ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0 ∈ R Από τη θεωρία ξέρουμε ότι: Αν

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0 ∈ R
Από τη θεωρία ξέρουμε ότι:
Αν υπάρχουν τα όρια των f, g στο σημείο x0 και είναι πεπερασμένα τότε:
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
lim (κ ⋅ f (x)) = κ ⋅ lim f (x), ∀κ ∈ R
x→x0
x→x0
lim (f (x) ⋅ g(x)) = lim f (x) ⋅ lim g(x)
x→x0
x→x0
lim f (x)
f (x) x→x
0
=
,
x→x0 g(x)
lim g(x)
lim
x→x0
x→x0
lim g(x) ≠ 0
x→x0
√
√
lim κ f (x) = κ lim f (x),
x→x0
x→x0
f (x) ≥ 0 κοντά στο x0
lim ∣f (x)∣ = ∣ lim f (x)∣
x→x0
x→x0
ΠΡΟΣΟΧΗ !!!
Η προυπόθεση να υπάρχουν τα όρια των f, g στο σημείο x0 και είναι πεπερασμένα είναι ΒΑΣΙΚΗ γιατί μπορεί να υπάρχει για παραδειγμα το
lim = (f (x) ⋅ g(x)) και να μην υπαρχει το lim f (x)
x→x0
Δείτε την παρακάτω άσκηση:
x→x0
1
Ασκ. 1.) Να βρεθεί το lim (x ⋅ ημ )
x→0
x
Λὺση
Ισχύει ότι ∣x ⋅ ημ x1 ∣ = ∣x∣ ⋅ ∣ημ x1 ∣ ≤ ∣x∣ ⋅ 1 = ∣x∣
Οπότε −∣x∣ ≤ x ⋅ ημ x1 ≤ ∣x∣
Επειδή ισχύει ότι lim(−∣x∣) = 0 = lim ∣x∣
x→0
x→0
1
Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής ισχύει lim (x ⋅ ημ ) = 0
x→0
x
www.sizefksi.gr
1
Γ.Θεοτόκη 3 Πειραιάς Τηλ 2104182561
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
1
1
I.. Δεν μπορούμε να πούμε ότι lim (x ⋅ ημ ) = lim x ⋅ lim (ημ )
x→0
x→0
x→0
x
x
1
αφού εύκολα από την γραφική παράσταση του ημ μπορούμε
x
1
να αντιληφθούμε ότι το lim (ημ ) δεν υπάρχει
x→0
x
1
II.. Η συνάρτηση ημ παίρνει τιμές στο [−1, +1]. Δηλαδή
x
1
1
−1 ≤ ημ ≤ +1 (φραγμένη.) Οπότε το γινόμενο x ⋅ ημ θα έχει
x
x
όριο το 0 ως μηδενική επί φραγμένη.
Δείτε τώρα ένα τρόπο για την εμφάνιση των προυποθέσεων και την
εφαρμογή του κριτήριου παρεμβολής
Ασκ. 2.) Για την συνάρτηση f ισχύει:
f 2 (x) ≤ 4xf (x) για κάθε x ∈ R
Να αποδείξετε ότι lim f (x) = 0.
x→0
Λὺση
f 2 (x) − 4xf (x) ≤ 0 ⇔ f 2 (x) − 4xf (x) + 4x2 ≤ 4x2 ⇔
√
√
[f (x) − 2x]2 ≤ (2x)2 ⇔ [f (x) − 2x]2 ≤ (2x)2 ⇔
∣f (x) − 2x∣ ≤ ∣(2x)∣ ⇔ −∣2x∣ ≤ f (x) − 2x ≤ ∣2x∣ ⇔
2x − ∣2x∣ ≤ f (x) ≤ 2x + ∣2x∣ ⇔
Οπότε lim(2x − ∣2x∣) = 0 = lim(2x + ∣2x∣)
x→0
x→0
και από το κριτήριο πρεμβολής έχουμε:
lim f (x) = 0.
x→0
www.sizefksi.gr
2
Γ.Θεοτόκη 3 Πειραιάς Τηλ 2104182561

Download Report