2.3 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ – ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : (ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ) Έστω ( ) : x  y    0 μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου και ( x0 , y0 ) ένα σημείο εκτός αυτής. Η απόσταση του σημείου Μ από την ευθεία (ε) συμβολίζεται με x0  y0   d ( ,  ) και είναι ιση με : d ( ,  )   2  2 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 1. Να βρεθεί η απόσταση του σημείου (1,2) από την ευθεία ( ) : 4 x  3 y  25  0 . Λύση : x0  y 0    4  1  3  (2)  25  4  6  25 15 15 d ( ,  )      3 16  9 25 5 2  2 (4) 2  32 2. (Άσκηση 5 σελ. 76 Β΄ ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τα σημεία της ευθείας x  y  2  0 , τα οποία απέχουν από την ευθεία 12 x  5 y  60  0 απόσταση ιση με 1. Λύση : Έστω ( x, y) το σημείο της ευθείας ( ) : x  y  2  0 που ψάχνω. Το Μ ανήκει στην ευθεία ( ) : x  y  2  0  y  x  2 άρα την επαληθεύει δηλ. ( x, x  2) . Επίσης η απόσταση το Μ από την ευθεία ( ) : 12 x  5 y  60  0 είναι ιση με 1 άρα : d ( ,  )  1  12 x  5( x  2)  60 12 2  (5) 2 1  7 x  50  13  7 x  37  x   12 x  5 x  10  60 169 1 7 x  50 13  1  7 x  50  13  37 37 23  37 23  και y    2  y   άρα  1   ,  7 7 7 7   7 ή  7 x  50  13  7 x  63  x  9 και y  9  2  y  7 άρα  2  9,7 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2 : (ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ) Έστω (1 ) : y  x  1 και ( 2 ) : y  x   2 δυο παράλληλες ευθείες. Για να βρω την απόσταση των ευθειών ( 1 ) και ( 2 ) , βρίσκω ένα σημείο  ( x0 , y0 ) σε μια από τις 2 (συνήθως σημείο τομής με άξονες) και στη συνέχεια υπολογίζω την απόσταση του Ν x0  y0   από την άλλη. d ( 1 ,  2 )  d ( ,  )  .  2  2 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 3. (Άσκηση 3 σελ. 75 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου ) Δίνονται οι ευθείες ( 1 ) : 4 x  3 y  9  0 και ( 2 ) : 4 x  3 y  24  0 . i. Να δείξετε ότι ( 1 ) //  2  ii. Να βρείτε ένα σημείο της ( 1 ) και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση των ( 1 ) και  2  . Λύση :  4 4  4 4 i. Έχω : (1 )      , (  2 )      άρα (1 )  ( 2 )  ( 1 ) //  2   3 3  3 3 ii. Για να βρω την απόσταση των παραλλήλων ευθειών ( 1 ) και  2  , συμφώνα με τη μεθοδολογία, θα πρέπει πρώτα να βρω ένα σημείο που να ανήκει σε μια από τις δυο ευθείες και μετά να υπολογίσω την απόσταση του σημείου αυτού από την άλλη ευθεία. Έτσι λοιπόν : στην ( 1 ) : 4 x  3 y  9  0 για x  0 έχω : x 0 ( 1 ) : 4 x  3 y  9  0  4  0  3 y  9  0  3 y  9  y  3 άρα το σημείο (0,3)  ( 1 ) Άρα x0  y 0   4  0  3  (3)  24 9  24  15 15      3. d ( 1 ,  2 )  d (,  2 )  5 5 25 2  2 4 2  (3) 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 2 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : (ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗΣ) Μεσοπαράλληλη δυο παραλλήλων ευθειών ( 1 ) και ( 2 ) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις ( 1 ) και ( 2 ) . Περίπτωση 1 Όταν μας δίνουν τις εξισώσεις των δυο παραλλήλων ευθειών ( 1 ) και ( 2 ) και μας ζητούν να βρούμε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης τότε : παίρνω ένα τυχαίο σημείο ( x, y ) που ανήκει στη μεσοπαράλληλη, για το οποίο ισχύει d (, 1 )  d (,  2 ) . Η παραπάνω σχέση μας οδηγεί στην εξίσωση της μεσοπαράλληλης. Περίπτωση 2 Όταν μας δίνουν τη μεσοπαράλληλη ( ) δυο ευθειών ( 1 ) και ( 2 ) που απέχουν m μονάδες μεταξύ τους και μας ζητούν να βρούμε τις εξισώσεις των ( 1 ) και ( 2 ) τότε : παίρνω ένα τυχαίο σημείο ( x, y ) που ανήκει σε μια από τις ( 1 ) και ( 2 ) . m Τότε ισχύει d ( ,  )  . Η σχέση αυτή μας οδηγεί στις εξισώσεις των 2 μεσοπαραλλήλων. