I goniometri e la misura degli angoli

I goniometri e la misura degli angoli
1.1 Premesse
Gli strumenti che consentono la misura degli angoli orizzontali (azimutali) e verticali (zenitali)
prendono il nome generico di goniometri (dal greco goníos = angolo e métron = misura); si
classificano in:
1) azimutali, misurano solo angoli orizzontali:
- gli squadri graduati a riflessione o rifrazione
- gli squadri graduati a traguardi
- le bussole a cannocchiale (danno gli azimut magnetici)
2) ecclimetri, misurano solo angoli verticali:
- a traguardi
- a cannocchiale
3) goniometri universali, misurano sia angoli orizzontali che verticali:
- tacheometri con precisione del primo centesimale (in genere varia da 1c a 5c )
- teodoliti suddivisi in classi di precisione che interessano il secondo centesimale
4) goniografi, permettono di tracciare gli angoli orizzontali direttamente sulla carta:
- tavoletta pretoriana
5) sestanti, consentono la misurazione di angoli contenuti in piani qualsiasi, detti angoli di
posizione.
Di tutti questi strumenti topografici che sono stati ricordati i goniometri di uso comune, che oggi
possono interessare ad un geometra, sono solo quelli universali e, in particolare, i teodoliti (dato
che i tacheometri non sono più prodotti).
1.2 Elementi costitutivi di un teodolite ottico-meccanico
Gli elementi principali che costituiscono un teodolite sono (fig. 1.1):
- treppiede
- basamento
- piombino ottico
- cerchi graduati (orizzontale e verticale)
- microscopi di lettura
- alidada
- livelle (toriche e sferiche)
- cannocchiale
- viti dei grandi spostamenti e viti dei piccoli spostamenti
a) il treppiede, è un elemento indipendente dallo strumento, ma necessario per una comoda
osservazione; è costituito da tre gambe (di legno o metallo) incernierate ad una piattaforma
sulla quale si trova una grossa vite per il fissaggio dello strumento;
b) il basamento, è costituito da una parte superiore a contatto con il cerchio orizzontale e da
una parte inferiore separabile;
- la parte superiore in genere è provvista di piombino ottico per poter posizionare lo
strumento sulla verticale passante per il punto di stazione a terra; se il piombino ottico non
fosse presente in questo elemento allora lo si potrebbe trovare sull’alidada.
- la parte inferiore, detta tricuspide, è formata da una piastra metallica piana che va
appoggiata sulla piattaforma del treppiede, sopra alla quale si trovano tre bracci disposti a
120° alle cui estremità vi sono 3 viti, dette viti di base o viti calanti; queste viti, insieme
alla livella sferica (anch’essa fissata alla tricuspide), consentono di rendere orizzontale il
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c)
d)
e)
f)
piano del cerchio graduato; essendo questa parte staccabile dal resto dello strumento,
permette di sostituire il goniometro con una mira senza dover effettuare nuovamente la
procedura di stazionamento.
il cerchio orizzontale è costituito da una corona circolare di vetro, interna allo strumento,
sulla quale è incisa una graduazione, sessagesiamale o centesimale, in senso orario o
antiorario; l’illuminazione del cerchio e del relativo microscopio di lettura avviene tramite
uno specchietto che convoglia la luce internamente allo strumento mediante una serie di
prismi.
l’alidada, è la parte superiore dello strumento e ruota attorno all’asse Z-Z detto asse
principale dello strumento; i due montanti verticali, che ne conferiscono la tipica forma di U,
servono per sostenere il cannocchiale identificandone l’asse R-R di rotazione; inoltre, in uno
di essi è contenuto il cerchio verticale che ha le stesse caratteristiche di quello orizzontale.
L’alidada è, inoltre, provvista di una livella torica per rendere orizzontale il piano del
cerchio graduato.
il cannocchiale, è a lunghezza costante spesso dotato di reticolo distanziometrico e il suo
asse di collimazione C-C è perpendicolare all’asse R-R di rotazione; accanto al cannocchiale
si trova un microscopio composto che permette la lettura simultanea dei due cerchi
graduati; per facilitare le operazioni di collimazione degli oggetti il cannocchiale ha, inoltre,
un mirino di puntamento.
le viti dei grandi spostamenti e le viti dei piccoli spostamenti, servono per poter eseguire
il puntamento ai segnali e le letture ai cerchi graduati; negli strumenti moderni non ci sono
le viti dei grandi spostamenti (o di bloccaggio) in quanto la rotazione del cannocchiale e
dell’alidada avvengono vincendo una modesta frizione, dopodichè funzionano le viti dei
piccoli spostamenti (che sono viti “senza fine”).
Fig. 1.1
1.2.1 Elementi costitutivi del cannocchiale
Come già visto nel primo volume, i cannocchiali permettono di osservare gli oggetti lontani e, nel
caso del cannocchiale astronomico, si ha un’immagine capovolta, mentre con quelli terrestre e di
Galileo si ha un’immagine dritta.
Il cannocchiale usato in campo topografico è quello astronomico, detto anche cannocchiale di
Keplero, che è costituito da tre tubi cilindrici coassiali (fig. 1.2):
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Fig. 1.2
-
un tubo alla cui estremità è montato l’oculare che può scorrere all’interno del tubo
contenente il reticolo;
un tubo contenente il reticolo (fissato vicino al fuoco della lente dell’oculare) che può
scorrere all’interno del tubo contenente l’obbiettivo;
un tubo alla cui estremità è montato l’obbiettivo.
Le parti principali che caratterizzano questo cannocchiale sono:
a) l’obbiettivo;
b) l’oculare;
c) il reticolo
a) L’obbiettivo può essere costituito da una lente convergente a grande distanza focale oppure, per
ridurre l’effetto delle aberrazioni cromatiche, da un sistema di lenti che si comporta in modo
analogo. In genere vengono accoppiate una lente convergente biconvessa di vetro crow (ai sali di
sodio) e una lente divergente piano concava di vetro flint (ai sali di piombo) (fig. 1.3).
Fig. 1.3
Nota: L’aberrazione cromatica è semplice da riconoscere perché gli oggetti presentano degli aloni
colorati più o meno diffusi; sono dovuti all'impossibilità per una lente di mettere a fuoco tutte le
lunghezze d'onda (e quindi i colori) nello stesso piano focale per via della dispersione che la luce
subisce attraversando materiali di diversa densità.
b) L’oculare è costituito da una lente convergente a corta distanza focale oppure, per ridurre
l’effetto delle aberrazioni cromatiche e di sfericità, da un sistema di lenti che si comporta in modo
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analogo; la lente rivolta verso l’obbiettivo viene detta collettiva, mentre quella verso l’osservatore
viene detta lente dell’occhio. Gli oculari possono essere:
- a fuoco esterno o positivi, in quanto il primo fuoco del sistema è esterno alle due lenti tra i quali
si possono ricordare:
- oculare di Kellner, dove la lente
dell’occhio è costituita da una lente
biconvessa e da una piano-concava,
mentre la lente collettiva è formata da
una lente piano-convessa (fig. 1.4);
Fig. 1.4
-
oculare di Ramsden, costituito da due
lenti piano-convesse con le parti curve
verso l’interno (fig. 1.5);
Fig. 1.5
- a fuoco interno o negativi, in quanto il primo fuoco del sistema è interno alle due lenti tra i quali
si può ricordare:
-
oculare di Huyghens, costituito da due
lenti piano-convesse fra le quali si trova
il reticolo (fig. 1.6).
Fig. 1.6
Tra gli oculari si può anche ricordare l’oculare a prismi, che permette di deviare i raggi luminosi di
90° (fig. 1.7):
Fig. 1.7
c) Il reticolo è costituito da un vetrino sul quale sono incisi dei sottilissimi tratti, uno verticale e uno
orizzontale il cui punto di intersezione definisce il centro del reticolo; a seconda del tipo di reticolo
vi sono poi altri tratti incisi, orizzontali e verticali, equidistanti e anche obliqui (fig. 1.8).
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La retta che unisce il centro del reticolo con il centro ottico dell’obbiettivo si chiama asse di
collimazione.
