Μελέτη των ακουστικών κυμάτων σε ηχητικό σωλήνα

Άσκηση
36
Μελέτη των ακουστικών κυμάτων σε ηχητικό σωλήνα
36.1 Σκοπός
Σκοπός της άσκησης είναι η μελέτη των στάσιμων ακουστικών κυμάτων σε ηχητικό σωλήνα. Θα
καταγραφεί η ακουστική πίεση κατά μήκος του σωλήνα, όταν το ελεύθερό του άκρο είναι κλειστό και
όταν το άκρο αυτό είναι ανοικτό. Θα μετρηθούν οι τέσσερις πρώτες συχνότητες συντονισμού στις δύο
αυτές περιπτώσεις. Επίσης, θα μετρηθεί ο συντελεστής ανάκλασης του ήχου από το ανοιχτό άκρο και η
ταχύτητα διάδοσης του ήχου στο σωλήνα. Η ταχύτητα θα μετρηθεί με δύο μεθόδους: με τη μέθοδο των
στάσιμων κυμάτων και με τη μέθοδο radar.
36.2 Γενικά
Στερεά αντικείμενα που πάλλονται ή ταλαντώνονται γύρω από τη θέση ισορροπίας και βρίσκονται σε
άμεση επαφή με των ατμοσφαιρικό αέρα, παράγουν ακουστικά κύματα που διαδίδονται προς όλες τις
κατευθύνσεις. Τα κύματα αυτά προκαλούν μικρές κινήσεις των μορίων του αέρα γύρω από τη θέση
ισορροπίας και η συχνότητα της κίνησης αυτής είναι ίδια με αυτή της ηχητικής πηγής. Η διεύθυνση
ταλάντωσης των μορίων είναι ίδια με τη διεύθυνση διάδοσης του ηχητικού κύματος, δηλαδή τα
ακουστικά κύματα είναι διαμήκη κύματα. Επιπλέον, κάθε πηγή ήχου δημιουργεί και διακυμάνσεις της
πίεσης, γύρω από τη μέση τιμή. Πράγματι, καθώς το σώμα ταλαντώνεται και η επιφάνειά του κινείται, π.
χ., προς τα δεξιά (Σχ. 36.1), ο αέρας που βρίσκεται κοντά της συμπιέζεται και έτσι δημιουργείται ένα
πύκνωμα στο οποίο η πυκνότητα και η πίεση του αέρα είναι ελαφρώς μεγαλύτερες από τη μέση τιμή. Το
πύκνωμα αυτό διαδίδεται προς τα δεξιά με την ταχύτητα του ήχου.
Παλλόμενη
μεμβράνη
Σχήμα 36.1 Στιγμιαία φωτογραφία της ακουστικής πίεσης
Αντίθετα, όταν το σώμα κινείται προς τ’ αριστερά, στην δεξιά πλευρά του σώματος δημιουργείται
αραίωμα που και αυτό κινείται προς τα δεξιά με την ταχύτητα του ήχου. Έτσι, το παλλόμενο σώμα
παράγει στον αέρα μία σειρά πυκνώσεων και αραιώσεων που διαδίδονται στον χώρο είτε υπό μορφή
επίπεδων ακουστικών κυμάτων, όταν οι διαστάσεις της πηγής είναι μεγαλύτερες από το μήκος κύματος
του ήχου, είτε υπό μορφή σφαιρικών ακουστικών κυμάτων, όταν το μήκος κύματος είναι μεγαλύτερο από
τις διαστάσεις της πηγής. Στο Σχ. 36.1 δίνεται στιγμιαία φωτογραφία της πίεσης που δημιουργεί στο
1
χώρο μία παλλόμενη μεμβράνη. Παρόλο που το ακουστικό κύμα διαδίδεται και προς την αντίθετη
κατεύθυνση, για λόγους εποπτείας, στο σχήμα παραλείφθηκε το μέρος του κύματος που διαδίδεται προς
τ’ αριστερά.
36.2.1
Στάσιμα ακουστικά κύματα
Τα στάσιμα ακουστικά κύματα δημιουργούνται από την υπέρθεση δύο κυμάτων που συνυπάρχουν στον
ίδιο χώρο και διαδίδονται προς αντίθετες κατευθύνσεις, έχουν ίδιο μήκος κύματος και ίδιο ή περίπου ίδιο
πλάτος ταλάντωσης. Τέτοιες συνθήκες δημιουργούνται όταν το επίπεδο ακουστικό κύμα προσπίπτει
κάθετα σε μία επίπεδη επιφάνεια ενός στερεού. Ο ακουστικός συντελεστής ανάκλασης από τέτοια
επιφάνεια (Gψ) με ικανοποιητική ακρίβεια μπορεί να θεωρηθεί -1 (Παράρτημα 3).
Έστω ότι το επίπεδο ακουστικό κύμα διαδίδεται προς τις αρνητικές τιμές του x και, στο σημείο x = 0,
προσπίπτει κάθετα στην επιφάνεια ενός επίπεδου στερεού, δηλαδή τον ανακλαστήρα. Θα θεωρήσουμε
ακόμη ότι το κύμα δεν εξασθενεί κατά τη διάδοσή του. Αν στο προσπίπτον κύμα η μετατόπιση των
μορίων από τη θέση ισορροπίας είναι ψ1(x,t) = x0sin(ωt+kx+α), όπου x0 είναι το πλάτος ταλάντωση, ω
είναι η κυκλική συχνότητα, k = 2π/λ είναι ο κυματικός αριθμός και α είναι η αρχική φάση ταλάντωσης
των μορίων στο σημείο x = 0, τότε η εξίσωση του ανακλώμενου κύματος είναι: ψ2(x,t) = Gψ ψ1(x,t) = −
x0sin(ωt −kx+α), όπου Gψ είναι ο συντελεστής ανάκλασης του ήχου για τη μετατόπιση. Η συμβολή των
δύο κυμάτων δίνει:
Σ ( x, t ) = ψ 1 + ψ
2
= x 0 sin(ω t + kx + α ) − x 0 sin(ω t − kx + α ) = 2 x 0 sin kx cos(ω t + α ) .
(36.1)
Ανακλαστήρας
Gx = −1
Προσπίπτον: ψ1(x,t) = x0sin(ωt+kx+α)
Ανακλώμενο: ψ2(x,t) = − x0sin(ωt−kx+α)
x
x=0
2
1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
κ=1
-2
Σχήμα 36.2 Κατανομή πλατών στο στάσιμο κύμα μετατόπισης
Η σχέση (36.1) είναι κλασσική συνάρτηση στάσιμου κύματος που μπορεί να γραφτεί σε μορφή
γινομένου δύο συναρτήσεων. Η μία, συνάρτηση μόνο του x, η άλλη, συνάρτηση μόνο του t:
2
Σ ( x, t ) = ψ 1 + ψ
2
= Ψ ( x) f (t ) ,
(36.2)
όπου f(t) είναι αρμονική συνάρτηση χρόνου και Ψ(x) είναι η λεγόμενη συνάρτηση κατανομής των
πλατών. Όπως βλέπουμε (Σχ. 36.2), σε μερικά σημεία του χώρου το πλάτος ταλάντωσης των μορίων έχει
διπλάσια τιμή (κοιλίες μετατόπισης). Όμως υπάρχουν σημεία όπου το πλάτος είναι μηδέν (δεσμοί
μετατόπισης). Οι κοιλίες και οι δεσμοί ορίζονται από τα μηδενικά και τα ακρότατα της συνάρτησης
κατανομής:
Ψ ( x) = 2 x0 sin kx .
(36.3)
Έτσι, οι κοιλίες βρίσκονται στα σημεία, για τα οποία ισχύει
kxκ =
π
+ nπ ,
2
όπου n = 0, 1, 2, 3, 4, …..,
(36.4)
ενώ οι δεσμοί βρίσκονται στα σημεία, για τα οποία ισχύει
kxδ = nπ ,
όπου n = 0, 1, 2, 3, 4, …..
