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ESERCIZI DI ANALISI REALE - SECONDA PARTE
CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA, A.A. 2014-2015
ROMA - SAPIENZA
LUCA FANELLI
1. Misure complesse e Lebesgue-Radon-Nikodym
Esercizio 1. Dimostrare che, se µ è una misura complessa su uno spazio misurabile
(X, B), allora B 3 E 7→ |µ(E)| ∈ [0, +∞] non definisce, in generale, una misura
positiva su (X, B).
Esercizio 2. Sia µ una misura complessa su uno spazio misurabile (X, B) e sia
λ : B → [0, +∞] una misura positiva, tale che |µ(E)| ≤ λ(E), per ogni E ∈ B.
Dimostrare che, per ogni E ∈ B, si ha che
|µ(E)| ≤ |µ|(E) ≤ λ(E).
Dimostrare inoltre che, se µ : B → [0, +∞], allora |µ| = µ.
Esercizio 3. Dimostrare, con un esempio, che se µ è una misura positiva su uno
spazio misurabile (X, B), allora può accadere che |µ|(X) = ∞.
Esercizio 4. Sia (X, B) uno spazio misurabile. Si denoti con M(B; C) := {µ : B →
C misura}e, per ogni µ ∈ M(B; C), si denoti con kµk := |µ|(X). Dimostrare che
(M(B; C); k · k) è uno spazio normato.
Esercizio 5. Sia (X, B) uno spazio misurabile, sia µ : B → R una misura. Si
provino le seguenti affermazioni:
(i) µ± sono misure positive e limitate su (X, B) (ovvero µ± (X) < ∞);
(ii) valgono le seguenti identità:
µ = µ+ − µ− ,
|µ| = µ+ + µ− .
L’identità µ = µ+ − µ− è detta decomposizione di Jordan della misura µ. Essa
afferma che ogni misura reale con segno non costante è differenza di due misure
positive e limitate.
Esercizio 6. Sia (X, B) uno spazio misurabile e siano x0 , x1 ∈ X, con x0 6= x1 .
Dimostrare che la misura delta di dirac δx0 è concentrata su {x0 }. Dimostrare
inoltre che δx0 ⊥ δx1 .
Esercizio 7. Sia E ⊂ Rd un insieme Lebesgue-trascurabile. Dimostrare che la
misura di Lebesgue è concentrata su R \ E.
P
Esercizio 8. Sia {xn }n∈N ⊂ Rd e si consideri la misura µ := n∈N δxn . Dimostrare
che µ ⊥ md , dove md è la misura di Lebesgue in Rd .
Esercizio 9. Sia (X, B) uno spazio misurabile, siano λ, λ1 , λ2 tre misure arbitrarie
su B (complesse, reali o positive) e sia µ : B → [0, +∞] una misura positiva su B.
Dimostrare le seguenti affermazioni:
(i) se A ∈ B tale che λ è concentrata in A, allora |λ| è concentrata su A;
(ii) se λ1 ⊥ λ2 , allora |λ1 | ⊥ |λ2 |;
Date: 15 dicembre 2014.
1
2
LUCA FANELLI
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
se
se
se
se
se
λ1 ⊥ µ e λ2 ⊥ µ, allora λ1 + λ2 ⊥ µ;
λ1 << µ e λ2 << µ, allora λ1 + λ2 << µ;
λ << µ, allora |λ| << µ;
λ1 << µ e λ2 ⊥ µ, allora λ1 ⊥ λ2 ;
λ << µ e λ ⊥ µ, allora λ = 0.
Esercizio 10. Sia X = {1, 2, . . . , n}, si consideri lo spazio misurabile (X, 2X ) e le
due misure
n
n
X
X
1
# :=
δi .
δi ,
λ :=
i
i=1
i=1
Dimostrare che λ << # << λ e calcolare le derivate di Radon-Nikodym
dλ
d#
e
d#
dλ .
Esercizio 11. Si consideri lo spazio di misura di Lebesgue (Rd , L[Rd ], m) e, per
ogni E ∈ L[Rd ], si definiscano
Z
Z
d+2
2
λ(E) :=
e−|x| dm,
µ(E) :=
(1 + |x|2 )− 2 dm.
E
E
(i) Dimostrare che λ, µ : L[Rd ] → [0, +∞) sono misure positive e limitate su
L[Rd ], tali che λ << µ << m << λ.
dλ
(ii) Calcolare le derivate di Radon-Nikodym dµ
e dµ
dλ .
