Quesiti di geometria euclidea esame di stato

Geometria euclidea - Quesiti esame di stato
1. Dato un triangolo ABC, si indichi con M il punto medio del lato BC. Si dimostri che la mediana
AM è il luogo geometrico dei punti P del triangolo, tali che i triangoli ABP e ACP hanno aree
uguali.
[Q1 Eur 2013]
2. E’ data la semicirconferenza Γ di centro C e diametro AB=2. Sia t la semiretta tangente a Γ in B
e giacente nello stesso semipiano di Γ rispetto ad AB. Da un punto D di t, distinto da B, si
conduca l’altra tangente a Γ e si indichi con E il punto di tangenza. Dal centro C si conduca una
semiretta parallela a DE che tagli t in F. Prova che il triangolo FDC è isoscele. [P1 Ame 2013]
3. Quante diagonali ha un poligono convesso di n lati?
[Q8 sup 2012]
(Il quesito è stato riproposto, con qualche modifica, in diverse occasioni).
4. Il triangolo ABC è equilatero di lato unitario. La retta r parallela ad AB interseca i lati AC e BC,
rispettivamente, nei punti P e Q.
a. Si indichi con x la distanza di r dal vertice C. Per quale valore di x, nel quadrilatero ABQP si
può inscrivere una circonferenza? Quale è la lunghezza del suo raggio?
b. Si esprima in funzione di x il rapporto fra l’area del triangolo PQC e l’area del quadrilatero
4 x2
ABQP, verificando che si ottiene la funzione: f  x=
.
3− x 2
[P1 Ame 2012]
5. Si consideri l’arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio 1.
Sia C un punto di AB, M il punto medio della corda AC e D il punto di incontro delle rette OM e
BC. Si provi che il triangolo CMD è rettangolo isoscele qualunque sia la scelta di C sull’arco
AB, e, successivamente, si esprima in funzione di x= AC il rapporto:
CD 2
2 x2
f

x=
controllando
che
risulta:
.
AM 2OA2
x 24
[P2 Eur 2012]
6. Si dimostri che la differenza dei quadrati di due lati di un triangolo è uguale alla differenza dei
quadrati delle rispettive proiezioni dei lati stessi sul terzo lato del triangolo.
[Q10 sup 2011]
7. Una circonferenza di centro O e raggio 4 è tangente esternamente nel punto A ad un’altra
circonferenza di raggio x minore di 4. Le tangenti comuni, non passanti per A, si incontrano in un
punto B. Si provi che, al variare di x, la distanza f  x di B da O è data da:
f  x=
4 x16
.
4− x
[P2 Eur 2011]
8. Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e g la circonferenza di centro P e raggio AP.
Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza l passante per C
e tangente esternamente a g. Se AP=x , si provi che il raggio di l in funzione di x è dato da:
f  x=
1−x
.
1x
[P1 2010]
9. E’ data una circonferenza di centro O e diametro AB=2 . Sul prolungamento del diametro AB,
dalla parte di B, si prenda un punto P e da esso si conduca una tangente alla circonferenza.
Detti T il punto di tangenza e Q il punto di intersezione di questa tangente con la tangente in A
alla circonferenza, si calcoli il rapporto:
TQ 2TP 2
espresso in funzione di BP=x ,
AP 2
x 21
controllando che risulta: f  x= 2
.
x 2 x
[P1 PNI sup 2010]
10.Si dimostri che se le diagonali di un quadrilatero sono perpendicolari, la somma dei quadrati di
due lati opposti è uguale alla somma dei quadrati degli altri due.
[Q10 str 2010]
11.Sul diametro MN di un cerchio si considerino due punti P e Q, e su MP, MQ, NP, NQ come
diametri si descrivano quattro semicerchi, i primi due posti in una stessa parte rispetto alla retta
MN, gli altri due posti nell’altra parte. Si dimostri che il perimetro del quadrilatero curvilineo
(pelecoide) così ottenuto, ha la stessa lunghezza della circonferenza data.
[Q2 PNI sup 2009]
12.Dato un triangolo rettangolo inscritto in un semicerchio, se sui suoi cateti presi come diametri ed
esternamente si costruiscono due semicerchi, da questi e dal dato semicerchio sono determinati
due menischi, detti lunule d’Ippocrate. Si dimostri che la loro somma ha la stessa area del
triangolo.
