Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Ι Α ΓΙ Α Ο Λ Τ Μ Π Ι Α Γ Δ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2011 ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ 1 ΒΑ ΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ 1. 1 Ο ΜΟ ΙΟΘΔΣΟ Η ΜΔΙ ΟΤ Ολνκάδνπκε ομοιοθεζία με κένηπο ηο ζημείο και λόγο R ην γεωκεηξηθό κεηαζρεκαηηζκό κε ηνλ νπνίν ζε θάζε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ αληηζηνηρνύκε έλα θαη κόλν ζεκείν ηέηνην ώζηε: O . Αλ ην ζεκείν είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν , ηόηε πξνθαλώο ηα ζεκεία , θαη είλαη ζπλεπζεηαθά (δηόηη O ). (Γειαδή: Σν αξρέηππν, ε εηθόλα θαη ην θέληξν ηεο νκνηνζεζίαο, είλαη ζπλεπζεηαθά ζεκεία). Σν ιόγν ηεο νκνηνζεζίαο ηνλ ζεωξνύκε πξαγκαηηθό αξηζκό δηάθνξν ηνπ κεδελόο θαη ηεο κνλάδαο, γηα λα απνθύγνπκε ηεηξηκκέλεο πεξηπηώζεηο. 1.2 Ο ΜΟ ΙΟΘΔΣΑ ΓΔΧ ΜΔΣΡ ΙΚΧ Ν ΥΗΜΑ ΣΧ Ν Σν νκνηόζεην επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν είλαη επζύγξακκν ηκήκα , όπνπ , είλαη ηα νκνηόζεηα ηωλ ζεκείωλ , (αληίζηνηρα) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν . Σν επζύγξακκν ηκήκα είλαη παξάιιειν κε ην επζύγξακκν ηκήκα θαη ηζρύεη: ( ) ( ) . σήμα 1 ελίδα 2 από 13 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ Σν νκνηόζεην θύθινπ C( O, R ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν K θαη ιόγν είλαη θύθινο C ( O, R ) , όπνπ O είλαη ην νκνηόζεην ηνπ θέληξνπ O θαη R ε νκνηόζεηε (νπνηαζδήπνηε) αθηίλαο R ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν K θαη ιόγν . Σν νκνηόζεην ηξηγώλνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν είλαη ηξίγωλν όκνην κε ην αξρέηππν. Αλ ην ηξίγωλν είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ηξηγώλνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν , ηόηε όια ηα νκόινγα ζηνηρεία ηωλ δύν ηξηγώλωλ είλαη νκνηόζεηα ωο πξνο ηελ ίδηα νκνηνζεζία. Γειαδή (γηα παξάδεηγκα) ην νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ , είλαη ην νκνηόζεην ηνπ νξζνθέληξνπ ηνπ ηξηγώλνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν . Η ζπκκεηξία ωο πξνο θέληξν , είλαη νπζηαζηηθά ε νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν 1 . Γίλνληαη νη θύθινη C1 ( K 1 , R1 ) θαη C2 ( K 2 , R2 ) κε R1 R2 . Θεωξνύκε ηπρνύζα δηάκεηξν A1 B1 ηνπ θύθινπ C1 ( K 1 , R1 ) θαη A2 B2 δηάκεηξν ηνπ θύθινπ C2 ( K 2 , R2 ) κε A1 B1 // A2 B2 . Οη επζείεο A1 B2 , A2 B1 θαη A1 A2 , B1 B2 ηέκλνληαη ζηα ζεκεία O ,O1 ηα βξίζθνληαη επάλω ζηε δηάθεληξν K 1 K 2 (σήμα 2). Σνπο θύθινπο C1 ( K 1 , R1 ) θαη C2 ( K 2 , R2 ) κε R1 R2 κπνξνύκε λα ηνπο ζεωξήζνπκε νκνηόζεηνπο ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξα ηα ζεκεία O ή O1 θαη ιόγνπο 1 R1 R ή 2 2 R2 R1 .