3
3 −3
4
 ctgy − ctg π
−1
−
4
3
3 1
3
1
3 +3
⋅
3 −3
2
2
(
(
3 + 3)
3 ) + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 3 2 3 + 6 3 + 9 12 + 6
=
=
=
=
3−9
−6
−6
3 + 3 ( 3 )2 − 3 2
3 +3
3
12 6 3
=−2− 3
+
−6 −6
k.
sin (2x ) ,
840
2  21  20
sin (2x ) = 2 sin x cos x =  −
=−
⋅
841
1  29  29
l.
cos (2y ) ,
2
2
41
400 441 400 − 441
 20 
 21 
cos (2y ) = cos 2 y − sin 2 y =   −  −
−
=
=−
 =
841
841 841
841
 29 
 29 
m. tg (2x ) ,
 21 
42
42
42
42
2 −

−
−
−
−
840
2tgx
20
 =
20 =
20
= 20 = 1 =
tg (2x ) =
= 
2
2 1 441
400 − 441 − 41 − 41
41
1 − tg x
 21 
−
1−  −

1 400
400
400
20
 20 
n. ctg (2y ) ,
=
2
 3
1 1 1− 3
−2
−1

 −1 3
−1
−


ctg 2 y − 1  3 
1
=9
= 3 1 = 3 = 3 = 1 =−
=
ctg (2y ) =
=
2ctgy
3
2 3 2 3 2 3 2 3
3
3
2⋅
3
3
3
3
3
1
−
1
⋅
3
3
3
=−
3
3
y
o. sin   ,
2
 y  1 − cos y
sin 2   =
2
2
 1
1−  − 
y
 2
sin 2   =
2
2
1
1+
2y
2
sin   =
2
2
2 +1
y


sin 2   = 2
2
2
3
y
 
sin 2   = 2
2 2
1
y 3
sin 2   =
/
2 4
3
y
sin   = ±
2
2
3π
y
π 3π
y
y ∈ π,
⇒ ∈ ,
⇒ sin   > 0
2
2
2 4
2
3
y
sin   =
2
2
 
x
p. cos   ,
2
 x  1 + cos x
cos 2   =
2
2
20
1+
x
29
cos 2   =
2
2
29 + 20
x


29
cos 2   =
2
2
49
x


cos 2   = 29
2
2
1
x
49
 
cos 2   =
 2  58
/
7
7
58
7 58
x
cos   = ±
=±
⋅
=±
58
58
58
58
2
3π
x
3π
x
x∈
,2π ⇒ ∈
, π ⇒ cos   < 0
2
2
4
2
7 58
x
cos   = −
58
2
y
q. tg   ,
2
 y  1 − cos y
tg 2   =
 2  1 + cos y
 1
1−  − 
y
 
 2
tg 2   =
1
2
1−
2
1
1+
y
2
tg 2   =
 2  1− 1
2
2 +1
2y
tg   = 2
 2 2 −1
2
3
y
tg 2   = 2
2 1
2
y
 
tg 2   = 3 /
2
y
tg   = ± 3
2
3π
y
π 3π
y
y ∈ π,
⇒ ∈ ,
⇒ tg   < 0
2
2
2 4
2
y
tg   = − 3
2
r.
x
ctg   .
2
 x  1 + cos x
ctg 2   =
 2  1 − cos x
20
1+
x


29
ctg 2   =
 2  1 − 20
29
29 + 20
x
29
ctg 2   =
29
− 20
2
 
29
49
x
ctg 2   = 29
9
2
29
 x  49
ctg 2   =
/
2 9
7
x
ctg   = ±
3
2
3π
x
3π
x
x∈
,2π ⇒ ∈
, π ⇒ ctg   < 0
2
2
4
2
7
x
ctg   = −
3
2
4. Pojednostavni izraze:
a. sin (t + π) ,
sin (t + π) = − sin t
π 
b. cos  − t  ,
2 
π 
cos  − t  = sin t
2 
c.
 3π 
tg 
+ t ,
 2

 3π 
tg 
+ t  = − ctg t
 2

π

d. ctg  t −  .
 2
π

ctg  t −  = − tg t
 2
5. Koristeći formule za pretvorbu umnoška trigonometrijskih funkcija u zbroj,
π

π

pojednostavni izraz sin  + 2x  ⋅ sin  − 2x  .
6

6

 π
 π
 π

 π
 
π

π
 1
sin  + 2x  ⋅ sin  − 2x  = cos   + 2x  −  − 2x   − cos   + 2x  +  − 2x    =
 6

 6
 
6

6
 2
 6
 6
1
π
π
π

π
 1 
 2π  
cos  + 2x − + 2x  − cos  + 2x + − 2x  = cos (4 x ) − cos   =
2
6
6
6

6
 2 
 6 
1
1 1
1
 π  1 
cos (4 x ) − cos    = cos (4 x ) −  = 2 cos (4 x ) − 4
2
2
 3  2 
6. Koristeći formule za pretvorbu zbroja trigonometrijskih funkcija u umnožak,
cos(3 x − y ) − cos(3 y − x )
pojednostavni izraz
.
cos(2x ) − cos(2y )
cos(3 x − y ) − cos(3 y − x )
=
cos(2x ) − cos(2y )
− 2 sin
(3x − y ) + (3y − x ) sin (3x − y ) − (3 y − x )
2
2
=
2 x + 2y
2x − 2y
− 2 sin
sin
2
2
3x − y + 3y − x
3x − y − 3 y + x
2x + 2y
4 x − 4y
2(x + y )
4(x − y )
sin
sin
sin
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
2
=
=
2(x + y )
2(x − y )
sin(x + y ) sin(x − y )
sin(x + y ) sin(x − y )
sin
sin
2
2
sin(x + y ) sin[2(x − y )] sin[2(x − y )] 2 sin(x − y ) cos(x − y )
=
=
=
= 2 cos(x − y )
sin(x + y ) sin(x − y )
sin(x − y )
sin(x − y )

Matematika – Trigonometrijske Funkcije – Memo

Zadaci za vjezbu - Trigonometrijske funkcije realnog argumenta

Pisana provjera znanja iz matematike Pisana provjera znanja iz