Tensioni principali sotto un dato carico

Meccanica dei solidi - Elementi di scienza delle costruzioni 4/ed
Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr., John T. DeWolf, David F. Mazurek
Copyright © 2010 - The McGraw-Hill Companies srl
C
A
P
I
T
O
L
O
8
Tensioni principali sotto un dato carico
Il pilastro c he sostiene il cartello mostrato, a causa dei caric hi dovuti alla
gravità ed al v ento, è sottoposto contemporaneamente a compressione, flessione
e torsione. In questo capitolo imparerete a determinare le tensioni create da
questo tipo di caric hi combinati in strutture ed elementi di macc hine.
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496
Tensioni principali sotto un dato carico
max
m
m
(a)
'
(b)
Fig. 8.1
m
'
'
(a)
Fig. 8.2
(b)
8.1 INTRODUZIONE
Nella prima parte di questo capitolo, applicherete alla progettazione di
travi e alberi le conoscenze acquisite nel Capitolo 7 sulla trasformazione
delle tensioni. Nella seconda parte del capitolo, imparerete come determinare le tensioni principali in elementi strutturali ed elementi di macchina sotto condizioni di carico date.
Nel Capitolo 5 avete imparato a calcolare la massima tensione normale sm che si sviluppa in una trave sotto un carico trasversale (Figura
8.1a) e a controllare se questo valore supera la tensione ammissibile sall
per il materiale dato. Se ciò accade, il progetto della trave non è accettabile. Mentre il pericolo per un materiale fragile è ef fettivamente il collasso per trazione, il pericolo per un materiale duttile è il collasso per taglio (Figura 8.1b). In realtà, sm 7 sall indica che ƒ M ƒ max è troppo grande
per la sezione trasversale scelta, ma non fornisce alcuna informazione sul
reale meccanismo di collasso. In maniera simile, tm 7 tall indica semplicemente che ƒ V ƒ max è troppo grande per la sezione trasversale scelta.
Mentre il pericolo per un materiale duttile è veramente di collassare a taglio (Figura 8.2a), il pericolo per un materiale fragile è il collasso per trazione sotto le tensioni principali (Figura 8.2b). Nel Paragrafo 8.2 sarà trattata la distribuzione delle tensioni principali in una trave.
In dipendenza della forma della sezione trasversale della trave e del
valore del taglio V nella sezione critica dove ƒ M ƒ ƒ M ƒ max, può succedere che il massimo valore della tensione normale non si verifichi alla
sommità o alla base della sezione, bensì in un altro suo punto. Come vedrete nel Paragrafo 8.2, la combinazione di valori grandi di sx e txy vicino al punto di unione dell’anima con le ali di una trave a doppio T può
risultare in un valore della tensione principale smax (Figura 8.3) maggiore
rispetto al valore di sm sulla superficie della trave.
max
Fig. 8.3
Il Paragrafo 8.3 sarà dedicato al progetto di alberi di trasmissione
soggetti a carichi trasversali oltre che a momenti torcenti. Sarà preso in
considerazione l’ef fetto combinato di tensioni normali dovute alla flessione e di tensioni tangenziali dovute alla torsione.
Nel Paragrafo 8.4 imparerete a determinare le tensioni in un dato
punto K di un corpo di forma arbitraria soggetto ad un carico combinato.
Per prima cosa, trasformerete il carico dato in forze e coppie nella sezione contenente K. Quindi, calcolerete le tensioni normali e tangenziali
in K. Infine, utilizzando uno dei metodi per la trasformazione delle tensioni che avete imparato nel Capitolo 7, determinerete i piani principali,
le tensioni principali e la massima tensione tangenziale in K.
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8.2 TENSIONI PRINCIPALI IN UNA TRAVE
Considerate una trave prismatica AB soggetta ad un certo carico trasversale arbitrario (Figura 8.4). Indichiamo con V e M, rispettivamente, il taglio ed il momento flettente in una sezione passante per il punto dato C.
Ricordiamo dai Capitolo 5 e 6 che, entro il limite elastico, le tensioni
esercitate su un elementino con facce perpendicolari, rispettivamente, agli
assi x e y si riducono alle tensioni normali sm McI se l’elemento è
sulla superficie libera della trave, ed alle tensioni tangenziali tm VQIt
se l’elemento è in corrispondenza della superficie neutra (Figura 8.5).
w
P
C
B
A
D
Figura 8.4
y
c
y
m
x
O
c
m
xy
m
c
x
m
min
y
O
m
c
Figura 8.5
In ogni altro punto della sezione trasversale, un elemento di materiale è soggetto contemporaneamente alle tensioni nomali
My
I
(8.1)
dove y è la distanza dalla superficie neutra ed I il momento d’inerzia baricentrico della sezione, ed alle tensioni tangenziali
txy VQ
It
max
min
m
Figura 8.6
sx m
max
x
m
497
8.2 Tensioni principali in una trave
(8.2)
dove Q è il momento statico rispetto all’asse neutro della porzione dell’area della sezione trasversale posta sopra il punto nel quale si calcolano
le tensioni, e t lo spessore della sezione trasversale in quel punto. Usando
uno dei metodi di analisi del Capitolo 7, possiamo ottenere le tensioni
principali in ogni punto della sezione trasversale (Figura 8.6).
A questo punto possiamo porci la seguente domanda: Può la massima
tensione normale smax in un punto qualsiasi della sezione essere maggiore
del valore di sm McI calcolato sulla superficie della trave? Se la risposta è affermativa, allora la determinazione della massima tensione normale nella trave comporterà molto più che il calcolo di
ƒ M ƒ max e l’uso
dell’Equazione (8.1). Possiamo ottenere una risposta a questa domanda
m
y
x
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498
Tensioni principali sotto un dato carico
studiando la distribuzione delle tensioni principali in una trave a mensola
sottile soggetta ad un carico concentrato P sulla sua estremità libera (Figura 8.7). Ricordiamo dal Paragrafo 6.5, che le tensioni normali e tangenziali ad una distanza x dal carico P ed ad una distanza y sopra la superficie neutra sono date, rispettivamente, dall’Equazione (6.13) e (6.12).
Dato che il momento d’inerzia della sezione trasversale è
1bh2 12c2 2
Ac2
bh3
12
12
3
I
dove A è l’area della sezione trasversale e
trave, scriviamo
sx c la metà dell’altezza della
Pxy
Pxy
P xy
1 23 2
I
Ac
3 Ac
(8.3)
y2
3P
a1 2 b
2A
c
(8.4)
e
txy Usando il metodo del Paragrafo 7.3 o quello del Paragrafo 7.4, il valore di smax può venire determinato in uno qualsiasi dei punti della trave.
La Figura 8.8 mostra i risultati del calcolo dei rapporti smax sm e smin sm
in due sezioni della trave, corrispondenti rispettivamente a
x 2c ed
x 8c. In ciascuna sezione questi rapporti sono stati determinati in 1 1
x 2c
y/c
1.0
min /m
0
x 8c
max /m
1.000
min /m
0
max /m
1.000
P
yc
y0
0.8
0.010
0.810
0.001
0.801
0.6
0.040
0.640
0.003
0.603
0.4
0.090
0.490
0.007
0.407
0.2
0.160
0.360
0.017
0.217
0
0.250
0.250
0.063
0.063
0.2
0.360
0.160
0.217
0.017
0.4
0.490
0.090
0.407
0.007
0.6
0.640
0.040
0.603
0.003
0.8
0.810
0.010
0.801
0.001
1.0
1.000
0
1.000
0
yc
x 2c
x 8c
Figura 8.8. Distribuzione delle tensioni pr incipali in due sezioni tr asversali di una mensola rettangolare soggetta ad un singolo
carico concentrato.
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punti differenti, e per ciascun punto è stato indicato l’orientamento degli
assi principali. 1
È chiaro che smax non supera sm in nessun punto delle due sezioni
considerate in Figura 8.8 e che, se dovesse superare sm in un altro punto,
esso si troverà nelle sezioni vicine al carico P, dove sm è piccola se confrontata con tm .2 Ma, per sezioni vicine al carico P, non si può applicare
il principio di Saint-V enant: le Equazioni (8.3) e (8.4) cessano di essere
valide eccetto che nel caso molto improbabile di un carico distribuito
parabolicamente sulla sezione terminale (cfr . Paragrafo 6.5), e dovrebbero essere usati dei metodi di analisi più avanzati che tengano in considerazione l’ef fetto delle concentrazioni di tensione. Concludiamo così
che, per travi di sezione trasversale rettangolare ed entro gli scopi della
teoria presentata in questo testo, la massima tensione normale può essere
ottenuta dall’Equazione (8.1).
Nella Figura 8.8 le direzioni degli assi principali sono state determinate in 11 punti in ciascuna delle due sezioni considerate. Se questa analisi fosse estesa ad un numero maggiore di sezioni ed un maggior numero
di punti in ciascuna sezione, sarebbe possibile disegnare due famiglie di
curve ortogonali sulle facce della trave (Figura 8.9). Una famiglia consisterebbe di curve tangenti agli assi principali corrispondenti a smax e l’altra di curve tangenti agli assi principali corrispondenti a smin. Le curve
ottenute in questa maniera sono note come traiettorie di tensione. Una
traiettoria del primo gruppo (linee continue) definisce in ciascuno dei suoi
punti la direzione della massima tensione di trazione, mentre una traiettoria del secondo gruppo (linee tratteggiate) definisce la direzione della
massima tensione di compressione. 3
La conclusione che la massima tensione normale nella trave può essere ottenuta dall’Equazione (8.1), che abbiamo raggiunto per le travi di
sezione trasversale rettangolare, è valida anche per molte travi di sezione
trasversale non rettangolare. Qualora però, la lar ghezza della sezione trasversale variasse in maniera tale da far nascere delle grandi tensioni tansx è
genziali txy in punti vicini alla superficie della trave, dove anche
grande, in quei punti potrà esserci un valore di smax più grande di sm.