αληίζηνηρα. σήμα 2 Δθαξκόδνληαο αλάινγε δηαδηθαζία, θαηαιήγνπκε ζηα ίδηα ζπκπεξάζκαηα θαη ζηε πεξίπηωζε πνπ νη θύθινη βξίζθνληαη ν έλαο εληόο ηνπ άιινπ ( σήμα 3). ηε πεξίπηωζε πνπ νη θύθινη είλαη νκόθεληξνη, ηόηε έρνπκε έλα θέληξν νκνηνζεζίαο (ην θνηλό θέληξν). ελίδα 3 από 13 ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ Γεληθόηεξα δύν νπνηνπζδήπνηε θύθινπο, κε δηαθνξεηηθέο αθηίλεο κπνξνύκε πάληα λα ηνπο ζεωξνύκε νκνηόζεηνπο θαη λα πξνζδηνξίδνπκε ην θέληξν θαη ην ιόγν ηεο νκνηνζεζίαο. σήμα 3 ηε πεξίπηωζε πνπ νη θύθινη εθάπηνληαη, ηόηε έλα θέληξν νκνηνζεζίαο είλαη ην ζεκείν επαθήο . ελίδα 4 από 13 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ 2 Α ΚΗ ΔΙ - ΠΡ Ο Β Λ ΗΜ Α ΣΑ 2 .1 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Γύο κύκλοι c1 ( K 1 , R1 ) και c 2 ( K 2 , R2 ) με R1 R2 εθάπηονηαι εζωηεπικά ζηο ζημείο . Σςσούζα εςθεία ηέμνει ηοςρ κύκλοςρ (διαδοσικά) ζηα ζημεία A, B , C και D . ˆ B COˆ D . Αποδείξηε όηι AO Λύζη Δθόζνλ νη θύθινη c1 ( K1 , R1 ) θαη c2 ( K 2 , R2 ) εθάπηνληαη ζην ζεκείν , κπνξνύκε λα ππνζέζνπκε όηη “ν θύθινο c1 ( K1 , R1 ) είλαη ν νκνηόζεηνο ηνπ c2 ( K 2 , R2 ) ζηελ νκνηνζεζία R κε θέληξν ην ζεκείν θαη ιόγν 1 1 ” ή όηη “ν θύθινο c2 ( K 2 , R2 ) είλαη ν νκνηόζεηνο R2 ηνπ c1 ( K 1 , R1 ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν θαη ιόγν 2 R2 ”. R1 Πξνεθηείλνπκε ηηο B , C θαη έζηω όηη ηέκλνπλ ην θύθιν c1 ( K1 , R1 ) ζηα ζεκεία E θαη F αληίζηνηρα. Σόηε ην ηκήκα EF είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ηκήκαηνο BC ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν θαη ιόγν 1 . Άξα ην ηκήκα EF είλαη παξάιιειν κε ην ηκήκα BC . Οπόηε ην ηεηξάπιεπξν AEFD , είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην θαη θαηά ζπλέπεηα AE DF . ˆ E θαη FOˆ D είλαη ίζεο (δηόηη είλαη Δύθνια ηώξα ζπκπεξαίλνπκε όηη νη γωλίεο AO εγγεγξακκέλεο ζηνλ ίδην θύθιν θαη βαίλνπλ ζε ίζα ηόμα). ελίδα 5 από 13 ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ 2 .2 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Γύο κύκλοι c1 ( O1 , R1 ) και c 2 ( O2 , R2 ) με R1 R2 εθάπηονηαι εξωηεπικά ζηο ζημείο . Από ηο ζημείο K (ζηο οποίο ηέμνονηαι οι εξωηεπικέρ κοινέρ εθαπηόμενερ ηων δύο κύκλων) θεωπούμε ηςσούζα εςθεία πος ηέμνει ηοςρ κύκλοςρ (διαδοσικά) ζηα ˆ C BOˆ D 90 o . ζημεία A, B , C και D . Αποδείξηε όηι AO Λύζη Ο θύθινο c1 ( O1 , R1 ) είλαη ν νκνηόζεηνο ηνπ θύθινπ c2 ( O2 , R2 ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν R ην ζεκείν K θαη ιόγν 1 . R2 Σν ζεκείν C είλαη ε εηθόλα (ή είλαη ην νκνηόζεην) ηνπ ζεκείνπ A ζηελ νκνηνζεζία κε R θέληξν ην ζεκείν K θαη ιόγν 1 . R2 Σν ζεκείν M είλαη ε εηθόλα (ή είλαη ην νκνηόζεην) ηνπ ζεκείνπ O ζηελ νκνηνζεζία κε R θέληξν ην ζεκείν K θαη ιόγν 1 . R2 Άξα ην επζύγξακκν ηκήκα MC είλαη ην νκνηόζεην ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο OA , νπόηε ζα ηζρύεη: MC // OA . Δπεηδή όκωο MC OC (δηόηη ε γωλία MCˆ O βαίλεη ζε δηάκεηξν ζην θύθιν c1 ( O1 , R1 ) ), ˆ C 90 o . έρνπκε ηειηθά AO ˆ D 90 o . Όκνηα απνδεηθλύνπκε όηη BO 2 .3 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Γύο κύκλοι c1 ( O1 , R1 ) και c 2 ( O2 , R2 ) με R1 R2 εθάπηονηαι εζωηεπικά ζηο ζημείο K . Από ζημείο A ηος μεγάλος κύκλος θεωπούμε εθαπηόμενη ππορ ηον μικπό και έζηω B ηο ζημείο επαθήρ. Αν η εθαπηομένη ηέμνει για δεύηεπη θοπά ηον μεγάλο κύκλο ζηο ζημείο C , ηόηε η KB είναι δισοηόμορ ηηρ γωνίαρ AKˆ C . ελίδα 6 από 13 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ Λύζη Ο θύθινο c1 ( O1 , R1 ) είλαη ν νκνηόζεηνο ηνπ θύθινπ c2 ( O2 , R2 ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν R ην ζεκείν K θαη ιόγν 1 .