Misura e integrale di Lebesgue
(Appunti A.A. 2012/13)
Programma dettagliato (PS2 cap. 5.2 e 5.3)
- Richiami sull’integrale doppio (e multiplo) secondo Riemann (R) [pag.
326-329]; misura secondo Peano-Jordan (P-J) in R2 : insiemi limitati in R2
misurabili secondo P-J; esempi; esempio di insieme limitato in R2 non PJ-misurabile; insiemi di misura nulla [pag. 334-335]; CNS affinch´e un sottoinsieme limitato di R2 sia di P-J-misura nulla [Proposizione 1.5, pag. 335
(c.d.)]; CNS affinch´e un insieme limitato sia P-J-misurabile [Proposizione
1.6, pag. 336]; esempi di insiemi di misura nulla in R2 ; il grafico di una
funzione (di una variabile) limitata e integrabile ha misura nulla in R2 [Proposizione 1.7, pag. 336 (c.d.)]; misura del sostegno di curve regolari; misurabilit`
a di insiemi semplici rispetto all’asse x o all’asse y; esempi [pag. 337];
- misura secondo Peano-Jordan in Rn [pag. 355-357]: insiemi limitati in Rn
(in particolare, in R3 ) misurabili secondo P-J; CNS affinch´e un sottoinsieme
limitato di Rn sia di P-J-misura nulla; misura di uno stesso insieme in Rn e
in Rk , k < n; CNS affinch´e un insieme limitato sia P-J-misurabile; esempi di
insiemi di misura nulla; misura in Rn del grafico di una funzione integrabile
definita su un insieme misurabile di Rn−1 ; misurabilit`a di insiemi semplici
rispetto a un asse;
- misura di Lebesgue (L) in Rn [pag. 377-403]: misura di intervalli limitati in Rn ; misura di plurintervalli in Rn ; indipendenza della misura dalla
scelta della suddivisione; propriet`a della misura dei plurintervalli; misura
di insiemi aperti e insiemi chiusi; la misura di un aperto `e sempre positiva
(c.d.); la misura di un plurintervallo coincide con la misura del suo interno
(c.d.); propriet`
a della misura di aperti e di chiusi [Proposizione 2.1, pag 379];
misura interna |E|∗ e misura esterna |E|∗ di un insieme E limitato di Rn ;
relazione tra misura interna ed esterna [Proposizione 2.2, pag 381 (c.d.)];
coincidenza di misura interna ed esterna per insiemi aperti e insiemi chiusi
(c.d); insiemi limitati misurabili secondo Lebesgue; CNS di L-misurabilit`a
per insiemi limitati; CNS affinch´e un insieme sia di L-misura nulla (o trascurabile); propriet`
a di completezza della misura (ogni sottoinsieme di un
insieme misurabile di misura nulla `e misurabile con misura nulla); confronto
1
tra misura secondo Lebesgue e misura secondo Peano-Jordan; propriet`a della
misura [Teoremi 2.3 e 2.4, pag. 384]: monotonia, subadditivit`a e additivit`a
finita, sottrativit`
a (algebra degli insiemi P-J-misurabili e L-misurabili); subadditivit`
a e additivit`
a numerabile, continuit`a verso l’alto e verso il basso
(σ-algebra degli insiemi L-misurabili); invarianza della misura di insiemi limitati rispetto a traslazioni e a trasformazioni ortogonali [Proposizione 2.5,
pag. 385]; dilatato di un insieme; esempi: insieme dei numeri razionali e
insieme dei numeri irrazionali compresi tra 0 e 1; insieme dei punti del quadrato con ascissa, o ordinata o entrambe le coordinate razionali [Esempi 2.1,
2.2 e 2.4, pag. 385-386]; esempio di insieme con la potenza del continuo di
misura nulla: l’insieme di Cantor [Esempio 2.3, pag. 386]; esempio di insieme non misurabile secondo Lebesgue: l’insieme di Vitali [Esercizio 8, pag
387]; misura di insiemi non limitati [pag 391-393]: esempi e propriet`a;
- funzioni misurabili; una funzione continua `e misurabile [Esempio 2.7, pag
398 (c.d.)]; la funzione di Dirichlet `e misurabile [Esempio 2.8, pag. 398
(c.d.)]; misurabilit`
a di una funzione espressa tramite la misurabilit`a degli
insiemi di sotto o sopralivello [Proposizione 2.10, pag 398 (c.d.)]; insiemi di
livello di una funzione misurabile; propriet`a delle funzioni misurabili [Proposizione 2.11, pag. 399] e delle successioni di funzioni misurabili [Proposizione
2.12, pag. 400]; propriet`
a valide quasi ovunque (q.o.); esempi; una funzione
coincidente q.o. con una funzione misurabile `e misurabile [Proposizione 2.13,