Fig. 1.8
1.2.2 Utilizzo del cannocchiale
Per poter utilizzare il cannocchiale astronomico si devono effettuare due operazioni:
a) l’adattamento alla vista, che consiste nello spostare l’oculare fino a quando si vedono
nitidamente i fili del reticolo ovvero fino a che l’immagine dei fili del reticolo fornita
dall’oculare non si forma alla distanza della visione distinta dell’operatore.
Per effettuare agevolmente l’adattamento alla vista conviene dirigere il cannocchiale verso
una parete chiara oppure verso il cielo; una volta effettuata questa operazione, quando si
orienta il cannocchiale verso il punto da osservare, l’immagine di quest’ultimo appare
sfuocata cioè non nitida, ma confusa; quindi, si deve effettuare anche un adattamento alla
distanza.
b) l’adattamento alla distanza, che consiste nello spostare il tubo del reticolo rispetto alla
lente obbiettiva fino a quando l’immagine dell’oggetto appare nitidamente (insieme a quella
dei fili del reticolo) ovvero fino a quando l’immagine dell’oggetto si forma alla distanza
della visione distinta dell’operatore. L’adattamento alla distanza deve essere eseguita tutte le
volte che viene collimato un nuovo oggetto.
L’immagine della lente obbiettiva (e da altre eventuali lenti) deve esattamente sul piano del reticolo;
questa condizione viene verificata collimando un oggetto ed effettuando piccoli spostamenti
dell’occhio davanti all’oculare guardando con attenzione un filo del reticolo; se il filo rimane fisso
rispetto all’immagine la condizione è verificata, mentre se il filo sembra spostarsi rispetto
all’immagine non si ha la perfetta coincidenza e la collimazione è affetta da un errore detto errore
di parallasse.
Per eliminare tale errore bisogna ripetere l’operazione di adattamento alla distanza.
Nell’adattamento alla distanza il cannocchiale variava di lunghezza in quanto il tubo contenente
l’obbiettivo e quello contenente il reticolo scorrevano l’uno dentro l’altro, ma il piccolissimo gioco
che permetteva questo movimento di scorrimento permetteva anche l’entrata di umidità e polvere
all’interno del cannocchiale che con il tempo poteva provocare danneggiamenti al cannocchiale
stesso.
Per questo motivo si sono cercate delle alternative al cannocchiale astronomico fino a quando, verso
la seconda metà degli anni 20 del secolo scorso, Wild brevettò un cannocchiale a lunghezza
costante.
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Il cannocchiale a lunghezza costante, ormai in uso da tutte le ditte che producono strumenti
topografici, è un’evoluzione del cannocchiale astronomico, in quanto l’unica differenza sostanziale
riguarda il fatto che obbiettivo e oculare sono sullo stesso tubo a distanza fissa. Tra il reticolo e
l’obbiettivo vi è una lente divergente detta di focamento fissata ad un supporto che può far scorrere
internamente la lente stessa mediante una ghiera (fig. 1.9).
Fig. 1.9
Questa lente fa parte del sistema obbiettivo che risulta, quindi, composto da tre lenti; muovendo
questa lente variano le caratteristiche ottiche del sistema obbiettivo, in particolare la sua distanza
focale.
La variazione della distanza focale comporta anche una variazione di ingrandimento la cui entità è
però trascurabile, tale cioè da non compromettere il funzionamento del cannocchiale.
Ovviamente l’adattamento alla distanza per questo strumento avviene agendo sulla lente di
focamento.
In alcuni tipi di cannocchiale a lunghezza costante, l’immagine viene raddrizzata mediante un
prisma di forma particolare collocato tra il reticolo e la lente di focamento (fig. 1.10).
Fig. 1.10
1.2.3 Le caratteristiche ottiche del cannocchiale
Le caratteristiche principali di un cannocchiale sono:
1) premesso che l’ingrandimento di un cannocchiale dipende dalla distanza cui è posto
l’oggetto, nel confrontare i cannocchiali se ne dà un valore che si riferisce ad un oggetto
posto a distanza infinita detto ingrandimento normale I N , che è il rapporto tra la distanza
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focale dell’obbiettivo e la distanza focale dell’oculare I N =
f1
; per i cannocchiali si hanno
f2
dei valori variabili a seconda del loro impiego, compresi tra i 20 e i 45 ingrandimenti;
2) sensibilità, è l’angolo minimo al di sotto del quale, con il cannocchiale, non si riescono più
a distinguere due punti tra loro molto vicini; questo angolo, a occhio nudo viene detto
acuità visiva e mediamente vale α ′′ = 60 ′′ (da non confondere con la distanza della
visione distinta che è la distanza a cui, senza fatica, si riesce a vedere nitidamente un
oggetto e che per l’occhio umano vale circa 25÷30 cm); Considerando l’ingrandimento del
α ′′ 60 ′′
=
cannocchiale, la sensibilità sarà quindi: s ′′ =
. In base al valore dell’acuità visiva
IN
IN
(o della sensibilità di un cannocchiale) è possibile determinare la dimensione d che deve
avere un oggetto posto ad una distanza D per poter essere visto in modo distinto:
60''
D
s'' × D
D
d = D ×αr =
×
=
≅ 0,0003 × .
206265 '' I N 206265 ''
IN
3) chiarezza, è il rapporto tra la chiarezza di un oggetto visto con il cannocchiale e la chiarezza
di un oggetto visto ad occhio nudo e siccome di norma la prima è meno chiara della seconda
R2
tale rapporto è generalmente minore dell’unità; la chiarezza risulta essere: c = K × 2 2
r × IN
con: K = costante R = raggio utile o apertura obbiettivo r = raggio della pupilla
4) campo, è l’angolo g del triangolo, che ha come vertici le due estremità del diaframma e il
K
× 206265′′ ; l’anello
centro ottico dell’obbiettivo; si calcola mediante la formula: γ ′′ =
IN
metallico su cui è fissato il reticolo funziona anche da diaframma consentendo solo ad una
parte dei raggi provenienti dall’obbiettivo di raggiungere l’oculare (fig. 1.11).
Fig. 1.11
5) portata, è la massima distanza alla quale un oggetto è distintamente osservabile con il
cannocchiale; dipende dalle dimensioni e dalla chiarezza dell’oggetto, ma anche
dall’ingrandimento del cannocchiale.
6) fattore crepuscolare, è la capacità di distinguere un segnale con scarsa condizione di luce;
si determina tramite la formula: f = ( I A × D ) con D = diametro dell’obbiettivo I A =
ingrandimento angolare.
1.3 Le condizioni di esattezza dei teodoliti
Per il corretto utilizzo del goniometro devono essere soddisfatte delle condizioni di costruzione, il
cui onere spetta alla casa costruttrice dello strumento, e delle condizioni di rettifica che devono
essere verificate dall’operatore prima di eseguire le misure (variano da strumento a strumento).
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1.3.1 Condizioni di rettifica
Il goniometro possiede 3 assi di rotazione (fig. 1.12) il cui punto di incontro è detto centro dello
strumento:
Fig. 1.12
Tali assi devono soddisfare alle seguenti condizioni di rettifica:
1) l’asse primario o principale Z-Z, è l’asse di rotazione
dell’alidada, che in condizioni di operatività dello strumento
deve essere verticale.
Se la condizione non è soddisfatta si ha un angolo v formato
dall’asse di rotazione Z-Z effettivo dell’alidada e la verticale
(fig. 1.13).
L’errore che si commette, a causa dell’angolo v, nella
misurazione degli angoli orizzontali viene detto errore di
verticalità e si ricava dalla formula:
ε v = v × tang α × cosθ
a = angolo di inclinazione sull’orizzontale del cannocchiale
Fig. 1.13
q = angolo orizzontale formato tra la retta, intersezione del piano orizzontale con il piano che
contiene v , e la traccia della direzione del cannocchiale sul piano orizzontale.
Visto che a priori non si conosce la direzione spaziale di v allora non si può conoscere neppure
l’angolo q , di conseguenza l’influenza che ha la verticalità sulla misura degli angoli orizzontali
(sottoforma di errore di verticalità ev ) non si può eliminare.
Vi sono tuttavia strumentazioni moderne che dispongono della correzione automatica di tale errore
(in questi casi l’angolo v nello spazio viene ricavato dalla riflessione di un raggio luminoso su una
vaschetta di mercurio, o altro liquido, in quiete.
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2) l’asse secondario R-R, che è l’asse di rotazione del
cannocchiale, deve essere orizzontale.
