ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

`
Πποηεινόμενα Θέμαηα Πανελληνίων Δξεηάζεων
Μαθημαηικά Θεηικήρ και Τεσνολογικήρ Καηεύθςνζηρ
6-4-2015
ΘΔΜΑ A
Α1. Έζηω ζπλάξηεζε f παξαγωγίζηκε ζε θάπνην δηάζηεκα (α , β)κε εμαίξεζε ίζωο
έλα ζεκείν x0 ζην νπνίν όκωο ε f είλαη ζπλερήο.
Αλ f (x)  0 ζην (α, x0 ) θαη f (x)  0 ζην (x0,β) ηόηε ην f(x0) είλαη ηνπηθό κέγηζην
ηεο f.
Μονάδερ 10
Α2. Τη νλνκάδνπκε ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ y ωο πξνο ην x ζην ζεκείν x 0 ;
Μονάδερ 3
A3. Nα ραξαθηεξίζεηε κε ζωζηό (Σ) ή ιάζνο (Λ) ηηο παξαθάηω πξνηάζεηο :
1. Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη θπξηή ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο ηόηε ε εθαπηνκέλε ζε
νπνηνδήπνηε ζεκείν ηεο βξίζθεηαη θάηω από ηελ Cf .
2. Έλα ηνπηθό κέγηζην κηαο ζπλάξηεζε f , κπνξεί λα είλαη κηθξόηεξν από έλα
ηνπηθό ειάρηζην ηεο f .
3. Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη θνίιε ζε θάπνην δηάζηεκα Δ ηόηε ηζρύεη πάληα
f (x)  0 γηα x  .
4. Αλ νη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη παξαγωγίζηκεο ζην δηάζηεκα Δ θαη  ηόηε
 g(x)

ηζρύεη   f (t)dt   f (g(x))  g(x) γηα θάζε x 
 


5. Ιζρύεη όηη
g( )
 f (g(x))g(x)dx  

f (x)dx
g(  )
1
6. Αλ ε f είλαη ζπλερήο ηόηε ζα ηζρύεη
2013
 f  x  2012 dx  
0
f (x)dx
2012
Μονάδερ 12
`
ΘΕΜΑ B
Β1. Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο z ηζρύεη ε ζρέζε z  2  4i  z  2  4i  2 5
λα βξείηε :
i. Τνλ γεωκεηξηθό ηόπν ηωλ εηθόλωλ ηωλ z ζην κηγαδηθό επίπεδν
Μονάδερ 6
ii. Πνίνο από ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο z έρεη ην ειάρηζην κέηξν
Μονάδερ 6
Β2. Έζηω ε ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα ζπλάξηεζε f : R  R θαη ε ζπλάξηεζε
x 1


g : R  R κε ηύπν g(x)     f  u  t  dt  du
0 0

i. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε g ωο πξνο ηα θνίια
 1  g 1
ii. Να απνδείμεηε όηη g   
5
5
Μονάδερ 6
Μονάδερ 7
ΘΔΜΑ Γ
Δίλεηαη ε παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : R  R θαη ν κηγαδηθόο αξηζκόο z κε
1
2
Re  z   0 θαη Im  z   0 γηα ηνλ νπνίν ηζρύνπλ z   f 1 θαη z  3  f  2  10
z
Να απνδείμεηε όηη :
Γ1. z  1 θαη f  2  3f 1
Μονάδερ 6
Γ2. Υπάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ  1 , 2 ώζηε f   μ   2f 1
Μονάδερ 6
Γ3. Η εμίζωζε  x 2  3 f  x   2  3x  x 2 έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην 1 , 2
Μονάδερ 6
`
Γ4. Η εμίζωζε 2xf  x   11f 1  x 2f   x  έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην 1 , 2
Μονάδερ 7
ΘΔΜΑ Γ
Έζηω κηα παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : R  R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ :
 f (x)  0 γηα θάζε x  R
x

 f  t  dt  x  x
2
γηα θάζε x  R
0
2x f  t 
dt
, x0

t
x

Θεωξνύκε επίζεο ηε ζπλάξηεζε g(x)  
ln 2
, x0


g x
 f  2x  γηα θάζε x  0
Γ1. Να απνδείμεηε όηη ηζρύεη f  x  
ln 2
Μονάδερ 6
Γ2. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν x 0  0
Μονάδερ 4
Γ3. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην δηάζηεκα 0 ,   
Μονάδερ 5
Γ4. Έζηω Ω1 ην επίπεδν ρωξίν πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο
ζπλάξηεζεο g  t  , ηνλ άμνλα x΄x θαη ηηο επζείεο t  x θαη t  x  1 γηα θάζε
x  0 θαη Ω2 ην επίπεδν ρωξίν πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε
ηεο ζπλάξηεζεο g  t  , ηνλ άμνλα x΄x θαη ηηο επζείεο t  x  1 θαη t  x  2 γηα
θάζε x  0 .
Να απνδείμεηε όηη Ε  Ω1   Ε  Ω2 
Μονάδερ 6
`
Γ5. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη κνλαδηθό μ  1 , 2 ηέηνην ώζηε λα ηζρύεη
μ
2
0
μ
 g  t  dt   g  t  dt
Μονάδερ 4

Download Report