ELECTROYOU.IT Zeno Martini (admin) IL DIAGRAMMA DI POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA SINCRONA 10 April 2014 Abstract Nel passaggio da vuoto a carico la tensione ai morsetti di macchina si modifica. Ciò è dovuto, in primo luogo, alla reazione di indotto, cioè al campo magnetico prodotto dalle correnti di carico che, combinandosi con il campo di eccitazione, altera il flusso magnetico preesistente modificando la tensione indotta negli avvolgimenti. Tale tensione inoltre, non coincide con la tensione ai morsetti per la caduta sulla resistenza, e per le tensioni di autoinduzione dovute ai flussi magnetici che si concatenano con i soli conduttori dell'avvolgimento. Con il diagramma di Potier è possibile stabilire il valore della corrente di eccitazione che consente di ottenere la desiderata tensione sul carico in una macchina a poli lisci, anche in condizioni di saturazione del circuito magnetico, mentre Behn-Eschenburg definisce un semplificato modello circuitale per la macchina a poli lisci e non satura. Reattanza di dispersione Oltre al flusso considerato nella reazione di indotto, che si concatena anche con gli avvolgimenti induttori, esistono flussi che si concatenano con i soli avvolgimenti di statore. Sono chiamati flussi dispersi, e generano, nei conduttori, tensioni di cui si può tenere conto per mezzo di coefficienti di autoinduzione e relative reattanze. La reattanza di dispersione globale di una fase è data da Xd = Xc + Xt + Xδ I tre addendi rappresentano le reattanze corrispondenti, rispettivamente, ai flussi di dispersione alle cave, alle testate, al traferro le cui tipiche linee sono schematizzate nella seguente figura. IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 1 ZENO MARTINI (ADMIN) ELECTROYOU.IT L'espressione di ogni reattanza è del tipo dove ω è la pulsazione, N il numero totale dei conduttori dell'avvolgimento, permeanza che può essere calcolata con le formule Λ una • per le testate con τ semipasso polare; • per il traferro con L lunghezza assiale; • per cave del tipo schematizzato in figura IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 2 ZENO MARTINI (ADMIN) ELECTROYOU.IT La relazione precedente si può dimostrare ricordando che l'induttanza di un insieme di conduttori è data dal rapporto tra il quadrato del loro numero e la riluttanza del circuito magnetico in cui si stabilisce il flusso con cui si concatenano. Nella figura sono rappresentate le linee di flusso che interessano n conduttori nella cava, che si suppongono uniformemente distribuiti per l'altezza h1. Si considera allora un generico tubo di flusso all'ascissa x, di sezione Ldx che si concatena con conduttori. Trascurando la riluttanza gli del percorso in ferro, resta la riluttanza del tratto in aria e rame corrispondente b della cava. Si ricava l'induttanza relativa a tale insieme di conduttori, che è funzione di x, e la si integra tra 0 ed h1. Si trova in questo alla larghezza modo una parte del coefficiente di autoinduzione totale dei conduttori in una cava, quella relativa ai flussi che interessano parte dei coduttori di cava; bisogna ora aggiungervi quella relativa al flusso che attraversa la parte alta della cava, di altezza h2 e che si concatena con tutti i conduttori di cava. Il coefficiente di autoinduzione per l'avvolgimento sarà quello trovato moltiplicato per l numero dei conduttori che formano l'intero avvolgimento, cioè 2pq (p:coppie polari; q:numero di cave per polo e per fase) Una formula empirica proposta dal Rebora che dà risultati soddisfacenti per macchine a poli sporgenti è la seguente dove c è un coefficiente empirico dipendente da q secondo la tabella q 2 3 4 5 6 8 10 12 14 c 3,1 2,9 2,75 2,6 2,4 2,2 2 1,85 1,8 NB: si assume che le unità di misura siano tutte nel sistema internazionale Resistenza Per la resistenza di una fase occorre considerare che quando i conduttori hanno notevole sezione, il flusso disperso in cava determina perdite addizionali dovute alle correnti parassite, quindi occorre tenere in conto di un coefficiente che aumenta la resistenza ohmica ricavabile da lunghezza e sezione. Per limitare le correnti parassite è opportuno adottare conduttori a sezione rettangolare con il lato minore investito dal flusso. IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 3 ZENO MARTINI (ADMIN) ELECTROYOU.IT Il diagramma di Potier Tenendo dunque conto delle cadute ohmiche e induttive dovute ai flussi dispersi, possiamo tracciare il seguente diagramma fasoriale. Nota - Il diagramma è valido nell'ipotesi che l'effetto della reazione di indotto sia indipendente dalla posizione che essa assume rispetto agli assi polari. E' un'ipotesi che può ritenersi valida per macchine a poli lisci. Per le macchine