Απόφάσεις και Ανάλυση Κινδύνου

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
Ι. Κ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ
Περιεχόμενα
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ................................................................................................. 2
ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ................................................................................................................... 2
ΠΡΟΣΔΟΚΩΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ............................................................................................... 2
ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΛΕΙΔΙΑ................................................................................................................................ 2
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ .......................................................................................................... 3
1. Τύποι αποφάσεων................................................................................................................................. 4
2. Δένδρο αποφάσεων .............................................................................................................................. 4
3. Αντικειμενικές μεταβλητές................................................................................................................... 7
4. Πίνακας ανταμοιβών ............................................................................................................................ 7
5. Αναμενόμενη ανταμοιβή ...................................................................................................................... 9
6. Απώλεια ευκαιρίας ............................................................................................................................. 10
7. Αντιστρεπτή ανάλυση ........................................................................................................................ 14
ΑΣΚΗΣΗ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ) ........................................................................ 19
ΑΣΚΗΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 ................................................................................................................ 20
ΑΣΚΗΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 ................................................................................................................ 21
ΑΣΚΗΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 ................................................................................................................ 22
ΣΥΝΟΨΗ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ......................................................................................................................... 23
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.................................................................................................................................... 24
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ................................................................................... 25
ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ................................................................................................................. 25
ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ .............................................................................................. 25
ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ ................................................................................................................................ 25
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ........................................................................................................ 26
1. Χρησιμότητα και αβεβαιότητα ........................................................................................................... 27
2. Η χρησιμότητα είναι αύξουσα και φραγμένη ..................................................................................... 28
3. Φθίνουσα οριακή χρησιμότητα .......................................................................................................... 28
4. Γεωμετρική περιγραφή της u(x): κοίλη και αύξουσα......................................................................... 29
5. Το παράδειγμα της επένδυσης (συνέχεια) .......................................................................................... 30
6. Στάσεις στον κίνδυνο ......................................................................................................................... 33
7. Δείκτης μέτρησης στάσης κινδύνου ................................................................................................... 40
8. Μελέτη περίπτωσης 1: Ασφάλιση περιουσίας.................................................................................... 42
9. Μελέτη περίπτωσης 2: Διαχείριση χαρτοφυλακίου (Μαθηματική θεμελίωση της διασποράς του
κινδύνου) ................................................................................................................................................ 45
10. Αξιολόγηση πιθανοτήτων και χρησιμοτήτων................................................................................... 49
ΑΣΚΗΣΗ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ) ........................................................................ 51
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ................................................................................................................ 52
ΣΥΝΟΨΗ ............................................................................................................................................... 56
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.................................................................................................................................... 57
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ....................................................................................................................................... 58
ΠΙΝΑΚΑΣ Ι Συνάρτηση χρησιμότητας με σταθερή αποστροφή στον κίνδυνο ................................... 59
ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ Συνάρτηση χρησιμότητας με φθίνουσα αποστροφή στον κίνδυνο ................................ 61
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
2
ΕΝΟΤΗΤΑ 1
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ
Η ενότητα αυτή παρουσιάζει τυπικούς τρόπους για τη λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα.
ΠΡΟΣΔΟΚΩΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ
Με το πέρας της ενότητας θα είστε σε θέση να χρησιμοποιείτε τυπική ορολογία λήψης αποφάσεων και να επιλύετε προβλήματα που δίνονται υπό συνθήκες αβεβαιότητας. Δηλαδή να
αποφασίζετε μεταξύ πολλών επιλογών που προκαλούν διάφορες καταστάσεις (συνέπειες)
χρησιμοποιώντας υποκειμενικές πιθανότητες για κάθε κατάσταση.
ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΛΕΙΔΙΑ
•
Απόφαση
•
Αβεβαιότητα
•
Αναμενόμενη Ανταμοιβή
•
Ανταμοιβή
•
Αντικειμενική Μεταβλητή
•
Αντιστρεπτή Ανάλυση
•
Απώλεια Ευκαιρίας
•
Βεβαιότητα
•
Δένδρο Αποφάσεων
•
Θεωρία Αποφάσεων
•
Υποκειμενική Πιθανότητα
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
3
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
Υπάρχουν δύο είδη αβεβαιοτήτων σημειώνουν οι Chernoff και Mosses [1]. Ένα που υπόκειται στους νόμους της τυχαιότητας, όπως πχ το εξαγόμενο από τη ρίψη ενός νομίσματος. Για το άλλο είδος οι νόμοι της τυχαιότητας που ισχύουν δεν είναι γνωστοί, όπως π.χ.
το εξαγόμενο από τη ρίψη ενός κίβδηλου νομίσματος.
Τι μπορεί να γίνει για την περίπτωση όπου η φυσική κατάσταση είναι άγνωστη; Συνήθως
διεξάγομε σχετικά πειράματα και λαμβάνομε παρατηρήσεις. Το πλήθος όμως των παρατηρήσεων είναι δύσκολο να προσδιοριστεί.
Η παρούσα ενότητα εξηγεί με απλά παραδείγματα μερικούς τυπικούς κανόνες που βοηθούν τόσο την ορολογία όσο και τη στοιχειώδη μεθοδολογία της Θεωρίας Αποφάσεων.
Οι βασικές συνιστώσες της Θεωρίας Αποφάσεων είναι οι εξής:
Ένα πρόβλημα απόφασης υπάρχει όταν υπάρχει επιλογή μεταξύ διαφόρων δράσεων. Η
συνέπεια όταν αναλαμβάνομε μια από αυτές τις δράσεις πρέπει να εξαρτάται από τις καταστάσεις που διαμορφώνονται. Συνήθως η δυσκολία της απόφασης για κάποια δράση
έγκειται στο γεγονός ότι δεν είναι γνωστή η αληθής μέσα από ένα πλήθος πιθανών καταστάσεων που αναπαριστούν πραγματικότητες. Βοηθά τη λήψη απόφασης η δημιουργία
ενός πίνακα ανταμοιβών που μετρά το κόστος ανάληψης των δράσεων, για καθορισμένες
καταστάσεις. Απομένει να ορίσομε μια κατάλληλη μεθοδολογία για να επιλέξομε την
άριστη δράση αν οι καταστάσεις είναι γνωστές. Ένα ενδιάμεσο κρίσμο στάδιο στον υπολογισμό της άριστης δράσης είναι αυτό της εκτίμησης της πιθανότητας κάθε κατάστασης.
Οι πρώτες τέσσερις υποενότητες εξηγούν τις έννοιες δένδρο αποφάσεων, δράση ή επιλογή, κατάσταση, αντικειμενική μεταβλητή και πίνακα ανταμοιβών. Οι Υποενότητες 5 και
6 παρουσιάζουν δύο κριτήρια λήψης της άριστης απόφασης. Η Υποενότητα 7 δείχνει πώς
μια ακολουθία αποφάσεων διεκπεραιώνεται με μια δενδρική δομή που χρησιμοποιεί τις
τιμές των αντικειμενικών μεταβλητών, υποκειμενικές πιθανότητες και το κριτήριο της
μέσης απόδοσης για να καταλήξει στην άριστη απόφαση.
F:\Asus_laptop\myDocsE\APKY\ΒΙΒΛΙΟ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ MNGT e-learn\kef1-1_abebaiothta-risk_APKY.doc
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
4
1. Τύποι αποφάσεων
Οι τύποι αποφάσεων διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες σύμφωνα με το διάγραμμα που
ακολουθεί:
Αποφάσεις υπό βεβαιότητα
έχομε όλη την πληροφορία
και μπορούμε να υπολογίσουμε το εξαγόμενο από κάθε
απόφαση π.χ. ένα πρόβλημα
γραμμικού προγραμματισμού.
Αποφάσεις υπό σύγκρουση
παίρνουμε υπ' όψη τις αποφάσεις του ανταγωνιστή π.χ.
παίγνια.
Αποφάσεις υπό αβεβαιότητα
παίρνουμε υπ' όψη μας την
τύχη (στοχαστικότητα) π.χ. θα
βρέξει ή δεν θα βρέξει; Ίσως
το ιστορικό παρελθόν να βοηθούσε στη λήψη απόφασης.
Εδώ αναπτύσσεται η
Θεωρία Αποφάσεων.
Άσκηση 1
Αναφέρατε τρία προβλήματα αποφάσεων, ένα ανά κατηγορία.
2. Δένδρο αποφάσεων
Ένα δένδρο αποφάσεων είναι ένας τρόπος να παριστάνομε πιθανές επιλογές και τα εξαγόμενα αυτών πριν λάβομε μια νοήμονα (ευφυή) απόφαση. Στο ακόλουθο δένδρο αποφάσεων για την προώθηση ενός προϊόντος θεωρούμε k διαδικασίες (δηλαδή διαθέτομε
k επιλογές ή δράσεις) για να επιλέξομε εξ αυτών, ας τις πούμε Α1, Α2,...,Αk. Για κάθε διαδικασία υπάρχουν διαφορετικά εξαγόμενα ή καταστάσεις, ας τις πούμε Β1, Β2,...,Βm.
Παραδείγματος χάριν, Β1 μπορεί να σημαίνει μεγάλες πωλήσεις, Β2 μηδαμινές πωλήσεις
κ.ο.κ. Η κατάσταση είναι ένα τυχαίο αποτέλεσμα, μη προβλέψιμο εκ των προτέρων,
όπως μια ζαριά ή ο καιρός. Παραδείγματος χάριν, για την προώθηση ενός προϊόντος θεωρούμε το δένδρο αποφάσεων του Διαγράμματος 1.
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ AΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
5
Α1
Α2
Προώθηση
Προϊόντος
Α3
.
.
.
Αk
Διάγραμμα 1. Διαφορετικές επιλογές ( Ai , i = 1, 2,… , k ) για την προώθηση ενός προϊόντος
Ένα δένδρο μπορεί να αναλυθεί σε κλάδους, οι οποίοι δείχνουν επιλογές και καταστάσεις
εναλλάξ, και οι οποίες σχηματικά δείχνονται στο Διάγραμμα 2.
Άσκηση 2
1. Αν k=3, m=2 και n=3 πόσες εναλλακτικές καταστάσεις δημιουργούνται στο τέλος των φύλλων του δένδρου αποφάσεων;
2. Σχεδιάστε ένα δένδρο αποφάσεων σχετικό με τον καιρό και τα ρούχα που φορούμε.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
6
C1
C2
Β1
C3
Β2
C4
Β3
Α1
C5
C6
C7
Β4
C8
Α2
Β5
.
.
.
Αk
.
.
.
C9
C10
.
.
.
C11
Cn-5
Βm −1
Cn-4
Cn-3
Βm
Cn-2
Cn-1
Cn
Διάγραμμα 2. Καταστάσεις B j ως αποτέλεσμα των επιλογών Ai καθώς και περαιτέρω
επιλογές Ck .
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ AΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
7
3. Αντικειμενικές μεταβλητές
-
Πώς αποφασίζομε αν κάποιο εξαγόμενο είναι αποδοτικότερο κάποιου άλλου;
Χρειαζόμαστε έναν ποσοτικό τρόπο σύγκρισης που θα διευκόλυνε την απόφασή μας και
έτσι εισάγομε την έννοια της αντικειμενικής μεταβλητής. Μια αντικειμενική μεταβλητή
είναι μια μεταβλητή που προσπαθούμε να μεγιστοποιήσομε ή να ελαχιστοποιήσομε όταν
λαμβάνομε μια απόφαση.
Οι αντικειμενικές μεταβλητές δίνουν ένα τρόπο σύγκρισης των καταστάσεων που έχει
την ίδια σημασία γι’ αυτούς που αποφασίζουν. Μια αντικειμενική μεταβλητή μπορεί να
εκφράζει κέρδος, παραγωγή ή κάποια άλλη ποσότητα, αλλά όχι ποιοτικές περιγραφές.
Άσκηση 3
Γράψτε έξι αντικειμενικές μεταβλητές.
4. Πίνακας ανταμοιβών
Στα απλούστερα δένδρα αποφάσεων έχομε ένα επίπεδο επιλογών και ένα επίπεδο καταστάσεων. Το δένδρο αποφάσεων επιπέδου 1 αναπαρίσταται πινακοποιημένα ως εξής:
Καταστάσεις (Συνέπειες)
Επιλογές (Δράσεις)
Β1
Β2
…
Βm
A1
A2
Ak
Τα κελιά του πίνακα αυτού γεμίζουν με τιμές x ij
(τιμή της i–επιλογής και της j–
κατάστασης) της αντικειμενικής μεταβλητής x που χρησιμοποιούμε. Δημιουργείται έτσι
ο πίνακας ανταμοιβών, όπως παραδείγματος χάριν αυτός που ακολουθεί.
Πίνακας 1. Πίνακας ανταμοιβών
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
8
Β1
Β2
Β3
Β4
Β5
Α1
3
8
3
7
1
Α2
3
7
3
6
6
Α3
1
1
2
3
5
Α4
0
2
1
2
4
Υποδεέστερες ή κυριαρχούμενες επιλογές απορρίπτονται, όπου η Αi είναι υποδεέστερη
της A j αν-ν xik ≤ x jk
για κάθε k (στήλη, κατάσταση).
Στο παράδειγμά μας η Α4 είναι υποδεέστερη της Α2 και ο Πίνακας 1 ανάγεται στον Πίνακα 2.