Dovremo essere particolarmente consapevoli di questa possibilità quando
si scelgono travi a doppio T (di tipo S o W), e calcolare la tensione prinsmax
cipale nei
punti b e d nei quali si congiungono l’anima e le ali della
trave (Figura 8.10). Ciò si fa determinando sx e txy in quei punti rispettivamente con le Equazioni (8.1) e (8.2), ed usando uno dei metodi di
analisi del Capitolo 7 per ottenere smax (vedi Esercizio svolto 8.1). Una
procedura alternativa consiste nel usare per txy il massimo valore della
tensione tangenziale nella sezione, tmax VAweb, dato dall’Equazione
(6.11) del Paragrafo 6.4. Ciò porta ad un valore leggermente maggiore, e
dunque conservativo, della tensione principale smax nei punti di giunzione
dell’anima con le ali della trave (vedi Esercizio svolto 8.2).
1
Si vedi l’Esercizio 8.C2, che fa riferimento al programma usato per ottenere i risultati mostrati in Figura 8.8.
2
Come si verificherà nell’Esercizio 8.C2, smax supererà sm se x 0.544c.
3
Un materiale fragile, come il calcestruzzo, collasserà per la trazione lungo piani perpendicolari alle traiettorie delle tensioni di trazione. Dunque, per essere utili, le barre di rinforzo in
acciaio dovranno esser poste in modo tale da intersecare tali piani. Viceversa, gli irrigidimenti
fissati all’anima di una trave metallica alta e sottile saranno efficaci a prevenire l’imbozzamento
solo se intersecheranno piani perpendicolari alle traiettorie della tensione di compressione.
8.2 Tensioni principali in una trave
P
Trazione
Compressione
Figura 8.9.
a
b
c
d
e
Figura 8.10
Traiettorie di tensione .
499
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500
Tensioni principali sotto un dato carico
8.3 PROGETTO DI ALBERI DI TRASMISSIONE
Quando nel Paragrafo 3.7 abbiamo trattato il progetto di alberi
di trasmissione, abbiamo considerato solo le tensioni dovute alle coppie torcenti esercitate sugli alberi. Se la potenza, però, è trasferita da e all’albero per mezzo di ingranaggi o ruote dentate (Figura 8.1
1a), le forze
esercitate sui denti dell’ingranaggio o della ruota dentata sono equivalenti a sistemi forza-coppia applicati nei centri delle corrispondenti sezioni trasversali (Figura 8.1 1b). Ciò significa che l’albero è soggetto ad
un carico trasversale, oltre che un carico torsionale.
A
P3
C
(a)
B
P1
C
P2
y
P1
T1
Az
z
T2
Ay
T3
C
P3
(b)
Bz
C
P2
x
By
Figura 8.11
Le tensioni tangenziali prodotte nell’albero dai carichi trasversali
sono di solito molto più piccole di quelle prodotte dalle coppie torcenti
e saranno trascurate nella nostra analisi. 4 Le tensioni normali dovute ai
carichi trasversali, invece, possono essere abbastanza grandi e, come vedrete qui di seguito, il loro contributo alla massima tensione tangenziale
tmax deve essere preso in considerazione.
4
Per un’applicazione dove le tensioni tangenziali prodotte dai carichi trasversali devono essere considerate, vedi Esercizi 8.21 e 8.22.
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Considerate la sezione trasversale dell’albero in un certo punto
C.
Rappresentiamo il momento torcenteT e le coppie flettenti My e Mz agenti
rispettivamente in un piano orizzontale ed in uno verticale dai vettori coppia mostrati (Figura 8.12a). Dato che ogni diametro è un’asse principale
di inerzia della sezione, possiamo sostituire My e Mz con la loro risultante M (Figura 8.12b) per calcolare le tensioni normali sx esercitate sulla
sezione. Troviamo, così, che sx è massimo alle estremità del diametro
perpendicolare al vettore rappresentante M (Figura 8.13). Ricordando che
i valori delle tensioni normali in quel punto sono, rispettivamente,
sm McI (in direzione assiale) e zero (in direzione tangenziale), mentre la tensione tangenziale è tm TcJ, riportiamo i corrispondenti punti
X e Y sulla circonferenza di Mohr (Figura 8.14) e determiniamo il valore
della massima tensione tangenziale:
tmax R M
My
Mz
C
C
T
T
(a)
(b)
Figura 8.12
m
sm 2
Mc 2
Tc 2
b 1tm 2 2 a b a b
J
B 2
B 2I
a
Ricordando che, per una sezione circolare o anulare,
501
8.3 Progetto di alberi di trasmissione
m
M
m
2I J, scriviamo
T
Figura 8.13
c
tmax 2M2 T 2
J
Ne segue che il minimo valore ammissibile del rapporto
sezione trasversale dell’albero è
(8.5)
Jc per la
D
X
12M T
J
tall
c
2
2
2 max
m max
(8.6)
dove il numeratore nel secondo membro dell’espressione ottenuta rappresenta il massimo valore di 2M2 T 2 nell’albero, e tall la tensione
tangenziale ammissibile. Esprimendo il momento flettente M in funzione
delle sue componenti nei due piani coordinati, possiamo anche scrivere
12M2y M2z T 2 2 max
J
tall
c
(8.7)
Le equazioni (8.6) e (8.7) possono essere usate per progettare sia gli alberi circolari pieni che quelli circolari cavi e devono essere confrontate
con l’Equazione (3.22) del Paragrafo 3.7, che era stata ottenuta con l’ipotesi di solo carico torsionale.
La determinazione del massimo valore di 2M2y M2z T 2 sarà facilitata se si disegnano i diagrammi del momento flettente corrispondenti
a My e Mz, insieme a un terzo diagramma rappresentante l’andamento del
momento torcente T lungo l’albero (vedi Esercizio Svolto 8.3).
B
O
C
Y
m
Figura 8.14
A
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160 kN
ESERCIZIO SVOLTO 8.1
A'
L 375 mm
Una forza di 160 kN è applicata come mostrato all’estremità di una trave profilata in acciaio W200 52. Trascurando l’effetto dei raccordi circolari e delle
concentrazioni di tensione, determinare se le tensioni normali nella trave soddisfano una prescrizione di progetto che le vuole uguali o minori di 150 MPa
nella sezione A-A¿.
A
SOLUZIONE
160 kN
0.375 m
Momento flettente e taglio.
M A 1160 kN2 10.375 m2 60 kN m
V A 160 kN
MA
VA
204 mm
a
12.6 mm
c 103 mm
c
206 mm
a
b
yb 90.4 mm
sb sa
MA
60 kN m
117.2 MPa
S
512 106 m3
yb
90.4 mm
1117.2 MPa2
102.9 MPa
c
103 mm
Notiamo che tutte le tensioni normali sul piano trasversale sono minori di 150
MPa.
204 mm
a
b
sa Nel punto b:
I 52.7 10–6m4
S 512 10–6m3
103 mm
Tensioni normali sul piano trasv ersale. Riferendoci alla tabella delle
proprietà dei profili laminati in acciaio nell’Appendice C, otteniamo i dati riportati in figura, e quindi determiniamo le tensioni sa e s b.
Nel punto a:
b
7.9 mm
12.6 mm
Nella sezione A-A¿, abbiamo
Tensioni tangenziali sul piano trasv ersale
Nel punto a:
96.7 mm
c
Q0
ta 0
Nel punto b:
b
Q 1204 12.62196.72 248.6 103 mm3 248.6 106 m3
b
max
Y
min
A
O
B C
max
b
R
b
2
tb X
1160 kN2 1248.6 106 m3 2
VAQ
95.5 MPa
It
152.7 106 m4 210.0079 m2
Tensioni principali nel punto b. Lo stato di tensione nel punto b consb 102.4 MPa e la tensione tangenziale
siste della tensione normale
tb 95.5 MPa. Disegniamo la circonferenza di Mohr trovando
2
1
1
1
smax sb R sb a sb b t2b
2
2
B 2
b
smax
P
502
La prescrizione smax 150 MPa, non è soddisfatta L 874 mm
W200 52
102.9 2
102.9
a
b 195.52 2
2
B
2
159.9 MPa
a
b
c
Commento. Per questa trave ed il carico, la tensione principale nel punto
b è del 36% maggiore della tensione normale nel punto a. Per L 874 mm,
la massima tensione normale si svilupperà nel punto a.
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ESERCIZIO SVOLTO 8.2
90 kN
2.7 m
48 kN/m
A
C
La trave a sbalzo AB sostiene un carico uniformemente distribuito di 48 kN/m
ed un carico concentrato di 90 kN in C. Sapendo che per la qualità di acciaio
da utilizzare s all = 168 MPa e tall = 100 MPa , scegliete la sezione ad ali larghe da utilizzare.
B
D
6m
1.5 m
SOLUZIONE
Reazioni in A e D. Disegniamo lo schema di corpo libero della trave.
Dalle equazioni di equilibrio MD 0 e MA 0 troviamo i valori di RA e RD
mostrati nel diagramma.
90 kN
48 kN/m
A
C
184.5 kN
265.5 kN
2.7 m
V
3.3 m
Diagrammi del taglio e del momento flettente.
Usando i metodi dei
Paragrafo 5.2 e 5.3, disegniamo i diagrammi ed osserviamo che
B
D
|M |max = 323 kN · m
Modulo della sezione. Per |M |max = 323 kN · m e s all = 168 MPa , il
modulo della sezione minimo accettabile del profilo in acciaio è
1.5 m
184.5 kN
72 kN
54.9 kN
( 239.4)
(– 279.4)
– 35.1 kN
s min =
x
(40)
– 193.5 kN
|M |max
323 kN · m
=
= 1923 × 10 3 mm 3
s all
168 MPa
Scelta della sezione ad ali larghe. Dalla tabella delle proprietà dei profili laminati in acciaionell’Appendice C, compiliamo un elenco di profili aventi
un modulo della sezione più grande di Smin e che sono anche i più leggeri nel
gruppo di altezza data.
