397 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου – Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ που βρίσκονται απέναντι ˆ B, ˆ Γˆ συμβολίζοαπό τις γωνίες του A, νται αντιστοίχως α, β, γ. ∧ ∧ ∧ Για τις γωνίες κάθε τριγώνου ΑΒΓ ισχύει Α + Β + Γ = 180 . 0 Η γωνία του τριγώνου που περιέχεται μεταξύ δύο πλευρών λέγεται περιεχόμενη γωνία των πλευρών, π.χ. περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΑΒ, ΑΓ ˆ . είναι η γωνία A Οι γωνίες του τριγώνου που έχουν κορυφές τα άκρα μιας πλευράς λέγονται προσκείμενες γωνίες της πλευράς, π.χ. προσκείμενες γωνίες της πλευράς ˆ και Γˆ . ΒΓ είναι οι γωνίες B Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα, ενώ οι άλλες δύο ονομάζονται κάθετες πλευρές . Ένα τρίγωνο ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές του ονομάζεται : Σκαληνό, όταν έχει και τις τρεις πλευρές του άνισες . Ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές ίσες . Ισόπλευρο, όταν έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες . 398 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι ίσα. Ισχύει ακόμη και το αντίστροφο. Δηλαδή Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μία προς μία. Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται : Οξυγώνιο, όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες . Αμβλυγώνιο, όταν έχει μια γωνία αμβλεία . Ορθογώνιο, όταν έχει μια γωνία ορθή. Σ’ ένα τρίγωνο, εκτός από τα κύρια στοιχεία, υπάρχουν και τα δευτερεύοντα στοιχεία, που είναι οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη. Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Διχοτόμος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από μια κορυφή, χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά . ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 399 Ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μια κορυφή του τριγώνου προς την ευθεία της απέναντι πλευράς . Υπάρχουν προτάσεις με τις οποίες διαπιστώνουμε ότι και με λιγότερα στοιχεία από τα έξι είναι δυνατόν να διακρίνουμε αν δύο τρίγωνα είναι ίσα. Οι προτάσεις αυτές λέγονται κριτήρια ισότητας τριγώνων. ο Κριτήρια ισότητας τριγώνων 1 κριτήριο ισότητας ( Π - Γ-Π ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα (Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες) 2ο κριτήριο ισότητας ( Γ- Π - Γ ) Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. (Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές) 3ο κριτήριο ισότητας ( Π - Π -Π ) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 400 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα . Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση, τότε είναι ίσα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρί- γωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ και να συμπληρώσετε τις ισότητες Λ Λ Β = ... . , Γ = ... . και ΒΓ = …. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα γιατί έχουν : ΑΒ = ΑΕ(υπόθεση) , ∧ ∧ ΑΓ = ΑΔ (υπόθεση) και ακόμα ΒΑΓ = ΔΑΕ (ως κατακορυφήν γωνίες), δηΛ ∧ Λ ∧ λαδή ισχύει ότι απαιτεί το κριτήριο Π - Γ – Π, οπότε Β = Ε . , Γ = Δ και ΒΓ = ΔΕ. 2. Να εξηγήσετε γιατί δεν είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος , αν και έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και μια γωνία ίση. 401 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ δεν είναι ίσα , γιατί ενώ είναι ΑΓ = ΔΖ = 6cm και Λ ΒΓ = ΔΕ = 7cm η γωνία Γ που σχηματίζεται από τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ Λ δεν ισούται με την γωνία Δ του ΔΕΖ που σχηματίζεται από τις ΔΕ και ΔΖ . 3. Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος και να συμπληρώσετε τις ισότητες ΑΒ = ……και ΑΓ = …… ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αρχικά παρατηρούμε ότι στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Γ = 1800 − ( Α + Β) = 1800 − (700 + 800) = 1800 − 1500 = 300 η οποία ισούται με την γωνία Ζ του ΔΕΖ . Επομένως ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Γ - Π - Γ, αφού είναι ΒΓ = ΕΖ και οι προσκείμενες γωνίες στις πλευρές αυτές είναι αντίστοιχα ίσες . Τέλος είναι ΑΒ = ΔΕ και ΑΓ = ΔΖ. 4. Να βρείτε το ζεύγος των ίσων τριγώνων. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας . ΑΠΑΝΤΗΣΗ ∧ Στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α = 1800− (600 + 450) = 1800 − 1050= 750 ∧ Αντίστοιχα στο ΔΕΖ η γωνία Ε = 1800 − (600 + 450) = 1800 − 1050 = 750 ∧ και τέλος στο ΚΛΜ η γωνία Μ = 1800 − (600 + 750) = 1800 − 1350 = 450 .Παρατηρούμε λοιπόν ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ , ΔΕΖ και ΚΛΜ έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία . Οι προϋποθέσεις όμως του κριτηρίου Γ- Π - Γ πληρούνται από τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ . 5. Είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας . ΑΠΑΝΤΗΣΗ 402 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ∧ ∧ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ δεν είναι ίσα αφού Β = 700 ≠ 600 = Ε . Επομένως δεν πληρούνται οι συνθήκες του κριτηρίου Γ – Π – Γ. 6. Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος και να συμπληρώσετε τις ισό∧ ∧ τητες Α = ... Β = ... και Λ Γ = ... ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα γιατί έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία αφού : ΑΒ = ΔΖ = 5cm , ΒΓ = ΕΖ = 8cm , ΓΑ = ΔΕ = 7cm . Τότε ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ είναι : A = Δ , Β = Ζ , Γ = Ε 7. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Aν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία , τότε είναι ίσα β) Aν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία , τότε είναι ίσα γ ) Σε δύο τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες . δ ) Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. ε ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία , τότε θα έχουν και την τρίτη τους γωνία ίση . στ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία , τότε θα έχουν και την τρίτη τους πλευρά ίση . ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η α είναι Λάθος (Λ) , γιατί δεν είναι πάντα ίσα. Για παράδειγμα δύο ισόπλευρα με διαφορετικές πλευρές ενώ έχουν τις γωνίες τους ίσες μια προς μια(600) έχουν διαφορετικές πλευρές και επομένως δεν είναι ίσα. β) Η β είναι Σωστή (Σ) λόγω του πρώτου κριτηρίου ισότητας. γ) Η γ είναι Λάθος (Λ), γιατί τα τρίγωνα πρέπει να είναι ίσα. δ) Η δ είναι Σωστή (Σ) ,γιατί τα τρίγωνα είναι ίσα. ∧ ∧ ∧ ε) Η ε είναι Σωστή (Σ) γιατί γνωρίζουμε ότι Α + Β+ Γ = 180 0 . στ) Η στ είναι Λάθος (Λ) . Αυτό συμβαίνει μόνο στα ορθογώνια τρίγωνα . 