x - ΠΑΙΔΕΙΑ

Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό
σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες
ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο
βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο"
εξισώσεις-ανισώσεις
Μαθηματικά α΄λυκείου
Φροντιστήρια Μ.Ε. ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
θεωρία-παρατηρήσεις-ασκήσεις
Παναγιώτης Χρ.Χρήστου
Φάνης Γρ.Γκανάς
Θεολόγος Κ. Ζαχαράκης
2013-2014
0
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Περιεχόμενα
Εξισώσεις 1ου βαθμού...........................................................................................................2
Παραμετρική εξίσωση 1ου βαθμού......................................................................................3
Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού...........................................................4
Η εξίσωση xv  a ...................................................................................................................6
Εξισώσεις 2ου βαθμού...........................................................................................................7
Τύποι Vieta..........................................................................................................................9
Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού.........................................................10
Ασκήσεις.........................................................................................................................12
εξισώσεις 1ου βαθμού........................................................................................................12
προβλήματα με εξισώσεις 1ου βαθμού..............................................................................13
εξίσωσεις 1ου βαθμού με απόλυτα....................................................................................13
xv  a ...............................................................................................................................14
εξισώσεις 2ου βαθμού........................................................................................................15
παραμετρικές εξισώσεις 2ου βαθμού.................................................................................16
προβλήματα μεεξισώσεις 2ου βαθμού...............................................................................17
άθροισμα και γινόμενο ριζών............................................................................................18
εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού..........................................................20
Ανισώσεις 1ου βαθμού.........................................................................................................22
ανισώσεις 1ου βαθμού με απόλυτα...................................................................................23
Ανισώσεις 2ου βαθμού.........................................................................................................25
Ασκήσεις στις ανισώσεις.......................................................................................................27
Ανισώσεις 1ου βαθμού με συναλήθευση...........................................................................28
Παραμετρικές ανισώσεις 1ου βαθμού................................................................................29
Ανισώσεις 1ου βαθμού με απόλυτα..................................................................................30
Πρόσημο τριωνύμου..........................................................................................................32
Ανισώσεις 2ου βαθμού με απόλυτα...................................................................................33
Παραμετρικές ανισώσεις 2ου βαθμού................................................................................33
1
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
 ax    0
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ
Η γενική μορφή της εξίσωσης 1ου βαθμού είναι: ax    0
Για να θυμηθούμε πως την λύνουμε:
x    0
Χωρίζω γνωστούς απο αγνώστους.
Η εξίσωση είναι μια ισότητα έτσι οτι πράξεις
 ax      
κάνω σε αυτήν υπακούουν στις ιδιότητες των
  x  
αγνώστους πρέπει να προσθέσω στα δυο μέλη
ισοτήτων.Άρα για να χωρίσω γνωστούς απο
το-β
Τώρα πρέπει να διαιρέσω και τα δυο μέλη με
το α
αλλά δεν ξέρω τι αριθμός είναι ο α και γιαυτό
διακρίνω περιπτώσεις:

Αν
  0 τότε μπορώ να διαιρέσω τα δυο μέλη
της εξίσωσης με το

Αν
   0  και η εξίσωση γίνεται x  
  0 τότε η εξίσωση γίνεται 0  x  


οπότε δεν μπορώ να
διαιρέσω με το συντελεστή του αγνώστου (γιατί αυτός είναι μηδέν) και ασχολούμαι με το β
I.
αν είναι
 0
τότε η εξίσωση δεν έχει λύση και
ονομάζεται αδύνατη
II.
αν είναι
  0 τότε
κάθε τιμή του x είναι λύση της
εξίσωσης είναι δηλαδή ταυτότητα.
Επίλυση εξίσωσης 1ου βαθμού
Τα πρώτα 3 βήματα στη λύση μιας
εξίσωσης μπορώ να τα περιγράψω ως
΄΄ελευθερώνω τους όρους μου΄΄
2
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
αν μετά το 5ο βήμα κατέληγα σε
0 x  5 αδύνατη

(δηλαδή ότι τιμή και να βάλω στη θέση του x η
ισότητα δεν θα μου λέει αλήθεια)
0 x  0 ταυτότητα

(δηλαδή ότι τιμή και να βάλω στη θέση του x
η ισότητα μου λέει πάντα αλήθεια)
Παραμετρική εξίσωση 1ου βαθμού
Όταν κάποιος απο τους συντελεστές α,β εκφράζεται με τη βοήθεια
γράμματος τότε αυτό το γράμμα ονομάζεται παράμετρος και η
εξίσωση ονομάζεται παραμετρική.Η εργασία που κάνουμε για τη
λύση αυτής ονομάζεται διερεύνηση και αποτελείται απο τα βήματα με τα
οποία περιγράψαμε την λύση της γενικής εξίσωσης 1ου βαθμού
x    0
Παράδειγμα παραμετρικής:
Να λυθεί για τις διάφορες τιμές του

 1 x    1  0,  
2

η εξίσωση
ΛΥΣΗ

2
 1 x    1
    1   1 x    1
Διερέυνηση:

αν
   1   1  0
   1  0 και   1  0
   1 και   1 η εξίσωση έχει
μοναδική λύση την
 1
1
x
 1
   1   1
 Για   1η εξίσωση γίνεται:
0x  0
 Για   1η εξίσωση γίνεται : 0 x  2
x
2013-1014
ταυτότητα
αδύνατη
3
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού
Παράδειγμα 1 (κλασματική)
Να λυθεί η εξίσωση
1
2
1
.
 2
 2
x  x x 1
x x
2
Λύση
Όταν έχω κλασματική εξίσωση πρέπει να βρώ
για ποιες τιμές της μεταβλητής ορίζεται(ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ)
Για να βρώ πιο εύκολα τους περιορισμούς θα ασχοληθώ με αυτούς
μόλις βρώ το Ε.Κ.Π των παρονομαστών