(36.5)
36.2.2 Οι φάσεις ταλαντώσεων των μορίων
Στο στάσιμο κύμα τα μόρια του αέρα ταλαντώνονται με δύο διακριτές φάσεις. Τη μία από αυτές
μπορούμε να τη θεωρήσουμε μηδενική. Έστω ότι στη μηδενική φάση ταλαντώνονται τα μόρια που
βρίσκονται στο διάστημα [0< x < π] (στο Σχ. 36.2, k = 1), δηλαδή στο διάστημα μεταξύ δύο δεσμών όπου
Ψ(x) = 0. Στο διάστημα αυτό τα μόρια ταλαντώνονται με διαφορετικό πλάτος, αλλά στην ίδια φάση.
Σε μία φάση ταλαντώνονται και τα μόρια του διπλανού διαστήματος, [π < x < 2π], όπου Ψ(x) < 0,
αλλά η φάση αυτή διαφέρει από αυτή του προηγούμενου διαστήματος κατά 180 0. Συνεπώς, τα σημεία
όπου Ψ(x) = 0, είναι σημεία απότομης μεταβολής της φάσης κατά 180 0. Συνοψίζοντας μπορούμε να
πούμε ότι η συνάρτηση κατανομής Ψ(x) κρύβει μέσα της δύο πληροφορίες:
α) Η απόλυτη τιμή της Ψ(x) μας δίνει το πλάτος ταλάντωσης των μορίων στο σημείο x.
β) Το πρόσημο της Ψ(x) μας πληροφορεί για τη φάση ταλάντωσης των μορίων στο συγκεκριμένο διάστημα.
Βλέπουμε ότι (Σχ. 36.2), δεξιά και αριστερά από τους δεσμούς τα μόρια κινούνται προς την αντίθετη
κατεύθυνση. Αν σε κάποιο δεσμό τα μόρια συνωστίζονται, στον διπλανό δεσμό αυτά απομακρύνονται.
Συνεπώς, στους δεσμούς αναμένεται να υπάρχει κοιλία πίεσης. Στο Σχ. 36.2, στο σημείο x = 3,8
δημιουργείται πύκνωμα και η πίεση κάποια στιγμή θα αποκτήσει τη μέγιστη θετική τιμή. Αντίθετα, στο
σημείο x = 6,4 δημιουργείται αραίωμα και η πίεση εδώ κάποια στιγμή θα αποκτήσει την ελάχιστη τιμή.
Ταλάντωση των μορίων με αντίθετη φάση γύρω από τους δεσμούς σημαίνει κίνηση των μορίων προς
την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτό γίνεται πιο σαφές όταν εξετάσει κανείς το χαρακτήρα της κίνησης των
μορίων στα δύο διπλανά διαστήματα που τα χωρίζει ένας δεσμός μετατόπισης. Στα διαστήματα που
βρίσκονται δεξιά και αριστερά από τους δεσμούς μετατόπισης (βελάκια στο Σχ. 36.2), τα μόρια του αέρα
κινούνται ή ομόρροπα (τα μεν πλησιάζουν τα δε) ή αντίρροπα (τα μεν απομακρύνονται από τα δε). Στους
δεσμούς μετατόπισης, όπου η κίνηση των μορίων στα δύο διπλανά διαστήματα είναι αντίρροπη,
αναμένουμε να υπάρχει αραίωση του αέρα. (αρνητική τιμή της πίεσης). Ενώ εκεί όπου η κίνηση των
μορίων στα διπλανά διαστήματα είναι ομόρροπη, αναμένουμε αύξηση της πίεσης κ.ο.κ. Επομένως, οι
κοιλίες της ακουστικής πίεσης βρίσκονται στους δεσμούς μετατόπισης.. Δεν πρέπει να μας διαφεύγει το
γεγονός ότι τα βελάκια στο σχήμα διατηρούν τη φορά αυτή μόνο κατά τη μισή περίοδο της ταλάντωσης.
Στο επόμενο ήμισυ της περιόδου τα βελάκια στο Σχ. 36.2 θα αλλάξουν τη φορά τους και επομένως, εκεί
όπου τα μόρια συνωστίζονταν, τώρα θα αραιώνουν και εκεί όπου αυτά προηγουμένως αραίωναν, τώρα
θα συνωστίζονται κ.ο.κ
3
36.2.3
Κοιλίες και κόμβοι της ακουστικής πίεσης
Όταν οι ακουστικές αντιστάσεις του αέρα Ζ1 και του στερεού Ζ2 διαφέρουν πολύ, δηλαδή όταν Ζ1<< Ζ2
(Παράρτημα 3), ο συντελεστής ανάκλαση της πίεσης είναι 1. Και εδώ, το στάσιμο κύμα της πίεσης
δημιουργείται από τη συμβολή δύο κυμάτων. Έστω ότι η κυματική εξίσωση της πίεσης είναι όμοια με
αυτή που εξετάσαμε στην περίπτωση των στάσιμων κυμάτων μετατόπισης: ξ1(x,t) = p0sin(ωt+kx+α) και
ξ2(x,t) = p0sin(ωt−kx+α). Η συμβολή των δύο κυμάτων δίνει
Σ ( x, t ) = ξ 1 + ξ 2 = p 0 sin(ω t + kx + α ) + p 0 sin(ω t − kx + α ) = 2 p 0 cos kx sin(ω t + α )
(36.6)
Η σχέση (36.6) είναι συνάρτηση στάσιμου κύματος και μπορεί να γραφτεί σε μορφή:
Σ ( x, t ) = ξ 1 + ξ 2 = Ξ ( x) f (t ) ,
(36.7)
όπου f(t) είναι μία αρμονική συνάρτηση χρόνου και Ξ(x) είναι η συνάρτηση κατανομής των πλατών
πίεσης. Όπως βλέπουμε, πάνω στον ανακλαστήρα και σε μερικά άλλα σημεία η ακουστική πίεση έχει
διπλάσια τιμή (κοιλίες πίεσης). Όμως υπάρχουν σημεία όπου η ακουστική πίεση είναι μηδέν (δεσμοί
πίεσης). Και εδώ, οι δεσμοί και οι κοιλίες ορίζονται από τα μηδενικά και τα ακρότατα της συνάρτησης
κατανομής
Ξ ( x) = 2 p 0 cos kx ,
(36.8)
η οποία αποτελεί αντικείμενο μελέτης της Άσκησης. Επομένως, οι κοιλίες της πίεσης βρίσκονται στα
σημεία, για τα οποία ισχύει
kxκ = nπ ,
όπου n = 0, 1, 2, 3, 4, …..
(36.9)
ενώ οι δεσμοί της πίεσης βρίσκονται στα σημεία, για τα οποία ισχύει
kxδ =
π
+ nπ ,
2
όπου n = 1, 2, 3, 4, …..,
(36.10)
Συνεπώς, διαπιστώνουμε και πάλι ότι, εκεί όπου στο στάσιμο κύμα υπάρχουν δεσμοί μετατόπισης, στην
πίεση έχουμε κοιλίες και αντίστροφα. Προφανώς, οι δεσμοί της πίεσης βρίσκονται στις κοιλίες
μετατόπισης.
