πιεστε εδω για το αρχειο

1.7
( x    )
ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ


lim x ν  
x+ 
 , αν ν άρτιος
lim x ν  
- , αν ν περιττός
x - 
a
 0,
v
x  
x
lim
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν
aR*
f(x) < g(x)
κοντά στο x0, τότε
όταν x+, ενώ f(x)<g(x), μπορεί να ισχύει
Πχ : Ενώ
1 2
κοντά στο +, ισχύει

x x
ΟΡΙΑ
lim
x
lim f( x)  lim g( x) ,
x x 0
x x 0
lim f(x)  lim g(x)
x
x
1
2
 lim  0
x x x
στο  ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Για την πολυωνυμική συνάρτηση P(x)=ανxv+αν-1xv-1+…+α0, με αν0, ισχύει:
lim Ρ(x)  xlim
αν xν
 
και
x  
lim
Ρ(x)  lim
αν xν
x  
x  
1. Να βρείτε τα όρια :
i) xlim
(-3x5  x 4  1)  ......
+ 
ii) xlim
(2x4  3x 7  x 2  1)  .........
- 
ΟΡΙΑ
Για την ρητή συνάρτηση
στο  ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
f(x)=
lim f(x)  xlim
x  
 
2. Να βρείτε τα όρια :
α ν x ν  α ν1 x ν 1  ...  α 0
, με αν0, βκ0, ισχύει:
βκ x κ  βκ 1 x κ 1  ...  β 0
αν xν
βκ x κ
και
lim f(x)  xlim
x  
 
αν xν
βκ x κ
i) lim
x
- 2x3  x  1
 .......
x2  x  1
Σχόλιο
:
θυμόμαστε

Για
τα
ii) lim
x - 
όρια
x 2  2x  3
 ......
x3  1
ρητών
συναρτήσεων
(κλάσματα)
στο
άπειρο
ας
ότι :
Αν ο βαθμός αριθμητή > βαθμό παρονομαστή, τότε το όριο είναι μη
πεπερασμένο (δηλ.+ ή -)

Αν ο βαθμός του αριθμητή < βαθμό του παρονομαστή, τότε το όριο είναι
το μηδέν.

Αν ο βαθμός του αριθμητή = με το βαθμό του παρονομαστή, τότε το όριο
είναι ίσο με το πηλίκο των συντελεστών των μεγιστοβάθμιων όρων
3. Να βρείτε τα όρια :
 x 2  1 x 2  1
 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ :
i) lim 

x
x  1 
 x
πρώτα ένα κλάσμα !
(Απ. 1)
ΣΧΟΛΙΟ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Στις παραπάνω ασκήσεις έχουμε από τις ελάχιστες
περιπτώσεις στα μαθηματικά που
κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στον
παρονομαστή
(γιατί απαραίτητα πρέπει να δούμε τι βαθμού είναι).
4. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : [0,+)R, για την οποία για κάθε x  0
ισχύει (1+x2)f(x)-2x x. Να βρείτε το όριο
5. Να βρεθεί το πολυώνυμο P(x), αν ισχύουν
lim f( x) .
x
lim
x 
(Απ. 0)
P( x)
P( x)
 1 και lim 2  2 .
3
x0 x
x x
( P(x)=x3+2x )
6**. Αν lim f(x)   , να υπολογίσετε (αν υπάρχουν) τα όρια :
x1
f( x)  3
x1 2f( x)  1
α) lim
 1
 
2
f 2 ( x)  3f( x)  1
x1 f 2 ( x)  f( x)  1
β) lim
(1).
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : για να υπολογίσουμε τα παραπάνω όρια, στον αριθμητή και
στον παρονομαστή του κλάσματος βγάζουμε κοινό παράγοντα την μεγαλύτερη
δύναμη της f(x).
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ (ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ)
7. Για τις διάφορες τιμές του λR, να βρεθεί το lim f( x) ,
x  
αν f(x)=(λ2-1)x2+(λ-1)x+2012.
8. Για τις διάφορες τιμές του αR, να βρεθεί το xlim
 
