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Piastre sottili
Appunti del corso di Ponti e Grandi Strutture
R. Giannini
a.a. 2006/2007
Indice
1 Introduzione
2
2 Equazione delle piastre sottili
2.1 Definizione . . . . . . . . . . . .
2.2 Ipotesi . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Equazioni di equilibrio . . . . . .
2.4 Congruenza . . . . . . . . . . . .
2.5 Legge costitutiva del materiale .
2.6 Equazione indefinita delle piastre
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3
3
3
5
6
8
8
3 Condizioni ai bordi
10
4 Cambiamento di riferimento
11
5 Piastre circolari con carichi
5.1 Carico uniforme . . . . . .
5.1.1 Bordo appoggiato
5.1.2 Bordo incastrato .
5.2 Carico concentrato . . . .
5.2.1 Bordo appoggiato
5.2.2 Bordo incastrato .
e
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vincoli simmetrici
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. . . . . . . . . . . .
6 Piastra semplicemente appoggiata (soluzione
6.1 Carico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Piastra su appoggi monolateri . . . . . . . . .
6.3 Carico concentrato . . . . . . . . . . . . . . .
7 Superfici di influenza delle piastre
di
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12
14
14
15
16
17
18
Navier)
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. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
19
20
25
26
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28
8 Piastre ortotrope
31
8.1 Legge costitutiva dei materiali ortotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.2 Equazione delle piastre ortotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.3 Ortotropia geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9 Piastre sollecitate nel piano (lastre)
36
10 Instabilit`
a delle lastre piane
38
10.1 Piastra appoggiata soggetta ad Nx = cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1
1
Introduzione
La teoria delle piastre costituisce una estensione al campo bidimensionale di quella delle
travi. Le travi sono elementi strutturali in cui una dimensione prevale sulle altre due
in modo tale che è possibile formularne un modello monodimensionale in cui tutte le
grandezze sono funzioni di una sola variabile. Le piastre sono strutture estese spazialmente,
in cui due dimensioni sono prevalenti sulla terza; per questi oggetti si pu`
o sviluppare un
modello bidimensionale, le cui grandezze sono funzioni delle due coordinate dei punti di
una superficie. Se la superficie è curva la struttura prende pi`
u propriamente il nome di
guscio, mentre il nome piastra è riservato al caso in cui la superficie è piana e la struttura
è sollecitata prevalentemente a flessione.
Nei gusci si è soliti distinguere due tipi di sollecitazioni: quelle contenute nel piano tangente alla superficie media sono dette sollecitazioni di membrana, le altre sono le
componenti flessionali della sollecitazione. Generalmente sono presenti entrambi i tipi di
sollecitazione, ma in alcuni casi uno dei due prevale sull’altro. Nelle strutture bidimensionali piane sollecitate da forze contenute nel piano (lastre), sono presenti solo sollecitazioni
di membrana; se le forze agiscono perpendicolarmente al piano, le sollecitazioni sono prevalentemente flessionali, ed in tal caso si parla propriamente di piastre. Nelle strutture a
superficie curva le sollecitazioni di membrana e quelle flessionali interagiscono tra loro e
quindi devono essere analizzate simultaneamente; in quelle piane il problema si disaccoppia e lo stato di sollecitazione si pu`
o determinare sovrapponendo la soluzione del problema
di lastra a quella della piastra.
Vi sono molti casi di strutture reali che si possono modellare come elementi bidimensionali: cupole, volte, serbatoi, sono esempi di strutture che possono rappresentarsi come
gusci1 ; gli elementi di copertura piani, le solette degli impalcati dei ponti, i muri di sostegno e le spalle, le zattere per fondazioni estese, sono esempi di strutture modellabili come
piastre.
Lo studio delle strutture bidimensionali è notevolmente pi`
u complesso di quello delle
travi; infatti, a differenza di queste ultime, tali strutture sono internamente iperstatiche;
quindi le equazioni di equilibrio, indipendentemente dai vincoli esterni, non sono sufficienti
a consentire la determinazione univoca del loro stato tensionale. In aggiunta le equazioni
indefinite sono equazioni differenziali alle derivate parziali, un genere pi`
u difficile da trattare delle equazioni ordinarie. Nel caso dei gusci poi il problema è ulteriormente complicato
dalla geometria curvilinea della superficie.
Queste difficolt`
a hanno in passato spinto molti autori a cercare delle soluzioni analitiche per numerosi casi particolari, per la forma della piastra, per la disposizione dei vincoli
e per la distribuzione del carico; queste soluzioni, per lo pi`
u limitate a casi di geometria
semplice (circolare, rettangolare), sono poi state raccolte in tabelle che, a meno di qualche parametro (dimensione, intensit`
a del carico, rigidezza) forniscono le grandezze pi`
u
significative (massima freccia, momenti in alcuni punti caratteristici); infatti le soluzioni
sono in genere espresse sotto forma di serie il cui calcolo, in epoca pre-computer, risultava
comunque piuttosto oneroso.
La situazione è notevolmente cambiata da quando le potenzialità e la diffusione dei
calcolatori hanno reso possibile e di facile impiego il metodo degli elementi finiti, che
consente, per le piastre come per altre tipologie strutturali, di analizzare situazioni anche
1
Fuori dal campo delle strutture civili le strutture a guscio trovano estesa applicazione nel campo
meccanico (p.es. le scocche e le carrozzerie delle auto) e aeronautico (p.es. le fusoliere degli aerei).
2
P1
P
h/2
Π
h/2
P2
Figura 1: Definizione di piastra
molto complesse per geometria, vincoli e carichi e di determinarne una soluzione numerica,
approssimata ma quanto si vuole accurata. Gli elementi finiti di piastra, che includono
anche le sollecitazioni di membrana, consentono di trattare strutture sia piane (lastre e
piastre) sia curve (gusci) e quindi offrono uno strumento potente e flessibile che ha reso
per lo pi`
u obsolete le tabelle di cui si è detto2 .
Nel seguito verr`
a esposta in modo succinto la teoria delle piastre sottili (per le quali è
possibile trascurare la deformabilit`
a a taglio). L’equazione generale viene quindi specializzata al caso delle piastre circolari simmetriche, per le quali sono note soluzioni analitiche
semplici. Successivamente sar`
a trattata la soluzione di Navier per le piastre rettangolari
appoggiate e si far`
a cenno al problema delle superfici di influenza. Dopo aver succintamente esposto la teoria delle lastre piane, soggette alle componenti di membrana della
sollecitazione, viene accennato il problema della stabilit`
a delle lastre compresse. Anche se,
come si è detto, le tecniche agli elementi finiti hanno reso in certa misura superata l’utilità
delle soluzioni tabellari di casi particolari, la determinazione e la relativa discussione di
alcune soluzioni analitiche consente di trarre delle conclusioni di validit`
a generale che è
importante conoscere e tenere presente, particolarmente durante la progettazione.
2
Equazione delle piastre sottili
2.1
Definizione
Per piastra si intende un corpo in cui due dimensioni prevalgono sulla terza. Una piastra
si pu`
o pensare generata da una parte di piano Π (piano medio); in ogni punto P del piano
si tracciano, in versi opposti, due segmenti perpendicolari al piano di lunghezza h/2. I
punti P1 e P2 , estremi dei segmenti, determinano, al variare di P ∈ Π, due superfici (due
piani se h è costante) che delimitano la piastra. Il corpo inoltre si definisce piastra se è
caricato solo con forze perpendicolari al piano medio.
2.2
Ipotesi
Indicando con x, y due assi tra loro ortogonali contenuti nel piano medio e con z un asse
ortogonale a questo piano e rivolto verso il basso, si assume che σ z ≡ 0.
Considerando un elementino di lati dxdy, sulla faccia di normale x agiranno le tensioni:
a di lunghezza,
σ x , τ xy , τ xz (vedi Fig. 2) a cui corrispondono le forze ed i momenti, per unit`
2
Queste tabelle, in molti casi, offrono ancora uno strumento utile per una rapida valutazione delle
sollecitazioni, particolarmente nelle fasi di dimensionamento della struttura.
3
x
τxy
τyx
y
σy
τxz
τyz
σx
z
Figura 2: Stato di tensione su di un elementino di piastra.
risultant3 i:
Nx =
Vx =
Vxy =
mx =
mxy =
Z
h/2
−h/2
Z h/2
−h/2
Z h/2
−h/2
Z h/2
−h/2
Z h/2
σ x dz
(1a)
τ xz dz
(1b)
τ xy dz
(1c)
σ x zdz
(1d)
τ xy zdz
(1e)
−h/2
Le risultanti di sollecitazione Nx e Vxy sono dette forze di membrana e sono prodotte
da carichi agenti parallelamente al piano medio della piastra. Per le piastre caricate
ortogonalmente al piano medio si assume che Nx = Vxy ≡ 0. Quindi le sole componenti
non nulle sono Vx , mx , mxy .
Analogamente, sulla faccia parallela all’asse y si avr`
a che i termini Ny e Vyx sono nulli,
mentre i rimanenti sono definiti da:
Z h/2
Vy =
τ yz dz
(2a)
−h/2
h/2
my =
myx =
Z
−h/2
Z h/2
σ y zdz
(2b)
τ yx zdz
(2c)
−h/2
Per la reciprocit`
a delle τ si ha ovviamente che myx = mxy . La piastra è quindi caratterizzata da cinque componenti di sollecitazione:
3
Le risultanti Nx , Vx , ecc. hanno la dimensione di una forza divisa per una lunghezza. I momenti
risultanti mx , my , mxy , hanno le dimensioni di un momento diviso per una lunghezza, cioè di una forza.
4
Figura 3: Risultanti delle tensioni agenti sull’elemento di piastra.
• due forze di taglio Vx e Vy
• due momenti flettenti mx e my
• un momento torcente mxy = myx
Dal punto di vista cinematico si assume che i segmenti ortogonali al piano medio
restino, dopo la deformazione, rettilinei; questo vuol dire che i punti lungo il segmento
P1 P2 dopo la deformazione apparterranno ancora ad un segmento con punto medio P 0 ,
posizione di P dopo la deformazione.