Se la condizione non è soddisfatta si ha un angolo i formato
dall’asse di rotazione R-R del cannocchiale ed il piano
orizzontale (fig. 1.14).
L’errore che si commette nella misurazione degli angoli
orizzontali, a causa dell’angolo i, viene detto errore di
orizzontalità e si ricava dalla formula:
ε i = i × tang α
Fig. 1.14
3) l’asse di collimazione C-C, che è definito come quella retta
ideale che passa per il centro ottico della lente obbiettiva ed il
centro del reticolo (l’inclinazione del cannocchiale), deve essere
perpendicolare all’asse di rotazione R-R del cannocchiale stesso.
Se la condizione non è soddisfatta si ha un piccolo angolo c
formato dall’asse di collimazione C-C ed il piano normale
all’asse di rotazione R-R (fig. 1.15).
L’errore che si commette nella misurazione degli angoli
orizzontali, dovuto alla mancata ortogonalità dell’asse di
collimazione con l’asse secondario, viene detto errore di
collimazione e si ricava dalla formula:
Fig. 1.15
ε c = c × sec α
Nella misura di un angolo orizzontale si commette, quindi, un errore complessivo dovuto dalla
mancata rettifica sui tre assi dato dalla seguente formula:
ε tot = ( v × tang α × cosθ ) + (i × tang α ) + ( c × sec α )
Le condizioni di rettifica che devono essere soddisfatte dall’operatore sono quindi:
a) verticalità dell’asse primario;
b) ortogonalità fra asse secondario e asse di collimazione;
c) orizzontalità dell’asse secondario;
d) corretta posizione dell’indice zenitale.
Queste condizioni di esattezza sono verificabili e rettificabili.
1.3.1.1 Errore di verticalità
L’errore di verticalità dell’asse primario non è eliminabile, ma può essere limitato facendo una
rettifica accurata.
La verticalità dell’asse primario viene ottenuta attraverso l’orizzontalità del piano dell’alidada che si
ottiene mediante l’uso delle livelle sferiche e toriche presenti sul basamento e sull’alidada dello
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strumento; vediamo come si procede alla rettifica delle livelle per rendere orizzontale il piano
dell’alidada:
a) attraverso la livella sferica dell’alidada o del basamento (solo grossolanamente)
b) attraverso la livella torica dell’alidada (in modo più fine)
Ricordando che i goniometri hanno sul basamento tre appoggi disposti a 120° terminanti con tre viti
calanti, che chiameremo C1 , C2 , C3 , e che il piano dell’alidada è individuato da due rette tra loro
perpendicolari, che chiameremo retta a-a, congiungente le due viti calanti, C1 e C2 e retta b-b
perpendicolare a tale congiungente e passante per la terza vite C3 . Vediamo come rendere
orizzontale il piano individuato da queste due rette.
Precisando che tutte le operazioni di rettifica si dovrebbero fare solo una volta nella vita dello
strumento, accertando l’eventuale srettifica avvenute accidentalmente, l’operazione di rettifica della
livella sferica (che comporta anche l’orizzontalità del piano che passa per le tre viti C1 , C2 , C3 , si
esegue nel seguente modo (fig. 1.16):
- con la bolla in posizione 1 si dispongono le tre viti di rettifica V1 , V2 , e V3 nella stessa
direzione delle tre viti calanti C1 , C2 , e C3 ;
-
-
ruotando le due viti calanti C1 e C2 con movimento uguale e contrario, si sposta la bolla
lungo la direzione parallela alla congiungente delle due viti stesse fino a raggiungere la
posizione 2;
infine, agendo sulla vite calante C1 si sposta la bolla lungo la direzione ortogonale alla
precedente e passante per la vite stessa, passando dalla posizione 2 alla posizione 3.
A questo punto si ruota la livella di 180°: se la bolla rimane centrata, la livella è rettificata ed il
piano è orizzontale; se, invece, dopo la rotazione la bolla si sposta bisogna intervenire correggendo
lo spostamento per metà con le viti della livella e per metà con le viti del piano, operando nel
seguente modo (fig. 1.17):
- si cerca di portare la bolla, dalla posizione A alla posizione B movendosi sulla bisettrice
!
dell’angolo V1V3V2 , agendo per metà con le viti V1 e V2 (con rotazioni uguali) e per metà con
-
le viti calanti C1 e C2 (sempre con rotazioni uguali)
si cerca di raggiungere la posizione C, centro del cerchio inciso sulla fiala, agendo per metà
con la vite V3 e per metà con la vite calante C3
Fig. 1.16
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Fig. 1.17
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Per rettificare la livella torica e contemporaneamente rendere orizzontale il piano dell’alidada, si
procede nel seguente modo:
- si dispone la livella in posizione tale da essere parallela alla retta a- a, quindi si centra la
bolla ruotando con movimento uguale e contrario le due viti C1 e C2 (il movimento in
coppia delle viti è più efficace del movimento singolo in quanto all’abbassamento di una
vite si ha contemporaneamente l’innalzamento dell’altra) (fig. 1.18);
- si inverte la posizione degli estremi della livella ruotandola di 180° (mantenendo cioè la sua
posizione in direzione parallela alla retta a- a); quindi, se la bolla non rimane centrata si
corregge lo spostamento per metà con la vite di rettifica verticale della livella e per metà con
le due viti C1 e C2 (fig. 1.19). In questo modo tutte le rette parallele alla direzione a- a
saranno orizzontali;
Fig. 1.18
-
Fig. 1.19
si ruota la base di 90° in modo che la livella si porti nella direzione parallela alla retta b- b
(fig. 1.20) e agendo sulla terza vite C1 , si centra la bolla rendendo orizzontali anche tutte le
rette parallele alla direzione b- b e, quindi, il piano stesso.
Fig. 1.20
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Una volta verificata la rettifica della livella, per rendere orizzontale dell’alidada si può procedere
nel seguente modo:
- si dispone la livella secondo la direzione di due viti calanti, quindi con movimento
simultaneo e contrario di uguale intensità, di queste stesse viti, si centra la bolla;
- si dispone la livella secondo la direzione della terza vite calante e con la stessa si centra la
bolla.
1.3.2 Condizioni di costruzione
Le condizioni che devo essere soddisfatte dalla casa costruttrice dei goniometri sono:
1) l’asse primario deve essere perpendicolare al piano del cerchio orizzontale; se la
condizione non è soddisfatta la lettura al cerchio orizzontale è affetta da un errore di non
ortogonalità;
2) l’asse secondario deve essere perpendicolare al piano del cerchio verticale; se la
condizione non è soddisfatta la lettura al cerchio verticale è affetta da un errore di non
ortogonalità;
3) l’asse primario deve passare per il centro del cerchio orizzontale; se la condizione non è
soddisfatta la lettura al cerchio orizzontale è affetta da un errore di eccentricità
dell’alidada;
4) l’asse secondario deve passare per il centro del cerchio verticale; se la condizione non è
soddisfatta la lettura al cerchio verticale è affetta da un errore di eccentricità del
cannocchiale;
5) l’asse di collimazione deve intersecare l’asse primario; se la condizione non è soddisfatta
la lettura al cerchio orizzontale è affetta da un errore di eccentricità dell’asse di
collimazione, mentre la lettura al cerchio verticale non risente in modo sensibile dell’errore;
6) la graduazione dei cerchi, orizzontale e verticale, deve essere corretta; se la condizione
non è soddisfatta la lettura al cerchio orizzontale e verticale è affetta da un errore di
graduazione dei cerchi.
Queste condizioni di esattezza sono verificabili e non rettificabili, ma si può eliminare l’influenza
negativa che hanno sulle misurazioni senza effettuare rettifiche.
Nelle rettifiche che verranno esaminate si supporrà sempre che il cannocchiale sia capovolgibile,
come in effetti lo è in tutti gli strumenti moderni.
Condizione di non ortogonalità
Le condizioni di non ortogonalità dell’asse primario e secondario, forniscono degli errori nella
misura degli angoli orizzontali e verticali in genere trascurabili, in quanto le case costruttrici non
riescono a mantenere l’errore di non ortogonalità entro dei limiti tali da non influenzare le misure
angolari (un errore di non ortogonalità di 1¢ corrisponde ad un errore di lettura ai cerchi di 0,004¢¢).