Βρίσκω Ε.Κ.Π παρονομαστών
Για να το βρώ πρέπει να παραγοντοποιήσω τους
παρονομαστές
1
2
1


x  x  1  x  1 x  1
x  x  1
Ε.Κ.Π: x  x  1 x  1  0 ,
 x  0 και x  1 και x  1
x  x  1 x  1
1
2
1
 x  x  1 x  1
  x  x  1 x  1
x  x  1
x  x  1
 x  1 x  1
 x  1  2 x    x  1
 x 1  2x   x  1
 x  2x  x  1 1
 4x  0

4x 0
  x  0 απορρίπτεται
4 4
αφού πρέπει x  0
2013-1014
4
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Παράδειγμα 2 (με απόλυτα)
Να λυθεί η εξίσωση 2 x  1  x  3
Λύση
2x 1  x  3
 2 x  1  x  3 ή 2 x  1    x  3
 2x  x  1  3 ή 2x 1   x  3
 x  4 ή 2x  x  1  3
 x  4 ή 3x  2
x4 ήx
2
3
Παράδειγμα 3 (με απόλυτα)
Να λυθεί η εξίσωση 2 x  3  3x  2
Λύση
Πρέπει 3x  2  0  x 
2
3
Με αυτόν τον περιορισμό
θα λύσω την εξίσωση
2 x  3  3x  2
 2 x  3  3x  2 ή 2 x  3  3x  2
 2 x  3x  3  2 ή 2 x  3x  3  2
  x  1 ή 5x  5
 x  1 απορρίπτεται ή x  1 δεκτή
2013-1014
5
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
Η εξίσωση
εξισώσεις-ανισώσεις
xv  a
Διακρίνω περιπτώσεις για το ν και για το α:
Παραδείγματα:
1. x4  16  x  4 16 ή x   4 16  x  2 ή x  2
2. x 2  5 αδύνατη
3. x3  8  x  3 8  x  2
4. x3  8  x   3 8  x  2
2013-1014
6
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου βαθμού
Έστω εξίσωση ax 2   x    0 με   0 .
Βρίσκω τη διακρίνουσα:    2  4 . Τότε

αν   0 η εξίσωση έχει στους πραγματικούς αριθμούς δυο
ρίζες άνισες τις x1,2 

αν   0 η εξίσωση έχει στους πραγματικούς αριθμούς μια
διπλή ρίζα την x1,2  

  
2

.
2
αν   0 η εξίσωση δεν έχει ρίζες (είναι αδύνατη) στους
πραγματικούς αριθμούς.
Βασικές εφαρμογές:
1. 4 x2  3x 1  0
Είναι a  4,   3,   1
Οπότε    2  4   3  4  4   1  9  16  25  0
2
Η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις
8

x1   1

      3  25 3  5 
8
x1,2 



2
24
8
 x  2   1
2

8
4

2. x2  4 x  4  0
Είναι a  1,   4,   4
   2  4   4   4 1 4  16  16  0
2
Οπότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα x1,2 
    4  4

 2
2
2 1
2
Εναλλακτικά όταν   0 μπορώ να λύσω με τη χρήση ταυτοτήτων.
x 2  4 x  4  0  x 2  2  2  x  22  0   x  2   0  x  2  0  x  2
2
2013-1014
7
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
3. x2  2 x  5  0
a  1,   2,   5
   2  4   2   4 1 5  4  20  16  0
2
Η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει ρίζες) στο σύνολο των
πραγματικών αριθμών.
Όταν η εξίσωση 2ου βαθμού είναι ελλειπής (λείπει ο πρωτοβάθμιος
ή ο σταθερός όρος δεν είναι απαραίτητο να τη λύσω μέσω της
Διακρίνουσας αλλά μπορώ να πάω με εναλλακτικούς τρόπους:
π.χ
4 x2  2 x  0  2 x  x  2  0  x  0 ή x  2  0
 x0 ή x2
π.χ
3x2  27  0  3  x 2  9   0  3  x  3 x  3  0  x  3  0 ή x  3  0
 x3
ή x  3
Εναλλακτικά:
3x 2  27  0  3x 2  27  x 2 
2013-1014
27
 x 2  9  x 2  9  x  3  x  3
3
8
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Τύποι Vieta
Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού
ax 2   x    0 ,   0 και   0
Τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις:
x1 
  
  
ή x2 
2
2
Ας βρώ το άθροισμα (S) και το γινόμενο (P) των ριζών
x1  x2 
                2




