Metodi Statistici: esempi di domande ed esercizi
Nome Cognome:
Numero di matricola:
Domande a risposta multipla
Domanda 1. Vengono rilevate le altezze di 10 studenti: i 6 studenti con iniziale in A-M hanno un’altezza
media di 1.6 metri e i 4 studenti con iniziale in N-Z hanno un’altezza media di 1.8 metri. L’altezza media dei
10 studenti allora `e uguale a metri
a) 16.8
b) non `e determinabile con i dati a nostra disposizione
c) 1.68
d) 1.7
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Domanda 2. La frequenza relativa della modalit`a a dei dati rappresentati nel diagramma a barre `e
a
b
c
a) 0.45
b) 0.3
c) 0.2
d) non `e possibile determinarla solo dal grafico in questione
d
Domanda 3. Sia X ∼ N (8, 12) e Y ∼ N (2, 3), indipendente da X. Allora la variabile aleatoria Z = X/2+Y +1
ha distribuzione
a) N (7, 10)
b) N(7, 6)
c) N (7, 9)
d) N (5, 10)
e) N (7, 7)
Domanda 4.
1) A parit`
a di altre circostanze, l’ampiezza dell’intervallo di confidenza con livello di confidenza 1 − α per la
media µ di una popolazione `e tanto maggiore quanto minore `e il valore di α.
2) Il livello di significativit`
a α in una verifica d’ipotesi indica la probabilit`a di rifiutare l’ipotesi nulla quando
questa `e falsa.
Le precedenti due affermazioni sono:
a) 1) Vera
2) Falsa
b) 1) Vera
2) Vera
c) 1) Falsa
2) Vera
d) 1) Falsa
2) Falsa
Domanda 5. Siano T1 e T2 due stimatori non distorti per uno stesso paramtero θ. T1 `e meno efficiente di T2
quando
a) E[T1 ] < E[T2 ]
b) V ar[T1 ] < V ar[T2 ]
c) T1 < T2
d) Var[T1 ] > Var[T2 ]
Domanda 6. L’affermazione: ”La modalit`a A del carattere X `e presente in 0.35% della popolazione” significa
che
a) la frequenza assoluta della modalit`
a A `e 35
b) la frequenza relativa della modalit`
a A `e 0.35
c) la frequenza relativa della modalit`
aA`
e 0.0035
d) ogni 100 persone 35 possiedono la modalit`a A
Esercizi
1. Si vuole verificare l’efficacia di 3 diversi spot A,B,C per un prodotto rilevando le vendite nella settimana
successiva alla messa in onda e si sono ottenuti i seguenti risultati
"A":
5.66 11.03 14.71 16.11
"B": 22.13 22.18 21.33 20.72 19.22
"C":
9.36 10.81 12.41 16.43 14.17 15.75
a) Calcolare la statistica test per verificare se le vendite medie variano in funzione dei diversi spot.
SOL: Foss = 13.23757
b) Calcolare il p-value della verifica d’ipotesi.
SOL: P r[F2,12 > 13.23757]
2. In un’azienda si producono bulloni utilizzando due diverse macchine A e B e una volta prodotti i bulloni
vengono immagazzinati senza distinguerne l’origine.
La macchina A produce 1% di bulloni difettosi mentre la macchina B ne produce 4%. La produzione giornaliera
delle due macchine `e di nA = 350 bulloni per la macchina A e di nB = 450 bulloni per la macchina B.
a) Calcolare la probabilit`
a di estrarre a fine giornata un bullone difettoso fra tutti quelli prodotti.
SOL: 0.026875
b) Sapendo che un bullone `e difettoso, con che probabilit`a `e stato prodotto dalla macchina A?
SOL: 0.1627907
c) Sapendo che un bullone `e non difettoso, con che probabilit`a `e stato prodotto dalla macchina A?
SOL: 0.4450867
3. Si considerino i seguenti due campioni A e B
A:
B:
37.62 37.63 38.61 35.86 33.87 40.99 36.18
31.48 35.02 29.46 33.99 32.14 30.27
2
2
estratti, rispettivamente, da una popolazione N (µA , σA
) e N (µB , σB
).
a) Si costruisca l’intervallo di confidenza per µA di livello 1 − α = 0.99.
SOL: (34.08587, 40.41698)
b) Si verifichi l’ipotesi H0 : µB = 28 contro H1 : µB > 28 con un livello di significativit`a α = 0.05.
SOL: toss = 4.657814, t5,0.95 = 2.015048
c) Si verifichi l’ipotesi dell’uguaglianza delle 2 medie H0 : µA = µB contro H1 : µA 6= µB con un livello di
significativit`
a α = 0.01.
SOL: toss = 4.234592, t11,0.995 = 3.105807
4. Si consideri il modello di regressione lineare Yi = a + bxi + εi . Si sono rilevate le seguenti n = 8 osservazioni
{(yi , xi )}i=1,...,8 :
y:
9.9 21.4 16.8
5.3
2.8 11.2 10.3 12.7
x: -5
-13
-11
-5
-1
-7
-6
-4
a) Calcolare le stime dei minimi quadrati dei parametri della retta di regressione.
ˆb = −1.396154
SOL: a
ˆ = 2.225
b) Calcolare la devianza residua e R2 e commentare il valore ottenuto.
SOL: SQE2 = 42.71846
R2 = 0.8259515
c) Verificare l’ipotesi nulla H0 : b = 0 tramite la statistica test t ad un livello di significativit`a α = 0.05.
SOL: toss = −5.336024
t6,0.975 = 2.446912
5. Si consideri la seguente tabella a doppia entrata delle frequenze assolute per la coppia di caratteri X e Y .
nij
x1
X x2
x3
ni·
y1
4
3
5
12
Y
y2
6
2
7
15
y3
5
8
2
15
n·j
15
13
14
42
a) Calcolare il valore della statistica test per verificare l’ipotesi di indipendenza fra i due caratteri.
SOL: χ2oss = 7.03923
b) Come si calcola il livello di significativit`a osservato per la verifica d’ipotesi del punto a)?
SOL: αoss = P r[χ24 > 7.03923]
6. Si consideri il seguente insieme di dati
27.5 16.1 20.9 36.1 15.5 30.3 32.8 20.9 18.0 24.9 28.0 36.2 26.5 23.2 27.7
a) Calcolare media aritmetica e varianza.
SOL: xn = 25.64
2
σ
ˆX
= 40.7704
b) Completare la tabella di frequenze per la seguente suddivisione in classi e disegnare l’istogramma corrispondente (ni = freq. ass., fi = freq. rel., Fi = freq. rel. cumulate, di = densit`a ).
Classi
[10, 20]
(20, 25]
(25, 40]
ni
Classi
[10, 20]
(20, 25]
(25, 40]
fi
ni
3
4
8
fi
0.2
0.26
0.53
Fi
Fi
0.2
0.46
1
di
di
0.02
0.053
0.035
0.03
0.02
0.01
0.00
Density
0.04
0.05
Histogram of x
10
15
20
25
x
30
35
40
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