Πίνακας 2. Πίνακας ανταμοιβών μετά την απόρριψη υποδεέστερων επιλογών του Πίνακα 1
Β1
Β2
Β3
Β4
Β5
Α1
3
8
3
7
1
Α2
3
7
3
6
6
Α3
1
1
2
3
5
Άσκηση 4
Δίνεται ο ακόλουθος πίνακας ανταμοιβών με τη συνήθη σημειολογία:
B1
B2
B3
B4
A1
4
3
6
0
A2
5
7
7
10
A3
6
0
9
5
Να αναχθεί σε απλούστερη μορφή απορρίπτοντας υποδεέστερες επιλογές.
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ AΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
9
5. Αναμενόμενη ανταμοιβή
Επειδή η κατάσταση που θα προκύψει είναι αβέβαια, συχνά αποδίδομε κάποια πιθανότητα στην εμφάνιση αυτής της κατάστασης. Παραδείγματος χάριν, για τις καταστάσεις του
Πίνακα 1 αποδίδομε τις ακόλουθες πιθανότητες.
Κατάσταση
Β1
Β2
Β3
Β4
Β5
άθροισμα
Πιθανότητα
0.1
0.07
0.6
0.03
0.2
1
pi εκτιμητής εμφάνισης κατάστασης
Η αναμενόμενη τιμή της αντικειμενικής μεταβλητής x1 j για δοθείσα επιλογή, έστω την
Α1 του Πίνακα 1, είναι
E ( x1 j ) = 3 × 0.1 + 8 × 0.07 + 3 × 0.6 + 7 × 0.03 + 1 × 0.2 = 3.07
Ομοίως,
E ( x2 j ) = 3.97
E ( x3 j ) = 2.46
E ( x4 j ) = 1.6
Θυμόμαστε ότι η Α4 είναι υποδεέστερη της Α2 και ως εκ τούτου δεν χρειάζεται να υπολογισθεί η E ( x4 j ) η οποία έδωσε τη μικρότερη αναμενόμενη τιμή.
Ονομάζομε την E ( xij ) αναμενόμενη ανταμοιβή και διά συγκρίσεως βρίσκομε τη μέγιστη αναμενόμενη ανταμοιβή (συντομογραφικά ΜΑΑ), εν προκειμένω την E ( x2 j ) , η
οποία αντιστοιχεί στην επιλογή Α2. Αυτό αποτελεί κριτήριο για τη λήψη μιας απόφασης
και υπάρχουν αρκετά άλλα κριτήρια επίσης.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
10
Άσκηση 5
Δίνεται ο πίνακας ανταμοιβών
Β1
Β2
Β3
Β4
Β5
Α1
3
–3
11
8
9
Α2
9
6
6
7
12
Α3
8
20
12
12
10
Α4
9
2
–3
5
3
Βρείτε ποια επιλογή θα προτείνει το κριτήριο ΜΑΑ αν ο πίνακας πιθανοτήτων των καταστάσεων Βi είναι
pi
3
2
15
15
4
4
15
2
15
15
6. Απώλεια ευκαιρίας
Ορίζομε ως απώλεια ευκαιρίας (AE) του Αi στο B j τη διαφορά { max xkj − xij }, όπου ο
k
δείκτης k διατρέχει τις γραμμές του πίνακα ανταμοιβών. Από τον Πίνακα 1 βρίσκομε τα
μέγιστα στοιχεία ανά γραμμή:
max
Β1
Β2
Β3
Β4
Β5
3
8
3
7
6
Οπότε σχηματίζομε τον Πίνακα 3 που παρουσιάζει τις απώλειες ευκαιριών βάσει των
διαφορών που αναφέραμε:
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ AΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
11
Πίνακας 3. Απώλειες Ευκαιριών
Β1
Β2
Β3
Β4
Β5
Α1
0
0
0
0
5
Α2
0
1
0
1
0
Α3
2
7
1
4
1
Α4
3
6
2
5
2
Ο πίνακας αυτός δείχνει τί καλύτερο θα μπορούσαμε να κάνουμε για μια δεδομένη κατάσταση.
Η αναμενόμενη απώλεια ευκαιρίας για την επιλογή Α1, χρησιμοποιώντας τις ίδιες πιθανότητες με αυτές στην αναμενόμενη ανταμοιβή παραπάνω είναι
= 0 × 0.1 + 0 × 0.07 + 0 × 0.6 + 0 × 0.03 + 5 × 0.2
=1
και συμβολίζεται με Ε(ΑΕ)1=1. Ομοίως,
E(AE)2=0.1
E(AE)3=1.61
E(AE)4=2.47
Διά συγκρίσεως βρίσκομε την ελάχιστη αναμενόμενη απώλεια ευκαιρίας, εν προκειμένω την E ( AE ) 2 , και αυτό αποτελεί το κριτήριο ελάχιστης αναμενόμενης απώλειας
ευκαιρίας (min AAE). Φανερά και τα δύο κριτήρια, αυτό δηλαδή της ελάχιστης αναμε-
νόμενης απώλειας ευκαιρίας και αυτό της μέγιστης αναμενόμενης ανταμοιβής, έδειξαν
την επιλογή Α2. Παρατηρούμε ότι E ( AE ) 2 + E ( x2 j ) 2 = 4.07 και ότι αυτό γενικεύεται
για κάθε επιλογή, ως εξής:
Ε( xij )
E(ΑE)
Άθροισμα
1
3.07
1
4.07
2
3.97
0.1
4.07
3
2.46
1.61
4.07
4
1.60
2.47
4.07
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
12
Γενικά παρατηρούμε ότι το άθροισμα της αναμενόμενης ανταμοιβής και της απώλειας
ευκαιρίας είναι η αναμενόμενη ανταμοιβή υπό βεβαιότητα. Επομένως,
4.07 = E ( AE ) + E ( xij )
= ∑ p j × ( AE του Ai στο B j ) +
j
= ∑ p j [max xkj − xij ] +
k
j
∑p x
j ij
j
∑p x
j ij
j
= ∑ p j max xkj
j
k
= αναμενόμενη ανταμοιβή υπό βεβαιότητα
Άρα ο Πίνακας 1 και οι πιθανότητες που χρησιμοποιήσαμε δίνουν
max X kj
3
8
3
7
6
pj
0.1
0.07
0.6
0.03
0.2
0.3
0.56
1.8
0.21
1.2
k
γινόμενο
Το άθροισμα των γινομένων αυτών των δύο γραμμών είναι 4.07, δηλαδή η αναμενόμενη
ανταμοιβή υπό βεβαιότητα.
Παράδειγμα
Δίνεται ο πίνακας ανταμοιβής με πιθανότητες
−
Β1
Β2
Β3
Β4
Β5
Α1
1
8
7
2
0
Α2
3
5
3
6
4
Α3
8
9
7
9
5
Α4
6
1
4
2
3
pj
0.01
0.4
0.32
0.05
0.22
Ποια είναι η αναμενόμενη ανταμοιβή υπό βεβαιότητα;
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ AΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
13
Απάντηση
Έχομε
max X kj
8
9
7
9
5
k
Το οποίο δείχνει την επιλογή Α3. Άρα η αναμενόμενη ανταμοιβή υπό βεβαιότητα δίνει
8 × 0.01 + 9 × 0.4 + 7 × 0.32 + 9 × 0.05 + 5 × 0.22 = 7.47
−
Ποιος ο πίνακας απώλειας ευκαιριών;
Απάντηση
Α1
7
1
0
7
5
Α2
5
4
4
3
1
Α3
0
0
1
0
0
Α4
2
8
3
7
2
0.01
0.4
0.32
0.05
0.22
pj
Η επιλογή Α3 δίνει E ( AE )3 = 0 + 0 + 1× 0.32 + 0 + 0 = 0.32 που είναι η ελάχιστη αναμενόμενη απώλεια ευκαιρίας.
Άσκηση 6
Δίνεται ο πίνακας ανταμοιβής με πιθανότητες
Β1
Β2
Β3
Β4
Β5
Α1
3
7
4
3
5
Α2
2
2
4
4
0
Α3
6
1
5
8
10
Α4
3
8
9
9
0
pj
0.02
0.3
0.09
0.04
0.55
Ποια είναι η αναμενόμενη ανταμοιβή υπό βεβαιότητα; Ποιος ο πίνακας απώλειας ευκαιριών;
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
14
7. Αντιστρεπτή ανάλυση
Υποθέτομε τα ακόλουθα:
•
Δίνεται το δένδρο αποφάσεων (διαδικασία και καταστάσεις).
•
Γνωρίζομε την πιθανότητα κάθε κατάστασης (από εκτίμηση).
•
Γνωρίζομε την τιμή της αντικειμενικής μεταβλητής στο τέλος ενός κλάδου.
•
Χρησιμοποιούμε το κριτήριο μέγιστης αναμενόμενης ανταμοιβής για τις επιλογές
μας (λήψη απόφασης) σε κάθε επίπεδο.
Αν σ’ οποιοδήποτε επίπεδο, γνωρίζουμε τις αναμενόμενες ανταμοιβές για κάθε επιλογή,
τότε με το προαναφερόμενο κριτήριο κάνομε την επιλογή μας. Ακολουθεί ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα
Δίνεται το δένδρο αποφάσεων με τις τιμές των αντικειμενικών μεταβλητών και τις πιθανότητες να εμφανίζονται πάνω στους κλάδους
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ AΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
15
1/2
C1
C2
C3
1/4
Α1
1/4
C4
C5
Β4
2/3
C6
Α2
1/3
Β5
1
2/3
1/3
Β2
Β3
1
D2
2
D3
3
C1
1/2
Β1
1/2
D1
1
1
3/2
Β1
D4
2
D5
0
D6
5
D7
3
1
D8
2
C7
1
D9
1
C8
1
D10
3
C2
3
1/2
C3
1/4
Α1
1/4
4/3
Β2
Β3
C4
5
C5
3
2/3
Β4
C6
2
Α2
C7 1
1/3
C8 1
Β5
C9 7
C9
1/2
1
Β6
Α3
C10
1/4
1/2
D11
7
D12
2
Α3
C10
5/4
1/2
3/4
1/2
Β6
D13
1
Β7
Β7
C11
C11
1
2
D14
2
Διάγραμμα 3 Δένδρο αποφάσεων με τιμές των αντικειμενικών μεταβλητών
Διάγραμμα 4 Δένδρο αποφάσεων που
προήλθε από το δένδρο αποφάσεων του
Διαγράμματος 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
16
Στο Διάγραμμα 3, υπολογίζομε τις αναμενόμενες ανταμοιβές για κάθε Ci :
Επιλέγομε
C2 υπεράνω C1, άρα στο Β1 η ανταμοιβή είναι 3
C3 εξ ορισμού, άρα στο Β2 η ανταμοιβή είναι 4/3
C4 υπεράνω C5, άρα στο Β3 η ανταμοιβή είναι 5
C6 υπεράνω C7, άρα στο Β4 η ανταμοιβή είναι 2
C8 εξ ορισμού, άρα στο Β5 η ανταμοιβή είναι 3
C9 εξ ορισμού, άρα στο Β6 η ανταμοιβή είναι 7
C11 υπεράνω C10, άρα στο Β7 η ανταμοιβή είναι 2
Επομένως, λαμβάνομε το δένδρο
3
Β1
1/2
Β2
1/4
Α1
4/3
Β3
1/4
5
2/3
Β4
2
Α2
1/3
Β5
3
7
1/2
Β6
Α3
1/2
Β7
2
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ AΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
17
Λαμβάνοντας υπόψη τις πιθανότητες ανά κλάδο, υπολογίζομε τις αναμενόμενες ανταμοιβές στους κόμβους Αi. Παραδείγματος χάριν,
Ε(Α1)=3×1/2 + 4/3×1/4 + 5×1/4 = 3.083
Ομοίως για τους άλλους κόμβους, οπότε λαμβάνομε
A1
3.083
A2
7/3
Α3
9/2
Επιλέγομε την Α3.
Επομένως είμαστε στην τελευταία στρατηγική:
−
Επιλέξαμε την Α3
−
Αν εμφανισθεί η Β6, επιλέγομε τη C9
−
Αν εμφανισθεί η Β7, επιλέγομε τη C11
−
Αναμένομε ανταμοιβή ίση προς 9/2.
Σχηματικά έχομε το διάγραμμα
B6
C9
D11
1/2
7
Α3
1/2
7×
B7
C11
D14
1
1 9
+ 2⋅ =
2
2 2
2
Στο τέλος της διαδικασίας είναι απαραίτητος ο έλεγχος ακριβείας των δεδομένων, διότι
για ένα μεγάλο δένδρο αποφάσεων που διεκπεραιώνεται σε υπολογιστή εισάγονται υπολογιστικά σφάλματα.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
18
Άσκηση 7
Με αντιστρεπτή ανάλυση να βρείτε την αναμενόμενη (άριστη στρατηγική), βασιζόμενοι
στο δένδρο αποφάσεων που ακολουθεί.
1
D1
1/3
2/3
C1
1/2
Α1
C3
3
1/2 D4
5
1
1/2
D5
1
C4
C5 1/2
B2
1/2
C6
1
B3
1/4
C7
2/5
3/5
Α2
3/4
2
D3
1/2
C2
Β1
D2
C8 1/6
3
D6
1
D7
2
D8
3
D9
4
D10
5
D11
D12
6
1
5/6
B4
D13 2
C9
1
D14
2
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ AΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
19
ΑΣΚΗΣΗ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ)
α) Η αντικειμενική μεταβλητή συγκρίνει επιλογές. (..........)
β) Η αντικειμενική μεταβλητή συγκρίνει καταστάσεις. (..........)
γ) Το σκάκι είναι παίγνιο αβεβαιότητας. (..........)