M
x
323 kN · m
W610
W530
W460
W410
W360
W310
tw 10.2 mm
W530 92
S 2070 103 mm3
Aweb twd 5436 mm2
Sx (103·mm3)
Profilo
– 54 kN · m
d 533 mm
|V |max = 193.5 kN
2530
2070
2400
2200
2010
2150
× 101
× 92
× 113
× 114
× 122
× 143
Adesso scegliamo la sezione più leggera a disposizione, e precisamente la
W530 × 92
tf 15.60 mm
a
266.5 mm
a 156 MPa
tm =
Vmax
193.53 kN
=
= 35.6 MPa < 100 MPa
A web
5436 .6 mm 2
(OK)
Tensione principale nel punto b. Controlliamo che la massima tensione
principale nel punto b nella sezione critica dove M è massima non ecceda
s all = 168 MPa . Scriviamo
250.9 mm
b 10 MPa
b 146.87 MPa
b 146.87 MPa
sa =
C
O B
A
Y
max 147.55 MPa
M max
323 kN · m
= 156 MPa
=
S
2070 × 10 3 mm 3
sb = sa
tb =
X
b 10 MPa
Tensione tangenziale. Assumendo che il taglio massimo sia uniformemente distribuito sull’area dell’anima della trave W530 × 92 , scriviamo
b 146.87 MPa
b
yb
250.9 mm
= 156 MPa
= 146.87 MPa
c
266.6 mm
V
54.9 kN
=
= 10 MPa
A web
5436 .6 mm 2
Disegniamo la circonferenza di Mohr trovando
s max = 12 s b + R =
146.87 MPa
+
2
2
146.897 MPa
+(10 MPa)2
2
s max = 147.55 MPa ≤ 168 MPa
(OK)
503
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ESERCIZIO SVOLTO 8.3
200
200
200
200
H
G
E
D
C
L’albero pieno AB ruota a 480 giri al minuto (rpm) trasmettendo 30 kW dal
motore M alle macchine utensili connesse con gli ingranaggi in G ed H; 20
kW sono trasmessi all’ingranaggio in G e 10 kW all’ingranaggio in H. Sapendo
che tall 50 MPa, determinare il minimo diametro ammissibile per l’albero
AB.
rE 160
B
A
rC 60
rD 80
M
SOLUZIONE
Dimensioni in mm
FC 6.63 kN
A
Coppie tor centi eser citate sugli ingranaggi.
Osservando che
f 480 rpm 8 Hz, determiniamo il momento torcente applicato sull’ingranaggio in E:
P
30 kW
TE 597 N m
2pf
2p18 Hz2
rE 0.160 m
C
E
D
La forza tangenziale corrispondente agente sull’ingranaggio è
B
rC 0.060 m
rD 0.080 m
FE FE 3.73 kN
TE
597 N m
3.73 kN
rE
0.16 m
Un analisi simile degli ingranaggi C e D ci dice che
y
TD 199 N · m
TC 398 N · m
D
C
A
E
x
B
z
FD 2.49 kN
FC 6.63 kN
TE 597 N · m
A
z
E
y
A
x
2.80 kN
0.6 m
C
z
C
D
E
B
C
My
C
D
D
E
597 N · m
B
A
C
D
E
B
580 N · m
1160 N · m
12M2y M2z T 2 2 max x
Mz
x
E B
TE 597 N · m
Sezione trasversale critica. Calcolando 2M2y M2z T 2 per tutte le
potenziali sezioni critiche, troviamo che il suo massimo valore si verifica immediatamente a destra di D:
My
T
D
C
T 398 N · m
1244 N · m
y
A
z
560 N · m
A
A
x
D
B
FD 2.49 kN
FC 6.63 kN
0.2 m
373 N · m
186 N · m
y TC 398 N · m
TD 199 N · m
2.90 kN
6.22 kN 0.2 m
0.4 m
B
0.932 kN
FD 2.49 kN
Diagrammi del momento flettente e del momento tor cente.
FE 3.73 kN
y
FC 6.63 kN
Adesso sostituiamo le forze sugli ingranaggi con sistemi forza-coppia equivalenti.
F 3 73 kN
FC 6.63 kN
Mz
20 kW
398 N m
2p18 Hz2
10 kW
199 N m
TD 2p18 Hz2
TC FE 3.73 kN
Diametro dell’alber o.
2111602 2 13732 2 15972 2 1357 N m
Per tall 50 MPa, l’Equazione (7.32) fornisce
12M2y M2z T 2 2 max 1357 N m
J
27.14 106 m3
tall
c
50 MPa
Per un albero circolare pieno di raggio c, abbiamo
p
J
c3 27.14 106
c
2
c 0.02585 m 25.85 mm
Diametro = 2c = 51.7 mm
504
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ESERCIZI
P
P
8.1 * Una trave profilata in acciaio di sezione W250 58 sostiene due
carichi come mostrato. Sapendo che P 400 kN, a 0.25 m, e sall 250 MPa,
determinare (a) il massimo valore della tensione normale sm nella trave, (b) il
massimo valore della tensione principale smax nel giunto di un’ala con l’anima,
(c) se la sezione scelta è accettabile per quanto riguarda queste due tensioni.
8.2
mm
D
B
C
3m
a
a
Figura P8.1
* Risolvere l’Esercizio 8.1, assumendo che P 200 kN ed a 0.5 m.
8.3 Una trave profilata in acciaio di sezione W920 × 446 sostiene un carico P come mostrato. Sapendo che P = 1440 kN, a = 2500 mm, ed s all = 200
GPa, determinare (a) il massimo valore della tensione normale sm nella trave, (b)
il massimo valore della tensione principale smax nel giunto di un’ala con l’anima,
(c) se la sezione scelta è accettabile per quanto riguarda queste due tensioni.
8.4
A
P
C
A
B
Risolvere l’Esercizio 8.3, assumendo che P = 1800 kN ed a = 2000
8.5* e 8.6* (a) Sapendo che sall 160 MPa e tall 100 MPa, selezionate la più economica sezione ad ali lar ghe che può essere usata per sostenere il
carico mostrato. (b) Determinare i valori previsti per sm, tm, e per la tensione
principale smax nella trave scelta nel punto di giunzione dell’ala con l’anima.
a
a
Figura P8.3
250 kN 250 kN 250 kN
275 kN
A
B
C
D
E
B
C
A
D
275 kN
0.9 m 0.9 m
Figura P8.5
0.9 m
0.9 m
3.6 m
1.5 m
1.5 m
Figura P8.6
8.7 e 8.8 (a) Sapendo che s all = 168 MPa e tall = 100 MPa, selezionate
la più economica sezione ad ali lar ghe che può essere usata per sostenere il carico mostrato. (b) Determinare i valori da prevedere per sm, tm, e la tensione principale smax nel giunto di una delle ali con l’anima della trave scelta.
90 kN
90 kN
30 kN/m
A
B
22.5 kN/m
C
D
A
C
B
3m
Figura P8.7
9m
3m
3.6 m
1.8 m
Figura P8.8
505
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506
Tensioni principali sotto un dato carico
A
r
;;
;;;
;;
;
;;;
B
P
C
150 mm
8.9*, 8.10*, 8.11, 8.12, 8.13, 8.14 Ciascuno dei seguenti problemi si riferisce ad una sezione profilata in acciaio scelta in un Esercizio del Capitolo 5
per sostenere un carico dato ad un costo minimo soddisfacendo la necessità che
sm sall. Per il progetto scelto, determinare (a) il valore reale di sm nella trave,
(b) il massimo valore della tensione principale smax nel punti di giunzione di una
delle ali con l’anima
8.9 Carico dell’Esercizio 5.81 e sezione W410 × 60 .
8.10 Carico dell’Esercizio 5. 63 e sezione S510 × 98.3 .
8.11 Carico dell’Esercizio 5. 60 e sezione W625 × 190 .
8.12 Carico dell’Esercizio 5. 61 e sezione W460 × 74 .
8.13 Carico dell’Esercizio 5.87 e sezione W310 × 47.3 .
8.14 Carico dell’Esercizio 5.88 e sezione W380 × 64 .
8.15 Determinare il minor diametro ammissibile per l’albero pieno ABCD,
sapendo che tall 60 MPa e che il raggio del disco B è r 80 mm.
8.16 Determinare il minor diametro ammissibile per l’albero pieno ABCD,
sapendo che tall 60 MPa e che il raggio del disco B è r 120 mm.
8.17 * Usando la notazione del Paragrafo 8.3 e trascurando l’ef fetto delle
tensioni tangenziali causate dai carichi trasversali, dimostrare che la massima tensione normale in un albero cilindrico può essere espressa come
150 mm
D
smax T 600 N · m
Figura P8.15 e P8.16
c
1
1
3 1M2y M2z 2 2 1M2y M2z T 2 2 2 4 max
J
8.18 * Usare l’espressione data nell’Esercizio 8.17 per determinare la
massima tensione normale nell’albero pieno AB, sapendo che il suo diametro è
di 36 mm.
175 mm
175 mm
;;;
;;
;;
P2
150 mm
175 mm
C
A
A
6 kN
D
200 mm
B
C
P1
D
B
75 mm
150 mm
100 mm
4 kN
Figura P8.18
250 mm
250 mm
Figura P8.19
8.19 La forza verticale P1 e la forza orizzontale P2 sono applicate come
mostrato a dischi saldati all’albero pieno AD. Sapendo che il diametro dell’albero è 44 mm e che tall = 56 MPa, determinare la massima grandezza ammissibile della forza P2.
8.20 Risolvere l’Esercizio 8.19, ipotizzando che l’albero pienoAD sia stato
sostituito con un albero cavo dello stesso materiale con il diametro interno di 38
mm e diametro esterno di 44 mm.
