ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ανακεφαλαίωση Α Α σημείο Α άπειρες ευθείες από Α Β Α Α ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Β Γ παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα Δ ευθεία ε Α x΄ ημιευθεία Αx Ο ε1 ε΄ x το σημείο Ο χωρίζει μια ευθεία σε δύο ημιευθείες Οx και Οx΄ παράλληλες ευθείες κάθετες ευθείες ε ε1 ε2 ε2 Α Α Αο x ευθεία ΑΒ x τεμνόμενες ευθείες Β Α x΄ ε ε από το Α μία μόνο κάθετη στην ε 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ε1 ε2 από το Α μία μόνο παράλληλη στην ε Α Β ε Γ Π Π τρία σημεία ορίζουν ένα επίπεδο Η ευθεία ε ανήκει ολόκληρη στο επίπεδο Π ε Π2 ε Α Π1 Π Η ευθεία ε τέμνει το επίπεδο Π Η ευθεία χωρίζει ένα επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα Α Α Β απόσταση δύο σημείων απόσταση σημείου Α από ευθεία ε Β Α ε1 Β ε2 ε απόσταση δύο παράλληλων ευθειών ΓΩΝΙΑ y πλευρά y κορυφή ω O πλευρά x΄ διχοτόμος z Ο x x διχοτόμος γωνίας Γ y Ο Β y΄ x κατακορυφήν γωνίες Α εφεξής γωνίες Ο ο x΄ 90 y Γ Β Ο y Α Δ διαδοχικές γωνίες x ο 0 φ ω Ο z ο 180 β παραπληρωματικές γωνίες Ο 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ α x ο 0 συμπληρωματικές γωνίες Είδη γωνιών ορθή γωνία οξεία γωνία y 90 90 ευθεία γωνία Μηδενική γωνία 90 Ο 0 x 0 18 0 Ο 0 y 18 0 90 180 x 0 180 αμβλεία γωνία Ο 0 Ο 0 18 0 0 x 18 0 180 x 0 180 y Μη κυρτή γωνία 90 y x 0 x 0 18 0 y O Πλήρης γωνία x y O 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ O y y Κύκλος ρ Ο διάμετρος χορδή Ο Β Ο Α Α Β κύκλος(Ο, ρ) και κυκλικός δίσκος χορδή ΑΒ η διάμετρος ΑΒ χωρίζει τον κύκλο σε 2 ημικύκλια Μ2 ρ Ο Ο Μ3 Β Α O Μ1 B A τόξο δύο σημεία Α και Β του κύκλου ορίζουν δύο τόξα του κύκλου Μ1 εσωτερικό του (Ο, ρ) Μ2 σημείο του (Ο, ρ) Μ3 εξωτερικό του (Ο, ρ) y Γ x Επίκεντρη γωνία Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου ε ε Ο ρ ε Μ Ο Α ρ Μ ρ Ο Μ Β εξωτερική εφαπτόμενη τέμνουσα εφαπτόμενα τμήματα ε1 Α Μ Ο Β ε2 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ας πάρουμε από τα γνωστά μας σχήματα το τρίγωνο, με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ και το τετράπλευρο, με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και ας δούμε, ποια ονομασία έχουν τα ευθύγραμμα τμήματα που βλέπουμε στα σχήματα αυτά. Λύση Α Στο τρίγωνο ΑΒΓ, τα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ που ορίζονται από δύο κορυφές, λέγονται πλευρές του τριγώνου. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ, Δ έχει πλευρές τα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ που ορίζονται από διαδοχικές κορυφές. Τα τμήματα ΑΓ και ΒΔ, που ορίζονται από μη διαδοχικές κορυφές, λέγονται διαγώνιες του τετραπλεύρου. Β Α Β Δ Γ Γ 2. Έστω τρία σημεία Α, Β και Γ που δεν ανήκουν και τα τρία σε μια ευθεία. Πόσες ευθείες περνούν από το Α; Πόσες από τις ευθείες αυτές περνούν από το Β; Το Γ είναι σημείο της ευθείας ΑΒ; α Γ Λύση β Από το Α διέρχονται άπειρες ευθείες. Μια από αυτές περνάει Α και από το Β. ε Β Επειδή τα σημεία Α, Β και Γ δεν ανήκουν και τα τρία σε μια ευθεία, το σημείο Γ δεν μπορεί να είναι σημείο της ευθείας ΑΒ. γ 3. Στο σχήμα φαίνονται πέντε σημεία, τα Α, Β, Γ, Δ και Ε. Να χαράξετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα, που έχουν άκρα τα σημεία αυτά. Πόσα διαφορετικά ευθύγραμμα τμήματα είναι; Α Λύση Κάθε σημείο είναι άκρο ενός από τα τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα, που το συνδέουν με τα υπόλοιπα τέσσερα σημεία. Ε Β Επομένως: Το σημείο Α είναι άκρο των τμημάτων: ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ,ΑΕ Το σημείο Β είναι άκρο των τμημάτων: ΒΑ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ Το σημείο Γ είναι άκρο των τμημάτων: ΓΑ, ΓΒ, ΓΔ, ΓΕ Δ Γ Το σημείο Δ είναι άκρο των τμημάτων: ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ, ΔΕ Το σημείο Ε είναι άκρο των τμημάτων: ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ Στα παραπάνω, κάθε τμήμα εμφανίζεται δύο φορές π.χ. το ΑΒ και ΒΑ, αφού το τμήμα έχει δύο άκρα. Έτσι, στο σχήμα, δεν είναι είκοσι (20) διαφορετικά τμήματα, αλλά δέκα (10) τα: ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ, ΓΔ, ΓΕ, ΔΕ. 4. Να σχεδιαστεί το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ, το οποίο είναι ίσο με το τμήμα ΑΒ: (α) με το υποδεκάμετρο και (β) με διαβήτη. Λύση Α 0 Β 1 2 3 4 5 (α) Με το υποδεκάμετρο μετράμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και βρίσκουμε ότι 3,2 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ Γ 0 ΑΒ = 3,2 cm. Στη συνέχεια πάνω σε μια ευθεία ε παίρνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ με μήκος ίσο με 3,2 cm, όπως δείχνει το σχήμα. Δ 3 2 1 4 5 3,2 Α (β) Ανοίγουμε το διαβήτη, ώστε η μία άκρη ε του να ακουμπάει στο Α και η άλλη στο Β. Μετακινούμε το διαβήτη, χωρίς να Γ Δ Β μεταβάλλουμε το άνοιγμα του. Χαράζουμε μια ευθεία ε. Τοποθετούμε τη μία άκρη του διαβήτη σε ένα σημείο Γ της ε και με το άλλο άκρο, που έχει τη γραφίδα, βρίσκουμε το σημείο Δ της ε. Τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ είναι ίσο με το ΑΒ 5. Να βρεθεί το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Λύση M Α Β Με το υποδεκάμετρο βρίσκουμε ένα σημείο Μ του ΑΒ, για το οποίο είναι: ΑΜ = 3,8 : 2 = 1,9 cm. 2 4 5 0 3 1 Αλλά τότε και ΜΒ = 3,8 : 2 = 1,9 cm. 3,8 3,8 : 2=1,9 Δηλαδή: ΑΜ = ΜΒ. Οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει πάντα ένα μέσο Μ, που είναι και μοναδικό. 6. Να συγκριθούν οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου. Λύση Το ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο πλευρές ίσες, δηλαδή ΑΒ = ΑΓ. Με το διαφανές χαρτί συγκρίνουμε τις προσκείμενες στη βάση γωνίες Β και Γ. Διαπιστώνουμε ότι: ► Οι προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου γωνίες είναι ίσες. Α Β Γ βάση y Όπως κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα σημείο, το μέσο του, που το διαιρεί σε δύο ίσα μέρη, Ο έτσι και κάθε γωνία έχει μία ημιευθεία στο εσωτερικό της, που τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. ω ω διχοτόμος z x 7. Να σχεδιαστεί ευθεία ε΄, που διέρχεται από σημείο Α και είναι κάθετη σε ευθεία ε. Λύση 1η περίπτωση: Το σημείο Α ανήκει στην ε ε ΄ Α ε ε Α 1 ε Α Α 2 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ Α ε 3 ε ε ΄ 4 ε ΄ 5 2η περίπτωση: Το σημείο Α δεν ανήκει στην ε Α Α ε Α