[Q4 sup 2009]
13.Sia data una circonferenza di centro O e raggio 1 e una sua corda MN, condotta alla distanza x da
O. Si calcoli il rapporto f  x fra l’area del triangolo formato dalla corda MN e dalle tangenti
alla circonferenza in M ed N, e quella del rettangolo di lato MN, inscritto nella circonferenza.
Controlla che risulti: f  x=
1−x 2
.
4 x2
[P1 str 2013]
14.Un delfino si trova nel punto A del bordo ovest di una piscina circolare. Nuota in linea retta per
12 m, e tocca con il naso il bordo della piscina nel punto B. Si gira e nuota in una direzione
diversa in linea retta per 5 m, e arriva nel punto C situato sul bordo della piscina e
diametralmente opposto al punto A dal quale era partito. Se la profondità dell’acqua è ovunque
di 2,50 m, quanti litri d’acqua sono contenuti nella piscina?
[Q10 str 2013]
15.Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si
provi che sen
  5−1
.
=
10
4
[Q2 PNI 2008]
16.Siano dati un triangolo equilatero, il cerchio in esso inscritto e il triangolo equilatero inscritto nel
cerchio. Si scelga a caso un punto all'interno del triangolo maggiore: si determini la probabilità
che tale punto risulti interno al triangolo minore.
[Q5 PNI str 2008]
17.Il trapezio ABCD è isoscele e circoscritto ad un cerchio di raggio 1. Si ponga la base minore
CD=2 x . Si provi che è: AB=2/ x .
18.I lati di un triangolo rettangolo misurano k, 2k e
[P2 Aus 2008]
5 k
, essendo k un numero reale positivo.
a) Si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l’ampiezza degli angoli acuti del triangolo.
b) Si determini k in modo che l’altezza relativa all’ipotenusa abbia lunghezza uguale a 2 e si
determinino le misure delle proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.
c) Una retta parallela all’ipotenusa, avente distanza x dal vertice dell’angolo retto, divide il
triangolo in un triangolo T e un quadrilatero Q.
Si mostri che il rapporto tra l’area di T e l’area di Q è f  x=
x2
4−x 2
[P2 Ame 2014]
19.La circonferenza S1 di centro C e raggio a=1 appartiene al semipiano delle y positive ed è
tangente all’asse x nell’origine O del sistema di riferimento.
Da un punto P dell’asse x, distinto da O, si conduca l’ulteriore tangente a S1 e si indichi con T il
punto di tangenza. Successivamente, si consideri la circonferenza S2 tangente esternamente a S1
nel punto T e tangente altresì all’asse x in un punto A; si denoti con B il centro di S2 e con b il
suo raggio. Si dimostri che i triangoli OTA e CPB sono entrambi rettangoli e che OP 2=ab .
[P1 Eur 2014]
20.Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3. Si
determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1. [Q6 PNI 2007]
21.Si consideri la seguente proposizione: «In ogni triangolo isoscele la somma delle distanze di un
punto della base dai due lati uguali è costante». Si dica se è vera o falsa e si motivi
esaurientemente la risposta.
[Q4 PNI sup 2007]
22.Si scelga a caso un punto P all’interno di un cerchio. Si determini la probabilità che esso sia più
vicino al centro che alla circonferenza del cerchio.
[Q6 PNI sup 2007]
23.Si consideri la seguente proposizione: “Dato un triangolo rettangolo, il cerchio che ha per raggio
l'ipotenusa è la somma dei cerchi che hanno per raggi i cateti”. Si dica se è vera o falsa e si
motivi esaurientemente la risposta.
[Q5 str 2007]
24.Un cerchio ha raggio 1 m. Quanto misura il lato del decagono regolare in esso inscritto? E quale
è la misura del lato del decagono regolare circoscritto?
[Q7 Ame 2007]
25.In un piano sono dati una retta r e due punti A e B a essa esterni ma situati nel medesimo
semipiano di origine r. Si trovi il più breve cammino che congiunga A con B toccando r.
(Altro quesito riproposto, con qualche modifica, in diverse occasioni).
[Q3 PNI 2006]
26.È assegnato un pentagono regolare di lato lungo L. Recidendo opportunamente, in esso, cinque
triangoli congruenti, si ottiene un decagono regolare: calcolarne la lunghezza del lato. (Si lascino
indicate le funzioni goniometriche degli angoli coinvolti).