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8.21 * Si è detto nel Paragrafo 8.3 che le tensioni tangenziali prodotte in
un albero dai carichi trasversali sono di solito molto minori di quelle prodotte
dalle coppie torcenti. Negli esercizi precedenti il loro effetto è stato trascurato ed
è stato ipotizzato che la massima tensione tangenziale, in una data sezione, si sviluppasse nel punto H (Figura P8.21a) e che fosse uguale all’espressione ottenuta
nell’Equazione (8.5), e precisamente
Esercizi
90
M
H
O
c
tH 2M2 T 2
J
T
Dimostrare che la massima tensione tangenziale in un punto K (Figura P8.21b),
dove l’effetto del taglio V è massimo, può essere espressa come
tK (a)
c
21M cos b 2 2 1 23 cV T 2 2
J
V
M
dove b è l’angolo tra i vettori V ed M. È chiaro che l’ef fetto del taglio V non
può essere ignorato quando tK tH. (Suggerimento: Solo la componente di M
lungo V contribuisce alla tensione tangenziale in K.)
8.22 Ipotizzando che le grandezze delle forze applicate sui dischi A e C
dell’Esercizio 8.19 sono, rispettivamente, P1 = 4.86 kN e P2 = 3.65 kN, ed
usando le espressioni date nell’Esercizio 8.21, determinare i valori di tH e tK in
una sezione (a) immediatamente a destra di B, (b) immediatamente a sinistra di
C.
O
90
K
T
(b)
Figura P8.21
;;
;
;;
;;
;
;;
;;
;;;;;;
;
;;;
;;;
;;
;
;;
;
8.23 L’albero pieno ABC e gli ingranaggi mostrati sono utilizzati per trasmettere 10 kW dal motore M ad una macchina utensile connessa all’ingranaggio in D. Sapendo che il motore gira a 240 rpm e che tall 60 MPa, determinare il minor diametro ammissibile per l’albero ABC.
8.24 Ipotizzando che l’albero ABC dell’Esercizio 8.23 sia cavo con un diametro esterno di 50 mm, determinarne il massimo diametro interno ammissibile.
100 mm
B
90 mm
;;;
;;
;;
;;
;
;;;
;;
;;;;
;
;;;
;
160 mm
A
120 mm
C
E
80 mm
Figura P8.25
8.26
720 rpm.
F
D
B
60 mm
* Risolvere l’Esercizio 8.25, assumendo che l’albero
AB giri a
C
A
D
E
Figura P8.23
M
M
C
8.25 * L’albero pieno AB gira a 600 rpm trasmettendo 80 kW dal motore
M ad una macchina utensile connessa con l’ingranaggio
F. Sapendo che
tall 60 MPa, determinare il minimo diametro ammissibile dell’albero AB.
120 mm
507
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508
Tensioni principali sotto un dato carico
200 mm
8.27 Gli alberi pieni ABC e DEF e gli ingranaggi mostrati sono usati per
trasmettere 15 kW dal motore M ad una macchina utensile connessa con l’albero
DEF. Sapendo che il motore gira a 240 rpm e che tall = 52.5 MPa, determinare
il minor diametro ammissibile di: (a) albero ABC, (b) albero DEF.
100 mm
M
8.28
87.5 mm D
A
B
E
F
C
150 mm
Risolvere l’Esercizio 8.27, assumendo che l’alberoAB giri a 360 rpm.
8.29 * L’albero pieno AB gira a 450 rpm trasmettendo 20 kW dal motore M a delle macchine utensili connesse con gli ingranaggi F e G. Sapendo
che tall 55 MPa ed assumendo che 8 kW sono assorbite dall’ingranaggio F
e 12 kW dall’ingranaggio G, determinare il minimo diametro ammissibile dell’albero AB.
;;
;
;;
;;;
;;;;
;;;; ;;
;
;;
;
Figura P8.27
150 mm
F
225 mm
A
225 mm
60 mm
M
150 mm
D
100 mm
60 mm
E
G
B
Figura P8.29
8.30 * Risolvere l’Esercizio 8.29, ipotizzando che tutti i 20 kW siano assorbiti dall’ingranaggio G.
*8.4 TENSIONI SOTTO CARICHI COMBINATI
F5
E
B
F1
H
F6
A
F3
F2
Figura 8.15
K
D
F4
Nei Capitolo 1 e 2 avete imparato a determinare le tensioni causate da un
carico assiale centrato. Nel Capitolo 3 avete analizzato la distribuzione
delle tensioni in un elemento cilindrico soggetto ad una coppia torcente.
Nel Capitolo 4 avete determinato le tensioni causate dai momenti flettenti
e, nei Capitolo 5 e 6, le tensioni prodotte dai carichi trasversali. Come
vedrete qui di seguito, si possono combinare le conoscenze che avete acquisito per determinare le tensioni in elementi strutturali snelli o componenti di macchina sotto condizioni di carico abbastanza generiche.
Considerate, per esempio, l’elemento inflesso ABDE di sezione trasversale circolare, soggetto a varie forze (Figura 8.15). Per determinare
le tensioni prodotte nei punti H o K dai carichi dati, facciamo passare una
sezione per questi punti determinando il sistema forza-coppia nel baricentro C della sezione necessario per mantenere l’equilibrio della porzione ABC.5 Questo sistema rappresenta le forze interne alla sezione e, in
5
Il sistema forza-coppia in C può anche essere definito come equivalente alle forze a genti
sulla porzione dell’elemento posta sulla destr a della sezione (vedi Esempio 8.01).
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My
B
F1
Vy
C
Vz
F3
Vy
My
Mz
y
A
509
8.4 Tensioni sotto carichi combinati
P
T
C
F2
C
P
Mz
T
Vz
z
(a)
x
(b)
Figura 8.17
Figura 8.16
generale, consiste di tre componenti di forza e tre vettori coppia diretti
come mostrato (Figura 8.16).
La forza P è una forza assiale centrata che produce tensioni normali
nella sezione. I vettori coppia My e Mz causano la flessione dell’elemento
e producono anch’essi tensioni normali nella sezione. Questi ultimi, perciò, sono stati raggruppati con la forza P nella parte a della Figura 8.17;
le somme sx delle tensioni normali da loro prodotte nei punti H e K sono
state mostrate nella parte a della Figura 8.18. Queste tensioni possono essere determinate come è stato mostrato nel Paragrafo 4.14.
D’altra parte, la coppia torcente T e le forze di taglio Vy e Vz producono tensioni tangenziali nella sezione. Le somme txy e txz delle componenti delle tensioni tangenziali da loro prodotte nei punti H e K sono state
mostrate nella parte b della Figura 8.18 e possono essere determinate come
indicato nei Paragrafo 3.4 e 6.3.6 Possiamo ora combinare le tensioni normali e tangenziali mostrate nelle parti a e b della Figura 8.18 e disegnarle
nei punti H e K sulla superficie dell’elemento (Figura 8.19).
Le tensioni principali e l’orientamento dei piani principali nei punti
H e K possono essere determinati, in ciascuno di questi punti, dai valori
di sx, txy, e txz utilizzando uno dei metodi presentati nel Capitolo 7 (Figura 8.20). I valori della massima tensione tangenziale in ciascuno di questi punti ed i corrispondenti piani possono essere trovati in maniera simile.
I risultati ottenuti in questo paragrafo sono validi solo fino a quando
sono soddisfatte le condizioni di applicabilità del principio di sovrapposizione (Paragrafo 2.12) e di quello di Saint-Venant (Paragrafo 2.17). Ciò
significa che le tensioni interessate non devono superare il limite di proporzionalità del materiale, che le deformazioni prodotte da uno dei carichi non devono condizionare la determinazione delle tensioni dovute agli
altri, e che la sezione usata nella nostra analisi non deve essere troppo vicina ai punti di applicazione delle forze. È chiaro dalla prima di queste
condizioni che il metodo qui presentato non può essere applicato alle deformazioni plastiche.
6
Notare che le vostre attuali conoscenze vi permettono di determinare l’ef fetto della coppia
torcente T solo nei casi di alberi circolari, di elementi con sezione trasversale rettangolare
(Paragrafo 3.12), e di elementi cavi di parete sottile (Paragrafo 3.13).
H
H
x
K
K
K
C
C
x
(a)
(b)
H
K
xz
x
x
Figura 8.19
H
K
p
Figura 8.20
C
C
xy
Figura 8.18
xy
xz
p
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ESEMPIO 8.01
Due forze P1 e P2, di grandezza P1 15 kN e P2 18 kN,
sono applicate come mostrato all’estremità A della barra AB,
che è saldata ad un elemento cilindrico
BD di raggio
c 20 mm (Figura 8.21). Sapendo che la distanza da A all’asse dell’elemento BD è a 50 mm ed assumendo che tutte
le tensioni rimangano sotto il limite di proporzionalità del materiale, determinare (a) le tensioni nomale e tangenziale nel
punto K della sezione trasversale dell’elemento BD posta ad
una distanza b 60 mm dall’estremità B, (b) gli assi e le tensioni principali in K, (c) la massima tensione tangenziale in K.
Forze interne nella sezione data.
Per cominciare
sostituiamo le forze P1 e P2 con un sistema equivalente di forze
e coppie applicate nel centro C della sezione contenente il
punto K (Figura 8.22). Questo sistema, che rappresenta le forze
interne nella sezione, consiste delle seguenti forze e coppie:
1. Una forza assiale centrata F uguale alla forza P1, di grandezza
F P1 15 kN
2. Una forza tangenziale V uguale alla forza P2, di grandezza
V P2 18 kN
;;
;;
;;
;
;;
;
;;
;;
;
;;
;;
b 60 mm
H
D
B
My
;;
D
H
K
y
My 750 N·m
y
T 900 N·m
K
xy
z
5. Una coppia flettente Mz, di momento Mz uguale al momento di P2 rispetto ad un’asse orizzontale trasversale
passante per C:
C
4c
3
F 15 kN
x
x
Mz
V 18 kN
Figura 8.23
Mz P2b 118 kN2160 mm2 1080 N m
I risultati ottenuti sono mostrati in Figura 8.23.