36.2.4 Στάσιμα κύματα σε ηχητικούς σωλήνες
Τα επίπεδα ακουστικά κύματα δημιουργούνται από παλλόμενες μεμβράνες, οι διαστάσεις των οποίων
είναι πολύ μεγαλύτερες από το μήκος κύματος του ήχου. Π.χ., στη συχνότητα 1000 Hz, το μήκος
κύματος των ηχητικών κυμάτων είναι λ = cT = c/f = 332 (m/s) /1000 (1/s) = 0,332 m. Επομένως, για το
μήκος αυτό, η μεμβράνη πρέπει να έχει διάμετρο ~ 3 m! Αλλά ακόμα και με τρίμετρη διάμετρο, το
ακουστικό κύμα μπορεί να θεωρηθεί επίπεδο μόνο σε απόσταση ~ 1 m από τη μεμβράνη. Σε μεγαλύτερες
αποστάσεις το κύμα αρχίζει να καμπυλώνεται και σε μεγάλες αποστάσεις γίνεται σφαιρικό. Ένας άλλος
και πολύ πιο αποτελεσματικός τρόπος παραγωγής επίπεδων ακουστικών κυμάτων είναι η διέγερση και
διάδοση των ακουστικών κυμάτων μέσα σε σωλήνες. Στους σωλήνες, τα τοιχώματα λειτουργούν ως
κυματοδηγοί και δεν επιτρέπουν τη διάδοση του ήχου προς όλες τις κατευθύνσεις. Ο ήχος διαδίδεται
μόνο σε μία κατεύθυνση και δε διαχέεται, όπως αυτό συμβαίνει στους ανοιχτούς χώρους. Η λεία
εσωτερική επιφάνεια του σωλήνα και η διάδοση του ήχου μόνο σε μία κατεύθυνση είναι οι παράγοντες
που δημιουργούν μικρή εξασθένηση του ήχου κατά τη διάδοσή του. Οδηγούν τον ήχο σε μεγάλες
αποστάσεις ανεξάρτητα από το αν ο άξονας του σωλήνα καμπυλώνεται. Αυτό το βλέπει κανείς στα
πνευστά όργανα, όπου ο ήχος ακολουθεί μια αρκετά περίπλοκη διαδρομή. Το βλέπει και στις παλαιές
4
κινηματογραφικές ταινίες, όπου ο κυβερνήτης του πλοίου, μέσω ηχητικών σωλήνων συνομιλεί με το
πλήρωμα, που βρίσκεται σε διάφορα σημεία του πλοίου δεκάδες μέτρα μακριά. Για τη διάδοση επίπεδων
ακουστικών κυμάτων στους σωλήνες αρκεί η διάμετρος του σωλήνα να είναι πολύ μικρότερη από το
μήκος του ηχητικού κύματος. Π.χ., στη συχνότητα 1000 Hz, λ = 33 cm. Έτσι, η διάμετρος του σωλήνα
μπορεί να είναι 3 – 5 cm. Στην πράξη, ο όρος αυτός υλοποιείται πολύ πιο εύκολα από το να
κατασκευάζει και να διεγείρει κανείς μεμβράνες με διάμετρο 3 – 5 m! Εξ άλλου, για τη διέγερση των
ακουστικών κυμάτων στους σωλήνες μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα μικρό μεγάφωνο, η διάμετρος του
οποίου είναι όσο και η διάμετρος του σωλήνα.
Αν στο ένα άκρο του σωλήνα τοποθετήσουμε μία παλλόμενη μεμβράνη και το μήκος του σωλήνα
είναι άπειρο, τότε στο σωλήνα θα διαδίδεται μόνο το οδεύον κύμα. Αν όμως το μήκος του σωλήνα είναι
πεπερασμένο και το άλλο άκρο είναι π.χ. κλειστό, τότε στο σωλήνα θα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα.
Όπως κάθε στερεό σώμα, η στήλη του αέρα στο σωλήνα μπορεί να ταλαντώνεται με ένα σύνολο
κανονικών τρόπων ταλάντωσης, που εξαρτώνται από τις οριακές συνθήκες που επικρατούν στα άκρα του
σωλήνα. Θα εξετάσουμε τρεις βασικές περιπτώσεις:
(γ)
(β)
(α)
Σχήμα 36.3 Τρεις βασικοί τύποι ηχητικών σωλήνων
(α) τα δύο άκρα του σωλήνα είναι ανοιχτά
(β) τα δύο άκρα του σωλήνα είναι κλειστά
(γ) το ένα άκρο είναι ανοιχτό και το άλλο κλειστό
Η διέγερση των ακουστικών κυμάτων στους σωλήνες (περίπτωση (α) και (γ)) μπορεί να γίνει με ένα
μεγάφωνο, τοποθετημένο απέναντι από το ανοιχτό άκρο του σωλήνα (Σχ. 36.4). Τον τρόπο διέγερσης
των ακουστικών κυμάτων στην περίπτωση (γ) θα τον εξετάσουμε ειδικότερα παρακάτω.
36.2.5 Κανονική τρόποι ταλάντωσης στον ανοιχτό (στα δύο άκρα) σωλήνας
Στην περίπτωση (α) (Σχ.36.3α), η θεμελιώδης συχνότητα f1 αντιστοιχεί σε μία μορφή στάσιμου κύματος
με δύο κοιλίες μετατόπισης στα ανοιχτά άκρα και ένα δεσμό στο κέντρο του σωλήνα. Επειδή η απόσταση
μεταξύ δύο κοιλιών είναι πάντα λ/2, στην περίπτωσή μας, η απόσταση αυτή είναι ίση με το μήκος του
σωλήνα La (Σχ. 36.4), όπου La είναι το ακουστικό μήκος του σωλήνα που είναι κατά 2x0,63R μεγαλύτερο
από το γεωμετρικό μήκος L (Παράρτημα 4). Συνεπώς, στη θεμελιώδη συχνότητα το μήκος κύματος του
ήχου είναι 2La.
Στο δεύτερο τρόπο ταλάντωσης το στάσιμο κύμα έχει τρεις κοιλίες μετατόπισης και δύο δεσμούς.
Επομένως, στο δεύτερο τρόπο το μήκος κύματος είναι La, στον τρίτο 2La/3, κ.ο.κ. Έτσι, στο νιοστό
τρόπο ταλάντωσης το μήκος κύματος είναι
λn =
36.2.6
2 La
,
n
όπου n = 1, 2, 3, 4 …
(36.11)
Κανονική τρόποι ταλάντωσης στον κλειστό (στα δύο άκρα) σωλήνα
Στην περίπτωση (β) (Σχ. 36.3β), η θεμελιώδης συχνότητα f1 αντιστοιχεί σε μία μορφή στάσιμου κύματος
με δύο δεσμούς μετατόπισης στα κλειστά άκρα και μία κοιλία στο κέντρο του σωλήνα. Επειδή η
απόσταση μεταξύ δύο δεσμών είναι πάντα λ/2, στην περίπτωσή μας, η απόσταση αυτή είναι ίση με το
5
μήκος του σωλήνα L (εδώ, το ακουστικό μήκος συμπίπτει με το γεωμετρικό). Επομένως, στη θεμελιώδη
συχνότητα το μήκος κύματος του ήχου είναι 2L. Στο δεύτερο τρόπο ταλάντωσης το στάσιμο κύμα έχει
δύο κοιλίες και τρεις δεσμούς. Συνεπώς, το μήκος κύματος είναι L, στον τρίτο: 2L/3, κ.ο.κ. Έτσι, στο
νιοστό τρόπο ταλάντωσης το μήκος κύματος είναι
λn =
2L
,
n
όπου n = 1, 2, 3, 4 …
(36.12)
΄Όπως βλέπουμε, τα μήκη κυμάτων των κανονικών τρόπων ταλάντωση στις περιπτώσεις (α) και (β)
σχεδόν συμπίπτουν. Η μικρή διαφορά οφείλεται στην διαφορά μεταξύ L και La, δηλαδή στον όρο
2x0,63R.
Μεγάφωνο
Ηχητικός σωλήνας
(α) Κατανομή των πλατών.
Τα δύο άκρα είναι ανοιχτά
1.0
1.0
1
0.5
0.0
0
5
10
15
20
25
-0.5
30
(γ) Κατανομή των πλατών.
Το ένα άκρο είναι ανοιχτό, το άλλο κλειστό
άλλο κλειστό βραχυκυκλωμένη γραμμή
1.0
1
0.5
0.5
0.0
0.0
-0.5
-0.5
-1.0
-1.0
3
2
-1.0
0
5
3
10
15
20
25
30
2
1 – 1ος κανονικός τρόπος ταλάντωσης
2 – 2ος κανονικός τρόπος ταλάντωσης
3 – 3ος κανονικός τρόπος ταλάντωσης
Σχήμα 36.4 Στάσιμα κύματα μετατόπισης στον πρώτο, δεύτερο και τρίτο κανονικό τρόπο ταλάντωσης
36.2.7
Κανονική τρόποι ταλάντωσης στο σωλήνα, το ένα άκρο του οποίου είναι κλειστό και το άλλο
ανοιχτό
Στην περίπτωση (γ), η θεμελιώδης συχνότητα f1 αντιστοιχεί σε μία μορφή στάσιμου κύματος με ένα
δεσμό μετατόπισης στο κλειστό άκρο και μία κοιλία στο ανοιχτό (Σχ. 36.4). Επειδή η απόσταση μεταξύ
των δεσμών και κοιλιών είναι πάντα λ/4, στην περίπτωσή μας η απόσταση αυτή είναι ίση με το μήκος του
σωλήνα La, όπου La = L + 0.63R. Συνεπώς, το μήκος κύματος του πρώτου κανονικού τρόπου ταλάντωσης
6
είναι λ1 = 4La, του δεύτερου: λ2 = 4La/3, του τρίτου: λ3 = 4La/5 κ.ο.κ. Επομένως, ο νιοστός τρόπος
ταλάντωσης έχει μήκος κύματός
λn =
4 La
n
όπου n = 1, 3, 5, 7, …..(36.13)
36.2.8 Φαινόμενα συντονισμού στον ηχητικό σωλήνα.
