Equazioni differenziali ordinarie Un’equazione differenziale ordinaria di ordine n `e una relazione tra: 1. una variabile indipendente x ∈ R, 2. una funzione incognita y = y (x) a valori reali 3. le derivate y (k) di y fino all’ordine n. Tale relazione `e scritta come F(x, y , y ′ , y ′′ , . . . , y (n) ) = 0. Es. y ′′ + (1 + x)y y ′ − y + sin(x) = 0 `e una equazioni differenziale ordinaria di ordine 2. Data l’eqz. differenziale, l’obiettivo `e calcolare la funzione y (x) che soddisfa l’equazione data. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 1 Esempio di elettrotecnica Si consideri il circuito elettrico seguente: R1 i1 L i2 i3 e C R2 Si vuole determinare la differenza di potenziale ai capi del condensatore dal momento in cui il circuito viene chiuso e per un certo intervallo di tempo. x rappresenta la variabile indipendente tempo y = y (x) `e la differenza di potenziale ai capi del condensatore c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 2 Utilizzando le leggi di Kirchoff e di Ohm ed i legami tra differenza di potenziale, carica e intensit` a di corrente, si perviene alla relazione seguente: LCy ′′ (x) + (R1 C + L/R2 )y ′ (x) + (1 + R1 /R2 )y (x) = e (1) con le ”condizioni iniziali” al tempo x = 0 (istante in cui viene chiuso il circuito) y (0) = 0 e y ′ (0) = 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 3 Se ad esempio si prendono L = 0.1 Henry, C = 10−3 Farad, R1 = R2 = 10 Ohm, e = 5 Volt, si ottiene la seguente soluzione: 3 2.5 y(x) 2 1.5 1 0.5 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 x Obiettivo: risolvere semplici equazioni differenziali analiticamente. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 4 Alcune definizioni Def. L’ordine di una equazione differenziale ordinaria `e il massimo ordine di derivazione che compare. Def. Una soluzione dell’eq. diff. F(x, y , y ′ , . . . , y (n) ) = 0 in I ⊆ R `e una funzione y = y (x), y : I → R derivabile n volte su I e tale che: F(x, y (x), y ′ (x), . . . , y (n) (x)) = 0, ∀x ∈ I Def. Una eqz. diff. si dice in forma normale se si pu`o esplicitare la derivata di ordine massimo, ovvero se esiste una funzione f tale che: y (n) = f (x, y (x), y ′ (x), . . . , y (n−1) ). Es. L’equazione del circuito si pu`o scrivere in forma normale: 1 1 1 L R1 ′ ′′ e. y − y+ y =− R1 C + 1+ LC R2 LC R2 LC c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 5 Def. L’eqz. diff. si dice autonoma se non compare una dipendenza esplicita dalla variabile indipendente x. Es. sin(x)y ′′ + y ′ − xy = cos(x) non `e autonoma y ′′ + (x + 1)y = 0 non `e autonoma y ′′ − (y ′ )2 = 1 `e autonoma Def. Un’eqz. diff. si dice lineare se y e tutte le sue derivate compaiono al massimo con grado 1. Es. y ′′ − (y ′ )2 = 1 non `e lineare y ′′ + (x 2 + 1)y ′ = 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 `e lineare Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 6 Equazioni del primo ordine La forma generale `e F(x, y , y ′ ) = 0 L’eqz. diff. scritta in forma normale `e y ′ = f (x, y ) Es. y ′ (e y + 1) − (e x + 1) = 0 (nella forma F(x, y , y ′ ) = 0) ex + 1 In forma normale si ha: y ′ = y . e +1 L’obiettivo `e calcolare una funzione y (x) che soddisfa l’equazione differenziale data. Quante soluzioni esistono? c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 7 Una semplice equazione Risolvere y ′ − y = 0 o, equivalentemente y ′ = y . y (x) definita su I `e una soluzione di y ′ = y se y ′ (x) = y (x), ∀x ∈ I . Ricordiamo che una funzione che coincide con la sua derivata `e y (x) = e x , quindi y (x) = e x `e soluzione di y ′ = y . Per` o anche y (x) = Ce x soddisfa y ′ (x) = Ce x = y (x), essendo C un qualsiasi numero reale. 