 S
2
2
2
2

     
x1  x2 


2
2
  
2

4
 
2
2

 2    2  4 
4
2

4 
 P
4 2 
Άρα
Με τη βοήθεια των τύπων Vieta η εξίσωση 2ου βαθμού γίνεται:
ax 2   x    0 
2013-1014
 2 

x  x   0  x 2  Sx  P  0



9
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού
με απόλυτα
 x  2
2
6 x2 50
x  2  6 x  2  5  0 1
2
Θέτω x  2    0
 2
Η (1) λόγω της (2) γίνεται:
 2  6  5  0
Λύνοντας την τελευταία έχω
1  1 (δεκτή αφού 1  0) και 2  5 (δεκτή αφού 5  0)
Η (2) για
  1γίνεται:
x  2  1  x  2  1 ή x  2  1
 x  1 ή x  3
Η (2) για
  5 γίνεται:
x  2  5  x  2  5 ή x  2  5
 x  3 ή x  7
κλασματική :
x2
1
8 
x 1
x 1
Περιορισμοί: Πρέπει
x 1  0  x  1
x2
1
  x  1
 8  x  1   x  1
x 1
x 1
 x2  8x  8  1
 x2  8x  7  0
Είναι   36  0
Άρα η εξίσωση έχει
δυο ρίζες άνισες τις x1  7 (δεκτή) και x 2  1 (απορρίπτεται)
2013-1014
10
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
διτετράγωνη
x 4  17 x2  16  0 1
   x   17x  16  0
2 2
2
Θέτω x  y  0
2
 2
Οπότε η (1) λόγω της (2) γίνεται:
y 2  17 y  16  0
με   225  0 άρα η εξίσωση έχει δυο
ρίζες άνισες τις:
y1  1 (δεκτή) και y2  16 (δεκτή)
Η (2) για y  1 γίνεται: x  1  x  1
2
Η (2) για y  16 γίνεται: x  16  x  4
2
2013-1014
11
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (εξισώσεις 1ου βαθμού)
1. Να λυθούν οι εξισώσεις
α) 2  x  1  5x  2
β) 2   x  1  3  x
γ) x  2 x  1  2 x 2   x  3
δ) 3  2  x  1  5  2 x
2. Να λυθούν οι εξισώσεις
α) 4 x2   2 x  1 2 x  1  3x  1
β) 1   x  2   4 x   x  3 x  3
2
γ) 1 
2x 1
x 1
 2x 
6
3
3. Να λύσετε τις εξισώσεις
α) 8x4 18x2  0
β) x3  x2  x  1  0
γ) 9 x2  6 x  1  0
δ) x  x 2  1  x3  x 2  0
ε)  x2  4  x  1   x 2  1  x  2 
4. Να λύσετε τις εξισώσεις:
1
x
 2
x2 x 4
4
3x
3x 2  8


γ)
x  2 2  x x2  4
α)
5. Να λυθούν για κάθε  
β)
x 1
2
 2
0
2
x 1 x  2x  1
δ)
x
x
2

 2
2
x  2 2x  x
x 4
οι εξισώσεις
α)    1 x   2
β)  2 x  1    x  1
γ)  2  x  3   x  3
δ)  2 x  3  3x  
6. Δίνεται η εξίσωση :  2  x  4  5  x     5  x     25
Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση είναι:
α) ταυτότητα
β) αδύνατη
7. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α)  x  a    x     2     ,  ,  
2
2
2
2
β)   x  a    x  a    4 x  a 2  a, a 


8. Να επιλυθεί ο τύπος:
1 1 1
 
R R1 R2
2013-1014
ως προς R1 και στη συνέχεια ως προς R2 .
12
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
1
9. Από τις ισότητες v  v0  at και S  v0t  at 2
2
v  v0
να δείξετε ότι: S 
t.
2
Προβλήματα
10. Δυο αριθμοί έχουν άθροισμα 24 και ο ένας είναι κατά 3
μεγαλύτερος από το διπλάσιο του άλλου. Να βρείτε τους
αριθμούς αυτούς.
11. Το διπλάσιο ενός αριθμού είναι κατά 12 μεγαλύτερο από
το μισό του αριθμού. Να βρείτε αυτόν τον αριθμό.
12. Να βρείτε δυο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς των οποίων
των οποίων οι αντίστροφοι διαφέρουν κατά
1
20
13. Ένας πατέρας είναι σήμερα 41 ετών και ο γιος του είναι
9 ετών. Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα
θα είναι τριπλάσια από την ηλικία του γιου του;
Ασκήσεις (εξισώσεις με απόλυτα)
14. Να λύσετε τις εξισώσεις
α) x  5  0
δ)
x 1
3
2
β) x  2
ε)
x 6
2
γ) 2 x  12  0
3
15. Να λύσετε τις εξισώσεις
α) x  2  4
β) 2 x  3  7
δ) x  4  5  0
ε) 7 x  13  21  0
γ) 5  3x  1
16. Να λύσετε τις εξισώσεις
α) 2 x  2  8  0
β) x 4  2  5
γ) x  3  2 x
δ) 7 x  3  9 x  5
ε) 2 x  4   x  5
στ) 2 x  5  2 x  5
2013-1014
13
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
17. Να λύσετε τις εξισώσεις
1 x 1

2
6
2
6
2 x 1 1
6x  3  2
β) 1 
 1 2x 
4
8
α)
x 1  3

2  2x

18. Να λύσετε τις εξισώσεις
α) 4  x  x  3
β) 1  x  0
γ)
x  2 3 1
19. Να λύσετε τις εξισώσεις
α) x2  3x  x2  9  0
β) x 2  4  x 2  4 x  4  0
γ) x3  x  x 2  x  0
20. Να λύσετε τις εξισώσεις
α) d ( x, 2)  3
β) d (3x, 1)  5
γ) d  2 x,5  d  x, 1
21. Να λύσετε τις εξισώσεις
α)
x2  4 x  4  3
β)
4 x2  4 x  1  x2  10 x  25  0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ  xv  a 
22. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) x3  8
β) x4  16
γ) x3  27
ε) 32 x5  1  0 στ) 2 x5  8x3
δ) x6  64
ζ) 32 x11  2 x7 η) 5x6  4 x2  0
23. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α)  x3  27  x4  54   0
β)  x 4  81 x5  210   0
γ) x6  81x2
δ) 2 x5  5x2  x5  3x2
ε) 2 x2  2 x2  3  3x4  2 x2
στ) 5x  x3  5  2 x  2 x3  1
24. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α)  x  3  8
3
2013-1014
β)  2 x  1  27
3
γ)  4  x   32  0
5
14
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
25. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α)
γ)
 x  2  3
 3  x  5
3
8
β)
4
 16
δ)
 2 x 1  6  27  0
 2x  5 1  81  0
3
4
Ασκήσεις (εξισώσεις 2ου βαθμού)
26. Να λύσετε τις εξισώσεις
α) x2  2 x  3  0
β)  x2  2 x  8  0
γ) x2  4 x  4  0
δ) x2  3x  4  0
ε)  x2  5x  6  0
στ) x2  5x  7  0
27. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) 2 x2  8x 10  0
β) 9 x2  6 x  1  0
δ) 3x2  5x  4  0
ε) 3x2  5x  2  0
γ) 2 x2  5x  3  0
28. Να λύσετε τις εξισώσεις (με δυο τρόπους)
α) x2  16  0
β) 3x2  12  0
γ) 2 x2  8  0
δ) x2  3x  0
ε) 2 x2  3x  0
στ) 4 x2  16  0
29. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις

