Appunti di geometria A.s. 2013-2014 1 Prof. Luigi Cai APPUNTI Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). In un triangolo l’angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso. Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono di n lati: Si = (n – 2)∙180° Se = 360° In un triangolo il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà. A o EF // BC E EF = ½ BC F o B C Luoghi geometrici Insiemi di punti che soddisfano tutti ad una stessa proprietà.  Asse di un segmento (retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio) Luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi di un segmento. o P o PA = PB A  B Bisettrice di un angolo (semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due parti congruenti). Luogo geometrico dei punti equidistante dai lati dell’angolo. A o P O o B AOˆ P  POˆ B AP = PB Appunti di geometria A.s. 2013-2014 2 Prof. Luigi Cai Punti notevoli dei triangoli  Circocentro  Punto in cui si incontrano i tre assi di un triangolo  È equidistante dai vertici del triangolo (luogo geometrico)  È il centro della circonferenza circoscritta al triangolo  Può essere interno o esterno al triangolo A B C  Incentro  Punto in cui si incontrano le tre bisettrici di un triangolo  È equidistante dai lati del triangolo (luogo geometrico)  È il centro della circonferenza inscritta al triangolo  È sempre interno al triangolo. A B C  Ortocentro  Punto di incontro delle tre altezze del triangolo  Può essere interno o esterno al triangolo  Baricentro  Punto di incontro delle tre mediane di un triangolo  Divide ciascuna mediana in due parti: quella che contiene il vertice è doppia della altra. Circonferenza Luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.  La perpendicolare condotta dal centro ad una corda divide sia la corda, sia l’arco, sia l’angolo al centro in due parti congruenti. A o O◦ o B Appunti di geometria A.s. 2013-2014 3 Prof. Luigi Cai  Corde congruenti equidistano dal centro e viceversa.  Retta tangente ad una circonferenza  È una retta che tocca la circonferenza in due punti coincidenti  La retta tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. O◦  A Angoli al centro Angoli aventi il vertice nel centro di una circonferenza A O◦ B  Angoli alla circonferenza Angoli aventi il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti o uno secante e l’altro tangente. V V A A B  In una circonferenza l’angolo al centro è sempre il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza. V AOˆ B  2  AVˆB ◦O B A  Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti sono congruenti Appunti di geometria A.s. 2013-2014  4 Prof. Luigi Cai Angoli alla circonferenza che insistono su una semicirconferenza sono retti C ◦ A  B I segmenti di tangente condotti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa sono congruenti. A P O◦ B Inoltre PO è bisettrice degli angoli AOˆ B e APˆ B . Quadrilateri  Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. A B D O◦ AB + DC = BC + AD C  Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari. A Aˆ  Cˆ  180 0 B O◦ D C Bˆ  Dˆ  180 0 Appunti di geometria A.s. 2013-2014  5 Prof. Luigi Cai Teoremi di Euclide A H B C 1° Euclide: AB2 = AH∙AC BC2 = CH∙AC 2° Euclide: BH2 = AH∙HC I teoremi di Euclide possono anche essere enunciati nel modo seguente: Un cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa: L’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa: AH : AB = AB : AC oppure CH : BC = BC : AC AH : BH = BH : HC Teorema di Talete Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali, cioè il rapporto tra due segmenti sulla prima trasversale è uguale al rapporto dei segmenti corrispondenti sull’altra trasversale. t t’ A A’ Ad esempio : AB : CD = A’B’ : C’D’ B B’ C C’ D D’ Il teorema di Talete trova applicazione nei triangoli : Una retta parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due in parti direttamente proporzionali. A E B Hp: Th: F C EF // BC AE : EB = AF : FC oppure AE : AB = AF : AC Appunti di geometria A.s. 2013-2014 6 Prof. Luigi Cai TEOREMA DELLA BISETTRICE DELL’ANGOLO INTERNO In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in due parti direttamente proporzionali agli altri due lati. A AD : DC = AB : BC D B C FIGURE PARTICOLARI Triangolo isoscele inscritto in una circonferenza Si prolunga l’altezza CH fino ad incontrare la circonferenza in D. Si ottiene il triangolo rettangolo CBD al quale si possono applicare i teoremi di Euclide. Trapezio circoscritto ad una circonferenza A Si hanno le seguenti proprietà:  I segmenti di tangenza sono congruenti  AB+DC = AD+BC (proprietà dei quadrilateri circoscritti ad una circonferenza)  COB e AOD sono triangoli rettangoli, ai quali si possono applicare i teoremi di Euclide Trapezio circoscritto ad una semicirconferenza I triangoli ADK e AHO sono congruenti  AD = AO I triangoli CMB e LBO sono congruenti  CB = BO Appunti di geometria A.s. 2013-2014 7 Prof. Luigi Cai Trapezio o rettangolo inscritto in una semicirconferenza semicirconferenza oppure un punto preso sulla Si congiunge un punto che si trova sulla semicirconferenza con gli estremi del diametro , ottenendo così un triangolo rettangolo, al quale applicare i teoremi di Euclide. Triangolo isoscele circoscritto ad una semicirconferenza Al triangolo COB