[Q1 PNI str 2006]
27.Si dimostri che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio e si
utilizzi il risultato per calcolare sen18°, sen36°.
[Q1 PNI 2005]
28.È dato un trapezio rettangolo, in cui le bisettrici degli angoli adiacenti al lato obliquo si
intersecano in un punto del lato perpendicolare alle basi. Dimostrare che il triangolo avente per
vertici questo punto e gli estremi del lato obliquo è rettangolo e trovare quale relazione lega il
lato obliquo alle basi del trapezio.
[Q1 PNI sup 2005]
29.Considerato un triangolo ABC, acutangolo e isoscele sulla base BC, si chiami D il piede della
sua altezza condotta per C e si costruisca, dalla stessa parte di A rispetto a BC, il punto E in
modo che il triangolo ECD sia simile ad ABC. Dimostrare che:
a) EC è perpendicolare a CB;
b) i triangoli EFCe AFD – dove F è il punto comune ai segmenti EDe AC – sono simili e, di
 e FCD

conseguenza, anche i triangoli EFA e CFD sono simili e gli angoli AEF
sono
congruenti;
c) EA è parallela a CB;
d) il quadrilatero AECD è inscrivibile in una circonferenza.
[P1 PNI str 2005]
30.Due lati di un triangolo misurano a e b. Determina il terzo lato in modo che l’area sia massima.
[Q5 Aus 2005]
31.ABC è un triangolo rettangolo di ipotenusa BC.
a. Dimostrate che la mediana relativa a BC è congruente alla metà di BC.
b. Esprimete le misure dei cateti di ABC in funzione delle misure, supposte assegnate,
dell’ipotenusa e dell’altezza ad essa relativa.
[P2 2004]
32.Un triangolo ha due lati e l’angolo da essi compreso che misurano rispettivamente a, b e g. Quale
è il valore di g che massimizza l’area del triangolo?
[Q7 2004]
(E' una variante del precedente quesito n° 30).
33.Considerato un triangolo equilatero di altezza h e detto P un suo qualsiasi punto interno, indicare
con x, y, z le distanze di P dai lati del triangolo. La somma x yz risulta:
A) sempre maggiore di h;
B) sempre minore di h;
C) sempre uguale ad h;
D) a volte maggiore di h, a volte minore, a volte uguale.
Una sola risposta è corretta. Individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta
effettuata.
[Q5 PNI sup 2004]
34.Il quadrilatero Q″ avente per vertici i punti medi dei lati di un quadrilatero convesso Q′ è un
quadrato. Dire quali sono le caratteristiche del quadrilatero Q′ e darne esauriente dimostrazione.
[Q7 sup 2004]
35.Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA=a , la retta t tangente a g in A, una retta r
passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t.
La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t si intersecano in P.
Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB=OA: DP ; OC : DP=DP : BC
ove D è la proiezione ortogonale di B su OA.
[P1 PNI 2003]
36.In un trapezio rettangolo ABCD, circoscritto a un cerchio, AB è la base maggiore, CD la minore
e BC il lato obliquo. Le misure, considerate rispetto alla stessa unità di misura, del raggio del
cerchio e del perimetro del trapezio sono nell’ordine 2 e 18.
Calcolare le misure dei lati del trapezio.
[P2 PNI sup 2003]
37.La base minore, la base maggiore e il perimetro di un trapezio isoscele misurano nell’ordine:
6 cm, 10 cm, 4 4  5cm .
a) Dire, giustificando la risposta, se il trapezio è circoscrittibile a una circonferenza.
b) Spiegare perché il trapezio è inscrittibile in una circonferenza.
[P2 str 2003]
38.Dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinché un trapezio rettangolo abbia le
diagonali perpendicolari è che le misure della base minore, dell’altezza e della base maggiore,
prese nell’ordine e considerate rispetto alla stessa unità di misura, siano numeri in progressione
geometrica.
[Q3 str 2003]
39.Un trapezio è circoscrittibile ad un cerchio. Dimostrare che il triangolo avente per vertici il
centro del cerchio e gli estremi di uno dei lati obliqui è un triangolo rettangolo. [Q3 Ame 2003]
40.Si considerino le lunghezze seguenti: a2 x ; a− x ; 2 a−x , dove a è una lunghezza nota
non nulla ed x è una lunghezza incognita.
a) Determinare per quali valori di x le lunghezze date si possono considerare quelle dei lati di un
triangolo non degenere.
c) Verificato che per x=a / 4 i valori dati rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo,
descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso.