β) 0,1x2  x  2,5  0
1
1
x 0
2
2
1
8
δ)  x 2  x  2  0
2
3
α) 5 x 2 
γ) x 2 

2  10 x  2 2  0
30.Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις
α)  x  2   x 2  5x  4   0
β)  x2  4 x  x 2  7 x  6   0
γ)  3x2  48  x2  4 x  32   0
δ) x  3x  10   3  x  2 
ε) 1  x  3  5x   x  x  2 
ζ)  x  1  4 x  5(2 x  1)
2
2013-1014
στ) 4( x  2)  4   x  3 ( x  3)
η)  2 x  1   3  x    x  1 2 x  1
2
2
15
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
31. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις
α)
2 x 10  3x x 2


3
4
6
β)
2 x  3  x  1 x  1 3  x


6
3
2
4 1  7 x  3x  7 x  1

 2 x 2  10 δ) x 2  5x  5  1
γ)
25
5
2
ε) x2  3x  5  2 x 2  4 x  5
στ) x  3  x 2  x  6
Ασκήσεις (παραμετρικές εξισώσεις 2ου βαθμού)
32. Να λύσετε για τις διάφορες τιμές του λ τις εξισώσεις
α)  x 2     2  x  2  0
β)    3 x2  2 x    3  0
33. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν
πραγματικές ρίζες τις οποίες και να βρείτε:
α) x2  2ax  a2   2  2  1  0
β)  x2  3     x  9  0,   0
34. Να βρείτε το πλήθος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων
α) x 2   a  2  x  a  0
β) ax2   2a    x  a    0,   0
35. Αν η εξίσωση x2   x    0 έχει μια διπλή ρίζα
να αποδείξετε ότι η εξίσωση: x 2     1 x 
2
4
0
έχει πραγματικές ρίζες
36. Η εξίσωση x2   2  1 x   2  3  0 έχει ρίζα το 3 .
Να βρείτε:
α) τον αριθμό λ
β) την άλλη ρίζα της εξίσωσης.
2013-1014
16
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
37. Η εξίσωση x 2     3 x    6  0 έχει μια διπλή ρίζα.
α) Να βρείτε τις τιμές του λ
β) Για κάθε τιμή του λ να βρείτε τη διπλή ρίζα της εξίσωσης.
38. Δίνονται οι εξισώσεις: x2  x  12  0
x2   2  9  x   2  6  0
1
και
 2 .
Η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης 1 είναι και ρίζα
της εξίσωσης  2  . Να βρείτε:
α) το λ
β) τις ρίζες της εξίσωσης  2  .
39. Η εξίσωση   2  1 x2     1 x  1  0 έχει μια διπλή ρίζα.
Να βρείτε:
α) το λ
β) τη διπλή ρίζα της εξίσωσης.
Προβλήματα
40. Δυο αδέρφια είναι σήμερα 3 ετών και 7 ετών. Σε πόσα
χρόνια το γινόμενο των ηλικιών τους θα είναι ίσο με 60;
41. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ
είναι ορθογώνιο
ˆ  90o . Να βρείτε τα μήκη των
με A
πλευρών του τριγώνου.
42. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος 8cm και
πλάτος 4cm. Aν αυξήσουμε και το μήκος και το πλάτος
κατά x cm το εμβαδόν του θα αυξηθεί κατά 28 cm .
2
Να βρείτε το x.
2013-1014
17
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Ασκήσεις (άθροισμα και γινόμενο ριζών)
43. Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών
των παρακάτω εξισώσεων:
α) x2  3x  2  0
β) x2  5x  4  0
δ) 3x2  12 x  15  0 ε)  x2  3x  1  0
γ) 2 x2  7 x  4  0
στ) 2 x2  4 x  6  0
44. Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών
των παρακάτω εξισώσεων:
α)
β)  3x2  27 x  12  0
2 x2  8x  18  0
45. α) Μια εξίσωση 2ου βαθμού έχει ρίζα το 4.

.

β) Μια εξίσωση 2ου βαθμού έχει ρίζα το -2. Αν
Αν ισχύει P  4 να βρείτε το λόγο 
ισχύει S  3 να βρείτε τον λόγο

.

46. Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης:  x2 18x  21  0 με a  0
είναι 6. Να βρείτε:
α) τον αριθμό α
β) το γινόμενο των ριζών της παραπάνω εξίσωσης.
47. Αν x1 , x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2  3x  1  0
να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:
α) x1  x2
ε)
1 1