510
V
Figura 8.22
My P1a 115 kN2150 mm2 750 N m
Determiniamo anche il momento statico Q e la lar ghezza t
dell’area della sezione trasversale posta sopra l’asse z. Ricory 4c3p
dando che per un semicerchio di raggio c, abbiamo
T
C
F
Mz
4. Una coppia flettente My, di momento My uguale al momento di P1 rispetto ad un’asse verticale passante per C:
A pc2 p10.020 m2 2 1.257 103 m2
Iy Iz 14 pc4 14 p10.020 m2 4 125.7 109 m4
JC 12 pc4 12 p10.020 m2 4 251.3 109 m4
P2 18 kN
Figura 8.21
T P2a 118 kN2150 mm2 900 N m
Proprietà g eometriche della sezione . Abbiamo
A P 15 kN
1
K
3. Una coppia torcente T di momento T uguale al momento
di P2 rispetto all’asse dell’elemento BD:
a. Tensioni normale e tang enziale nel punto K.
Ciascuna delle forze e coppie mostrate in Figura 8.23 possono produrre una tensione normale o tangenziale nel punto
K. Il nostro proposito è quello di calcolare separatamente ciascuna di queste tensioni, per poi sommare le tensioni normali
e quelle tangenziali. Dobbiamo, tuttavia prima determinare le
proprietà geometriche della sezione.
a 50 mm
1
4c
2
2
Q A¿y a pc2 b a b c3 10.020 m2 3
2
3p
3
3
5.33 106 m3
e
t 2c 210.020 m2 0.040 m
Tensioni normali. Osserviamo che le tensioni normali sono prodotte in K dalla forza centrata F e dalla coppia
flettente My, mentre la coppia Mz non produce alcuna tensione in K, dato che K è posto sull’asse neutro corrispondente
a questa coppia. Determinando i segni dalla Figura 8.23, scriviamo
My c
1750 N m210.020 m2
F
11.9 MPa A
Iy
125.7 109 m4
11.9 MPa 119.3 MPa
sx 107.4 MPa
sx Meccanica dei solidi - Elementi di scienza delle costruzioni 4/ed
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Tensioni tangenziali. Sono costituite dalla tensione
tangenziale 1txy 2 V dovuta al taglio verticale V e dalla tensione
tangenziale 1txy 2 twist causata dalla coppia torcente T. Ricordando i valori ottenuti per Q, t, Iz, e JC, scriviamo
118 103 N215.33 106 m3 2
VQ
Iz t
1125.7 109 m4 210.040 m2
19.1 MPa
1txy 2 V 1txy 2 twist 1900 N m2 10.020 m2
Tc
71.6 MPa
JC
251.3 109 m4
Sommando queste due espressioni, otteniamo txy nel punto K.
txy 1txy 2 V 1txy 2 twist 19.1 MPa 71.6 MPa
txy 52.5 MPa
;;
;
;;
;
;;
;
8.4 Tensioni sotto carichi combinati
D
OC CD 1
2 1107.42
53.7 MPa
DX 52.5 MPa
determiniamo l’orientamento dei piani principali:
DX
52.5
tan 2up 0.97765
CD
53.7
2up 44.4° i
up 22.2° i
Adesso determiniamo il raggio della circonferenza,
R 2153.72 2 152.52 2 75.1 MPa
e le tensioni principali,
smax OC R 53.7 75.1 128.8 MPa
smin OC R 53.7 75.1 21.4 MPa
I risultati ottenuti sono mostrati in Figura 8.26.
c. Massima tensione tang enziale nel punto
K. Questa tensione corrisponde ai punti E ed F di Figura
8.25. Abbiamo
tmax CE R 75.1 MPa
Osservando che 2us 90° 2up 90° 44.4° 45.6°,
concludiamo che i piani di massima tensione tangenziale formano un angolo up 22.8° g in senso antiorario con l’orizzontale. L’elemento corrispondente è mostrato in Figura 8.27.
Notare che le tensioni normali agenti su questo elemento sono
rappresentate da OC in Figura 8.25 e sono dunque uguali a
53.7 MPa.
15 kN
B
x 107.4 MPa
18 kN
xy 52.5 MPa
Figura 8.24
In Figura 8.24, la tensione normale sx e le tensioni tangenziali txy sono state mostrate agenti su un elemento quadrato
posto in K sulla superficie del pezzo cilindrico. Notare che
sono stati incluse le tensioni tangenziali agenti sui lati longitudinali dell’elemento.
b. Piani e tensioni principali nel punto K.
Per
determinare i piani e le tensioni principali inK possiamo usare
l’uno o l’altro dei metodi del Capitolo 7. Scegliendo quello
della circonferenza di Mohr , riportiamo il punto X di coordinate sx 107.4 MPa e txy 52.5 MPa ed il punto Y
di coordinate sy 0 e txy 52.5 MPa e tracciamo il cerchio di diametro XY (Figura 8.25). Osservando che
A
(MPa)
107.4
53.7
53.7
E
X
2 s
2p
C
B O
D
;;
;;
;;
;
;;
;
;;
;;
;;
;
;;
;
52.5
A
(MPa)
Y
F
Figura 8.25
D
p 22.2
A
15 kN
B
max 128.8 MPa
18 kN
min 21.4 MPa
Figura 8.26
max 75.1 MPa
D
53.7 MPa
Figura 8.27
s 22.8
A
15 kN
B
18 kN
511
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112 mm
ESERCIZIO SVOLTO 8.4
112 mm
22 mm
A
62 mm
E
H
T
B
J
K
D
45 mm
G
Una forza orizzontale di 2 kN agisce nel punto D dell’albero a manovella che
è tenuto in equilibrio da una coppia torcente T e dalle reazioni dei supporti in
A e B. Sapendo che i supporti sono tali da non esercitare alcuna coppia sull’albero, determinare le tensioni normali e tangenziali nei punti H, J, K ed L
posti alle estremità dei diametri verticali ed orizzontali di una sezione trasversale 62 mm a sinistra del supporto B.
2 kN
y
112 mm
SOLUZIONE
112 mm
Corpo rigido. Albero intero. A = B = 1 kN
62 mm
A
B
A 1 kN
z
45 mm
2 kN
x
D
B 1 kN
−(2 kN)(45 mm) + T = 0
V = B = 1 kN
L
C
T 90 N · m
22 mm
K
Le proprietà geometriche della sezione di 22 mm di diametro sono
A = p(11 mm)2 = 380.13 mm 2
Tensioni prodotte dalla coppia tor cente T. Usando l’Equazione (3.8),
determiniamo le tensioni tangenziali nei punti H, J, K ed L e mostriamole in
Figura (a).
L
J
(a)
43 MPa
3.5 MPa
H
L
J
3.5 MPa
(b)
0
t=
43 MPa
K
0
H
(c)
59.3 MPa
L
J
K
59.3 MPa
0
39.5 MPa
H
512
59.3 MPa
L
46.5 MPa
J
43 MPa
43 MPa
K
59.3 MPa
Tc
(90 N · m)(11 mm)
= 43 MPa
=
J
23 × 10 3 mm 4
Tensioni prodotte dalla forza di taglio V. La forza di taglio V non produce tensioni tangenziali nei punti J e L. Nei punti H e K calcoliamo prima Q
per un semicerchio rispetto ad un diametro verticale, e poi determiniamo la
tensione tangenziale prodotta dalla forza di taglio V = 1 kN . Queste tensioni
sono mostrate in Figura (b).
Q=
K
I = 14 p(11 mm)4 = 11.5 × 10 3 mm 4
J = 12 p(11 mm)4 = 23 × 10 3 mm 4
G
43 MPa
H
43 MPa
T = 90 N · m
M y = (1 kN)(62 mm) = 62 N · m
V 1 kN
E
T = 90 N · m
Forze interne nella sezione trasversale. Sostituiamo la reazione B e la
coppia torcente T con un’equivalente sistema forza-coppia nel centro C della
sezione trasversale contenente H, J, K ed L.
My 62 N · m
H
J
g ©Mx 0:
T
t=
1 2
pc
2
4c
3p
=
2 3
2
c = (11 mm)3 = 887 mm 3
3
3
VQ
(1 kN)(887 mm 3 )
=
= 3.5 MPa
It
(11.5 × 10 3 mm 4 )(22 mm)
Tensioni prodotte dalla coppia flettente My . Dato che la coppia flettente My agisce in un piano orizzontale, non produce tensioni in H e K. Usando
l’Equazione (4.15), determiniamo le tensioni normali nei punti J ed L e mostriamole in Figura (c).
s=
|M y |c
(62 N · m)(11 mm)
= 59.3 MPa
=
I
11.5 × 10 3 mm 4
Sommario. Sommiamo le tensioni mostrate ed otteniamo le tensioni normali e tangenziali nei punti H, J, K ed L.
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y
ESERCIZIO SVOLTO 8.5
50 kN
130 mm
Tre forze sono applicate come mostrato nei punti A, B e D di un corto montante in acciaio. Sapendo che la sezione trasversale orizzontale del montante è
un rettangolo di 40 × 140 mm, determinare le tensioni principali, i piani principali e la massima tensione tangenziale nel punto H.