Στον ηχητικό σωλήνα παρατηρούνται φαινόμενα συντονισμού. Με τη λέξη συντονισμός αποδίδουμε την
έντονη αντίδραση του ταλαντωτή σε κάποια ορισμένη συχνότητα διέγερσης. Στην προκειμένη περίπτωση
ο ταλαντωτής είναι η στήλη του αέρα μέσα στον ηχητικό σωλήνα και η διέγερση γίνεται με τη μεμβράνη
που βρίσκεται στο αριστερό άκρο του σωλήνα. Στο συντονισμό, οι βασικοί παράμετροι του ήχου
(μετατόπιση, πίεση) μεγιστοποιούνται και αυξάνονται Q φορές, όπου Q είναι η ποιότητα του ταλαντωτή.
Ο ισχυρισμός ότι στον κλειστό στα δύο άκρα σωλήνα αυτός θα συντονιστεί στις συχνότητες με μήκος
κύματος λn = 2L/n, ισχύει μόνο για σωλήνες με μηδενικές απώλειες ή με άπειρο συντελεστή ποιότητας Q.
Στους ηχητικούς σωλήνες με απώλειες οι πειραματικές συχνότητες συντονισμού διαφέρουν ελαφρώς από
τις τιμές λn = 2L/n. Επομένως, όσο μεγαλύτερες είναι οι ακουστικές απώλειες στον σωλήνα, τόσο
μεγαλύτερη θα είναι η προαναφερθείσα διαφορά.
36.3
Η πειραματική διάταξη
Η πειραματική διάταξη περιλαμβάνει έναν ηχητικό σωλήνα, έναν παλμογράφο, μία γεννήτρια για την
τροφοδοσία του μεγαφώνου και ένα μικρόφωνο με τον ενισχυτή του, για την ανίχνευση και μέτρηση του
ήχου (Σχ. 36.5). Ο ενισχυτής αυτός τίθεται σε λειτουργία μέσω ενός διακόπτη που βρίσκεται πάνω στο
κάλυμμά του. Τονίζουμε ότι το σήμα που παράγει το μικρόφωνο είναι ανάλογο προς την ακουστική πίεση
και όχι προς τη μετατόπιση. Επομένως, στην πειραματική διάταξη μετράται και μελετάται η συνάρτηση
κατανομής της ακουστικής πίεσης [36.8] και όχι της μετατόπισης.
ON - OFF
Μεγάφωνο
Ενισχυτής
μικροφώνου
Προς το κανάλι Β
του παλμογράφου,
για μέτρηση
Μικρόφωνο
Σωλήνας
Speaker input
Προς το κανάλι Α
του παλμογράφου,
για συγχρονισμό
Γεννήτρια
5 Vp-p
Σχήμα 36.5 Σχηματική παράσταση της πειραματικής διάταξης
7
Ανακλαστήρας
S
Μαγνήτης
Ηχητικός σωλήνας
N
Μεμβράνη
S
Πηνίο
Σχήμα 36.6 Η σύνδεση του μεγαφώνου με τον ηχητικό σωλήνα
Ο ηχητικός σωλήνας έχει μήκος 90 cm, εσωτερική διάμετρο 3,2 cm και είναι κατασκευασμένος από
πλεξιγκλάς. Στο αριστερό άκρο του σωλήνα βρίσκεται η πηγή του ήχου, το μεγάφωνο, ενώ στο δεξί άκρο
βρίσκεται ο ανακλαστήρας, που μπορεί να αφαιρεθεί. Ο συντελεστής ανάκλασης της μεμβράνης είναι
σχεδόν όσο και του ανακλαστήρα. Όταν το μεγάφωνο δεν τροφοδοτείται, η μεμβράνη του
συμπεριφέρεται όπως ένας ανακλαστήρας. Όταν τροφοδοτείται από τη γεννήτρια, η μεμβράνη εκτελεί
καθορισμένη κίνηση τύπου ψ1(t) = x0sin(ωt). Όμως, λόγω του ότι το πλάτος ταλάντωσης της μεμβράνης
είναι πολύ μικρό, ενώ το μήκος των ηχητικών κυμάτων είναι της τάξης του 1 m, για τα ανακλώμενα
κύματα που προσπίπτουν στην επιφάνειά της μεμβράνης η μεμβράνη συμπεριφέρεται όπως ένας
ακίνητος ανακλαστήρας, Συνεπώς, το αριστερό άκρο του σωλήνα είναι μονίμως κλειστό με την
μεμβράνη του μεγαφώνου. Επομένως, όταν το δεξί άκρο του σωλήνα είναι κλειστό με τον ανακλαστήρα,
ο σωλήνας της πειραματικής διάταξης έχει ιδιότητες ενός σωλήνα, τα δύο άκρα του οποίου είναι κλειστά.
Όταν ο ανακλαστήρας αφαιρείται, το ένα άκρο του σωλήνα είναι κλειστό (το κλείνει η μεμβράνη του
μεγαφώνου) ενώ το άλλο είναι ανοιχτό. Θεωρούμε επίσης ότι η μεμβράνη είναι ακλόνητη, δηλαδή η
κίνησή της δεν επηρεάζεται από τα ακουστικά φαινόμενα που διαδραματίζονται μέσα στο σωλήνα. Σε
μεγαλύτερη λεπτομέρεια, η σύνδεση του μεγαφώνου με τον ηχητικό σωλήνα δίνεται στο Σχ. 36.6.
Βιβλιογραφία
1. H.J. Pain, Φυσική των ταλαντώσεων και των κυμάτων, 3 έκδοση (Αθήνα 1990).
2. Μαθήματα Φυσικής Πανεπ. Berkeley. Τόμος Γ: Κυματική (Αθήνα 1979).
36.4 Εκτέλεση των περαμάτων
Στην άσκηση αυτή γίνονται πειράματα δύο ειδών:
α) πειράματα με σήματα αρμονικά.
β) πειράματα με κρουστικούς ηχητικούς παλμούς.
Σημειώνουμε ότι τα δύο είδη πειραμάτων διεξάγονται σε ενιαία πειραματική διάταξη που δίνεται στο Σχ.
36.5. Έτσι, για την εκτέλεση των πειραμάτων:
1. Συναρμολογήστε το κύκλωμα που δίνεται στο Σχ.36.5. Στο κανάλι Α βλέπετε το σήμα της
γεννήτριας, που θεωρείται σήμα αναφοράς, ενώ στο κανάλι Β γίνονται οι μετρήσεις.
2. Θέσατε σε λειτουργία τον παλμογράφο και τη γεννήτρια. Η ευαισθησία του παλμογράφου στο
κανάλι μετρήσεων, δηλαδή στο κανάλι Β, πρέπει να είναι 50 mV/cm. H τάση της γεννήτριας πρέπει
να είναι 5 Vp-p, ενώ η αρχική τιμή της συχνότητας περίπου 50 Hz.
8
3.
Θέσατε σε λειτουργία τον ενισχυτή του μικροφώνου. Ο διακόπτης λειτουργίας βρίσκεται πάνω στο
κάλυμμα του ενισχυτή. Ο διακόπτης, από τη θέση OFF, μετακινείται στη θέση ON.
36.4.1 Πειράματα με σήματα αρμονικά
1.
2.
3.
Στα πειράματα αυτά η γεννήτρια παράγει ημιτονικό σήμα και μετρώνται οι πρώτες 4 συχνότητες
συντονισμού, όταν το ελεύθερο άκρο του σωλήνα είναι κλειστό και 4 συχνότητες όταν το άκρο
αυτό είναι ανοιχτό. Το μικρόφωνο πρέπει να βρίσκεται κοντά στη μεμβράνη του μεγαφώνου, όπου
αναμένεται να υπάρχει κοιλία της ακουστικής πίεσης. Αρχίζοντας από τη συχνότητα 50 Hz,
αυξάνεται τη συχνότητα αργά και σημειώστε τις πρώτες 4 τιμές, στις οποίες η ακουστική πίεση
μεγιστοποιείται. Επαναλάβατε τη μέτρηση αυτή 5 φορές.