x1 x2
β) x1  x2
στ)
γ) x12  x22
x1 x2

x2 x1
ζ)
δ) x13  x23
1 1

x12 x22
48. Να βρείτε εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει
ρίζες τους αριθμούς:
α) 2 και 4
β) -3 και 5
δ) 1  2 και 1  2
ε)
2013-1014
3  2 και 2  3
γ)
στ)
1
και 1
2
5 1
1 5
και
2
2
18
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
49. Έστω x1 και x2 οι ρίζες της εξίσωσης  x  5x  2  0 .
2
Να βρείτε εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες
τους αριθμούς:
α) 3x1 και 3x2
γ)
1
1
και
x2
x1
β)  x1 και  x2
δ) x1 και x2
2
2
50. Δίνεται η εξίσωση x     1 x  2  6  0
2
1
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 έχει πραγματικές ρίζες
για κάθε τιμή της παραμέτρου λ.
β) Να βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση 1
έχει ρίζες:
i) αντίθετες
ii) αντίστροφες.
51. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση
 x2     7  x    6  0 έχει:
α) μια διπλή ρίζα
β) δυο ρίζες αντίστροφες
γ) δυο ρίζες αντίθετες
δ) δυο ετερόσημες ρίζες
ε) δυο θετικές ρίζες
στ) δυο αρνητικές ρίζες
52. Δίνεται η εξίσωση:  x  2 x    6  8  0
2
2
1
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 έχει πραγματικές ρίζες
για κάθε τιμή της παραμέτρου λ.
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ:
i) η εξίσωση 1 έχει αντίστροφες ρίζες
ii) το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης 1 είναι
τετραπλάσιο από το άθροισμά τους.
2013-1014
19
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Ασκήσεις (εξισώσεις που ανάγονται σε 2ου βαθμού)
53. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) x  2 x  3  0
β)  x  x  6  0
2
γ) x  8  2 x
2


2
δ) 3x  x  2  3 x  1 ε) x  4 x  5  0 στ)
2
2
 x 2   x  20  0
54. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) x  5x  4  0
β) 4 x  17 x  4  0
δ) x  6 x  8  0
ε) x  4 x  3  0
4
2
4
γ) x  7 x  8  0
2
6
στ)
3
x


x 2 3
55. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α)
 x  5
γ)
x
2
 2  x  5  3  0
β)
 3x   2  x 2  3x   8  0
δ)
2
2
 x  4  3 4  x   10  0
 x  1  x  1  2  0
2
2
56. Να λύσετε τις εξισώσεις:
3
6
 2
x  2 x  2x
3
2
2
γ)


2x  1 x  1 x
α) 1 
ε)
 x  1
4
x 1
1


x2  1 x  1 x  1
1
 2x
δ)
1
1
x
β)
2
2
 6 x  2x  1  8  0
2
2
2


στ)  x    5  x    4  0
x
x


57. Να λύσετε τις εξισώσεις:
2
2x
 2x 
40
α) 
 3
3 x
 x 3
 x  1  8x  8
30
γ) 4 
 
x 1
 x 1
1
ε)
 3x 2  2 x  2
2
3x  2 x
2
2013-1014
2
 2 x  10 x
60
β) 6 
 
 x 3 x 3
2
2
2


δ)  3x    12  3x    35  0
x
x


x2  3
2x
στ)
 2
2
2x
x 3
20
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
58. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) x  x  x  11x  10  0
2
x
2
2
β)
 5x  3  4  x 2  5x   15  0
2013-1014
2
21
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Ανισώσεις 1ου βαθμού
Οί ανισώσεις 1ου βαθμού έχουν μορφή ax    0 και  x    0
Τα βήματα με τα οποία τις λύνω είναι τα ίδια με τις εξισώσεις 1ου βαθμού.
Εξισώσεις και ανισώσεις 1ου βαθμού όμως έχουν ουσιαστικές διαφορές .
Παράδειγμα
(θα λύσω την εξίσωση
2
8  3x
x
5
4
4
8  3x
x
 5
4
4
8  3x
x
 24  4
 54  4
4
4
 8  8  3 x  20  x
 3 x  x  20  16
 2 x  4
2
2 x 4

2 2
 x  2

και την ανίσωση
2
8  3x
x
5 )
4
4
8  3x
x
 5
4
4
8  3x
x
 24  4
 5 4  4
4
4
 8  8  3 x  20  x
 3 x  x  20  16
 2 x  4
2
2 x 4

2 2
 x  2

διαφορές (στα βήματα):στις ανισώσεις όταν διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει η
φορά της ανίσωσης.
Επίσης στις ανισώσεις συνεχίζω με τον άξονα των αριθμών .
Ουσιαστικές διαφορές:

στις εξισώσεις βρίσκώ μια λύση ενώ στις ανισώσεις βρίσκω
άπειρες λύσεις οι οποίες ικανοποιούν όλες μια ιδιότητα (στο
παράδειγμα είναι όλες μεγαλύτερες του 2)

στις ΄΄ειδικές΄΄ περιπτώσεις των εξισώσεων έχω ότι
0 x  0 ταυτότητα
0 x   , β  0  ύ
ενώ στις ΄΄ειδικές΄΄ περιπτώσεις των ανισώσεων (δηλαδή αν ο
συντελεστής του αγνώστου είναι μηδέν)
πρέπει να σκεφτώ τι μου ΄΄λέει΄΄ η ανίσωση για να βγάλω
2013-1014
22
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
συμπέρασμα αν είναι αδύνατη ή αν όλοι οι αριθμοί
είναι λύση της.
Ανισώσεις με απόλυτα
Όταν η ανίσωσή μου έχει απόλυτη τιμή που περιέχει τη μεταβλητή μου τότε
πρέπει να κάνω όλες τις απαραίτητες εκείνες ιδιότητες των ανισοτήτων οι
οποίες θα φέρουνε την ανίσωσή μου στη μορφή π.χ
...  .... και στη συνέχεια να
απαλλαγώ απο το απόλυτο.
Παράδειγμα 1
Να λυθεί η ανίσωση x  4  2
Λύση
Από τις ιδιότητες των απολύτων τιμών έχω οτι
 x   με   0    x  
Άρα x  4  2  2  x  4  2  2  4  x  2  4  6  x  2
Δηλαδή η ανίσωση αληθεύει για x   6, 2
Παράδειγμα 2
Να λυθεί η ανίσωση 3x  4  1
Λύση
Απο τις ιδιότητες των απολύτων τιμών εχω οτι:
αν x   με θ  0  x   ή x  
Άρα 3x  4  1
 3x  4  1 ή 3x  4  1