Eccentricità dell’alidada e del cannocchiale
Consideriamo ora il caso dell’eccentricitá dell’alidada e del cannocchiale.
Se l’asse primario (o l’asse secondario) passa per il centro C del cerchio orizzontale (o verticale),
ruotando l’alidada (o il cannocchiale) e collimando un generico punto P, si esegue la lettura corretta
l1; se l’asse, invece, passa per un punto C * con una eccentricità e = CC * , si esegue la lettura l1*
affetta dall’errore e e si ha: l1 = l1* + ε (fig. 1.21).
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Considerando il triangolo qualunque PCC *
sen ε sen λ
=
ma
e
r
quindi ε '' =
sen ε = ε rad =
ε ''
206265 ''
e × sen λ × 206265 ''
r
L’errore e assume un valore massimo per λ = 90° (o
270°), quindi per sen λ = 1 .
Fig. 1.21
Non si riesce a realizzare il centramento perfetto dei cerchi, ma le case costruttrici riescono a
contenere l’eccentricità e nell’ordine di 0,001 mm; quindi, per un raggio del cerchio graduato r = 50
mm l’errore di misura angolare e risulta essere di circa 4¢¢ ovvero 0g,0013.
Se l’errore è trascurabile per gli strumenti meno precisi, non lo è per quelli più precisi; si può
eseguire una lettura corretta solo se si dispone di un secondo indice di lettura diametralmente
opposto; infatti, se il centramento è perfetto, all’indice opposto si esegue la lettura l2; se, invece,
non lo è si esegue la lettura l2* affetta dall’errore e e si ha: l2 = l2* − ε quindi siccome l1 = l2 ± 180°
allora l1 = l2* − ε ± 180° .
Sommando membro a membro si ottiene:
l1 = l1* + ε
l1* + l2* ± 180°
ﬁ l1 =
2
______________________
l1 = l2* − ε ± 180°
2l1 = l1* + ε + l2* − ε ± 180°
Viene messo il segno positivo se l1 > l2 , negativo se l1 < l2 come nel nostro caso.
Effettuando la media delle letture agli indici diametralmente opposti si riesce ad eliminare gli errori
di misurazione degli angoli orizzontali e verticali dovuti all’eccentricità dell’alidada e del
cannocchiale.
Nei teodoliti moderni, con il metodo della coincidenza o quello della simmetria delle immagini, si
ottiene la media automaticamente.
Nota: quando si calcola un angolo come differenza di due letture, l’errore raddoppia.
Eccentricità dell’asse di collimazione
Vediamo di esaminare il problema riguardante l’imperfetta intersezione dell’asse di collimazione
con l’asse primario.
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Un tempo alcuni strumenti avevano il cannocchiale appositamente eccentrico per poter avere
notevoli ingrandimenti e per poter collimare punti molto alti. Negli strumenti moderni il
cannocchiale si trova al centro e solo problemi di costruzione o di usura possono determinare questo
tipo di problema.
Collimando un generico punto P, senza l’eccentricità, si esegue la lettura corretta l1 (fig. 1.22), se
invece l’asse di collimazione ha una eccentricità e = CC * (posizione 1) si esegue la lettura l1* affetta
dall’errore e e si ha: l1 = l1* + ε
Considerando il triangolo rettangolo PCC * si ha: sen ε =
ε ''
e
ma sen ε = ε rad =
206265 ''
D
e × 206265 ''
D
L’errore di misura angolare e, considerando l’eccentricità e di 1 mm e una distanza D pari a 100
metri, vale circa 2¢¢ e non può essere trascurato.
Allora a questo punto, si capovolge il cannocchiale e si ruota l’alidada in senso orario fino ad
effettuare nuovamente la collimazione del punto P (fig. 1.23); quindi, si esegue una seconda lettura
allo stesso indice, detta lettura coniugata, ottenendo una lettura l2 se non c’è l’eccentricità o una
lettura l2* affetta dall’errore e nel caso in cui ci fosse (posizione 2), con l2 = l2* − ε .
quindi ε '' =
Fig. 1.22
Fig. 1.23
Analogamente a prima si ha: l1 = l2 ± 180° quindi l1 = l2* − ε ± 180° . Sommando membro a membro
si ottiene:
l1 = l1* + ε
l1 = l2* − ε ± 180°
l1* + l2* ± 180°
da cui si ottiene l1 =
2
______________________
2l1 = l1* + ε + l2* − ε ± 180°
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Viene messo il segno positivo se l1 > l2 , negativo se l1 < l2 come nel nostro caso.
Effettuando la media delle letture coniugate si riesce a eliminare l’errore di misurazione degli angoli
orizzontali dovuto all’eccentricità dell’asse di collimazione.
Nota: quando si calcola un angolo come differenza di due letture, l’errore in genere è minore e si
annulla se le distanze dei due punti rispetto al punto di stazione sono uguali.
Imperfetta graduazione dei cerchi
Per quanto riguarda l’imperfetta graduazione dei
cerchi, che dipende dalla suddivisione in parti non
tutte uguali del cerchio graduato, si può affermare
che questo errore, per gli strumenti moderni, ha
un valore di circa 0,7¢¢ che non può essere
ignorato.
A differenza degli errori visti in precedenza,
questo non può essere eliminato ma solo attenuato
mediante
l’applicazione
di
opportuni
procedimenti.
Fig. 1.24
Per poter ridurre gli effetti di questo errore si
usano il metodo della reiterazione e il metodo
della ripetizione, che consentono di effettuare la
lettura dell’angolo orizzontale, compreso tra due
direzioni, su diversi settori del cerchio graduato
orizzontale.
Uno teodolite si dice reiteratore (fig. 1.24)
quando il cerchio orizzontale è indipendente dal
basamento e dall’alidada; lo strumento presenta
una vite che consente il fissaggio dell’alidada con
il basamento.
Fig. 1.25
Un teodolite si dice ripetitore (fig. 1.25) se ha
due viti, una che consente il fissaggio dell’alidada
con il cerchio orizzontale e l’altra che consente il
fissaggio del cerchio orizzontale con il
basamento.
Le due vite funzionano nel seguente modo:
- con le due viti bloccate lo strumento non ruota attorno al suo asse primario;
- sbloccando la vite alidada - cerchio orizzontale, ruotando lo strumento, il cerchio orizzontale
ruota insieme all’alidada e quindi le letture degli angoli orizzontali non possono essere
eseguite perché rimane invariata;
- sbloccando la vite cerchio orizzontale – basamento, ruotando lo strumento, il cerchio
orizzontale rimane fermo e quindi è possibile effettuare le letture degli angoli orizzontali.
Metodo della ripetizione
Prima di illustrare il metodo, per semplicità chiameremo:
vite 1= la vite cerchio orizzontale – basamento
vite 2= la vite alidada - cerchio orizzontale
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ˆ si opera nel seguente modo:
Per misurare l’angolo orizzontale ω = AOB
a) con la vite 1 bloccata e la vite 2 sbloccata, dal
punto di stazione O si collimano i punti A e B
effettuando le relative letture lAI e lBI , in questo
modo ω1 = lBI − lAI (fig. 1.26); una volta effettuata la
seconda lettura cioè lBI si sblocca la vite 1 e si
blocca la vite 2; quindi, si ritorna a collimare il
punto A..
Fig. 1.26
b) una volta collimato il punto A (dopo aver ruotato
in senso antiorario di un angolo pari a ω1 ) (fig.
1.27) non si esegue la sua lettura in quanto lAII = lBI ,
ma si agisce ancora sulle viti bloccando la vite 1 e
sbloccando la vite 2; quindi, si collima il punto B e
si esegue la relativa lettura lBII . In questo modo
ω 2 = lBII − lAII = lBII − lBI .
Fig. 1.27
c) a questo punto si ripete il procedimento agendo
sulle viti una prima volta per ritornare a collimare il
punto A e agendo una seconda volta per collimare il
punto B (fig. 1.28) ed eseguire la terza lettura lBIII ;
si avrà: lAIII = lBII e quindi
ω 3 = lBIII − lAIII = lBIII − lBII
Supponendo di fermarci a tre ripetizioni, l’angolo
che si vuole ricavare sarà:
ω=
Fig. 1.28
( ω1 + ω 2 + ω 3 ) (lBI − lAI ) + (lBII − lBI ) + (lBIII − lBII ) (lBIII − lAI )
=
=
3
3
3
l nB − l IA
In generale, nel caso di n ripetizioni, la formula per il calcolo dell’angolo cercato è: ω =
n
Questo metodo è preciso (perché può essere effettuato con solo due letture al cerchio), ma
sconsigliato a causa del trascinamento del cerchio dovuto all’usura e alle perturbazioni al treppiede;
quindi, il suo uso è consigliato solo per gli strumenti meno precisi.