pag. 400 (c.d)]; insieme delle ordinate di una funzione misurabile: esempi;
legame tra funzioni misurabili e insieme delle ordinate [Proposizione 2.14,
pag. 402];
- integrale di Lebesgue di funzioni misurabili e limitate definite su un insieme
di misura finita [pag. 404-408]; somme integrali alla Lebesgue; confronto fra
integrale secondo Riemann e integrale secondo Lebesgue; la funzione di Dirichlet `e integrabile secondo Lebesgue (c.d.); il teorema di Vitali-Lebesgue;
significato geometrico dell’integrale; coincidenza degli integrali di Riemann
e di Lebesgue per funzioni limitate, R-integrabili definite su insiemi limitati e P-J-misurabili [Proposizione 3.1, pag. 408 (c.d.)]; funzioni sommabili
[pag. 408-411]: integrale di Lebesgue di funzioni non limitate e definite su
insiemi di misura non finita; equivalenza tra L-integrabilit`a e L-integrabilit`a
assoluta [Proposizione 3.2, pag. 410 (c.d.)]; propriet`a principali dell’integrale di Lebesgue [Teorema 3.3, pag 411]; teorema della convergenza limitata
2
[appunti]; lemma di Fatou [appunti]; Teorema di Beppo Levi (o della convergenza monotona) [appunti]; primo e secondo corollario del teorema di Beppo
Levi (scambio della serie con l’integrale e additivit`a completa rispetto al dominio di integrazione) [appunti]; teorema di Lebesgue (o della convergenza
dominata) [appunti]; esempio di applicazione del lemma di Fatou col minore
stretto; esempio di non validit`a del Teorema di Beppo Levi per successioni
decrescenti; esempi di applicazione del teorema di Lebesgue e della convergenza limitata [Esempi 3.2, 3.3, 3.4 pag. 415-416]; generalizzazione del
Teorema di Lebesgue [appunti]; teorema dell`ı’assoluta continuit`a [appunti];
teorema di derivazione sotto il segno di integrale [Teorema 3.10, pag. 420];
teorema fondamentale del calcolo integrale [pag. 423]; teorema di Fubini
[Teorema 3.11, pag. 422]; teorema di Tonelli e corollario [Teorema 3.12 e
Corollario 3.13, pag. 422-423]; assoluta integrabilit`a in senso improprio implica L-integrabilit`
a; esempio di funzione integrabile in senso improprio e
non integrabile secondo Lebesgue [appunti].
Integrazione del libro di testo e appunti
Esercizio 1, pag. 402: indipendenza della misura di un plurintervallo
dalla scelta della suddivisione.
Per capire intuitivamente il fatto che la misura di un plurintervallo non
dipenda dalla suddivisione scelta, possiamo considerare un esempio semplice
nel caso bidimensionale, raffigurato qui sotto: uno stesso plurintervallo R si
pu`
o esprimere come R = Q2 ∪Q3 con la suddivisione D, come R = Q02 ∪Q03 ∪
Q05 ∪ Q06 con la suddivisione D0 oppure come R = Q∗2 ∪ Q∗3 ∪Q∗4 ∪Q∗6 ∪ Q∗7 ∪ Q∗8
con la suddivisione D∗ = D ∪ D0 .
3
5
y
D
R
4
3
Q1
Q2
Q3
2
1
x
1
5
2
3
4
5
6
7
6
7
6
7
y
D'
R
4
Q1'
Q2'
Q3'
Q4'
Q5'
Q6'
3
2
1
x
1
5
2
3
4
5
y
D*
R
4
Q3*
Q4*
Q6* Q7*
Q8*
Q1* Q2*
3
Q5*
2
1
x
1
2
3
4
4
5
Chiaramente D∗ risulta pi`
u fine sia di D che di D0 , e la misura di R `e sempre
la stessa.
Esempio 1 (pag. 335):
esempio di insieme limitato in R2 non P-J-
misurabile.
L’insieme Q dei punti del quadrato [0, 1] × [0, 1] con entrambe le coordinate
razionali. Infatti, la sua funzione caratteristica
(
T
1
(x, y) ∈ Q Q
1Q =
T
0
(x, y) ∈ Q (R \ Q)
`e la funzione di Dirichlet, che non `e Riemann-integrabile, essendo, per qualunque suddivisione D di Q, s(D, 1Q ) = 0 e S(D, 1Q ) = 0.
Esercizio 2, pag 402.
misura del suo interno
La misura di un plurintervallo R coincide con la
R0 .
Dimostrazione. Dal momento che R0 ⊆ R, dalle propriet`a dei plurintervalli
segue che |R0 | ≤ |R|. Inoltre, essendo R0 un aperto, dalla definizione di
misura di insieme aperto si ha
|R0 | = sup |H| : H plurintervallo, H ⊆ R0
≤ sup {|H| : H plurintervallo, H ⊆ R} .
Dalla definizione di estremo superiore, per ogni > 0 esiste un plurintervallo
H ⊆ R0 (e quindi anche H ⊆ R) tale che
|H | > |R| − ;
D’altra parte, si ha anche che |H | ≤ |R0 | ≤ |R|. In definitiva risulta
|R| − < |R0 | ≤ |R|
da cui, facendo tendere a zero, si ottiene
|R| ≤ |R0 | ≤ |R|
e, quindi, |R| = |R0 |.
