APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA IN GEOMETRIA PIANA Rettangolo Tracciando una diagonale (d) nel rettangolo, esso viene diviso in due triangoli rettangoli congruenti. In entrambi i triangoli la diagonale è ipotenusa mentre le due dimensioni sono i cateti, quindi possiamo applicare il teorema di Pitagora. Triangolo Rettangolo Se in un triangolo rettangolo tracciamo l’altezza relativa all’ipotenusa lo dividiamo in due triangoli rettangoli diversi. In entrambi i triangoli l’altezza relativa all’ipotenusa è un cateto, le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa del triangolo di partenza sono gli altri cateti mentre i cateti del triangolo di partenza saranno le ipotenuse dei triangoli più piccoli Triangolo 1 Triangolo 2 2 2 2 2 2 2 AC  CH  AH CH  AC  AH AH  AC  CH 2 2 2 2 2 2 CB  CH  HB 1 2 HB  CB  CH CH  CB  HB Triangolo isoscele Se tracciamo l’altezza relativa alla base a un triangolo isoscele questo rimane diviso in due triangoli rettangoli congruenti. In entrambi l’altezza è un cateto anche metà base è un cateto mentre il lato obliquo è ipotenusa. 2 AC  CH  AH 2 2 2 2 2 CH  AC  AH AH  AC  CH Rombo Se tracciamo le diagonali a un rombo esso rimane diviso in 4 triangoli rettangoli congruenti. In tutti e 4 triangoli i cateti sono metà diagonali e l’ipotenusa è il lato del rombo. 2 2 2 2 AB  AO  OB 0 A0  AB  OB 2 0B  AB  AO 2 Trapezio rettangolo Se tracciamo l’altezza interna in un trapezio rettangolo questo rimane diviso in due parti: un triangolo rettangolo e un quadrilatero. Nel triangolo rettangolo i cateti sono : l’altezza del trapezio e la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore, l’ipotenusa è il lato obliquo. Legenda CH = cateto HB = (b‐b1) CB = ipotenusa 2 CB  CH  HB 2 2 HB  CB  HB 2 2 CH  CB  HB 2 Trapezio isoscele Se tracciamo le altezze in un trapezio isoscele questo rimane diviso in tre parti: due triangoli rettangoli congruenti e un quadrilatero. Nel triangolo rettangolo i cateti sono : l’altezza del trapezio e la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore, l’ipotenusa è il lato obliquo. A 2 CB  CK  KB Legenda CK = cateto KB = (b‐b1): 2 CB= ipotenusa B 2 2 KB  CB  CK 2 2 CK  CB  KB 2 Quadrato (Triangoli particolari) Se dividiamo il quadrato con la diagonale si ottengono due triangoli rettangoli isosceli congruenti. In questi triangoli la diagonale è l’ipotenusa mentre entrambi i cateti sono uguali al lato. Legenda d  l 2  l 2  lx 2 ld: 2 Poiché la radice di 2 è un numero irrazionale di solito si usa l’approssimazione ai centesimi, 1,41. Questa applicazione si estende a tutti i triangoli rettangoli isosceli (hanno i cateti uguali e gli angoli acuti di 45°) Triangolo equilatero ( Triangoli particolari) Se dividiamo un triangolo equilatero con un’altezza si ottengono due triangoli rettangoli congruenti. In questi triangoli il lato è l’ipotenusa mentre l’altezza è un cateto e mezzo lato è l’altro cateto. Gli angoli acuti sono rispettivamente di 30° e di 60° 4l 2  l 2 3l 2 l l h  l      x 3 4 4 2 2 2 2 Formula inversa l  2xh 3 Poiché la radice di 3 è un numero irrazionale di solito si usa l’approssimazione ai centesimi, 1,73. Se un triangolo rettangolo ha un angolo di 30° avrà l’altro angolo acuto di 60°, questo triangolo sarà la metà di un triangolo equilatero, valgono quindi le stesse formule APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA NEL PIANO CARTESIANO L’applicazione del t. di Pitagora nel piano cartesiano è nota come «teorema della distanza» perché ci consente di calcolare la distanza di due punti sul piano se sono note le coordinate dei loro estremi: Per calcolare la distanza tra i punti M e N si applica il teorema di Pitagora nel triangolo NHM in cui MN è ipotenusa: 2 MN  MH  NH 2 Poiché MH si ottiene dalla differenza tra l’ascissa del punto H e l’ascissa del punto M , mentre NH si ottiene dalla differenza tra l’ordinata del punto N meno l’ordinata del punto H. Avremo: 2 2 MN  x2  x1    y2  y1 