B
A
75 kN
D
200 mm
30 kN
100 mm
25 mm
HG
E
F
z
SOLUZIONE
x
70 mm
40 mm
20 mm
y
P 50 kN
Vz 75 kN
Vx 30 kN
Mx 8.5 kN · m
E
H
C
F
z
Mz 3 kN · m
a 0.020 m
Vx 30 kN P 50 kN Vz 75 kN
Mx 150 kN210.130 m2 175 kN2 10.200 m2 8.5 kN m
My 0
Mz 130 kN210.100 m2 3 kN m
G
Notiamo che non ci sono coppie torcenti intorno all’asse
geometriche di una sezione rettangolare sono
x
Mz 8.5 kN · m
b 0.025 m
0.140 m
Mz 3 kN · m
F
z
0.040 m
A1
C
H yz
y1 0.0475 m
z
y
(MPa)
y 66.0 MPa
R
C
Y
yz 17.52 MPa
2p D A
B
(MPa)
max
Z
min
Q A1y1 3 10.040 m2 10.045 m2 4 10.0475 m2 85.5 106 m3
VzQ
175 kN2 185.5 106 m3 2
tyz 17.52 MPa tyz Ixt
19.15 106 m4 210.040 m2
yz
33.0
max
O
0Mz 0 a
0 Mx 0 b
P
A
Iz
Ix
13 kN m2 10.020 m2
18.5 kN m210.025 m2
50 kN
5.6 103 m2
0.747 106 m4
9.15 106 m4
sy 8.93 MPa 80.3 MPa 23.2 MPa
sy 66.0 MPa Tensione tangenziale in H. Considerando prima la forza di taglio Vx,
notiamo che, dato che H è sul bordo della sezione trasversale, Q 0 rispetto
all’asse z. Dunque Vx non produce alcuna tensione tangenziale in H. Invece,
la forza di taglio Vz produce una tensione tangenziale in H e scriviamo
Vz
33.0
Tensione normale in H. Notiamo che le tensioni normali sy sono prodotte dalla forza centrata P e dalle coppie flettenti Mx e Mz. Determiniamo il
segno di ciascuna componente di tensione esaminando attentamente lo schema
del sistema forza-coppia in C.
sy t 0.040 m
0.045 m
0.025 m
max
y. Le proprietà
A 10.040 m2 10.140 m2 5.6 10 3 m2
Ix 121 10.040 m2 10.140 m2 3 9.15 10 6 m4
Iz 121 10.140 m2 10.040 m2 3 0.747 106 m4
G
H
C
E
Forze interne nella sezione EFG. Sostituiamo le tre forze applicate con
un sistema equivalente forza-coppia nel centro C della sezione rettangolare
EFG. Abbiamo
140 mm
13.98
min
H.
Tensioni principali, piani principali e massima tensione tangenziale in
Disegniamo la circonferenza di Mohr per le tensioni nel punto H
tan 2up 17.52
33.0
2up 27.96°
up 13.98° R 2133.02 2 117.522 2 37.4 MPa
tmax 37.4 MPa >
smax OA OC R 33.0 37.4
smax 70.4 MPa >
smin OB OC R 33.0 37.4
smin 7.4 MPa >
513
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ESERCIZI
a
100 mm
c
100 mm
b
D
150 mm
0.75 m
a
200 mm
c
A
B
E
b
8.31 * La trave a mensola AB ha una sezione trasversale rettangolare di
150 200 mm. Sapendo che la tensione nel cavo BD è 10.4 kN e trascurando
il peso della trave, determinare le tensioni normali e tangenziali nei tre punti indicati.
8.32 Una forza di 27 kN è applicata all’elemento di macchina AB come
mostrato. Sapendo che lo spessore uniforme dell’elemento è 20 mm, determinare
le tensioni normali e tangenziali nel (a) punto a, (b) punto b, (c) punto c.
16 kN
0.6 m
200 mm
0.9 m
27 kN
200 mm
0.3 m
Figura P8.31
35
A
200 mm
a
d
b
e
c
Figura P8.32 e P8.33
f
B
38 mm
38 mm
8.33 Una forza di 27 kN è applicata all’elemento di macchina AB come
mostrato. Sapendo che lo spessore uniforme dell’elemento è 20 mm determinare
le tensioni normali e tangenziali nel (a) punto d, (b) punto e, (c) punto f.
8.34, 8.35*, 8.36 L’elemento AB ha una sezione trasversale rettangolare
costante di 10 24 mm. Per il carico mostrato, determinare le tensioni normali
e tangenziali nel (a) punto H, (b) punto K.
A
A
60 mm
9 kN
30 G
H
12 mm
40 mm
Figura P8.34
514
K
60 mm
A
30 G
H
12 mm
B
12 mm
40 mm
Figura P8.35
60 mm
9 kN
60 mm
9 kN
K
G
60 mm
30
12 mm
B
12 mm
40 mm
Figura P8.36
H
K
60 mm
12 mm
B
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8.37 Due forze sono applicate alla barra mostrata. Nel punto a, determinare (a) le tensioni ed i piani principali, (b) la massima tensione tangenziale.
Esercizi
515
270 kN
25 mm
25 mm
37.5 mm
37.5 mm
45 kN
h 200 mm
18 mm
y
1.8 m
a
0.9 m
b
2.7 m
36 kN
Figura P8.37 e P8.38
C
13.5 kN
8.38 Due forze sono applicate alla barra mostrata. Nel punto b, determinare (a) le tensioni ed i piani principali, (b) la massima tensione tangenziale.
H
8.39 Il pannello mostrato pesa 36 kN ed è sorretto da un tubo strutturale,
con un diametro esterno di 375 mm ed uno spessore della parete di 12 mm. Assumendo la risultante della pressione del vento pari a 13.5 kN ed applicata nel
centro C del pannello, determinare le tensioni normali e tangenziali nel punto H.
8.40 * Il tubo di acciaio AB ha un diametro esterno di 100 mm ed uno
spessore della parete di 8 mm. Sapendo che la tensione nel cavo è 40 kN, determinare le tensioni normali e tangenziali nel punto H.
y
50 mm
t 8 mm
A
20 mm
D
;;;;;
;;;;;
225 mm
H
60
E
x
B
z
Figura P8.40
0.9 m
H
z
A
Figura P8.39
A
z
0.6 m
x
0.9 m
2.4 m
0.6 m
x
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516
Tensioni principali sotto un dato carico
8.41 L’asse di un camioncino è sollecitato dalle forze e coppie mostrate.
Sapendo che il diametro dell’asse è 35 mm, determinare le tensioni normali e
tangenziali nel punto H posto al mar gine superiore dell’asse.
250 mm
1 kN · m
200 mm
C
3.4 kN
6.8 kN
H
H
K
225 mm
4.7 kN · m
3.4 kN
Figura P8.41
Figura P8.42
8.42 Una forza di 6.8 kN ed una coppia di 1 kN · m sono applicate sulla
sommità del montante in ghisa di diametro 62 mm mostrato. Determinare le tensioni normali e tangenziali nel (a) punto H, (b) punto K.
8.43 Per l’asse del camioncino dell’Esercizio 8.41, determinare le tensioni
principali e la massima tensione tangenziale nel punto H.
8.44 Per il montante ed il carico dell’Esercizio 8.42, determinare le tensioni principali e la massima tensione tangenziale nel (a) punto H, (b) punto K.
8.45 * Il tubo in acciaio AB ha un diametro esterno di 72 mm ed una parete di spessore 5 mm. Sapendo che il braccio CDE è rigidamente fissato al tubo,
determinare le tensioni principali, i piani principali e la massima tensione tangenziale nel punto H.
;;
;
;;
;
y
3 kN
B
K
C
D
120 mm
H
x
9 kN
A
150 mm
z
120 mm
E
Figura P8.45 e P8.46
8.46 * Il tubo in acciaio AB ha un diametro esterno di 72 mm ed una parete di spessore 5 mm. Sapendo che il braccio CDE è rigidamente fissato al tubo,
determinare le tensioni principali e la massima tensione tangenziale nel punto K.
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8.47 Tre forze sono applicate ad una piastra circolare di diametro 100 mm
fissata all’albero pieno AB di diametro 45 mm. Nel punto H, determinare (a) le
tensioni ed i piani principali (b) la massima tensione tangenziale.
517
Esercizi
y
B
y
50
mm
50
mm
D
27 kN
27 kN
A
11 kN
;;
;
;;
;
13 kN 300 mm
H
100 mm
A
z
200 mm
125 mm
150 mm
x
Figura P8.48
H
100 mm
B
z
Figura P8.47
H
x
13 kN
100 mm
K
75 mm
9 kN
125 mm
150 mm
175 mm
C
108 kN
375 mm
50 mm
8.48 * Una forza di 13 kN è applicata come mostrato al montante in ghisa
ABD di 60 mm di diametro. Nel punto H, determinare (a) le tensioni ed i piani
principali, (b) la massima tensione tangenziale.
Figura P8.49 e P8.50
8.49 Tre forze sono applicate alla trave a mensola mostrata. Determinare
le tensioni normali e tangenziali nel punto H.
y
50 mm
8.50 Tre forze sono applicate alla trave a mensola mostrata. Determinare
le tensioni normali e tangenziali nel punto K.
120 kN
8.51 Per la trave ed il carico dell’Esercizio 8.49, determinare le tensioni
principali e la massima tensione tangenziale nel punto H.
8.52 Per la trave ed il carico dell’Esercizio 8.50, determinare le tensioni
principali e la massima tensione tangenziale nel punto K.
8.53 * Tre forze sono applicate ad un montante in acciaio come mostrato.
Determinare le tensioni normali e tangenziali nel punto H.
8.54 * Tre forze sono applicate ad un montante in acciaio come mostrato.
Determinare le tensioni normali e tangenziali nel punto K.
;;;
;;
;;
;;;
;;
;;
20 kN
50 kN
20 mm
30 mm
z
K H
40 mm
100 mm
40 mm
60 mm
30 mm
Figura P8.53 e P8.54
60 mm
x
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518
8.55 Due forze sono applicate al montante BD come mostrato. Sapendo
che la porzione verticale del montante ha una sezione trasversale di 38 × 60 mm,
determinare le tensioni principali, i piani principali e la massima tensione tangenziale nel punto H.