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Nota: Se l’indice di lettura passa per lo zero del cerchio graduato, la differenza è negativa e bisogna
aggiungere un angolo giro ogni m volte che l’indice è passato per lo zero, quindi:
ω=
l nB − l IA + (360° × m )
n
Metodo della reiterazione
Con questo metodo si realizza la rotazione del cerchio graduato in modo indipendente dall’alidada
mediante una vite oppure a mano.
ˆ si opera nel seguente modo:
Volendo misurare l’angolo orizzontale ω = AOB
a) lasciando fermo il cerchio, dal punto di stazione O si collimano i due punti A e B eseguendo
le corrispondenti lettura al cerchio graduato lAI e lBI , in questo modo ω1 = lBI − lAI ; sempre
collimando B si ruota il cerchio graduato di un valore pari a circa
360!
con n = numero
n
delle reiterazioni previste.
b) si esegue la seconda lettura lBII e, collimando il punto A, si esegue la seconda lettura l AII ;
quindi, si avrà ω 2 = lBII − lAII , poi sempre collimando il punto A si ruota ancora di un valore
pari a circa
360!
.
n
c) a questo punto si ripete il procedimento eseguendo la terza lettura lAIII e collimando il punto
B si esegue la lettura lBIII ottenendo ω 3 = lBIII − lAIII e così via.
L’errore di graduazione si compensa leggendo lo stesso angolo su più parti del cerchio (fig.
1.29).
Fig. 1.29 Facendo tre reiterazioni, l’angolo che si vuole ricavare sarà:
( ω1 + ω 2 + ω 3 ) (lBI − lAI ) + (lBII − lAII ) + (lBIII − lAIII ) (lBI + lBII + lBIII ) − (lAI + lAII + lAIII )
ω=
=
=
3
3
3
In generale, nel caso di n ripetizioni, la formula per il calcolo dell’angolo cercato è:
Σ l − Σ lA
ω= B
n
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Il metodo della ripetizione è più semplice e rapido, ma meno preciso.
Nota: Con i metodi della reiterazione e della ricezione si possono ridurre anche gli errori di
collimazione o di puntamento e gli errori di lettura quando si stimano gli angoli.
1.3.3 Errori nella misura degli angoli orizzontali
Gli errori di orizzontalità dell’asse secondario e l’errore di collimazione, negli strumenti moderni,
non sono rettificabili se non in laboratorio data la complessità dell’operazione; tuttavia, le case
costruttrici garantiscono queste condizioni di esattezza nei limiti di approssimazione dello
strumento.
È possibile però verificare se queste condizioni sono soddisfatte procedendo nel seguente modo:
- dopo aver reso verticale l’asse primario a una distanza di circa 50 metri, si distende un filo a
piombo;
- con il cannocchiale in posizione quasi orizzontale si esegue la collimazione del filo;
- si muove il cannocchiale verso l’alto e verso il basso e se entrambe le condizioni sono
verificate allora il centro dei fili del reticolo seguirà l’immagine del filo a piombo.
Nel caso in cui si le condizioni non siano soddisfatte, si può determinare ugualmente e in modo
preciso l’angolo orizzontale senza dover necessariamente eseguire la rettifica.
Vediamo come vengono effettuate queste operazioni.
a) Errore di orizzontalità
Quando abbiamo un errore di orizzontalità, per determinare l’angolo correttamente senza effettuare
la rettifica, le operazioni da eseguire sono le seguenti:
- si rende il cannocchiale pressoché orizzontale con il cerchio verticale alla sinistra (C.S.) e si
collima un generico punto P e si esegue la lettura l ad un indice del cerchio graduato
orizzontale;
- si capovolge il cannocchiale e ruotando l’alidada si mette lo strumento in modo che il
cerchio verticale sia a destra (C.D.) e si collima nuovamente il punto P eseguendo la
seconda lettura allo stesso indice.
Il valore dell’angolo q cercato si ottiene con la formula:
θ=
l ′ + l ′′ ± 180°
2
+ se l < 180°
l ed l sono le letture coniugate.
se l > 180°
b) Errore di collimazione
Quando abbiamo un errore di collimazione, per determinare l’angolo correttamente senza effettuare
la rettifica le operazioni da eseguire sono le seguenti:
- con il cannocchiale molto inclinato e con il cerchio verticale alla sinistra (C.S.), si collima
un generico punto P e si esegue la lettura l ad un indice del cerchio graduato orizzontale;
- si capovolge il cannocchiale e ruotando l’alidada si mette lo strumento in modo che il
cerchio verticale sia a destra (C.D.) e si collima nuovamente il punto P eseguendo la
seconda lettura allo stesso indice.
Il valore dell’angolo q cercato si ottiene con la formula:
θ=
l ′ + l ′′ ± 180°
2
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+ se l < 180°
l ed l sono le letture coniugate.
se l > 180°
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Gli errori residui di rettifica e la regola di Bessel
Si è visto che l’errore di verticalità non è eliminabile; quello di non ortogonalità, anche se non è
eliminabile, è trascurabile. Rimangono pur sempre degli errori, detti errori residui di rettifica, che
riguardano:
- l’errore di collimazione
- l’errore di inclinazione
- l’errore di eccentricità dell’alidada
- l’errore di eccentricità del cannocchiale
Per poter eliminare questi errori residui oppure nell’ipotesi di non aver potuto o voluto effettuare le
rettifiche di cui sopra, si usa la regola di Bessel secondo la quale:
per misurare un angolo orizzontale compreso tra due direzioni si deve effettuare per ogni punto
collimato la media aritmetica delle due letture l IA e l IIA agli indici diametralmente opposti con il
cannocchiale in posizione (C.S.) e delle due letture l III
agli stessi indici con il cannocchiale in
e l IV
A
A
posizione (C.D.) .
l IA + l IIA + l III
+ l IV
A
A
θA =
4
θB =
l I A e l II A
l I B e l II B
l IB + l IIB + l III
+ l IV
B
B
4
l III A e l IV A
l III B e l IV B
letture agli indici diametralmente opposti con (C.S.)
letture agli indici diametralmente opposti con (C.D.)
Alle letture coniugate l III A , l IV A e l III B , l IV B va aggiunto o tolto l’angolo piatto, a seconda che i
valori corrispondenti siano minori o maggiori di 180°.
L’angolo compreso tra le due direzione si otterrà come: ω = θ A − θ B
Se non ci sono gli indici diametralmente opposti, si eseguono le letture collimando i punti A e B sul
cerchio orizzontale con il cerchio verticale a sinistra del cannocchiale (C.S.) ottenendo l A(CS ) , l B (CS ) ;
successivamente, si capovolge il cannocchiale e si ruota l’alidada di 180°, eseguendo le letture con
il cerchio verticale a destra (C.D.) ottenendo l A (CD ) , l B (CD )
θA =
lA(CS ) + lA(CD)
2
ω = θ A − θ B
θB =
θ (CS ) = lB(CS ) − lA(CS )
lB(CS ) + lB(CD)
2
oppure
ω =
θ (CD) = lB(CD) − lA(CD)
θ (CS ) + θ (CD)
2
Per le letture coniugate l A(CD ) e l B (CD ) si dovrà sempre tenere in considerazione l’angolo piatto:
lA(CD) = lA(CD) ± 200 g
con il segno positivo se lA(CD) < 180° e negativo se lA(CD) > 180°
lB(CD) = lB(CD) ± 200 g
con il segno positivo se lB(CD) < 180° e negativo se lB(CD) > 180°
Nota: Se lo strumento non ha gli indici diametralmente opposti, allora la regola di Bessel non può
eliminare gli errori residui di eccentricità dell’alidada.
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1.4 Messa in stazione del goniometro
Per effettuare le misurazioni angolari, è necessario posizionare il goniometro in modo tale che il
centro C dello strumento sia sulla verticale passante per un punto materializzato a terra da un
picchetto di legno (o di ferro) o da un altro segnale opportuno.