2.3
Equazioni di equilibrio
Partendo dalle ipotesi fatte prima, indicando con p la forza per unit`
a di superficie applicata
perpendicolarmente al piano medio, quindi in direzione dell’asse z, si deducono facilmente
le seguenti equazioni di equilibrio indefinito:
1. Equilibrio delle forze nella direzione dell’asse z
¶
µ
¶
µ
∂Vy
∂Vx
dx dy + −Vy + Vy +
dy dx + pdxdy = 0
−Vx + Vx +
∂x
∂y
2. Equilibrio dei momenti attorno y
¶
µ
¶
µ
∂myx
∂mx
dx dy + −myx + myx +
dy dx − Vx dydx = 0
−mx + mx +
∂x
∂y
3. Equilibrio dei momenti attorno ad x
¶
µ
¶
µ
∂my
∂mxy
dy dx + −mxy + mxy +
dx dy − Vy dxdy = 0
−my + my +
∂y
∂x
5
(2d)
(2e)
(2f)
P1
P
φy
uP φ
y
P1 '
y
P’
x
Figura 4: Spostamento di un punto della piastra
Semplificando, da queste tre equazioni si ottiene il sistema
∂Vx ∂Vy
+
= −p
∂x
∂y
∂mx ∂myx
+
Vx =
∂x
∂y
∂mxy
∂my
+
Vy =
∂y
∂x
(3a)
(3b)
(3c)
Nelle (3), sostituendo la seconda e la terza nella prima, e ricordando che mxy = myx , si ha
µ
¶
µ
¶
∂mxy
∂ ∂mx ∂myx
∂ ∂my
+
+
+
= −p
(4)
∂x
∂x
∂y
∂y
∂y
∂x
ovvero
2.4
∂ 2 my
∂ 2 mxy
∂ 2 mx
+
+
2
= −p
∂x2
∂x∂y
∂y 2
(5)
Congruenza
Per l’ipotesi che i segmenti normali al piano medio rimangono rettilinei, lo spostamento
o esprimere come somma dello
di un punto Q, di ordinata z lungo il segmento P1 P2 , si pu`
spostamento di P e della rotazione φ del segmento P1 P2 (Fig. 4):
uQ = uP + φ ∧ nz
(6)
del¤punto del piano medio, φ è il vettore rotazione, contenuto£ nel piano
uP è lo spostamento
£
¤
medio (φ = φx φy 0 ), n è il vettore unitario normale al piano medio (n = 0 0 1 )
e ∧ indica il prodotto vettoriale. In forma scalare si ha
uQx = uP x + φy z
(7a)
uQy = uP y − φx z
(7b)
uQz = uP z
6
(7c)
Per l’assenza delle forze di membrana Nx , Ny , Vxy , si pu`
o assumere che i punti del
piano medio subiscano, nel piano stesso, al pi`
u un moto rigido. Quindi, senza perdita di
generalità si può porre uP x = uP y = 0 in modo che le (7) divengono
uQx = φy z
(8a)
uQy = −φx z
(8b)
uQz = w
(8c)
dove per brevit`
a si è posto uP z = w. Ovviamente φx , φy e w sono funzioni delle coordinate
(x, y) del punto P .
Dal campo degli spostamenti (8) si passa a quello delle deformazioni:
∂uQx
∂x
∂uQy
∂y
∂uQx
∂y
∂uQx
∂z
∂uQy
∂z
εx =
εy =
γ xy =
γ xz =
γ yz =
∂φy
z
∂x
∂φ
= − xz
∂y
µ
¶
∂φy
∂uQy
∂φx
+
=
−
z
∂x
∂y
∂x
∂uQz
∂w
+
= φy +
∂x
∂x
∂uQz
∂w
+
= −φx +
∂y
∂y
=
(9a)
(9b)
(9c)
(9d)
(9e)
Per le piastre sottili, ossia tali che h ¿ L (L indica la pi`
u piccola dimensione della piastra
nel piano xy), le deformazioni dovute al teglio γ xz e γ yz sono generalmente piccole ed i loro
effetti trascurabili rispetto a quelli prodotti dalle deformazioni normali εx ed εy . L’ipotesi,
che si aggiunge alle altre, valida per le piastre sottili, è che la piastra sia infinitamente
rigida a taglio, in modo che si possa assumere γ xz = γ yz = 0.
Da queste ultime condizioini e dalle (9d,e) segue che
∂w
∂y
∂w
= −
∂x
φx =
(10a)
φy
(10b)
sostituendo le (10) nelle (9a-c) si ha
∂φy
∂2w
z =− 2z
∂x
∂x
∂2w
∂φx
z=− 2z
= −
∂y
∂y
µ
¶
∂φy ∂φx
∂2w
−
z
=
z = −2
∂y
∂x
∂x∂y
εx =
(11a)
εy
(11b)
γ xy
7
(11c)
2.5
Legge costitutiva del materiale
Se il materiale con cui è realizzata la piastra ha un comportamento elastico isotropo, si
hanno le relazioni seguenti, tra le tensioni e deformazioni non nulle:
1
(σ x − νσ y − νσ z )
(12a)
εx =
E
1
(σ y − νσ x − νσ z )
(12b)
εy =
E
1
(σ z − νσ x − νσ y )
(12c)
εz =
E
τ xy
2 (1 + ν)
(12d)
=
τ xy
γ xy =
G
E
dove E e ν sono il modulo di Young e il coefficiente di Poisson del materiale.
Per ipotesi σ z = 0, quindi
1
εx =
(σ x − νσ y )
(13a)
E
1
(−νσ x + σ y )
(13b)
εy =
E
Invertendo le (13) e l’ultima delle (12) si ottiene
σx =
σy =
τ xy =
2.6
E
(εx + νεy )
1 − ν2
E
(εy + νεx )
1 − ν2
E
γ
2 (1 + ν) xy
(14a)
(14b)
(14c)
Equazione indefinita delle piastre
Sostituendo le (11) nelle equazioni costitutive (14) risulta
µ 2
¶
∂ w
E
∂2w
σx = −
+ν 2 z
1 − ν 2 ∂x2
∂y
µ 2
¶
∂ w
E
∂ 2w
+ν 2 z
σy = −
1 − ν 2 ∂y 2
∂x
2
∂ w
E
τ xy = −
z
(1 + ν) ∂x∂y
(15a)
(15b)
(15c)
Sostituendo le (15) nelle (2) si ottengono le componenti di sollecitazione:
µ 2
¶ Z h/2
Z h/2
∂ w
−E
∂2w
Nx =
σ x dz =
+ν 2
zdz = 0
1 − ν 2 ∂x2
∂y
−h/2
−h/2
µ 2
¶ Z h/2
Z h/2
∂ w
−E
∂2w
Ny =
σ y dz =
+ν 2
zdz = 0
1 − ν 2 ∂y2
∂x
−h/2
−h/2
Z
h/2
−E
mx =
σ x zdz =
1 − ν2
−h/2
µ
∂2w
∂2w
+
ν
∂x2
∂y2
8
¶Z
h/2
−h/2
(16a)
(16b)
z 2 dz =
Eh3
=−
12 (1 − ν 2 )
µ
∂2w
∂2w
+
ν
∂x2
∂y2
¶
(16c)
Z
h/2
−E
my =
σ y zdz =
1 − ν2
−h/2
mxy =
Z
µ
h/2
−h/2
τ xy zdz = −
∂2w
∂2w
+
ν
∂y 2
∂x2
¶Z
∂2w
E
(1 + ν) ∂x∂y
Posto
D=
h/2
z 2 dz =
−h/2
Z
Eh3
=−
12 (1 − ν 2 )
h/2
−h/2
z 2 dz = −
µ
∂ 2w
∂2w
+
ν
∂2y
∂x2
¶
∂2w
Eh3
12 (1 + ν) ∂x∂y
Eh3
12 (1 − ν 2 )
(16d)
(16e)
(17)
(fattore di rigidezza della piastra) le relazioni precedenti si scrivono in forma sintetica
¶
µ 2
∂ w
∂2w
(18a)
+ν 2
mx = −D
∂x2
∂y
µ 2
¶
∂ w
∂2w
my = −D
+
ν
(18b)
∂y2
∂x2
∂2w
(18c)
mxy = −D (1 − ν)
∂x∂y
Sostituendo le (18) nelle (3b,c) si ottengono le relazioni tra taglio e deformazione:
µ
¸
µ
¶
¶
∙
∂ ∂ 2w ∂ 2w
∂ ∂2w
∂ ∂2w
∂2w
= −D
(19a)
+ ν 2 + (1 − ν)
+
Vx = −D
∂x ∂x2
∂y
∂y ∂x∂y
∂x ∂x2
∂y 2
¸
µ
¶
¶
∙ µ 2
∂ ∂2w ∂2w
∂ ∂2w
∂ ∂ w
∂2w
Vy = −D
= −D
(19b)
+ ν 2 + (1 − ν)
+
∂y ∂y2
∂x
∂x ∂x∂y
∂y ∂x2
∂y2
Infine, sostituendo le espressioni (18) nell’equazione di equilibrio (5):
∂ 2 my
∂ 2 mxy
∂ 2 mx
+
+
2
= −p
∂x2
∂x∂y
∂y 2
si ottiene (supponendo D indipendente da x e y)
µ 4
µ 4
¶
¶
∂ w
∂ w
∂4w
∂ 4w
∂4w
D
+ ν 2 2 + 2D (1 − ν) 2 2 + D
+ν 2 2 =p
∂x4
∂x ∂y
∂x ∂y
∂y 4
∂y ∂x
(5)
(20)
da cui, semplificando:
∂4w
∂4w
∂4w
p
+
2
+
=
4
2
2
4
∂x
∂x ∂y
∂y
D
(21)
Questa è l’equazione indefinita delle piastre sottili isotrope, che spesso viene scritta nella
forma pi`
u sintetica
p
(22)
∆∆w =
D
in cui ∆ indica l’operatore di Laplace (∆ =
∂2
∂x2
9
+
∂2
).
∂y2
3
Condizioni ai bordi
La soluzione dell’equazione differenziale (21) non è univoca senza che ne siano state precisate le condizioni sui bordi, che dipendono dalla natura dei vincoli. Per semplicit`
a nel
seguito si assumerà che i bordi della piastra siano paralleli ad uno degli assi del riferimento
x, y.
1. Bordo appoggiato. In questo caso gli abbassamenti dei punti della piastra lungo il
bordo sono nulli (w = 0). Inoltre deve annullarsi il momento nella direzione normale
al bordo. Se il bordo è parallelo all’asse x, si ha my = 0, se è parallelo ad y, mx = 0.
2. Bordo incastrato. Lungo il bordo sono nulli gli abbassamenti e le rotazioni in direzione normale al bordo. Quindi w = 0 e ∂w/∂y = 0 se il bordo è parallelo ad x,
∂w/∂x = 0, se è parallelo ad y.
3. Bordo con glifo. Sono nulle le forze di taglio e le rotazioni.
Per la (19a) si ha
∂
Vx = −D
∂x
µ
∂ 2w ∂ 2w
+
∂x2
∂y 2
∂w
=0
∂y
¶
=0
se il bordo è parallelo ad x. Nel caso di bordo parallelo ad y
µ
¶
∂ ∂2w ∂2w
+
Vy = −D
=0
∂y ∂x2
∂y2
∂w
=0
∂x
(23a)
(23b)
(24a)
(24b)
4. Bordo libero. In questo caso dovrebbero risultare nulle tutte le sollecitazioni sul
bordo; nel caso di bordo parallelo ad y: mx = Vx = mxy = 0. Si hanno quindi
tre condizioni, invece delle due utilizzate negli altri casi. In realt`
a due di queste
condizioni si possono condensare in una sola equazione. Infatti il momento torcente
agente su di un tratto di lunghezza dy, mxy dy, è equivalente ad una coppia di forze
di taglio mxy di braccio dy, come è mostrato nella Fig. 5. Due elementini adiacenti
∂m
danno luogo quindi a due forze di segno opposto, mxy + ∂yxy dy e −mxy . Si ottiene
∂m
quindi una forza di taglio complessiva ∂yxy dy che si somma alla forza Vx dy. La forza
di taglio per unit`
a di lunghezza, che si deve annullare sul bordo libero è quindi
Vx +
∂mxy
=0
∂y
(25)
Le condizioni al contorno per il bordo libero sono quindi:
(a) Bordo parallelo ad y:
mx = 0
∂mxy
=0
Vx +
∂y
10
(26a)
(26b)
∂m
⎞
⎛
⎜⎜ mxy + xy dy ⎟⎟dy
∂y
⎠
⎝
mxy dy
y
mxy +
∂mxy
∂y
mxy
dy
dy
Vx dy
z
dy
Figura 5: Composizione tra momento torcente e taglio sul bordo libero della piastra.