δ) Ο πίνακας αμοιβών περιέχει την τιμή της αντικειμενικής μεταβλητής που θα επέλθει
από κάθε πιθανή απόφαση και κάθε πιθανή κατάσταση που θα προκαλέσει η απόφαση
αυτή. (..........)
ε) Η μέγιστη αναμενόμενη ανταμοιβή ισούται προς την ελάχιστη αναμενόμενη απώλεια
ευκαιρίας. (..........)
στ) Το άθροισμα της αναμενόμενης ανταμοιβής και της απώλειας ευκαιρίας ισούται προς
την αναμενόμενη ανταμοιβή υπό βεβαιότητα. (..........)
ζ) Οι πιθανότητες είναι αντικειμενικές εκτιμήτριες. (..........)
η) Οι πιθανότητες είναι υποκειμενικές εκτιμήτριες. (..........)
θ) Στο δένδρο αποφάσεων επιλογές και καταστάσεις εναλλάσσονται. (..........)
ι) Οι επιλογές δίνονται υπό πιθανότητα. (..........)
κ) Οι καταστάσεις δίνονται υπό πιθανότητα. (..........)
κα) Το άθροισμα πιθανοτήτων πρέπει να αθροίζει στη μονάδα. (..........)
κβ) Αποκλείομε μια υποδεέστερη επιλογή, διότι η αναμενόμενη ανταμοιβή υπολείπεται
των άλλων. (..........)
κγ) Αποκλείομε μια υποδεέστερη επιλογή, διότι οι τιμές της αντικειμενικής μεταβλητής
δεν είναι μεγαλύτερες κάποιας άλλης. (..........)
κδ) Υπάρχει τρόπος εξεύρεσης των πιθανοτήτων δεδομένων καταστάσεων. (..........)
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
20
ΑΣΚΗΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
Δίνεται ο πίνακας ανταμοιβών
Β1
Β2
Β3
Β4
Β5
Α1
5
7
26
9
29
Α2
12
8
5
7
13
Α3
9
23
15
24
9
Α4
22
–3
–7
3
4
Ποια επιλογή θα προτείνει το κριτήριο μέγιστης αναμενόμενης ανταμοιβής, αν ο πίνακας
πιθανοτήτων των καταστάσεων Bi είναι
pi
Β1
Β2
Β3
Β4
Β5
1/5
3/15
5/15
5/15
1/15
Ποια επιλογή θα προτείνει το κριτήριο ελάχιστης απώλειας ευκαιρίας χρησιμοποιώντας
τον ανωτέρω πίνακα πιθανοτήτων;
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ AΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
21
ΑΣΚΗΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2
Απαντείστε βάσει της θεωρίας:
α) Πως προσδιορίζεις τις πιθανότητες στα προβλήματα αποφάσεων;
β) Πως προσδιορίζονται οι υποδεέστερες επιλογές;
γ) Ποια είναι η τιμή ενός δένδρου αποφάσεων;
δ) Αν δύο αποφάσεις προσδιορίζουν την ίδια αναμενόμενη απόδοση, πως θα επιλέξεις
μεταξύ τους;
ε) Θεωρείστε δύο μετοχές που η μία είναι πολύ ασφαλής και η άλλη πολύ επικίνδυνη. Με
ποια κριτήρια θα επέλεγες μία εξ αυτών;
στ) Με ποιο τρόπο η αντιστρεπτή ανάλυση εξαρτάται από το κριτήριο της μέγιστης αναμενόμενης ανταμοιβής;
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
22
ΑΣΚΗΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3
Βρείτε άριστες στρατηγικές με αντιστρεπτή ανάλυση στο ακόλουθο δένδρο αποφάσεων
και προσδιορίστε σε κάθε περίπτωση την αναμενόμενη ανταμοιβή.
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΥΠΟ AΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ
23
ΣΥΝΟΨΗ ΕΝΟΤΗΤΑΣ
Απόφαση υπό αβεβαιότητα σημαίνει να λαμβάνομε υπόψη μας την αβεβαιότητα των καταστάσεων που πιθανόν δημιουργηθούν λόγω μιας επιλογής μας. Ορίζομε για κάθε κατάσταση μια υποκειμενική πιθανότητα και αποφασίζομε να ακολουθήσομε εκείνη την
επιλογή που δίνει τη μέγιστη αναμενόμενη ανταμοιβή ή την ελάχιστη αναμενόμενη απώλεια ευκαιρίας. Και οι δύο αυτοί τρόποι οδηγούν στην ίδια επιλογή και βασίζονται στην
υποκειμενική κρίση αυτού που λαμβάνει την απόφαση. Είναι κανόνες απλοί, κατανοητοί
και ποσοτικοποιημένοι.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
24
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. Chernoff, H. & L.E. Moses. Elementary Decision Theory. Dover Pub., Inc., N.Y. (α-
νατύπωση J. Wiley & Sons, Inc.) 1959.
2. Downing, D.,J. Clank & G.T. Friedlob, Quantitative Methods. Barron’s Educational
Series, Inc. 1988
3. Fabrycky, W.L., G.J., Thuesen, andD Verna. Economic Decision Analysis, 3rd Edi-
tion. Prentice Hall, New Jersey, 1998.
4. Lindley, D.V. Making Decisions, 2nd Edition. J. Wiley & Sons, London, 1985.
5. Markland. R.E. Topics in management science, 3rd ed. Wiley, 1989.
6. Raiffa, H. Decision Analysis, Introductory Lectures on Choices under Uncertainty.
Addison-Wesley Pub. Co., Massachusetts, 1970.
7. Varian, H.R., Microeconomic Analysis. W.W. Norton & Company, N.Y., 1992.
8. Von Winterfeldt and W. Edwards Decision Analysis and Behavioral Research. Cam-
bridge University Press, Cambridge, England, 1986.
9. Watson S.R., and D.M. Buede Decision Synthesis. The Principles and Practices of
Decision Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1989.
10. French S. Decision Theory, an Introduction to the Mathematics of Rationality. Ellis
Horwood Ltd, Chisester, 1986.
25
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
ΕΝΟΤΗΤΑ 2
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ
Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να δώσει μια ποσοτική ερμηνεία στο νόημα της χρησιμότητας και να εξηγήσει τις στάσεις κάποιου έναντι του κινδύνου που επάγεται από τη
λήψη μιας απόφασης.
ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ
Με το πέρας της ενότητας θα έχετε κατανοήσει:
•
Το νόημα της συνάρτησης χρησιμότητας
•
Πώς τυποποιούνται οι στάσεις στον κίνδυνο για κάποιον που αποφασίζει
•
Ένα μέτρο κινδύνου
•
Ένα μικρό πρόβλημα επενδύσεων
•
Γιατί οι ασφαλιστικές εταιρείες αναλαμβάνουν τον κίνδυνο των ασφαλίσεων.
ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ
•
Απόφαση
•
Κοίλη συνάρτηση
•
Ασφάλιση
•
Κυρτή συνάρτηση
•
Γραμμική συνάρτηση
•
Συνέπεια (κατάσταση)
•
Επένδυση
•
Τίμημα (premium)
•
Κίνδυνος (αδιάφορος, ενάντιος, επιρ-
•
Χρησιμότητα (utility)
ρεπής, μέτρο, στάσεις)
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
26
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
Η χρησιμότητα είναι ένας αριθμός που μετρά την ευχαρίστηση από τη συνέπεια μιας απόφασης υπό αβεβαιότητα. Όσο πιο ψηλά είναι η χρησιμότητα, τόσο πιο μεγάλη είναι η ευχαρίστηση. Σ’ αυτή την ενότητα θα ορίσομε μαθηματικώς τη συνάρτηση χρησιμότητας και θα
θεωρήσομε χρηματοοικονομικές συνέπειες των αποφάσεων που θα λαμβάνομε. Με ένα παράδειγμα θα εξηγήσομε πώς αξιολογείται η απόφαση της ανάληψης μιας επένδυσης.
Στις πρώτες πέντε υποενότητες θα παρουσιάσομε μια κατηγοριοποίηση των στάσεων στον
κίνδυνο ενός λήπτη αποφάσεων και στις υποενότητες 6 και 7 θα δείξομε ότι είναι δυνατό να
μετρηθούν οι στάσεις αυτές. Μια στάση μπορεί να είναι ενάντια, επιρρεπής ή ουδέτερη στον
κίνδυνο και αυτό επιτρέπει περαιτέρω ποσοτικοποίηση του τιμήματος που είμαστε διατεθειμένοι να πληρώσουμε για να ασφαλιστούμε έναντι του κινδύνου. Είναι ενδιαφέρον ότι οι μαθηματικές δομές της κοιλότητας, κυρτότητας και γραμμικότητας μιας συνάρτησης αντιστοιχούν στις προαναφερόμενες στάσεις και βοηθούν την ανάλυσή μας για την ποσοτικοποίηση
των συναρτήσεων χρησιμότητας. Οι υπενότητες 8 και 9 παρουσιάζουν δύο μελέτες περίπτωσης. Η πρώτη μελέτη περίπτωσης εκθέτει τους τρόπους τοποθέτησης ασφαλιζόμενου και ασφαλιστή και εξηγεί το σκεπτικό κάθε πλευράς ως προς την ασφάλιση. Η δεύτερη μελέτη
περίπτωσης αναλύει τη διαχείριση ενός χαρτοφυλακίου ως προς τον κίνδυνο που αναλαμβάνει ο επενδυτής. Στη δέκατη υποενότητα, εκκινώντας από τη θεώρηση του Frank Ramsey
(1903-1930), καταλήγομε ότι ο συνδυασμός πιθανοτήτων και χρησιμοτήτων με κριτήριο τη
μέγιστη αναμενόμενη χρησιμότητα οδηγεί σε ορθολογική απόφαση.
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
27
1. Χρησιμότητα και αβεβαιότητα
Η χρησιμότητα είναι ένας αριθμός που μετρά την ευχαρίστηση από τη συνέπεια μιας απόφασης υπό αβεβαιότητα. Η μέτρηση γίνεται σε κλίμακα πιθανοτήτων. Η ευχαρίστηση μπορεί να
προέλθει από έναν περίπατο, μια ορειβασία, μια επίσκεψη σε ένα μουσείο, ένα δώρο και
πράγματα που είναι δύσκολο να ποσοτικοποιηθούν. Περιοριζόμαστε ωστόσο σε καταστάσεις
που έχουν στοχαστικό χαρακτήρα. Θα ξεκινήσομε με ένα αριθμητικό παράδειγμα από τον
Lindley (1985:σ.72) που συναντάται σε περιπτώσεις στοιχημάτων, επενδύσεων, ασφαλειών
κ.λ.π.
Παράδειγμα 1
Επενδύομε c χιλιάδες ευρώ για 3 μήνες. Υποθέτομε ότι στο τέλος της περιόδου αυτής, το ποσόν είτε αυξάνεται σε c + 100 είτε μειώνεται σε c − 100 . Δηλαδή υπάρχουν δύο αβέβαια
γεγονότα, θ1 και θ 2 αντίστοιχα.
Αν θεωρήσομε δύο αποφάσεις, επένδυση d1 και αποταμίευση d 2 , τότε έχομε ένα από τα
προβλήματα απόφασης οι συνέπειες του οποίου περιγράφονται στον Πίνακα. 1.
Πίνακας 1 Απλό πρόβλημα απόφασης
Συνέπεια
Δράση
d1 Επένδυση
d 2 Αποταμίευση
θ1: αύξηση τιμής
θ2: μείωση τιμής
c + 100
c − 100
c
c
Στα ποσά του Πίνακα 1 αντιστοιχούμε τις τιμές χρησιμότητας u (c + 100) , u (c − 100) , u (c)
όπου η u ( x) είναι μια συνάρτηση χρησιμότητας για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Το εξής
ερώτημα τίθεται αμέσως:
-Πώς περιγράφεται η u ( x) ; Δηλαδή ποια είναι η αναγκαιότητα της u ( x) και τι είδους αξιώματα πρέπει να πληροί ώστε να είναι χρήσιμη σε πρακτικές εργασίες;
28
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
Άσκηση 1
Ορίστε έναν πίνακα αποφάσεων με τέσσερα αβέβαια γεγονότα (ασθένειες, Α) και τρεις αποφάσεις (θεραπευτικές αγωγές, t). Ο γιατρός μπορεί να υποδείξει οποιαδήποτε αγωγή και αν
αποτύχει να υποδείξει μιαν άλλη, και αν και οι δυο αποτύχουν να υποδείξει μια τρίτη. Η αποτελεσματικότητα περιγράφεται στον επόμενο πίνακα
Α1
Α2
Α3
Α4
t1
1
0
1
1
t2
0
1
0
1
t3
0
1
1
0
όπου 1 σημαίνει αγωγή αποτελεσματική και 0 μη αποτελεσματική. Αριθμείστε τις πιθανές
ακολουθίες αγωγών (δηλ. αποφάσεων) που μπορεί να λάβει ο γιατρός. (Υπόδειξη: t1t2 κοκ)
2. Η χρησιμότητα είναι αύξουσα και φραγμένη
Η παρατήρηση των συμπεριφορών στη λήψη αποφάσεων δείχνει τα εξής:
•
Η u ( x) αυξάνει καθώς το x αυξάνει.
•
Η u ( x) μπορεί να ληφθεί από πολύ μεγάλο x , αλλά θα υπάρχει ένα x ικανοποιητικά
κοντά στο άνω όριο.