3x  3 ή 3x  5

x 1
ήx
5
3
5
3


Δηλαδή η ανίσωση αληθεύει για x   ,1   ,  
2013-1014
23
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Παράδειγμα 3 (γενικό)
Να λυθεί η ανίσωση
x2
7
x
 2 x  4      1
3
6
2
Λύση
Για να μπορέσω να φτάσω την ανίσωση στο σημείο που μου δόθηκαν οι ανισώσεις στα προηγούμενα
παραδείγματα πρέπει πρώτα απ’ολα όπου εμφανίζεται απόλυτη τιμή
να έχω την ίδια ποσότητα μέσα της.Έτσι
2 x  4  2  x  2   2  x  2  2  x  2

x2
x
x 2
x  2
x2
1
1
1
1   

 
    x  2    x  2 
x2 
2
2 2
2
2
2
2
2
2
Οπότε η αρχική ανίσωση γίνεται:
x2
7 x2
2 x2  
3
6
2
x2
x2
7
6
 6  2 x  2  6   6
3
6
2
2 x  2  12 x  2  7  3 x  2
2 x  2  12 x  2  3 x  2  7
7 x  2  7
Απαλοιφή παρονομαστών με Ε.Κ.Π(2,3,6)=6
Χωρίζω γνωστούς απο αγνώστους
Αναγωγή ομοίων όρων
Διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου
(είναι αρνητικός άρα θα αλλάξει η φορά)
x  2 1
και τελικά όπως στα προηγούμενα παραδείγματα
για να απαλλαγώ απο την απόλυτη τιμη
x  2  1 ή x  2  1
x 1 ή x  3
Δηλαδή x   ,1  3,  
2013-1014
24
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Ανισώσεις 2ου βαθμού
H παράσταση ax   x   ,  0 λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού και
2
αναλόγως τη διακρίνουσά του παραγοντοποιείται και γίνεται:

αν   0
 x2   x      x  x1  x  x2 
 

 αν   0 ax   x      x 

2 

2
2
2

 
 

 αν   0  x   x      x 


2  4 2 

2
Είτε θέλω να βρώ το πρόσημο ενός τριωνύμου είτε θέλω να λύσω
μια ανίσωση 2ου βαθμου π.χ ax   x    0,  0 ακολουθώ τους
2
παρακάτω πίνακες (αναλόγως τη Διακρίνουσα του τριωνύμου).
Παράδειγμα
Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις
 x2  7 x  6  0 και 3x2  8x  3  0
2013-1014
25
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Λύση
Θα λύσω την κάθε μια ανίσωση χωριστά και στο τέλος θα κάνω συναλήθευση
 x2  7 x  6  0
2
2
Είναι     4  7  4  1 6   49  24  25  0
7  5
1
    7  5

2
Άρα x1,2 


7  5
2
2(1)
x2 
6
2
x1 
Εγώ θέλω  x  7 x  6  0 άρα
2
x  1,6 
για την ανίσωση 3x  8x  3  0
2
Είναι     4   8  4  3 3  64  36  100  0
2
2
8  10
3
      8  10
6
Άρα x1,2 


8  10
1
2
23
x2 

6
3
x1 
 1 
 3 
Άρα x    ,3 
   
1
3
Συναλήθευση
Άρα οι κοινές λύσεις είναι εκείνα
τα x  1,3
2013-1014
26
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Ασκήσεις στις Ανισώσεις
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ (ΑΠΛΕΣ – ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ)
1.
i)
iii)
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
ii)
2 x  3  15  x
iv)
7  2x  3  4x
5  4x   x  2
3 12 x  27  4 x
2.
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i) 3( x  2)  5( x  1)  3  2(3  x)
ii) 3(7  3x)  (8  7 x)   x 11( x  1)
iii) 2(4 x  5)  3( x  3)  5x  9(1  x) iv) 6( x  2)  (5  3x)  9( x  3)  2 x
v) ( x  2)2  2( x  2)2  25  ( x  1)2 vi) 4 x  ( x  1)2  8  ( x  3)  ( x  3)
3.
i)
iii)
v)
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
2x  5
5  2x
ii)
7
9  0
3
5
x x4
4 x
10 x  1 2 x  1 2 x  5 x  3
iv)

 2



3
6
4
24
8
4
2
2
3
x  ( x  3) x  (1  9 x) x
x  2 7( x  1) x  2 x  1
vi)





2
3
2
8
24
8
3
4.
Να βρείτε τις τιμές του
x για τις οποίες:
i)
η παράσταση   5  3( x  1) είναι μεγαλύτερη από το 1 .
ii)
η παράσταση   2( x  1)  5( x  2) είναι μικρότερη από το 6 .
iii)
η παράσταση   x  4( x  1) είναι το πολύ ίση με 2 .
iv)
η παράσταση   ( x  1)2  x( x  2) είναι τουλάχιστον ίση με 5 .
v)
η παράσταση   ( x  3)( x  3)  ( x  2)2 παίρνει τιμές στο
διάστημα (-1,3].
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΟΥ ΑΛΗΘΕΥΟΥΝ ΓΙΑ ΚΑΘΕ
x
5.
i)
iii)
v)
ή
ΕΙΝΑΙ ΑΔΥΝΑΤΕΣ
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
0 x  3
ii)
0  x  2
iv)
0 x  0
vi)
2013-1014
0  x  4
0 x  5
0 x  0
27
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
6.
i)
iii)
v)
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
ii)
0 x  4
iv)
0  x  2
vi)
0 x  0
7.
i)
iii)
v)
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
ii)
3x  5  4( x  1)  x
4( x  6)  2(3  x)  6( x  5)
iv)
x  6(2  x)  3x  4(3  x)
3( x  4)  4(2 x  1)  5( x  2)
2
vi)
5x(4 x  5)  (5x  3)  5x(1  x)
4 x  ( x  2)2  8  ( x  3)  ( x  3)
8.
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
1 4x  9
x 3 x 5 x 3
ii)
2( x  2)  