ε ε 3 2 1 Α Α ε ε ε΄ 4 ε΄ 5 8. Δίνεται η ευθεία ε και τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να σχεδιαστούν ευθείες ε1 ε2, ε3 και ε4, που διέρχονται από αυτά τα σημεία αντίστοιχα, κάθετες στην ε. Λύση ε3 ε1 ε4 ε2 Τοποθετούμε τον γνώμονα πάνω στην ευθεία ε έτσι, Α Ώστε η μία από τις δύο κάθετες πλευρές του να Β συμπίπτει με την ευθεία ε. Σύρουμε τον γνώμονα ε στην ευθεία ε, έως ότου η άλλη κάθετη πλευρά του Γ να έρθει σε επαφή με ένα από τα δοσμένα σημεία. Δ Από το σημείο αυτό χαράζουμε την ευθεία που είναι κάθετη στην ε. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία αυτή, για κάθε σημείο Α, Β, Γ και Δ και κατασκευάζουμε τις ευθείες ε1, ε2, ε3 και ε4 αντίστοιχα, που είναι κάθετες στην ευθεία ε. 9. Να βρεθεί σημείο της ευθείας ε, η απόσταση του οποίου από ένα σημείο Α εκτός αυτής να είναι η ελάχιστη. Λύση Από το σημείο Α φέρνουμε το κάθετο τμήμα ΑΑο στην ευθεία ε και συνδέουμε το σημείο Α με διάφορα σημεία Α1, Α2, Α3, Α4, Α5, Α6, Α7, Α8 και Α9 της ε.Μετράμε τις αποστάσεις του Α από αυτά και παρατηρούμε ότι αυτές μεγαλώνουν συνεχώς όσο απομακρυνόμαστε αριστερά και δεξιά από το Αο, άρα η ελάχιστη απόσταση είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΑο.Επομένως το Αο, είναι το ζητούμενο σημείο και ονομάζεται ίχνος της κάθετης από το Α. A 8 A A6 A4 A2 Aο A1 A3 A5 A7 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ A9 ε 10. Να σχεδιαστούν και να συγκριθούν τα ευθύγραμμα τμήματα που διέρχονται από τα σημεία Α, Β και Γ και εκφράζουν τις αποστάσεις των παραλλήλων ευθειών ε1 και ε2. Λύση Δ Ζ Γ Φέρνουμε τις κάθετες ΑΔ, ΕΒΖ και ε1 ΗΓ από τα σημεία Α, Β και Γ στις 2,5 2,5 2,5 ευθείες ε1 και ε2. cm cm Β cm Μετράμε τα ευθύγραμμα τμήματα ε2 ΑΔ, ΕΖ και ΗΓ και βρίσκουμε ότι Η Ε Α είναι όλα μεταξύ τους ίσα. Άρα η απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε1 και ε2 είναι σταθερή και ίση με 2,5 cm. 11. Να σχεδιαστούν δύο ευθείες ε1 και ε2 παράλληλες προς μια ευθεία ε, που να απέχουν από αυτή 3 cm. δ Α Λύση Σε τυχαίο σημείο Μ της ε σχεδιάζουμε ευθεία δ κάθετη στην ε. Πάνω στην ευθεία δ βρίσκουμε με το υποδεκάμετρο δύο σημεία Α και Β έτσι, ώστε να είναι: ΜΑ = ΜΒ = 3 cm. Από τα Α και Β, με τον γνώμονα, σχεδιάζουμε ευθείες ε1 και ε2 κάθετες στην ε. Οι ευθείες αυτές είναι οι ζητούμενες, γιατί η απόσταση τους από την ε είναι 3 cm. ε1 3 cm M ε 3 cm B ε2 12. Να σχεδιαστεί ένα τρίγωνο, αν γνωρίζουμε τα μήκη των πλευρών του. γ = 1,5 cm α = 3 cm β = 2 cm Λύση Ας υποθέσουμε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα α = 3 cm, β = 2 cm και γ = 1,5 cm είναι οι πλευρές του τριγώνου που πρέπει να σχεδιάσουμε. Ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Α Παίρνουμε ένα από αυτά και το ονομάζουμε πλευρά ΒΓ = α. β γ Μετά χαράζουμε τους κύκλους (Β,γ = 1,5 cm) (Γ,β = 2 cm). Γ Β α Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμνονται στο σημείο Α. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο διότι έχει πλευρές: ΒΓ = 3 cm, ΑΒ = 1,5 cm, ως ακτίνα του κύκλου (Β,1,5 cm) και ΑΓ = 2 cm, ως ακτίνα του κύκλου (Γ,2 cm), αφού το Α ανήκει και στους δύο κύκλους. 