•
Το όρισμα x ικανοποιεί την ανισότητα x > 0 , ενώ η τιμή u (0) θεωρείται ως κάτω
φράγμα για τη u ( x) .
•
Ορίζομε u (0) = 0 , u(xlarge) = 1 , όπου xl arg e είναι η μεγαλύτερη τιμή που λαμβάνει το
όρισμα x . Λαμβάνομε έτσι μια κλίμακα ικανοποίησης των τιμών της u ( x) .
Άσκηση 2
Βρείτε δύο μαθηματικές συναρτήσεις που έχουν αυτές τις ιδιότητες.
3. Φθίνουσα οριακή χρησιμότητα
Στο Παράδειγμα 1, όταν η c γίνεται c + 100 , τότε η διαφορά u (c + 100) − u (c) εκφράζει
την ικανοποίησή μας επί των τιμών του ορίσματος.
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
29
• Αξιωματικώς, αποδεχόμαστε ότι η αύξηση χρησιμότητας μειώνεται καθώς το c αυξάνει.
• Μαθηματικώς αυτό εκφράζεται ότι η διαφορά
u ( x + a) − u ( x)
για σταθερό ποσό a >0 φθίνει ως προς x .
Αυτό συχνά καλείται αξίωμα φθίνουσας οριακής χρησιμότητας του χρήματος, όπου οριακή
χρησιμότητα είναι ο όρος που χρησιμοποιείται για την αύξηση της χρησιμότητας ως προς την
οριακή αύξηση του κεφαλαίου, διαφορετικό ωστόσο από τη χρησιμότητα του κεφαλαίου. Η
υπόθεση αυτή είναι υψηλής αξίας για την κατανόηση και ερμηνεία πλείστων φαινομένων της
οικονομικής επιστήμης, της θεωρίας αποφάσεων και της τεχνολογίας.
Άσκηση 3
Σε μία το πολύ σελίδα αναφερθείτε στις συναρτήσεις χρησιμότητας ανατρέχοντας σε διάφορες πηγές.
4. Γεωμετρική περιγραφή της u(x): κοίλη και αύξουσα
Η περιγραφή της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας οδηγεί σε μια κοίλη, φραγμένη και αύξουσα καμπύλη ως περιγραφή μιας συνάρτησης χρησιμότητας.
u ( x)
1
0
x
Διάγραμμα 1 Μια κοίλη, φραγμένη και αύξουσα συνάρτηση χρησιμότητας
30
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
Δύο παραδείγματα συναρτήσεων χρησιμότητας παρέχουν οι Πίνακες Ι και II στο τέλος της
ενότητας. Οι τιμές έχουν υπολογισθεί από δύο προτυποποιημένες συναρτήσεις χρησιμότητας
(που παρουσιάζονται στην άσκηση επανάληψης 5) και μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν
υπό κλίμακα (εξηγείται στη συνέχεια καθώς αναπτύσσομε τα παραδείγματα).
Άσκηση 4
Δώστε το μαθηματικό τύπο μιας οποιαδήποτε κοίλης συνάρτησης.
5. Το παράδειγμα της επένδυσης (συνέχεια)
Έστω ο Πίνακας 1, του Παραδείγματος 1. Για να ορίσομε πλήρως το πρόβλημα λήψης μιας
απόφασης από τις δύο, θ1 και θ2, που παρατίθενται πρέπει να προσδιορίσομε την εκτίμηση
πιθανότητας p (θ1 ) = p .
Θα εξετάσομε την εξάρτηση της λύσης από τα c και p και τους Πίνακες Ι και ΙΙ του Παραρτήματος που δίνουν αριθμητικές τιμές στις χρησιμότητες, θεωρώντας ότι σε καθένα πίνακα αντιστοιχεί ένας λήπτης απόφασης. Και στις δύο περιπτώσεις υποθέτομε ότι η κλίμακα
του x είναι επί 10 (απλώς η υπόθεση αυτή είναι βολική στην παρουσίαση του παραδείγματος).
Έστω c = 100 ως μια ελάχιστη επένδυση. Τότε οι χρησιμότητες είναι
Απόφαση ως προς τον πίνακα
Ποσόν
Ι
ΙΙ
200=20×10
0.181
0.364
100=10×10
0.095
0.221
0
0.000
0.000
Η τιμή 0.181 λαμβάνεται από τον Πίνακα Ι στο x=20 και παρόμοια οι άλλες τιμές χρησιμοτήτων. Λαμβάνομε επομένως τους πίνακες αποφάσεων
31
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
Λήπτης απόφασης ως προς Πίνακα Ι
Λήπτης απόφασης ως προς Πίνακα ΙΙ
θ1
θ2
θ1
θ2
d1
0.181
0.000
d1
0.364
0.000
d2
0.095
0.095
d2
0.221
0.221
Για τον Πίνακα Ι:
{αναμενόμενη χρησιμότητα του d1}= 0.181 × p
{αναμενόμενη χρησιμότητα του d2}= 0.095 × 1
⎫ Αποδοχή της d1 , αν
⎬
0.095
= 0.52
⎭ p>
0.181
Συγκεκριμένα, οι αναμενόμενες χρησιμότητες είναι ίσες όταν p=0.52. Επομένως, αν η πιθανότητα της ανατίμησης της μετοχής υπερβαίνει αυτή την τιμή, επενδύομε (επιλογή d1). Διαφορετικά, όχι (επιλογή d2).
Για τον Πίνακα ΙΙ:
{αναμενόμενη χρησιμότητα του d1}= 0.364 × p
{αναμενόμενη χρησιμότητα του d2}= 0.221
⎫ Αποδοχή της d1 αν
⎬ p > 0.61
⎭
Συγκεκριμένα, οι αναμενόμενες χρησιμότητες είναι ίσες όταν p=0.61. Επομένως, αν η πιθανότητα της ανατίμησης της μετοχής υπερβαίνει αυτή την τιμή, επενδύομε (επιλογή d1). Διαφορετικά, όχι (επιλογή d2). Φανερά, ο Πίνακας ΙΙ απαιτεί να είναι ασφαλέστερη η επένδυση
ως προς τον Πίνακα Ι, και αυτό συμβαίνει μόνον όταν η πιθανότητα υπερβεί το 61%. Τότε
αξίζει να επενδύσομε (επιλογή d1).
Επειδή η χαμηλή τιμή του c οδήγησε σ’ αυτή την ακραία περίπτωση, στη συνέχεια υποθέτομε
ότι c = 1000 . Τότε οι σχετικοί πίνακες χρησιμοτήτων και αποφάσεων είναι
32
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
Απόφαση ως προς πίνακα
Ποσόν
Ι
ΙΙ
1100 = (110 × 10)
0.667
0.709
1000 = (100 × 10)
0.632
0.693
900 = (90 × 10)
0.593
0.676
Λαμβάνομε επομένως τους πίνακες αποφάσεων
Λήπτης απόφασης ως προς Πίνακα Ι
Λήπτης απόφασης ως προς Πίνακα ΙΙ
θ1
θ2
θ1
θ2
d1
0.667
0.593
d1
0.709
0.676
d2
0.632
0.632
d2
0.693
0.693
Για τον Πίνακα Ι:
{αναμενόμενη χρησιμότητα του d1}= 0.667 × p + 0.593 + (1−p) ⎫ Αποδοχή απόφασης d1 αν
{αναμενόμενη χρησιμότητα του d2}= 0.632 × 1
⎬
⎭
p > 0.52
Για τον Πίνακα ΙΙ:
Αποδοχήαπόφασης
απόφασης dd2 αν
{αναμενόμενη χρησιμότητα του d1}=0.709 × p+0.676 × (1-p) ⎫ ⎫ Αποδοχή
1
⎬
{αναμενόμενη χρησιμότητα του d2}=0.693 × 1
⎬ pαν> 0.52
p > 0.52
⎭⎭
Εν προκειμένω, οι λήπτες αποφάσεων συμπεριφέρονται παρόμοια, προτιμώντας την επένδυση των χρησιμοτήτων τους αν η πιθανότητα είναι μεγαλύτερη από 52%. Συγκεκριμένα ο Πίνακας ΙΙ, ως αποτέλεσμα της αύξησης του κεφαλαίου, αποδέχεται την επένδυση με 52% πιθανότητα, η οποία είναι μικρότερη σε σχέση με το προηγούμενο ποσό των 100. Δηλαδή, αν
p=0.58, δεν θα αποδεχόταν τη d1 για το ποσό των 100, αλλά την αποδέχεται για το ποσόν των
1000. Ο πρώτος λήπτης απόφασης δεν επηρεάζεται και τόσο από την αλλαγή κεφαλαίου.
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
33
Άσκηση 5
Θέλομε να αποφασίσομε αν θα αποταμιεύσομε ποσό χρημάτων C ή αν θα το επενδύσομε σε
ένα χαρτοφυλάκιο για ένα μήνα. Υποθέτομε ότι στο τέλος του μήνα το χαρτοφυλάκιο παρουσιάζει είτε κέρδη 100 μονάδων, είτε απώλειες 100 μονάδων. Υπολογίστε την πιθανότητα
αποστροφής κινδύνου αν
(α) C=200
(β) C=10000
χρησιμοποιώντας τους δύο Πίνακες Ι και ΙΙ χρησιμοτήτων.
Περαιτέρω, θεωρείστε ότι η αποταμίευση γίνεται με μηνιαίο ανατοκισμό. Ποιο πρέπει να είναι το μέγεθος του επιτοκίου για να κάνετε συμφερότερη την αποταμίευση στο ανωτέρω
πρόβλημα;
6. Στάσεις στον κίνδυνο
Διακρίνομε τρεις συνήθεις στάσεις ως προς τον κίνδυνο (risk) που αναλαμβάνει ένας λήπτης
αποφάσεων: να είναι ενάντιος, επιρρεπής ή αδιάφορος.
Ένας ενάντιος λήπτης πληρώνει συνεχώς υψηλά ασφάλιστρα για την εξασφάλιση εναντίον
πιθανοτήτων που ενδεχομένως έχουν μικρή πιθανότητα εμφάνισης. Ένας επιρρεπής στον κίνδυνο λήπτης αποφάσεων σπάνια ασφαλίζεται. Συνήθως οι στάσεις αυτές μεταβάλλονται με
την ηλικία ή με τον πλούτο.
Υποθέτομε μόνον οικονομικές συνέπειες για μια απόφαση. Αυτή η υπόθεση έχει το πλεονέκτημα ότι μπορούμε να αναπαριστούμε τις συνέπειες με μια συνάρτηση χρησιμότητας U ( x) .
Δεδομένων των πιθανοτήτων pi για κάποιες συνέπειες συγκεκριμένων δράσεων, ονομάζομε
n
E(x|p) = ∑ pi xi την αναμενόμενη ανταμοιβή
i =1
και
Ε (u|p )=
n
∑ p u ( x ) την αναμενόμενη χρησιμότητα.
i =1
i
i
34
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
Έστω xc η τιμή της αναμενόμενης ανταμοιβής για την εξασφάλιση μιας βεβαιότητας, οπότε
u ( xc ) = Ε( u|p )
ή ισοδύναμα
xc = u −1 ( E(u|p ) ) ,
όπου η u έχει αντίστροφο u −1 επειδή είναι αύξουσα συνάρτηση.
Ορίζομε ως τίμημα κινδύνου (premium) την ποσότητα
π = Ε(x|p) − xc ,
δηλαδή το μέρος της αναμενόμενης ανταμοιβής που ο λήπτης απόφασης προετοιμάζεται να
δώσει για να αποφύγει τον κίνδυνο που απορρέει από την απόφασή του.
Αν η πιθανότητα μεταξύ 100 ευρώ και 0 ευρώ είναι ισόποσα μοιρασμένη, τότε
1
1
Ε( x p ) = × 100 + × 0 = 50
2
2
Αν ο λήπτης απόφασης είναι αδιάφορος μεταξύ απόφασης και 40 ευρώ σίγουρα (τιμή βεβαιότητας) τότε αποδέχεται κάθε τιμή μεγαλύτερη από 40. Άρα πληρώνει 10 ευρώ για ν’ αποφύγει τον κίνδυνο. Επομένως η ασφάλεια κινδύνου ισούται προς 10.
Υποθέτομε ότι υπερεκτιμήσαμε τον κίνδυνο. Πιθανώς η τιμή βεβαιότητας να ήταν 60. Τότε η
ασφάλεια κινδύνου ισούται προς −10 .
Ένας λήπτης απόφασης είναι ενάντιος στον κίνδυνο εάν τίμημα κινδύνου ≥ 0 .
Ένας λήπτης απόφασης είναι επιρρεπής στον κίνδυνο εάν τίμημα κινδύνου ≤ 0 .
Ένας λήπτης απόφασης είναι ουδέτερος στον κίνδυνο εάν τίμημα κινδύνου = 0 .
Έστω μια δράση δύο καταστάσεων. Τότε η αναμενόμενη ανταμοιβή είναι
Ε( x p ) = px 1 + (1 − p ) x2
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
35
και η αναμενόμενη χρησιμότητα
Ε(u p ) = pu ( x1 ) + (1 − p )u ( x2 ) ,
όπου p είναι η πιθανότητα κέρδους x1 . Έπεται ότι το τίμημα κινδύνου είναι ίσο προς
π = px1 + (1 − p) x2 − u −1 [ pu ( x1 ) + (1 − p )u ( x2 ) ]
Αν τώρα πρόκειται για έναν λήπτη απόφασης ενάντιο στον κίνδυνο, το τίμημα πρέπει να είναι
μη αρνητικό για κάθε x1 και x2 και κάθε p ∈ [0,1] . Οπότε,
px1 + (1 − p ) x2 ≥ u −1 [ pu ( x1 ) + (1 − p )u ( x2 ) ]
και επειδή η u είναι αυστηρά αύξουσα, έχομε
u ( px1 + (1 − p ) x2 ) ≥ pu ( x1 ) + (1 − p )u ( x2 ) .
Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η συνάρτηση u ( x) είναι κοίλη. Επομένως για έναν λήπτη αποφάσεων ενάντιο στον κίνδυνο, η συνάρτηση χρησιμότητάς του είναι κοίλη, όπως δείχνει το
Διάγραμμα 2. Το αντίστροφο είναι επίσης αληθές: αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι κοίλη,
τότε δηλώνει προτιμήσεις ενάντιες στον κίνδυνο.
36
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
u ( x2 )
u[ px1 + (1 − p ) x2 ]
pu ( x1 ) + (1 − p)u ( x2 )
u ( x1 )
π
x1
u −1[ pu ( x1 ) + (1 − p )u ( x2 )]
x2
px1 + (1 − p ) x2
Διάγραμμα 2 Εναντιότητα στον κίνδυνο και κοίλη συνάρτηση χρησιμότητας
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
37
Με αντίστοιχο επιχείρημα μπορούμε να δείξομε ότι μια κυρτή συνάρτηση χρησιμότητας έχει
μη θετικό τίμημα. Επομένως η κυρτότητα της συνάρτησης χρησιμότητας χαρακτηρίζει την επιρρέπεια προς τον κίνδυνο (βλπ. Διάγραμμα 3).
u
x
Διάγραμμα 3 Μια κυρτή συνάρτηση χρησιμότητας δείχνει προτιμήσεις επιρρεπείς στον κίνδυνο
38
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
Τέλος επειδή μια γραμμική συνάρτηση είναι ταυτόχρονα κοίλη και κυρτή, μια γραμμική συνάρτηση χρησιμότητας υποδεικνύει τίμημα μηδενικού κινδύνου. Επομένως, η γραμμικότητα
της συνάρτησης χρησιμότητας χαρακτηρίζει ουδέτερες ή αδιάφορες στον κίνδυνο προτιμήσεις
(βλπ. Διάγραμμα 4).
u
x
Διάγραμμα 4 Μια γραμμική συνάρτηση χρησιμότητας δείχνει αδιάφορες στον κίνδυνο
προτιμήσεις
Υποστηρίζεται ότι πολλοί άνθρωποι έχουν μια συνάρτηση χρησιμότητας που ακολουθεί το
γενικό σχήμα μιας σιγμοειδούς καμπύλης, όπως παρακάτω. Είναι κυρτό για χαμηλά ποσά και
κοίλο για μεγαλύτερα.
u(x)
x ευρώ
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
39
Παράδειγμα 2
⎛1
⎝3
Δίνονται οι επιλογές ⎜ ,100 ;
2
⎞
, −25 ⎟ , όπου το κλάσμα εκφράζει πιθανότητα και ο αριθ3
⎠
μός ανταμοιβή. Υπολογίσετε το τίμημα κινδύνου ενός λήπτη απόφασης αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι
(i) u ( x ) = n ( x + 200) Πρόκειται για κοίλη συνάρτηση, διότι u ′′( x) = −
1
<0
( x + 200) 2
για κάθε x .
⎛
⎝
(ii) exp ⎜ 1 +
x ⎞
⎟ Πρόκειται για κυρτή συνάρτηση, διότι u ( x)′′ > 0 για κάθε x .
200 ⎠
ΛΥΣΗ
(i)
Υπολογίζομε την αντικειμενική ανταμοιβή
1
2
Ε ( x p ) = × 100 + × ( − 25) = 16.67 ,
3
3
1
2
u (100) + u (−25)
3
3
1
2
n( xc + 200) = n(300) + n(175)
3
3
1
2
= × 5.7 + × 5.16 = 5.344
3
3
και την τιμή βεβαιότητας u ( xc ) =
Επιλύομε την λογαριθμική εξίσωση και βρίσκομε
xc = 9.443
Άρα το τίμημα κινδύνου ισούται προς Ε( x p ) − xc = 16.67 − 9.44 = 7.23
Βλέπομε ότι για μια κοίλη συνάρτηση το τίμημα είναι θετικό.
1+
(ii) Για τη συνάρτηση u ( x) = e
x
200
υπολογίζομε την αναμενόμενη ανταμοιβή
1
2
u ( x) = u (100) + u (−25)
3
3
ή αντικαθιστώντας με τις ισοδύναμες εκφράσεις έχομε
1+
e
x
200
1
2
= e1.5 + e0.875
3
3
40
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
Επιλύομε την εκθετική εξίσωση και βρίσκομε
xc = 25.84
Άρα το τίμημα κινδύνου ισούται προς Ε( x p ) − xc = −9.17
Βλέπομε ότι για μια κυρτή συνάρτηση το τίμημα είναι αρνητικό.
Άσκηση 6
Υπολογίστε το τίμημα του κινδύνου για καθεμιά των συναρτήσεων του ανωτέρω παραδείγματος αν δίνονται οι επιλογές
1
3
( ,100; , −10)
4
4
7. Δείκτης μέτρησης στάσης κινδύνου
Ορίζομε ένα δείκτη που μετρά τον κίνδυνο στη λήψη μιας απόφασης:
r ( x) = −
d 2u
dx 2
du
dx
Επειδή η συνάρτηση d 2u / dx 2 είναι αρνητική για κοίλες συναρτήσεις, μηδέν για γραμμικές
και θετική για κυρτές συναρτήσεις u ( x) και επειδή
du
> 0 , αφού η u ( x) είναι αυστηρά
dx
αύξουσα συνάρτηση χρησιμότητας, βλέπομε ότι η r ( x) δηλώνει τοπική στάση κινδύνου
στο x. Συγκεκριμένα, το μέγεθος του r δείχνει το βαθμό εναντιότητας στον κίνδυνο:
Αν r ( x) > 0 , τότε ο λήπτης αποφάσεων είναι ενάντιος στον κίνδυνο.
Αν r ( x) = 0 , τότε ο λήπτης αποφάσεων είναι ουδέτερος στον κίνδυνο.
Αν r ( x) < 0 , τότε ο λήπτης αποφάσεων είναι επιρρεπής στον κίνδυνο.
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
41
Το ακόλουθο θεώρημα παρατίθεται χωρίς απόδειξη.
Θεώρημα 1
Έστωσαν συναρτήσεις χρησιμότητας u1 ( x) και u2 ( x) , με αντίστοιχα τιμήματα κινδύνου Π1
και Π2.
Αν r1 ( x) > r2 ( x) , τότε Π1 > Π 2 .
Το θεώρημα λέει ότι όσο μεγαλύτερες είναι οι τιμές του δείκτη ri, τόσο πιο μεγάλο είναι το
τίμημα.
Παράδειγμα 3
Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας u ( x) = ax 2 + β x + γ . Υπολογίζομε το δείκτη μέτρησης
κινδύνου r ( x) και βρίσκομε ότι
( 2α ) > 0 .
2a
dr
και
=
r ( x) = −
2ax + β
dx ( 2αx + β )2
2
Έπεται ότι η r ( x) είναι αύξουσα. Από τις τιμές των παραμέτρων α και β μπορούμε να αποφανθούμε για τη στάση κινδύνου που υποδεικνύει.
Άσκηση 7
Αν u ( x) = α x3 + β x 2 + γ x + δ είναι η συνάρτηση χρησιμότητας, τότε να βρείτε το δείκτη
μέτρησης κινδύνου r ( x) .
Περαιτέρω, αν α=2, β=4, γ=1 και δ=4 εξετάστε αν μηδενίζεται η καμπύλη και ερμηνεύστε το
πρόσημο της r ( x) κατά διάστημα.
42
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
8. Μελέτη περίπτωσης 1: Ασφάλιση περιουσίας
Θεωρούμε μερικά ερωτήματα από την καθημερινή ζωή:
•
Αποδοχή ή όχι ενός στοιχήματος;
•
Επένδυση ή αποταμίευση;
•
Νέο προϊόν ή όχι;
•
Προτίμηση ή όχι κινδύνου;
Το συμπέρασμα από την προηγούμενη ανάλυση είναι ότι όταν παρατηρείται φθίνουσα οριακή χρησιμότητα χρήματος για να αποδεχθούμε ένα σχετικό χρηματοοικονομικό κίνδυνο απαιτείται κάποιο τίμημα (premium) ως αντίβαρο στην πιθανότητα του κινδύνου.
Έστω κατάσταση κινδύνου και θεώρηση αποφυγής αυτού, όπως συνήθως προσφέρει μια ασφάλιση (για αποφυγή καταστροφής π.χ. αγορά σπιτιού και ασφάλεια πυρός).
Από πλευράς θεωρίας αποφάσεων η κατάσταση περιγράφεται στον Πίνακα 2.
Πίνακας 2 Αποφάσεις και συνέπειες
Συνέπειες
Θ1: καταστροφή
Θ2: αποφυγή κατάστασης
d1: ασφάλιση
Διατήρηση status quo
Απώλεια ασφαλίστρου
d2: όχι ασφάλιση
Απώλεια περιουσίας
Status quo
Δράσεις
Έστωσαν c = ολική περιουσία, h = αξία οικίας και m = (premium, τίμημα, ασφάλιστρα).
Οι χρηματοοικονομικές συνέπειες δείχνονται στον Πίνακα 3.
Πίνακας 3 Χρηματοοικονομικές συνέπειες για τα δεδομένα του Πίνακα 2
Ασφάλιση
Θ1
Θ2
d1 (Ναι στην ασφ)
c−m
c−m
d2 (Όχι στην ασφ)
c−h
c
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
43
Ο Πίνακας 1 του Παραδείγματος 1 και ο Πίνακας 3 είναι παρόμοιοι. Η αποφυγή κινδύνου
επιτυγχάνεται μ’ έναν ενάντιο στον κίνδυνο λήπτη αποφάσεων (άρα ενδείκνυται η ασφάλιση
για αποφυγή του κινδύνου).
−
Ποιο όμως είναι το ασφάλιστρο;
Εξετάζομε αριθμητικά τον Πίνακα 3.
Υποθέτομε ότι c = 5.000 και ότι συμβαίνει ολική καταστροφή. Τότε h = 5.000.
Έστω ο Πίνακας ΙΙ (× 100). Τότε η χρησιμότητα 5.000 μονάδων δίνει
x = 50 , άρα
u (50) = 0.57 . Αν p = πιθανότητα καταστροφής, τότε
Ε(u p ), χωρίς ασφάλιση (επιλογή d2), είναι 0 × p + 0.57 × (1 − p )
Ε(u p ), με ασφάλιση (επιλογή d1), είναι u (c − m)
Επομένως ένα αποδεκτό ασφάλιστρο ποσού m, είναι δυνατόν όταν
u (c − m) = 0.57 × (1 − p)
Το ίδιο και για μικρότερα m. Αν p=1%, δηλαδή η πιθανότητα καταστροφής είναι μικρή, τότε
u (5000 − m) = 0.57 × 0.99 = 0.564
ή από τον Πίνακα ΙΙ αντιστρόφως, βρίσκομε προσεγγιστικά ότι,
5000 − m = 48.6 × 100 = 4.860
ή m = 140 .
Άρα ο λήπτης απόφασης μπορεί να δώσει έως 140 μονάδες ασφάλιστρο εναντίον ολικής απώλειας περιουσίας. Ωστόσο με 1% πιθανότητα, η αναμενόμενη απώλεια είναι 50 στις 5.000.
Άρα το ασφάλιστρο είναι 3 φορές περίπου μεγαλύτερο της αναμενόμενης απώλειας. Επομένως από την πλευρά του ασφαλιστή θεωρούμε την εξής ανάλυση: Έστω c′ η περιουσία της
ασφαλιστικής εταιρείας όπου c′
ται ως «κατά πολύ μεγαλύτερο».
c (ασφαλιζόμενη περιουσία) και το σύμβολο >> διαβάζε-
44
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
Αφού η εταιρεία αποδέχεται ασφάλιση, τότε οι συνέπειες είναι c′ + m, c′, c′ + m − h . Οι
αριθμοί αυτοί είναι πολύ κοντινοί και δίδουν m < h
c′ στην καμπύλη χρησιμότητας της
εταιρείας. Δηλαδή οι μεταβολές m και h δεν επηρεάζουν ουσιαστικά τα οικονομικά της
εταιρείας, διότι η καμπύλη χρησιμότητας θα είναι τοπικά γραμμική. Αυτό όμως σημαίνει ότι
η απόφαση της εταιρείας είναι αδιάφορη στον κίνδυνο που αναλαμβάνει. Άρα η ασφάλεια με
το τίμημα m γίνεται αποδεκτή. Παραδείγματος χάριν, θεωρούμε τα εξής δεδομένα:
Πίνακας Α.ΙΙ
Έστω c′ = 5.000.000
οπότε
c′ + m = 5.000.140
και
c′ + m − h = 4.995.140
Με κλίμακα 100000 στον Πίνακα ΙΙ (ώστε να μπορούμε να τον χρησιμοποιήσομε), οι τιμές
κατά αντιστοιχία των ανωτέρω ποσών είναι
x = 50
x = 50.0014
x = 49.9514
Φαίνεται επομένως ότι η u ( x) για κάθε x , είναι τελικά γραμμική ως προς x .