(b) Bordo parallelo ad x
my = 0
∂mxy
Vy +
=0
∂x
4
(27a)
(27b)
Cambiamento di riferimento
Le tensioni prodotte dalla flessione σ x , σ y e τ xy formano un sistema di tensioni piane. Le
tensioni secondo un altro riferemento ortogonale ξ, η ruotato di ϕ rispetto al precedente,
si ottengono facilmente applicando la regola generale di trasformazione dei tensori
σ ξ = σ x cos2 ϕ + σ y sin2 ϕ + 2τ xy sin ϕ cos ϕ
2
2
σ η = σ x sin ϕ + σ y cos ϕ − 2τ xy sin ϕ cos ϕ
(σ x − σ y )
sin 2ϕ + τ xy cos 2ϕ
τ ξη = −
2
(28a)
(28b)
(28c)
i rispettivi momenti si ottengono moltiplicando le tensioni per z ed integrando tra −h/2
e h/2. Quindi:
mξ = mx cos2 ϕ + my sin2 ϕ + 2mxy sin ϕ cos ϕ
2
2
mη = mx sin ϕ + my cos ϕ − 2mxy sin ϕ cos ϕ
mx − my
sin 2ϕ + mxy cos 2ϕ
mξη = −
2
(29a)
(29b)
(29c)
In particolare le giaciture principali (mξη = 0) formano con gli assi x, y un angolo
tan 2ϕ =
2mxy
mx − my
(30)
Se mx = my = 0, risulta tan 2ϕ = ∞ e quindi ϕ = π/4. In tal caso mξ = −mη = mxy .
11
Vr+dVr
mr +dmr
dr
mθ
Vr
p
r
r
dθ
(a)
(b)
Figura 6: Elemento di piastra circolare (a) ed equilibrio al taglio (b).
5
Piastre circolari con carichi e vincoli simmetrici
Per le piastre circolari con condizioni di carico e di vincolo simmetriche è conveniente
utilizzare un sistema di coordinate polari r, θ, con origine nel centro della piastra. In
questo caso, per ovvie considerazioni di simmetria, il momento torcente mrθ ed il taglio
Vθ sono nulli, e le altre grandezze non dipendono da θ. Osservando il disegno di Fig. 6
(a), le equazioni di equilibrio dei momenti, si scrivono:
Vr (r + dr) dθdr − mr rdθ + (mr + dmr ) (r + dr) dθ − mθ drdθ = 0
(31)
da cui, semplificando e trascurando i termini infinitesimi di ordine superiore
dmr mr mθ
+
−
= −Vr
dr
r
r
(32)
L’equazione di equilibrio delle forze in direzione dell’asse z può essere espressa in
termini finiti. Infatti, considerando una parte di piastra, circolare, con centro nell’origine
e raggio r, l’equilibrio globale in direzione z, assumendo p positivo verso il basso, diviene
(Fig. 6 (b)):
Z
Z
Vr dC =
C(r)
pdA
(33)
A(r)
dove il primo integrale è esteso alla circonferenza di raggio r ed il secondo all’area del
cerchio delimitato da C (r). Esplicitamente, tenendo conto che Vr e p non dipendono da
θ, l’equazione precedente diviene
Z r
2πrVr = 2π
ζp (ζ) dζ
(34)
0
pertanto
Vr =
1
r
Z
r
0
12
ζp (ζ) dζ
(35)
ϕ
ρθ
r = cost
θ = cost
r
Figura 7:
Sostituendo la (35) nella (32) si elimina Vr e si ha
dmr mr mθ
1
+
−
=−
dr
r
r
r
Z
r
ζp (ζ) dζ
(36)
0
Per le superfici con piccola curvatura si ha che le derivate seconde della funzione w (x, y)
rispetto ad x ed y approssimano le curvature delle sezioni di w con i piani coordinati xz e
yz. Indicando con ρx e ρy i corrispondenti raggi di curvatura, le equazioni (18) si possono
scrivere
¶
µ
1
1
(37a)
+ν
mx = −D
ρx
ρy
µ
¶
1
1
(37b)
my = −D ν +
ρx ρy
Passando a coordinate polari, poichè le linee di equazione r = cost e θ = cost sono in ogni
punto ortogonali, potremo porre:
¶
µ
1
1
mr = −D
(38a)
+ν
ρr
ρθ
¶
µ
1
1
mθ = −D ν +
(38b)
ρr ρθ
Ora si ha
1
d2 w
'
ρr
dr2
ρθ =
r
sin ϕ
come si deduce dalla Fig. 7. Poiché ϕ ¿ 1, sin ϕ ' tan ϕ =
1
1 dw
=
ρθ
r dr
Sostituendo la prima delle (39) e la (40) nelle (38) risulta
¶
µ 2
d w
1 dw
+ν
mr = −D
dr2
r dr
¶
µ 2
d w 1 dw
mθ = −D ν 2 +
dr
r dr
13
(39)
dw
dr :
(40)
(41a)
(41b)
Infine sostituendo le (41) nell’equazione di equilibrio (36) si ottiene l’equazione delle piastre
circolari simmetriche:
Z r
1
1 dw
d3 w 1 d2 w
=
+
− 2
ζp (ζ) dζ
(42)
dr3
r dr2
r dr
Dr 0
Questa equazione si pu`
o, in alternativa, scrivere
∙
µ
¶¸
Z r
d 1 d
dw
1
r
=
ζp (ζ) dζ
dr r dr
dr
Dr 0
(43)
La soluzione della (43) si ottiene pertanto mediante successive integrazioni.
5.1
Carico uniforme
Se p non dipende da r, la (43) diviene
∙
µ
¶¸
d 1 d
dw
1
pr
r
=
dr r dr
dr
2D
quindi, per successive integrazioni:
µ
¶ µ
¶
dw
1
d
3
r
=
pr + C1 r
dr
dr
4D
µ
¶
dw
1 r4
pr3
r2
r C2
1
=
p + C1 + C2
=
+ C1 +
dr
D 16
2
r
16D
2
r
(44)
(45)
(46)
pr4
r2
+ C1 + C2 log (r) + C3
(47)
64D
4
I valori delle tre costanti si determinano in base alle condizioni al contorno. In tutti i
casi, per evitare discontinuit`
a della deformazione occorre che, per r = 0, si abbia dw/dr =
0. Quindi dalla (46) segue che C2 = 0. Sostituendo la (47) nelle (41) si hanno le espressioni
esplicite dei momenti
w=
5.1.1
pr2
1+ν
(3 + ν) − C1 D
16
2
pr2
1+ν
(1 + 3ν) − C1 D
= −
16
2
mr = −
(48a)
mθ
(48b)
Bordo appoggiato
Per r = R (raggio della piastra) si ha w = 0 e mr = 0. Da quest’ultima condizione, e
tenendo contodella prima delle (48) si ottiene
C1 = −
pR2 3 + ν
8D 1 + ν
(49)
e quindi
mr =
mθ =
∙
³ r ´2 ¸
pR2
(3 + ν) 1 −
16
R
∙
³ r ´2 ¸
2
pR
(3 + ν) − (1 + 3ν)
16
R
14
(50a)
(50b)
0
0.1
0.2
momento radiale
momento circonf.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
r/R
Figura 8: Momento radiale (linea rossa) e circonferenziale (linea blu), a meno di pR2 , su
di una piastra circolare con carico uniforme, appoggiata sul bordo.
Sostituendo la (49) nella (47) e ponendo w(R) = 0, si ottiene l’espressione della costante
C3 :
pR4 5 + ν
(51)
64D 1 + ν
quindi, sostituendo anche questa espressione in quella di w, si giunge all’equazione della
deformata:
∙
³ r ´2 ¸ ∙ (5 + ν) ³ r ´2 ¸
pR4
1−
−
(52)
w (r) =
64D
R
(1 + ν)
R
C3 =
Al centro della piastra (r = 0)
pR4 5 + ν
64D 1 + ν
pR2
mr (0) = mθ (0) =
(3 + ν)
16
w (0) =
Sul bordo
mθ (R) =
5.1.2
pR2
(1 − ν)
8
(53a)
(53b)
(54)
Bordo incastrato
In questo caso le condizioni di vincolo sono w (R) = w0 (R) = 0. Dalla (46), per r = R si
trova immediatamente
pR2
(55)
C1 = −
8D
quindi, sostituendo questo risultato nella (47) e annullando lo spostamento si ottiene
C3 =
pR4
64D
(56)
Sostituendo anche l’espressione di C3 nella (47) si ottiene l’espressione della deformata:
∙
³ r ´2 ¸2
pR4
1−
w (r) =
64D
R
15
(57)
0.15
Mom. radiale
Mom. circonf.
0.05
0.05
0
0.2
0.4
0.6
0.8
r/R
Figura 9: Momento radiale (linea rossa) e circonferenziale (linea blu), a meno di pR2 , su
di una piastra circolare con carico uniforme, incastrata sul bordo.