a poli sporgenti sarà necessario ricorrere alla teoria della doppia reazione, che sdoppia la reazione di indotto in una parte che agisce secondo l'asse polare ed in un'altra che agisce secondo l'asse interpolare. Il diagramma che ne deriva è il diagramma di Blondel. V è la tensione di fase sul carico; I la corrente assorbita, sfasata dell'angolo rispetto alla tensione. E è la tensione indotta dal flusso risultante dovuto alla contemporanea azione della forza magnetometrice di eccitazione e di quella di reazione di indotto. La E è in quadratura di ritardo con la Mr; il valore di quest'ultima può essere ricavato dalla caratteristica di magnetizzazione della macchina. La forza I e vale, come si è visto, Mi = 1,35nqk1I. Poiché vettorialmente Mr = Mi + Me, sottraendo Mi ad Mr si ottiene Me, cioè la forza magnetomotrice di eccitazione. La tensione a vuoto da essa prodotta, è al solito, in quadratura di ritardo con Me ed il suo valore si può determinare dalla caratteristica di magnetizzazione. Ora si può dunque tracciare E0. magnetomotrice di reazione è in fase con la corrente Si completa in questo modo il diagramma di Potier. γ è l'angolo che stabilisce la posizione della Mi, rispetto alla Me, visto nell'articolo sulla reazione di indotto; δ, detto angolo di coppia o di potenza, è l'angolo elettrico corrispondente alla diversa posizione che assume la ruota polare a vuoto ed a carico. IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 4 ZENO MARTINI (ADMIN) ELECTROYOU.IT Nella figura che segue sono tracciati i diagrammi nel caso in cui il carico sia puramente induttivo, puramente capacitivo e puramente resistivo, nell'ipotesi di poter trascurare la resistenza di avvolgimento. Nel caso puramente induttivo la reazione è completamente smagnetizzante, completamente magnetizzante nel caso puramente capacitivo. L'angolo di coppia è nullo in entrambi i casi, mentre, nel caso puramente resistivo, coincide con all'aumetare della corrente tende a γ ed π / 2. Autoeccitazione Se il carico è capacitivo la reazione di indotto può dar luogo al fenomeno dell'autoeccitazione. Se si fa ruotare la macchina alla velocità nominale con eccitazione nulla, se si alimenta un carico capacitivo si ottiene una tensione crescente al crescere della corrente erogata, con un andamento simile alla caratteristica a vuoto. La corrente del carico si comporta infatti come una corrente di eccitazione. Il magnetismo residuo del rotore fa sì che già in assenza di carico sia presente una IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 5 ZENO MARTINI (ADMIN) ELECTROYOU.IT Er la quale farà circolare una corrente sul carico capacitivo che aumenterà la tensione stessa. L'aumento si arresta quando la tensione sul carico Vc diventa tensione uguale alla tensione prodotta, ciò che avviene nel punto P della figura seguente, intersezione tra la caratteristica di autoeccitazione della macchina con quella del carico capacitivo, che è una retta passante per l'origine. I valori di corrente e di tensione che si hanno in P, che aumentano all'aumentare di C, possono superare i valori nominali della macchina. E' una situazione che si può verificare quando un alternatore alimenta lunghe linee a vuoto per le quali, in prima approssimazione, si può considerare una capacità chilometrica di Modello di Behn-Eschenburg Il diagramma di Potier vale anche nel caso di macchina in zona di saturazione. Se la macchina non è in saturazione, c'è proporzionalità diretta tra forze magnetomotrici e tensioni indotte. Ne deriva che, nella figura che segue, il triangolo OAB, formato dalle forze magnetomotrici, è simile al triangolo OA'B'. In quest'ultimo triangolo, il lato B'A' rappresenta la forza elettromotrice dovuta alla reazione di indotto Mi = 1,35nqIk1 ricavabile dalla caratteristica a vuoto, analogamente ad E0 ed E. Il rapporto è dunque interpretabile come reattanza dovuta alla reazione di indotto. La somma di tale reattanza con la reattanza di dispersione denominata reattanza sincrona, mentre X s = X i + X d, è Zs = R + jXs è l'impedenza sincrona. Nota dunque l'impedenza sincrona di una macchina, si può tracciare il diagramma di sole cadute di tensione, come mostrato nella figura, detto diagramma di Behn- IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 6 ZENO MARTINI (ADMIN) ELECTROYOU.IT Eschemburg, che corrisponde al modello circuitale rappresentato, dove, come versi positivi di tensione e corrente si è adottata la convenzione del bipolo generatore. Esercizio Un alternatore trifase a rotore liscio con collegamemto delle fasi a stella, ha i seguenti dati Prova a vuoto E0 ( V ) 28 122 185 212 230 243 250 Ie ( A ) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 7 ZENO MARTINI (ADMIN) ELECTROYOU.IT • Determinare la corrente di eccitazione e la caduta di tensione percentuale nel funzionamento con carico nominale e con un carico capacitivo con fattore di potenza pari a 0,5 che assorbe la corrente nominale alla tensione nominale. Soluzione Osservazione: il testo assume implicitamente che la reattanza sincrona sia una costante e la soluzione adotterà questa ipotesi. Come sarà meglio illustrato nel paragrafo seguente, l'impedenza sincrona si può ritenere costante solo lontano dalla saturazione. La corrente nominale vale Adottando il modello di Beh-Eschemburg avremo Assumiano a fase zero la tensione quindi il fasore della corrente del carico nominale è L'impedenza sincrona, facendo l'ipotesi di Xs costante vale Quindi la tensione a vuoto vale La caduta percentuale di tensione è Approssimando la caratteristica a vuoto con un segmento di retta nel piano Ie, che unisce i punti (2,5;243) e interpolazione lineare E 0, (3,0;250) ricaviamo la corrente di eccitazione per Per il carico capacitivo basta ripetere il procedimento, modificando il fasore della corrente IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 8 ZENO MARTINI (ADMIN) ELECTROYOU.IT quidi sarà La variazione percentuale di tensione è allora Eseguendo l'interpolazione lineare tra i punti (1,5;212) e (2,0;230) otteniamo Determinazione dell'impedenza sincrona L'impedenza sincrona si ricava dal rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di cortocircuito. Nella seguente figura sono tracciati i diagrammi vettoriali relativi al cortocircuito, con R > 0 in c) ed R = 0 in d). In a) sono tracciati gli andamenti della tensione a vuoto e della corrente di cortocircuito in funzione della corrente di eccitazione, nonché il rapporto tra le due che rappresenta l'impedenza sincrona. La macchina è mantenuta alla velocità di sincronismo. IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 9 ZENO MARTINI (ADMIN) ELECTROYOU.IT Il grafico della corrente è rettilineo in quanto, essendo la reazione di indotto completamente smagnetizzante, la tensione effettiva E è molto minore ad E0 per cui la macchina lavora lontano dalla zona di saturazione; se ne discosta solo per valori molto alti dell'eccitazione. L'impedenza sincrona si può ritenere praticamente costante prima del ginocchio della curva della tensione, che corrisponde all'inizio della saturazione, poi decresce. La resistenza R si può in genere trascurare. Le considerazioni precedenti sono da tenere presenti se si adotta Behn-Eschemburg come modello. Si possono adottare valori diversi dell'impedenza sincrona, a seconda del valore della corrente di eccitazione della macchina nel caso particolare che si esamina. In generale si può ritenere che, ad esempio, nel calcolo della variazione di tensione da vuoto a carico, si ottengano valori più alti di quelli reali. Esercizio In un alternatore trifase con collegamento delle fasi a stella, con la corrente di eccitazione è mantenuta al valore che produce, a vuoto, la tensione nominale. Calcolare la tensione sul carico, quando la macchina eroga la corrente nominale con fattore di potenza pari a 1. 2. IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 10 ZENO MARTINI (ADMIN) ELECTROYOU.IT 3. Soluzione L'esercizio è, sostanzialmente, simile al precedente risolto per via simbolica. In questo caso ricaviamo le formule risolutive per via grafica. Nella figura che segue, è tracciato il diagramma di Behn-Eschemburg relativo ad un generico angolo di ritardo della corrente sulla tensione. Ricaviamo la relazione tra E0 che è mantenuta costante e la tensione di uscita V che varia in funzione di da cui la relazione cercata dove basta sostituire i valori di per i tre casi richiesti, oltre ovviamente, ai valori di ed 1) IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 11 ZENO MARTINI (ADMIN) ELECTROYOU.IT 2) 3) Bibliografia • Appunti di macchine elettriche - Ciro Di Pieri - Ed. CLEUP - Ia ed. settembre 1970; ristampa novembre 1991 • Macchine elettriche rotanti - M.Andriollo - G. Martinelli - A. Morini - CLEUP , 1998 • Elementi di costruzione delle macchine elettriche - Giovanni Someda - Patron, Bologna - terza edizione, 1954 • Fondamenti di macchine elettriche - Vittorio Isastia Cimino - Praise Worthy Prize, gennaio 2012 • Appunti per il corso di Centrali Elettriche - Renzo Rova - Cleup , aprile 1972 • Lezioni di Trasmissione dell'energia elettrica - Antonio Paolucci - Cleup, 1998 • Macchine Elettriche - Franco Cottignoli - Calderini, 1989 Estratto da "http://www.electroyou.it/mediawiki/ index.php?title=UsersPages:Admin:il-diagramma-di-potier-per-una-macchinasincrona" IL DIAGRAMMA DI SINCRONA POTIER ED IL MODELLO DI BEHN-ESCHENBURG PER UNA MACCHINA 12
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