si possono applicare i teoremi di Euclide Triangolo isoscele circoscritto ad una circonferenza I triangoli CHB e COD sono simili, pertanto si possono applicare le proprietà della similitudine. TRIANGOLI RETTANGOLI CON GLI ANGOLI PARTICOLARI DI 30° , 60° , 45° A F G o 0 60 45 30o B 450 C 1  AC 2 3  AC BC = cateto opposto all’angolo di 60° è : 2 2  EF DE = cateto opposto all’angolo di 45° è : 2 quindi : EF  lato  2 D E AB = cateto opposto all’angolo di 30° è : oppure EF diagonale del quadrato DEGF e Appunti di geometria A.s. 2013-2014 8 Prof. Luigi Cai RELAZIONI TRA I LATI E I RAGGI DEI POLIGONI REGOLARI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA Quadrato inscritto ABC è un triangolo rettangolo con gli angoli di 45° , pertanto: 2 2 l4   AC   2r  r 2  l4  r 2 2 2 Triangolo equilatero inscritto Si prolunga l’altezza CH, ottenendo il triangolo rettangolo CBD con gli angoli particolari di 30° e 60° : 3 3 l3   DC   2r  r 3  l 3  r 3 2 2 Esagono inscritto A r l6 60° 60° O Il triangolo AOB è equilatero, pertanto ha i lati congruenti: l6  r 60° r B OSSERVAZIONI Le tre proprietà appena descritte si ritrovano nei problemi sotto la seguente forma:  In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del triangolo equilatero inscritto. B 30° A C Si hanno due informazioni:  AB = r 3  La corda AB forma con il diametro AC un angolo di 30° Appunti di geometria A.s. 2013-2014 9 Prof. Luigi Cai  In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato dell’esagono inscritto. B Si hanno due informazioni:  AB = r  La corda AB forma con il diametro AC un angolo di 60° 60° A C  In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del quadrato inscritto. B Si hanno due informazioni:  AB = r 2  La corda AB forma con il diametro AC un angolo di 45° 45° A C O SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO E’ la parte di segmento che è media proporzionale tra l’intero segmento e la sua parte restante. a A B x C a-x AC = x è la sezione aurea di AB  AB : AC = AC : CB Sostituendo nella proporzione i valori in figura: a : x = x : (a-x)  x2=a(a-x)  x2 + ax –a2 = 0 Risolvendo l’equazione si trova che la sezione aurea è: x= 5 1  a  0,61803...  a 2 RAPPORTO AUREO E’ il rapporto tra la misura del segmento e la sua sezione aurea (si indica con la lettera  ): 5 1  1,61803... 2 Osservazione: il rapporto aureo è un numero puro.  LATO DEL DECAGONO REGOLARE INSCRITTO AD UNA CIRCONFERENZA Il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta 5 1 l10  r 2 Appunti di geometria A.s. 2013-2014 10 Prof. Luigi Cai RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA INSCRITTA IN UN TRIANGOLO di cui si conoscono le misure dei lati Dati: AB = c BC = a Verificare che r  Dove AC = b A p p = semiperimetro A = area del triangolo da calcolare con la formula di Erone RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA AD UN TRIANGOLO di cui si conoscono le misure dei lati Dati: AB = c BC = a Verificare che r  AC = b a bc 4 A Dove A = area del triangolo da calcolare con la formula di Erone SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI Definizione: Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati, opposti agli angoli congruenti, in proporzione. C C’ A ABC B A’B’C’  A’ Aˆ  Aˆ ' , Bˆ  Bˆ ' , Cˆ  Cˆ ' B’ AB : A' B'  BC : B' C'  AC : A' C' Appunti di geometria A.s. 2013-2014 11 Prof. Luigi Cai  In due triangoli simili si dicono corrispondenti o omologhi i lati opposti agli angoli congruenti  Si chiama rapporto di similitudine il rapporto tra due lati omologhi. Criteri di similitudine Permettono di stabilire se due triangoli sono simili. 1° criterio: Due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente congruenti. 2° criterio: Due triangoli sono simili se hanno un angolo rispettivamente congruente compreso tra lati proporzionali (ad esempio: Aˆ  Aˆ ' e AB : A' B'  AC : A' C' ). 3° criterio: Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali . AB : A' B'  BC : B' C'  AC : A' C' Proprietà dei triangoli simili 1) In due triangoli simili le basi stanno fra loro come le rispettive altezze C C’ Hp: ABC A’B’C’ Th: AB : A’B’ = CH : C’H’ B A A’ H B’ H’ 2) In due triangoli simili i perimetri stanno fra loro come due lati omologhi. C C’ Hp: ABC Th: A B A’ A’B’C’ 2p : 2p’ = AB : A’B’ B’ 3) In due triangoli simili le aree stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi. C C’ Hp: ABC Th: A B A’ B’ A’B’C’ A : A’ = AB : A’B’ Appunti di geometria A.s. 2013-2014 12 Prof. Luigi Cai 4) Teorema delle corde Se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti che si formano su una di esse sono i medi di una proporzione e i segmenti sull’altra sono gli estremi della stessa proporzione. A Hp : AB e CD corde D Th: AE : DE = EC : BE E C B 5) Teorema delle secanti Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, la parte esterna e l’intera secante di una secante sono i medi di una proporzione e la parte esterna e l’intera secante dell’altra secante sono gli estremi della stessa proporzione. A Hp: PC e PA secanti B P Th: PB : PD = PC : PA D C 6) Teorema della secante e della tangente Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono una tangente e una secante, il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna. T Hp: PA secante e PT tangente P B A Th: PB : PT = PT : PA