Infine, sostituendo la (57) nelle (41), si ottengono le espressioni dei momenti:
∙
¸
³ r ´2
pR2
1+ν −
(3 + ν)
mr =
16
R
¸
∙
³ r ´2
pR2
mθ =
(1 + 3ν)
1+ν −
16
R
(58a)
(58b)
Al centro della piastra, per r = 0, si ha
pR4
64D
pR2
mr (0) = mθ (0) =
(1 + ν)
16
w (0) =
(59a)
(59b)
Sul bordo (r = R)
pR2
8
pR2
mθ (R) = −ν
8
mr (R) = −
5.2
(60a)
(60b)
Carico concentrato
Se la piastra è soggetta ad un carico P concentrato applicato al centro, dall’equazione (43)
si deduce
∙
µ
¶¸
dw
1
d 1 d
r
=−
P
(61)
dr r dr
dr
2πDr
Quindi, integrando tre volte questa espressione, si ottiene la funzione w:
w (r) = −
r2
P r2
(log r − 1) + C1 + C2 log r + C3
8πD
4
16
(62)
La cui derivata è
dw
Pr
r C2
=−
(2 log r − 1) + C1 +
(63)
dr
8πD
2
r
La condizione che w0 resti finito (anzi si annulli) per r → 0 richiede che C2 = 0. Di
conseguenza
r2
P r2
(log r − 1) + C1 + C3
(64)
w (r) = −
8πD
4
dw
Pr
r
=−
(2 log r − 1) + C1
(65)
dr
8πD
2
Sostituendo l’espressione di w nelle (48) risulta
C1 D
P
[2 (1 + ν) log r + 1 − ν] +
(1 + ν)
8π
2
P
C1 D
[2 (1 + ν) log r − 1 + ν] +
(1 + ν)
8π
2
mr =
mθ =
5.2.1
(66a)
(66b)
Bordo appoggiato
In questo caso, per r = R si ha mr = 0. Quindi
µ
¶
1−ν
P
2 log R +
C1 = −
4πD
1+ν
µ
¶
P
3+ν
r
2
w=
r 2 log −
+ C3
16πD
R 1+ν
(67)
(68)
Dalla condizione w (R) = 0 segue che
C3 =
e quindi
P R2 3 + ν
16πD 1 + ν
∙ ³ ´
µ
³ r ´2 ¶ 3 + ν ¸
r 2
r
P R2
2
log + 1 −
w=
16πD
R
R
R
1+ν
³r´
P (1 + ν)
log
4π
∙ ³ ´R
¸
r
1−ν
P (1 + ν)
mθ =
log
−
4π
R
1+ν
mr =
Abbassamento massimo
w (0) =
P R2 3 + ν
16πD 1 + ν
17
(69)
(70)
(71a)
(71b)
(72)
0
0.1
0.2
Mom. radiale
Mom. circonf.
0.3
0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
r/R
Figura 10: Momenti (a meno di P ) radiale (linea rossa) e circonferenziale (linea blu) in
una piastra circolare appoggiata e caricata al centro con una forza concentrata.
5.2.2
Bordo incastrato
Sul bordo si annulla la derivata prima di w. Dalla (65) segue
C1 =
−P
(2 log R − 1)
4πD
(73)
Sostituendo nella (65) e ponendo w (R) = 0 e risolvendo l’equazione si ottiene l’altra
costante
P R2
C3 =
(74)
16πD
da cui si ricava
∙
³ r ´2 ³
´¸
³r´
P R2
−1
(75)
1+
2 log
w (r) =
16πD
R
R
P
4π
P
= −
4π
mr = −
mθ
L’abbassamento massimo è
h
³ r í
1 + (1 + ν) log
R
h
³ r í
ν + (1 + ν) log
R
P R2
16πD
Al centro entrambi i momenti divergono; sul bordo (r = R) si ha
w (0) =
mr = −
P
4π
mθ = −
18
νP
4π
(76a)
(76b)
(77)
(78)
0.1
0
0.1
Mom. radiale
Mom. circonf.
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
r/R
Figura 11: Momenti (a meno di P ) radiale (linea rossa) e circonferenziale (linea blu) in
una piastra circolare incastrata e caricata al centro con una forza concentrata.
6
Piastra semplicemente appoggiata (soluzione di Navier)
Si esamina ora il caso di una piastra rettangolare appoggiata lungo tutto il contorno. In
questo caso le condizioni sul bordo divengono semplicemente
¯
∂ 2 w ¯¯
w (0, y) = w(Lx , y) = 0
=0
(79a)
∂x2 ¯x=0,Lx
¯
∂ 2 w ¯¯
w (x, 0) = w(x, Ly ) = 0
=0
(79b)
∂y 2 ¯
y=±Ly /2
Queste condizioni sono evidentemente soddisfatte dalle funzioni
¶
µ
¶
µ
y
x
sin kπ
j, k = 1, 2, 3, . . .
sin jπ
Lx
Ly
(80)
Quindi è possibile porre
w (x, y) =
∞
∞ X
X
j=1 k=1
¶
µ
¶
µ
y
x
sin kπ
cjk sin jπ
Lx
Ly
(81)
dove cjk sono costanti che devono essere determinate in modo da soddisfare l’equazione
(21).
Sostituendo la (81) nella (21) risulta
∂4w
∂4w
∂ 4w
+2 2 2 +
=
4
∂x
∂x ∂y
∂y 4
"µ ¶
µ ¶2 µ ¶2 µ ¶4 #
µ
¶
µ
¶
∞
∞ X
X
j
k
k
j 4
x
y
4
π
+2
+
sin kπ
=
cjk sin jπ
Lx
Lx
Ly
Ly
Lx
Ly
j=1 k=1
"µ ¶
¶
µ
¶
µ ¶2 #2
µ
n
n X
2
X
j
y
p
k
x
4
(82)
sin kπ
=
+
cjk sin jπ
π
Lx
Ly
Lx
Ly
D
j=1 k=1
19
Moltiplicando entrambi i membri della (82) per sin(qπx/Lx ) sin(rπy/Ly ), q ed r interi,
integrando x tra 0 e Lx , y tra 0 e Ly , e tenendo conto che
Z
Lx
0
si ottiene
"µ
4
π cqr
q
Lx
¶2
µ
¶
µ
¶
½
x
x
0
se j 6= q
sin jπ
sin qπ
dx =
Lx /2 se j = q
Lx
Lx
r
Ly
¶2 #2
Lx Ly
=
4
cqr =
4L3x
π 4 Ly
R Lx R Ly
+
µ
per cui risulta
6.1
0
0
Z
Lx
0
p
D
Z
Ly
0
µ
¶
µ
¶
p
x
y
sin qπ
sin rπ
dxdy
D
Lx
Ly
³
´
³
´
sin qπ Lxx sin rπ Lyy dxdy
∙
³ ´2 ¸2
x
2
r2
q + L
Ly
(83)
(84)
(85)
Carico uniforme
Se p = cost,allora l’integrale a secondo membro nella (85) si calcola facilmente
µ
¶
µ
¶
p
x
y
sin qπ
sin rπ
dxdy =
D
Lx
Ly
0
0
(
¶ Z Ly
¶
µ
µ
Z
0
se q od r sono pari
p Lx
p
x
y
dx
dy =
sin qπ
sin rπ
4Lx Ly
se q ed r sono dispari
D 0
Lx
Ly
D
0
qrπ 2
Z
Lx
Z
Ly
Sostituendo la (86) nella (85) si ha
⎧
⎪
⎨ 0
4Lx Ly
4pL3x
qrπ 2
cqr =
=
⎪
⎩ π4 DLy q2 + Lx 2 r2 2
Ly
(86)
per q o r pari
16pL4x
π6 D
1
2 2
Lx
2
q + L
r2 qr
per q e r dispari
(87)
y
Sostituendo l’espressione dei coefficienti cqr nella (81) si ottiene il campo degli spostamenti del piano medi w
i
h
i
h
y
x
∞
∞ X
sin
(2k
−
1)
π
4
sin
(2j
−
1)
π
X
Lx
Ly
16pLx
(88)
w=
h
i2
Dπ 6
2
2
j=1 k=1 (2j − 1) + α2 (2k − 1)
(2j − 1) (2k − 1)
avendo posto
α=
Lx
Ly
(89)
Determinato il campo degli spostamenti si calcolano le sollecitazioni sostituendo la
(88) nelle (18):
h
i
h
i
h
i
2
2 (2k − 1)2 sin (2j − 1) π x sin (2k − 1) π y
∞
∞
(2j
−
1)
2
+
να
Lx
Ly
16pLx X X
mx =
h
i2
4
π
j=1 k=1
(2j − 1)2 + α2 (2k − 1)2 (2j − 1) (2k − 1)
(90a)
20
Figura 12: Spostamento w del piano medio di una piastra quadrata con carico uniforme
(a meno di pL4x /D).
my =
h
i
h
i
h
i
ν (2j − 1)2 + α2 (2k − 1)2 sin (2j − 1) π Lxx sin (2k − 1) π Lyy
h
i2
2
2
2
(2j − 1) + α (2k − 1) (2j − 1) (2k − 1)
(90b)
i
h
i
h
y
x
∞
∞
X X cos (2j − 1) π Lx cos (2k − 1) π Ly
16pL2x
=−
(1
−
ν)
α
(90c)
h
i2
π4
2
2
2
j=1 k=1
(2j − 1) + α (2k − 1)
∞ ∞
16pL2x X X
π4
j=1 k=1
mxy
Infine, utilizzando le (19), si determinano anche le sollecitazioni di taglio:
i
h
i
h
µ 2
¶
∞ cos (2j − 1) π x sin (2k − 1) π y
∞ X
2
X
Lx
Ly
p16Lx
∂ ∂ w ∂ w
h
i
Vx = −D
=
+
2
2
3
2
2
∂x ∂x
∂y
π
(2j − 1) + α2 (2k − 1) (2k − 1)
j=1 k=1
(91a)
i
h
i
h
y
x
cos
(2k
−
1)
π
2
2
α
sin
(2j
−
1)
π
Lx
Ly
∂ ∂ w ∂ w
p16Lx
h
i
Vy = −D
+
=
2
2
3
2
2
∂x ∂x
∂y
π
(2j − 1) + α2 (2k − 1) (2j − 1)
j=1 k=1
(91b)
In Fig. 12 è rappresentata la funzione wD/pL4x , relativa ad una piastra quadrata soggetta a carico uniforme. Nel grafico in Fig. 13 invece è rappresentato l’abbassamento del
5 pL4
punto centrale rapportato a quello di una trave appoggiata ( 384
EJ ) di ugual rigidezza
µ
¶
∞
∞ X
X
4
4
pL
x
e luce ed ugualmente caricata (ovvero pL
D = EJ ), in funzione del rapporto α = Lx /Ly ,
o osservare come per una piatra quadrata (α =³1), l’abbassamendove Ly ≥ Lx . Si pu`
´
4
5 pLx
to della piastra sia circa un terzo di quello della trave (wmax = 0.312 384
D ), ma per
α < 0.2 l’abbassamento al centro della piastra praticamente coincide con quello della trave
di ugual rigidezza; inoltre, gi`
a per α = 0.5 (ossia per Ly = 2Lx ), il precedente rapporto è
circa 0.778. Questo dimostra, come sar`
a ancora esposto in seguito, che l’“effetto piastra”
si perde rapidamente quando α < 0.5.
Nella Fig. 14 è rappresentata la superficie del grafico di mx per una piastra quadrata
caricata unformemente (ν = 0.25). Nella Fig. 15 è invece mostrato il rapporto tra i
21
Figura 13: Abbassamento al centro di una piastra rettangolare con carico uniforme,
rapportato a quello di una trave di uguale rigidezza in funzione del rapporto α = Lx /Ly .