Άρα η τιμή 50 αποτελεί αποδεκτό ασφάλιστρο από την εταιρεία. Αν υποθέσομε ότι ακόμα 50
μονάδες είναι το κόστος λειτουργίας, τότε το συνολικό κόστος ασφάλισης για την εταιρεία
ανέρχεται σε 100 < 140. Επομένως, η κοιλότητα της συνάρτησης κινδύνου εξηγεί γιατί δουλεύουν οι ασφαλιστικές εταιρείες.
Ο ιδιώτης λειτουργεί σ’ ένα καμπύλο μέρος της δικής του συνάρτησης χρησιμότητας, ενώ η
συνάρτηση χρησιμότητας της κοινωνίας δεν επιδεικνύει ουσιαστική καμπυλότητα στην περιοχή που θεωρήσαμε και μπορεί να εξισώνει χρησιμότητα με χρήματα. Έπεται το πόρισμα.
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
45
Πόρισμα 1 Αν η καμπυλότητα του ιδιώτη είναι πολύ μικρή, δεν θα βρει καλά ασφάλιστρα.
Επομένως, δεν αξίζει να ασφαλίζει για μικρές απώλειες, παρά μόνο για μεγάλες.
Η διαφορά των 90 ευρώ μεταξύ της αναμενόμενης χρηματικής απώλειας που σχετίζεται με
την καταστροφή και του ποσού που ο ιδιώτης είναι διατιθεμένος να πληρώσει για να ισοφαρίσει την απώλεια, είναι το τίμημα κινδύνου.
Άσκηση 8
Μια ασφαλιστική εταιρεία έχει περιουσιακά στοιχεία 40Μ ευρώ και η χρησιμότητά της δίνεται από τον Πίνακα ΙΙ με πολλαπλασιαστή Μ ευρώ. Ζητείται από την εταιρεία να συνάψει
μιαν ασφάλεια σεισμού ύψους 40Μ ευρώ. Εκτιμά ότι η πιθανότητα σεισμού είναι 0.05. Υπολογίστε ένα λογικό ασφάλιστρο από την πλευρά της εταιρείας, χωρίς κόστη διεκπεραίωσης.
9. Μελέτη περίπτωσης 2: Διαχείριση χαρτοφυλακίου (Μαθηματική
θεμελίωση της διασποράς του κινδύνου)
Στη διαχείριση χαρτοφυλακίου θεωρούμε τίτλους υπό κίνδυνο και τίτλους σχετικά ασφαλείς.
Για τη σχετική διαχείριση η συνήθης συμβουλή είναι: Διασπορά χαρτοφυλακίου.
Επομένως για την επιλογή ενός χαρτοφυλακίου, συνιστάται η επένδυση των χρημάτων τόσο σε χρεόγραφα (τραπεζικά ομόλογα, ομολογίες δημοσίου, ιδρυτικούς τίτλους) όσο και σε
πιο κερδοσκοπικούς τίτλους.
Θα δείξομε ότι το αξίωμα μεγιστοποίησης της αναμενόμενης χρησιμότητας δεν οδηγεί στην
τοποθέτηση όλων των χρημάτων στη μετοχή με την υψηλότερη αναμενόμενη χρησιμότητα,
αλλά οδηγεί στην παραπάνω συμβουλή.
Μαθηματική θεμελίωση ορθότητας συμβουλής της διασποράς του κινδύνου
Έστω ένας λήπτης αποφάσεων με σταθερή αποστροφή κινδύνου (Πίνακας Ι) που εξετάζει την
επένδυση στη μετοχή που αναφέρθηκε στην αρχή του κεφαλαίου ή την αποταμίευση των
46
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
χρημάτων του. Έστω κεφάλαιο 1000 ευρώ και χρησιμότητες που δίνονται από τον Πίνακα Ι
με πολλαπλασιαστή 10. Η μετοχή είναι τέτοια ώστε κάθε 500 ευρώ θα αυξηθούν σε 600 με
πιθανότητα p ή θαψ μειωθούν σε 400 με πιθανότητα 1 − p . Μεγαλύτερα ή μικρότερα ποσά
θα αυξηθούν ή θα μειωθούν αναλογικά. Το αποταμιευμένο ποσό διατηρείται.
Θεωρούμε τον πίνακα δεδομένων (αποφάσεις και συνέπειες)
θ1 (αύξηση)
θ 2 (μείωση)
d1 (επένδυση)
500+100
500-100
d2 (αποταμίευση)
500
500
και κατασκευάζουμε τον πίνακα χρησιμοτήτων (με κλίμακα 10).
θ1
θ2
d1 (επένδυση)
0.451
0.330
d2 (αποταμίευση)
0.393
0.393
Τότε η μέση αναμενόμενη χρησιμότητα της απόφασης d1 είναι
u (d1 ) = 0.451× p + 0.330 × (1 − p ) = (0.451 − 0.330) p + 0.330 = 0.121 p + 0.33
Επίσης η μέση αναμενόμενη απόδοση της απόφασης d2 είναι
u (d 2 ) = 0.393
και αποδεχόμαστε τη d1 αν p >
0.393 − 0.330
= 0.52
0.121
Άρα είναι προτιμότερο να επενδύσομε τα 500 ευρώ, εφόσον η υποκειμενική πιθανότητα είναι
μεγαλύτερη από 0.52 που πετυχαίνει αποστροφή κινδύνου.
Έστω επομένως p = 0.55 . Τώρα όμως θέτομε το εξής ερώτημα:
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
-
47
Ποιο είναι το άριστο ποσό να επενδύσομε στη μετοχή; Σημειωτέον ότι 1000 ευρώ είναι το
διαθέσιμο ποσό. Μέχρι στιγμής συνιστάται να επενδυθούν τα 500 ευρώ.
Ο παρακάτω πίνακας δίνει 5 τυπικές επενδύσεις με πιθανά εξαγόμενα για όλο το ποσό.
Ποσό επενδυόμενο στη μετοχή
Αύξηση Μετοχής
Μείωση Μετοχής
0
1000
1000
250
1050
950
500
1100
900
750
1150
850
1000
1200
800
Σχόλιο Ο ανωτέρω πίνακας παρέχει έναν τρόπο να αντιμετωπίσομε το πρόβλημα της επέν-
δυσης. Αν επενδύαμε ανά 1 ευρώ (πρβλ τα αμερικανικά pennyshares), τότε ο πίνακας θα περιλάμβανε 1001 αποφάσεις.
Τώρα, για τον ανωτέρω πίνακα, κατασκευάζομε τον πίνακα χρησιμοτήτων από τον Πίνακα Ι
με κλίμακα 10 και επομένως μπορούμε να υπολογίσομε τις αναμενόμενες χρησιμότητες:
Επενδυόμενο Ποσό
Αύξηση Μετοχής
Μείωση Μετοχής
u
0
0.632
0.632
0.632
250
0.650
0.613
0.633
500
0.667
0.593
0.634
750
0.683
0.573
0.633
1000
0.699
0.551
0.633
Πιθανότητα
0.55
0.45
Οι τιμές της στήλης δεξιά δείχνουν ότι η μέγιστη αναμενόμενη χρησιμότητα είναι η 0.634 και
αντιστοιχεί σε 500 ευρώ.
48
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
Άρα η άριστη διαδικασία είναι: επένδυση 500 ευρώ στη μετοχή
αποταμίευση 500 ευρώ στην τράπεζα
Δηλαδή διασπορά τόσο σε ασφαλή όσο σε και επικίνδυνα χρεόγραφα και μετοχές.
- Νέο ερώτημα: Για ποια πιθανότητα αξίζει να επενδυθεί ολόκληρο το ποσό των 1000 ευρώ;
Υποθέτομε τον πίνακα αποφάσεων και συνεπειών, όπου επίσης έχομε υπολογίσει τις χρησιμότητες στο κάτω δεξιά σε κάθε κελί του πίνακα που ακολουθεί.
θ1 (αύξηση)
1200
d1 (επένδυση)
800
0.699
χρησιμότητα
1000
d2 (αποταμίευση)
θ 2 (μείωση)
χρησιμότητα
0.551
1000
0.632
0.632
Η αναμενόμενη χρησιμότητα ανά απόφαση είναι
u (d1 ) = 0.669 × p + 0.551× (1 − p) = 0.148 p + 0.551
u (d 2 ) = 0.632
Οπότε, προτιμούμε τη d1 έναντι της d2 αν p >
0.632 − 0.551
= 0.55 , το οποίο δηλώνει α0.148
ποστροφή κινδύνου για p > 0.55 .
Άσκηση 9
1. Στο παράδειγμα παραπάνω, για ποια πιθανότητα αξίζει να επενδυθεί το ποσό των 800
ευρώ;
2. Στο παράδειγμα παραπάνω, για ποια πιθανότητα αξίζει να επενδυθεί το ποσό των 2000
ευρώ;
3. Στο παράδειγμα παραπάνω, για ποια πιθανότητα αξίζει να επενδυθεί το ποσό των 10000
ευρώ;
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
49
10. Αξιολόγηση πιθανοτήτων και χρησιμοτήτων
Στη λήψη αποφάσεων αποτελεί λογική συμπεριφορά η χρήση πιθανοτήτων και χρησιμοτήτων και η ανάληψη εκείνης της δράσης (απόφασης) που οδηγεί σε μέγιστη χρησιμότητα ή
οποιαδήποτε άλλη διαδικασία που ορίζει η θεωρία αποφάσεων.
Τα ψυχολογικά πειράματα δείχνουν ότι ο άνθρωπος εν γένει δεν ακολουθεί τυποποιημένους
λογικούς κανόνες. Ενδεχομένως, επιβάλλεται η ανάπτυξη ικανοτήτων στη λήψη αποφάσεων
και επομένως η εκπαίδευση αυτών στο να σκέπτονται πιθανοτικά. Ο Frank Ramley (στην
τρίτη δεκαετία του 20ου αι.) πρωτοανακάλυψε νόμους της ανθρώπινης συμπεριφοράς, τόσο
σπουδαίους * όσο και οι ανακαλύψεις του Newton (17ος αι.) στη μηχανική και τις μετρήσεις
σφάλματος. Πολλοί θεωρούν ότι τον 20ό αι. οι συμπεριφορικές θεωρίες του Ramsey (μέτρηση πιθανοτήτων) θα αποτελέσουν σημείο σπουδαίας ερευνητικής αναφοράς.
Δυστυχώς για τη μέτρηση πιθανοτήτων και χρησιμοτήτων γνωρίζομε πολύ λίγα. Με τον όρο
πιθανότητα υπονοούμε

στατιστικά γεγονότα (επαναλαμβανόμενα υπό συνθήκη με αβέβαιο αποτέλεσμα) που
μετρώνται με πιθανότητες
και επομένως το κύριο ερώτημα είναι

πώς εκτιμάται μια πιθανότητα.
Εδώ οι μέθοδοι αφορούν σε κανόνες βαθμολογίες (γεγονότα), συνέπειες (νόμοι πιθανότητας)
και σε άμεσες μεθόδους (από τις συνέπειες στην πιθανότητα).
Από την άλλη μεριά η χρησιμότητα μετράται με

μεθόδους σταθερής κατάστασης, όπου δίνεται η χρησιμότητα και βρίσκεται η πιθανό-
τητα. Συγκεκριμένα, το υποκείμενο ζητείται να συγκρίνει ένα ποσόν Π με ένα στοίχημα που είτε χάνει είτε κερδίζει, άρα γίνεται Π-απώλεια ή Π+κέρδος, και βρίσκει την
πιθανότητα που θα αφήσει (το υποκείμενο αδιάφορο). Αυτό γίνεται επαναληπτικά, ώστε να αποτυπωθεί η ποσοτική συμπεριφορά του υποκειμένου.

μεθόδους σταθερής πιθανότητας, όπου δίνεται η πιθανότητα και βρίσκεται η χρησι-
μότητα. Η διαδικασία μοιάζει με την προηγούμενη, αλλά η πιθανότητα είναι σταθερή
και ζητείται το κέρδος που θα αφήσει το υποκείμενο αδιάφορο.

τις συνέπειες των αποφάσεων.
Ως γενική επανάληψη των αποφάσεων υπό αβεβαιότητα δίνομε διαγραμματικά τα εξής:
*
Προσωπικές απόψεις του συγγραφέως.
50
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
ΑΒΕΒΑΙΑ
ΓΕΓΟΝΟΤΑ
αριθμητική περιγραφή
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
•
υπακούουν σε νόμους,
ώστε να εξασφαλίζεται η
συνέπεια
• βασικές σε κάθε δράση
(απόφαση) υπό αβεβαιότητα
Δράση
Συνέπειες
Περιγράφονται με χρησιμότητες (από χαμηλή ως υψηλή κλίμακα)
Ο συνδυασμός πιθανοτήτων και χρησιμοτήτων με κριτήριο τη μέγιστη αναμενόμενη χρησιμότητα οδηγεί σε (ορθολογική) απόφαση.
Επισημαίνομε ότι η φυσική αντίδραση του ανθρώπου σε αποφάσεις υπό αβεβαιότητα είναι η
μείωση της αβεβαιότητας (μέσω πληροφόρησης, θεωρία του Bayes) και επομένως η προηγούμενη τοποθέτηση έχει νόημα.
Ένα καλό τεχνικό εργαλείο στη Θεωρία Αποφάσεων είναι η χρήση του δένδρου αποφάσεων
αν και συνήθως απαιτεί πολύ χώρο σε υπολογιστή.