2. Misure prodotto e Teorema di Fubini
Definizione 2.1 (Misura prodotto). Siano (X, B1 , µ) ed (Y, B2 , λ) due spazi di
misura, con µ, λ positive e σ-finite. Per ogni Q ∈ B1 × B2 , definiamo
Z
Z
(2.1)
(µ × λ)(Q) :=
λ(Qx ) dµ =
µ(Qy ) dλ,
X
Y
con Qx := {y ∈ Y : (x, y) ∈ Q}, Qy := {x ∈ X : (x, y ∈ Q)}.
Esercizio 12. Dimostrare che (µ × λ) è una misura positiva e σ-finita su (X ×
Y, B1 × B2 ). Essa è denominata misura prodotto delle misure µ e λ.
Esercizio 13. Si consideri lo spazio di misura di Lebesuge (Rd , L[Rd ], md ), in
dimensione d > 1. Dimostrare che, per ogni k, h ≥ 1 tali che k + h = d, si ha
Rd , L[Rd ], md = Rk × Rh , L[Rk ] × L[Rh ], (mk × mh ) .
Esercizio 14 (Fubini). Siano (X, B1 , µ) ed (Y, B2 , λ) due spazi di misura, con µ, λ
positive e σ-finite, sia f ∈ L1 (X × Y ) e si denotino con
Z
Z
y
(2.2)
fx (y) = f (x, y) = f (x),
ϕ(x) :=
fx dλ,
ψ(y) :=
f y dµ.
Y
X
Dimostrare che fx ∈ L1 (λ), per µ-q.o. x ∈ X, f y ∈ L1 (µ), per λ-q.o. y ∈ Y e che
vale l’identità1
Z
Z
Z
ϕ dµ =
f d(µ × λ) =
ψ dλ.
X
X×Y
Y
Esercizio 15. Sia X = Y = [0, 1], m la misura di Lebesgue su R e sia f (x, y) =
R
1+x2
(1+y 2 ) . Calcolare I = X×Y f d(m × m).
Esercizio 16 (f ∈
/ L1 (µ × λ)-take 1). Sia X = Y = [0, 1], m la misura di Lebesgue
x−y
su R e sia f (x, y) = (x+y)
3.
(i) Dimostrare che f ∈
/ L1 (X × Y, m × m).
1Suggerimento: è sufficiente considerare il caso in cui f : X ×Y → R, dato che f = <f +i=f .
Quindi, scrivere f = f + − f − ed applicare il punto (i) del Teorema di Fubini ad f + ed f− .
ANALISI REALE
3
(ii) Dimostrare che
Z 1 Z 1
Z 1 Z 1
1
1
f (x, y) dm(y) dm(x) = − 6= =
f (x, y) dm(x) dm(y).
2
2
0
0
0
0
Esercizio 17 (f ∈
/ L1 (µ×λ)-take 2). Sia X = Y = [0, 1] e sia µ = λ = m la misura
di Lebesgue. Sia {δn }n∈N ⊂ [0, 1] una successione tale che δn → 1, per n → ∞, e
R1
sia gn ∈ C([0, 1]; R tale che suppg ⊂ (δn , δn+1 ), 0 gn (s) ds = 1, per ogni n ∈ N.
P∞
Infine, si denoti con f (x, y) = n=1 [gn (x) − gn+1 (x)]gn (y).
R 1 R 1
(i) Dimostrare che 0 0 |f (x, y)| dy dx = +∞.
R 1 R 1
R 1 R 1
(ii) Dimostrare che 0 0 f (x, y) dy dx = 1 6= 0 = 0 0 f (x, y) dx dy.
Esercizio 18. Sia X = Y = [0, 1], sia µ = m la misura di Lebesgue e λ = # la
misura della cardinalità. Sia f = χx=y , ovvero f (x, y) = 0, se x 6= y, f (x, y) = 1,
se x = y.
(i) Dimostrare che f è µ × λ-misurabile.
(ii) Dimostrare che
Z 1 Z 1
Z
f (x, y) dλ(y) dµ(x) = 1 6= 0 =
0
0
0
1
Z
1
f (x, y) dµ(x)
dλ(y).
0
Qual è l’ipotesi del Teorema di Fubini che non viene verificata?
3. Teorema di Marcinkievicz e funzioni massimali
Esercizio 19. Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con µ : B → [0, +∞] misura
positiva e sia f : X → C una funzione misurabile. Dimostrare o confutare le
seguenti proprietà:
(i) λ1 < λ2 ⇒ m(λ1 , f ) ≥ m(λ2 , f );
(ii) se f ∈ C(X; C), allora limλ→λ+
m(λ, f ) = m(λ0 , f ), per ogni λ0 ∈ R;
o
m(λ, f ) = m(λ0 , f ), per ogni λ0 ∈ R.
