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Linguaggi logici
Linguaggi artificiali congegnati per esprimersi
senza ambiguità, vaghezza, dipendenza dal
contesto. Servono a rendere completamente
esplicita la struttura dei nostri enunciati e a
facilitare la determinazione dei nessi
inferenziali.
Si distribuiscono in una gerarchia di
complessità.
Linguaggi logici più semplici:
- Linguaggio proposizionale (o enunciativo)
- Linguaggio predicativo del primo ordine
Logica formale
• È lo studio delle forme (o schemi)
argomentative, che sono comuni a molti
diversi argomenti
• Alcuni argomenti sono validi
indipendentemente dal contenuto delle
premesse e della conclusione (es. modus
ponens, modus tollens).
• Se Alessandra va alla festa, ci va anche
Giulia; Alessandra va alla festa. Quindi Giulia
va alla festa.
• Se piove, non vengo. Sta piovendo, quindi
non vengo.
• Se oggi è lunedi, devo andare dal dentista;
oggi è lunedi, quindi devo andare dal
dentista.
Forma generale:
A  B, A
________
B
Logica proposizionale
L’unità di analisi è la proposizione. Non si entra
nel merito dei suoi costituenti.
Si studiano le condizioni alle quali una o più
proposizioni ne implicano un’altra (e più in
generale i tipi di relazione tra proposizione) in
relazione alla forma (congiunzione,
disgiunzione, condizionale ecc.) delle due
proposizioni.
Linguaggio proposizionale
(linguaggio della logica proposizionale)
ALFABETO
i) Un insieme di lettere proposizionali: P, Q, R, …
ii) Un insieme di connettivi o operatori logici:
¬ (‘non’) & (‘e’) v (‘o’)  (‘se… allora’)
 (‘se e solo se’)
iii) Le parentesi: ( )
REGOLE DI BUONA FORMAZIONE
i) Ogni lettera proposizionale è una formula ben formata (fbf)
ii) Se P è una fbf, anche ¬ P è una fbf; Se P e Q sono fbf, anche
P&Q, PvQ, PQ, PQ sono fbf
(iii. nient’altro è una fbf)
Formalizzazione
È la traduzione di uno o più enunciati dell’italiano (o di un altro
linguaggio naturale) negli enunciati del linguaggio proposizionale.
Da ricordare:
•
La disgiunzione in logica formale è inclusiva:
A v B = A o B o entrambi;
Ma nell’italiano ordinario l’interpretazione è a volte esclusiva: A o B = o
A o B ma non entrambi.
Esempi:
(I) Il candidato deve avere una laurea in ingegneria o cinque anni di
esperienza come programmatore.
(E) Il candidato deve essere cittadino italiano o avere permesso di
soggiorno valido.
•
Il condizionale in logica formale (A  B) è vero anche se
l’antecedente è falso.
* Si parla di condizionale materiale per distinguerlo
dall’implicazione ordinaria che spesso assume la verità
dell’antecedente.
Formalizzazione: esercizi
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Solo se lei è bugiarda lui è competente
Malgrado lui sia molto competente, lei lo evita
Paola andrà alla festa, ma Quinto no
Paola andrà alla festa se e solo se ci andrà anche Quinto
Né Paola né Quinto andranno alla festa
Paola non andrà alla festa se ci andrà Quinto
O Paola andrà alla festa oppure ci andranno Riccardo e
Quinto
Se né Riccardo né Quinto andranno alla festa, allora ci
andrà Paola
Se sta sia nevicando che piovendo, allora sta nevicando
Se non sta piovendo, allora non è vero che sta sia
nevicando che piovendo
O sta piovendo, o sta sia nevicando che piovendo
O sta sia piovendo che nevicando, o sta nevicando ma
non piovendo
Formalizzazione di un argomento
a) associare a ogni proposizione semplice una lettera
proposizionale e a ogni proposizione complessa l’appropriata
combinazione di lettere proposizionali
b) mettere l’argomento in forma esplicita
c) separare le premesse dalla conclusione in forma verticale
o orizzontale, usando l’indicatore inferenziale (di
conclusione) appropriato:
- forma orizzontale : segno di asserzione ├
- forma verticale: linea di separazione ___
Es.