403 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 8. Είναι ίσα τα ορθογώ- νια τρίγωνα του διπλανού σχήματος ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας ΑΠΑΝΤΗΣΗ ∧ Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι : Γ = 900 − 550 = 350 , η οποία ισούται με την γωνία ∧ Ζ του ΔΕΖ . Επομένως είναι ίσα αφού έχουν μία πλευρά και μία γωνία αντίστοιχα ίσες . 9. Να βρείτε το ζεύγος των ίσων τριγώνων. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας . ΑΠΑΝΤΗΣΗ ∧ Επειδή στο τρίγωνο ΚΛΜ είναι Μ = 900 − 400 = 500 , τα ορθογώνια ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι ίσα γιατί έχουν μία πλευρά και την αντίστοιχη οξεία γωνία ίση. 10. Τα ορθογώνια τρίγωνα του διπλανού σχήματος έχουν δύο πλευρές ίσες . Να εξηγήσετε γιατί δεν είναι ίσα . ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ δεν είναι ίσα παρά το γεγονός ότι έχουν δύο πλευρές ίσες γιατί αυτές δεν είναι αντίστοιχες. Η κάθετη πλευρά ΑΓ του ΑΒΓ ισούται με την υποτείνουσα ΕΖ του ΔΕΖ. 11. Να αιτιολογήσετε γιατί είναι ίσα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ. 404 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία . Τις κάθετες ΑΒ και ΑΔ και τις υποτείνουσες . ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ = ΑΕ. Να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ . ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα γιατί : Δ Δ ΑΒΔ = ΑΓΕ 1. ΑΔ = ΑΕ (Υπόθεση) 2. ΑΒ = ΑΓ (Υπόθεση) ∧ ∧ 3. ΒΑΔ = ΓΑΕ (ως κατακορυφήν γωνίες) Από το κριτήριο Π – Γ – Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ΒΔ = ΓΕ . ΑΣΚΗΣΗ 2 Στο διπλανό σχήμα η Οδ είναι διχοτόμος της γωνίας ∧ xOy Αν ΟΑ = ΟΒ και Σ τυχαίο σημείο της διχοτόμου, να αποδείξετε ότι ΣΑ = ΣΒ. ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΣ και ΟΒΣ είναι ίσα γιατί : Δ Δ ΟΑΣ = ΟΒΣ 1. ΟΑ = ΟΒ (Υπόθεση) 2. ΟΣ = ΟΣ ( κοινή πλευρά ) 405 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ∧ ∧ ∧ 3. ΑΟΣ = ΒΟΣ (επειδή η Οδ είναι διχοτόμος της xOy ) Από το κριτήριο Π – Γ – Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ΣΑ= ΣΒ . ΑΣΚΗΣΗ 3 Στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημεία Δ , Ε , ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΑΕ. ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα γιατί : ∧ Α ∧ 1. ΑΒΔ = ΑΓΕ (παρά τη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου) 2. ΑΒ = ΑΓ (υπόθεση) 3. ΒΔ = ΓΕ (υπόθεση) Από το κριτήριο Π – Γ – Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ΑΔ= ΑΕ . (Τα σημεία Δ, Ε μπορούμε να τα πάρουμε και εξωτερικά του ΒΓ) Γ Β Δ Ε ΑΣΚΗΣΗ 4 Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ Να αποδείξετε ότι ΒΓ = ΑΔ . ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΓΒ είναι ίσα γιατί : Δ Δ ΟΑΔ = ΟΓΒ 1. ΟΑ = ΟΓ (υπόθεση) 2. ΟΔ = ΟΒ (υπόθεση) ∧ ∧ 3. ΑΟΔ = ΓΟΒ (κοινή γωνία) Από το κριτήριο Π – Γ – Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ΒΓ= ΑΔ . 406 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 5 Κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ είναι 8 cm . Αν είναι ΑΖ = ΒΔ = ΓΕ = 3 cm , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο. ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι : ΒΖ = ΓΔ = ΑΕ γιατί καθένα από τα τμήματα αυτά ισούται με : 8cm − 3cm = 5cm . Θα δείξουμε τώρα ότι τα τρίγωνα ΑΖΕ , ΒΔΖ , ΓΔΕ είναι ίσα γιατί : Δ Δ Δ ΑΖΕ = ΒΔΖ = ΓΔΕ 1. ΑΖ = ΒΔ = ΓΕ = 3cm 2. ΑΕ = ΒΖ = ΓΔ = 5cm ∧ ∧ ∧ 3. A = Β = Γ = 600 . Από το κριτήριο Π – Γ – Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι , ίσα επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ΖΕ = ΔΖ = ΔΕ , άρα το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο . ΑΣΚΗΣΗ 6 Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ , ΑΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντιστοίχως τμήματα ΒΔ = ∧ ∧ ΓΕ . Να αποδείξετε ότι Δ = Ε . ΛΥΣΗ Επειδή ΑΒ = ΑΓ και ΒΔ = ΓΕ ( προσθέτουμε τις ισότητες κατά μέλη ) ΑΒ+ΒΔ = ΑΓ+ΓΕ ή ΑΔ = ΑΕ , ( 1 ) ∧ ∧ Για να δείξουμε ότι Δ = Ε Θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα που περιέχουν αυτές τις γωνίες , δηλαδή τα ΑΔΓ και ΑΒΕ ότι είναι ίσα : Δ Δ ΑΔΓ = ΑΒΕ 1. ΑΓ = ΑΒ (υπόθεση) 2. ΑΔ = ΑΕ (σχέση 1) 407 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ∧ ∧ 3. ΓΑΔ = ΒΑΕ (κοινή γωνία) Από το κριτήριο Π – Γ – Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως ∧ ∧ έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και Δ = Ε . ΑΣΚΗΣΗ 7 Σ ’ ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ η διαγώνιος ΑΓ Λ Α Β Λ διχοτομεί τις γωνίες Α και Γ . Να αποδείξετε ότι ΑΒ = ΑΔ και ΒΓ = ΓΔ . Δ Γ ΛΥΣΗ Για να δείξουμε ότι ΑΒ = ΑΔ και ΒΓ = ΓΔ αρκεί να δείξουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι ίσα : Δ Δ ΑΒΓ = ΑΔΓ ∧ ∧ ∧ ∧ 1. ΒΑΓ = ΔΑΓ ( ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας Α) 2. ΒΓΑ = ΔΓΑ (ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας Δ ) 3. ΑΓ κοινή πλευρά Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου ισότητας τριγώνων Γ – Π – Γ τα τρίγωνα είναι ίσα , επομένως έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες άρα : ΑΒ = ΑΔ και ΒΓ = ΓΔ ΑΣΚΗΣΗ 8 Να αποδείξετε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες . ΛΥΣΗ Για να αποδείξουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα που τις περιέχουν δηλαδή τα ΑΒΔ και ΓΒΔ είναι ίσα : Δ Δ ΑΒΔ = ΓΒΔ 1. ΒΔ = ΒΔ (κοινή πλευρά) Α Δ Β Γ 408 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ∧ ∧ ∧ ∧ 2. ΑΒΔ = ΓΔΒ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ//ΔΓ τεμνομένων από την ΒΔ) 3. ΑΔΒ = ΓΒΔ ( ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ//ΒΓ τεμνομένων από την ΒΔ) Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Γ – Π – Γ τα τρίγωνα είναι ίσα , επομένως έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες άρα : ΑΒ = ΓΔ και ΒΓ = ΑΔ . ΑΣΚΗΣΗ 9 Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ του διπλανού σχήματος έχουν τις διχοτόμους ΑΔ και Α΄Δ΄ ίσες . Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ = Α΄Β β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα . ΛΥΣΗ ∧ ∧ α) Επειδή ΑΔ και Α΄Δ΄ διχοτόμοι των γωνιών Α και Α΄ αντίστοιχα , είναι ∧ ∧ : ΒΑΔ = Β΄Α΄Δ΄ = 30 0 (1). Για να αποδείξουμε ότι ΑΒ = Α΄Β΄ θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα ΒΑΔ και Β΄Α΄Δ΄ που περιέχουν αυτές τις πλευρές ότι είναι ίσα : Δ Δ ΒΑΔ = Β΄Α΄Δ΄ ∧ ∧ ∧ ∧ 1. ΒΑΔ = Β΄Α΄Δ΄ = 30 0 (σχέση 1) 2. ΒΔΑ = Β΄Δ΄Α΄ = 70 (υπόθεση) 3. ΑΔ = Α΄Δ΄ (υπόθεση) Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Γ – Π – Γ τα τρίγωνα είναι ίσα , επομένως έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες άρα : ΑΒ = Α΄Β΄. β) Παρόμοια αποδεικνύουμε ότι και τα τρίγωνα ΑΓΔ και Α΄Γ΄Δ΄ είναι ίσα , οπότε πάλι θα έχουμε ΑΓ = Α΄Γ΄ . Τότε όμως και τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα γιατί έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία , αφού ΑΒ = Α΄Β΄, ΑΓ = Α΄Γ΄ και τις μεταξύ αυτών περιεχόμενες γωνίες ίσες . 