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 4. Να βρεθεί η μεσοπαράλληλος των ευθειών ( 1 ) : 2 x  y  9  0 και ( 2 ) : 2 x  y  15  0 . (Περίπτωση 1) Λύση : Έστω (ε) η μεσοπαράλληλος των ( 1 ) και ( 2 ) και έστω ( x, y)  ( ) . Τότε ισχύει : 2x  y  9 2 x  y  15 d (  ,  1 )  d ( ,  2 )    2 x  y  9  2 x  y  15  2 2  (1) 2 2 2  (1) 2  2 x  y  9  2 x  y  15  9  15 αδύνατο ή  2 x  y  9  (2 x  y  15)  2 x  y  9  2 x  y  15   4 x  2 y  6  0  2 x  y  3  0 άρα ( ) : 2 x  y  3  0 . ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 3 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 5. (Άσκηση 6 σελ.75 σχολικού βιβλίου Α΄ομάδας) Η ευθεία ( ) : 3x  2 y  1  0 είναι μεσοπαράλληλη δυο παραλλήλων ευθειών ( 1 ) και ( 2 ) , που απέχουν 8 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών. (Περίπτωση 2) Λύση : Έστω ( x, y)  ( 1 ) , τότε ισχύει d (,  )   3x  2 y  1 13 3x  2 y  1 8 4  d ( ,  )  4  2 3 2  (2) 2  4  3x  2 y  1  4 13   3x  2 y  1  4 13  3x  2 y  1  4 13  0 άρα ( 1 ) : 3x  2 y  1  4 13  0 ή  3x  2 y  1  4 13  3x  2 y  1  4 13  0 άρα ( 2 ) : 3x  2 y  1  4 13  0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 4 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : (ΕΥΡΕΣΗ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥ) Διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. Για να βρούμε τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν δυο ευθείες, εργαζόμαστε ως εξής : παίρνω ένα τυχαίο σημείο ( x, y ) που ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας που σχηματίζουν δυο ευθείες ( 1 ) και ( 2 ) . Τότε ισχύει d (, 1 )  d (,  2 ) . Η σχέση αυτή μας οδηγεί σε εξισώσεις δυο ευθειών ( 1 ) και ( 2 ) . Η μια από αυτές είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας και η άλλη της αμβλείας γωνίας που σχηματίζουν οι ευθείες ( 1 ) και ( 2 ) . Για να βρούμε ποια από τις δυο αντιστοιχεί στην οξεία και ποια στην αμβλεία εργαζόμαστε ως εξής : επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο Α της ( 1 ) (δίνω μια τιμή στο x και υπολογίζω το αντίστοιχο y) μετά βρίσκω τις αποστάσεις d ( , 1 ) και d ( ,  2 ) . Αν d ( , 1 )  d ( ,  2 ) , τότε η ( 1 ) είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας και η ( 2 ) της αμβλείας. Αν προκύψει ότι d ( , 1 )  d ( ,  2 ) τότε οι ( 1 ) και ( 2 ) είναι κάθετες. ΛΥΝΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. (Άσκηση 8 σελ.76 σχολικού βιβλίου Β΄ομάδας) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες 3x  4 y  1  0 και 5x  12 y  4  0 . Λύση : Έστω ( 1 ) και ( 2 ) οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ( 1 ) : 3x  4 y  1  0 και ( 2 ) : 5x  12 y  4  0 , και έστω ( x, y)  ( 1 ) , τότε ισχύει : 3x  4 y  1 5 x  12 y  4 3x  4 y  1 5 x  12 y  4   d ( ,  1 )  d (  ,  2 )    2 2 2 2 5 13 3  (4) 5  12  13 3x  4 y  1  5 5x  12 y  4    13(3x  4 y  1)  5(5x  12 y  4)   39 x  52 y  13  25x  60 y  20   14 x  112 y  7  0  2 x  16 y  1  0 άρα (1 ) : 2 x  16 y  1  0 ή   13(3x  4 y  1)  5(5x  12 y  4)  39 x  52 y  13  25x  60 y  20   64 x  8 y  33  0 άρα ( 2 ) : 64 x  8 y  33  0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 5 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : (ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ( x0 , y0 ) ΚΑΙ ΕΧΕΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9 ΕΝΟΤΗΤΑ 2.1) Όταν σε μια άσκηση ψάχνουμε εξίσωση ευθείας (ε) που διέρχεται από ένα γνωστό σημείο ( x0 , y0 ) και επιπλέον έχει μια ιδιότητα 1, τότε για να βρούμε την εξίσωση της, εργαζόμαστε ως εξής : i. Η ευθεία (ε) έχει εξίσωση της μορφής x  x0 ή y  y0   ( x  x0 ) (από το σημείο Μ διέρχεται η κατακόρυφη x  x0 και οι ευθείες με εξίσωση y  y0   ( x  x0 ) , οπότε πρέπει να πάρουμε και τις 2 περιπτώσεις ) ii. Εξετάζουμε αν η ευθεία με εξίσωση x  x0 έχει την ιδιότητα 1. Αν την έχει, τότε η x  x0 είναι μια από τις ζητούμενες ευθείες. iii. Θεωρούμε ότι η ευθεία με εξίσωση y  y0   ( x  x0 ) έχει την ιδιότητα 1 και βρίσκουμε τις τιμές του λ και τις αντίστοιχες ευθείες. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΔΙΝΕΤΑΙ ΕΜΕΣΑ ΤΟ λ ΚΑΙ ΕΧΕΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 10 ΕΝΟΤΗΤΑ 2.1) Όταν σε μια άσκηση ψάχνουμε εξίσωση ευθείας της οποίας μας δίνεται εμεσα το λ δηλαδή ο συντελεστής διεύθυνσης η οποία ικανοποιεί μια ιδιότητα 1, τότε ξεκινάμε πάντα : «έστω ( ) : y  x   η εξίσωση της ευθείας που ψάχνω», θα γνωρίζω το λ, και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 1 ψάχνω να βρω το β. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7. (Άσκηση 1 σελ.75 Β΄ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και απέχει από τα σημεία (2,0) και (0,2) . Λύση : Έστω (ε) η ευθεία που ψάχνω, η (ε) διέρχεται από το σημείο (0,0) . Από το σημείο (0,0) διέρχονται : 1) Η κατακόρυφη ( ) : x  x0  x  0 , άρα η ( ) : x  0 απέχει από τα σημεία (2,0) και (0,2) άρα d ( ,  )  d (,  )  1  (2)  0  0  0  1 0  0  2  0  2  0 αδύνατο. 12  0 2 12  0 2 2) Όλες οι ευθείες της μορφής : ( ) : y  y0   ( x  x0 )  y  0   ( x  0)  y  x άρα : η ( ) : y  x  x  y  0 απέχει από τα σημεία (2,0) και (0,2) άρα   (2)  (1)  0  0   0  (1)  2  0 d ( ,  )  d (,  )     2   2  2   2  2  (1) 2 2  (1) 2    1    1 ή   1 . Άρα οι ζητούμενες ευθείες είναι : ( 1 ) : y  x και ( 2 ) : y   x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 6 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 8. (Άσκηση 5 σελ.75 Α΄ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης   3 και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ιση με 5 μονάδες. Λύση :   3 Έστω (ε) η ευθεία που ψάχνω, τότε ( ) : y  x    y  3x   δηλ. ( ) : 3x  y    0 . Όμως η ( ) απέχει από την αρχή των αξόνων (0,0) απόσταση ιση με 5 μονάδες, άρα : 3  0  1 0    d (,  )  5  5  5    5 10    5 10 ή   5 10 10 3 2  12  Αν   5 10 τότε : ( 1 ) : 3x  y  5 10  0  Αν   5 10 τότε : ( 2 ) : 3x  y  5 10  0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : (ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ) Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο : (  )     1 det  ,   2    οπου   ( x  x , y  y  ) ,   ( x  x  , y  y  ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές : Α(-2,4) , Β(2,-6) και Γ(5,4). Λύση :    ( x  x , y  y  )  (2  2,6  4)  (4,10)    ( x  x , y  y  )  (5  2,4  4)  (7,0) 1 1 1     1 4  10 (  )  det  ,     4  0  (10)  7  70  35 .. 2 2 2   2 7 0 10. (Άσκηση 8 σελ.75 σχολικού βιβλίου Α΄ομάδας) Δίνονται τα σημεία Α(5,1) και Β(1,3). Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα x΄x, για το οποίο το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ είναι ισο με 7. Λύση : 1     Το   xx άρα θα είναι της μορφής (x,0) . ( )  7  det   ,    7 2      ( x  x , y   y )  (5  x,1  0)  (5  x,1)    ( x  x , y  y  )  (1  5,3  1)  (4,2) . Οπότε : 5 x 1 1      14  2(5  x)  4  14  10  2 x  4  14  det   ,    7  2 4 2    14  2 x  14   14  2 x  14  2 x  0  x  0 άρα 1 (0,0)  14  2x  14  2x  28  x  14 άρα  2 (14,0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 