(iii) se f ∈ C(X; C), allora limλ→λ−
o
Esercizio 20. Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con µ : B → [0, +∞] misura
positiva e siano f, g : X → C due funzioni misurabili. Dimostrare che, per ogni
λ ∈ R,
λ
λ
(3.1)
m(λ, f + g) ≤ m
,f + m
,g .
2
2
Esercizio 21 (Disuguaglianza di Tchebychev). Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con µ : B → [0, +∞] misura positiva e sia f ∈ Lp (µ). Dimostrare la
disuguaglianza di Tchebychev
(3.2)
m(λ, f ) ≤ λ−p kf kpLp ,
(λ > 0).
Esercizio 22. Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con µ : B → [0, +∞] misura
positiva e siano f, g : X → C due funzioni misurabili. Dimostrare le seguenti
proprietà:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
per ogni p ∈ [1, ∞], kf kp,p = kf kLp e, di conseguenza, Lp,p = Lp ;
per ogni p ∈ (1, ∞), 1 ≤ q1 < q2 ≤ ∞, Lp,q1 ⊂ Lp,q2 ;
esiste k = k(p, q) ≥ 1 tale che kf + gkp,q ≤ k (kf kp,q + kgkp,q ).2
se f ∈ Lp,q , allora |f (x)| < ∞ per µ-quasi ogni x ∈ X.
2Suggerimento: usare (3.1)
4
LUCA FANELLI
Esercizio 23 (Riarrangiamenti sferici). Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con
µ : B → [0, +∞] misura positiva e sia f : X → C una funzione misurabile. Si
definisca il riarrangiamento sferico
f ? : [0, +∞] → [0, +∞],
f ? (λ) := inf{t ≥ 0 : m(t, f ) ≤ λ},
Dimostrare le seguenti proprietà:
(i) La funzione |f | ed il suo riarrangiamento f ? (λ) sono equi-misurabili, ovvero
m(λ, f ) = m(λ, f ? ), per ogni λ ∈ R;
(ii) gli spazi Lp,q definiti con i sopra-livelli o con i riarrangiamenti sferici coincidono.
Esercizio 24. Dimostrare che la funzione f (x) = |x|−γ , con 0 < γ < d, è tale che
d
d
/ L γ (Rd ). Costruire, inoltre, una funzione f ∈ L1,73 (R3 ) tale
f ∈ L γ ,∞ (Rd ), ma f ∈
che, per ogni q ∈ [1, 73), f ∈
/ L1,q .
Esercizio 25. Mostrare due funzioni f, g ∈ L2,∞ (R3 ) tali che f g ∈
/ L1 .
Esercizio 26. Mostrare due funzioni f ∈ L2,∞ (R), g ∈ L2 (R) tali che f g ∈
/ L1 .
Esercizio 27 (Interpolazione debole-debole). Siano 1 ≤ p0 < p1 < ∞; dimostrare
che
Lp0 ,∞ ∩ Lp1 ,∞ ⊂ Lpθ ,∞ ,
per ogni pθ ∈ [p0 , p1 ].
Esercizio 28 (Interpolazione debole-forte). Siano 1 ≤ p0 < p1 < ∞; dimostrare
che
(3.3)
Lp0 ,∞ ∩ Lp1 ,∞ ⊂ Lpθ ⊂ Lpθ ,∞ ,
per ogni pθ ∈ [p0 , p1 ].
Suggerimenti. Per risolvere l’Esercizio 27, si osservi che, per ipotesi,
M0p0
M1p1
,
m(λ,
f
)
≤
,
λp0
λ p1
per qualche costante M0 , M1 e per ogni λ ∈ R. Usando un’elementare disuguaglianza di convessità, è sufficiente provare che
m(λ, f ) ≤
Mθpθ
.
λ pθ
Per risolvere l’Esercizio 28, bisogna migliorare l stima (3.4). Denotando con λ0
p
p
M 0
M 1
l’unico valora per cui λp00 = λp11 , si dimostri che vale la stima più forte
Mθpθ
λ λ0
(3.5)
m(λ, f ) ≤ p min
,
,
λ θ
λ0 λ
m(λ, f ) ≤
(3.4)
per ogni λ ∈ R e per qualche > 0. Inserendo (3.5) in (??), si ottenga la stima
kf kLpθ ≤ Cp0 ,p1 ,θ, Mθ
e si concluda la dimostrazione.
Esercizio 29. Sia (X, B, µ) uno spazio di misura, con µ : B → [0, +∞] misura
positiva sia T un operatore sub-lineare definito sulle funzioni misurabili f : X → C.