[P2 2002]
41.Chiarire, con esempi appropriati, la differenza in matematica tra «concetto primitivo» e
«assioma».
[Q10 PNI sup 2002]
(Altro quesito riproposto in diverse occasioni).
42.Spiegare il significato di sistema assiomatico con particolare riferimento alla sistemazione logica
della geometria.
[Q9 PNI 2001]
43.Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che:
BD=CE =EC . Siano poi M ed N i punti medi rispettivamente dei segmenti AD ed AE.
a) Dimostrare che il quadrilatero DENM è la quarta parte del triangolo ABC.
b) Ammesso che l’area del quadrilatero DENM sia 45 a 2 / 2 , dove a è una lunghezza assegnata,

e ammesso che l’angolo ABC
sia acuto e si abbia inoltre: AB=13 a , BC =15 a , verificare
che tale quadrilatero risulta essere un trapezio rettangolo.
[P2 2001]
44.Il triangolo ABC è isoscele sulla base BC e contiene il centro della circonferenza k circoscritta ad
esso. Condotta la retta t tangente a k in C, indica con D la proiezione ortogonale di A su t e con E
quella di A su BC. Dimostra che i triangoli ACD e ACE sono congruenti.
[P1 Bor 2005]
45.Due circonferenze, k e k', sono tangenti esternamente nel punto T. Due rette distinte, a e b,
condotte per T, secano la circonferenza k rispettivamente nei punti A, B e la circonferenza k' nei
punti A' e B'. Stabilire se le rette AB e A'B' sono parallele o incidenti e fornire un'esauriente
spiegazione della risposta.
[Q1 Spe 2002]
46.Le misure a, b, c dei lati di un triangolo ABC sono in progressione aritmetica di ragione k.
a) Si esprima, in funzione di k, il raggio r della circonferenza inscritta nel triangolo;
b) si stabilisca il valore di k per il quale r è massimo.
[P1 PNI sup 2001]
47.Dire (motivando la risposta) se è possibile inscrivere in una semicirconferenza un triangolo che
non sia rettangolo. Ovvero, con i versi di Dante:
… se del mezzo cerchio far si puote
triangol sì ch’un retto non avesse. (Paradiso, XIII, 101-102)
[Q9 PNI sup 2001]
48.E' dato il rettangolo ABCD i cui lati AB e AD sono lunghi rispettivamente 2a ed a, essendo a
una lunghezza nota. Indicare con E il punto simmetrico di A rispetto alla retta BD e con F il
punto in cui si secano le rette EB e DC.
(a) Dimostrare, con considerazioni di geometria sintetica, che i punti A; B; C; E; D appartengono
ad una stessa circonferenza k.
(b) Stabilire che la lunghezza del segmento DF è 5 a / 4 .
(c) Calcolare l'area del pentagono ABCED.
[P2 Spe 2001]
49.Nel triangolo ABC, rettangolo in A, si ha: AB=2 AC , BC =a , con a lunghezza nota.
Stabilire se la bisettrice AD e la mediana CE del triangolo sono perpendicolari o no e darne
esauriente spiegazione.
[P1 Mag PNI 2001]
50.Il rettangolo ABCD è tale che la retta che congiunge i punti medi dei suoi lati più lunghi, AB e
CD, lo divide in due rettangoli simili a quello dato. Tali lati hanno lunghezza assegnata a.
Determinare la lunghezza dei lati minori del rettangolo.
[P2 2000]
51.Data una semicirconferenza di centro O e diametro AB=2 , si tracci la tangente t a detta
semicirconferenza nel punto A. Preso un punto P sulla semicirconferenza si tracci la
perpendicolare PH alla retta t.

Dimostrare che la semiretta PA è bisettrice dell’angolo HPO
.
Posto PH = x , esprimi in funzione di x l’area y del quadrilatero AOPH.
[P2 sup 1997]
52.Due circonferenze concentriche γ1, γ2 di centro C hanno raggio rispettivamente uguale a x e a 1,
con x1 . Da un punto P di γ2 tracciare le tangenti a γ1. Siano Q ed R i due punti di tangenza.
Determinare la funzione y= f  x che rappresenta l’area del triangolo PQR in funzione di x.