5
Osservazione 1 (pag. 379):
la misura di un chiuso (non vuoto) pu`
o
essere nulla.
Osserviamo che, per esempio in R, la misura di un 1-intervallo degenere
(Q = [a, b] con a = b) risulta, per definizione, di misura nulla pur non essendo vuoto (Q = {a}).
Osservazione 2.2, pag 381:
misure interna ed esterna coincidenti per
insiemi aperti e chiusi.
Dimostrazione. Sia E aperto. Allora, dalla definizione di misura esterna,
risulta che |E|∗ = |E|. Inoltre, dal fatto che |E|∗ ≤ |E|∗ , si ha |E|∗ ≤ |E|;
d’altra parte, dalla definizione di misura di insieme aperto e dal fatto che i
plurintervalli sono particolari insiemi chiusi, risulta
|E| = sup {|H| : H plurintervallo, H ⊂ E}
≤ sup {|C| : C chiuso, C ⊂ E} = |E|∗ .
Confrontando le due disuguaglianze ottenute, si ha anche che |E|∗ = |E|.
Sia, ora, E chiuso. Allora, dalla definizione di misura interna, risulta che
|E|∗ = |E|. Inoltre, dal fatto che |E|∗ ≤ |E|∗ , si ha |E| ≤ |E|∗ ; d’altra parte,
dalla definizione di misura di insieme chiuso e risulta
|E| = inf {|K| : K plurintervallo, K ⊇ E}
≥ inf {|A| : A aperto, A ⊇ E} = |E|∗ ,
dove A `e un qualunque aperto contenente K. Confrontando le due disuguaglianze ottenute, quindi, si ha anche che |E|∗ = |E|.
Osservazione 2.3, pag 383:
confronto tra misura secondo Lebesgue e
misura secondo Peano-Jordan.
6
Un insieme E contenuto in un intervallo Q `e P-J-misurabile se la sua funzione
caratteristica `e integrabile in Q, cio´e se il sup delle somme inferiori s(D), al
variare di tutte le possibili suddivisioni di Q, coincide con l’inf delle somme
superiori S(D). Ricordando che le s(D) sono costruite considerando gli inf
assunti dalla funzione nei sottointervalli determinati da D, mentre le S(D)
sono costruite considerando i sup della funzione in tali sottointervalli, una
s(D) non `e altro che la misura di un plurintervallo H, H ⊆ E, mentre una
S(D) non `e altro che la misura di un plurintervallo K, K ⊇ E. Dunque
risulta
sup s(D, 1E ) = sup{|H| : H ⊆ E}
e
inf S(D, 1E ) = inf{|K| : K ⊇ E},
cio´e, essendo i plurintervalli insiemi chiusi,
sup s(D, 1E ) = |E|∗
e
inf S(D, 1E ) = |E|∗ .
L’insieme E `e quindi P-J-misurabile se la sua misura interna coincide con
quella esterna, solo che in tal caso le misure interna ed esterna vengono
definite usando i plurintervalli, anzich´e gli insiemi aperti e chiusi come nella
teoria di Lebesgue.
D’altra parte, poich´e la misura di un plurintervallo coincide con la misura
dell’insieme aperto formato dai suoi punti interni, si ha che se E `e P-Jmisurabile, allora `e anche L-misurabile, e le due misure coincidono.
Definizione 1: dilatato di un insieme.
Dato l’insieme E ⊂ Rn limitato (E ⊆ Q, Q n-intervallo) e misurabile,
l’insieme Eδ = {y ∈ Rn : y = δ −1 x, x ∈ E}, δ > 0, `e misurabile e |Eδ | =
δ n |E|; esso `e detto dilatato dell’insieme E.
7
Esempio 2.3, pag. 386 ed Esercizio 7, pag. 403: l’insieme di Cantor
ha la potenza del continuo.
L’idea della dimostrazione `e la seguente: ricordando che la cardinalit`a dell’insieme dei numeri reali `e la stessa di quella dell’insieme di applicazioni da
N a {0, 1} (](R) = ]{0, 1}N ) e, poich´e si dimostra che l’insieme C di Cantor
`e
(
C=
x=
∞
X
ai
i=1
allora anche ](C) =
]{0, 1}N ,
3i
)
, ai ∈ {0, 2} ,
cio´e C ha la potenza del continuo (per i dettagli
si veda il paragrafo 2.1, pag. 8, della tesi La curva di Peano di Rossella
Obino).
C’`e, cio´e, una corrispondenza biunivoca tra l’insieme [0, 1], un cui qualunque
elemento si pu`
o esprimere in espansione binaria della forma 0, b1 b2 . . ., con
bi = 0, 1, e l’insieme C, costituito, come mostra l’espressione scritta sopra,
dagli elementi che in espansione ternaria sono della forma 0, a1 a2 . . . con
ai = 0, 2 (ai non `e mai uguale a 1).
Esercizio 8, pag. 403: esempio di insieme non misurabile secondo Lebesgue: l’insieme di Vitali.
Nell’intervallo [0, 1] introduciamo la seguente relazione di equivalenza
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q.