Dimostrare le seguenti proprietà:
(i) sia (p, q) 6= (∞, ∞); T è di tipo forte (p, q) ⇒ T è di tipo debole (p, q);
(ii) T è di tipo forte (∞, ∞) se e solo se T è di tipo debole (∞, ∞).
Esercizio 30. Dimostrare che la funzione massimale di Hardy-Littlewood è un
operatore sub-lineare.
ANALISI REALE
5
Esercizio 31. Esistono due costanti 0 < cd < Cd , dipendenti solo dalla dimensione
d, tali che
(3.6)
cd M 0 f (x) ≤ M f (x) ≤ Cd M 0 f (x),
per ogni f ∈ L1loc (Rd ) e per ogni x ∈ Rd .
S
Esercizio 32. Sia P ⊂ Qk e sia Rd ⊃ Ω = Q∈P Q. Dimostrare che
Z
Z
(3.7)
Ek f (x) dx =
f (x) dx.
Ω
Ω
Esercizio 33. Sia 0 ≤ f ∈ L1 (Rd ). Dimostrare che, per ogni x ∈ Rd ,
lim Ek f (x) = 0.
(3.8)
k→−∞
Esercizio 34. Sia E ⊂ Rd un insieme Lebesgue-Misurabile. Dimostrare che quasi
ogni punto di E è di densità per E e quasi ogni punto di E c non è di densità per
E.
Esercizio 35. Sia f (x) =
L1loc (R).
1
χ 1.
x log2 x (0, 2 ]
Provare che f ∈ L1loc (R) e che Mf ∈
/
4. Funzioni BV , AC, Teorema FOndamentale del Calcolo
Esercizio 36 (Teorema di Cousin3). Sia δ : [a, b] → (0, +∞) una funzione.
Esistono una partizione a = t0 < t1 < · · · < tn = b di [a, b] ed una famiglia
{t?j }j=1,...n con t?j ∈ [tj−1 , tj ] tali che
tj − tj−1 ≤ δ(t?j ),
∀j = 1, . . . , n.
La funzione δ è di solito denominata funzione di gauge.
Esercizio 37. Sia U ⊂ R un aperto. Dimostrare che esiste unaS successione di
intervalli aperti In = (an , bn ), a due a due disgiunti, tali che U = n In ed inoltre
an , bn ∈
/ U , per ogni n.
Esercizio 38 (Funzione di Weierstrass). Sia F : R → R la seguente funzione
∞
X
F (x) :=
4−n sin(8n πx).
n=1
Dimostrare le seguenti proprietà:
(i) F è continua e limitata su R; (ii) In ogni intervallo della forma 8jn , j+1
8n , con n ≥ 1, j ∈ Z, vale la stima
F j + 1 − F j ≥ c4−n ,
8n
8n per una costante assoluta c > 0;
(iii) F non è derivabile in nessun punto x ∈ R.4
Esercizio 39. Dimostrare che ogni funzione monotona F : R → R è Lebesguemisurabile.
Esercizio 40. Sia F : R → R una funzione monotona. Dimostrare che le derivate
del Dini di F sono funzioni misurabili.
Esercizio 41. Sia F : R → R. Dimostrare che F è derivabile in x se e soltanto se
(4.1)
D+ F (x) = D+ F (x) = D− F (x) = D− F (x) ∈ (−∞, +∞).
3Suggerimento. Usare la compattezza di [a, b] per estrarre ricoprimenti finiti da ricoprimenti
aperti e quindi invocare la versione 1D del Lemma di RIcoprimento di Besicovitch-Morse
4Suggerimento: procedere per assurdo, utilizzando il punto (ii)
6
LUCA FANELLI
Esercizio 42. Sia F : [a, b] → R una funzione derivabile quasi ovunque in [a, b],
con derivata F 0 . Provare che F 0 è misurabile. In particolare, se F è monotona,
provare che la derivata quasi ovunque F 0 è positiva e misurabile.
Esercizio 43. Sia F : [a, b] → R una funzione monotona. Dimostrare che
kF kBV = |F (b) − F (a)|
e che F ∈ BV se e soltanto se F è limitata.
Esercizio 44. Si consideri la funzione di Cantor-Vitali F (x) = limn Fn (x), con

1

0 ≤ x < 31
 2 Fn (3x),
1
2
F0 (x) := x;
Fn+1 (x) := 12 ,
3 ≤x< 3

1 1
2
2 + 2 Fn (3x − 2),
3 ≤ x ≤ 1.
