ΘΕ ΡΗΜΑ ROLLE. Για τις ασκήσεις πάνω στο ΘΕ ΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE.
Για τις ασκήσεις πάνω στο ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. μπορούμε να διακρίνουμε τις
εξής κατηγορίες:
1. ΄Ελεγχος των προϋποθέσεων.
Εξετάζουμε αν ισχύουν οι τρεις προϋποθέσεις του θεωρήματος προσέχοντας :
Αν έχουμε δίκλαδη συνάρτηση και το σημείο που αλλάζει τύπο η
f ανήκει στο διάστημα που θέλουμε να ισχύουν οι προϋποθέσεις
του θεωρήματος, τότε ο έλεγχος της συνέχειας και της παραγωγισιμότητας στο σημείο που αλλάζει τύπο η συνάρτηση, γίνεται με τον
ορισμό.
Αν έχουμε συνάρτηση με απόλυτο τότε ελέγχουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο που αλλάζει πρόσημο η παράσταση στο απόλυτο.
Παραδείγματα:
.1) Να βρεθούν τα α, β, γ ∈ R. ώστε για την συνάρτηση
⎧
αx2 − 3x + 1, αν x < 0
⎪
⎪
⎪
f (x) = ⎨
⎪
⎪ x2 + βx − γ, αν x ≥ 0
⎪
⎩
να ισχύει το θεώρημα ROLLE στο [−1, 1].
.2) Να εξετασθεί αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος ROLLE
για την συνάρτηση f (x) = x ⋅ ∣ημx∣ στο διάστημα [−π, π].
2. ΄Υπαρξη ρίζας της παραγώγου μιας συνάρτησης σε διάστημα (α, β).
Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του
θεωρήματος του ROLLE στο διάστημα [α, β]
Παραδείγματα:
.1) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x3 + x2 − 8x + 1. Να δείξετε ότι υπάρχει
ξ ∈ (−2, 2) ώστε f ′ (ξ) = 0.
www.sizefksi.gr
1
Γ.Θεοτόκη 3 Πειραιάς Τηλ 2104182561
.2) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 1 +
ξ ∈ (0, 2) ώστε f ′ (ξ) = 0.
√
5
(x − 1)4 . Να δείξετε ότι υπάρχει
3. ΄Υπαρξη σημείου της Cf στο οποίο η Cf δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.
Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του
θεωρήματος του ROLLE στο διάστημα [α, β].
Παραδείγματα:
.1) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 (1 + ln x) − 3x − 4 ln x. Να αποδείξετε
ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (1, 2), ώστε η εφαπτομένη της Cf
στο σημείο M (ξ, f (ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα x′ x.
.2) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ημx⋅ln(3−x)+x3 −4x+5. Να αποδείξετε
ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (0, 2), ώστε η εφαπτομένη της Cf
στο σημείο M (ξ, f (ξ)) να είναι οριζόντια.
4. ΄Υπαρξη ρίζας μιας εξίσωσης όπου δεν εφαρμόζεται το
θεώρημα του Bolzano.
Ακολουθούμε τα παρακάτω βὴματα
i. Φέρνουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο 1ο μέλος.
ii. Θεωρούμε συνάρτηση h ίση με την παράγουσα του 1ου μέλους
της εξίσωσης.
iii. Δείχνουμε ότι η συνάρτηση h ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του
θεωρήματος Rolle, οπότε η ρίζα της h′ (x) = 0 θα είναι και ρίζα
της ζητούμενης εξίσωσης.
Παραδείγματα:
.1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x3 − 4x − 1 = 0 έχει μια τουλάχιστον
λύση στο διάστημα (−1, 0).
.2) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f (x) = 4x3 + 3λx2 + 2(λ − 2)x − 2λ + 1 με
λ ∈ R έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1).
www.sizefksi.gr
2
Γ.Θεοτόκη 3 Πειραιάς Τηλ 2104182561
5. Απόδειξη ότι ικανοποιείται σε ένα σημείο ξ μια σχέση που περιέχει μια
συνάρτηση και την παράγωγό της. (μπορεί να περιέχει και περισσότερες
από μία συναρτήσεις)
Προσπαθούμε να γράψουμε τη σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε
ως την παράγωγο στο σημείο ξ του γινομένου ή του πηλίκου δύο
συναρτήσεων ή μιας σύνθετης συνάρτησης, ώστε να ορίσουμε μία
συνάρτηση ίση με το γινόμενο ή το πηλίκο των συναρτήσεων ή τη
σύνθετη συνάρτηση και στη συνέχεια να δείξουμε ότι η συνάρτηση
που ορίσαμε ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.
Ιδιαίτερα χρήσιμες είναι οι παρακάτω παρατηρήσεις
′
f ′ (x) ⋅ g(x) + f (x) ⋅ g ′ (x) = (f (x) ⋅ g(x))
′
f (x) + x ⋅ f ′ (x) = (x ⋅ f (x))
′