7 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : (ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΑΠΕΧΕΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ) Α) Για να βρω την ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο της ευθείας ( ) : x  y    0 από την αρχή των αξόνων : Σχήμα 1  min d  ()  d ,    x0  y 0   2  2  0  0   2  2   2  2  max d δεν υπάρχει Β) Για να βρω ποιο είναι το σημείο της ευθείας (ε) που απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων : αρκεί να βρω τις συντεταγμένες του σημείου Μ (σχήμα 1). Πιο συγκεκριμένα βρίσκω την εξίσωση της ευθείας (ΟΜ) και λύνω σύστημα με την εξίσωση της ευθείας (ε). Η διαδικασία είναι η εξής :   1ον) ()  ( )      1 ,    άρα   και η (ΟΜ) διέρχεται από το    Ο(0,0) άρα έχει εξίσωση : () : y  x .    y  x ον 2 ) Στη συνέχεια λύνω το σύστημα : () :  , αν η λύση του είναι το  x  y    0 ζεύγος ( x1 , y1 ) τότε το ζητούμενο σημείο είναι : ( x1 , y1 ) . (Αυτή τη μεθοδολογία θα τη χρειαστούμε στη Γ΄ Λυκείου) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 11. Δίνεται η ευθεία ( ) : x  2 y  6  0 και το σημείο  (2,3) . i. Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο της ευθείας (ε) από την αρχή των αξόνων. ii. Να βρείτε ποιο είναι το σημείο της ευθείας (ε) που απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων. iii. Να βρείτε ποιο σημείο της ευθείας (ε) που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο K. Λύση : i. Αρχικά θα σχεδιάσω την ευθεία (ε). Για να σχεδιάσω μια ευθεία αρκεί να βρω δυο σημεία της, συνήθως διαλέγω σημεία τομής με τους άξονες. Έτσι έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 8 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ x 0  Για x  0 η ( ) γίνεται : ( ) : x  2 y  6  0  0  2 y  6  0  y  3 , άρα το (0,3) σημείο τομής της ( ) με τον y΄y. y 0  Για y  0 η ( ) γίνεται : ( ) : x  2 y  6  0  x  2  0  6  0  x  6 , άρα το (6,0) σημείο τομής της ( ) με τον x΄x min d  ()  d ,    ii. iii. x0  y 0     2 2  1 0  2  0  6 1 2 2 2  6 5  6 5  6 5 5 5  6 5 5 1 άρα   2 και η (ΟΜ) διέρχεται από το 2 Ο(0,0) άρα έχει εξίσωση : () : y  2 x .  y  2 x, (1) 2ον) Στη συνέχεια λύνω το σύστημα : () :  η (2) λόγο της (1)  x  2 y  6  0, (2) 6 6 12  6 12  γίνεται : x  2  2 x  6  0  5x  6  x  , άρα από (1) y  2  y  , άρα  ,  . 5 5 5 5 5  Έστω Γ το σημείο της ευθείας (ε) που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το Κ 1ον) ()  ( )      1 ,    Έστω επίσης (ζ) η ευθεία που διέρχεται από το Κ και είναι κάθετη στην (ε). Το Γ 1 είναι σημείο τομής της (ζ) και της (ε). Έτσι : ( )  ( )      1 ,    άρα 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 9 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ   2 και επειδή η (ζ) διέρχεται από το  (2,3) έχω : y  3  2( x  2)  2 x  y  7  0 δηλ. ( ) : 2 x  y  7  0 . Για να βρω τις συντεταγμένες του σημείου τομής της (ζ) και της (ε) θα λύσω το σύστημα των ( ) : x  2 y  6  0 x  2 y  6 x  2 y  6 εξισώσεων τους    ( ) : 2 x  y  7  0 2 x  y  7  2 4 x  2 y  14 προσθέτοντας κατά μέλη έχω : 5x  20  x  4 και 4  2 y  6  y  1 άρα (4,1) . ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ – ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Δίνονται τα σημεία Α(14,5) και Β(2,-1) . i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα Α και Β. ii. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η (ε) τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y. (Θέμα εξετάσεων) 2. Δίνονται οι ευθείες (ε) : 3x-2y+1=0 και (ζ) : 2x+3y-8=0. i. Να αποδείξετε ότι είναι κάθετες ii. Υποθέτουμε ότι το σημείο Α(α,2) ανήκει στην ευθεία (ε) και το σημείο Β(-5,β) ανήκει στην ευθεία (ζ). Να βρείτε τις τιμές των α,β iii. Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(α,β) (α,β αυτά που βρήκατε στο ii) ανήκει στην ευθεία με εξίσωση 3x-y+3=0. iv. Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών (ε) και (ζ) (Θέμα εξετάσεων) 3. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-3,4), Β(-1,0) και Γ(3,2). Να βρείτε: i. Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ. ii. Την εξίσωση του ύψους ΑΔ. iii. Την εξίσωση της διαμέσου ΑΜ. iv. Το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΜ. 4. Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,2), Β(1,3) και Γ(3,-2). Να βρεθούν : i. Η εξίσωση του ύψους AΔ. ii. H εξίσωση της διαμέσου ΒΕ. iii. Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο τομής Κ των ευθειών ΑΔ και ΒΕ και είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-3,4) , Β(-1,0) και Γ(3,2). i. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. ii. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου. iii. Να βρεθεί η εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας Β του τριγώνου iv. Να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 6. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(1,2) και δυο ύψη του έχουν εξισώσεις x+y-1=0 και x-2y=0. i. Να βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΒΓ ii. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 7. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α(2,3) και η οποία : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 10 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ i. ii. iii. Είναι παράλληλη στην ευθεία (ζ) : y=3x-67 3 Είναι κάθετη στην ευθεία (η) : y=  x+3 2 Είναι παράλληλη με τον χ’χ. 8. Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-3,3), Β(1,5) και Γ(3,3). Να βρεθούν : i. Η εξίσωση της πλευράς ΑΒ. ii. Η εξίσωση του ύψους ΓΔ. iii. Οι εξισώσεις των διαμέσων ΑΚ, ΒΛ, ΓΝ. iv. Οι εξισώσεις των μεσοκαθετων. v. Οι συντεταγμένες του περίκεντρου του τριγώνου. (σημείο τομής των μεσοκαθετων.) 9. Δίνονται τα σημεία Α (1, 4) και Β (- 1, - 5). i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. ii. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. iii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. iv. Να βρείτε την προβολή της αρχής των αξόνων πάνω στην ευθεία ΑΒ 10. Ένας πολεοδομικός χάρτης είναι εφοδιασμένος με ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Ο δρόμος (δ 1 ) διέρχεται από τα σημεία Α(-2,1) και Β(-1,2) ενώ ένας άλλος δρόμος (δ 2 ) διέρχεται από τα σημεία Γ(5,2) και Δ(3,4). i. Να βρείτε τις εξισώσεις που έχουν οι δυο δρόμοι στο χάρτη. ii. Να εξετάσετε αν οι δρόμοι τέμνονται κάθετα. iii. Να βρείτε τις συντεταγμένες της διασταύρωσης Σ των δρόμων (δ 1 ) και (δ 2 ). iv. Να βρείτε τις συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής Ε του οικοδομικού τετραγώνου (ορθογωνίου), του οποίου οι 3 κορυφές είναι τα σημεία Β, Σ και Δ. 11. Δίνεται η εξίσωση (ε): (λ-1)x+(λ2+5λ+6)y-λ+3=0, λ   . i. Να δειχθεί ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία για κάθε λ   . ii. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να είναι κάθετη στην (η): x+y-3=0 iii. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να είναι παράλληλη στον άξονα y’y 12. Δίνεται η ευθεία (ε): x+y-2=0 και το σημείο Α(-3,1). Να βρείτε: i. Την εξίσωση της ευθείας (η), η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε). ii. Το σημείο τομής των (ε) και (η). iii. Το συμμετρικό Β του σημείου Α ως προς την (ε).     