(α  1)x 3  αx 2  3
.
(α  2)x 2  3x  7
(α 2  2α  8)x 3  (α  2)x 2  3
.
x  
x 2  (α  5)x  2
Το ίδιο για το lim
ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
9. Να βρείτε τα α,βR , ώστε να ισχύει :
x 3  4x  3
i) lim (
 áx  â)  0 .
x + 
x2  4
 x 2  3x  2

ii) lim 
 áx  â   2
x+ 
 x2

(α=1, β=0)
(α=-1, β=-3)
ΟΡΙΑ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ
10. Να βρείτε τα όρια :

i) lim 3  x 3  x 5  2x  x 3
x- 


ii) lim 3  x 3  x 5  2x  x 3
x-

Σχόλιο : στο i) ερώτημα έχουμε + +, άρα το όριο της συνάρτησης θα είναι +.
Όμως στο ii) ερώτημα έχουμε + -, δηλ. απροσδιόριστη μορφή.
Γιαυτό πρέπει να βγάλουμε τα απόλυτα και μετά να εφαρμόσουμε ιδιότητες ορίων.
Για να απαλλαγούμε
από τα απόλυτα πρέπει να γνωρίζουμε το πρόσημο της
παράστασης που βρίσκεται μέσα σ΄ αυτό.
iii)xlim
+ 
x2  x  5
x  x3
2
2x2  x 2  4
 1
iv) lim
,  
2
x - 
3x  x + 3
3
, (1)
v) lim
x - 
ΟΡΙΑ ΜΕ ΡΙΖΕΣ
Αν lim f( x)   , τότε lim
x 
x 
ν
f( x)   , f(x)  0.
1 x - x 2
2x  2
2
 1
- 
 2
11. Να βρείτε τα όρια :
i) lim
x  
lim
x  
 9x
 9x
Σχόλιο
2
2


 5x  2  2x ,
 5x  2  2x
:
στα

ii) xlim
x 2012  x  2  3x ,
 
iii)

δύο
πρώτα
ερωτήματα
έχουμε
+
+,
άρα
το
όριο
της
συνάρτησης θα είναι +.
Όμως στο ερώτημα iii) καταλήγουμε στην απροσδιόριστη μορφή
Μεθοδολογία :
+ -.
Προσπαθούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα τη μεγαλύτερη
δύναμη του x.
x2  x
MH ΞΕΧΝΑΤΕ :
12. Να υπολογίσετε τα όρια:
α)
β)
lim  4x 2  3x  5  49 x 2  6x  15  ,

(Απ. -)
x   
lim  36 x 2  3x  5  25 x 2  6x  15 

(Απ. +)
x  
13. Να υπολογισθούν τα όρια:
α)
lim  9x 2  4x  5  3x 

x 
β) lim
x  
 25x
2
 14 x  7  5x
Σχόλιο : και
(Απ. -2/3)

(Απ. 7/5)
εδώ καταλήγουμε στην απροσδιόριστη μορφή +-. Αν για
την άρση της απροσδιοριστίας ακολουθήσουμε την προηγούμενη μέθοδο, δηλ
της
εξαγωγής
κοινού
παράγοντα
της
μεγαλύτερης
δύναμης
του
x,
καταλήγουμε στη μορφή 0(+), δηλ. και πάλι απροσδιοριστία !
Μεθοδολογία : Σε παρόμοιες περιπτώσεις θα χρησιμοποιούμε τη
μέθοδο
της συζυγούς παράστασης.
14.
Δίνεται
lim f(x)  0 .
x
η
συνάρτηση
f( x)  x 2  1  x ,
(2003)
xR.
Να
αποδείξετε
ότι
15. Δίνεται η συνάρτηση f( x)  4x 2  1  2x , xR. Να υπολογίσετε το όριο
lim f( x) . (2004)
x
(Απ.0)
16. Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης f στο + με
f( x)   7x 4  6x  5  7x 4  3x  3   63x 2  5x  20


17.
Να
υπολογισθεί
το
(1987)
(Απ. 9/2)
lim  4x 2  3x  1  9x 2  3x  7  5x  .