0 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 409 ΑΣΚΗΣΗ 10 Στο διπλανό σχήμα το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ ενός κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Ο. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα . ΛΥΣΗ Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα γιατί έχουν : Δ Δ ΟΑΒ = ΟΑΓ 1. ΟΒ = ΟΓ (ως ακτίνες του κύκλου) 2. ΑΒ = ΑΓ (αφού τα Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ) 3. ΟΑ = ΟΑ (κοινή πλευρά ) Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Π – Π – Π τα τρίγωνα είναι ίσα . ΑΣΚΗΣΗ 11 Αν Ο , Α είναι τα κέντρα των κύκλων του διπλανού σχήματος , να αποδείξετε ότι η ΑΟ Λ διχοτομεί τη γωνία Β Α Γ. ΛΥΣΗ Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα γιατί έχουν : Δ Δ ΟΑΒ = ΟΑΓ 1. ΟΒ = ΟΓ (ως ακτίνες του κύκλου κέντρου Ο) 2. ΑΒ = ΑΓ (ως ακτίνες του κύκλου κέντρου Α) 3. ΟΑ= ΟΑ (κοινή πλευρά ). Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Π – Π – Π τα τρίγωνα είναι ίσα , άρα έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , οπότε και ∧ ∧ ΟΑΒ = ΟΑΓ άρα η ΟΑ διχοτομεί την γωνία ΒΑΓ . 410 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 12 Τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ του διπλανού σχήματος έχουν κοινή βάση ΒΓ . Να Λ αποδείξετε ότι η ΑΔ διχοτομεί τις γωνίες Α Λ και Δ . ΛΥΣΗ Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα γιατί έχουν : ΑΒ = ΑΓ (ως πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ) ΔΒ = ΔΓ (ως πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ΔΒΓ). ΑΔ = ΑΔ (κοινή πλευρά ) Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Π – Π – Π τα τρίγωνα ∧ ∧ είναι ίσα άρα έχουν όλα τα στοιχεία τους ίσα , οπότε ΔΑΒ = ΔΑΓ και ∧ ∧ Λ Λ ΑΔΒ = ΑΔΓ , άρα η ΑΔ διχοτομεί τις γωνίες Α και Δ . ΑΣΚΗΣΗ 13 Στα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ του διπλανού σχήματος οι διάμεσοι ΑΜ και Α΄Μ΄ είναι ίσες . Αν ΑΒ = Α΄Β΄ και ΒΜ = Β΄Μ΄, τότε να αποδείξετε ότι: Λ Λ α) Β = Β΄ β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα . ΛΥΣΗ α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α΄Β΄Μ΄ είναι ίσα , αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία . Είναι ΑΒ = Α΄Β΄, ΒΜ = Β΄Μ΄ και ΑΜ = Α΄Μ΄. ΕπομέΛ Λ νως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και Β = Β΄ . ∧ ∧ β) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ακόμα ότι ΒΜΑ = Β΄Μ΄Α΄ . ∧ ∧ ∧ ∧ Τότε θα είναι και ΑΜΓ = 180 0 - ΒΜΑ = 180 0 − Β΄Μ΄Α΄ = Α΄Μ΄Γ΄ . Είναι όμως και ΓΜ = ΜΒ = Μ΄Β΄= Μ΄Γ΄ . Επομένως θα είναι ίσα και τα τρίγωνα ΑΜΓ και Α΄Μ΄Γ΄ γιατί έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία αφού ΑΜ = Α΄Μ΄ , ΜΓ = Μ΄Γ΄ και τις μεταξύ αυτών περιεχόμενες γωνίες ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 411 ίσες . Από την ισότητα των τριγώνων ΑΜΓ και Α΄Μ΄Γ΄ προκύπτει ότι και ΑΓ = Α΄Γ΄. Από όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι και τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία . ΑΣΚΗΣΗ 14 Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης ΒΓ. Αν είναι ΒΔ = ΓΕ , να αποδείξετε ότι α) το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές β) τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα . ΛΥΣΗ α) Τα τρίγωνα ΒΜΔ και ΓΜΔ είναι ίσα γιατί : 1. ΜΒ = ΜΓ (επειδή το Μ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ) 2. ΒΔ = ΓΕ (υπόθεση) Λ Λ 3. Β = Γ ( ως γωνίες βάσης ισοσκελούς τριγώνου) . Επομένως αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου ισότητας τριγώνων Π – Γ – Π τα τρίγωνα είναι ίσα , άρα ΜΔ = ΜΕ . β) Είναι : ΑΒ = ΑΓ ΒΔ = ΓΕ αφαιρούμε τις ισότητες κατά μέλη και έχουμε .ΑΒ − ΒΔ = ΑΓ − ΓΕ ή ΑΔ = ΑΕ . Τα τρίγωνα λοιπόν ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα , αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία , γιατί ΑΔ = ΑΕ , ΜΔ = ΜΕ και ΑΜ είναι κοινή πλευρά . ΑΣΚΗΣΗ 15 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέρουμε ΑΔ ⊥ ΑΒ και ΑΕ ⊥ ΑΓ. Αν είναι ΑΔ = ΑΕ , να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ . ΛΥΣΗ Τα ορθογώνια ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα αφού έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία .Επομένως είναι και ΒΔ = ΓΕ . 412 ΑΣΚΗΣΗ 16 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Λ Λ Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι Β = Δ = 900 και ΑΒ = ΑΔ . Να αποδείξετε ότι ΒΓ = ΓΔ και ότι η ΑΓ είναι η μεσοκάθετος του ΒΔ . ΛΥΣΗ Επειδή δίνεται ότι ΑΒ = ΑΔ και η ΑΓ είναι κοινή πλευρά των δύο ορθογωνίων τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΓ αυτά είναι ίσα . Τότε όμως είναι και ΓΒ = ΓΔ . Παρατηρούμε τώρα ότι τα σημεία Α και Γ ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ΒΔ αφού ΑΒ = ΑΔ και ΓΒ = ΓΔ , επομένως τα σημεία αυτά είναι σημεία της μεσοκάθετης του ΒΔ ,άρα η ΑΓ είναι η μεσοκάθετή του . ΑΣΚΗΣΗ 17 A B Δ Γ Λ Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 900 ) φέρουμε τη διχοτόμο ΒΔ . Αν ΔΕ ⊥ ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΑΒ = ΒΕ . ΛΥΣΗ Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΒΔ είναι ίσα γιατί έχουν κοινή υποτείνουσα την ΒΔ και ίσες τις οξείες γωνίες : ΑΒΔ και ΕΒΔ αφού η ΒΔ είναι διχοτόμος Β Ε A Γ Δ ΑΣΚΗΣΗ 18 Μια ευθεία (ε) διέρχεται από το μέσον Μ ενός τμήματος ΑΒ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α , Β ισαπέχουν από την ευθεία (ε). 413 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΛΥΣΗ Από τα σημεία Β και Δ φέρνουμε τις κάθετες ΑΔ και ΒΕ στην ευθεία ( ε ) . Παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΑΔ και ΜΒΕ είναι ίσα γιατί : 1. ΜΑ = ΜΒ (υπόθεση) ∧ ε Ε Α Μ ∧ 2. ΑΜΔ = ΒΜΕ (ως κατακορυφήν) . Επομένως (κριτήριο Π-Γ) είναι και ΑΔ = ΒΕ , δηλαδή τα σημεία Α και Β ισαπέχουν από την ευθεία ε . Δ ΑΣΚΗΣΗ 19 Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν Λ Λ Α = Α΄ και ΑΒ = Α΄Β΄. Αν και τα ύψη τους ΑΔ και Α΄Δ΄ είναι ίσα , να αποδείξετε ότι Λ Λ α) Β = Β΄ β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα . ΛΥΣΗ α) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΒ και Α΄Δ΄Β΄ είναι ίσα αφού έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες . Δ Δ ΑΔΒ = Α΄Δ΄Β΄ 1. ΑΒ = Α΄Β΄ (υπόθεση) 2. ΑΔ = Α΄Δ΄ (υπόθεση) Λ Λ Επομένως Β = Β΄ . β) Τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα γιατί έχουν: Δ Δ ΑΒΓ = Α΄Β΄Γ΄ 1. ΑΒ = Α΄Β΄ (υπόθεση) Λ Λ Λ Λ 2. Α = Α΄ (υπόθεση) 3. Β = Β΄ (από το προηγούμενο ερώτημα) Β 414 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας Γ-Π-Γ των τριγώνων τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα. ΑΣΚΗΣΗ 20 Αν οι χορδές ΑΒ , ΓΔ ενός κύκλου είναι ίσες, να αποδείξετε ότι και τα αποστήματά τους ΟΜ , ΟΝ είναι ίσα και αντιστρόφως . ΛΥΣΗ Είναι ΑΒ = ΓΔ (υπόθεση) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΟΑ και ΝΟΓ είναι ίσα: Δ Δ ΜΟΑ = ΝΟΓ 1. ΓΝ = ΑΜ (Επειδή και Μ , Ν τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα) 2. ΟΑ = ΟΓ (ως ακτίνες του κύκλου) Οπότε και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα άρα ΟΜ = ΟΝ. ΑΣΚΗΣΗ 21 Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου. Αν οι χορδές ΑΓ και ΑΔ είναι ίσες , να αποδείξετε ότι και οι χορδές ΒΓ και ΒΔ είναι ίσες . ΛΥΣΗ Επειδή η ΑΒ είναι διάμετρος οι γωνίες ΑΓΒ και ΑΔΒ είναι ορθές γιατί βλέπουν σε ημικύκλιο .Τότε όμως τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΒ και ΑΔΒ είναι ίσα: Δ Δ ΑΓΒ = ΑΔΒ 1. ΑΓ = ΑΔ(υπόθεση) 2. ΑΒ (κοινή πλευρά) αφού έχουν δύο πλευρές αντίστοιχα ίσες . Άρα και ΒΓ = ΒΔ . 415 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 10 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΘΕΜΑ 1Ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Δύο τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση είναι ίσα. β) Δύο τρίγωνα που έχουν τις οξείες γωνίες τους ίσες είναι ίσα. γ) Δύο τρίγωνα που έχουν μια πλευρά ίση και δύο αντίστοιχες γωνίες ίσες μία προς μία είναι ίσα. (3μονάδες) Β. Αν δύο ισοσκελή τρίγωνα έχουν τις βάσεις τους ίσες και τις γωνίες της κορυφής ίσες, τότε να αποδείξετε ότι είναι ίσα. (3μονάδες) ΘΕΜΑ 2Ο Σε ένα κύκλο κέντρου Ο να χαράξετε μια χορδή του ΑΒ . Αν Γ, Δ είναι σημεία της χορδής ΑΒ τέτοια ώστε ΑΓ=ΒΔ , τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές. (7μονάδες) ΘΕΜΑ 3Ο Α Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο ώστε για ένα εσωτερικό του σημείο Δ, να ισχύ∧ ∧ ∧ ∧ ουν Β1 = Γ1 και Δ1 = Δ 2 . Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. β) Το σημείο Δ ισαπέχει από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ . 1 2 1 Δ 1 Β Γ ( 7μονάδες) 416 ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 20 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΘΕΜΑ 1Ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Δύο τρίγωνα που έχουν μία πλευρά ίση και δύο γωνίες ίσες μία προς μία είναι ίσα. β) Δύο τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και μία γωνία ίση ,τότε είναι ίσα. γ) Δύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν τις οξείες γωνίες τους ίσες είναι ίσα. (3μονάδες) Β. Αν δύο ισοσκελή τρίγωνα έχουν δύο οποιεσδήποτε πλευρές ίσες και δύο γωνίες της κορυφής ίσες, τότε είναι ίσα ; (3μονάδες) ΘΕΜΑ 2Ο Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες (7μονάδες) ΘΕΜΑ 3Ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε το ύψος ΑΔ και το προεκτείνουμε προς το μέρος του Δ κατά τμήμα ΔΕ = ΑΔ . Να αποδείξετε ότι ΑΓ = ΓΕ (7μονάδες)
© Copyright 2024 Paperzz