Tensioni principali sotto un dato carico
y
8.56 Risolvere l’Esercizio 8.55, assumendo che la grandezza della forza
di 27 kN si riduca a 7 kN.
B
;;
;;
;;
y 50 mm
27 kN
2 kN
38 mm
60 mm
40 mm
H
0.5 kN
z
200 mm
H
B
20 mm
150 mm
D
25 mm
z
150 mm
A
3 kN
160 mm
D
x
2.5 kN
Figura P8.57
80 mm
x
44 mm
Figura P8.55
8.57 * Tre forze sono applicate al componente di macchina ABD come
mostrato. Sapendo che la sezione trasversale contenente il punto H è un rettangolo di 20 × 40 mm, determinare le tensioni principali e la massima tensione
tangenziale nel punto H.
8.58 * Risolvere l’Esercizio 8.57, ipotizzando che la grandezza della forza
di 2.5 kN sia aumentata a 10 kN.
8.59 Tre piastre di acciao, ciascuna spessa 13 mm, sono saldate tra loro a
formare una trave a mensola. Per il carico mostrato, determinare le tensioni normale e tangenziale nei punti a e b.
;;;
;;;;
;;;;
;
a
b
d
y
e
60 mm
30 mm
60 mm
400 mm
75 mm
9 kN
x
C
150 mm
t 13 mm
C
13 kN
Figura P8.59 e P8.60
8.60 Tre piastre di acciao, ciascuna spessa 13 mm, sono saldate tra loro a
formare una trave a mensola. Per il carico mostrato, determinare le tensioni normale e tangenziale nei punti d ed e.
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8.61 * Per la trave ed il carico dell’Esercizio 8.59, determinare le tensioni
principali e la massima tensione tangenziale nei punti a e b.
Esercizi
8.62 * Per la trave ed il carico dell’Esercizio 8.60, determinare le tensioni
principali e la massima tensione tangenziale nei punti d ed e.
8.63 Due forze sono applicate ad una trave profilata in acciaio di sezione
W200 × 41.7. Determinare le tensioni principali, i piani principali e la massima
tensione tangenziale nel punto a.
8.64 Due forze sono applicate ad una trave profilata in acciaio di sezione
W200 × 41.7. Determinare le tensioni principali, i piani principali e la massima
tensione tangenziale nel punto b.
405 kN
100 mm
a
b
90 kN
600 mm
Figura P8.63 e P8.64
75 mm
a
b
P2
0.6 m
P1
1.2 m
x
b
W310 60
Figura P8.65 e P8.66
8.66 Due forze P1 e P2 sono applicate come mostrato perpendicolarmente
all’asse longitudinale di una trave di tipo W310 60. Sapendo che P1 25 kN
e P2 24 kN, determinare le tensioni principali e la massima tensione tangenziale nel punto b.
8.67 * Una forza P è applicata ad una trave a mensola mediante un cavo
fissato ad un bullone posto al centro dell’ estremità libera della trave. Sapendo
che P agisce in una direzione perpendicolare all’asse longitudinale della trave,
determinare (a) la tensione normale nel punto a in funzione di P, b, h, l e (b)
b,
il valore di b per il quale la tensione normale in a è nulla.
;;;
;;;
;;;
B
a
b
A
C
h
l
P
Figura P8.67
b a
y
a
W200 41.7
y
8.65 Due forze P1 e P2 sono applicate come mostrato perpendicolarmente
W310 60. Sapendo che
all’asse longitudinale di una trave di sezione
P1 25 kN e P2 24 kN, determinare le tensioni principali e la massima tensione tangenziale nel punto a.
;;
;;
;
;;;
519
x
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520
Tensioni principali sotto un dato carico
8.68 * Una forza verticale P è applicata al centro dell’estremità libera della
trave AB. (a) Se la trave è posizionata con l’anima verticale 1b 02 e con il suo
asse longitudinale orizzontale, determinare la grandezza della forza P per la quale
la tensione normale nel punto a è 120 MPa. (b) Risolvere la parte (a), assumendo che la trave sia installata con b 3°.
;;
;;;
;;
;;;;
a
l 1.25 m
B
B
d
A
a
d
2
W250 44.8
A
P
Figura P8.68
P
Figura P8.69
20 kN
80 mm
;;
;;
;
;;
;
;;
;
6 mm
25 mm
A
8.70 Una forza verticale di 20 kN è applicata all’estremità A della barra
AB, saldata ad un tubo estruso di alluminio. Sapendo che la parete del tubo ha
uno spessore uniforme di 6 mm, determinare la tensione tangenziale nei punti a,
b e c.
c
B
b
a
100 mm
50 mm
150 mm
50 mm
Figura P8.70
8.69 Una forza P di 2 kN è applicata ad un filo avvolto attorno alla barra
AB come mostrato. Sapendo che la sezione trasversale della barra è un quadrato
di lato d = 18 mm, determinare le tensioni principali e la massima tensione tangenziale nel punto a.
8.71 * Per il tubo ed il carico dell’Esercizio 8.70, determinare le tensioni
principali e la massima tensione tangenziale nel punto b.
8.72 Sapendo che il tubo strutturale mostrato ha la parete di spessore uniforme 8 mm, determinare le tensioni principali, i piani principali e la massima
tensione tangenziale nel (a) punto H, (b) punto K.
75 mm
H
150 mm
K
100 mm
50 mm
250 mm
4 mm
40 kN
Figura P8.72
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RIEPILOGO
DEL CAPITOLO 8
Questo capitolo è stato dedicato alla determinazione delle tensioni principali nelle travi, alberi di trasmissione e corpi di forma arbitraria soggetti a carichi combinati.
Abbiamo inizialmente ricordato, nel Paragrafo 8.2, le due relazioni
fondamentali ottenute nei Capitolo 5 e 6 per la tensione normale sx e
quella tangenziale txy in ogni punto di una sezione trasversale di un
elemento prismatico,
My
VQ
sx txy (8.1, 8.2)
I
It
dove V taglio nella sezione
M momento flettente nella sezione
y distanza del punto dalla superficie neutra
I momento di inerzia baricentrico della sezione
Q momento statico rispetto all’asse neutro della porzione
della sezione trasversale posta sopra il punto dato
t larghezza della sezione trasversale in corrispondenza
del punto considerato
Utilizzando uno dei metodi presentati nel Capitolo 7 per la trasformazione delle tensioni, siamo stati in grado di ottenere i piani e le tensioni principali nel punto considerato (Figura 8.6).
Abbiamo studiato la distribuzione delle tensioni principali in una
trave rettangolare sottile a mensola soggetta ad un carico concentrato
P nella sua estremità libera trovando che, in ogni data sezione trasversale eccetto che nelle vicinanze del punto di applicazione del carico, la massima tensione principale smax non supera la massima tensione normale sm prodotta sulla superficie superiore o inferiore della
trave.
Mentre questa conclusione resta valida per molte travi con sezione
trasversale non rettangolare, non può essere considerata valida per le
travi a doppio T, dove il valore smax nei punti di giunzione b e d dell’anima con le ali della trave (Figura 8.10) può superare il valore sm
presente nei punti a ed e. Il progetto di una trave profilata in acciaio,
perciò, deve includere il calcolo della massima tensione principale in
questi punti. (Vedi Esercizi svolti 8.1 e 8.2)
Piani principali e tensioni pr incipali
in una tr ave
y
c
m
min
m
max
max
O
c
min
m
y
x
m
Figura 8.6
a
b
c
d
e
Figura 8.10
521
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522
Tensioni principali sotto un dato carico
Progetto di alber i di tr asmissione
sotto carichi trasversali
Nel Paragrafo 8.3 abbiamo considerato il progetto di alberi di tr asmissione soggetti a carichi trasversali oltre che a coppie torcenti. Prendendo in considerazione gli ef fetti sia delle tensioni normali dovute al
momento flettente M che delle tensioni tangenziali dovute al momento
torcente T in ogni data sezione trasversale di un albero cilindrico (pieno
o cavo), abbiamo trovato che il minimo valore ammissibile del rapporto Jc per la sezione traversale era
1 2M 2 T 2 2 max
J
tall
C
Tensioni sotto condizioni
generali di car ico
(8.6)
Nei precedenti capitoli, avevate imparato a determinare le tensioni
in elementi prismatici causate dai carichi assiali (Capitolo 1 e 2), dalla
torsione (Capitolo 3), dalla flessione (Capitolo 4) e dai carichi trasversali (Capitolo 5 e 6). Nella seconda parte di questo capitolo (Paragrafo 8.4), abbiamo combinato tali conoscenze per determinare le tensioni sotto condizioni di carico più generali.
F5
E
My
B
F1
B
F1
H
F6
Vy
Mz
y
C
A
F3
F2
Figura 8.15
A
K
Vz
F3
D
P
T
F2
F4
z
x
Figura 8.16
Per esempio, per determinare le tensioni nel punto H o K dell’elemento inflesso mostrato in Figura 8.15, abbiamo fatto passare una sezione attraverso tali punti sostituendo i carichi applicati con un sistema
equivalente forza-coppia nel baricentro C della sezione (Figura 8.16).
Le tensioni normali e tangenziali prodotte in H e K da ciascuna delle
forze e coppie applicate in C sono state determinate e poi combinate
per ottenere la tensione normale risultante x e le tensioni tangenziali
risultanti xy e xz in H o K. Alla fine, con uno dei metodi presentati nel
Capitolo 7, abbiamo ricavato dai valori ottenuti per sx , tx y , tx z , le tensioni principali, l’orientamento dei piani principali e la massima tensione tangenziale nel punto H o K.
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ESERCIZI DI RIEPILOGO
8.73 * (a) Sapendo che sall 165 MPa e tall 100 MPa, scegliete il profilo più economico che può essere utilizzato per sostenere il carico mostrato. (b)
Determinare i valori previsti per sm, tm, e la tensione principale smax nel giunto
di un’ala con l’anima della trave scelta.