Figura 14: Grafico del momento mx relativo ad una piastra quadrata con carico uniforme
(ν = 0.25).
momenti mx ed my al centro della piatra ed il momento massimo di trave appoggiata
1
2
8 pLx . Appare evidente che per, piastre quadrate, si ha mx = my e questo momento
è sensibilmente minore di quello di una corrispondente trave o soletta (circa 0.368 per
ν = 0.25); tuttavia al diminuire del rapporto α = Lx /Ly , il momento relativo alla luce
minore mx tende rapidamente al valore del momento di trave appoggiata; infatti per
α ≤ 0.2 questo rapporto è praticamente 1, e gi`
a per α = 0.5 (ossia per Ly = 2Lx ) il
momento di piastra è l’80% di quello della trave. Questo conferma quanto detto prima,
circa il fatto che il comportamento a piatra si evidenzia solo per geometrie in cui il rapporto
tra i lati non differisce troppo dall’unit`
a.
Il momento nella direzione della luce maggiore my , invece diminuisce al diminuire di
α. Per α → 0, si ha my = νmx . Nella Fig. 16 è mostrato il diagramma del momento my
lungo la sezione mediana di una piastra allungata (Ly = 10Lx ); è evidente che il momento
è quasi ovunque uniforme (my ' νmx max ) ma aumenta in prossimità dei bordi, dove si
risente dell’influenza dei vincoli.
Nella Fig. 17 è rappresentato l’andamento del momento torcente in una piastra qua-
22
Figura 15: Rapporti tra il momento mx (linea blu) ed my (linea rossa) al centro di una
piastra rettangolare appoggiata ai bordi ed il momento massimo di una trave di luce uguale
a quella minore della piastra (pL2x /8) al variare del rapporto α = Lx /Ly (ν = 0.25).
¢
¡
Figura 16: Diagramma del momento my L2x /p lungo la linea mediana di una piastra con
α = Lx /Ly = 0.1 (ν = 0.25).
drata; questo momento è nullo al centro, come era prevedibile in base a considerazioni
di simmetria, e raggiunge il valore massimo in corrispondenza degli spigoli della piastra.
Per ν = 0.25 questo momento vale |mxy | = 0.0348pL2x , ovvero circa il 75% del momento
massimo in campata. In corrispondenza dello spigolo inoltre si ha mx = my = 0. Quindi,
applicando la (30), si trova che i momenti flettenti massimi agiscono secondo direzioni
a 45◦ rispetto agli assi e, per le (29), valgono, a meno del segno, mxy . Llungo i bordi il
momento è nullo, ma in corrispondenza degli spigoli sono presenti dei momenti agenti nelle
direazioni delle diagonali che, in una piastra soggetta a forze agenti verso il basso, tendono
gli strati superiori della piastra nelle direzioni delle diagonali e li comprimono nelle direzioni ortogonali. Nella Fig. 18 sono mostrate le linee di livello dei valori massimi e minimi
(con segno) del momento agente in ogni punto della piastra. Come si vde, sui bordi della
piastra questi momenti non sono nulli e raggiungono i valori estremi in corrispondenza dei
vertici.
L’andamento del taglio (Vx ) è mostrato nella Fig. 19, sempre per una piastra quadrata.
Il taglio è pressoché nullo al centro e cresce rapidamente in prossimità degli appoggi;
tuttavia si annulla in corrispondenza degli spigoli. Ma la presenza del momento torcente
23
f3
Figura 17: Momento torcente mxy in una piastra quadrata caricata uniformemente.
Figura 18: Momenti (massimi e minimi) in una piastra appoggiata a lati uguali.
24
f
Figura 19: Taglio Vx (a meno di pLx ) in una piastra quadrata.
y
x
mxy
R
Figura 20: Reazione vincolare sugli spigoli.
fa nascere negli spigoli una forza concentrata rivolta verso il basso R = 2mxy (vedi Fig. 20).
Le reazioni vincolari lungo i bordi di una piastra quadrata sono distribuite come in Fig. 21
ma, oltre a queste forze distribuite, si deve tener conto della forza concentrata nei vertici
R che genera una reazione di verso opposto alle reazioni distribuite.
6.2
Piastra su appoggi monolateri
La reazione R si pu`
o sviluppare solamente se il vincolo esercitato lungo il bordo è bilatero,
ossia è in grado di produrre reazioni di entrambi i segni. Se l’appoggio è di tipo monolatero
e può sviluppare solamente reazioni verso l’alto la forza R non può nascere e quindi la
soluzione dell’equazione (21) cambia sensibilmente. Dato il diverso comportamento del
vincolo in trazione e compressione il problema diviene non-lineare. Qualitativamente,
quello che avviene è che gli spigoli, non trattenuti dalla reazione R, si sollevano, e questo
impedisce l’insorgere dei momenti flettenti lungo le diagonali e quindi dei momenti torcenti
che raggiungono i valori estremi negli spigoli; in corrispondenza aumenta il momento in
mezzeria, ma in misura modesta.
La soluzione del caso di piastra vincolata con appoggio monolatero è illustrata nella
figura 22 ottenuta mediante un programma ad elementi finiti.
25
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura 21: Reazioni su uno de bordi di una piastra quadrata.
4E-006
0.25
3E-006
spostamento
reazione
0.2
0.15
0.1
2E-006
1E-006
0.05
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 22: Reazioni vincolari e spostamenti del bordo di una piastra quadrata su appoggi
monolateri.
6.3
Carico concentrato
Utilizzando la funzione δ di Dirac4 , la funzione p di un carico concentrato P applicato nel
punto di coordinate ξ, η si scrive
p (x, y) = P δ (x − ξ) δ (y − η)
(92)
Sostituendo la (92) nella (85) e tenendo conto delle proprietà della funzione δ, l’espressione
4
La funzione impulso ⎧
di Dirac è una funzione della variabile reale x che verifica le seguenti condizioni:
se y < a o y > b
⎨ 0
b
f
(y)
se a < y < b
f
(x)
δ
(x
−
y)
dx
=
a
⎩ 1
f
(y)
se y = 0 o y = b
2
dove f (x) è una arbitraria funzione continua in y.
26
Figura 23: Deformazione del piano medio di una piastra quadrata a seguito di un carico
al centro (sinistra) e nel punto ξ = η = 0.25L.
dei coefficienti dello sviluppo in serie (81) diviene
cqr =
P
D
R Lx R Ly
0
0
´
³
´
³
δ (x − ξ) δ (y − η) sin qπ Lxx sin rπ Lyy dxdy
=
∙³ ´
³ ´2 ¸2
2
Lx Ly
q
r
4
π
+ Ly
Lx
4
´
³
´
³
ξ
η
sin
rπ
sin
qπ
Lx
Ly
P
∙³ ´
³ ´2 ¸2
2
D
Lx Ly
π 4 Lqx + Lry
4
La funzione degli spostamenti del piano medio risulta quindi:
´
³
´
³
´
³
´
³
η
y
x
∞ sin jπ ξ
∞ X
sin
kπ
sin
jπ
sin
kπ
2
X
Lx
Ly
Lx
Ly
P Lx 4
w=
2
2
2
2
Dα π 4
[j + α k ]
(93)
(94)
j=1 k=1
Nella figura 23 sono rappresentati gli spostamenti del piano medio della piastra, per due
posizioni della forza concentrata: ξ = 0.5Lx , η = 0.5Ly (figura a sinistra), ξ = 0.25Lx ,
η = 0.25Ly (figura a destra).
Sostituendo la (94) nelle (18) si ottengono le espressioni dei momenti
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
∞ ∞
η
x
y
4 X X j 2 + να2 k2
ξ
sin kπ
sin jπ
sin kπ
sin jπ
mx = P 2
π α
Lx
Ly
Lx
Ly
[j 2 + α2 k 2 ]2
j=1 k=1
(95a)
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
∞
∞ X
2
2
2
X
νj + α k
η
x
y
4
ξ
sin
kπ
sin
jπ
sin
kπ
my = P 2
sin
jπ
2
2 2 2
π α
Lx
Ly
Lx
Ly
j=1 k=1 [j + α k ]
(95b)
27
Figura 24: Grafico del momento mx (per P = 1) in una piastra quadrata soggetta ad un
carico concentrato applicato nel centro.
mxy =
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
∞ ∞
jk
η
x
y
ξ
4 (1 − ν) X X
sin kπ
cos jπ
cos kπ
sin jπ
−P
π2
Lx
Ly
Lx
Ly
[j 2 + α2 k2 ]2
j=1 k=1
(95c)
Quindi, applicando le (19) si determinano le espressioni di Vx e Vy :
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∞ ∞
ξ
j
η
x
y
P 1 XX
sin jπ
Vx =
sin kπ
cos jπ
sin kπ
Lx πα
[j 2 + α2 k 2 ]
Lx
Ly
Lx
Ly
j=1 k=1
(96a)
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∞ X
∞
X
ξ
k
η
x
y
P 1
sin jπ
Vy =
sin kπ
sin jπ
cos kπ
(96b)
Lx π
[j 2 + α2 k 2 ]
Lx
Ly
Lx
Ly
j=1 k=1
Nelle figure 24, 25 e 26 sono rappresentati i grafici del momento di flessione mx , della
torsione mxy e del taglio Vx nel caso di una piastra a lati uguali con carico applicato al
centro. Sia mx (ed my ) sia Vx (e Vy ) divergono nel punto di applicazione della forza.
I valori rappresentati dipendono dal numero di termini effettivamente inclusi nel calcolo
numerico della serie.
7
Superfici di influenza delle piastre
Il concetto di superficie di influenza generalizza quello di linea di influenza. Dato un punto
Q in una piastra, la superficie di influenza della grandezza X in Q (X (P, Q)) è la superficie
di equazione X (P ), ove X (P ) è il valore che la grandezza assume in Q quando un carico
unitario è applicato in P.
28
Figura 25: Grafico del momento mxy (P = 1) di una piastra quadrata soggetta ad un
carico concentrato applicato al centro.
Figura 26: Grafico del taglio Vx (a meno di P/Lx ) di una piastra quadrata soggetta ad
un carico concentrato applicato al centro.
29
Figura 27: A sinistra: grafico dei momenti torcenti prodotti da un carico unitario applicato
nel punto (0.05Lx , 0.05Ly ). A destra: superficie di influenza del momento torcente nel
punto (0.05Lx , 0.05Ly ). Piastra quadrata, ν = 0.25.
Per il teorema di reciprocità, se X è lo spostamento, allora la superficie di influenza
dello spostamento del punto Q coincide con la deformata della superficie media prodotta
da un carico unitario in Q. Infatti se w (P, Q) indica lo spostamento in Q prodotto dal
carico unitario in P e w (Q, P ) quello prodotto in P dal carico unitario in Q, per il teorema
di reciprocità
1w (P, Q) = 1w (Q, P )
(97)
Questa intercambiabilit`
a tra le coordinate x, y del punto della superficie elastica e le coordinate ξ, η del punto di applicazione del carico appare evidente dall’equazione (94) che
fornisce la deformazione del piano medio di una piastra appoggiata e soggetta ad un
carico concentrato.
Una analoga simmetria tra le coordinate di P e Q è mostrata dalle (95a,b) che esprimono i momenti flettenti di una piastra appoggiata soggetta ad un carico concentrato. Il
grafico del momento (mx o my ) prodotto da un carico unitario in P (ξ, η) coincide quindi
con la superficie di influenza della stessa gandezza relativa al punto P . Una tale simmetria
non vi è per il momento torcente mxy . In Fig. 27 sono rappresentati i momenti torcenti
prodotti da un carico applicato in prossimit`
a dello spigolo (0, 0) (grafico di sinistra) e la
` evidente che i due grafici
superficie di influenza della stessa grandezza nello stesso punto. E
sono molto diversi. Infatti un carico prossimo allo spigolo produce un campo di sollecitazioni quasi ovunque nullo, che tuttavia diverge nel punto di applicazione della forza; la
superficie di influenza invece si estende in tutta la piastra e diverge nel punto di controllo.
Se il punto fosse posto sull’appoggio, il momento indotto dal carico applicato in tale punto
sarebbe ovviamente ovunque nullo; al contrario la superficie di influenza sarebbe simile a
quella della Fig. 27.
Analogamente, le (96), fissati x, y, al variare di ξ, η forniscono le superfici di influenza
del taglio. In Fig. 28 è rappresentata la superficie di influenza della reazione al centro
30
Figura 28: Superficie di influenza del taglio Vx nel punto (0, Ly /2), in una piastra quadrata
semplicemente appoggiata.
dell’appoggio del lato parallelo ad y. Ovviamente il corrispondente grafico del taglio per
un carico sull’appoggio sarebbe stato nullo ovunque.
8
Piastre ortotrope
L’acciaio ed il calcestruzzo hanno un comportamento isotropo, anche se, nelle strutture in
cemento armato, le armature possono introdurre un certo grado di anistropia. Esistono
tuttavia diversi materiali per i quali non si può usare il modello di comportamento isotropo; tra questi in particolare si notano i materiali fibrosi, sia naturali, come il legno,
sia artificiali, come le resine fibro-rinforzate, che hanno un comportamento spiccatamente
anisotropo o, pi`
u precisamente, ortotropo5 . Nelle piastre tuttavia una frequente causa
di ortotropia è data dalla diversa geomeria della piastra secondo due direzioni ortogonali,
come nel caso rappresentato in Fig. 29. In questo caso, pur essendo il materiale isotropo, il
comportamento globale della piastra può essere assimilato a quello di una a sezione piena
di spessore uniforme, ma realizzata con un materiale di natura anisotropa.
5
I materiali ortotropi si caratterizzano per il fatto di possedere tre piani di simmetria ortogonali. In
direzione ortogonale a ciascun piano il comportamento è simmetrico (cioè non cambia se si esegue una
rotazione di 180 gradi intorno ad uno degli assi di un riferimento che ha questi come piani coordinati).
Nei materiali fibrosi una direzione di ortotropia è determinata da quella delle fibre, mentre le altre sono
ortogonali a questa.
31
8.1
Legge costitutiva dei materiali ortotropi
Per un materiale iperelastico ortotropo, la relazione tra tensioni e deformazioni ha la
forma:
⎤⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡
εx
σx
G11 G12 G13
0
0
0
⎥ ⎢ σy ⎥
⎢ εy ⎥ ⎢G12 G22 G23
0
0
0
⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥
⎢ εz ⎥ ⎢G13 G23 G33
0
0
0 ⎥
⎥ ⎢ σz ⎥
⎢ ⎥=⎢
(98)
⎥
⎥
⎢γ yz ⎥ ⎢ 0
0 ⎥⎢
0
0 G44 0
⎢τ yz ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎣γ ⎦ ⎣ 0
0 ⎦ ⎣τ xz ⎦
0
0
0 G55
xz
γ xy
τ xy
0
0
0
0
0 G66
Nel caso delle piastre, essendo per ipotesi σ z = 0, e γ xz = γ yz = 0, la relazione costitutiva
si pu`
o ridurre alle sole tre componenti, sia della tensione sia della deformazione, contenute
nel piano x, y e l’equazione precedente diviene
⎤⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ 1
−ν xy
0
σx
εx
Ex
Ey
⎥⎣ ⎦
−ν
1
⎣εy ⎦ = ⎢
σy
(99)
0
⎣ Exyx
⎦
Ey
1
γ
τ
0
0
G
dove, per la simmetria della matrice (99):
ν yx
ν xy
=
Ey
Ex
(100)
Per le tensioni piane di un materiale ortotropo si hanno cinque costanti elastiche (Ex , Ey ,
ν xy , ν yx e G) ma solo quattro sono indipendenti, in virt`
u della (100). Invertendo la (99)
si ottiene la legge costitutiva tra deformazioni e tensioni:
⎤⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ Ex
ν xy Ex
0
σx
εx
1−ν xy ν yx
1−ν xy ν yx
⎥⎣ ⎦
ν yx Ey
Ey
⎣σ y ⎦ = ⎢
(101)
⎣ 1−ν xy ν yx 1−ν xy ν yx 0 ⎦ εy
τ
γ
0
0
G
In altra forma
Ex
(εx + ν xy εy )
1 − ν xy ν yx
Ey
(εy + ν yx εx )
σy =
1 − ν xy ν yx
σx =
τ = Gγ
(102a)
(102b)
(102c)
Poiché anche la (101) è simmetrica, si ha
ν yx Ey
ν xy Ex
=
1 − ν xy ν yx
1 − ν xy ν yx
come segue immediatamente dalla (100).
32
(103)
8.2
Equazione delle piastre ortotrope
Sostituendo le (11) nelle (102) si ottiene:
σx
σy
τ
µ 2
¶
∂ 2w
∂ w
−Ex
=
+ ν xy 2 z
1 − ν xy ν yx ∂x2
∂y
µ 2
¶
−Ey
∂ w
∂ 2w
=
+ ν yx 2 z
1 − ν xy ν yx ∂y 2
∂x
2
∂ w
z
= −2G
∂x∂y
(104a)
(104b)
(104c)
Quindi, sostituendo queste ultime nelle (2), si ottengono le risultanti delle sollecitazioni in
funzione delle derivate di w:
µ 2
¶
Z h/2
∂ w
∂ 2 w h3
−Ex
mx =
=
σ x zdz =
+ ν xy 2
1 − ν xy ν yx ∂x2
∂y
12
−h/2
µ 2
¶
∂ w
∂2w
+ ν xy 2
(105a)
− Dx
∂x2
∂y
Z
h/2
−Ey
σ y zdz =
my =
1
−
ν xy ν yx
−h/2
µ
∂2w
∂ 2w
+
ν
yx
∂y 2
∂x2
¶
h3
=
12
− Dy
mxy =
Z
h/2
−h/2
τ zdz = −2G
µ
∂2w
∂2w
+
ν
yx
∂y 2
∂x2
∂2w
∂ 2 w h3
= −C
∂x∂y 12
∂x∂y
¶
(105b)
(105c)
in cui le costanti di rigidezza Dx , Dy e C dipendono dalle costanti elastiche Ex , Ey , ν xy ,
ν yx e G mediante le relazioni
Dx =
Ex h3
12 (1 − ν xy ν yx )
Dy =
Ey h3
12 (1 − ν xy ν yx )
C=
Gh3
6
(106)
Ovviamente se Ex = Ey = E, ν xy = ν yx = ν e G = E/2 (1 + ν), le (105) coincidono con
le (16), valide per i materiali isotropi.
Sostituendo le (105) nella equazione di equilibrio (5) risulta:
µ 4
¶
µ 4
¶
∂4w
∂4w
∂ w
∂4w
∂ w
(107)
+ ν xy 2 2 + 2C 2 2 + Dy
+ ν yx 2 2 = p
Dx
∂x4
∂x ∂y
∂x ∂y
∂y 4
∂y ∂x
Tenendo presente che, per le (103), Dx ν xy = Dy ν yx , la precedente si semplifica nella
Dx
∂4w
∂4w
∂4w
+
D
+
2
(C
+
ν
D
)
=p
y
xy
x
∂x4
∂y 4
∂x2 ∂y2
(108)
∂4w
∂ 4w
∂ 4w
+
2H
+
D
=p
y
∂x4
∂x2 ∂y 2
∂y 4
(109)
H = C + ν xy Dx = C + ν yx Dy
(110)
che si pu`
o riscrivere
Dx
in cui
33
8.3
Ortotropia geometrica
Quando l’ortotropia dipende dalla natura del materiale le costanti Dx , Dy e H si determinano a partire dalle caratteristiche del materiale, che possono essere misurate sperimentalmente mediante apposite prove. Quando, al contrario, il materiale è isotropo e
l’anisotropia dipende dalla diversa geometria di due sezioni ortogonali della piastra, come
nel caso mostrato in Fig. 29, le relazioni costitutive sono ancora quelle del materiale elastico espresse dalle (15), ma nel calcolo della risultante si dovr`
a tener conto delle specifiche
caratteristiche geometriche della piastra.
Per una piastra come quella in Fig. 29, simmetrica rispetto al piano medio, le relazioni
cinematiche (11) sono ancora valide. Tuttavia il contributo alla tensione normale σ y del
2
termine legato alla contrazione ortogonale ν ∂∂xw2 si manifesta solo all’interno dello spessore
h della piastra, non negli irrigidimenti. Tenendo conto di ci`
o, applicando le (15), si avr`
a
dunque
Z
µ
¶ Z h/2
∂2w
∂2w
+ν 2
z 2 dz =
∂x2
∂y
−h/2
µ 2
¶
µ 2
¶
∂ w
∂ w
−Eh3
∂2w
∂2w
+ ν 2 = −Dx
+ν 2
(111a)
12 (1 − ν 2 ) ∂x2
∂y
∂x2
∂y
h/2
−E
σ x zdA =
mx =
(1 − ν 2 )
−h/2
#
"µ
¶ Z h/2
2 w Z h1 /2
∂2w
−E
∂2w
∂
σ y zdA =
+ν 2 s
z 2 dz + 2 2 b
z 2 dz =
s (1 − ν 2 )
∂y 2
∂x
∂y
Ax
−h/2
h/2
∙ µ
¶
¸
µ 2
¶
b 3 ∂2w
−E
b
∂ w
νEh3 ∂ 2 w
Dx ∂ 2 w
3
h 1−
+ h1
−
+ = −Dy
−ν
12 (1 − ν 2 )
s
s
∂y 2
12 (1 − ν 2 ) ∂x2
∂y 2
Dy ∂x2
(111b)
1
my =
sy
Z
Per il momento torcente, trascurando il contributo degli irrigidimenti, si pu`
o assumere
mxy = mxy
Z
h/2
∂2w
E
=
τ xy zdz = −
(1 + ν) ∂x∂y
−h/2
−
Z
h/2
z 2 dz =
h/2
Eh3
∂2w
∂ 2w
= −Dx (1 − ν)
12 (1 + ν) ∂x∂y
∂x∂y
Sostituendo le (111) nella (5) si ha
µ 4
¶
∂4w
∂4w
∂ w
∂ 4w
∂4w
Dx
+
2D
+
ν
(1
−
ν)
+
D
+
νD
=p
x
y
x
∂x4
∂x2 ∂y 2
∂x2 ∂y 2
∂y4
∂y 2 ∂x2
ovvero
Dx
∂4w
∂4w
∂4w
+
2D
+
D
=p
x
y
∂x4
∂x2 ∂y 2
∂y 4
dove
Eh3
Dx =
12 (1 − ν 2 )
Dy = Dx
(
b
1+
s
"µ
h1
h
¶3
(111c)
(112)
(113)
#)
−1
(114)
La (113) coincide con la (109) se si pone
H = Dx
34
(115)
x
h h1
y
z
b
s
Figura 29: Piastra irrigidita simmetricamente
x
h
y
h1
z
b
s
Figura 30: Piastra irrigidita in modo asimmetrico.