ηελ νπνία ζπκβνιίδνπκε (γηα ζπληνκία) κε h . R2 Σν ζεκείν O1 είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ O2 ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν K R θαη ιόγν 1 . R2 (1) . Γηα ζπληνκία γξάθνπκε h( O2 ) O1 Η πξνέθηαζε ηεο KB ηέκλεη ην θύθιν c1 ( O1 , R1 ) ζην ζεκείν D . Σν ζεκείν D είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ B ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν K R θαη ιόγν 1 . R2 Γηα ζπληνκία γξάθνπκε h( B ) D ( 2 ). Από ηηο ζρέζεηο ( 1 ) θαη ( 2 ) ζπκπεξαίλνπκε όηη h( BO2 ) DO1 . Γειαδή όηη: Σν ηκήκα DO1 είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ηκήκαηνο BO2 ζηελ νκνηνζεζία κε R θέληξν ην ζεκείν K θαη ιόγν 1 . Άξα DO1 // BO2 . R2 Δπεηδή όκωο BO2 AC , ζα ηζρύεη DO1 AC θαη θαηά ζπλέπεηα ην ζεκείν D είλαη ην κέζν ηνπ ηόμνπ AC . Γειαδή ε KD είλαη ε δηρνηόκνο ηεο γωλίαο AKˆ C . ελίδα 7 από 13 ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ 2 .4 Δ ΤΘΔΙΑ EULER Σο οπθόκενηπο , ηο πεπίκενηπο και ηο βαπύκενηπο G κάθε ηπιγώνος βπίζκονηαι επάνω ζηην ίδια εςθεία (Δςθεία ηος Euler) και ιζσύει G 2 GO . Απόδειξη Έζηω 1 , 1 ,1 ηα κέζα ηωλ πιεπξώλ , , (αληίζηνηρα) ηνπ ηξηγώλνπ . Γλωξίδνπκε όηη ην βαξύθεληξν ρωξίδεη ηε δηάκεζν ζε δύν ηκήκαηα, εθ ηωλ νπνίωλ ην έλα είλαη δηπιάζην ηνπ άιινπ. Άξα ζα ηζρύνπλ νη δηαλπζκαηηθέο ηζόηεηεο: 1 1 1 G1 G , G 1 G θαη G1 G . 2 2 2 σήμα 4 Άξα ην ηξίγωλν 1 11 είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην 1 βαξύθεληξν G θαη ιόγν . 2 ( 1). Δθόζνλ 11 // θαη 1 ζα ηζρύεη: 1 11 ( 2 ). Δθόζνλ 11 // θαη 1 ζα ηζρύεη: 1 11 (3). Δθόζνλ 1 1 // θαη 1 ζα ηζρύεη: 1 1 1 Από ηηο ζρέζεηο ( 1 ),( 2 ) θαη ( 3 ) ζπκπεξαίλνπκε όηη: Σο ζημείο είναι ηο οπθόκενηπο ηος ηπιγώνος 1 , 1 , 1 . Αλ ινηπόλ, Σο ζημείο είναι ηο οπθόκενηπο ηος ηπιγώνος , ηόηε ην ζεκείν ζα είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην βαξύθεληξν G θαη ιόγν 1 . 2 1 Γειαδή ζα ηζρύεη: G G . 2 Άξα ηα ζεκεία ,G , είλαη ζπλεπζεηαθά θαη G 2 GO . ελίδα 8 από 13 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ 2 .5 Κ ΤΚΛ Ο EU LER Κένηπο ηος κύκλος ηος Euler ηπιγώνος , είναι ηο μέζο ηος εςθςγπάμμος ημήμαηορ και η ακηίνα ηος ιζούηαι με ηο μιζό ηηρ ακηίναρ ηος πεπιγεγπαμμένος κύκλος. Απόδειξη Έζηω , θαη ηα κέζα ηωλ πιεπξώλ , θαη (αληίζηνηρα) ηνπ ηξηγώλνπ . ύκθωλα κε ηε πξνεγνύκελε απόδεημε ην ηξίγωλν είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ηξηγώλνπ 1 ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην βαξύθεληξν G θαη ιόγν . 2 σήμα 5 Ο πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ , είλαη ν θύθινο ηνπ Euler ηνπ ηξηγώλνπ . Άξα ην ζεκείν (πνπ είλαη ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ) είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ (πνπ είλαη ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην 1 βαξύθεληξν G θαη ιόγν . 