Quest’operazione, detta messa in stazione o centramento del goniometro sul punto a terra, si può
realizzare in diversi modi:
a) mediante filo a piombo, si innesta il filo a piombo nel vitone di base del treppiede e lo si
allunga fino a sfiorare la superficie del terreno; quindi, in un primo momento, si effettua un
centramento approssimato spostando il treppiede all’incirca sulla verticale ed in seguito,
dopo aver fissato il treppiede a terra, si sposta lo strumento fino a fare sfiorare il punto a
terra con la punta del piombino e lo si fissa al treppiede stringendo il vitone della base; con
questo metodo si ha un’approssimazione nel centramento di ± 3-5 mm.
b) mediante piombino a bastone, si sistema il treppiede approssimativamente sul punto di
stazione e, dopo aver collegato il bastone al vitone del treppiede, si porta il suo puntale sul
punto a terra; quindi, si centra la livella sferica del piombino a bastone mediante piccoli
spostamenti dello strumento sulla base di appoggio del treppiede; il piombino a bastone è
costituito da due tubi coassiali scorrevoli l’uno dentro l’altro ed è graduato in modo da poter
leggere direttamente l’altezza strumentale. Con questo metodo si ha un’approssimazione nel
centramento di ± 1-2 mm.
c) Mediante piombino ottico, una volta sistemato il treppiede e lo strumento
approssimativamente sul punto di stazione, si rettifica l’asse primario con la livella sferica
del goniometro (in quanto l’asse del piombino ottico coincide con l’asse principale di
rotazione dello strumento); quindi, mantenendo allentato il vitone di base, si centra il punto
a terra mediante il cannocchialetto del piombino ottico (il centro della zona visiva del
piombino è identificata da una croce o da un circoletto) dando solo delle traslazioni parallele
ai due tratti incisi sul reticolo del cannocchialetto stesso per non srettificare l’asse primario
(fig. 1.30)
È un dispositivo posizionato sul basamento o sull’alidada
dei goniometri, che permette di collimare una limitata zona
del terreno sotto al treppiede grazie ad un prisma che devia
i raggi visuali di 90°. Con questo metodo si ha una
approssimazione nel centramento di qualche decimo di
millimetro.
Fig. 1.30
1.5 Misura degli angoli orizzontali
In genere la misura di un angolo orizzontale si realizza facendo stazione in un punto S e, dopo aver
collimato i due punti A e B che lo identificano (fig. 1.31), si effettuano le corrispondenti letture;
quindi, mediante la differenza tra la lettura seguente e la lettura precedente rispetto al senso
crescente della graduazione del cerchio, si determina la misura cercata: ω =lB −lA
Fig. 1.31
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Le letture eseguite al cerchio orizzontale (C.O.) (come quelle al cerchio verticale (C.V.)) vengono
trascritte nel libretto di campagna; supponendo di aver stazionato con un teodolite nel punto S e di
aver collimato i punti A, B, C e D, si potrebbe avere una situazione di questo tipo (fig. 1.32):
Punti
Collimati
Stazione
S
Letture al Cerchio
Orizzontale
A
47g,8054
B
117 g,5965
C
228 g,2708
Fig. 1.32
Dalle misurazioni eseguite si possono
determinare i seguenti angoli orizzontali:
ˆ = ω = l − l = 117g ,5965 − 47g ,8054 = 69 g ,7911
ASB
1
B
A
ˆ
BSC = ω = l − l = 228g ,2708 −117g ,5965 = 110 g ,6743
2
C
B
ˆ = ω = l − l = 47g ,8054 − 228g ,2708 + 400 g = 219 g ,5346
CSA
3
A
C
Essendo l’ultimo angolo negativo significa che l’indice di lettura, durante la rotazione dell’alidada,
è passato per lo zero della graduazione e per questo motivo si aggiunge il valore dell’angolo giro.
La misura degli angoli orizzontali, eseguita come differenza di letture, deve essere effettuata
mediante delle letture coniugate e l’applicazione della regola di Bessel; si ricorda che questa
procedura elimina diversi errori (eccentricità, collimazione, inclinazione), ma non quello di
verticalità dell’asse primario per il quale è necessaria una rettifica accurata.
Come precedentemente illustrato, quando si vogliono ridurre gli effetti dovuti all’errore di
verticalità nella misura degli angoli orizzontali, si possono usare i metodi della ripetizione e della
reiterazione; invece, nei teodoliti elettronici quest’operazione è effettuata automaticamente.
Infine, si ricorda il metodo a strati o a giri d’orizzonte che è simile al metodo della reiterazione
solo che gli angoli da misurare sono più di uno; anche per questo metodo si deve decidere quanti
strati effettuare.
1.5.1 Misura degli angoli orizzontali con stazione fuori centro
Se, dovendo stazionare in un punto S per collimare due punti A e B necessari alla determinazione
dell’angolo orizzontale a, il punto di stazione risultasse inaccessibile, si è costretti a posizionare lo
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strumento su di un punto S * nelle immediate vicinanze del punto S eseguendo una stazione fuori
centro (fig. 1.33).
Dal punto di stazione S * si effettuano le
misurazioni degli angoli θ A* , θ B*, θ S* , delle
distanze SA, SB e dell’eccentricità e = SS * ; si
determinano quindi gli angoli:
ω1 = (θ S* − θ A* )
ω 2 = (θ S* − θ B* )
α * = (θ B* − θ A* )
A questo punto è possibile determinare le
correzioni ε A , ε B da apportare all’angolo α * per
ottenere l’angolo cercato a applicando il teorema
dei seni; quest’operazione è detta riduzione al
centro di stazione.
Poiché ε A , ε B sono angoli piccolissimi sen ε A = ε Arad =
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Fig. 1.33
ε A ′′
206265 ′′
sen ε B = ε Brad =
ε B ′′
206265 ′′
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Nel caso in cui la stazione fuori centro fosse
situata come in figura (fig. 1.34) allora gli
angoli saranno:
ω1 = (θ S* − θ A* )
ω 2 = (θ B* − θ S* )
α * = (θ B* − θ A* )
Quindi, si procede in modo analogo al caso
precedente determinando l’angolo come:
α = α * + εA + εB
Fig. 1.34
Determinazione dell’eccentricità del punto di stazione
Per poter determinare la distanza relativa all’eccentricità e = SS * , non potendola misurare
direttamente a causa dell’inaccessibilità del punto di stazione S, si prende un punto P, accessibile
come la stazione fuori centro S * , dal quale si vedono contemporaneamente i due punti S e S * (fig.
1.35).
Misurando direttamente la distanza PS * e gli angoli b e
g rispettivamente ai vertici della distanza stessa, si
ottiene:
e
PS *
=
sen β sen γ
⇒ e=
PS * × sen β
sen γ
Fig. 1.35
con d = 200g - ( b + g )
Se, dalla stazione fuori centro S * non è agevole la
misura diretta della distanza PS * , allora si possono
prendere due punti P e Q tali che la misura diretta della
loro distanza, detta base, sia facilmente effettuabile e
mediante una doppia intersezione semplice (che si vedrà
nei capitoli successivi) si risolve i problema (fig. 1.36).
In ogni caso l’eccentricità deve sempre essere
determinata con grande precisione per non incorrere in
imprecisioni non trascurabili.
Fig. 1.36
Nota: nel caso delle triangolazioni, le due distanze SA e SB possono essere dedotte anche in modo
approssimato (ad esempio da una carta topografica), in quanto tali distanze compaiono al
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denominatore delle formule per il calcolo delle correzioni ε A , ε B che sono frazioni molto piccole e,
quindi, non risentono di tale approssimazione.
1.5.2 Misura degli angoli orizzontali con segnale fuori centro
Quando il segnale non è visibile dal centro di stazione S, allora nelle vicinanze del punto P dove
andrebbe posto il segnale, si prende un punto P * detto segnale fuori centro (fig. 1.37).
Misurando l’angolo α * e determinando le
distanze e = PP * , SP si può calcolare
l’angolo orizzontale reale mediante:
θ A = θ A* + ε
L’angolo e si determina, analogamente a prima, applicando il teorema dei seni:
Fig. 1.37
Anche in questo caso si ha:
Quest’operazione è detta riduzione al centro del segnale.