13. Δίνεται η εξίσωση : α  2 x  a  α  1 y  α  2  0 (1) i. Να αποδείξετε ότι για κάθε    η (1) παριστάνει ευθεία. ii. Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την (1) διέρχονται από σταθερό σημείο. iii. Για ποιες τιμές του α η παραπάνω εξίσωση είναι παράλληλη στον χ΄χ ; iv. Να βρείτε την ευθεία (ε) που ορίζεται από την (1) και είναι παράλληλη στην (η) : xy+3=0 2 2 2 14. Δίνονται τα σημεία Α(8,0) και Β(0,4) του καρτεσιανού επιπέδου Oxy. i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων Ο και το μέσο Δ του τμήματος ΑΒ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 11 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ii. iii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Δ και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΔ. Έστω Μ τυχαίο σημείο της παραπάνω ευθείας (ε). Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση: ΜΑ 2  ΜΒ 2  2ΟΜ 2 (Θέμα εξετάσεων) 15. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(4,-1). Δυο από τις διχοτόμους του τριγώνου έχουν εξισώσεις : ( 1 ) : x  1  0 και ( 2 ) : x  y  1  0 . Να βρείτε : i. Το συμμετρικό Δ του Α ως προς την ( 1 ) . ii. Το συμμετρικό Ε του Α ως προς την ( 2 ) . iii. Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ του τριγώνου. 16. Δίνεται η εξίσωση χ2-ψ2+6χ+9=0. i. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει 2 ευθείες ε 1 και ε2. ii. Να δείξετε οι 2 ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες.  iii. Να βρείτε ένα σημείο Μ(κ,λ) με κ>0 και λ>0 τέτοιο ώστε το διάνυσμα   (3, ) να είναι παράλληλο σε μία από τις δύο ευθείες ε1 και ε2 και το διάνυσμα    ( 16,4 ) να είναι παράλληλο στην άλλη ευθεία. iv. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που περικλείουν οι δύο ευθείες και ο άξονας ψ΄ψ. (Θέμα εξετάσεων) 17. Ένα πλοίο κινείται ,σε μια θαλάσσια περιοχή, βορειοανατολικά με ευθεία πορεία η οποία σχηματίζει γωνία 600 με την κατεύθυνση δύση – ανατολή. Την στιγμή t = 0 το πλοίο βρίσκεται νότια ενός φάρου Ο και σε απόσταση από αυτόν 4 ναυτικά μίλια. Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή τον φάρο και άξονα χ΄χ την κατεύθυνση δύση – ανατολή και μονάδα του κάθε άξονα το 1 ν. μ. i. Να βρείτε την εξίσωση της πορείας του πλοίου. ii. Να βρείτε πόσο κοντά από τον φάρο θα περάσει το πλοίο. iii. Ο καπετάνιος του πλοίου παρατηρεί τη θέση ενός άλλου πλοίου το οποίο σε χρόνο t βρίσκεται στη θέση (2t+1 , t+2) για κάθε t  0 . Ποια είναι η πορεία του πλοίου; iv. Πρέπει να ανησυχεί ο καπετάνιος για πιθανή σύγκρουση των δύο πλοίων; Σε ποιο σημείο είναι δυνατόν να συμβεί αυτή; (Θέμα εξετάσεων) 18. Δίνεται σημείο Α(2,1) του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΟΑ. ii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΑ. iii. Η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Β. Να βρείτε την εξίσωση του ύψους του τριγώνου ΟΑΒ που διέρχεται από την κορυφή Α iv. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. (Θέμα εξετάσεων) 19. Ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, η πλευρά ΑΒ ανήκει στην ευθεία με εξίσωση (AΒ) : 3x-7y+27=0 και η πλευρά ΑΔ στην ευθεία με εξίσωση (ΑΔ) : 4x+y+5=0. Οι  5 διαγώνιοι ΑΓ , ΒΔ του παραλληλογράμμου τέμνονται στο σημείο   2,  .  2 i. Να αποδείξετε ότι η κορυφή Γ έχει συντεταγμένες Γ(6,2). ii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η πλευρά ΒΓ. iii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η διαγώνιος ΒΔ. (Θέμα εξετάσεων) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 12