13. Να κατασκευαστεί γωνία ίση με 30ο. Λύση Α x Ο x 9 0 Ο 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 4 3 2 1 Α x Α Ο x Ο 5 Α ο ω = 30 ω x Ο Για να κατασκευάσουμε μία γωνία χρησιμοποιούμε το μοιρογνωμόνιο. Το μοιρογνωμόνιο είναι ένα όργανο με το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε το μέτρο ενός τόξου ή μιας γωνίας. Κάθε μοιρογνωμόνιο αντιστοιχεί σε ημικύκλιο που έχει βαθμολογηθεί έτσι, ώστε να δείχνει τα μέτρα των τόξων από 0ο έως 180ο. Ο τρόπος που μπορούμε να κατασκευάσουμε τη ζητούμενη γωνία 30ο φαίνεται στα διαδοχικά παραπάνω σχήματα. 14. Να κατασκευαστεί τρίγωνο, για το οποίο γνωρίζουμε ότι έχει δύο πλευρές 3 cm και 4 cm και των οποίων η περιεχόμενη γωνία είναι 55ο. Λύση Γ Α 180ο 55ο Β 1 Α Β 2 Α Β Β 3 5 ο 5 Α 4 15. Να κατασκευαστεί τρίγωνο, για το οποίο γνωρίζουμε ότι έχει μία πλευρά 3 cm και τις προσκείμενες γωνίες 40ο και 100ο. Λύση 100Ο 3 cm Α Α Β Ο 180ο Β 1 2 Γ Γ 140ο 40ο Ο Α 40ο ο 100 ο 180 Α Β 3 100ο Β 4 16. Να σχεδιαστεί κύκλος που να εφάπτεται σε σημείο μιας ευθείας. Λύση Παίρνουμε μια ευθεία ε και το σημείο της Α. Σχεδιάζουμε την ευθεία που είναι κάθετη στην ε στο σημείο Α. Με Κ κέντρο ένα οποιοδήποτε σημείο Κ της κάθετης αυτής και Α ακτίνα το τμήμα ΚΑ γράφουμε κύκλο. 10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ε Ο κύκλος που φέραμε θα εφάπτεται στην ευθεία ε, διότι αυτή είναι κάθετη στην ακτίνα ΚΑ του κύκλου στο άκρο της Α. 17. Να σχεδιαστεί ευθεία που να εφάπτεται σε σημείο ενός κύκλου. Λύση Παίρνουμε ένα κύκλο (Ο, ρ) και το σημείο του Α. Ο Σχεδιάζουμε την ευθεία ε, που είναι κάθετη στην ακτίνα ΟΑ στο σημείο Α. Η ευθεία ε θα εφάπτεται ε στον κύκλο στο σημείο Α, διότι είναι κάθετη στην Α ακτίνα ΟΑ στο άκρο της Α. 18. Να σχεδιαστούν εφαπτόμενες ενός κύκλου (Ο, ρ) στα άκρα Α και Β μιας χορδής του ΑΒ. Λύση Σχεδιάζουμε τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ. Στο σημείο ε1 Α της ακτίνας ΟΑ φέρνουμε την ευθεία ε1 κάθετη Α στην ακτίνα αυτή. Η ευθεία ε1 είναι εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Στο σημείο Β της ακτίνας Ο Μ ΟΒ φέρνουμε την ευθεία ε2 κάθετη στην ακτίνα αυτή. Η ευθεία ε2 είναι εφαπτομένη του κύκλου στο Β ε σημείο Β. 2 Αν είναι Μ το σημείο που τέμνονται οι εφαπτόμενες, τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΜ και ΒΜ λέγονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου 11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ 1. Μια γραμμή γ τέμνει την ευθεία ε στα σημεία Α, Β και Γ. Να βρεθεί ο λόγος για τον οποίο και η συμμετρική γ΄ της γ, ως προς την ευθεία ε, θα περνάει από τα ίδια σημεία. Λύση Η συμμετρική γραμμή γ΄ της γ ως προς την ε, αποτελείται από τα γ συμμετρικά όλων των σημείων της γ. Επομένως στη γ΄ ανήκουν και τα ε συμμετρικά σημεία των Α, Β και Γ. A Β Γ Επειδή όμως τα Α, Β και Γ είναι σημεία της ε τα συμμετρικά τους γ΄ είναι τα ίδια τα σημεία. Άρα τα Α, Β και Γ ανήκουν και στη γ΄. 