Consideriamo ora l’insieme A ottenuto quozientando [0, 1] rispetto all’equivalenza appena introdotta; tale insieme `e formato da una infinit`a non numerabile di classi di equivalenza (se fossero un’infinit`a numerabile, anche
[0, 1] risulterebbe numerabile in quanto unione numerabile di insiemi numerabili). Chiamiamo V ⊂ [0, 1] l’insieme ottenuto scegliendo da ogni classe di
equivalenza di A un solo elemento (rappresentante). L’esistenza dell’insieme
V `e garantita dall’assioma di scelta (o di Zermelo); in base a tale assioma,
per`
o, possiamo solo affermare l’esistenza di tale insieme, senza riuscire ad
assegnare una legge esplicita per la sua costruzione.
Mostriamo che l’insieme V (insieme di Vitali) non `e misurabile.
8
Esso ha le seguenti propriet`
a:
a) se r ∈ Q, r 6= 0, il traslato di r di V , Vr = {y ∈ R : y = x + r, x ∈ V } e
V stesso, sono disgiunti. Infatti, se fosse V ∩ Vr 6= ∅, esisterebbero x, y ∈ V ,
x 6= y tali che y = x + r, cio´e tali che y − x = r ∈ Q, il che `e assurdo essendo
x e y appartenenti a classi diverse; da ci`o segue che anche due qualunque
traslati Vr e Vs sono disgiunti, per r 6= s;
b) per ogni x ∈ (0, 1) esiste r ∈ (−1; 1) ∩ Q tale che x ∈ Vr ; infatti, detto y un rappresentante di x in V , e posto r = x − y, risulta che r ∈ Q
in quanto x e y appartengono alla stessa classe di equivalenza e, inoltre
−1 = 0 − 1 < r = x − y < 1 − 0 = 1.
Consideriamo ora l’insieme ottenuto unendo tutte le possibili traslazioni di
V di numeri razionali compresi tra −1 e 1, cio´e l’insieme
[
E=
Vr ;
r∈(−1,1)∩Q
se, per assurdo, V fosse misurabile, anche E lo sarebbe in quanto unione
numerabile di insiemi misurabili e, essendo E ⊆ (−1, 2), si avrebbe |E| ≤ 3.
D’altra parte, essendo E unione di insiemi disgiunti per la propriet`a a),
risulta:
|E| =
X
|Vr | =
r∈(−1,1)∩Q
X
|V |
r∈(−1,1)∩Q
dato che, per la propriet`
a di invarianza per traslazioni della misura, |Vr | =
|V | per ogni r. Poich´e non pu`o essere che |V | > 0, perch´e se cos`ı fosse, la
P
P
r∈(−1,1)∩Q |V | sarebbe infinita, mentre risulta
r∈(−1,1)∩Q |V | ≤ 3, allora
deve essere |V | = 0, e quindi |E| = 0. Ma, per la b), E ⊇ (0, 1), |E| ≥ 1.
Essendo giunti a una contraddizione, la conclusione `e che V `e non misurabile.
Osservazione 2 (pag. 405):
infittendo la suddivisione le somme infe-
riori non diminuiscono.
Inserendo β tra αi−1 e αi nella suddivisione D, il termine
αi−1 |Ωi | = αi−1 |{αi−1 ≤ f < αi }|
9
nelle somme inferiori viene sostituito da
αi−1 |{αi−1 ≤ f < β}| + β|{β ≤ f < αi }|
≥ αi−1 |{αi−1 ≤ f < β}| + αi−1 |{β ≤ f < αi }| = αi−1 |Ωi |.
Il teorema di Vitali-Lebesgue (per funzioni di una variabile, pag. 407):
Sia f : [a, b] → R una funzione limitata. Allora f `e integrabile secondo
Riemann se e solo se l’insieme dei suoi punti di discontinuit`
a `e un insieme
di misura nulla secondo Lebesgue (cio´e se f `e continua q.o. in [a, b]).
Dimostrazione. Essendo f limitata e poich´e f `e integrabile se e solo se lo `e
f + c per ogni costante c, non `e restrittivo supporre che f sia non negativa.
Ricordando che:
- una funzione f definita in [a, b] limitata e non negativa `e integrabile secondo
Riemann se e solo se il suo trapezoide T = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}
`e misurabile secondo Peano-Jordan e il valore dell’integrale della funzione
coincide con l’area di T ;
- un sottoinsieme limitato del piano `e misurabile secondo Peano-Jordan se
e solo se la sua frontiera ha misura nulla secondo Peano-Jordan;
segue che la funzione f `e integrabile secondo Riemann se e solo se la frontiera
del suo trapezoide ha P-J-misura nulla.
Ma ∂T `e data dall’unione dei tre segmenti {a} × [0, f (a)], {b} × [0, f (b)],
[a, b] × {0}, di P-J-misura nulla in R2 , e dell’insieme
n
G(f ) = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b,
o
min f (x), lim inf f (t) ≤ y ≤ max f (x), lim sup f (t) .
t→x
t→x
Quindi dobbiamo mostrare che |G(f )|P J = 0. Osserviamo che f `e continua
se e solo se
min f (x), lim inf f (t) = max f (x), lim sup f (t) ,
t→x
t→x
e che, se f `e continua, l’insieme G(f ) coincide col grafico di f .