[P3 sup 1997]
53.Considera un rettangolo ABCD i cui lati BC e AB misurano rispettivamente a e 2a. Sia AEF,
con E ∈ AB ed F ∈CD , un triangolo isoscele la cui base AE misura 2r. Dimostra che una
retta s parallela ad AB, a distanza x da essa, interseca i triangoli AEF e AEC secondo segmenti
uguali.
[P3 PNI 1997]
54.Considerato il triangolo equilatero ABC, chiamare: C', C" i punti che dividono il lato AB in tre
parti congruenti (AC' < AC"); A', A" i punti che dividono il lato BC in tre parti congruenti (BA'
< BA"); B', B" i punti che dividono il lato CA in tre parti congruenti (CB' < CB").
Indicare quindi con: L il punto intersezione dei segmenti AA' e BB"; M il punto intersezione dei
segmenti AA' e CC"; N il punto intersezione dei segmenti BB' e CC"; P il punto intersezione dei
segmenti BB' e AA"; Q il punto intersezione dei segmenti CC' e AA"; R il punto intersezione dei
segmenti CC' e BB".
Dimostra che l'area dell'esagono LMNPQR è 1/10 di quella del triangolo ABC. [P1 1995]
55.Considerato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, indicare con D il piede della sua altezza
condotta per C e costruire il triangolo ECD, isoscele sulla base CD e simile a quello dato, in
modo che il punto E cada dalla stessa parte di A rispetto a BC. Sia BC =4 e CD=  3 .

Dimostrare che l'angolo ECB
è retto.
[P3 1994]
56.Data una circonferenza G di raggio unitario e centro O, tracciare una semiretta s uscente da O ed
intersecante G in un punto Q. Indicato con P un generico punto di s esterno alla circonferenza G,
tracciare da esso le due tangenti alla circonferenza: siano A e B i punti di tangenza.
Indicato PQ=x , calcola il rapporto: f  x=
AQQB 2
 .
AB
[P3 1992]
57.Si considerino due circonferenze di centri A e A' e, rispettivamente, di raggi 9 e 1, tangenti
esternamente nel punto O. Sia r la tangente comune in O ed s una retta tangente ad entrambe le
circonferenze nei punti B e B'. Detto C il punto d'intersezione delle rette r ed s, si dimostri che i
triangoli ACA' e BOB' sono rettangoli e si calcoli il rapporto delle loro aree.
[P3 1991]
58.Data una semicirconferenza di diametro AC =2 r e centro O, tracciare la semiretta uscente da
A, perpendicolare ad AC e giacente rispetto ad AC dalla stessa parte della semicirconferenza.
Detto M un punto generico su tale semiretta, indicare con x la distanza di M da A. Da M staccare
l'ulteriore tangente in B alla semicirconferenza. Detta K l'intersezione della semicirconferenza
con il segmento OM, determinare l'area y del quadrilatero ACBK in funzione di x. [P1 1990]
59.Data la semicirconferenza di diametro AB=2 con centro O e raggio OT perpendicolare ad AB,
da un generico punto H di AB tracciare la perpendicolare ad AB fino ad intersecare la
semicirconferenza in P e da P il segmento PK, con K appartenente al segmento OT, tale che


l'angolo KPO
sia uguale all'angolo OPH
. Indicata con x la lunghezza del segmento OH,
determinare la lunghezza y del segmento OK in funzione di x.
[P2 sup 1990]
60.Data la semicirconferenza di diametro AB=2 e centro O, tracciare le semirette perpendicolari
ad AB sia in A sia in B dalla stessa parte della semicirconferenza. Indicare con C il punto della
perpendicolare ad AB in B tale che sia BC =1 . Preso un generico punto T sulla perpendicolare
ad AB in A, indicare con D l'intersezione del segmento TO con la semicirconferenza. Posto
TA= x , determinare la superficie y del quadrilatero ABCD in funzione di x. [P3 sup 1990]
61.Assegnata una circonferenza di diametro AB=2 r , si consideri per A la retta tangente e su di
essa si consideri un punto M tale che sia AM =x . Da M si tracci l'ulteriore retta tangente alla
circonferenza e sia C il punto in cui essa incontra il prolungamento di AB. Posto AC = y , si
esprima y in funzione di x.
[P1 1975]
62.Sia t una retta e P un punto non appartenente ad essa. Dimostra che le circonferenze di raggio
assegnato r, passanti per P e con centro su t sono al più due.
[Q3 Aus 2009]

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