Στο δεύτερο πείραμα μετράται η κατανομή της ακουστικής πίεσης στην πρώτη και δεύτερη
συχνότητα συντονισμού, όταν το ελεύθερο άκρο του σωλήνα είναι κλειστό. Στις μετρήσεις, το βήμα
είναι 5 cm. Οι μετρήσεις αυτές επαναλαμβάνονται στον ανοιχτό σωλήνα. (απλώς αφαιρείτε τον
ανακλαστήρα). Όταν καταγράφετε την κατανομή της πίεσης κατά μήκος του σωλήνα στην δεύτερη
συχνότητα συντονισμού, προσέξτε πώς αλλάζει η φάση ταλάντωσης στα τμήματα που βρίσκονται
δεξιά και αριστερά από το δεσμό. Η φάση του σήματος συγκρίνεται με το σήμα αναφοράς που
βλέπετε στο κανάλι Α.
Μετρήστε τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος.
36.4.2 Πειράματα με κρουστικούς ηχητικούς παλμούς
Στα πειράματα αυτά η γεννήτρια πρέπει να παράγει ορθογώνιους ηλεκτρικούς παλμούς με συχνότητα
επανάληψης 10 Hz και πλάτος 5 V. Ο κρουστικός ηχητικός παλμός παράγεται από τη μεμβράνη του
μεγαφώνου, στο μέτωπο του παλμού τάσης.
Στην άνοδο του παλμού, δηλαδή όταν η τάση της γεννήτριας από 0 απότομα γίνεται 5 V, το μαγνητικό
πεδίο του πηνίου (Σχ. 36.6) έλκει τη μεμβράνη και αυτή μετατοπίζεται (ελάχιστα) προς τα δεξιά. Από τη
στιγμή αυτή στο σωλήνα αρχίζει να διαδίδεται ένας παλμός πύκνωσης. Στον παλμό πύκνωσης το
μικρόφωνο ανταποκρίνεται με ένα στενό θετικό παλμό τάσης.
Αντίθετα, όταν η τάση της γεννήτριας από 5 V απότομα μηδενίζεται, η μεμβράνη απότομα μετακινείται
(ελάχιστα) προς τα’ αριστερά και επιστρέφει στην αρχική της θέση. Από τη στιγμή αυτή στο σωλήνα
αρχίζει να διαδίδεται ο κρουστικός παλμός αραίωσης. Στον παλμό αραίωσης το μικρόφωνο
ανταποκρίνεται με ένα στενό αρνητικό παλμό τάσης, που μπορεί να τον δει κανείς στην οθόνη του
παλμογράφου.
5V
Κανάλι Β
Παλμός τροφοδοσίας του μεγαφώνου
10Hz
t
Κανάλι Α
t
Εναρκτήριος
παλμός
Παλμοί
αραίωσης
Εναρκτήριος
παλμός
Παλμοί
πύκνωσης
Σχήμα 36.7 Οι παλμοί του μικροφώνου από διαδοχικές ανακλάσεις του ήχου στον κλειστό σωλήνα,
όπως αυτοί φαίνονται στην οθόνη του παλμογράφου.
9
Έστω ότι το μικρόφωνο βρίσκεται κοντά στη μεμβράνη (κάτω από αυτή) και το ελεύθερο άκρο του
σωλήνα είναι κλειστό. Είναι βολικό, στην οθόνη του παλμογράφου, το σήμα αναφοράς (της γεννήτριας)
να είναι στο πάνω μέρος της οθόνης, ενώ το σήμα του μικροφώνου, στο κάτω. Τότε κάτω από το μέτωπο
του παλμού αναφοράς που φαίνεται στο κανάλι Α, στο κανάλι Β θα εμφανιστεί ο πρώτος παλμός του
μικροφώνου. Τον παλμό αυτό θα τον ονομάσουμε εναρκτήριο παλμό διότι δημιουργείται σχεδόν
ακαριαία λόγω μικρής απόστασης (1 cm) του μικροφώνου από το μεγάφωνο. Ο δεύτερος παλμός του
μικροφώνου παράγεται από το κρουστικό ακουστικό κύμα που ταξίδεψε στο σωλήνα από τη μεμβράνη
ως τον ανακλαστήρα, είχε ανακλαστεί και επέστρεψε στην περιοχή της μεμβράνης (μικροφώνου),
δημιουργώντας έτσι την πρώτη ηχώ. Η πρώτη ηχώ θα ανακλαστεί από τη μεμβράνη και θα αρχίσει εκ
νέου να ταξιδεύει προς τον ανακλαστήρα, θα ανακλαστεί και έτσι θα δημιουργηθεί η δεύτερη ηχώ κ.ο.κ.
Έτσι, οι διαδοχικές ανακλάσεις του κρουστικού ακουστικού παλμού από τον ανακλαστήρα και τη
μεμβράνη θα δημιουργήσουν στην έξοδο του μικροφώνου μία σειρά ηλεκτρικών παλμών, το ύψος των
οποίων, λόγω απωλειών, μειώνεται εκθετικά. Με σιγουριά διακρίνεται ο παλμός ακόμη και της δεκάτης
ηχώ (Σχ. 36.7).
36.4.3
Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου με τη μέθοδο radar
Η εικόνα των παλμών που βλέπει κανείς στο κανάλι του μικροφώνου (Σχ.36.7) μπορεί να αξιοποιηθεί για
τη μέτρηση της ταχύτητας του ήχου με τη μέθοδο radar. Στη μέθοδο radar μετράνε το χρονικό διάστημα
κατά το οποίο ο κρουστικός παλμός διανύει την απόσταση ‘‘μπρος – πίσω’’, καθώς αυτός ταξιδεύει στο
σωλήνα. Πάντως, για να μετρηθεί ο χρόνος αυτός από την οθόνη του παλμογράφου με ικανοποιητική
ακρίβεια είναι προτιμότερο να μετρηθεί ο χρόνος π.χ. 10 διαδρομών και όχι της μίας. Υπενθυμίζουμε ότι
στον ηχητικό σωλήνα της πειραματικής διάταξης το μήκος της διαδρομής ‘‘μπρος – πίσω’’ που διανύει ο
ήχος είναι (1,800 ± 0,002) m.
1. Μετρήστε το χρόνο των 8 - 10 διαδοχικών διαδρομών ‘‘μπρος – πίσω’’ του κρουστικού παλμού στο
κλειστό σωλήνα. Σημειώστε τιμή και σφάλμα
Η εικόνα των παλμών που παρατηρεί κανείς στην οθόνη του παλμογράφου (κανάλι μικροφώνου)
αλλάζει, όταν ο ανακλαστήρας αφαιρείται και το δεξί άκρο του σωλήνα είναι ανοιχτό (Σχ. 36.8). Εδώ δεν
θα δώσουμε την ερμηνεία αυτής της αλλαγής. Η ερμηνεία του φαινομένου ανατίθεται στον σπουδαστή.
Κανάλι
Α
Παλμός τροφοδοσίας μεγαφώνου
5V
10 Hz
t
Κανάλι
Β
t
Σχήμα 36.8 Οι παλμοί του μικροφώνου από διαδοχικές ανακλάσεις του ήχου στον ανοιχτό σωλήνα,
όπως αυτοί φαίνονται στην οθόνη του παλμογράφου.
10
2. Κλείστε τα όργανα όπως επίσης και τον ενισχυτή του μικροφώνου, για να μην αδειάσει η μπαταρία
του.
36.5 Επεξεργασία των μετρήσεων
1.
Σε έναν πίνακα, σημειώστε τις μέσες συχνότητες συντονισμού που μετρήσατε στα δύο πειράματα.
Διπλά, για σύγκριση, σημειώστε και τις θεωρητικές τιμές που προκύπτουν από την ανάλυση των
κανονικών τρόπων ταλάντωσης και c = 331,8 m/s, διορθωμένη στη θερμοκρασία του πειράματος.