6
2
2
6
3
17 15  x
x 3
2 3  x x 1 3  2x
iv)

 x



4
2
2
5
2
10
5
7  3x 3  2 x x  2 5  x
x  1 1  x x 1 2x  1
vi)






12
3
4
6
16
2
16
4
i)
iii)
v)
0  x  1
0 x  5
0 x  0
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΟΥ ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΟΥΝ
–
ΔΙΠΛΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
9.
i)
ii)
iii)
iv)
Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων:
και
3( x  1)  2 x  x  1
2( x  3)  x  2
και 5x  12  2(7 x  3)
3x  2(1  x)  2 x  7
και 3( x  4)  7  5( x  1)
4( x  2)  6  2( x  3)
3(2  x)  8  9  4(3  x) και
13  5(2  x)  9  (6  5x)
10.
Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων:
1  3x
x  2 4  3x
και
2
0

2
2
5
1 x
4 x x4
και
1
x
1

2
4
8
4x  3
6
x x 5
και
x
 
5
15
4 2 4
2x  3
x 1
3x  15
και
 x
2( x  4) 
0
4
2
2
i)
ii)
iii)
iv)
2013-1014
28
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
11.
i)
ii)
iii)
iv)
12.
i)
iii)
v)
13.
i)
iii)
v)
εξισώσεις-ανισώσεις
Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των παρακάτω
ανισώσεων:
2 x  3( x 1)  x  1
5( x  5)  4( x  1)  6(1  3x)
1 2x 1
3

2
2
x  1 2( x  1) x  2 13



2
3
2
6
και
και
και
και
2( x  3)  x  2
3( x  2)  4( x 1)  3(2  x)
x  20 3x  30
6

7
7
2x 1
x  1 11
 2x 

4
2
4
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
ii)
5  2 x 1  9
2  6  2x  8
iv)
3  2( x  5)  9  7
4  2( x 1)  3(4  x)  11
x 1 5
x  3 2x 1
vi)
5 
 2
2 

1
3
6
4
6
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
ii)
3  5x  x  1  7 x  5
2( x 1)  3  x  3( x  1)
4  2x
3x  2
5  4( x  2)  2( x  3)  5(2  x)  4 x iv)
 2( x  1) 
3
2
x  5 5( x  3)
3(1  x)
1  3(2  x)
vi)

 x 1

 1 
3
6
2
2
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ
14.
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις για τις διάφορες τιμές της
i)
iii)
παραμέτρου  :
 x  6  3  2 x
2(  x 1)  (  3) x
(  2) x
x2
 1
3
3
v)
15.
ii)
iv)
vi)
 (2 x   )   ( x  4)
 ( x  4)  (  2)(  2)  4( x 1)
x   x   x  4


3
4
6
Δίνεται η ανίσωση: (  3) x  2(  2 x)  3(2  3x) .
Να βρείτε για ποιες τιμές των παραμέτρων λ και μ η
παραπάνω ανίσωση είναι αδύνατη.
16.
Δίνεται η ανίσωση:  ( x  2)  3(   x) .
Να βρείτε για ποιες τιμές των παραμέτρων λ και μ η
παραπάνω ανίσωση είναι αόριστη.
2013-1014
29
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
17.
εξισώσεις-ανισώσεις
Δίνεται η εξίσωση: x 
 ( x  1) 2 x  
2 x  1 3( x 1)

3
4
και η ανίσωση:
α)
x 2
 .
2
5
10 5
Να λύσετε την εξίσωση
β)
Να βρείτε για ποιες τιμές του μ η λύση της εξίσωσης


επαληθεύει την ανίσωση.
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ
18.
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i)
x 4
ii)
3x  6
iii)
x 3
iv)
2 x  10
v)
x4  2
vi)
x7  0
vii)
x  1  2
viii)
x3 8
ix)
x  1  12
x)
x5  0
xi)
x 9  0
xii)
x  3  3
19.
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i)
3x  6  6
ii)
5  2x  3  5
iii)
2x  4  2  3
iv)
5  2 x  5  0
v)
3
20.
x4
2
1
vi)
5
3
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
2 x4 4
i)
x  4 5 
iii)
7x  3
3 4 7x  3

 2
4
3
8
21.
2 3 x 3
ii)
3
iv)
15 x  2  9
2
x  21
6

8 x2 7
5
 x  21
3
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i)
x 1  2 x  2  5x  5  6
iii)
2x 1  2 
2013-1014
6x  3
8

4  8x  3
5
ii)
x  2  8  5x  10  4  2 x
iv)
8  2x  6 
3 x  4
2
30
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
22.
Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων:
i)
x 2
iii)
3x  6  9
23.
εξισώσεις-ανισώσεις
x 4
και
και
x  2 1
ii)
2x  3  5
και
x 1  1
iv)
5  2x  3
και
x 3 1
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i)
1 x 5  3
ii)
3  2x 1  5
iii)
5  3x  1  8
iv)
4  6  2 x  10
24.
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i)
x  3  2x  5
ii)
6  x  2x
iii)
4  x  2  3x
iv)
3
25.
x 3
 x2
2
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i)
x 3  x  2
ii)
x 1  x  4
iii)
2x 1  2 x  2
iv)
3  2x  2 x  3  0
v)
vii)
d ( x,3)  2
d (2 x, 1)  4d ( x,0)
vi)
viii)
d ( x, 4)  3
d ( x,3)  d ( x, 1)
26.
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i) 3 x  1  2 x  3  5 ii) 5 x  2  5  x  2 x iii)
27.
x 3
2
iv)
2 x 1
x 3
1
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
1
i)
28.
x 8
x 1  4  3
x  2  3  x 1  2  x  3  4
ii)
Δίνεται η εξίσωση: 2 x2  8x    2  0
α)