f (x)
f ′ (x) ⋅ g(x) − f (x) ⋅ g ′ (x)
=
(
)
g 2 (x)
g(x)
f ′ (x) ⋅ x − f (x)
f (x)

=(
)
2
x
x
′
′
f ν+1 (x)
=(
)
ν +1

fν
⋅ f ′ (x)

xν
xν+1
=(
)
ν +1

ef (x) f ′ (x)
′
=
′
f
(x)
(e )
′
f ′ (x)
= ( ln ∣f (x)∣)

f (x)
΄Οταν εμφανίζονται εξισώσεις της μορφής:
www.sizefksi.gr
3
Γ.Θεοτόκη 3 Πειραιάς Τηλ 2104182561

f ′ (x) + f (x) = 0 ⇔
( πολλαπλασιαζουμε και τα δυο μέλη με
ex ⋅ f ′ (x) + ex ⋅ f (x) = 0 ⇔
ex )
′
x
(e ⋅ f (x))

f ′ (x) + λf (x) = 0 ⇔
( πολλαπλασιαζουμε και τα δυο μέλη με
eλx )
eλx ⋅ f ′ (x) + λeλx ⋅ f (x) = 0 ⇔
′
eλx ⋅ f ′ (x) + (eλx ) ⋅ f (x) = 0 ⇔
′
λx
(e
⋅ f (x))
λ ∈ R.