40 kN
2.2 kN/m
A
C
B
4.5 m
2.7 m
Figura P8.73
8.74 Sapendo che il taglio ed il momento flettente in una data sezione della
trave profilata in acciaio di sezione W530 × 150 sono, rispettivamente, 540 kN
e 400 kN · m , determinare i valori in quella sezione di (a) la massima tensione
normale sm, (b) la tensione principale smax nella giunzione di un’ala con l’anima.
8.75 * La forza di 6 kN è verticale mentre la forza P è parallela all’asse
z. Sapendo che tall 60 MPa, determinare il minimo diametro ammissibile dell’albero pieno AD.
y
;;
;;;
; ;;
;;
;;
y
80 mm
175 mm
100 mm
175 mm
120 mm
A
A
B
z
B
C
D
75 mm
6 kN
60 mm
x
P
Figura P8.75
175 mm
175 mm
P
100 mm
100 mm
C
B
z
150
mm
E
D
x
2 kN
2 kN
Figura P8.76
8.76 Le due forze di 2 kN sono verticali mentre la forza P è parallela all’asse z. Sapendo che tall = 56 MPa, determinare il minimo diametro ammissibile dell’albero pieno AE.
523
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524
8.77 L’albero pieno AE gira a 600 rpm, trasmettendo 45 kW dal motore
M a delle macchine utensili connesse con gli ingranaggi G ed H. Sapendo che
tall = 56 MPa, e che 30 kW sono assorbiti dall’ingranaggio G e 15 kW dall’ingranaggio H, determinare il minimo diametro ammissibile dell’albero AE.
Tensioni principali sotto un dato carico
100 mm
M
150 mm
F
200 mm
A
BC
75 mm
150 mm
H
C
DC
G
100 mm
E
100 mm
Figura P8.77
8.78 Il motore M gira a 300 rpm trasmettendo 30 kW all’albero pieno AB
attraverso una connessione flessibile. La metà di questa potenza è trasmessa ad
una macchina utensile connessa con l’ingranaggio E e l’altra metà ad una macchina utensile connessa con l’ingranaggio F. Sapendo che tall 60 MPa, determinare il minimo diametro ammissibile dell’albero AB.
;;;
;;
;;
;;;
;;;;
;;
;;;
;
120 mm
M
A
F
C
E
y
175
200 mm
300
200 mm
250
150 N
D
;;
;;
;
;;
;;
B
200 mm
Figura P8.78
H
225
x
100 N
z
225
150 N
100 N
Dimensioni in mm
Figura P8.79
8.79 All’assemblaggio di tubi mostrato sono applicate varie forze. Sapendo
che tutte le sezioni del tubo hanno diametri interni ed esterni rispettivamente
uguali a 36 mm e 42 mm, determinare la tensione normale e tangenziale nel punto
H posto nella parte superiore della superficie esterna del tubo.
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8.80 Una forza verticale P di grandezza pari a 250 N è applicata alla manovella nel punto A. Sapendo che l’albero BDE ha un diametro di 18 mm, determinare le tensioni principali e la massima tensione tangenziale nel punto H,
posto nella parte superiore dell’albero, 50 mm a destra del supporto D.
Esercizi di riepilogo
75
mm
y
525
150 mm
P
25 mm
600 lb
;;;
;;;;
50 mm
60°
1500 lb
600 lb
A
125 mm
1500 lb
D
E
H
200 mm
68.75 mm
z
500 mm
75 mm
B
x
125 mm
Figura P8.80
8.81 Sapendo che il tubo strutturale mostrato ha una parete di spessore
uniforme pari a 6 mm, determinare le tensioni normali e tangenziali nei tre punti
indicati.
6.25 mm
a
b c
Figura P8.81
8.82 * Per il montante ed il carico mostrati, determinare le tensioni principali, i piani principali e la massima tensione tangenziale nel punto H.
y
120 kN
75 mm
75 mm
50 mm
50 mm
50 kN
C
30
375 mm
;;;
;;
;;
;;;
;;
;;
H
z
K
y
x
25 mm
Figura P8.82 e P8.83
8.83 Per il montante ed il carico mostrati, determinare le tensioni principali, i piani principali e la massima tensione tangenziale nel punto K.
8.84 Delle forze sono applicate nei punti A e B del sostegno pieno in
ghisa mostrato. Sapendo che il sostegno ha un diametro di 20 mm, determinare
le tensioni principali e la massima tensione tangenziale (a) nel punto H, (b) nel
punto K.
H
11 kN
z
K
x
B
A
62 mm
2.7 kN
Figura P8.84
88 mm
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ESERCIZI DA RISOLVERE
CON IL COMPUTER
Gli esercizi seguenti stati pensati per esser e risolti con l’aiuto di un computer.
8.C1 Assumiamo che siano stati determinati il taglio V ed il momento flettente M in una data sezione di una trave profilata in acciaio. Scrivere un programma per calcolare in quella sezione, dai dati reperibili nell’Appendice C, (a)
la massima tensione normale sm, (b) la tensione principale smax nel giunto di
un’ala con l’anima. Usare questo programma per risolvere le parti
a e b degli
esercizi seguenti:
(1) Esercizio 8.1 (Usare V 400 kN e M 100 kN m)
(2) Esercizio 8.2 (Usare V 200 kN e M 100 kN m)
(3) Esercizio 8.1 (Usare V = 1400 kN e M = 3500 kN · m )
(4) Esercizio 8.74.
8.C2 Una trave a mensola AB con una sezione trasversale rettangolare larga
b ed alta 2c è soggetta un singolo carico concentrato P nella sua estremità A. Scrivere un programma per calcolare, per ogni valore di xc, (a) i rapporti smax sm e
smin sm,dove smax e smin sono le tensioni principali nel punto K(x, y) e sm la massima tensione normale nella stessa sezione trasversale, (b) l’angolo up che i piani
principali in K formano con un piano trasversale ed uno orizzontale passanti per
K. Usare questo programma per verificare i valori mostrati in Figura 8.8 e per verificare che smax supera sm se x 0.544c, come indicato nella nota 2.
P
;;;
;;
;;
;;
B
A
c
K
y
min
x
b
Figura P8.C2
max
p
c
8.C3 I dischi D1, D2, . . . , Dn sono fissati come mostrato in Figura P8.C3
all’albero pieno AB di lunghezza L, diametro uniforme d e tensione tangenziale
tall.
ammissibile Le
forze P1, P2, . . . , Pdn i grandezza nota (eccetto una di esse)
sono applicate sui dischi, ciascuna sulla sommità o alla base di un diametro verticale, o sull’estremità destra o sinistra di un diametro orizzontale. Indicando con ri
il raggio del disco Di e con ci la sua distanza dal supporto in A, scrivere un programma per calcolare (a) la grandezza della forza incognita Pi, (b) il minimo valore ammissibile del diametro d dell’albero AB. Usare questo programma per risolvere gli Esercizi 8.75 e 8.76.
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Esercizi da risolvere con il computer
y
;;
;;;
;
ci
L
P1
A
z
Pn
ri
;;;
;;;
D1
B
D2
P2
Di
x
Dn
Pi
Figura P8.C3
8.C4 L’albero pieno AB, di lunghezza L, diametro costante d e tensione
tangenziale ammissibile tall, gira ad una data velocità espressa in rpm (Figura
P8.C4). Le ruote dentate G1, G2, . . . , Gn sono fissate all’albero e ciascuno di esse
è a contatto con un altro ingranaggio (non mostrato) sulla sommità o alla base di
un diametro verticale o all’estremità di destra o di sinistra di un diametro orizzontale. Uno di questi ingranaggi “nascosti” è connesso con un motore, ed gli altri con delle macchine utensili. Indicando con ri il raggio dell’ingranaggio Gi, con
ci la sua distanza dal sostegno in A e con Pi la potenza che questo ingranaggio
trasmette (segno + ) o assorbe (segno − ), scrivere un programma per calcolare
il minimo valore ammissibile del diametro d dell’albero AB. Usare questo programma per risolvere gli Esercizi 8.25, 8.29 e 8.77.
y
;;
;;;
;
L
ci
A
z
ri
G1
G2
;;;
;;;
B
Gi
Gn
Figura P8.C4
x
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528
Tensioni principali sotto un dato carico
8.C5 Scrivere un programma che possa essere usato per calcolare le tensioni normali e tangenziali nei punti di coordinate date y e z, posti sulla superficie di un componente di macchina di sezione trasversale rettangolare. Le forze
interne sono equivalenti al sistema forza-coppia mostrato. Usare il programma
per risolvere (a) l’Esercizio 8.50, (b) l’Esercizio 8.53.
y
My
b
Vy
h
C
P
Vz
x
Mz
z
Figura P8.C5
8.C6 L’elemento AB ha una sezione trasversale rettangolare di
10 24 mm. Per il carico mostrato, scrivere un programma che possa essere
usato per determinare le tensioni normali e tangenziali nei punti H e K per valori di d da 0 a 120 mm, usando incrementi di 15 mm. Usare il programma per
risolvere l’Esercizio 8.35
y
x
A
9 kN
d
H
120 mm
250 mm
d 75 mm
75 mm
100 mm
30
H
12 mm
40 mm
Figura P8.C6
K
z
12 mm
B
40 kN
c
Figura P8.C7
8.C7 Il tubo strutturale mostrato ha una parete di spessore uniforme pari
a 8 mm. Una forza di 40 kN è applicata ad una barra (non mostrata) saldata all’estremità del tubo. Scrivere un programma per determinare, per ogni dato valore di c, le tensioni principali, i piani principali e la massima tensione tangenziale nel punto H per valori di d da −75 mm a 75 mm, usando incrementi di 25
mm. Usare il programma per risolvere l’Esercizio 8.72a.

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