Inoltre, si dimostra anche che:
10
- se f `e limitata, allora G(f ) `e compatto;
- un compatto del piano ha misura nulla nel senso di Lebesgue se e solo se
ha misura nulla nel senso di Peano-Jordan.
Tenendo conto di questi risultati, si ha che f `e integrabile secondo Riemann
se e solo se l’insieme G(f ) ha misura di Lebesgue nulla. D’altra parte, dalle
propriet`
a della misura di Lebesgue discende che
Z
|G(f )| =
b
max f (x), lim sup f (t) − min f (x), lim inf f (t) dx
t→x
t→x
a
e, essendo la funzione integranda non negativa, l’integrale `e nullo se e solo se
la funzione integranda `e q.o. nulla, cio´e se e solo se l’insieme dei punti in cui
la funzione integranda `e diversa da zero ha misura nulla secondo Lebesgue.
Poich´e i due termini che compaiono dentro la parentesi quadra coincidono se
e solo se f `e continua nel punto x, l’integrale `e nullo (e quindi f `e integrabile
secondo Riemann) se e solo se l’insieme dei punti di discontinuit`a di f ha
misura nulla secondo Lebesgue.
Quindi, il Teorema di Vitali-Lebesgue afferma che la Riemann-integrabilit`a
di una funzione limitata `e legata all’insieme dei suoi punti di discontinuit`a.
Ricordiamo che le funzioni continue sono integrabili secondo Riemann, e
lo sono anche le funzioni limitate con al pi`
u un numero finito di punti di
discontinuit`
a. Inoltre sono integrabili tutte le funzioni monotone con al pi`
u
un’infinit`
a numerabile di punti di discontinuit`a. La funzione di Dirichlet
invece, discontinua in ogni punto, non `e R-integrabile in nessun intervallo.
Teorema (della convergenza limitata).
Sia Ω un insieme misurabile
di misura finita, e sia fn : Ω −→ R una successione di funzioni misurabili
tali che
i) esiste M ≥ 0 tale che |fn (x)| ≤ M ∀ n ∈ N e ∀ x ∈ Ω (cio´e equilimitate);
ii) esiste una funzione limitata f : Ω −→ R tale che fn converge a f q.o. in
Ω.
Allora
Z
lim
n→∞ Ω
Z
fn (x) dx =
f (x) dx.
Ω
11
Lemma di Fatou.
Rn ,
Sia {fn }, fn : Ω → R, con Ω insieme misurabile di
una successione di funzioni misurabili non negative convergente a f q.o.
in Ω. Allora
Z
Z
f dx ≤ lim inf
fn dx.
n
Ω
Ω
Dimostrazione. Poich´e gli integrali estesi a insiemi di misura nulla sono nulli, possiamo supporre che la convergenza valga su tutto Ω. Introduciamo
ora una funzione h con le seguenti propriet`a: misurabile, limitata, nulla al
di fuori di un insieme Ω0 di misura finita, e tale che h ≤ f . Definiamo
hn (x) := min{h(x), fn (x)}; hn `e misurabile (essendolo h e fn ), limitata (dal
fatto che hn ≤ h) e nulla al di fuori di Ω0 . Inoltre, per come `e definita, hn (x)
converge ad h(x) in Ω0 .
Quindi, dal fatto che h `e nulla al di fuori di Ω0 e dal teorema della convergenza limitata, si ha
Z
Z
h dx =
Z
h dx = lim
n→∞ Ω0
Ω0
Ω
hn (x) dx.
R
R
Poich´e hn `e nulla al di fuori di Ω0 , e poich´e Ω hn (x) dx ≤ Ω fn (x) dx, risulta
Z
Z
Z
hn (x) dx ≤ lim inf
fn (x) dx.
lim
hn (x) dx = lim
n→∞ Ω0
In definitiva
n→∞
n→∞ Ω
Z
Ω
Z
h dx ≤ lim inf
n→∞
Ω
fn (x) dx;
Ω
passando al sup in h (che varia nell’insieme di funzioni che hanno le sue
stesse caratteristiche) si ha la tesi.
Teorema di Beppo Levi (o della convergenza monotona). Sia {fn },
fn : Ω → R, una successione crescente di funzioni misurabili non negative,
convergente a f in Ω. Allora
Z
Z
f dx = lim
fn dx.
Ω
n→∞ Ω
12
Dimostrazione. Valgono le ipotesi del Lemma di Fatou; quindi
Z
Z
f dx ≤ lim inf
fn dx.
n
Ω
Ω
Inoltre, dal fatto che fn ≤ fn+1 e limn→∞ fn (x) = f (x), segue che fn ≤
R
R
f e quindi, per le propriet`
a dell’integrale, che Ω fn dx ≤ Ω f dx, da cui
R
R
lim supn Ω fn dx ≤ Ω f dx. Dunque, da
Z
Z
Z
fn dx
f dx ≤ lim inf
lim sup fn dx ≤
n
n
Ω
Ω
Ω
segue la tesi.