I coefficienti di un materiale ortotropo che dia luogo a caratteristiche equivalenti a
quelle della piastra irrigidita si ottengono confrontando le (111) con le (105), e si trova che
(
#)
"µ ¶
Dy
h1 3
b
Dx
ν xy = ν
Ey = E
=E 1+
−1
ν yx = ν
(116)
Ex = E
Dx
s
h
Dy
Inoltre, poché C = H − ν xy Dx , tenendo conto delle (106) e della (115) risulta
G=
6
6Dx
E
(H − νDx ) = 3 (1 − ν) =
h3
h
2 (1 + ν)
(117)
Un caso pi`
u complesso è quello illustrato in Fig. 30, che rappresenta una piastra irrigidita in modo asimmetrico rispetto al piano medio. Il problema è complicato dal fatto che
i baricentri delle due sezioni ortogonali non giacciono pi`
u sullo stesso piano. Una formulazione approssimata si pu`
o ancora ottenere rappresentando la piastra come ortotropa. Con
tale approssimazione, se si assume ν = 0, si ottengono i seguenti valori per i coefficienti
35
della piastra[1]:
Dx =
Eh3
∙
½
³ ´3 ¸¾
b
12 1 − s 1 − hh1
Dy =
EJ
s
H=C=
Eh3 Kt
+
12
s
(118)
in cui J è il momento d’inerzia della sezione a T (tratteggiata in Fig. 30) e Kt è la rigidezza
torsionale di un irrigidimento. Per il modello di materiale equivalente, avendo posto ν = 0,
si avr`
a ν xy = ν yx = 0 e quindi
µ
¶
12Kt
E
12J
6C
E
∙
Ey = E 3
1+ 3
(119)
G= 3 =
Ex = ½
³ ´3 ¸¾
sh
h
2
sh E
b
h
1 − s 1 − h1
9
Piastre sollecitate nel piano (lastre)
Nelle piastre le equazioni relative alle componenti di membrana della sollecitazione sono,
come è stato detto all’inizio, disaccoppiate da quelle della flessione. Si possono quindi
risolvere separatamente due problemi, uno relativo alla parte flessionale della sollecitazione, trattato nei paragrafi precedenti, l’altro relativo alle componenti membranali che
comprendono due termini di sforzo normale Nx , Ny ed uno di taglio Vxy . Dalla Fig. 31 si
deducono facilmente le due seguenti equazioni di equilibrio
¶
¶
µ
µ
∂Vyx
∂Nx
dx dy − Vyx dx + Vyx +
dy dx + px dxdy = 0
(120a)
−Nx dy + Nx +
∂x
∂y
¶
¶
µ
µ
∂Ny
∂Vxy
dy dx − Vxy dy + Vxy +
dx dy + py dxdy = 0
−Ny dx + Ny +
(120b)
∂y
∂x
da cui, semplificando
∂Nx ∂Vyx
+
+ px = 0
∂x
∂y
∂Vxy
∂Ny
+
+ py = 0
∂y
∂x
(121a)
(121b)
Poiché Vxy = Vyx , come segue dalla nota proprietà delle tensioni tangenziali e come si
può anche direttamente verificare dall’equilibrio dei momenti intorno all’asse z, le (121)
formano un sistema di due equazioni in tre incognite, per cui le sole condizioni di equilibrio
sono insufficienti a rendere il problema determinato6 .
Indicando con u, v gli spostamenti dei punti del piano medio nelle direzioni x ed y
rispettivamente, le condizioni di cogruenza si scrivono semplicemente:
εx =
∂u
∂x
εy =
∂v
∂y
γ xy =
∂u ∂v
+
∂y ∂x
(122)
6
Nel caso dei gusci a superficie curva le componenti di membrana generano anche una componente
in direzione z. Alle due equazioni precedenti se ne aggiunge quindi una terza che rende il problema
staticamente determinato, nell’ipotesi che siano nulli i termini flessionali (soluzione di membrana). Questa
soluzione tuttavia non è di solito compatibile con le condizioni al contorno, che si possono soddisfare solo
introducendo anche i termini flessionali.
36
Ny
Vyx
Vxy
Nx
dx
py
Vyx +
y
Ny +
∂N y
∂y
∂Vyx
∂y
x
dy
px
Vxy +
dy
∂Vxy
∂x
Nx +
dx
∂N x
dx
∂x
dy
Figura 31: Forze e componenti di sollecitazione agenti nel piano medio della piastra.
Da queste si deduce facilmente che
∂ 2 γ xy
∂ 2 εx ∂ 2 εy
+
=
∂y2
∂x2
∂x∂y
(123)
(equazione di congruenza in forma implicita). Sostituendo nella (123) le equazioni della
legge costitutiva del materiale (13)e (12d), risulta
∂ 2 τ xy
∂2
∂2
(σ
−
νσ
)
+
(σ
−
νσ
)
=
2
(1
+
ν)
x
y
y
x
∂y 2
∂x2
∂x∂y
(124)
Poiché le tensioni sono uniformi lungo lo spessore, le sollecitazioni risultanti Nx , Ny e Vxy
hanno espressione
Ny = hσ y
Vxy = hτ xy
(125a)
Nx = hσ x
Da queste e dalle (124) si ottiene l’equazione di congruenza espressa in termini delle
sollecitazioni Nx , Ny e Vxy :
µ 2
¶
∂ 2 Vxy
∂ Nx ∂ 2 Ny
∂ 2 Nx ∂ 2 Ny
(126)
+
−
ν
+
=
2
(1
+
ν)
∂y2
∂x2
∂x2
∂y 2
∂x∂y
Ma, dalle equazioni di equilibrio (121), se px e py non dipendono da x ed y, si deduce che
∂ 2 Vxy
∂ 2 Nx
=
−
∂x2
∂x∂y
2
∂ Ny
∂ 2 Vxy
=
−
∂y2
∂y∂x
che sommate danno
∂ 2 Vxy
∂ 2 Nx ∂ 2 Ny
+
=
−2
∂x2
∂y 2
∂x∂y
(127a)
(127b)
(128)
Sostituendo questa nella (126), risulta
¶
µ 2
∂ 2 Nx ∂ 2 Ny
∂ Nx ∂ 2 Ny
+
=
−
+
∂y 2
∂x2
∂x2
∂y 2
37
(129)
ovvero
µ
∂2
∂2
+
∂x2 ∂y 2
¶
(Nx + Ny ) = 0
(130)
Le equazioni di equilibrio (121) risultano soddisfatte se le sollecitazioni si ottengono
da una funzione potenziale Φ (x, y), detta funzione di Airy:
Nx =
∂2Φ
− px x − py y
∂y2
Ny =
∂2Φ
− px x − py y
∂x2
Vxy = −
∂2Φ
∂x∂y
(131)
avendo supposto che px e py siano uniformi nella piastra. Infatti, sostituendo le (131) nelle
(121) si ha
∂Nx ∂Vyx
∂3Φ
∂3Φ
+
+ px =
−
p
−
+ px ≡ 0
x
∂x
∂y
∂x∂y 2
∂x∂y 2
∂Vxy
∂Ny
∂3Φ
∂3Φ
+
+ py =
+ py ≡ 0
−
p
−
y
∂y
∂x
∂y∂x2
∂x2 ∂y
(132a)
(132b)
La funzione di Airy deve tuttavia soddisfare anche le condizioni di congruenza, espresse
dalla (130). Quindi sostituendo in questa le (131) si ottiene
¸
¶∙ 2
µ 2
∂ Φ ∂2Φ
∂2
∂
+
+
− 2 (px x + py y) = 0
(133)
∂x2 ∂y 2
∂y 2
∂x2
Tenendo conto che, se px e py sono costanti, le derivate seconde del termine tra parentesi
tonde sono nulle, la precedente si semplifica in
µ 2
¶µ 2
¶
∂
∂ Φ ∂2Φ
∂2
∂4Φ
∂4Φ
∂4Φ
+
+
+
2
+
=0
(134)
=
∂x2 ∂y 2
∂x2
∂y2
∂x4
∂x2 ∂y 2
∂y 4
nota come equazione di Airy. Questa equazione, analoga a quella delle piastre per il caso
p = 0, associata ad opportune condizioni al contorno, consente di determinare il campo
delle sollecitazioni in una lastra caricata nel piano, quando le forze di volume px e py sono
uniformi7 .
Si deve notare che le condizioni al contorno in termini della funzione di Airy Φ si
possono esprimere con relativa facilit`
a solo per le condizioni di bordo libero, su cui sono
assegnate le forze; molto pi`
u complicato è esprimere le condizioni per i bordi vincolati, che
si esprimono in termini di spostamenti assegnati ai punti della frontiera.
10
Instabilit`
a delle lastre piane
Nei precedenti paragrafi è stato pi`
u volte detto che le equazioni relative agli sforzi di
membrana e quelle degli sforzi flessionali sono, per le piastre piane, disaccoppiate. Questo
è vero nell’ambito di una teoria del primo ordine, in cui le equazioni di equilibrio si scrivono
con riferimento alla struttura indeformata, ritenendo che il cambiamento di configurazione
prodotto dalla deformazione abbia effetti trascurabili sulle condizioni di equilibrio. Come
è noto, per esempio dal caso della trave di Eulero, questa ipotesi non è sempre accettabile;
il termine correttivo dovuto ai termini del secondo ordine rende la funzione dell’energia
7
Questa condizione non è molto restrittiva, poiché generalmente la forza di volume coincide con il peso
che, in una lastra omogenea e di spessore uniforme, è, ovviamente, anch’esso uniforme.
38
ϕx
Vyx
Nx
Ny
ϕy
Vxy
x
y
ϕy +
∂ϕ y
∂y
Ny +
dy
∂N y
∂y
dy
Vyx +
∂V yx
∂y
Vxy +
dy
∂Vxy
∂x
ϕx +
dx
Nx +
∂ϕ x
dx
∂x
∂N x
dx
∂x
Figura 32: Superficie media della piastra deformata.
potenziale elastica non pi`
u quadratica, e questo non consente di garantire che l’equilibrio
sia sempre stabile; infatti, per certi valori dei parametri e delle forze agenti, l’equilibrio
diviene instabile e comunque, per valori minori di quelli critici, le deformazioni possono
risultare molto pi`
u grandi di quelle ottenute dalla soluzione del primo ordine.