όριο
x 
(Απ. 5/4)
Υπόδειξη:
lim  4x 2  3x  1  9x 2  3x  7  5x   lim  4x 2  3x  1  2x  9x 2  3x  7  3x   ... ….
 x 

x 
ΑΣΚΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : Κάποιος μαθητής βρήκε το επόμενο όριο ως εξής:
x2  1  x
 1
 lim     x 2  1  x   0   x 2  1  x   0
x+  x  



x
lim
x+ 
ΔΕΝ ΕΠΙΤΡΕΠΕΤΑΙ ΝΑ ΑΝΤΙΚΑΘΙΣΤΟΥΜΕ ΤΑ ΟΡΙΑ
ΤΜΗΜΑΤΙΚΑ
Είναι το αποτέλεσμα σωστό ; Ο τρόπος που εργάστηκε ;
18. Να υπολογισθούν τα όρια :
i) lim
x+ 
x 2  1  2x  3
x+ 1
19. Αν xlim
+ 
f( x)
x x5 x
2
(Απ. -1)
Αν
για
τη
συνάρτηση
4x 2  1  x
x- 
 1 και xlim
+ 
ΟΡΙΟ ΣΤΟ
20.
ii) lim

g( x)
4x  x  5  2x
2
x  1  3x
2
 2 , να βρείτε το
3
(Απ.  )
2
lim
x + 
f( x)
.
g( x)
ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ
f
:
RR
ισχύει
 x 2  x  1 για κάθε xR, να βρείτε το lim f( x) .
x  
4x 2  2x  1  x 
(Απ. ½)
f(x)+x
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ
21. Να βρείτε το όριο της f(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού
αριθμού



 Απ.





 ,

 ,
 1
 ,
 4
λ,
αν
x
f(x)  4x 2  x  3  λx  1.
και


αν λ  2 
αν λ  2 

αν λ  2 

22. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού μ, να βρείτε το
όριο lim (μ 2 x  x 2  1) .
x  
ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ ΣΤΟ 
23.
Δίνεται
η
συνάρτηση
f(x)  x 2  x  3  κx  λ .
πραγματικοί αριθμοί κ, λ, ώστε lim f( x) =
x  
ΜΕ ΡΙΖΑ
Να
προσδιοριστούν
οι
3
2
ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
ημ
24. Να βρείτε το
lim
x + 
1 2

x x
x2  1  x
ΥΠΟΔΕΙΞΗ – ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ :
θέτω
.
(Απ. 6)
1
 u οπότε u  0 ......
x
ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
25. Έστω η συνάρτηση
f για την οποία ισχύει lim
x  
f( x)
 λ, με λ  1 . Να
x
βρείτε τo όριο lim (f(x) - x) .
x  
(Απ. -)
26. Αν f : RR για την οποία ισχύει :
lim f(x) .
x1
(απ. -1/3 )
lim
f( x)  2
x1 3f( x)  1
  ,να βρείτε το
27. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R. Αν είναι
βρείτε το όριο της f στο σημείο x0=0.
f(x)çìx
lim
x 0
(Απ.
1+ x  1
  , να
lim f(x)   )
x0
28. Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει: lim  x - 2 f( x)  1 . Να
x2
βρείτε τα όρια:
α.
(Απ.
lim f( x)
+)
x2
f 2 (x) - 2f(x)  5
x 2
f 3 ( x)  1
β. lim
(Απ. 0)
ΥΠΟΔΕΙΞΗ – ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ βγάζουμε το f2(x) κοινό παράγοντα σε αριθμητή
και παρονομαστή
29.
Έστω
συνάρτηση
f:(-,0)R
για
xf( x)  2x  3
 1 . Να βρείτε τα όρια:
x2
lim
x - 
ii)
30.
lim
x - 
η
3x 2 f( x)  x 2  1
.
x- 
xf( x)  3
( Απ.
lim
Έστω
η
συνάρτηση
την
i)
οποία
ισχύει
lim f(x) ,
(Απ. 3)
x- 
- )
f:(-,0)R
για
την
οποία
ισχύει
x 2 f( x)  x 2  1
 2 . Να βρείτε:
x2  3
i) το
lim f(x) ,
(Απ. 1) ii) το α,
x- 
αν lim
x - 
xf( x)  αx  1
 1.
x2
( Απ.
ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Πχ
Εκθετική
f(x)=αx
ΠΟΤΕ !!
2x
x
3
ex
5
 