f ′ (x) − f (x) = 0 ⇔
( πολλαπλασιαζουμε και τα δυο μέλη με
e−x ⋅ f ′ (x) − e−x ⋅ f (x) = 0 ⇔
−x
(e
e−x )
′
⋅ f (x))
Παραδείγματα:
.1) Δὶνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [1, 2] και παραγωγίσιμη στο
(1, 2) με f (2) = 2 και f (1) = 1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει:
i. ξ1 ∈ (1, 2) τέτοιο ώστε f ′ (ξ1 )(ξ1 − 3) = −f (ξ1 ),
f (ξ2 )
,
ii. ξ2 ∈ (1, 2) τέτοιο ώστε f ′ (ξ2 ) =
ξ2
iii. ξ3 ∈ (1, 2) τέτοιο ώστε f ′ (ξ3 ) ⋅ f (ξ3 ) = ξ3 .
.2) Δίνεται η συνάρτηση f ∶ R → R που είναι παραγωγίσιμη και για την
οποὶα επιπλέον ισχύει: f (0) = e6 και f (3) = e−3 .
Να αποδείξετε ότι:
www.sizefksi.gr
4
Γ.Θεοτόκη 3 Πειραιάς Τηλ 2104182561
i. υπάρχει ένα τουλάχιστον x1 ∈ (0, 3) ώστε f ′ (x1 ) = −3f (x1 )
ii. υπάρχει ένα τουλάχιστον x2 ∈ (0, 3) ώστε f ′ (x2 ) + 2x2 f (x2 ) = 0.
6. ΄Υπαρξη ρίζας της f ′′ (x).
Δείχνουμε ότι η f ′ (x) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος
Rolle. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να εφαρμόσουμε πρώτα δύο
φορές το θεώρημα Rolle για την f σε δύο διαστήματα, στα οποία χωρίζουμε το διάστημα [α, β] χρησιμοποιώντας κάτι από τα δεδομένα
α+β
, ώστε να προκύψουν
της άσκησης ή το μέσο του διαστήματος
2
δύο τιμές ξ1 , ξ2 , ώστε στο διάστημα [ξ1 , ξ2 ] να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle για την f ′ (x).
Παραδείγματα:
.1) Μια συνάρτηση f ∶ R → R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
f (1) = f (2) = f (3)
Να αποδειχθεί ότι:
i. Υπάρχουν x1 , x2 ∈ R διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια, ὼστε:
f ′ (x1 ) = f ′ (x2 )
ii. Υπάρχει ξ ∈ (1, 3) τέτοιο ώστε f ′′ (ξ) = 0.
.2) ΄Εστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο
R και ισχύει f (1) = 1, f (2) = 4 − ln 2, f (e) = e2 − 1. Να δείξετε ότι
1
υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (1, e) τέτοιο ώστε f ′′ (ξ) = 2 + 2.
ξ
www.sizefksi.gr
5
Γ.Θεοτόκη 3 Πειραιάς Τηλ 2104182561
7. ΄Υπαρξη το πολύ κ ριζών για την f (x) = 0.
Υποθέτουμε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει κ + 1 ρίζες έστω τις:
ρ1 < ρ2 < ρ3 < ⋯ < ρκ < ρκ+1
Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle για την f σε καθένα από τα διαστήματα:
[ρ1 , ρ2 ], [ρ2 , ρ3 ], ⋯[ρκ , ρκ+1 ]
Βρίσκουμε ότι υπάρχουν:
ξ1 ∈ (ρ1 , ρ2 ), ξ2 ∈ (ρ2 , ρ3 ), ⋯ξκ ∈ (ρκ , ρκ+1 )
ώστε f ′ (ξ1 ) = f ′ (ξ2 ) = ⋯ = f ′ (ξκ ) = 0 Εφαρμόζουμε το θεώρημα
Rolle για την f ′ σε κάθενα από τα διαστήματα:
[ξ1 , ξ2 ], [ξ2 , ξ3 ], ⋯[ξκ−1 , ξκ ]
κοκ...
Τελικά καταλήγουμε σε άτοπο.
Παραδείγματα:
.1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex + x2 = αx + β,
πολύ δύο ρίζες.
α, β ∈ R, έχει το
.2) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
x5 − 5x + α = 0 α ∈ R
έχει το πολύ μια ρίζα στο διάστημα (−1, 1).
8. ΄Υπαρξη ακριβώς κ ριζών για την f (x) = 0.
Δείχνουμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον κ ρίζες κάνοντας χρήση
του θεωρήματος Bolzano ή του θεωρήματος Rolle
Στην συνέχεια υποθέτουμε ότι η f (x) = 0 έχει μια επιπλέον ρίζα και
με τη χρήση του θεωρήματος Rolle καταλήγουμε σε άτοπο.
(δηλ. η f (x) = 0 έχει κ τουλάχιστον ρίζες & κ το πολύ ριζες ⇒ κ ακριβώς
ρίζες)
www.sizefksi.gr
6
Γ.Θεοτόκη 3 Πειραιάς Τηλ 2104182561
Παραδείγματα
.1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x3 − 3x + 1 = 0 έχει μια ακριβως ρίζα στο
(−1, 1).
.2) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x3 + 3x = 1 − 3ημx έχει μια ακριβως ρίζα
στο (0, π2 ).
www.sizefksi.gr
7
Γ.Θεοτόκη 3 Πειραιάς Τηλ 2104182561

Download Report