Esistono diverse formulazioni del Teorema della convergenza monotona, e
spesso l’ordine di enunciazione dei due teoremi `e invertito. Alcuni testi parlano di funzioni integrabili (o sommabili) anzich´e misurabili (una funzione
misurabile pu`
o avere insieme delle ordinate, misurabile, di misura infinita), prendendo in considerazione solo integrali convergenti (naturalmente,
in questo caso il risultato `e molto pi`
u significativo). Osserviamo che in
questa dimostrazione del Teorema di Beppo-Levi il Lemma di Fatou `e fondamentale, ma si pu`
o dimostrare il teorema della convergenza monotona
anche usando gli insiemi delle ordinate.
In generale, nel Lemma di Fatou non vale l’uguale. Infatti, consideriamo la
successione definita da
fn (x) = nχ(0, 1 ) (x),
n
n ∈ N, x ∈ R,
dove χ denota la funzione caratteristica. Si ha
(
2
1
x ∈ (0, 1)
f1 (x) =
, f2 (x) =
0
altrimenti
0
f3 (x) =
!
1
0,
3 ,
3
x∈
0
altrimenti
x∈
!
1
0,
2 ,
altrimenti
...
Risulta fn (x) ≥ 0 ∀n ∈ N e limn→∞ fn (x) = 0 = f (x); inoltre, le fn sono
misurabili, essendolo evidentemente i loro insiemi delle ordinate. Si ha, poi,
13
che
R
R fn (x) dx
= 1 ∀n ∈ N. Quindi
Z
Z
lim fn (x) dx = 0
f (x) dx =
R n→∞
R
Z
Z
fn (x) dx = 1.
fn (x) dx = lim inf
< lim inf
n→∞
n→∞
R
R
Risulta anche che il Teorema di Beppo-Levi non `e valido se la successione
1
di funzioni `e decrescente: la successione fn (x) = , x ∈ R, `e decrescenR n
te e converge uniformemente a zero, ma si ha R fn (x) dx = ∞, mentre
R
R limn→∞ fn (x) dx = 0.
Corollario 1 (del Teorema di Beppo-Levi: scambio della serie con
l’integrale). Sia {fn } una successione di funzioni misurabili non negative
P
(q.o.) su un insieme misurabile Ω, e sia f (x) = ∞
n=1 fn (x). Allora
Z
f (x) dx =
∞ Z
X
fn (x) dx.
n=1 Ω
Ω
Corollario 2 (del Teorema di Beppo-Levi): additivit`
a completa
rispetto al dominio di integrazione.
Sia f una funzione misurabile
non negativa ed {Ωn } una successione di insiemi misurabili disgiunti, tali
che Ω = ∪∞
n=1 Ωn . Allora
Z
f (x) dx =
Ω
∞ Z
X
f (x) dx.
n=1 Ωn
Teorema di Lebesgue (o della convergenza dominata).
fn : Ω → R, una successione di funzioni L-integrabili tali che:
i) fn converge a f q.o. in Ω;
14
Sia {fn },
ii) esiste g L-integrabile tale che |fn (x)| ≤ g(x) ∀ n.
Allora anche f ∈ L(Ω) e si ha
Z
Z
fn dx.
f dx = lim
n→∞ Ω
Ω
Dimostrazione. Da i) e ii) segue che |f | ≤ g, e poich´e g ∈ L(Ω), anche
f ∈ L(Ω)).
Per ogni n, la funzione g − fn `e non negativa e la successione {g − fn }
converge a g − f q.o. in Ω. Quindi, per il Lemma di Fatou si ha
Z
Z
(g − f ) dx ≤ lim inf (g − fn ) dx,
n
Ω
da cui
Z
Z
Z
g dx −
Ω
Ω
Z
f dx ≤
Ω
g dx − lim inf
fn dx,
n
Ω
Ω
cio´e (essendo lim inf n (−fn ) = − lim supn fn )
Z
Z
f dx ≥ lim sup fn dx.
n
Ω
Ω
Consideriamo, ora, la successione {g + fn }; sempre dal Lemma di Fatou
segue che
Z
Z
(g + f ) dx ≤ lim inf
n
Ω
da cui
Z
Z
f dx ≤ lim inf
Ω
(g + fn ) dx,
Ω
n
Z
fn dx ≤ lim sup
n
Ω
fn dx.
Ω
Confrontando i due risultati ottenuti si trova quindi che limn
R
e coincide con Ω f dx.