2
x
α=0 )
Πχ
 1
 
2
 2 


 e 
3


5
x
x
x
,
Λογαριθμική με βάση e
f(x)=lnx, x>0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΤΩΝ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ – ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ
A. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε συνάρτηση της Α στήλης το όριο της για
x+ που βρίσκεται στη Β στήλη :
Στήλη Α
Στήλη Β
1. f(x)=ln(x+1)
α. 2
2. f(x)=3-x
β. +
γ. 1
3. f(x)=xex
δ. 0
4. f(x)=-ex
ε. -
5.f(x)=1+2-x
στ. e
B. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές
ή λανθασμένες
και
ή
να
βάλετε
σε
κύκλο
το
αντίστοιχο
γράμμα
(Σ)
(Λ).
λανθασμένες να βρείτε τη σωστή απάντηση :
α. Αν α>1, τότε
lim α x  0 .
x  
(2007)
Σ
Λ
β. lim (x  ln 2x)  
Σ
Λ
γ. lim (2  ln x)  1
Σ
Λ
δ. lim (1  e  x )  0
Σ
Λ
ε. lim (x  ln x)  
Σ
Λ
x
x0
x 
x
31. Να βρεθούν τα όρια :
α)
β)
γ)
lim f( x) , αν f( x) 
2 x  3  3 x  2011
2 x  e x  2  2012
lim f( x) , αν f( x) 
2 x3  3 x
2 x  3 x2
lim f( x) , αν f( x) 
2 x  3  3 x  2011
2 x  3 x  2  2012
x
x
x
(Απ. -∞)
(Απ. 8)
(Απ. 
2011
)
2012
Στις
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ :
 Αναλύουμε τις δυνάμεις ώστε να έχουμε μόνο αx, βx.
 i) Aν x+
υπάρχει στον
Πχ
2x+3=2x23
διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με το εκθετικό που
ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ
ii) Aν x -
και έχει τη μεγαλύτερη βάση
:
α) αν έχουμε μόνο δυνάμεις διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με
τη μικρότερη βάση
β) αν έχουμε και αριθμό στον παρονομαστή
3x 5  αx 2  βx  γ
3e x  2  3 x
, νΝ, τότε:
lim

lim
x   2x ν  δx  2011
x  
25x 1
32. Αν
Α. ν<5
Ε.
κάνουμε αντικατάσταση !
Β.
ν>5
Γ.
ν=5
Δ. ν=3
ν οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός
33. Να υπολογισθεί το όριο
lim
x  
x 2011
.
ex

,που
0
Σχόλιο : έχουμε όριο της μορφής
προσοχή :
έχουμε
στις περιπτώσεις :
ΔΕΝ είναι απροσδιόριστη μορφή
Λύση : xlim
 
ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ
1
x 2013
= xlim
 lim x 2013  ()()  
 
e x x 
ex
34. Να βρείτε το όριο
lim
x0
2
x 1
x
1
2x
0
, 0    ,   - ,
0


1
 3x

1
3x
.
(Απ. -1)
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : όταν έχουμε όρια εκθετικών συναρτήσεων και x0
θέτουμε
1
u= , οπότε u συνεχίζουμε όπως στις προηγούμενες περιπτώσεις
x
35.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)= lim
Να δείξετε ότι
y 
xα y  ( x 2  1)e y
α y1  e y3
, όπου α>0 και α  e .
 x2  1
, α  (0, e)