2 1 Γειαδή ηζρύεη ε δηαλπζκαηηθή ζρέζε: G G . 2 Πξνζζέηνληαο θαη ζηα δύν κέιε ηεο ηειεπηαίαο ζρέζεο ην δηάλπζκα G , έρνπκε: 1 3 G G G G G (1). 2 2 ελίδα 9 από 13 ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ Δπεηδή όκωο G 2 G , θαηαιήγνπκε δηαδνρηθά ζηηο παξαθάηω δηαλπζκαηηθέο ζρέζεηο: 1 1 1 G G G G G G 2 2 2 1 3 2G G G ( 2 ). 2 2 Από ηηο ζρέζεηο ( 1 ) θαη ( 2 ) , έρνπκε: . Γειαδή ην ζεκείν είλαη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο . Αλ ηώξα R είλαη ε αθηίλα ηνπ θύθινπ ηνπ Euler ηόηε πξνθαλώο R R . Γειαδή R R . 2 2 .6 ΠΡΟΚΡ Ι ΜΑΣ ΙΚΟ 2008 Οι δισοηόμοι ηων γωνιών Aˆ , ˆ , ˆ ηπιγώνος AB ηέμνοςν ηο πεπιγεγπαμμένο κύκλο ηος C 1 ( , R ) ζηα ζημεία A2 , B2 , 2 ανηίζηοισα. Οι εθαπηόμενερ ζηα ζημεία A2 , B2 , 2 ηος πεπιγεγπαμμένος κύκλος ηέμνονηαι ζηα ζημεία A3 , B3 , 3 (Σο ζημείο A3 βπίζκεηαι ζηο ίδιο ημιεπίπεδο με ακμή ηη πος πεπιέσει ηο ζημείο , ηο ζημείο 3 βπίζκεηαι ζηο ίδιο ημιεπίπεδο με ακμή ηη πος πεπιέσει ηο ζημείο και ηο ζημείο 3 βπίζκεηαι ζηο ίδιο ημιεπίπεδο με ακμή ηη πος πεπιέσει ηο ζημείο ). Αν ο εγγεγπαμμένορ κύκλορ C 2 ( I , ) ηος ηπιγώνος AB εθάπηεηαι ζηιρ πλεςπέρ B , , ζηα ζημεία A1 , B1 , 1 ανηίζηοισα, αποδείξηε όηι οι εςθείερ 1 2 , 1 2 , 1 2 , 3 , 3 , 3 πεπνάνε από ηο ίδιο ζημείο. Λύζη Έζηω ην έθθεληξν θαη O ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ AB . ελίδα 10 από 13 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ Θα απνδείμνπκε όηη: IA B11 , IB A11 θαη I A1 B1 . Γηα ηηο παξαθάηω ηζόηεηεο γωληώλ ρξεζηκνπνηνύκε ην γεγνλόο όηη ηα ζεκεία A2 , B2 , 2 , είλαη κέζα ηωλ αληίζηνηρωλ ηόμωλ. ˆ ˆ ˆ A Ιζρύνπλ νη ηζόηεηεο γωληώλ:, ˆx θαη ˆy ˆ . Άξα IA B2 2 . 2 2 2 Με όκνην ηξόπν απνδεηθλύνπκε όηη IB A2 2 θαη I A2 B2 . Οπόηε ζπκπεξαίλνπκε όηη A1 B1 // A2 B2 , A11 // 2 2 θαη B11 // B2 2 . Άξα ηα ηξίγωλα A1 B11 θαη A2 B2 2 είλαη νκνηόζεηα θαη θαηά ζπλέπεηα νη επζείεο 1 2 , 1 2 θαη 1 2 πνπ ζπλδένπλ ηηο νκόινγεο θνξπθέο ηνπο ζα ζπληξέρνπλ ζην θέληξν ηεο νκνηνζεζίαο (πνπ έζηω όηη είλαη ην ζεκείν P ). Σν ζεκείν O είλαη ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ A2 B2 2 θαη ην έθθεληξν I ηνπ ηξηγώλνπ , είλαη πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ A1 B11 . Δπεηδή όκωο ηα ηξίγωλα A1 B11 , A2 B2 2 είλαη νκνηόζεηα, ζα είλαη νκνηόζεηα θαη ηα πεξίθεληξά ηνπο. Γειαδή ην ζεκείν O είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ I ζηελ νκνηνζεζία R κε θέληξν ην ζεκείν P θαη ιόγν (όπνπ R θαη είλαη νη αθηίλεο ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ C1 ( O , R ) θαη εγγεγξακκέλνπ C 2 ( I , ) θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ AB αληίζηνηρα). Πξνθαλώο ινηπόλ νη θύθινη C1 ( O , R ) θαη C 2 ( I , ) είλαη νκνηόζεηνη ζηελ νκνηνζεζία κε R θέληξν ην ζεκείν P θαη ιόγν . Δπί πιένλ κπνξνύκε λα ζπκπεξάλνπκε όηη θαη ηα ζεκεία O , I , P είλαη ζπλεπζεηαθά θαη PO PI (1) Η 3 3 εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C1 ( O , R ) ζην κέζν 2 ηνπ ηόμνπ , άξα 3 3 // . ελίδα 11 από 13 ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ Η 3 3 εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C1 ( O , R ) ζην κέζν 2 ηνπ ηόμνπ , άξα 3 3 // . Η 3 3 εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C1 ( O , R ) ζην κέζν 2 ηνπ ηόμνπ , άξα 3 3 // . Από ηηο ηξείο πξνεγνύκελεο παξαιιειίεο ζπκπεξαίλνπκε όηη ηα ηξίγωλα AB θαη A3 B3 3 είλαη νκνηόζεηα θαη θαηά ζπλέπεηα νη επζείεο AA3 , BB3 θαη 3 πνπ ζπλδένπλ ηηο νκόινγεο θνξπθέο ηνπο ζα ζπληξέρνπλ ζην θέληξν ηεο νκνηνζεζίαο (πνπ έζηω όηη είλαη ην ζεκείν T ). Οη θύθινη C1 ( O , R ) θαη C 2 ( I , ) είλαη νη εγγεγξακκέλνη θύθινη ηωλ νκνηόζεηωλ ηξηγώλωλ R A3 B3 3 θαη AB αληίζηνηρα ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην T θαη ιόγν . Δπη πιένλ κπνξνύκε λα ζπκπεξάλνπκε όηη θαη ηα ζεκεία O , I ,T είλαη ζπλεπζεηαθά θαη TO TI (2) Από ηηο ζρέζεηο (1) θαη (2) ζπκπεξαίλνπκε όηη ηα ζεκεία P θαη T ηαπηίδνληαη. Παπαηήπηζη Μπνξνύκε λα απνδείμνπκε όηη ηα ζεκεία P θαη T ηαπηίδνληαη θαη κε ηνλ εμήο ηξόπν: Σα ζεκεία A2 , B2 , 2 είλαη ηα ζεκεία επαθήο ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ C1 ( O , R ) ηνπ ηξηγώλνπ A3 B3 3 κε ηηο πιεπξέο ηνπ. Σα ζεκεία A1 , B1 ,1 είλαη ηα ζεκεία επαθήο ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ C 2 ( I , ) ηνπ ηξηγώλνπ AB κε ηηο πιεπξέο ηνπ. Δπεηδή όκωο ηα ηξίγωλα είλαη νκνηόζεηα, νη επζείεο A1 A2 , B1 B2 θαη 1 2 πνπ νξίδνπλ ηα νκόινγα ζεκεία επαθήο ζα δηέξρνληαη από ην θέληξν ηεο νκνηνζεζίαο T . ελίδα 12 από 13 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ Π ΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ 1 ΒΑΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ .................................................................................................... 2 1.1 ΟΜΟΙΟΘΔΣΟ ΗΜΔΙΟΤ ................................................................ 2 1.2 ΟΜΟΙΟΘΔΣΑ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΩΝ ΥΗΜΑΣ ΩΝ .................................... 2 2 ΑΚΗΔΙ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ..................................................................................... 5 2.1 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ................................................................................. 5 2.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ................................................................................. 6 2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ................................................................................. 6 2.4 ΔΤΘΔΙΑ EULE R ............................................................................ 8 2.5 ΚΤΚΛΟ EULER ........................................................................... 9 2.6 ΠΡΟΚΡΙΜΑΣΙ ΚΟ 2008 ............................................................... 10 ελίδα 13 από 13
© Copyright 2024 Paperzz