Αν οι τιμές διαφέρουν, ερμηνεύσατε την διαφορά.
2. Σχεδιάστε στο πρώτο χαρτί μιλιμετρέ την κατανομή της πίεσης στους δύο τρόπους ταλάντωσης,
όταν το ελεύθερο άκρο του σωλήνα είναι κλειστό.
3. Σχεδιάστε στο δεύτερο χαρτί μιλιμετρέ την κατανομή της πίεσης στους δύο τρόπου ταλάντωσης,
όταν το ελεύθερο άκρο του σωλήνα είναι ανοιχτό.
4. Από τις τέσσερις γραφικές παραστάσεις της πίεσης, υπολογίστε την ταχύτητα του ήχου, ανάγοντας
την τιμή αυτή στη θερμοκρασία 0 0C. Ο υπολογισμός πρέπει να γίνει από εκείνη την γραφική
παράσταση που σας δίνει την c με μεγαλύτερη ακρίβεια. Αιτιολογήστε την επιλογή της καμπύλης.
5. Υπολογίστε την ταχύτητα του ήχου (τιμή και σφάλμα) με τη μέθοδο radar.
6. Σχεδιάστε και ερμηνεύσατε την εικόνα των κρουστικών παλμών που βλέπατε στην οθόνη του
παλμογράφου (κανάλι μικροφώνου), όταν το ελεύθερο άκρο του σωλήνα είναι ανοιχτό (Σχ. 36.8).
Σημείωση. Ο πειραματιστής πρέπει να λάβει υπόψη το γεγονός ότι η ταχύτητα του ήχου στα αέρια
εξαρτάται από τη θερμοκρασία, κυρίως λόγω εξάρτησης της πυκνότητας του αερίου από τη
θερμοκρασία. Αυτό το βλέπει κανείς καλύτερα, αν στη σχέση που ορίζει την ταχύτητα του ήχου
c=
γ
p
,
ρ
(36.14)
η πυκνότητα ρ αντικατασταθεί με
ρ =
p
και επομένως, c =
RT
γ RT ,
(36.15)
όπου Τ και R είναι η απόλυτη θερμοκρασία και η σταθερά των αερίων αντίστοιχα. Η τελευταία σχέση
μπορεί να γραφτεί ως:
c = c0 1 +
θ
273
(36.16)
ή, με καλή προσέγγιση:
c = (c 0 + 0,61θ ) ,
(36.17)
όπου c0 είναι η ταχύτητα του ήχου στους 0 0C και θ είναι η θερμοκρασία του αερίου σε μονάδες Κελσίου.
11
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ
36.6 Παράρτημα 1
36.6.1 Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα
Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα, θεωρούμε μία μεμβράνη η οποία τη
χρονική στιγμή t = 0, απότομα, για μικρό χρονικό διάστημα τίθεται σε κίνηση προς τα δεξιά με ταχύτητα
V (Σχ. 36.10). Στη δεξιά πλευρά της επιφάνειας θα δημιουργηθεί ένα πύκνωμα, που θα διαδίδεται προς τα
δεξιά με την ταχύτητα του ήχου c. Χάριν ευκολίας, εδώ θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση των αργών
κινήσεων της μεμβράνης, δηλαδή: V << c. Έστω ότι στο πύκνωμα η πυκνότητα του αέρα
Μεμβράνη
S
V
cΔt
ct
Σχήμα 36.10 Οι θέσεις του κρουστικού μετώπου τις χρονικές στιγμές t και t + Δt
αυξάνεται κατά Δρ και η πίεση κατά Δp. Τη χρονική στιγμή t, το μέτωπο του ακουστικού παλμού θα
βρίσκεται στο σημείο ct. Στο σημείο αυτό θεωρούμε μία επιφάνεια, που είναι κάθετη προς τη κίνηση του
παλμού και η διατομής είναι S. Το πύκνωμα του ακουστικού παλμού θα διαπεράσει την επιφάνεια και σε
χρόνο Δt, η μάζα του αέρα που βρίσκεται δεξιότερα της S, θα αυξηθεί κατά Δm = ΔρScΔt. Ταυτόχρονα,
στην αριστερή πλευρά της S ασκείται δύναμη: F = SΔp. Αυτή η δύναμη προκαλεί μεταβολή της ορμής
του πυκνώματος κατά Δmc = ΔρSc2Δt. Από την άλλη πλευρά, η μεταβολή αυτής της ορμής είναι FΔt.
Συνεπώς,
∆ ρ Sc 2 ∆ t = ∆ pS∆ t
ή
c2 =
∆ p
.
∆ρ
(36.20α,β)
Βλέπουμε ότι η ταχύτητα του ήχου εξαρτάται από τις ελαστικές ιδιότητες του αέρα ή από το κατά πόσο η
πυκνότητά του μεταβάλλεται από τη μεταβολή της πίεσής.
Για να υπολογίσει κανείς το λόγο Δp/Δρ, θα πρέπει να λάβει υπόψη το γεγονός ότι οι μεταβολές Δp
και Δρ γίνονται γρήγορα, με επακόλουθο, η θερμότητα να μην προλαβαίνει να μεταφέρεται στα διπλανά
στρωματά του αέρα. Στην περίπτωση αυτή, οι μεταβολές Δp και Δρ υπακούουν στην αδιαβατική και όχι
στην ισόθερμή σχέση των Β – Μ. Έτσι έχουμε:
pV γ = σταθ,
12
(36.21)
όπου για τον ατμοσφαιρικό αέρα είναι γ = 1,4. Επειδή η πυκνότητα του αέρα είναι αντιστρόφως ανάλογη
του όγκου, ισχύει:
pρ
−γ
= σταθ.
(36.22)
p
dρ
ρ
(36.23)
Με παραγώγιση, η (36.22) δίνει
dp = γ
ή, κατά προσέγγιση, για μικρές μεταβολές Δp και Δρ,
∆p= γ
p
∆ρ
ρ
∆p
p
= γ
.
∆ρ
ρ
ή
(36.24α,β)
Η σχέση (36.20β) σε συνδυασμό με τη (36.24β) δίνει την ταχύτητα του ήχου στον αέρα:
c=
γ
p
ρ
(36.25)
Στους 00 C, η πυκνότητα και η πίεση του αέρα είναι 1,29 kg/m3 και 101,3x103 Pa (760 Torr) αντίστοιχα.
Έτσι, ο λόγος p/ρ είναι 7,85x104 m2/s2. Επομένως, για γ = 1,4, η σχέση (36.25), για την ταχύτητα του
ήχου δίνει την τιμή
c0 = 331,5 m/s,
που είναι πολύ κοντά στην πειραματική τιμή: cπ = 331,8 m/s, που μετράται στους 00 C.
(36.26)
(36.27)
36.7 Παράρτημα 2
36.7.1 Η μετατόπιση και η ακουστική πίεσης στο οδεύον κύμα.
Τα επίπεδα ηχητικά κύματα εκπέμπονται από επίπεδα παλλόμενα σώματα, οι διαστάσεις των οποίων
είναι πολύ μεγαλύτερες από το μήκος του ακουστικού κύματος. Έστω ότι η μεμβράνη στο Σχ. 36.1 έχει
άπειρες διαστάσεις και ταλαντώνεται αρμονικά, στη διεύθυνση x, γύρω από το σημείο x = 0. Τότε η
εξίσωση κίνησής της μεμβράνης είναι: ψ = x0sinωt, όπου x0 και ω είναι το πλάτος και η κυκλική
συχνότητα της ταλάντωσης. Σύμφωνα με τον ορισμό του επίπεδου κύματος, που δεν εξασθενεί κατά τη
διάδοσή του, τα ακουστικά κύματα διαδίδονται κάθετα προς την παλλόμενη επιφάνεια με ταχύτητα c και,
σε ένα απομακρυσμένο σημείο x, τα μόρια του αέρα ταλαντώνονται γύρω από τις θέσεις ισορροπίας με
το πλάτος και τη συχνότητα της μεμβράνης, αλλά με καθυστέρηση στη φάση. Επομένως, για ένα κύμα
που διαδίδεται προς τις θετικές τιμές του x, η συνάρτηση μετατόπισης των μορίων από τις θέσεις
ισορροπίας είναι
ψ ( x) = x0 sin ( ω t − kx )
(36.28)
όπου k = 2π/λ.