Να βρείτε για ποιες τιμές του  
η εξίσωση 
έχει πραγματικές ρίζες
β)
Έστω x1 , x2 οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης  .
Να βρείτε για ποιες τιμές του  
29.
Δίνεται η εξίσωση: x2  4 x    0
α)
ισχύει x1  x2  3

Να βρείτε για ποιες τιμές του  
η εξίσωση 
έχει πραγματικές ρίζες
β)
Έστω x1 , x2 οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης  .
Να βρείτε για ποιες τιμές του  
i.
2013-1014
x12  x22  3x1  3x2
ii.
ισχύουν :
x x
x1  x2  x1  x2  1 2
4
31
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
30. Δίνεται η εξίσωση: x2  4 x  2  0 και
έστω x1 , x2
οι πραγματικές ρίζες της.
α) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:
i. S  x1  x2
ii. P  x1  x2
iii. A 
1
1

x  x2 x1  x2 2
2
1
β) Για τις τιμές των παραστάσεων που βρήκατε, να λύσετε την
ανίσωση: x  A  x  P  S
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ – ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
31.
Να κάνετε τον πίνακα προσήμου των παρακάτω τριωνύμων:
i)
ii)
5 x 2  3x  2
 x2  x  2
1 2
iii)
iv)
4 x2  3
x x
2
v)
vi)
4 x2  4 x  1
 x2  2 x  1
vii)
viii)
x2  x  2
2 x2  x  1
1
 x2 
ix)
x)
2 x2  3
2
32.
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i)
ii)
5x2  x  4
2
iii)
iv)
( x  1)  x  4
v)
vii)
ix)
33.
(3x  2)2  9
x2  6 x  9  0
9 x2  6 x 1
3x 2  2 x  1
viii)
x)
5x2  2
x 1 
2
2
4x  9
1  2 x2  0
ii)
iv)
vi)
viii)
(5x  3)2  1
4 x2  4 x 1
x2  2 x 1
3x  1  5 x 2
Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων:
i) x 2  9 και x  2  x2
ii)
2
iii) 2 x  1 και x(1  2 x)  1 iv)
35.
vi)
x 2  3x
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i)
iii)
v)
vii)
34.
3x
 x2
2
x2  1
x2  3
x(1  2 x)  1
1  2 x  0 και x2  11x  10
x 2  16 και x 2  3x και x2  4 x  4
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i)
ii)
2 x  1  x 2  3x
iii)
iv)
3x  x 2  4
2013-1014
3x  2  2 x 2  x  1
x 1  x2  6x  9
32
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ
36.
Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i)
x2  5 x  6  0
ii)
(2 x  1)2  3 2 x  1  2  0
iii)
x2  4  x2  4
iv)
x 2  3x  3x  x 2
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
37.
Να βρείτε το πλήθος των ριζών των εξισώσεων για τις
διάφορες τιμές της παραμέτρου  :
38.
i) x2  (  1) x   2  1  0 ii) ( 1) x2  ( 1) x    0 ,   1
Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου  ώστε οι εξισώσεις να
έχουν ρίζες πραγματικές και άνισες:
39.
i) x2  (2 1) x  2  1  0 ii) (  1) x2  2 x    1 ,   1
Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου  ώστε οι τιμές του
τριωνύμου:  x2  2 x    3 (  0)
να διατηρούν σταθερό πρόσημο για κάθε x 
40.
.
Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου  ώστε οι τιμές του
τριωνύμου: (  1) x2  2(  1) x   (  1)
να είναι αρνητικές για κάθε x 
.
41.
Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου  ώστε οι τιμές του
1
τριωνύμου: (2  1) x 2  2 x  2  1 (  )
2
να είναι θετικές για κάθε x  .
42.
Αν   3 να δείξετε ότι για κάθε x 
οι τιμές του
τριωνύμου: 4 x2  8x   2  1 είναι αρνητικές .
43.
Αν 0    3 να δείξετε ότι για κάθε x 
οι τιμές του
τριωνύμου: x2   x   είναι θετικές .
44.
Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου  ώστε η ανίσωση:
 x2  (  1) x    3  0
45.
(  0) να αληθεύει για κάθε x 
.
Να δείξετε ότι η εξίσωση: x2   x    3 έχει δύο ρίζες
πραγματικές και άνισες για κάθε  
2013-1014
33
Φροντιστήρια ΄΄ΠΑΙΔΕΙΑ΄΄
εξισώσεις-ανισώσεις
Ιδρυτής: Παναγιώτης Χρ. Χρήστου
Συνεργάζονται – διδάσκουν :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΦΥΣΙΚΗ
Φάνης Γρ. Γκανάς
Θεολόγος Κ. Ζαχαράκης
Αρετή Λαΐου – Ζησοπούλου
Σωτήρης Παμπάλης
Γιάννα Αθανασίου – Κομματά
ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΑ
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
Παναγιώτης Κ. Ζαχαράκης
Χρύσα Οικονόμου
Άρτεμις Παπανικολάου
Αναστασία Κομματά
Σωτήρης Παιάνας
ΧΗΜΕΙΑ – ΒΙΟΛΟΓΙΑ
Ράνια Ζαχαράκη
Α.Ο.Θ. – Α.Ο.Δ.Ε.
Γεωργία Σκουμή
ΓΥΜΝΑΣΙΟ – ΛΥΚΕΙΟ – ΕΠΑΛ
Ιπποκράτους 2 , παλιό Δεσποτικό , Τρίκαλα
 24310 21626
e-mail: fr_pedia @ otenet.gr
internet:frontistiriopaideia.weebly.com
facebook: «Γενικά Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ Τρίκαλα»
2013-1014
34

Download Report