R
Ω fn dx
esiste
Osserviamo che, se {fn } `e una successione di funzioni misurabili che converge q.o. a f , i tre teoremi sopra dimostrati stabiliscono sotto quali ipotesi si
R
R
pu`
o dire qualcosa su f in termini di fn . Il Lemma di Fatou ha le ipotesi
pi`
u deboli fra i tre teoremi citati: richiede soltanto che la successione {fn }
sia limitata inferiormente da zero (pi`
u in generale, da una funzione integrabile); di conseguenza, il risultato `e pi`
u debole, e coinvolge solo il lim inf n
dell’integrale in Ω di fn . Il Teorema di Lebesgue richiede che le fn siano
limitate sia inferiormente che superiormente da una funzione integrabile, e
15
infatti il risultato ´e molto pi`
u forte. Il Teorema della convergenza monotona
`e intermedio fra i due: richiede che {fn } sia limitata inferiormente da zero
(pi`
u in generale, da una funzione integrabile) e superiormente dalla funzione limite stessa. Naturalmente, se il limite `e integrabile, questo `e un caso
particolare del Teorema di Lebesgue.
Il vantaggio del Lemma di Fatou e del Teorema di Beppo Levi `e che essi
sono applicabili anche quando f non `e integrabile e forniscono spesso uno
strumento per mostrare l’integrabilit`a di f .
Osserviamo anche che, se nel Teorema della convergenza dominata si considerano l’insieme Ω di misura finita e la funzione g = costante (e quindi f
limitata), allora si riottiene il teorema della convergenza limitata.
Sia {gn }, gn : Ω → R,
Generalizzazione del Teorema di Lebesgue.
una successione di funzioni L-integrabili convergente a g q.o. in Ω, g ∈
L(Ω); sia inoltre {fn }, fn : Ω → R, una successione di funzioni misurabili
R
R
convergente a f q.o. e tale che |fn (x)| ≤ g(x) ∀ n. Allora, se g = limn gn ,
R
R
anche f = limn fn .
Altre importanti propriet`
a dell’integrale di Lebesgue sono le seguenti:
- Sia f integrabile (secondo Lebesgue) in un insieme misurabile Ω. Allora
l’insieme {x ∈ Ω : f (x) = ±∞} ha misura nulla;
- Sia f integrabile (secondo Lebesgue) in un insieme misurabile Ω. Allora
∀ > 0 ∃ δ() > 0 tale che, per ogni insieme misurabile A ⊂ Ω con |A| < δ,
R
a).
A |f | dx < (teorema dell’assoluta continuit`
Il Teorema di Fubini [PS2, Teorema 3.11] e quello di Tonelli [PS2, Teorema
3.12] sono spesso raggruppati nel
Teorema di Fubini-Tonelli: Sia f misurabile in R2 . Se uno dei due
seguenti integrali
Z +∞ Z
dx
−∞
+∞
Z
|f (x, y)| dy
+∞
o
−∞
+∞
|f (x, y)| dx
dy
−∞
16
Z
−∞
esiste finito, allora f `e integrabile secondo Lebesgue in R2 e si ha
Z +∞ Z +∞
f (x, y) dx dy
−∞
Z
+∞
Z
dx
=
−∞
Viceversa, se f ∈
−∞
+∞
Z
+∞
−∞
2
L(R ), allora
Z
+∞
f (x, y) dx.
dy
f (x, y) dy =
−∞
−∞
gli integrali iterati sono assolutamente con-
vergenti, gli integrali ripetuti coincidono con l’integrale doppio, e vale lo
scambio dell’ordine di integrazione.
Nell’integrale di Lebesgue si ha equivalenza tra integrabilit`a e integrabilit`a
assoluta [PS2, Proposizione 3.2, pag. 410]:
f ∈ L(Ω)
⇔
|f | ∈ L(Ω);
nell’integrale di Riemann l’integrabilit`a implica l’assoluta integrabilit`a in
intervalli limitati:
f ∈ R(a, b)
⇒
|f | ∈ R(a, b);
per gli integrali in senso generalizzato (impropri) questa implicazione non
vale, cio´e esistono funzioni integrabili in senso improprio, ma non assolutamente integrabili (si veda l’Esempio 2).
Teorema. Sia f : [a, +∞) → R, assolutamente integrabile in senso improprio; allora essa `e integrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono.
Osserviamo che si possono considerare in modo analogo i casi in cui f sia
definita in (−∞, b] o in (−∞, +∞).
Quindi, essendo l’intervallo di integrazione illimitato, si tratta di integrali
impropri (mentre nella Proposizione 3.1, pag. 408, si consideravano funzioni
f : Ω → R con Ω P-J-misurabile, limitato).
Dimostriamo il teorema nel caso f ≥ 0.
Dimostrazione. Supponiamo che f ≥ 0 (in tal modo, |f | = f ), e consideriamo la successione di funzioni cos`ı definita:
(
f (x)
a ≤ x ≤ n,
fn (x) =
0
x > n.