Nel caso delle piastre, per effetto della deformazione, la superficie media si incurva
e questo produce un accoppiamento tra le sollecitazioni membranali e quelle flessionali.
Osservando la Fig. 32 si osserva che le proiezioni delle sollecitazioni Nx , Ny e Vxy , tangenti
alla superficie media, hanno una componente non nulla nella direzione dell’asse z. Tale
componente risulta:
¶µ
¶¸
µ
∙
∂Nx
∂ϕx
dx
ϕx +
dx dy+
−Nx ϕx + Nx +
∂x
∂x
∙
¶µ
¶¸
µ
∂ϕy
∂Ny
−Ny ϕy + Ny +
ϕy +
dy
dy dx+
∂y
∂y
¶µ
¶¸
µ
∙
∂ϕy
∂Vxy
dx
ϕy +
dx dy+
−Vxy ϕy + Vxy +
∂x
∂x
¶µ
¶¸
µ
∙
∂Vyx
∂ϕx
dy
ϕx +
dy dx (135)
−Vyx ϕx + Vyx +
∂y
∂y
dove ϕx e ϕy sono i seni degli angoli formati dai vettori Nx ed Ny con gli assi x ed y,
rispettivamente. Semplificando e trascurando i termini di ordine superiore al secondo la
(135), dopo aver diviso tutti i termini per dxdy, diviene:
∂ϕy
∂ϕy
∂Ny
∂Vxy
∂Vyx
∂ϕ
∂ϕ
∂Nx
ϕx + Nx x +
ϕy + Ny
+
ϕy + Vxy
+
ϕx + Vyx x =
∂x
∂x
∂y
∂y
∂x
∂x
∂y
∂y
¶
¶
¶
µ
µ
µ
∂ϕy
∂ϕy ∂ϕx
∂Vxy
∂Ny
∂Nx ∂Vyx
∂ϕx
+
ϕx +
+
ϕy + Nx
+ Ny
+ Vxy
+
∂x
∂y
∂y
∂x
∂x
∂y
∂x
∂y
(136)
39
Nx
Nx
Figura 33:
Se nel piano medio della piastra non agiscono forze di volume (px = py = 0), allora, per le
equazioni di equilibrio (121), le quantit`
a comprese tra le prime due parentesi tonde nella
(136) sono nulle. Quindi poiché per piccole deformazioni è possibile confondere il seno con
la tangente dello stesso angolo, si potr`
a porre
ϕx '
∂w
∂x
ϕy '
∂w
∂y
(137)
e la (136) diviene
∂2w
∂2w
∂2w
(138)
+
N
+
2V
y
xy
∂x2
∂y 2
∂x∂y
La (138) rappresenta una forza per unit`
a di superficie diretta secondo l’asse z; pertanto la si
può interpretare come un ulteriore carico che si aggiunge a quello p applicato dall’esterno.
L’equazione flessionale della piastra (21) diviene quindi:
∙
¸
∂4w
∂2w
∂2w
∂ 2w
∂4w
∂4w
1
p + Nx 2 + Ny 2 + 2Vxy
(139)
+2 2 2 +
=
∂x4
∂x ∂y
∂y4
D
∂x
∂y
∂x∂y
Nx
ovvero, portando i termini che dipendono da w a primo membro
µ
¶
p
∂2w
∂ 2w
∂ 2w
∂4w
∂4w
∂4w
1
Nx 2 + Ny 2 + 2Vxy
=
+2 2 2 +
−
4
4
∂x
∂x ∂y
∂y
D
∂x
∂y
∂x∂y
D
(140)
Si è detto che la deformazione della superficie media della piastra accoppia le equazioni
relative alla parte flessionale ed a quella di membrana, e questo è infatti mostrato dalla
(140) dove compaiono sia la deformazione flessionale w, sia le forze di membrana Nx , Ny
e Vxy . Tuttavia se le deformazioni sono piccole per cui ϕx ' ∂w/∂x ¿ 1, si ha cos ϕx =
p
¡ ¢
2
1 − sin2 ϕx ' 1− ϕ2x = 1+o ∂w
∂x ; pertanto, a meno di infinitesimi di ordine superiore, le
equazioni di equilibrio (121) scritte con riferimento al piano medio non deformato, restano
valide. Dunque, risolvendo il problema degli sforzi di membrana nella lastra, per esempio
mediante l’equazione di Airy, i valori di Nx , Ny e Vxy risultano noti e possono essere
sostituiti nell’equazione (140), in cui w resta la sola funzione incognita.
10.1
Piastra appoggiata soggetta ad Nx = cost
Una piastra sottoposta ad una sollecitazione uniforme Nx lungo i bordi paralleli ad y,
in ogni punto avr`
a una sollecitazione di membrana Nx = cost mentre Ny = Vxy = 0.
L’equazione (140) diviene pertanto
∂4w
∂4w
∂ 4 w Nx ∂ 2 w
p
+
2
+
−
=
4
2
2
4
2
∂x
∂x ∂y
∂y
D ∂x
D
40
(141)
La soluzione della (141) si pu`
o ottenere mediante il doppio sviluppo in serie di Fourier
(81) utilizzato per la soluzione dell’analogo problema del primo ordine. Sostituendo la
(81) nella (141) si ottiene
∞
∞ X
X
j=1 k=1
cjk
"µ
jπ
Lx
¶4
+2
µ
¶ µ ¶
jπ 2 kπ 2
+
Lx
Ly
µ ¶4
µ ¶ #
¶
µ
¶
µ
kπ
y
p
Nx jπ 2
x
sin kπ
=
+
sin jπ
Ly
D Lx
Lx
Ly
D
(142)
Da questa equazione, tenedo conto delle proprietà di ortogonalit`
a delle funzioni trigonometriche, si ottiene, operando come nel §6:
³
´
³
´
R Lx R Ly
y
x
p
sin
jπ
sin
kπ
Lx
Ly dxdy
0
0
4
(143)
cjk =
∙³ ´
³ ´2
³ ´2 ¸2
2
Dπ 4 Lx Ly
j
j
Nx
k
+ Ly
+ π2 D Lx
Lx
³ ´2
La (143) differisce dalla (85) per via del termine πN2 xD Ljx presente al denominatore.
Se Nx è postivo (lastra tesa) questo termine riduce i coefficienti cjk dello sviluppo della
funzione w. In sostanza la piastra risulta pi`
u rigida quanto maggiore è Nx . Se Nx è
negativo (lastra compressa), il denominatore nella (143) diminuisce al crescere di |Nx | e
per
2
|Nx (j, k)| = π D
µ
Lx
j
¶2 "µ
j
Lx
¶2
¶ #2
k 2
+
=
Ly
¶2
µ
¶2
µ
π 2 D jLy
k2
k 2 Lx
π2 D j
+ α
+
= 2
(144)
L2y
Lx
jLy
Ly
α
j
µ
il denominatore si annulla ed il relativo coefficiente diviene illimitato, ci`
o significa che la
deformazione w diviene illimitata (α = Lx /Ly ).
Il valore critico di |Nx (j.k)| è ovviamente il minimo. Poichè |Nx | cresce con k, il valore
critico si ottiene per k = 1, quindi
¶
µ
α 2
π2 D j
+
(145)
Ncr (j, α) = 2
Ly
α
j
Uguagliando a zero la derivata della (145) rispetto ad α si ha
¶µ
¶
µ
α
j
j
1
+
− 2+
=0
a
j
α
j
(146)
la cui unica soluzione reale e positiva è α = j; quindi il minimo valore di Ncr si ottiene
per α = j e vale
π2 D
(147)
Ncr = 4 2
Ly
indipendente da j. Le curve di Ncr (j, α) sono rappresentate in Fig. 34 per diversi valori
di j. Le curve raggiungono tutte il valore minimo (147) quando α = j.
41
10
j=1
j=2
j=3
j=4
j=5
8
6
4
0
1
2
3
4
5
6
Lx/Ly
Figura 34: Carico critico ( a meno di π 2 D/L2y ) per la piastra rettangolare con uniforme
sollecitazione in funzione di α = Lx /Ly e per valori crescenti di j (1, 2, 3, 4, 5)
Per α 6= j si noti che due curve successive si intersecano quando
j
α
j+1
α
+ =
+
α
j
α
j+1
ovvero per
α=
p
j (j + 1)
(148)
(149)
Quindi, come mostra la Fig.p34, per j < α < j + 1 il carico critico
p si ottiene dalla (145)
con j = int (α), se j ≤ α < j (j + 1), e con j = int (α) + 1, se j (j + 1) < α ≤ j + 1.
La Fig. 34 mostra inoltre che, per α & 3, il valore del carico critico si discosta poco da
quello fornito dalla (147). Quindi per le piastre con rapporto tra i lati abbastanza grande
il carico critico diviene indipendente dal valore di α.
Quando il valore di Nx si avvicina a quello critico, il coefficiente cj1 della serie (81)
tende all’infinito; la funzione w risulta quindi dominata da questo termine, mentre tutti
gli altri divengono, al confronto trascurabili. La forma della funzione w è dunque data dal
termine
¶
µ ¶
µ
πy
πx
sin
(150)
sin j
Lx
Ly
dove j è l’intero che approssima α, secondo quanto specificato prima. La (150) è rappresentata in due modi nella Fig. 35. Come si vede, se α è intero, la piastra si suddivide in
α quadrati e sbanda secondo le configurazioni mostrate nella figure. Se α non è intero la
piastra si suddivide inpn rettangoli, dove n è minore o maggiore di α, secondo che α è
minore o maggiore di j (j + 1) (j intero).
Quanto detto sopra è valido se il numeratore dei coefficienti cjk è non nullo per ogni
j, k, altrimenti la discussione deve essere ristretta ai termini non nulli. Ad esempio, nel
caso delle piastre con carico uniforme si è visto che il doppio integrale a numeratore nella
(143) è nullo se j o k sono pari (questa condizione è valida per ogni schema di carico
simmetrico rispetto alla mezzeria della piastra). In tale caso i valori di j pari nella (145)
non hanno significato e la discussione andrebbe quindi ristretta ai soli valori di j dispari.
Quindi le forme antisimmetriche di imbozzamento, come quella per j = 2 mostrata nella
Fig. 35, non sono in questo caso possibili,
anche se α = 2. Il punto di intersezione tra √
due
p
curve possibili risulta allora α = j (j + 2). Per α compreso tra 1 e 3 questo punto è 3.
42
f
f
f
Figura 35: Deformata della piastra per Nx ' Ncr e j = 1, 2, 3.
Riferimenti bibliografici
[1] S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger: Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill.
1964
[2] J.N. Reddy: Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells. CRC Press Inc. 2006
[3] S. Timoshenko, J. Goodier: Theory of Elasticity. McGraw-Hill. 1970
[4] C.L. Dym: Stability Theory and Applications to Structural Mechanics. Dover
Publications. 2002
43

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