A, AB
______
B
A, AB ├ B
Formalizzazione: esercizi
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•
•
Dio non esiste, perché, se Dio esiste, la vita ha senso.
La vita invece non ha senso.
Se l’aereo non fosse precipitato, avremmo avuto qualche
contatto radio. Non abbiamo avuto alcun contatto radio
con l’aereo, quindi è precipitato.
La domanda per la borsa di studio è già stata spedita. Se
i commissari la ricevono per venerdi, la prenderanno in
considerazione; quindi la prenderanno in considerazione,
poiché, se la domanda è già stata spedita, la riceveranno
per venerdi.
O lei non è a casa o non risponde al telefono; ma, se lei
non è a casa, allora è stata rapita e, se non risponde al
telefono, si trova in qualche altro pericolo. Quindi, o è
stata rapita o si trova in qualche altro pericolo.
Sintassi e semantica
SINTASSI: insieme delle regole di buona
formazione e (in un senso più ampio) delle
regole di inferenza
SEMANTICA: valore di verità di una fbf. Più in
generale, è la specificazione di quali valori di
verità assumono le fbf complesse in funzione
dei valori di verità assunti dalle fbf costituenti.
Principio di bivalenza
Ci sono due soli valori di verità (Vero e Falso), e
ogni fbf ha (se ce l’ha) un unico valore di verità.
 se una fbf è vera, non può essere falsa, e
viceversa.
Ci sono logiche non bivalenti (= che non si
conformano al principio di bivalenza), ma noi
non ce ne occupiamo.
(es. logica trivalente: Vero, Falso, Né Vero né
Falso)
Assioma del terzo escluso
A v ~A
(= una fbf deve avere un valore di verità, il vero oppure il
falso)
L’assioma del terzo escluso presuppone il principio di
bivalenza (se ci fossero più valori di verità, il terzo
escluso sarebbe falso), ma non è implicato dalla
bivalenza, che è compatibile con la possibilità che una
fbf non riceva un valore di verità (un conto è dire che
una proposizione non ha valore di verità, e un altro è
dire che ha un terzo valore di verità, il né vero né falso).
Nella logica classica valgono sia la bivalenza che il terzo
escluso.
Ancora sul principio di bivalenza
•
•
La bivalenza non può essere espressa in un
linguaggio logico, perché è un principio
metalogico. Se non si adotta tale principio, si
ottiene una logica diversa dalla logica classica
(che ci siano solo il vero e il falso è un
presupposto della logica standard, è un fatto
espresso dalla notazione stessa: scrivere A è la
stessa cosa che scrivere “A è vero”).
Rifiutare la bivalenza equivale ad ammettere
più valori di verità (p. es. verità assoluta, verità
probabile, falsità probabile, falsità assoluta).
Studio della validità
•
METODI SEMANTICI
– Tavole di verità
– Alberi di refutazione
•
METODI SINTATTICI (FORMALI, NON
SEMANTICI)
– Metodo delle regole di inferenza:
Calcolo Proposizionale
P Q P&Q
P Q PvQ
P Q P Q
V
V
F
F
V V
V
V V
V
V F
V
V F
F
F V
F F
V
F
F V
V
F F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
P Q P Q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
P
~P
V
F
F
V
Limiti della logica proposizionale
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è uomo
______________
Socrate è mortale
P, Q ├ R
???
 Ci sono argomentazioni molto semplici che non possono
essere formalizzate nella logica proposizionale (perché
la validità dell’argomento dipende dalle relazioni che
sussistono tra i costituenti delle proposizioni).
Un linguaggio con più risorse espressive
 Ci serve un linguaggio in cui sia possibile:
1) Riferirsi a proprietà e a individui (oggetti particolari)
2) Fare affermazioni particolari o universali, senza
necessariamente far riferimento a individui specifici (=
usare pronomi e aggettivi indefiniti)
Argomenti che possiamo esprimere con un
linguaggio più potente
Fido è un cane, quindi ho almeno un amico fedele.