Dimostrare che F è continua e monotona in [0, 1], quindi F ∈ BV ([0, 1]) e kF kBV ([0,1]) =
1.
Esercizio 45. Dimostrare la disuguaglianza triangolare
kF + GkBV ≤ kF kBV + kGkBV
e l’omogeneità kλF kBV = |λ|kF kBV , per ogni λ ∈ R. Dimostrare inoltre che
kF kBV = 0 se e soltanto se F è costante.
Esercizio 46. Sia F : [a, b] → R e sia c ∈ [a, b]. Dimostrare che
kF kBV ([a,b]) = kF kBV ([a,c]) + kF kBV ([c,b]) .
Esercizio 47. Dimostrare che ogni funzione F ∈ BV (R) è limitata e che esistono
i limiti di F , quando x → ±∞. Mostrare inoltre un esempio di funzione continua
a supporto compatto in R che non è in BV .
Esercizio 48. Sia F : R → R una funzione T − periodica, con periodo T > 0, tale
che F ∈ BV . Dimostrare che F è costante.
Esercizio 49 (Derivabilità di funzioni Lipschitziane). Una funzione F : R →
R è lipschitziana se esiste una costante L > 0 tale che, per ogni x, y ∈ R,
|F (x) − F (y)| ≤ L|x − y|.
Dimostrare che ogni funzione lipschitziana è derivabile quasi ovunque.
Esercizio 50 (Derivabilità di funzioni convesse). DImostrare che ogni funzione convessa (rispettivamente, concava) f : R → R è derivabile due volte quasi
ovunque.5
Esercizio 51. Si dimostri che la funzione di Cantor-Vitali F è derivabile quasi
ovunque, con derivata F 0 ≡ 0. In particolare,
Z 1
1 = F (1) − F (0) 6=
F 0 (x) dx = 0.
0
Esercizio 52. Sia F : R → R una funzione T − periodica, con periodo T > 0, tale
che F (x2 ) è uniformemente continua su R. Dimostrare che F è costante.
Esercizio 53. Dimostrare che la derivata quasi ovunque F 0 di una funzione F ∈
BV è tale che F 0 ∈ L1loc .
5Suggerimento: disegnate un grafico convesso insieme ad un numero finito di corde e segmenti
tangenti, per avere intuizione di ciò che accade.
ANALISI REALE
7
Esercizio 54. Sia F : [a, b] → R una funzione lipschitziana (quindi derivabile quasi
ovunque, con derivata misurabile). Allora6
Z
F 0 (x) dx = F (b) − F (a).
[a,b]
Esercizio 55 (Integrazione per parti in Lipschitz). Siano F, G : [a, b] → R due
funzioni Lipschitziane. DImostrare che7
Z
Z
F 0 G dx = F (b)G(b) − F (a)G(a) −
F G0 dx.
[a,b]
[a,b]
Esercizio 56. Dimostrare che ogni funzione F ∈ AC è uniformemente continua (e
quindi continua).
Esercizio 57. Sia F ∈ AC; dimostrare che F ∈ BV ([a, b]), per ogni intervallo
compatto [a, b]-8
Esercizio 58. Dimostrare che ogni funzione lipschitziana è assolutamente continua
ed in partocolare, ogni funzione di classe C 1 è assolutamente continua.
√
Esercizio 59. Dimostrare che la funzione F (x) = x è assolutamente continua in
[0, 1], ma non lipschitziana.
Esercizio 60. Dimostrare che la funzione di Cantor-Vitali è uniformemente continua in [0, 1], ma non assolutamente continua.
5. Estemporanei
Esercizio 61. Costruire una funzione bigettiva f : R → R, continua in 0, tale che
l’inversa f −1 è discontinua in 0.
Esercizio 62. Dimostrare che f (x) =
sin x
x ,
con f (0) := 1, è lipschitziana su R.
Esercizio 63. Sia f ∈ C ∞ (R), tale che f (0) = 0. Dimostrare che la funzione
∞
g(x) = f (x)
x , definita in R \ {0}, può essere estesa ad una funzione di classe C (R).
` di Roma, Dipartimento di Matematica, PiazLuca Fanelli: SAPIENZA UniversitA
zale A. Moro 2, I-00185 Roma, Italy
E-mail address: [email protected]
6Suggerimento: ragionare come nella Proposizione ?? ed usare il Teorema della Convergenza
Dominata invece del Lemma di Fatou.
7Suggerimento: provare dapprima che il prodotto di due funzioni Lipschitziane è ancora una
funzione lipschitziana
8Suggerimento: dimostrare dapprima che la proprietà è vera per ogni intervallo di lunghezza
sufficientemente piccola.

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