Τέλος, οι ιδέες αυτές είναι άχρηστες, εκτός και αν μπορούμε να μετρήσομε πιθανότητες και
χρησιμότητες σε συνθήκες αβεβαιότητας.
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
51
ΑΣΚΗΣΗ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ)
(α) Η χρησιμότητα μπορεί να είναι ένας αριθμός που μετρά την απογοήτευση από μια συνέπεια. (……….)
(β) Στα αβέβαια γεγονότα αποδίδουμε πιθανότητες. (……….)
(γ) Μια συνάρτηση χρησιμότητας είναι αύξουσα, κοίλη και φραγμένη. (……….)
(δ) Ένας λήπτης αποφάσεων ενάντιος στον κίνδυνο ακολουθεί μια κυρτή συνάρτηση χρησιμότητας. (……….)
(ε) Ένας λήπτης αποφάσεων ουδέτερος στον κίνδυνο ακολουθεί μια κοίλη συνάρτηση χρησιμότητας. (……….)
(στ) Ένας λήπτης αποφάσεων επιρρεπής στον κίνδυνο ακολουθεί μια κοίλη συνάρτηση χρησιμότητας. (……….)
(ζ) Τίμημα (premium) είναι το ποσό που είμαστε διατεθειμένοι να πληρώσομε για να αποφύγομε τον κίνδυνο. (……….)
(η) Γενικώς ένας δείκτης μέτρησης κινδύνου πρέπει να είναι σε θέση να δείχνει τον βαθμό
εναντιότητας στον κίνδυνο. (……….)
(θ) Όσο πιο πλούσιος είναι κάποιος, τόσο λιγότερο επιρρεπής στον κίνδυνο καθίσταται.
(……….)
(ι) Ένα τριώνυμο είναι μάλλον απίθανο να αποτελεί συνάρτηση χρησιμότητας για την πλειονότητα του πληθυσμού. (……….)
(ια) Μια ασφαλιστική εταιρεία θα αναλάβει τον κίνδυνο ασφάλισης εφόσον το τίμημα του
ασφαλιζόμενου είναι μικρότερο ή ίσο προς το ποσό που αφήνει ανεπηρέαστη τη συνάρτηση
χρησιμότητας της. (……….)
(ιβ) Δεν αξίζει να ασφαλίσει κάποιος μικρές περιουσίες. (……….)
(ιγ) Αν η καμπυλότητα της ασφαλιστικής εταιρείας είναι πολύ μικρή σε σχέση με την καμπυλότητα του ιδιώτη, τότε θα αποδεχθεί την ασφάλιση. (……….)
(ιδ) Μια ασφαλιστική εταιρεία συνήθως πρέπει να διαθέτει μεγάλης καμπυλότητας χρησιμότητα για να μπορεί να αντεπεξέλθει στις ασφαλίσεις που αναλαμβάνει. (……….)
52
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
1. Ένας επενδυτής έχει να επενδύσει 1000 χιλιάδες ευρώ σε δύο τύπους μετοχών. Αν επεν-
δύσει ποσόν Μ στη μετοχή Α, τότε θα επενδύσει ποσόν (1000-Μ) στη μετοχή Β. Η επένδυση στη μετοχή Α έχει 70% πιθανότητα διπλασιασμού της τιμής της και 30% για ολική
απώλεια. Η επένδυση στη μετοχή Β έχει 60% πιθανότητα διπλασιασμού της τιμής της και
40% για ολική απώλεια. Οι πιθανότητες για τη μετοχή Α είναι ανεξάρτητες των πιθανοτήτων για τη μετοχή Β. Προσδιορίστε την άριστη τιμή του Μ, αν η συνάρτηση χρησιμότητας
για κέρδος ή απώλεια x είναι u(x) = ln(x+3000). Ποια θα είναι η άριστη τιμή του Μ, αν η
συνάρτηση χρησιμότητας είναι u(x) = (x+3000)2.
2. Η συνάρτηση χρησιμότητας ενός λήπτη αποφάσεων για χρηματοοικονομικές αποδόσεις x,
y και z για τα επόμενα τρία χρόνια είναι γραμμική:
u(x,y,z) = x+by+cz,
όπου x, y και z μετρώνται σε 1000 000 δραχμών. Ισχύουν οι εξής αδιαφορίες:
<1/4, (1,0,0) || 1/2, (1,1,0) || 1/4, (1,2,2) > αδιάφορο
<1/2, (2,0,0) || 1/2, (0.8,1,1)> αδιάφορο
<1/2, (1,1,1) || 1/2, (1,0,1) > αδιάφορο
< 1/4, (0,1,2) || 3/4, (1,0.5,1>
Βρείτε μια συνάρτηση χρησιμότητας που συμφωνεί με τα δεδομένα αυτά.
3. Θεωρείστε τον επόμενο πίνακα αποφάσεων υπό κίνδυνο, όπου οι συνέπειες είναι χρηματι-
κές ανταμοιβές.
ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ xij
ΔΡΑΣΕΙΣ
A1
A2
A3
Θ1
100
90
100
ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ
Θ2
110
100
110
Θ3
120
120
100
1/4
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1/2
1/4
Μετατρέψτε το πρόβλημα σ’ ένα αντίστοιχο μεταξύ στοιχημάτων. Για το λήπτη απόφασης
ισχύουν οι εξής αδιαφορίες ως προς τα στοιχήματα
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
53
100 αδιάφορο 120 (.05) 90
110 αδιάφορο 120 (.08) 90
Ποια δράση θα ακολουθήσει ο λήπτης απόφασης;
4. Θεωρούμε τέσσερις αβέβαιες καταστάσεις ενός στοιχήματος με χρηματικά αποτελέσματα
από την αποδοχή του στοιχήματος ως εξής:
Στοίχημα
Απώλεια
Κέρδος
Ι
10
10
ΙΙ
10
20
ΙΙΙ
20
10
ΙV
20
20
Για κάθε στοίχημα ζητείται να αντιστοιχήσετε την ελάχιστη πιθανότητα κέρδους για να
αποδεχθούμε το στοίχημα ως εξής:
(α) Χωρίς να χρησιμοποιήσετε τυπικές μεθόδους, καθορίστε (υποκειμενικές) πιθανότητες
και εξηγείστε το σκεπτικό σας (παραδείγματος χάριν σε όρους εύκολου-δύσκολου
στοιχήματος).
(β)
Θεωρείστε ότι το συνολικό σας κεφάλαιο είναι 50 ευρώ και ότι λαμβάνετε την απόφαση μέσω του Πίνακα χρησιμοτήτων ΙΙ (δηλαδή απώλεια ή κέρδος 10 ή 20 ευρώ
όπως φαίνεται παραπάνω). Κατασκευάστε πίνακα αποφάσεων, εκτιμείστε τις χρησιμότητες και βρείτε τις πιθανότητες κέρδους συγκρίνοντας με τη χρησιμότητα των 50
ευρώ (status quo).
(γ) Αν υπάρχουν σοβαρές αποκλίσεις μεταξύ των αποτελεσμάτων (α) και (β) προσπαθείστε να εξηγήσετε γιατί.
5. Το ασφάλιστρο (premium) πιθανότητας κέρδους ή απώλειας h είναι P-1/2, όπου P ικανο-
ποιεί τη σχέση
u ( x + h) P + u ( x − h)(1 − P ) = u ( x)
Επιλύστε ως προς P και καταλήξτε στη σχέση
54
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
−( P − 1 ) = [u ( x + h) − 2u ( x) + u ( x − h)] [2{u ( x + h) − u ( x − h)}]
2
Καθώς το h τείνει στο μηδέν, το κλάσμα τείνει σε μια διαφορική μορφή, την οποία ζητείται να επιλύσετε. Η λύση δίνει τη συνάρτηση χρησιμότητας
u ( x) = 1 − ecx ,
όπου c είναι μια σταθερά. Πρόκειται για τη συνάρτηση που χρησιμοποιεί ο Πίνακας Ι με
c=1/100. Σχεδιάστε τη u ( x) για διάφορες τιμές της c.
Ο Πίνακας ΙΙ χρησιμοποιεί τη συνάρτηση
u ( x) = 1 − e − x / 200 2 −e − x / 20 2 .
Σχεδιάστε τη u ( x) του Πίνακα ΙΙ. Φυσικά γι’ αυτές τις σχεδιάσεις θα χρειασθεί πρώτα να
δημιουργήσετε ένα πίνακα τιμών. Συγκρίνατε με το διαθέσιμο Πίνακα ΙΙ.
6. Για τις επιλογές (1/3,200 ; 2/3,-50), υπολογίστε την ασφάλεια κινδύνου μιας απόφασης αν
η συνάρτηση χρησιμότητας είναι
e1+ x 200 .
7. Θεωρείστε το τριώνυμο
ax 2 + bx + c και εξετάστε υπό ποίες συνθήκες μπορεί να αποτελεί
συνάρτηση χρησιμότητας.
8. Θεωρείστε την περίπτωση ασφάλισης ενός αυτοκινήτου 20.000 ευρώ για ολική κλοπή και
εύρατε ένα αποδεκτό ασφάλιστρο με δική σας πιθανότητα κλοπής και συνάρτηση χρησιμότητας από τον Πίνακα ΙΙ. Ενδεχομένως χρειασθεί να θεωρήσετε ένα σύνολο πιθανοτήτων (από πίνακες που θα δημιουργήσετε) που θα σας οδηγήσει σε ποικιλία ασφαλίστρων.
Συγκρίνατε με αυτό των ασφαλιστικών εταιρειών. Συνεχίστε θεωρώντας μια πιθανότητα
αναμενόμενης απώλειας για την ασφαλιστική εταιρεία. Έπειτα αποδεχόμενοι ότι ο Πίνακας ΙΙ αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση χρησιμότητας της εταιρείας εξετάστε τη μεταβολή
στη χρησιμότητα της εταιρείας που επιφέρει πιθανή απώλεια του αυτοκινήτου.
9. Επεκτείνατε το παράδειγμα διασποράς του κινδύνου ενός χαρτοφυλακίου χρησιμοποιώ-
ντας τα ποσά που ανεφέρθησαν στο μάθημα αλλά να δημιουργήσετε πίνακα αποφάσεων
από το 0 έως το 1000 με βήμα 50 και τίτλο
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
55
Επενδυόμενο ποσόν στη
μετοχή
...
Αύξηση μετοχής
Μείωση μετοχής
...
...
Έπειτα δημιουργείστε πίνακα χρησιμοτήτων βάσει του Πίνακα ΙΙ, ή βάσει του τύπου που
δίνει η Άσκηση 5, με τίτλο
Επενδυόμενο ποσόν
στη μετοχή
...
Αύξηση μετοχής
Μείωση μετοχής
...
...
Αναμενόμενη χρησιμότητα
...
Πιθανότητα
π
1-π
1
όπου π είναι υποκειμενική πιθανότητα. Δώστε διάφορες τιμές στις πιθανότητες (με επιπλέον γραμμές κάτω από τη δοθείσα) και συνεπώς υπολογίστε κι άλλες αναμενόμενες
χρησιμότητες. Αναφερθείτε με λόγια στις επιλογές που προτείνετε ως προς τις πιθανότητες που έχετε χρησιμοποιήσει.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
56
ΣΥΝΟΨΗ
Διάφορες αποφάσεις μας τις συναρτώμε με διάφορες συναρτήσεις χρησιμότητας, ενώ κάποιες
αποφάσεις μπορεί να είναι πιο επικίνδυνες (να επιφέρουν πιο δυσμενείς συνέπειες) από άλλες.
Θεωρούμε στην ενότητα αυτή μόνο χρηματοοικονομικές συνέπειες των αποφάσεων. Επειδή
κάποια συνέπεια έχει χρησιμότητα και το χρήμα έχει χρησιμότητα, έπεται ότι κάθε συνέπεια,
μέσω μιας ενδιάμεσης χρησιμότητας, έχει χρηματικό ισοδύναμο.
Στην ενότητα αυτή αναλύσαμε ένα μικρό πρόβλημα επενδύσεων με δεδομένες πιθανότητες
των συνεπειών. Επίσης, εξηγήσαμε πώς ποσοτικοποιείται μια συνάρτηση χρησιμότητας,
ποιες είναι οι στάσεις στον κίνδυνο που αναλαμβάνομε και ποιο είναι το σχετικό τίμημα ανάληψης ή εξάλειψης του κινδύνου. Τέλος αναλύσαμε ένα πρόβλημα διαχείρισης χαρτοφυλακίου.
Το κύριο συμπέρασμα είναι ότι για να φθάσομε σε μια απόφαση λογικά, υπάρχει ουσιαστικά
ένας τρόπος. Πρώτον, οι αβεβαιότητες πρέπει να ποσοτικοποιηθούν σε όρους πιθανοτήτων.
Δεύτερον, οι διάφορες συνέπειες των δράσεων πρέπει παρομοίως να περιγραφούν σε όρους
χρησιμοτήτων. Τρίτον, πρέπει να ληφθεί αυτή η απόφαση που αναμένεται σε όρους των υπολογισθεισών πιθανοτήτων να δώσει τη μέγιστη χρησιμότητα. Η τριπλή χρήση του πρέπει σημαίνει απλώς ότι κάθε απόκλιση από τον κανόνα έχει την τάση να οδηγεί την απόφαση σε
διαδικασίες αποδεδειγμένα ανόητες ή αλλιώς ασυνεπείς.
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
57
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
11. Chernoff, H. & L.E. Moses. Elementary Decision Theory. Dover Pub., Inc., N.Y. (ανατύ-
πωση J. Wiley & Sons, Inc.) 1959.