Τα ηχητική κύματα συνοδεύονται και με μεταβολές της ατμοσφαιρικής πίεσης, γύρω από τη μέση τιμή
pα. Επειδή τα μικρόφωνα και διάφοροι ανιχνευτές ήχου αντιδρούν στις μεταβολές της πίεσης και όχι
μετατόπισης, είναι σκόπιμο να ερευνηθεί η σχέση μεταξύ ψ(x) και Δp στο οδεύον κύμα.
13
Η παράγωγος της (36.28) ως προς t, μας δίνει την ταχύτητα των μορίων στο σημείο x, τη χρονική
στιγμή t:
υ = ω x0 cos( ω t − kx ) .
(36.29)
Όμως τι παριστάνει η dψ/dx;
Έστω ότι πριν από την άφιξη του κύματος, τα μόρια του αέρα στα επίπεδα Α και Β, που απέχουν dx,
ήταν σε ηρεμία. (Σχ. 36.11). Σύμφωνα με τον ορισμό της ψ(x,t), τη χρονική στιγμή t, η συνάρτηση ψ(x)
παριστάνει τη μετατόπιση των μορίων από τη θέση ισορροπίας στο σημείο x, η ψ(x+dx), στο σημείο
x+dx. Συνεπώς, η dψ = ψ(x+dx) – ψ(x), παριστάνει τη μεταβολή στη μετατόπιση των μορίων σε δύο
διπλανά επίπεδα που απέχουν dx. Στη μεταβολή αυτή αντιστοιχεί μείωση του όγκου του αέρα κατά dV
και αύξηση της πίεσης κατά Δp. Για τη dψ/dx μπορούμε να πούμε ότι αυτή παριστάνει τη μεταβολή της
μετατόπισης ανά μονάδα μήκους, δηλαδή τη σχετική μεταβολή. Επειδή στη μεταβολή dψ αντιστοιχεί
στοιχείο όγκου dV (dV = Sdψ), στη σχετική μεταβολή dψ/dx αντιστοιχεί σχετική μεταβολή του όγκου
dV/V. Επομένως, dψ/dx = dV/V.
B
A
ψ
S
ψ+dψ
dx
Σχήμα 36.11
Στο διάστημα dx, η μεταβολή του όγκου κατά dV, συνδέεται με την μεταβολή της πίεσης κατά dp. Από
τις σχέσεις (36.21) και (36.25) προκύπτει:
dp = − γ p
dV
V
dV
.
V
(36.30α,β)
2π
ω
=
,
λ
c
(36.31α,β)
dp = − c 2 ρ
ή
Επειδή
dψ
= − k x0 cos( ω t − kx )
dx
και
k=
έχουμε:
dp = c 2 ρ k x 0 cos( ω t − kx )
ή
dp = cρ ω x 0 cos( ω t − kx )
(36.32α,β)
ή, κατά προσέγγιση, για μικρές μεταβολές Δp:
∆ p = cρ ω x 0 cos( ω t − kx )
ή
∆ p = ρ cυ ,
όπου υ είναι η ταχύτητα των μορίων στο σημείο x, τη χρονική στιγμή t (36.29).
Από την προηγούμενη ανάλυση προκύπτουν μερικά βασικά συμπεράσματα.
14
(36.33α,β)
1. Από τις σχέσεις (36.28) και (36.33α) προκύπτει ότι η μετατόπιση και η ακουστική πίεση δε
μεταβάλλονται στην ίδια φάση. Η φάση της πίεση προπορεύεται τη μετατόπιση κατά 90 0.
2. Το πλάτος της πίεσης Δpmax = cρωx0, εξαρτάται από τη συχνότητα και αυξάνεται με αυτή. (Η ιδιότητα
αυτή αξιοποιείται στις εφαρμογές των υπερήχων).
3. Από τις σχέσεις (36.29) και (36.33α) προκύπτει ότι σε ένα οδεύον επίπεδο κύμα η ταχύτητα των
μορίων και η πίεση μεταβάλλονται στην ίδια φάση.
4. Σε κάθε σημείο η ακουστική πίεση είναι ανάλογη προς τη ταχύτητα των μορίων στο σημείο αυτό
(36.33β).
36.8 Παράρτημα 3
36.8.1 Η ακουστική αντίσταση
Επειδή το γινόμενο ρc είναι ένας σταθερός αριθμός, από τη σχέση (36.32β) προκύπτει ότι ο λόγος Δp/υ
είναι μία σταθερά του μέσου, στο οποίο διαδίδεται το ακουστικό κύμα. Η σταθερά αυτή ονομάζεται
ακουστική αντίσταση (κατ’ αναλογία με την κυματική αντίσταση των γραμμών μεταφοράς του
ηλεκτρικού σήματος), συμβολίζεται με το γράμμα Ζ και η τιμή της είναι Ζ = ρc. Η ακουστική αντίσταση
παίζει σπουδαίο ρόλο στα φαινόμενα ανάκλασης του κύματος και εκδηλώνεται εκεί όπου το κύμα
συναντά μία διαχωριστική επιφάνεια δυο μέσων, των οποίων τα γινόμενα ρ1c1 και ρ2c2 διαφέρουν. Στις
εφαρμογές και στην τεχνολογία της ηχομόνωσης η σημασία και ο ρόλος της ακουστικής αντίστασης είναι
καθοριστικός.
38.8.1 Ανάκλαση και διάθλαση του ακουστικού κύματος
Όταν ένα επίπεδο ακουστικό κύμα (κύμα Α στο Σχ. 36.12) συναντά, υπό γωνία α με την κατακόρυφο, μία
επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων, στα οποία οι ταχύτητες του ήχου διαφέρουν, τότε ένα μέρος
Β
Α
c1
α
β
∠α=∠β
Μέσον διάδοσης 1
c2
Μέσον διάδοσης 2
c
sin α
= 1
sin γ
c2
γ
Γ
Σχήμα 36.12 Η ανάκλαση και διάθλαση του ήχου στη διαχωριστική επιφάνεια
του κύματος θα διαθλαστεί, ενώ το υπόλοιπο θα ανακλαστεί υπό την ίδια γωνία με αυτή της πρόσπτωσης.
Όσο για τη γωνία διάθλασης γ, αυτή υπακούει στο γνωστό νόμο των ημίτονων.
Ειδική είναι η περίπτωση όταν η γωνία πρόσπτωσης είναι μηδέν (Σχ. 36.13). Εδώ, πολύ χρήσιμες είναι οι
έννοιες της ακουστικής αντίστασης Ζ και του συντελεστή ανάκλασης G.
38.8.2 Ο συντελεστής ανάκλασης του ακουστικού κύματος στην περίπτωση κάθετης πρόσπτωσης
15
Ο λόγος των πλατών του ανακλώμενου κύματος προς το προσπίπτον ονομάζεται συντελεστής ανάκλασης. Η
τιμή του εξαρτάται από τις ακουστικές αντιστάσεις των δύο μέσον και καθορίζεται από τις συνοριακές
συνθήκες που επικρατούν στην διαχωριστική επιφάνεια, για την ταχύτητα και για την πίεση.
A
c1
B
Γ
c2
Σχήμα 36.13
Στη διαχωριστική επιφάνεια (Σχ. 36.13), για τις ταχύτητες και τις ακουστικές πιέσεις των τριών
κυμάτων: του προσπίπτοντος (κύμα Α), του ανακλώμενου (κύμα Β) και του μεταδιδόμενου (κύμα Γ),
ισχύουν οι σχέσεις
υ
A
+υ
B
=υ
∆ p A + ∆ p B = ∆ pΓ
και
Γ
(36.34αβ)
Στο προσπίπτον κύμα έχουμε: ΔpA = ρ1c1υΑ = Ζ1υΑ. Στο ανακλώμενο κύμα η ακουστική αντίσταση έχει
αρνητικό πρόσημο, δηλαδή ΔpΒ = − Ζ1υΒ. Επομένως, η σχέση (36.34β) γίνεται: Ζ1υΑ − Ζ1υΒ = Ζ2υΓ. Για
τους συντελεστές ανάκλασης της ταχύτητας Gυ και της μετατόπισης Gψ, η απαλοιφή της υΓ δίνει
Gυ = Gψ =
υ
υ
=
B
A
ω x 0 B x0 B Z 1 − Z 2
=
=
,
ω x 0 A x0 A Z 1 + Z 2
(36.35)
όπου x0 είναι το πλάτος ταλάντωσης.