2. Να χαραχθεί η πορεία των ακτίνων του φωτός, που εκπέμπονται από ένα φωτεινό σημείο Α και ανακλώνται σ’ έναν επίπεδο καθρέφτη (ο οποίος A στο σχήμα φαίνεται ως μία ευθεία ε). Λύση Βρίσκουμε το συμμετρικό Α΄ του σημείου Α ως προς την ευθεία ε. Οι ακτίνες ανακλώνται στον ε καθρέφτη και ακολουθούν την πορεία, που θα είχαν, αν η πηγή του φωτός ήταν το σημείο Α΄. Επειδή οι γωνίες που σχηματίζουν οι ακτίνες με την ε είναι συμμετρικές, θα είναι και ίσες. A΄ Άρα, η γωνία με την οποία μια ακτίνα πέφτει στον καθρέφτη είναι ίση με τη γωνία με την οποία ανακλάται. 3. Στο σχήμα τα σημεία Β και Β' είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία ε. Να βρεθεί με τη βοήθεια μόνο του χάρακα το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ε. Α Β Λύση Επειδή με το χάρακα μπορούμε να φέρουμε μόνο ευθείες γραμμές, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα, όπως ε φαίνονται στα παρακάτω σχήματα: Φέρνουμε την ευθεία ΑΒ και την προεκτείνουμε μέχρι να τμήσει τον Β΄ άξονα ε στο σημείο Κ. Φέρνουμε την ευθεία ΚΒ΄, η οποία είναι συμμετρική της ΚΒ, αφού ενώνει δύο συμμετρικά σημεία αυτής, τα Κ και Β΄. Α Α Α Κ ε Β΄ Α Β Β Β 1 Κ ε Β΄ 2 εΟ Β 12΄ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ Α Β Κ 3 ε Α΄ Β Κ Ο Β΄ 4 ε Α΄ Κ Ο Β΄ 5 Φέρνουμε την ΑΒ΄, που τέμνει την ε στο Ο. Τέλος, φέρνουμε την ΒΟ, που η συμμετρική της είναι η ΟΒ΄. Οι ευθείες ΚΒ΄ και ΒΟ είναι συμμετρικές των ΚΒ και Β΄Ο αντίστοιχα και οι τομές τους θα είναι συμμετρικά σημεία, τα Α και Α΄. 4. Να συγκριθούν μεταξύ τους οι γωνίες, που σχηματίζονται στα σημεία Α και Β, στα οποία τέμνει μια ευθεία δ δύο παράλληλες ευθείες ε 1 και ε2 δ φ αντίστοιχα. Α ω 1 Λύση ε1 2 Μπορούμε να διαπιστώσουμε (μετρώντας με το 3 ω 4 φ μοιρογνωμόνιο) ότι οι γωνίες που σχηματίζονται φ και στα δύο σημεία τομής Α και Β, είναι δύο ειδών: ε2 1 2 ω Οι οξείες γωνίες ω, που είναι μεταξύ τους ίσες και 4 3 ω Οι αμβλείες γωνίες φ, που είναι κι αυτές μεταξύ Β τους ίσες. φ Τα τέσσερα ζευγάρια των γωνιών, που είναι όλες οξείες και ίσες μεταξύ τους είναι: ► Από τις “εντός εναλλάξ”: Α4 = Β2 ► Από τις “εκτός εναλλάξ”: Α2 = Β4 ► Από τις “εντός - εκτός επί τα αυτά”: Α2 = Β2 και Α4 = Β4. Τα τέσσερα ζευγάρια των γωνιών, που είναι όλες αμβλείες και ίσες μεταξύ τους είναι: ► Από τις “εντός εναλλάξ”: Α3 = Β1 ► Από τις “εκτός εναλλάξ”: Α1 = Β3 ► Από τις “εντός - εκτός επί τα αυτά”: Α1 = Β1 και Α3 = Β3 Επειδή όμως οι γωνίες Α1 και Β2 είναι παραπληρωματικές, θα ισχύει γενικά: ω + φ = 180ο. Οπότε συμπεραίνουμε ότι τα υπόλοιπα ζευγάρια των γωνιών είναι ζευγάρια παραπληρωματικών γωνιών, τα οποία και είναι τα εξής: ► Οι “εντός επί τα αυτά”: Α3 + Β2 = 180ο και Α4 + Β1 = 180ο ► Οι “εκτός επί τα αυτά”: Α1 + Β4 = 180ο και Α4 + Β3 = 180ο ► Οι “εντός- εκτός εναλλάξ”: Α1 + Β2 = 180ο και Α2 + Β1 = 180ο και Α3 + Β4 = 180ο και Α4 + Β3 = 180ο 5. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1 // ε2 να υπολογίσετε όλες τις γωνίες, που είναι σημειωμένες, αν είναι α = 40ο. ε2 Λύση ε1 Οι γωνίες α και γ είναι κατακορυφήν, άρα θα είναι: α = γ = 40ο Οι γωνίες α και γ είναι παραπληρωματικές, άρα θα είναι: α + β = 180ο από τη σχέση αυτή συμπεραίνουμε ότι: β = 180ο – α = 180ο – 40ο = 140ο. Οι γωνίες β και δ είναι κατακορυφήν, άρα θα είναι: β Γ α δ ζ ε η θ β = δ = 140ο Αλλά επειδή ε1 // ε2 και η ε3 τέμνουσα των δύο παραλλήλων ευθειών θα είναι: ε = α, ως εντός – εκτός επί τα αυτά, άρα ε = 40ο. ζ + α = 180ο ως εντός επί τα αυτά, άρα ζ = 180ο – α = 180ο – 40ο = 140ο. η = α, ως εντός εναλλάξ, επομένως: η = 40ο και θ = δ, ως εντός – εκτός επί τα αυτά, άρα: θ = 140ο. 13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ε3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ 1. Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου, αν είναι γνωστό μόνο ότι το μέτρο μιας γωνίας του είναι 40ο. Λύση Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με Α ΑΒ = ΑΓ. Τότε θα είναι Β=Γ. ο Επειδή είναι Α + Β + Γ = 180 , διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις: (α) Αν είναι Α = 40ο. Συνεπώς θα είναι 40ο + Β + Γ = 180ο, 40ο 40ο Γ Β επομένως Β + Γ = 180ο – 40ο. Επομένως θα είναι: Β + Β = 140ο, από την οποία προκύπτει ότι: 2 Β = 140ο, δηλαδή Β = 140ο : 2 = 70ο άρα και Γ = 70ο. (β) Αν είναι Β = Γ = 40ο. Θα είναι Α + 40ο + 40ο = 180ο, δηλαδή Α + 80ο = 180ο, συνεπώς θα έχουμε: Α = 180ο – 80ο = 100ο. Παρατηρούμε ότι με τα ίδια ακριβώς δεδομένα προκύπτουν δύο τελείως διαφορετικά ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία όμως ικανοποιούν αυτά τα δεδομένα. 2. Τοποθέτησε ένα “x” στην θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΖΕΥΓΟΥΣ ΓΩΝΙΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ “ΕΝΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ” “ΕΚΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ” “ΕΝΤΟΣ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ” “ΕΚΤΟΣ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ” “ΕΝΤΟΣ - ΕΚΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ” “ΕΝΤΟΣ - ΕΚΤΟΣ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ” 14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΙΣΕΣ ΣΧΕΣΗ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 3. Τοποθέτησε ένα «x» στην θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. (Υπάρχουν και περιπτώσεις που περισσότερες από μία απαντήσεις είναι σωστές). 1. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι: 270ο ο Χ 180 90ο 2. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος, που αντιστοιχεί στη βάση, είναι και: Χ Άξονας συμμετρίας Χ Ύψος Χ Διχοτόμος 3. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι εξωτερικές του γωνίες είναι ίσες με: 145ο 270ο Χ 120ο 4. Σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο είναι ίσες οι: Χ Οι προσκείμενες σε κάθε βάση γωνίες του Όλες οι πλευρές του Χ Οι διαγώνιοι του. 5. Σε κάθε ρόμβο οι διαγώνιες του είναι: Χ Άξονες συμμετρίας Χ Κάθετες και διχοτομούνται Χ Διχοτόμοι των γωνιών του. 6. Σε κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο άξονες συμμετρίας είναι: Οι διαγώνιές του Χ Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του Οι πλευρές του. 15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 7. Σε κάθε τετράγωνο οι ευθείες των διαγωνίων του είναι: Χ Διχοτόμοι των γωνιών του Χ Μεσοκάθετοι των πλευρών του Χ Άξονες συμμετρίας. 8. Σε κάθε παραλληλόγραμμο είναι: Χ Κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του. Οι διαγώνιές του άξονες συμμετρίας Χ Οι διαγώνιές του διχοτομούνται. 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
© Copyright 2024 Paperzz