1.6 Misura degli angoli verticali
Nelle letture eseguite con il cerchio verticale dello strumento, l'angolo viene detto zenitale se
riferito alla verticale e si indicherà con la lettera j, oppure angolo di inclinazione se viene riferito
all'orizzontale e si indicherà con la lettera a ; gli strumenti moderni misurano quasi esclusivamente
angoli zenitali. L'angolo j è sempre positivo ed inoltre:
- se j < 90° allora a è sopra all'orizzontale, vale 90° - j ed è positivo e si dirà di elevazione (fig.
1.38);
- se j > 90° allora a è sotto all'orizzontale, vale j - 90° ed è negativo e si dirà di depressione (fig.
1.39);
Fig. 1.38
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Fig. 1.39
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La misura di un angolo verticale è analoga a quella di un angolo orizzontale, però vi sono delle
differenze sostanziali quali:
- l’orientamento per gli angoli orizzontali è in genere arbitrario, mentre per quelli verticali
coincide con la verticale o con l’orizzontale;
- nella misura di un angolo orizzontale il relativo cerchio rimane fisso e gli indici di lettura
ruotano insieme all’alidada, mentre per gli angoli verticali il relativo cerchio ruota
solidamente con il cannocchiale e gli indici rimangono fissi con l’alidada;
- il cerchio verticale generalmente poco più piccolo di quello orizzontale in quanto viene
richiesta una minore precisione;
- al cerchio verticale non è possibile applicare i metodi per rimediare agli errori di
graduazione.
A causa degli errori a cui sono soggetti i metodi stadimetrici, è consigliabile usare angoli zenitali
compresi fra 60° £ j £ 120° che equivale a non superare angoli a = 30° in elevazione o in
depressione.
1.6.1 Errori nella misura degli angoli verticali
Gli errori più temibili per la misura degli angoli verticali sono dovuti all’errore dell’indice zenitale e
alla non verticalità dell’asse primario.
Corretta posizione dell’indice zenitale
La non corretta posizione dell’indice zenitale si verifica quando, supponendo di porre il
cannocchiale in posizione verticale e di poter effettuare la corrispondente lettura, si ottiene un
valore dell’angolo j diverso da zero, detto zenit strumentale.
Per determinare l’angolo correttamente senza effettuare la rettifica, le operazioni da eseguire sono le
seguenti:
-
con il cannocchiale avente il cerchio verticale alla sinistra (C.S.), si collima un generico
punto P e si esegue la lettura l ad un indice del cerchio graduato verticale;
si capovolge il cannocchiale e, ruotando l’alidada, si mette lo strumento in modo che il
cerchio verticale sia a destra (C.D.) e si collima nuovamente il punto P eseguendo la
seconda lettura allo stesso indice.
Il valore dell’angolo q cercato si ottiene con la formula: φ =
l ′ − l ′′ + 360°
l ′ ed l ′′ sono le letture
2
coniugate.
Il valore dello zenit si determina invece mediante la formula: z =
l ′ + l ′′ − 360°
2
In alcuni strumenti il controllo della verticalità è affidato ad una livella torica, detta livella zenitale,
montata sugli indici di lettura del cerchio verticale e provvista di viti di rettifica, la cui sensibilità è
maggiore di quella montata sull’alidada oppure da dei particolari compensatori meccanici che,
sfruttando le proprietà del pendolo, mantengono l’indice del cerchio nella giusta posizione verticale
anche se l’asse principale non è perfettamente verticale.
1.6.2 Misura degli angoli verticali con stazione fuori centro
A volte può accadere che dovendo misurare l’angolo zenitale j, collimando un punto P, non si può
mettere lo strumento sul un punto di stazione S, allora si fa stazione in un punto S1 nelle immediate
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vicinanze di S; in questo modo si misura un angolo zenitale j1, diverso dall’angolo j, che si
sarebbe dovuto misurare perché contiene un errore ε1 ed è quindi necessario effettuare una
riduzione al centro di stazione S.
Si possono avere i seguenti casi:
-
il punto di stazione S1 risulta spostato sulla verticale passante per il punto S ;
il punto di stazione S1 risulta spostato sull’orizzontale passante per il punto S;
il punto di stazione S1 risulta spostato sia in verticale che in orizzontale rispetto al punto S.
a) Il punto di stazione S1 risulta spostato sulla verticale passante per il punto S
In questo caso, considerando che:
- gli angoli zenitali j e j1 hanno valori molto vicini a 90° quindi sen φ ≅ sen φ1
-
ε1 ′′
206265 ′′
l’errore e che si commette è molto piccolo, quindi sen ε1 ≅ ε1rad =
allora l’errore si può calcolare con la seguente formula
L’angolo j, che si sarebbe dovuto misurare, si ricava nei seguenti modi:
- se il punto S1 è più alto del punto S (fig. 1.40) φ = φ1 − ε1
- se il punto S1 è più basso del punto S (fig. 1.41) φ = φ1 + ε1
Fig. 1.40
Fig. 1.41
b) Il punto di stazione S1 risulta spostato sull’orizzontale passante per il punto S
Analogamente a prima, dal punto di stazione S1 si misura un angolo zenitale j1, diverso dall’angolo
j, che si sarebbe dovuto misurare perché contiene un errore ε 2 ; considerando che sen φ ≅ sen φ2 e
che l’errore è molto piccolo, allora il suo valore è:
L’angolo j, che si sarebbe dovuto misurare, si ricava nei seguenti modi:
- se il punto S1 è a sinistra rispetto al punto S (fig. 1.42) φ = φ1 − ε 2
- se il punto S1 è a destra rispetto al punto S (fig. 1.43) φ = φ1 + ε 2
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Fig. 1.43
Fig. 1.42
c) Il punto di stazione S1 risulta spostato sia in verticale che in orizzontale rispetto al punto S
Si possono avere quattro casi:
1) il punto S1 è a sinistra e a quota più bassa rispetto al punto S, quindi: φ = φ1 + ε1 − ε 2
2) il punto S1 è a destra e a quota più bassa rispetto al punto S, quindi: φ = φ1 + ε1 + ε 2
3) il punto S1 è a sinistra e a quota più alta rispetto al punto S, quindi: φ = φ1 − ε1 − ε 2
4) il punto S1 è a destra e a quota più alta rispetto al punto S, quindi: φ = φ1 − ε1 + ε 2
1.6.3 Misura degli angoli verticali con segnale fuori centro
Può capitare che il punto P non possa essere collimato, quindi, senza cambiare punto di stazione, si
collima un altro punto P1 posto più in alto o più in basso sulla verticale passante per P.
Invece dell’angolo zenitale j si misura un angolo che contiene un errore
si misura un angolo zenitale φ * , diverso dall’angolo j, che si sarebbe dovuto misurare perché
contiene un errore ε ;
Essendo sen φ ≅ sen φ * e l’entità dell’errore molto piccola, allora il suo valore è:
Il valore di h deve essere considerato positivo quando P1 è più alto e negativo quando è più basso.
L’angolo j, che si sarebbe dovuto misurare, si ricava nei seguenti modi:
- se il punto P1 è più basso rispetto al punto P (fig. 1.44) φ = φ * − ε
- se il punto P1 è più alto rispetto al punto P (fig. 1.45) φ = φ * + ε
Fig. 1.44
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Fig. 1.45
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1.7 Mezzi per apprezzare i piccoli intervalli delle graduazioni
Se misuriamo un segmento con un righello graduato in millimetri, dovendo stimare un tratto di
graduazione, l’occhio umano riesce, al massimo, ad apprezzare il decimo di millimetro (0,1mm);
questa approssimazione non è sufficiente per le misure angolari in quanto un tratto di quelle
dimensioni su di un cerchio graduato corrisponde a circa un decimo di grado sessagesimale.
Per questo motivo è necessario avere dei dispositivi che permettano di superare queste difficoltà.
Tra questi dispositivi presenti in un goniometro si possono ricordare:
- nonio o veniero
- micrometro a stima
- micrometro a scala
- microscopio a micrometro ottico
- microscopio a coincidenza di immagini
- microscopio a simmetria di immagini
1.7.1 Il nonio o veniero
Consiste in una porzione di graduazione, che si affaccia sulla scala principale di un cerchio graduato
(o di un’asta graduata) e crescente nello stesso senso, suddivisa in modo che (n – 1) intervalli della
graduazione del cerchio corrispondano ad (n) intervalli del nonio (fig. 1.46).