Για το συντελεστή μετάδοσης GΓ, η απαλοιφή της υΒ δίνει
GΓ =
x
υΓ
2Z 1
= 0Γ =
.
υ A x0 A Z 1 + Z 2
(36.36)
Για τις ακουστικές πιέσεις έχουμε τις σχέσεις:
Gp =
∆ p B − Z 1υ B
υ
=
= −
∆ pA
Z 1υ A
υ
B
A
=
Z 2 − Z1
Z1 + Z 2
(36.37)
και
∆ pΓ
Zυ
= 2
∆ p A Z 1υ
Γ
A
=
2Z 2
.
Z1 + Z 2
(36.38)
Βλέπουμε, ότι αν Ζ1< Ζ2, στις μετατοπίσεις των μορίων όπως και στις ταχύτητές τους, οι συντελεστές
ανάκλασης έχουν αρνητική τιμή. Αυτό σημαίνει ότι οι φάσεις των ταλαντώσεων στο προσπίπτον και στο
ανακλώμενο κύμα διαφέρουν κατά 180 0. Στην πίεση, ο συντελεστής ανάκλασης έχει θετικό πρόσημο.
Αυτό σημαίνει ότι στα δύο κύματα, οι ακουστικές πιέσεις ταλαντώνονται στην ίδια φάση.
Έστω ότι το μέσο 1 είναι ο ατμοσφαιρικός αέρας, ενώ το 2 − πλεξιγκλάς. Στους 20 0C η ακουστική
αντίσταση του αέρα είναι: Ζ1 = ρ1c1 = 1,20 kg/m3x344 m/s = 412,8 kg/m2s, ενώ του πλεξιγκλάς: Ζ2 = ρ2c2
16
= 1180 kg/m3 x 2550 m/s = 3,01x106 kg/m2s. Όπως βλέπουμε, η Ζ2 είναι 7,3x103 φορές μεγαλύτερη από
την Ζ1. Επομένως, Ζ1<< Ζ2. Στην περίπτωση αυτή η ανάκλαση του ήχου από την επιφάνεια του
πλεξιγκλάς είναι σχεδόν απόλυτη (Gψ,υ = − 0.9997). Το συμπέρασμα αυτό μπορεί να επεκταθεί προς όλα
τα στερεά σώματα, λόγω του ότι η ακουστική αντίστασή τους είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτή του αέρα.
36.9 Παράρτημα 4
36.9.1 Ανάκλαση του ήχου από το ανοιχτό άκρο του σωλήνα
Έστω ότι ο σωλήνας είναι κατασκευασμένος από πλεξιγκλάς. Όπως είδη είδαμε, στο κλειστό άκρο του
σωλήνα ο συντελεστής ανάκλασης των κυμάτων από μία επίπεδη επιφάνεια (Ζ1 << Ζ2) είναι − 1 και 1, για
την μετατόπιση και πίεση αντίστοιχα. Στο ανοιχτό άκρο του σωλήνα τα πράγματα δεν είναι τόσο
ξεκάθαρα. Τα γινόμενα ρ1c1 και ρ2c2 του αέρα, μέσα και έξω από τω σωλήνα ουσιαστικά είναι ίδια, οπότε
τίθεται το ερώτημα: έχουμε ανάκλαση του ήχου στο ανοιχτό άκρο του σωλήνα; Η απάντηση είναι ναι. Η
ανάκλαση λαμβάνει χώρα λόγω αλλαγής που υφίσταται η διάδοση του ήχου στο ανοιχτό άκρο του
σωλήνα. Πράγματι, όσο τα ηχητική κύματα διαδίδονται μέσα στο σωλήνα, αυτά παραμένουν επίπεδα.
Βγαίνοντας από το σωλήνα, τα επίπεδα κύματα αρχίζουν να καμπυλώνονται και σε μεγάλες αποστάσεις
γίνονται σφαιρικά. Λόγω του ότι τα σφαιρικά κύματα διαχέονται προς όλες τις κατευθύνσεις, έξω από το
σωλήνα η ένταση του ήχου πολύ γρήγορα εξασθενεί, καθώς απομακρυνόμαστε από το ανοιχτό άκρο.
Διαπιστώθηκε ότι, σε απόσταση 0,63R, όπου R είναι η εσωτερική ακτίνα του σωλήνα, η ακουστική πίεση
μειώνεται σε τέτοιο βαθμό, που πρακτικά μπορεί να θεωρηθεί μηδέν. Αυτό μας επιτρέπει να
σχηματίσουμε ένα μοντέλο του φαινομένου, όπου η ανάκλαση του ήχου δε γίνεται ακριβώς στο ανοιχτό
άκρο, αλλά σε απόσταση 0,63R, έξω από το σωλήνα. Δηλαδή θεωρούμε ότι πέραν της απόστασης αυτής
ο ήχος δεν υπάρχει. (Τα πνευστά μουσικά όργανα λαμπρά διαψεύδουν την παραδοχή αυτή. Όμως στα
μουσικά όργανα, στο ανοιχτό άκρο προσθέτουν διάφορες χοάνες και κώνους που αποσκοπούν στην πιο
αποτελεσματική έξοδο του ήχου από αυτά. Στον κοινό σωλήνα η έξοδος του ήχου από το ανοιχτό άκρο
είναι μικρή. Επομένως, ο συντελεστής ανάκλασης στο ανοιχτό άκρο του σωλήνα αναμένεται να είναι
αρκετά κοντά στη μονάδα). Έτσι, αντί να εξετάζουμε τη διάχυση και εξασθένηση του ήχου έξω από το
σωλήνα, μπορούμε να υποθέσουμε ότι σε απόσταση 0,63R από τον σωλήνα, ο αέρας αντικαθίσταται με
άλλο αέριο, η ακουστική αντίσταση του οποίου είναι πολύ μικρότερη από αυτή του αέρα. Ως προς την
ανάκλαση, το αποτέλεσμα θα είναι ίδιο. Συνεπώς, στο μοντέλο μας, μέσα στο σωλήνα υπάρχει αέρας, το
μήκος του σωλήνα είναι αυξημένο κατά 0,63R, ενώ έξω από τον σωλήνα υπάρχει κάποιο αέριο, η
ακουστική αντίσταση του οποίου είναι πολύ μικρότερη από αυτή του αέρα. Παρόλο που το μοντέλο αυτό
απέχει από την πραγματικότητα, εντούτοις σωστά αποδίδει τα φαινόμενα ανάκλασης από το ανοιχτό
άκρο του σωλήνα και μας επιτρέπει να κατανοήσουμε τους λόγους για του οποίους ο συντελεστής
ανάκλασης, στο ανοιχτό άκρο, δεν αναμένεται να είναι τόσο κοντά στη μονάδα, όπως στην περίπτωση
ανάκλασης από την επιφάνεια ενός στερεού. Επίσης, μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τις τιμές
(προσεγγιστικά) και τα πρόσημα των συντελεστών ανάκλασης G. Έτσι, επειδή στο μοντέλο μας, έξω από
τον σωλήνα και πέραν της απόστασης 0,63R, Ζ2 = ρ2c2 ≈ 0, στο ανοιχτό άκρο του σωλήνα μπορούμε να
θεωρήσουμε ότι ο συντελεστής ανάκλασης μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι 1 για την μετατόπιση και − 1 για
την πίεση κ.λ.π. Με άλλα λόγια, όταν το κύμα πλησιάζει το ανοιχτό άκρο του σωλήνα, ένα πύκνωμα
ανακλάται και διαδίδεται προς τα πίσω ως αραίωμα, ενώ ένα αραίωμα, ανακλάται και διαδίδεται προς τα
πίσω ως πύκνωμα κ.ο.κ. Αυτό το βλέπει κανείς στα πειράματα με τους κρουστικούς ακουστικούς
παλμούς. Το πλάτος του ανακλώμενου παλμού από το ανοιχτό άκρό του σωλήνα έχει σχεδόν το ίδιο
πλάτος με αυτό που ανακλάται από τον ανακλαστήρα.
17

Download Report