Qualche mammifero è carnivoro; tutti i carnivori sono
predatori; quindi qualche mammifero è predatore.
Nessuno dei referendum darà gli esiti desiderati. Quindi,
ogni referendum darà esiti indesiderati.
Gianni è più alto di Luca, Luca è più alto di Andrea; quindi
Gianni è più alto di Andrea.
Luca è più alto di Andrea. Quindi c’è qualcuno che è più alto
di Andrea.
Linguaggio predicativo
(linguaggio della logica predicativa del primo ordine)
ALFABETO
i) Un insieme di variabili (individuali): x, y, z, …
ii) Un insieme di costanti individuali: a, b, c, …
iii) Un insieme di costanti predicative: A, B, C, …
iv) Un insieme di connettivi o operatori logici:
¬ & v  
v) Due simboli detti quantificatori: " (= per ogni), $ (= esiste)
vi) Le parentesi: ( )
più, eventualmente:
vii) il simbolo = (l’identità)
INTERPRETAZIONE DELL’ALFABETO
Intuitivamente:
VARIABILI = PRONOMI (indeterminati)
COSTANTI INDIVIDUALI = NOMI PROPRI (e, con una grossa
semplificazione, descrizioni definite)
COSTANTI PREDICATIVE = PREDICATI e RELAZIONI: VERBI, NOMI
COMUNI, AGGETTIVI
QUANTIFICATORI = ‘tutti’, ‘qualcuno/qualcosa’
CONNETTIVI = come nel linguaggio proposizionale
Le costanti sono simboli extralogici. Variabili, quantificatori e connettivi
sono simboli logici. Variabili e costanti individuali sono dette termini
del linguaggio.
Linguaggio predicativo
(segue)
DEFINIZIONE DI FORMULA (ben formata)
i. Definiamo formula atomica un’espressione Pt1, … tn
(dove P è un simbolo predicativo e ti è un termine,
cioè una costante individuale oppure una variabile).
ii. Ogni formula atomica è una formula.
iii. Se a e b sono formule, allora anche
¬a, a & b, a v b, ab, ab sono formule.
iv. Se a è una formula e x è una variabile, allora
("x)a e ($x)a sono formule
(* le parentesi che racchiudono $x e "x si possono
anche omettere)
Linguaggio predicativo
(segue)
Specificazione alternativa di iv:
iv. Se a è una fbf che contiene una costante
individuale a, allora anche $x a x/a e "x a x/a
sono fbf, dove a x/a è la formula che si ottiene
sostituendo in a ogni occorrenza di a con una
variabile x non già presente in a.
Es. "x(Fx  (Ga & Hxa)) è una fbf, quindi anche
"x $y(Fx  (Gy & Hxy)) è una fbf.
Linguaggio predicativo
(segue)
•
FORMULE APERTE e CHIUSE
Una formula è aperta se contiene variabili non vincolate (=
“sganciate”, non “rette”) da quantificatori. (es. Fx, Fa & Gx,
Axb)
Una formula è chiusa se non contiene variabili oppure se
tutte le variabili che contiene sono vincolate da quantificatori.
(Es. Aec, Cf, "xPx, $xPx & Ga, "x$y(Fx & Gy) )
•
ENUNCIATI (o PROPOSIZIONI)
Sono tutte e sole le formule chiuse:
- una formula atomica non contenente variabili (es. Pa, Rab),
è un enunciato;
- una formula chiusa quantificata (es. "xPx) è un enunciato.
Formule aperte e chiuse
Una formula aperta è semanticamente indeterminata:
Se scrivo Fx sto parlando di cose che sono F, ma non è
specificato se sto parlando di un F in particolare, di
alcuni F, o di tutti gli F.
L’indeterminazione scompare se:
a) Sostituisco una costante alla variabile: Fa
oppure:
b) Vincolo con un quantificatore la variabile:
"xFx, $xFx
Proposizioni e funzioni proposizionali
Una proposizione è un’espressione dotata di valore di verità
( ha un valore semantico, è semanticamente
valutabile).