f(x)=  e3
.
 αx, α  e

ΣΧΟΛΙΟ: μη σας τρομάζει η ταυτόχρονη ύπαρξη x, ψ, α, e. Επειδή ψ+
εργαζόμαστε όπως έχουμε πει: διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με το
εκθετικό που υπάρχει στον
ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ
και έχει τη μεγαλύτερη βάση
 ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΣΕ ΑΤΟΠΟ !!
36. Δίνεται η συνάρτηση f: RR για την οποία ισχύει
κάθε xR. Αν η
f έχει όριο στο + να αποδείξετε ότι
f(x)+ef(x)=x για
lim f( x) =+.
x
ΛΥΣΗ:
Αν
lim (f(x)  ef( x) )  -, ενώ
lim f( x) =- τότε
x
lim x =+, άρα καταλήγουμε σε
x  
x
άτοπο.
Αν
lim f( x) = 
lim (f(x)  ef( x) )   + e  , ενώ
τότε
x
lim x =+, άρα καταλήγουμε σε
x  
x
άτοπο.
Επειδή από την υπόθεση γνωρίζουμε ότι υπάρχει το όριο της f στο +
υποχρεωτικά
lim f( x) =+
x
Παραμετρικό όριο
37. Να βρείτε το
lim
x 
λx  2004 x
, για κάθε θετική τιμή του λ.
λx  2004 x
ΥΠΟΔΕΙΞΗ – ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ :
Εξετάζουμε τις περιπτώσεις λ<2004, λ>2004 και λ=2004.
Για λ=2004 εργαζόμαστε όπως στην άσκηση 21.
38. Να βρείτε το όριο της συνάρτησης f( x) 
τιμές του λ(0,+).
λx  2 x1
, για τις διάφορες
2  λx  3  2 x1
(1984)
Όρια σύνθετων συναρτήσεων
39. Να υπολογίσετε τα όρια:
i)
lim
x
1
2x
x3
,
(Απ. 1)
ii) lim e x
x 
2
 2010 .
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: πρώτα βρίσκουμε το όριο του εκθέτη.
(Απ. 0)
40. Να υπολογίσετε τα όρια:
lim[ln( e x  x  1)] .
α)
(Απ. +)
x
β) lim [ ημ
x  
2x  2011
]
x 2  2012
(Απ. 0)
41**. Δίνεται μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει 2z-3i>6z-i.
z 
α) Να δείξετε ότι
1
,
2


lim ln z  e1 x .
β) Να βρείτε το όριο
x
x
(Απ. -)
Όρια συναρτήσεων της μορφής ln(f(x))-ln(g(x))
42. Να βρεθούν τα όρια :
lim [ln( 1  2 )  ln( e  3 )]
x
i)
x
x
x 
ii)
lim [ x  ln( 2 x  e x )]
x 
ΘΥΜΗΘΕΙΤΕ :
α
1. ln  ln α  lnβ
β
2. x=lnex
iii) lim[ 3 ln( x  2)  ln( x 2  3)]
x
ΣΧΟΛΙΟ : όρια σύνθετων συναρτήσεων
(Απ. i) -,
ii) 0 ,
iii) +)
ΟΡΙΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
 xlim
ημ
 
 xlim
 
1
1
 0, xlim
συν  1
 
x
x
ημx
0
x
1

 lim  x  ημ   1
x  
x


 γιατί ημx  1 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ κλπ


x
x


1


ημ


ημu
1


x
 γιατί lim  x  ημ   lim
 lim
1
x  
u0 u


x  x 1


x


ΠΡΟΣΟΧΗ : δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή των ορίων
lim ημx ,
x
lim συνx
(όπως και των lim
ημ
x0
x
1
1
 0, lim
συν  1 )
x 0
x
x
43. Να υπολογίσετε τα όρια :
8