10 8 6 C=0.4 4 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 y(x) Quindi l’equazione data ammette infinite soluzioni. 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 0 0.5 1 1.5 2 x ordinarie Equazioni differenziali 2.5 3 cap11.pdf 8 Ci si pone il problema di determinare una soluzione particolare, per esempio quella che soddisfa una condizione del tipo y (x0 ) = y0 , con x0 e y0 le coordinate di un punto del piano cartesiano. Ad esempio tra tutte le soluzioni y (x) = Ce x , cerco quella che passa per il punto (1, 3), ovvero t.c. y (1) = 3. Allora trovo y (1) = Ce = 3, cio`e C = 3/e C=3/e 10 8 6 4 y(x) 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 0 0.5 1 1.5 x c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 2 2.5 3 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 9 Una soluzione generica dell’equazione differenziale F(x, y , y ′ , . . . , y (n) ) = 0, dipendente da una costante generica C `e detta integrale generale dell’equazione differenziale. Una soluzione con una C specifica `e detta integrale particolare dell’equazione differenziale. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 10 Problema di Cauchy Data una funzione f (x, y ) e dato un punto (x0 , y0 ) del piano cartesiano, il problema di determinare la funzione y = y (x), y : I → R derivabile, t.c. ′ y (x) = f (x, y (x)) x ∈ I y (x0 ) = y0 con x0 ∈ I , `e detto problema di Cauchy del primo ordine. La condizione y (x0 ) = y0 `e detta condizione iniziale ed il problema di Cauchy `e anche detto problema ai valori iniziali. La variabile indipendente x pu`o rappresentare il tempo, per cui interessa studiare come evolve un sistema a partire da una situazione assegnata y0 all’istante iniziale x0 . c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 11 Un altro esempio Moto di un sistema costituito da un corpo di massa m, da una molla fissata ad una parete (=oscillatore). K g(t) m R x(t) L’oscillatore `e sottoposto ad una forza esterna g (t) (t = tempo) ed `e presente una resistenza meccanica R. Indicando con x(t) lo spostamento della massa m al tempo t rispetto alla posizione di equilibrio, esso `e soluzione della seguente equazione differenziale: mx ′′ (t) + Rx ′ (t) + Kx(t) = g (t) t ≥ t0 dove K `e la costante elastica della molla. x(t0 ) = x0 spostamento dalla posizione iniziale, x ′ (t0 ) = 0 velocit`a iniziale. Qui t `e la variabile indipendente, x(t) `e la funzione incognita. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 12 Equazioni del primo ordine a variabili separabili Sono equazioni del tipo y ′ = f (x, y ) = g (x)h(y ) cio`e equazioni in cui la funzione f (x, y ) pu`o essere scritta come prodotto di due funzioni: g (=funzione continua della sola x) e h (=funzione continua della sola y ). Es. y ′ = ex + 1 1 . Si ha g (x) = e x + 1, h(y ) = y . ey + 1 e +1 Anzitutto si osserva che se ∃y : h(y) = 0, allora la funzione costante y (x) = y `e soluzione dell’equazione differenziale data. Infatti, se h(y ) = 0 e y (x) = y , allora y ′ (x) = 0 e si ha 0 = 0. Quindi y ′ = g (x)h(y ) ha tanti integrali particolari quanti sono gli zeri di h(y ). Questi integrali particolari sono detti integrali singolari. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 13 Ora sia y : h(y ) 6= 0, allora, da y ′ = g (x)h(y ) posso scrivere 1 ′ y = g (x). h(y ) Riprendendo la notazione di derivata di Leibniz e operando formalmente, abbiamo 1 dy 1 = g (x), ovvero dy = g (x)dx h(y ) dx h(y ) e integrando a sinistra e a destra si ha: Z Z 1 dy = g (x)dx. h(y ) Es. p 1) y ′ = 2x 1 − y 2 ex + 1 3) y ′ = y e +1 2xy 5) y ′ = 2 x −1 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 2) y ′ = 2y − y 2 4) y ′ = x sin y Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 14 6) 2 yy ′ = x(4 √−y ) y (0) = 3 Calcolare lim y (x) x→+∞ 7) Calcolare y y ′ = y 3√ sin(2x) cos(2x) y (0) = 2 π 8 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 15 Equazioni del primo ordine lineari a coefficienti continui Sono equazioni del tipo y ′ + a(x)y = b(x) con a(x) e b(x) funzioni continue su un intervallo I . Se b(x) = 0, l’equazione si dice omogenea se b(x) 6= 0, l’equazione si dice non omogenea Il problema di Cauchy associato a questo tipo di equazione `e: y ′ + a(x)y = b(x) x ∈ I y (x0 ) = y0 con x0 , y0 , a(x) e b(x) noti. Si deve calcolare y (x). Vediamo come risolvere il problema di Cauchy per eqz. diff. del primo ordine lineari a coeff. continui. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 16 1. Sia A(x) = Z x a(t)dt la funzione integrale di a(x). x0 2. Prendo l’eqz. diff. y ′ + a(x)y = b(x) e la moltiplico per e A(x) (a sx e a dx): (y ′ + a(x)y )e A(x) = b(x)e A(x) . (2) 3. Osservo che (y ′ e A(x) + a(x)ye A(x) ) = y ′ e A(x) + yA′ (x)e A(x) = D(ye A(x) ) (3) e, integrando entrambi i membri di (2) tra x0 e x, si ha Z x Z x ′ A(t) (y + a(t)y )e dt = b(t)e A(t) dt x0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 (4) x0 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 17 Il termine di sx di (3) `e Z x Z x ′ A(t) (ye A(t) )′ dt = ye A(x) −y0 e A(x0 ) = ye A(x) −y0 , (y +a(t)y )e dt = x0 x0 (5) Quindi ye A(x) − y0 = ovvero y (x) = 1 e A(x) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Z x b(t)e A(t) dt x0 y0 + Z x b(t)e x0 A(t) dt Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 18 Casi particolari 1. se b(x) = 0 (equazione omogenea), y ′ + a(x)y = 0 y (x) = y0 e −A(x) 2. se b(x) = 0 e a(x) = a costante, y ′ + ay = 0 si ha A(x) = a · (x − x0 ) e la soluzione `e: y (x) = y0 e −a·(x−x0) 3. se a(x) = 0, y ′ = b(x) si ha A(x) = 0 e la soluzione `e: y (x) = y0 + Z x b(t)dt x0 (poich`e b(t) = y ′ (t), questo non `e altro che il teorema fondamentale del calcolo integrale). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 19 Esercizi 2 14 y ′ − y = 2x − x x y (1) = 7 (6) y ′ + y tan(x) = sin(2x) y (0) = 1 (7) 2 1 y ′ − y = x cos(x)e 2 sin(x) x π y (π) = 1 (8) ( Calcolare lim+ y (x). x→0 Calcolare y π 4 . ( Calcolare y π 2 . c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 20 Equazioni del secondo ordine lineari a coeff. costanti Sono equazioni del tipo y ′′ + ay ′ + by = f (x) con a e b costanti assegnate e f (x) una funzione continua assegnata su I . Il problema di Cauchy relativo `e: ′′ y + ay ′ + by = f (x) x ∈ I y (x0 ) = y0 ′ y (x0 ) = y1 dove x0 ∈ I , y0 e y1 sono valori assegnati. L’incognita `e la funzione y : I → R. Oss. Se avessimo una eqz. diff. di ordine n, servirebbero n condizioni iniziali y (x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 . c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 21 Ritorniamo all’eqz del secondo ordine 1. Dapprima si considera l’equazione omogenea associata y ′′ + ay ′ + by = 0 (10) 2. si costruisce il polinomio caratteristico λ2 + aλ + b = 0 (11) ottenuto da (10) sostituendo alla derivata y (k) la potenza λk . 3. si calcolano le radici λ1 , λ2 del polinomio caratteristico (11). Si possono avere 3 casi, a seconda del segno del discriminante ∆ di (11). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 22 3.1 ∆ > 0. λ1 , λ2 ∈ R distinte. Allora le funzioni y1 (x) = e λ1 x e y2 (x) = e λ2 x sono soluzioni particolari di (10). L’integrale generale di (10) `e: yo (x; c1 , c2 ) = c1 e λ1 x + c2 e λ2 x , c1 , c2 ∈ R 3.2 ∆ = 0. Due soluzioni coincidenti λ1 = λ2 . L’integrale generale di (10) `e: yo (x; c1 , c2 ) = (c1 + c2 x)e λ1 x , c1 , c2 ∈ R 3.3 ∆ < 0. λ1 , λ2 ∈ C complesse coniugate con Re(λ1 ) = Re(λ2 ) e Im(λ1 ) = −Im(λ2 ). L’integrale generale di (10) `e: yo (x; C1 , C2 ) = C1 e λ1 x + C2 e λ2 x c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 C1 , C2 ∈ C Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 23 Caso 3.3 ∆ < 0 Ricordando la definizione di esponenziale di z ∈ C: e z = e Re(z) (cos(Im(z)) + i sin(Im(z))) e ricordando che Re(λ1 ) = Re(λ2 ) e Im(λ1 ) = −Im(λ2 ), si ha: yo (x; C1 , C2 ) = = = = C1 e λ1 x + C2 e λ2 x C1 e Re(λ1 )x (cos(Im(λ1 )x) + i sin(Im(λ1 )x) 2 )x +C2 e Re(λ h (cos(Im(λ2 )x) + i sin(Im(λ2 )x) e Re(λ1 )x C1 (cos(Im(λ1 )x) + i sin(Im(λ1 )x)) i +C2 (cos(Im(λ2 )x) + i sin(Im(λ2 )x)) h i e Re(λ1 )x (C1 + C2 ) cos(Im(λ1 )x) + i(C1 − C2 ) sin(Im(λ1 )x) Poich`e f `e a valori reali si deve avere anche y (x) reale, allora si deve avere C1 + C2 ∈ R e i (C1 − C2 ) ∈ R. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 24 Caso 3.3 ∆ < 0, continua Ponendo c1 = C1 + C2 e c2 = i (C1 − C2 ), la soluzione dell’omogenea si pu`o scrivere in funzione della sola λ1 , con c1 , c2 ∈ R: yo (x; c1 , c2 ) = e Re(λ1 )x (c1 cos(Im(λ1 )x) + c2 sin(Im(λ1 )x)) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 25 Ritorniamo all’equazione non omogenea y ′′ + ay ′ + by = f (x). (12) L’integrale generale di (12) si scrive come y (x; c1 , c2 ) = yo (x; c1 , c2 ) + yp (x) dove yo (x; c1 , c2 ) `e l’integrale generale dell’omogenea associata e yp (x) `e un integrale particolare che dipende dall’espressione di f (x). Consideriamo il caso in cui f (x) `e prodotto tra un polinomio algebrico di grado n (pn (x)), un’esponenziale (e αx , con α ∈ R) e una funzione trigonometrica (sin(βx) o cos(βx) con β ∈ R): f (x) = pn (x)e αx sin(βx) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 o f (x) = pn (x)e αx cos(βx) Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 26 Con f (x) cos`ı scelta si ha yp (x) = x m e αx (q1 (x) cos(βx) + q2 (x) sin(βx)) dove: q1 e q2 sono due polinomi di grado n e: se α + i β `e radice del polinomio caratteristico (cio`e coincide con λ1 e /o λ2 ), allora m `e la sua molteplicit` a, altrimenti m = 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 27 Riferimenti bilbiografici Canuto Tabacco, cap 11. Esercizi 1. y ′′ + y ′ − 6y = 3x 2 − x + 2 2. y ′′ + y ′ − 6y = 4 cos(2x) 3. y ′′ + y ′ − 3y = e x 4. y ′′ − 4y = 4e 2x 5. Sia y (x) la soluzione del problema di Cauchy 4y ′′ + y = 1 y (0) = 0, y ′ (0) = 3. Calcolare y 23 π . 6. Sia y (x) la soluzione dell’equazione differenziale y ′′ + 4y ′ + 4y = 0 tale che lim y (x)e 2x = 2. Si determini y (0). x→+∞ 7. Sia y (x) la soluzione dell’equazione differenziale y ′′ − y = 1 tale y (x) che y ′ (0) = 1 e lim = 0. Si determini y (0). x→+∞ x c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie cap11.pdf 28 Equazioni a coeff. costanti con funzione assegnata discontinua Introduciamo la funzione di Heaviside: 0 x < x0 H(x − x0 ) = 1 x > x0 La funzione di Heaviside `e utilizzata nell’elaborazione dei segnali per rappresentare un segnale che si attiva ad un certo istante (qui x = x0 ) e che rimane poi attiva indefinitamente. y H(x) per x0 = 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 x Equazioni differenziali ordinarie con dati discontinui cap11.pdf 29 Dato a ∈ R, e x0 , y0 ∈ R, vogliamo trovare una funzione y (x) soluzione del seguente problema: ′ y (x) + ay (x) = H(x − x0 ) y (x0 ) = y0 I teoremi che garantiscono esistenza e unicit` a di soluzione per problemi di