Se omettiamo uno dei termini che la compongono e
inseriamo al suo posto una variabile, x, otterremo una
funzione proposizionale, che non è più semanticamente
valutabile.
(Esempi: Mario è simpatico  X è simpatico; Mario e Maria si amano 
X e Y si amano; Quello fa paura  Z fa paura).
Torna ad essere semanticamente valutabile (= da formula
aperta diventa una formula chiusa) se:
- reintroduciamo una costante individuale
- vincoliamo con i quantificatori le variabili:
$xSx
$x$y(Axy & Ayx)
$zPz
Quantificatori
• Esistenziale ($)
– Qualche italiano è simpatico; Maria ama qualcuno;
Esiste un pianeta abitato; moltissimi cinesi sono
veloci; quasi tutti gli svedesi sono biondi; amo solo
una ragazza.
• Universale (")
– Tutti gli italiani sono simpatici; ogni cinese conosce
l’elettronica; I numeri o sono divisibili o sono primi.
Non esiste un numero primo divisibile per 2; tutti
coloro che studiano saranno promossi; Nessuno dei
promossi è stato pigro.
Predicazione e quantificazione
• I quantificatori non vanno letti come se indicassero
entità specifiche (il tutto o un qualcuno in particolare)
ma come se indicassero tutte le entità (quello
universale) e almeno una entità (quello esistenziale).
Es. Tutti gli italiani sono europei:"x (PxQx) si legge:
per tutti gli x, se x è italiano allora x è europeo
Qualche italiano è sardo: $x (PxQx) si legge: esiste
(almeno) un x tale che x è italiano e x è sardo
NB si noti l’associazione (quasi sistematica) del
quantificatore universale al condizionale e del
quantificatore esistenziale alla congiunzione
Predicazione e quantificazione
Forme tipiche
"x (PxTx) Tutti i pinguini sono tristi
$x (PxTx)
Almeno un pinguino è un triste
Forme atipiche (ben formate ma estremamente
improbabili o prive di una semantica chiara)
"x (PxTx) Ogni cosa è un pinguino triste [= nel
mondo esistono solo pinguini tristi e niente altro]
$x (PxTx) *C’è qualcosa tale che, se è un pinguino,
allora è triste
Formalizzazione - esercizi
Tutti i politici sono corrotti
Qualche politico è corrotto
Non tutti i pinguini sono tristi
Molti studenti pigri sono brillanti
Tutti i grandi chef sono capricciosi
C’è qualcuno che ama Irene
Irene non ama tutti i cantautori
Irene ama qualche cantautore
Ogni calciatore ama una velina
Non tutti i calciatori amano una velina
Chi va al mulino s’infarina
Ci sono italiani che adorano solo se stessi
Solo gli italiani adorano se stessi
Semantica
Def. INTERPRETAZIONE o MODELLO
una coppia
I = <f, D> dove D è un insieme di oggetti,
il dominio dell’interpretazione, e f è una
funzione che associa ad ogni costante
individuale del linguaggio un oggetto del
dominio e a ogni costante predicativa
del linguaggio un insieme di oggetti del
dominio.
Semantica
Una stessa formula del linguaggio predicativo può
assumere significati diversi (e dunque diverso valore
di verità) a seconda dell’interpretazione scelta.
La verità è dunque relativa a un’interpretazione.
La proprietà rilevante in logica predicativa è la validità,
cioè la verità in tutte le interpretazioni.
Attenzione a non confondere la validità in logica
proposizionale con la validità in logica predicativa: nel
primo caso è una proprietà degli argomenti, non delle
proposizioni; nel secondo caso è una proprietà delle
formule.
Semantica: un esempio
Costanti individuali: {a, b}
Costanti predicative: {A, C}
Dominio = {alberto, bice}
f(a) = alberto; f(b) = bice; f(A) = insieme di
coloro che si amano; f(C) = insieme di
coloro che corrono
Enunciati: bice corre; alberto corre;
alberto ama bice; bice non ama alberto,
ecc.

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