lim  x  ημ 
x  
x
1

β) lim  x  ημ v  ,νΝ, ν  2
x  
x
1

(Να κάνετε την σύγκριση με το lim  x  ημ  )
x0
x
α)
44*.
45**.
Αν ισχύει
Αν
,
f( x)
1
1
 ημ  2
x
x x
για κάθε xR, να βρεθεί
2 x1 f( x)  e x2
 5, να υπολογίσετε το
x
ημx
lim
lim f( x) . (Aπ. 1)
x
lim f( x) .
x
(Απ. 0)
Σχόλιο: η άσκηση ΔΕΝ ΛΥΝΕΤΑΙ με εφαρμογή του θεωρήματος D’ L’ Hospital
ΜΗ ΞΕΧΝΑΤΕ !
46. Να βρείτε το όριο
Μηδενική φραγμένη=μηδενική
2x 2  ημ x
.
x  x 2  συνx
lim
ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΕ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ
Υπόδειξη: βγάλτε κοινό
παράγοντα το x2.
 x 
ημ 
2
 x  1
47. Αν lim f(x) =  υπολογίστε το lim
x1
f( x)
x1
(ΥΠΟΔΕΙΞΗ : μηδενική επί φραγμένη)
48. Να βρείτε το lim f( x) , αν
x  
49. Να υπολογίσετε το όριο
50.
lim
λ  
Δίνεται
λ2  Ε( λ )
.
2  ημλ
η
συνάρτηση
(2005)
ημx
x3  8
 f( x)  4
για κάθε xR.
x 1
x 9

lim 
x

 ημ 2x  . (2004)
2
x

x   1 
Ε( λ ) 
e-2
, λ  0.
2λ
Να
υπολογίσετε
το
όριο
  
51. Αν ισχύει (2x+1)f(x)  ex
α) xlim
f( x) ,
 
για κάθε xR, να υπολογίσετε τα όρια :
ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: αν f(x)  g(x) και xlim
g( x)   τότε και
 
lim f(x)  
x  
β)
γ)
lim
x
ημx
,
f( x)
f 3 ( x)  2f 2 ( x)  1
.
x  2f 3 ( x)  3f( x)  5
lim
(Απ. α.+
,
β. 0 ,
γ.
1
)
2
Υπενθύμιση για το γ’ ερώτημα: βγάζουμε σε αριθμητή και παρονομαστή
κοινό παράγοντα τη μεγαλύτερη δυνατή δύναμη του f(x).
ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
52. Έστω μία συνάρτηση f : RR τέτοια ώστε : f( x)  x  1 γα κάθε xR.
α) Να δείξετε ότι lim
x  
f( x)
1 .
x
β) Να βρείτε τα όρια :
i)
lim
x  
f( x)
,
xν
  1 
ii) lim  x  f  ,
x 0 
 x 
iii)
 x 2  x  2  x 2 
 ,
lim 
 f
2

x 
x

1
x



ΥΠΟΔΕΙΞΗ : Θυμηθείτε την μεθοδολογία στην ασκ. 30 της παραγράφου 1.5
ΛΥΣΗ :
α) κριτήριο παρεμβολής
f( x)
f( x) 1
 ν-1 ]  1 0  0
β) i) Για ν>1 lim ν = lim [
x  x
x   x
x
f( x)
f( x)
Για ν=1 lim ν = lim
1
x   x
x x
 1
f 
  1 
1
x
ii) lim  x  f   lim   . Θέτουμε u  .......... .
1
x 0 
x
 x   x 0
x
53. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισμένες στο διάστημα Δ=(0,+)
και ισχύει ότι
lim f(x)  lim g(x)   , να αποδείξετε ότι lim
x
ΛΥΣΗ
x
x
f(x)  g(x)
f(x)2  g(x)2
 0.
Θα είναι f(x)>0 και g(x)>0 κοντά στο +, άρα
0
f( x)  g( x)
g( x)
g( x)
f( x)
f( x)
1
1
 2
 2
 2
 2


2
2
2
f
(
x
)
g
(
x)
f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x) f ( x) g ( x)
2
To ζητούμενο προκύπτει από κριτήριο παρεμβολής.

Download Report