Cauchy relativi ad equazioni differenziali ordinarie richiedono che le funzioni in gioco siano almeno continue. Ad esempio per garantire l’esistenza di soluzione del problema ′ y (x) = f (x, y (x)) x ∈ I y (x0 ) = y0 , si chiede che f : A ⊆ R2 → R sia continua e che (x0 , y0 ) ∈ A. La funzione di Heaviside non soddisfa le ipotesi di continuit`a. Come risolvere il problema dato con gli strumenti finora descritti? c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie con dati discontinui cap11.pdf 30 Riscriviamo il problema di determinare y (x) soluzione di ′ y (x) + ay (x) = H(x − x0 ) y (x0 ) = y0 come segue: determinare y1 (x) e y2 (x) soluzioni di ( y1′ (x) + ay1 (x) = 0 per x < x0 lim y1 (x) = y0 x→x0− ( y2′ (x) + ay2 (x) = 1 per x > x0 lim+ y2 (x) = y0 x→x0 Quindi si definisce y1 (x) x < x0 y0 x = x0 y (x) = y2 (x) x > x0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie con dati discontinui cap11.pdf 31 Esempio Risolvere y ′ (x) + 3y (x) = H(x) y (0) = 1 Abbiamo x0 = 0, a = 3. Calcoliamo le soluzioni y1 (x) e y2 (x) utilizzando il metodo visto per le equazioni del secondo ordine a coeffiecienti costanti. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie con dati discontinui cap11.pdf 32 1) Calcolo y1 . L’equazione y1′ + 3y1 = 0 `e gi` a omogenea, quindi non bisogna calcolare integrali particolari. Costruisco il polinomio caratteristico λ + 3 = 0, da cui λ = −3. L’integrale generale `e allora y1 (x) = c1 e −3x . Per calcolare c1 impongo la condizione al limite: lim y1 (x) = y0 , quindi lim c1 e −3x = c1 = 1 x→x0− x→0− da cui ricavo c1 = 1. Quindi y1 (x) = e −3x c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie con dati discontinui cap11.pdf 33 2) Calcolo y2 . L’equazione y2′ + 3y2 = 1 non `e omogenea, ma l’eqz omogena associata `e esattamente la stessa equazione risolta prima su y1 . Quindi y2,o (x) = c2 e −3x . Devo calcolare l’integrale particolare che sar` a una costante (seguire le stesse regole utilizzate per le equazioni del secondo ordine). Ottengo y2,p = 1/3. L’integrale generale `e allora y2 (x) = c2 e −3x + 1/3. Per calcolare c2 impongo la condizione al limite: lim y2 (x) = y0 , quindi lim+ (c2 e −3x + 1/3) = c2 + 1/3 = 1 x→x0+ da cui ricavo c2 = 2/3. Quindi y2 (x) = 23 e −3x + c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 x→0 1 3 Equazioni differenziali ordinarie con dati discontinui cap11.pdf 34 La soluzione globale sar` a allora: 5 4 1 3 x <0 x =0 x >0 y(x) 3 −3x e y (x) = 1 2 −3x + 3e 2 1 0 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 x 1.5 2 2.5 3 essa `e continua, ma presenta un punto angoloso in x = 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie con dati discontinui cap11.pdf 35 infatti la sua derivata prima `e: 1 0 −1 −3e −3x −2e −3x x <0 x >0 che non `e definita in x = 0. Si ha y−′ (0) = −3 e y+′ (0) = −2. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 −2 −3 y‘(x) y ′ (x) = −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −1 −0.5 0 0.5 1 x 1.5 2 2.5 3 Equazioni differenziali ordinarie con dati discontinui cap11.pdf 36 Caso del secondo ordine Per trovare la soluzione del problema ′′ y (x) + ay ′ (x) + by (x) = H(x − x0 ) y (x ) = y0 ′ 0 y (x0 ) = y01 si risolvono i seguenti problemi ( ′′ y1 (x) + ay1′ (x) + by1 (x) = 0 per x < x0 lim y1′ (x) = y01 lim y1 (x) = y0 x→x0− x→x0− ( y2′′ (x) + ay2′ (x) + by2 (x) = 1 per x > x0 lim+ y2′ (x) = y01 lim+ y2 (x) = y0 x→x0 x→x0 Quindi si definisce y1 (x) x < x0 y0 x = x0 y (x) = y2 (x) x > x0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Equazioni differenziali ordinarie con dati discontinui cap11.pdf 37
© Copyright 2024 Paperzz