Fig. 1.46
Indicando con l l’ampiezza del tratto di graduazione del nonio e con L quella del cerchio, allora:
(
)
n × l = n −1 × L (*)
La differenza ( L − l ) = a si dice approssimazione del nonio e la si può determinare sostituendo il
valore l = L − a nell’espressione (*) ottenendo: a =
L
n
L = più piccolo intervallo di graduazione della scala principale del cerchio goniometrico;
n = numero di suddivisioni del nonio
Il valore dell’approssimazione del nonio deve essere noto prima di effettuare le letture angolari.
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ESEMPIO
Un nonio diviso in 30 parti applicato ad un cerchio goniometrico suddiviso in gradi sessagesimali,
60'
come indicato in figura 1.47, ha un’approssimazione di: a =
= 2' in quanto l’intervallo di
30
graduazione L vale 1°, ovvero 60' .
Fig. 1.47
In questo caso, essendo il nonio suddiviso in 30 parti, l’intervallo di cerchio è costituito da 29 parti.
Nota: Osservando l’esempio precedente si può notare che, per sapere in quante parti è suddiviso il
nonio, bisogna contare gli intervalli e non basarsi sul numero riportato sull’ultimo trattino, perché
solo a volte coincide con il numero effettivo di intervalli.
1.7.1.1 La lettura del nonio
Prima cosa, bisogna vedere se il nonio è azzerato; infatti, si dice azzerato se l’indice del nonio (che
è indicato da una freccia) coincide esattamente con un tratto della scala principale del cerchio; in tal
caso, la lettura si effettua con il solo indice senza esaminare il nonio (fig. 1.48).
ESEMPIO
Fig. 1.48
Invece, nel caso di nonio non azzerato, solo un
trattino del nonio coincide con quello del cerchio
della scala principale. L’ampiezza degli intervelli
delle due scale è pressoché uguale, quindi per poter
verificare la coincidenza di un tratto conviene
verificare la non coincidenza del tratto precedente e
del seguente ovvero i due intervalli, il cui lato
adiacente è il tratto che si suppone coincidente, sono
compresi all’interno dei due corrispondenti tratti del
cerchio graduato (fig. 1.49).
Fig. 1.49
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Siccome il tratto che coincide potrebbe essere il primo o l’ultimo, allora si spiega la presenza dei
tratti marginali necessari per effettuare questo controllo.
ESEMPIO
In figura 1.50, il tratto di nonio coincidente con il tratto del cerchio graduato è il quindicesimo; il
cerchio goniometrico è suddiviso in gradi centesimali e il nonio è suddiviso in 25 parti, quindi
l’approssimazione è a = 4c e la lettura dell’angolo sarà: 56g + (4c ¥ 15) = 56g, 30c
Fig. 1.50
A volte il nonio riporta sulla propria scala il numero che indica il risultato del prodotto tra il kesimo intervallo e l’approssimazione cioè (k × a).
1.7.2 Il micrometro a stima
È un microscopio composto avente un reticolo costituito da un tratto inciso su un vetrino, il cui
funzionamento è simile a quello di una lente d’ingrandimento. In questo modo un intervallo della
graduazione di 0,1 mm, ingrandito di dieci volte, apparirà come se fosse di 1mm percui la stima non
riguarderà i decimi di millimetro, ma i centesimi.
Il cerchio graduato è in genere diviso in gradi e in decine di primi; il grado sessagesimale è diviso in
sei parti mentre il grado centesimale è diviso in dieci parti; quindi l’intervallo minimo sarà di 10'
oppure 10 c.
Invece, nei goniometri di maggiore precisione il cerchio è diviso in primi e in decine di secondi;
analogamente a prima, il primo sessagesimale è diviso in sei parti mentre il primo centesimale è
diviso in dieci parti; quindi l’intervallo minimo sarà di 6'' oppure 10cc.
A volte per agevolare la stima degli intervalli, il cerchio porta una graduazione supplementare
sfalsata di mezzo intervallo rispetto a quella principale.
Nelle letture bisogna fare attenzione al senso in cui crescono i numeri della graduazione, perché
alla lettura stimata va aggiunta quella eseguita direttamente, che è immediatamente precedente
all’indice di lettura.
1.7.3 Il micrometro a scala
È un microscopio composto avente un reticolo costituito da una scaletta micrometrica, di
ampiezza pari ad un grado, incisa su un vetrino.
Il cerchio graduato è diviso solamente in gradi sessagesimali o centesimali, mentre la scaletta è
divisa rispettivamente in 60 parti oppure 100 parti (quindi la sua lunghezza uguaglia quella di due
tratti di graduazione del cerchio); inoltre, la graduazione della scaletta cresce in senso contrario a
quella del cerchio.
Con questo micrometro si possono stimare i centesimi di grado.
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1.7.4 Il microscopio a micrometro ottico
Il valore da attribuire al tratto compreso tra l’indice di lettura e la graduazione del cerchio si
determina tramite un micrometro ottico, che è costituito da una lastra pian-parallela, inserita nel
circuito ottico della graduazione, che può ruotare tramite un’apposita vite micrometrica.
La vite deve essere ruotata fino a quando uno dei due tratti del cerchio, che precede o segue
l’indice, non coincide con il medesimo; siccome solo uno dei due tratti può realizzare la
coincidenza, allora se il bottone si blocca prima di aver ottenuto la coincidenza, allora si ruota in
senso contrario ottenendola sicuramente.
Nei teodoliti moderni i cerchi orizzontale e verticale
vengono visti contemporaneamente, ma sia il filo di
lettura che la scala micrometrica sono unici; quindi,
la coincidenza tra l’indice di lettura e il tratto del
cerchio deve essere fatta, per i due cerchi, in tempi
successivi (fig. 1.51).
Lettura al cerchio orizzontale: 148g, 216
Fig. 1.51
1.7.5 Il microscopio a coincidenza di immagini
Il microscopio composto permette di osservare contemporaneamente le immagini di due piccole
porzioni, diametralmente opposte, di uno stesso cerchio graduato; le due scale appaiono
generalmente sfalsate, una dritta (quella principale) e l’altra rovesciata (quella contrapposta).
Se le letture alle due scale fossero eseguite singolarmente si otterrebbe:
l1 = 170 g + a
lm =
l1 + a + (l2
l2 = 370 g + b
200 g ) + b
2
a+b
= 170 g +
2
=
Sul percorso di ciascuna immagine è
inserita una lastra pian-parallela;
tramite un bottone esterno si può
dare una rotazione uguale e contraria
alle lamine in modo da ottenere la
coincidenza dei tratti delle due
graduazioni (fig. 1.52 ).
Fig. 1.52
Una volta avvenuta la coincidenza, il filo che fa da indice di lettura può trovarsi su di un tratto della
graduazione oppure a metà intervallo (che deve essere considerato nella lettura); inoltre, siccome le
due quantità a e b non sono necessariamente uguali, l’indice (a coincidenza effettuata) può anche
non coincidere perfettamente con le incisioni dei cerchi.
Con questo metodo si ottengono misure angolari esenti dall’errore di eccentricità dell’alidada.
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1.7.6 Il microscopio a simmetria di immagini
Il microscopio composto permette di osservare contemporaneamente le immagini di due piccole
porzioni diametralmente opposte di uno stesso cerchio graduato, appartenenti a due graduazioni
concentriche rappresentate in modo differente l’una dall’altra (ad esempio quella interna con tratti
doppi e quella esterna con tratti semplici.
Una delle due immagini (quella esterna) viene osservata direttamente, mentre l’altra (quella interna)
attraverso una lastra pian-parallela; ruotando la lastra mediante un bottone esterno si fa in modo che
i tratti semplici possano bisecare (passare esattamente in mezzo) quelli doppi.
A volte, entrambe le graduazioni sono costituite da tratti semplici e, quindi, osservandole al
microscopio appaiono come un’unica graduazione con tratti doppi; in questo caso la lettura si
esegue dopo aver bisecato con l’indice gli stessi tratti doppi, agendo sempre sulla lastra pianparallela.
Anche con questo metodo si ottengono misure angolari esenti dall’errore di eccentricità
dell’alidada.
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