17
Essa `e integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a, n] ed `e nulla per x > n;
pertanto, `e L-integrabile in [a, +∞). Inoltre, per ogni x ≥ a e per ogni n ≥ a
si ha fn (x) ≤ fn+1 (x) e limn→∞ fn (x) = f (x). Dal teorema della convegenza
monotona segue allora che f `e L-integrabile e
Z
Z +∞
Z +∞
lim fn (x) dx = L
fn (x) dx = L
lim L
n→∞
a
a
n→∞
+∞
f (x) dx.
a
D’altra parte, dalla definizione di integrale in senso improprio si ha
Z +∞
Z n
Z +∞
lim R
fn (x) dx = lim R
f (x) dx = R
f (x) dx.
n→∞
n→∞
a
a
a
Ma dal fatto che, ∀ n ∈ N, si ha
Z +∞
Z
fn (x) dx = R
L
a
+∞
fn (x) dx,
a
segue che
Z
+∞
L
+∞
Z
f (x) dx = R
a
f (x) dx.
a
Osserviamo che, se f `e di segno qualunque, non `e detto che la successione
fn definita all’interno della dimostrazione sia monotona. Con l’ipotesi di
assoluta integrabilit`
a di f , comunque, si conclude la dimostrazione in modo
analogo.
cos3 x
, x ≥ 0. Definendo la
1 + ex
successione fn (x) come nella dimostrazione del teorema, si ha
Per esempio, consideriamo la funzione f (x) =
|fn (x)| ≤
1
= g(x),
1 + ex
∀ n ∈ N, x ≥ 0;
la funzione g `e positiva e integrabile in senso improprio in [0, +∞), e quindi
integrabile secondo Lebesgue per il teorema appena dimostrato. Inoltre, per
il teorema della convergenza dominata, poich´e limn→∞ fn (x) = f (x), segue
che f `e integrabile secondo Lebesgue in [0, +∞) e si ha
Z +∞
Z +∞
lim
fn (x) dx =
f (x) dx.
n→∞ 0
0
18
Esempio 2. Esempio di funzione integrabile in senso improprio e non integrabile secondo Lebesgue.
sin x
`e integrabile in senso improprio in [0, +∞). Infatti,
x
La funzione f (x) =
consideriamo
Z
+∞
0
sin x
dx =
x
Z
1
0
sin x
dx +
x
Z
1
+∞
sin x
dx;
x
la funzione integranda del primo integrale a secondo membro `e continua
in (0, 1]; in zero, possiamo eliminare la discontinuit`a ponendo f (0) = 1;
essendo continua e limitata in [0, 1], `e quindi R-integrabile in [0, 1]; il secondo
integrale diventa
Z δ
sin x
sin x
dx = lim
dx
δ→+∞ 1
x
x
1
"
#δ Z
Z δ
δ
cos x
cos x
cos x
= lim
−
dx = cos 1 − lim
dx.
−
2
δ→+∞
δ→+∞ 1
x
x
x2
1
Z
+∞
1
1
1
| cos x|
≤
∀
x
≥
1
e
la
funzione
integrabile in senso improprio
x2
x2
x2
[1, +∞), per il criterio del confronto per integrali impropri anche la funzione
cos x
lo `e, e quindi `e integrabile in tale intervallo. In conclusione, f (x) =
x2
sin x
`e integrabile in senso improprio in [0, +∞).
x
Non `e, invece, assolutamente integrabile in senso improprio in [0, +∞):
Z +∞ +∞ Z (n+1)π X
sin x sin x dx =
dx
x x 0
nπ
Essendo
n=0
≥
+∞
X
n=0
1
(n + 1)π
Z
(n+1)π
| sin x| dx.
nπ
Posto x = t + nπ, si ha
Z +∞ Z π
+∞
X
1
sin x | sin(t + nπ)| dt
dx ≥
x (n + 1)π 0
0
n=0
=
+∞
X
n=0
1
(n + 1)π
Z
π
sin t dt =
0
+∞
2X
1
= +∞.
π
n+1
n=0
19
Di conseguenza, f non `e L-integrabile [0, +∞); se lo fosse, anche |f | lo sarebbe, mentre f non `e assolutamente integrabile nell’intervallo considerato.
Infatti, introducendo la successione di funzioni (costruita in modo simile a
quello dell’esempio precedente)
(
|f (x)|
φn (x) =
0
0 ≤ x ≤ n,
x > n,
si osserva che le φn sono L-integrabili in [0, +∞) essendo continue e limitate
in [0, n]; inoltre limn→∞ φn (x) = |f (x)| e 0 ≤ φn (x) ≤ |f (x)|; applicando,
allora, il teorema delle convergenza dominata, si ha
Z +∞
Z +∞
Z
lim
φn (x) dx =
lim φn (x) dx =
n→+∞ 0
0
n→+∞
+∞
|f (x)| dx.
0
Ma, d’altra parte:
Z
+∞
lim
n→+∞ 0
= lim
n→+∞
n Z
X
k=0
Z
φn (x) dx = lim
n→+∞ 0
(k+1)π
|f (x)| dx =
kπ
+∞ Z
X
n
|f (x)| dx
(n+1)π
|f (x)| dx = +∞,
n=0 nπ
come si `e visto dai calcoli precedenti.
Testo adottato:
PS2: C.D. Pagani, S. Salsa - Analisi Matematica Vol. 2 - ZANICHELLI.
In queste dispense sono riportate anche alcune dimostrazioni che non saranno oggetto della prova orale. La dimostrazione `e richiesta per propriet`a
e/o teoremi che, nel programma dettagliato, sono seguiti da (c.d.) (che sta,
appunto, per 00 con dimostrazione00 ).
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