12. Fabrycky, W.L., G.J., Thuesen, andD Verna. Economic Decision Analysis, 3rd Edicion.
Prentice Hall, New Jersey, 1998.
13. Lindley, D.V. Making Decisions, 2nd Edition. J. Wiley & Sons, London, 1985.
14. Raiffa, H. Decision Analysis, Introductory Lectures on Choices under Uncertainty. Addi-
son-Wesley Pub. Co., Massachusetts, 1970.
15. Varian, H.R., Microeconomic Analysis. W.W. Norton & Company, N.Y., 1992.
16. Von Winterfeldt and W. Edwards Decision Analysis and Behavioral Research. Cam-
bridge University Press, Cambridge, England, 1986.
17. Watson S.R., and D.M. Buede Decision Synthesis. The Principles and Practices of Deci-
sion Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1989.
18. French S. Decision Theory, an Introduction to the Mathematics of Rationality. Ellis Hor-
wood Ltd, Chisester, 1986.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
58
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
Το παράρτημα περιέχει δύο πίνακες με τιμές από συναρτήσεις χρησιμότητας. Ο Πίνακας Ι
αφορά σε έναν λήπτη αποφάσεων με σταθερή αποστροφή στον κίνδυνο. Αν παραδείγματος
χάριν x = 135 χρηματικές μονάδες, τότε η αντίστοιχη χρησιμότητα δίνεται από τον αριθμό
0.7408. Ο Πίνακας Ι δίνεται σε διαδοχικές τιμές του x έως το 241, αλλά από εκεί και πέρα οι
τιμές του x μεταβάλλονται ανά 10 έως το x = 2720 . Θα παρατηρήσετε ότι εκεί είναι το άνω
φράγμα των τιμών του u ( x) , δηλαδή ο αριθμός 1. Κάθε άλλη τιμή της u ( x) στο διάστημα
x ∈ [0,1480] μπορεί να βρεθεί με παρεμβολή στις ενδιάμεσες πινακοποιημένες τιμές.
Ο Πίνακας ΙΙ αφορά σε έναν λήπτη αποφάσεων με φθίνουσα αποστροφή στον κίνδυνο καθώς
x ∈ [0, 2100] η χρησιμότητα ικανοποιεί τη σχέση u ( x) ∈ [0,1] . Για τις πινακοποιημένες τιμές και την ανάγνωση του Πίνακα ΙΙ ισχύει ότι έχει ειπωθεί παραπάνω. Επιπλέον οι πίνακες
μπορούν να λάβουν το x , δεδομένης της u ( x) . Παραδείγματος χάριν η τιμή u = 0.9856
στον Πίνακα ΙΙ, δίνει x = 710 .
Τα Διαγράμματα 5 και 6 παρουσιάζουν τα γραφήματα των συναρτήσεων χρησιμοτήτων των
Πινάκων Ι και ΙΙ.
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
59
ΠΙΝΑΚΑΣ Ι Συνάρτηση χρησιμότητας με σταθερή αποστροφή στον κίνδυνο
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
u(x)
0,0000
0,0100
0,0198
0,0296
0,0392
0,0488
0,0582
0,0676
0,0769
0,0861
0,0952
0,1042
0,1131
0,1219
0,1306
0,1393
0,1479
0,1563
0,1647
0,1730
0,1813
0,1894
0,1975
0,2055
0,2134
0,2212
0,2289
0,2366
0,2442
0,2517
0,2592
0,2666
0,2739
0,2811
0,2882
0,2953
0,3023
0,3093
0,3161
0,3229
0,3297
0,3363
0,3430
0,3495
0,3560
0,3624
0,3687
0,3750
0,3812
0,3874
0,3935
x
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
u(x)
0,4288
0,4345
0,4401
0,4457
0,4512
0,4566
0,4621
0,4674
0,4727
0,4780
0,4831
0,4883
0,4934
0,4984
0,5034
0,5084
0,5132
0,5181
0,5229
0,5276
0,5323
0,5370
0,5416
0,5462
0,5507
0,5551
0,5596
0,5640
0,5683
0,5726
0,5768
0,5810
0,5852
0,5893
0,5934
0,5975
0,6015
0,6054
0,6094
0,6133
0,6171
0,6209
0,6247
0,6284
0,6321
0,6358
0,6394
0,6430
0,6465
0,6501
0,6535
x
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
u(x)
0,6927
0,6958
0,6988
0,7018
0,7048
0,7077
0,7106
0,7135
0,7163
0,7192
0,7220
0,7247
0,7275
0,7302
0,7329
0,7355
0,7382
0,7408
0,7433
0,7459
0,7484
0,7509
0,7534
0,7559
0,7583
0,7607
0,7631
0,7654
0,7678
0,7701
0,7724
0,7746
0,7769
0,7791
0,7813
0,7835
0,7856
0,7878
0,7899
0,7920
0,7940
0,7961
0,7981
0,8001
0,8021
0,8041
0,8060
0,8080
0,8099
0,8118
0,8136
x
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
u(x)
0,8347
0,8363
0,8380
0,8396
0,8412
0,8428
0,8443
0,8459
0,8474
0,8489
0,8504
0,8519
0,8534
0,8549
0,8563
0,8577
0,8591
0,8605
0,8619
0,8633
0,8647
0,8660
0,8673
0,8687
0,8700
0,8713
0,8725
0,8738
0,8751
0,8763
0,8775
0,8788
0,8800
0,8812
0,8823
0,8835
0,8847
0,8858
0,8870
0,8881
0,8892
0,8903
0,8914
0,8925
0,8935
0,8946
0,8956
0,8967
0,8977
0,8987
0,8997
x
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
500
510
520
530
540
550
560
570
580
590
600
610
620
630
640
650
660
670
680
690
700
710
720
730
740
750
u(x)
0,9179
0,9257
0,9328
0,9392
0,9450
0,9502
0,9550
0,9592
0,9631
0,9666
0,9698
0,9727
0,9753
0,9776
0,9798
0,9817
0,9834
0,9850
0,9864
0,9877
0,9889
0,9899
0,9909
0,9918
0,9926
0,9933
0,9939
0,9945
0,9950
0,9955
0,9959
0,9963
0,9967
0,9970
0,9973
0,9975
0,9978
0,9980
0,9982
0,9983
0,9985
0,9986
0,9988
0,9989
0,9990
0,9991
0,9992
0,9993
0,9993
0,9994
0,9994
x
870
880
890
900
910
920
930
940
950
960
970
980
990
1000
1010
1020
1030
1040
1050
1060
1070
1080
1090
1100
1110
1120
1130
1140
1150
1160
1170
1180
1190
1200
1210
1220
1230
1240
1250
1260
1270
1280
1290
1300
1310
1320
1330
1340
1350
1360
1370
u(x)
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
60
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
51
52
53
54
55
55
55
55
55
55
55
0,3995
0,4055
0,4114
0,4173
0,4231
0,4231
0,4231
0,4231
0,4231
0,4231
0,4231
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
0,6570
0,6604
0,6638
0,6671
0,6704
0,6737
0,6770
0,6802
0,6834
0,6865
0,6896
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
0,8155
0,8173
0,8191
0,8209
0,8227
0,8245
0,8262
0,8280
0,8297
0,8314
0,8330
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
0,9007
0,9017
0,9027
0,9037
0,9046
0,9056
0,9065
0,9074
0,9084
0,9093
0,9102
760
770
780
790
800
810
820
830
840
850
860
0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
1380
1390
1400
1410
1420
1430
1440
1450
1460
1470
1480
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ
61
ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ Συνάρτηση χρησιμότητας με φθίνουσα αποστροφή στον κίνδυνο
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
u(x)
0,0000
0,0269
0,0526
0,0771
0,1005
0,1229
0,1444
0,1649
0,1844
0,2032
0,2211
0,2383
0,2547
0,2704
0,2855
0,2999
0,3138
0,3270
0,3397
0,3519
0,3636
0,3749
0,3856
0,3960
0,4059
0,4155
0,4247
0,4335
0,4420
0,4502
0,4581
0,4657
0,4730
0,4800
0,4868
0,4934
0,4997
0,5058
0,5117
0,5174
0,5230
0,5283
0,5335
0,5385
0,5433
0,5480
0,5526
0,5570
0,5613
0,5655
0,5696
x
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
u(x)
0,6108
0,6137
0,6165
0,6193
0,6221
0,6248
0,6274
0,6300
0,6326
0,6351
0,6375
0,6399
0,6423
0,6446
0,6469
0,6491
0,6514
0,6535
0,6557
0,6578
0,6599
0,6619
0,6640
0,6660
0,6680
0,6699
0,6718
0,6737
0,6756
0,6775
0,6793
0,6812
0,6830
0,6847
0,6865
0,6882
0,6900
0,6917
0,6934
0,6950
0,6967
0,6984
0,7000
0,7016
0,7032
0,7048
0,7064
0,7079
0,7095
0,7110
0,7125
x
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
u(x)
0,7300
0,7314
0,7328
0,7342
0,7355
0,7369
0,7382
0,7396
0,7409
0,7422
0,7435
0,7448
0,7461
0,7474
0,7487
0,7500
0,7513
0,7525
0,7538
0,7550
0,7563
0,7575
0,7587
0,7599
0,7611
0,7623
0,7635
0,7647
0,7659
0,7671
0,7683
0,7694
0,7706
0,7717
0,7729
0,7740
0,7752
0,7763
0,7774
0,7785
0,7796
0,7808
0,7819
0,7829
0,7840
0,7851
0,7862
0,7873
0,7883
0,7894
0,7904
x
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
u(x)
0,8027
0,8037
0,8046
0,8056
0,8066
0,8076
0,8085
0,8095
0,8104
0,8114
0,8123
0,8133
0,8142
0,8151
0,8160
0,8170
0,8179
0,8188
0,8197
0,8206
0,8215
0,8224
0,8233
0,8241
0,8250
0,8259
0,8268
0,8276
0,8285
0,8293
0,8302
0,8310
0,8319
0,8327
0,8336
0,8344
0,8352
0,8360
0,8369
0,8377
0,8385
0,8393
0,8401
0,8409
0,8417
0,8425
0,8433
0,8440
0,8448
0,8456
0,8464
x
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
500
510
520
530
540
550
560
570
580
590
600
610
620
630
640
650
660
670
680
690
700
710
720
730
740
750
u(x)
0,8567
0,8637
0,8704
0,8767
0,8827
0,8884
0,8939
0,8991
0,9040
0,9087
0,9131
0,9174
0,9214
0,9252
0,9289
0,9323
0,9356
0,9388
0,9418
0,9446
0,9473
0,9499
0,9523
0,9546
0,9569
0,9590
0,9610
0,9629
0,9647
0,9664
0,9680
0,9696
0,9711
0,9725
0,9738
0,9751
0,9763
0,9775
0,9786
0,9796
0,9806
0,9816
0,9825
0,9833
0,9841
0,9849
0,9856
0,9863
0,9870
0,9876
0,9882
x
870
880
890
900
910
920
930
940
950
960
970
980
990
1000
1010
1020
1030
1040
1050
1060
1070
1080
1090
1100
1110
1120
1130
1140
1150
1160
1170
1180
1190
1200
1210
1220
1230
1240
1250
1260
1270
1280
1290
1300
1310
1320
1330
1340
1350
1360
1370
u(x)
0,9935
0,9939
0,9942
0,9944
0,9947
0,9950
0,9952
0,9955
0,9957
0,9959
0,9961
0,9963
0,9965
0,9966
0,9968
0,9970
0,9971
0,9972
0,9974
0,9975
0,9976
0,9977
0,9979
0,9980
0,9981
0,9982
0,9982
0,9983
0,9984
0,9985
0,9986
0,9986
0,9987
0,9988
0,9988
0,9989
0,9989
0,9990
0,9990
0,9991
0,9991
0,9992
0,9992
0,9992
0,9993
0,9993
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9995
x
1490
1500
1510
1520
1530
1540
1550
1560
1570
1580
1590
1600
1610
1620
1630
1640
1650
1660
1670
1680
1690
1700
1710
1720
1730
1740
1750
1760
1770
1780
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
u(x)
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
62
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
0,5735
0,5773
0,5811
0,5847
0,5883
0,5917
0,5951
0,5984
0,6016
0,6047
0,6078
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
0,7141
0,7156
0,7171
0,7185
0,7200
0,7215
0,7229
0,7244
0,7258
0,7272
0,7286
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
0,7915
0,7925
0,7936
0,7946
0,7956
0,7967
0,7977
0,7987
0,7997
0,8007
0,8017
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
0,8471
0,8479
0,8486
0,8494
0,8502
0,8509
0,8516
0,8524
0,8531
0,8539
0,8546
760
770
780
790
800
810
820
830
840
850
860
0,9888
0,9894
0,9899
0,9904
0,9908
0,9913
0,9917
0,9921
0,9925
0,9929
0,9932
1380
1390
1400
1410
1420
1430
1440
1450
1460
1470
1480
0,9995
0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9997
0,9997
0,9997
2000
2010
2020
2030
2040
2050
2060
2070
2080
2090
2100
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
200
400
x
600
800
1000
Διάγραμμα 5 Η συνάρτηση χρησιμότητας του Πίνακα Ι, για λήψη αποφάσεων με σταθερή
αποστροφή στον κίνδυνο
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
500
1000
x
1500
2000
Διάγραμμα 6 Η συνάρτηση χρησιμότητας του Πίνακα ΙΙ, για λήψη αποφάσεων με φθίνουσα
αποστροφή στον κίνδυνο

Download Report