ESERCITAZIONE: PREPARAZIONE AL I COMPITINO Giacomo Tommei e-mail: [email protected] web: www.dm.unipi.it/∼tommei Percentuali - Esercizio I tuoi genitori hanno regalato a te e a tuo fratello dei BOT, che avete diviso al 50%. Poich´e hai prestato dei soldi a tuo fratello, tuo fratello ti ha ceduto il 15% dei suoi BOT, ma il valore dei BOT nel frattempo `e diminuito del 20%. Il tuo capitale in BOT `e aumentato, rimasto invariato o diminuito rispetto al valore iniziale? Giacomo Tommei Percentuali - Soluzione Indicando con N il valore complessivo dei BOT, a te e tuo fratello tocca inizialmente un capitale in BOT pari a N/2. Tuo fratello decide di cederti il 15% dei suoi BOT, quindi il 15% del suo 50%, ovvero ((15/100) · (50/100) = 7.5/100) il 7.5% del capitale totale: questo significa che la tua quota di BOT passa da 50% a 57.5% con un incremento del 15% ((57.5 − 50)/50 = 7.5/50 = 15/100). Il tuo capitale diventa allora N 2 (1 + 15/100) Se tale capitale subisce una diminuzione del 20% allora avremo un capitale finale pari a N 2 1+ 15 100 1− 20 100 = ovvero una diminuzione del capitale iniziale pari a 8%. Giacomo Tommei N 2 1− 8 100 Funzioni lineari - Esercizio Nello studio di una variet` a sperimentale di una certa pianta, `e noto che la quantit` a di semi, calcolata in percentuale, che germinano entro una settimana dalla semina G dipende dalla temperatura T del terreno. E’ noto inoltre che: se la temperatura varia da 15◦ C a 30◦ C la percentuale di semi germinati segue una legge lineare; per temperature tra 30◦ C e 35◦ C la percentuale rimane costante; per temperature tra 35◦ C e 40◦ C la percentuale di semi germinati segue di nuovo una legge lineare; temperature al di sotto di 15◦ C o al di sopra di 40◦ C impediscono ai semi di germinare. Sono stati raccolti i seguenti dati sperimentali: per T=21, G(21)=36; per T=27, G(27)=72 Determina G(T) e disegna il suo grafico. Giacomo Tommei Funzioni lineari - Soluzione Leggendo con attenzione il testo si deduce che la funzione G(T) ` e definita a tratti ed in particolare vale 0 negli intervalli [−∞, 15] e [40, +∞]. Nell’intervallo [15, 30] G(T) ` e lineare ed ` e possibile esprimere la sua equazione sfruttando i dati sperimentali; l’equazione sar` a del tipo y = m1 x + q 1 , con m1 = 72 − 36 27 − 21 =6 e q1 ottenuto imponendo il passaggio per un punto (ad esempio (15,0)): 0 = 6 · 15 + q1 ⇔ q1 = −90 Nell’intervallo [30, 35] G(T) rimane costante ed il suo valore sar` a dato dal valore che l’espressione lineare ottenuta precedentemente assume per x = 30: 6 · 30 − 90 = 90 . Nell’intervallo [35, 40] G(T) segue nuovamente una legge lineare partendo dal punto (35,90) per arrivare al punto (40,0), poich´ e deve valere 0 per temperature superiori a 40◦ , quindi: m2 = 0 − 90 40 − 35 = −18 e q2 = 0 + 18 · 40 = 720 . Giacomo Tommei Disequazioni quadratiche - Esercizio Risolvi la seguente disequazione |1 − x| ≤ x2 − 2 x Disegna poi l’insieme S ∩ T dove S = {(x, y) ∈ R × R : y ≤ |1 − x|} e T = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ x2 − 2 x} Giacomo Tommei Disequazioni quadratiche - Soluzione analitica Possiamo procedere analiticamente o graficamente; scegliamo la prima strada. Se x ≤ 1 allora 2 1 − x ≤ x − 2x 2 ⇔ x −x−1≥0 ⇔ da cui segue (ricorda che x ≤ 1) x≤ 1− 1− x≤ √ 5 2 ∨ x≥ 1+ √ 5 2 √ 5 2 Se x > 1 allora 2 x − 1 ≤ x − 2x ⇔ 2 x − 3x + 1 ≥ 0 ⇔ da cui segue (ricorda che x > 1) x≥ 3+ x≤ 3− √ 5 2 La soluzione completa ` e allora x≤ 1− √ 5 2 Giacomo Tommei ∨ x≥ 3+ √ 5 2 √ 2 5 ∨ x≥ 3+ √ 2 5 Funzioni razionali fratte - Esercizio 1 Sia data la funzione f (x) = (a − 1) x2 + b−1 x2 con i parametri a, b ∈ R ∧ a, b 6= 1. √ a) Calcola i parametri a e b sapendo che f (−1) = 26 e f (− 5) = 10. b) Determina l’espressione esplicita della funzione g(x) ottenuta traslando il grafico di f (x) di 1 unit` a verso destra e poi dividendo per 2 le ordinate. c) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a) trova i valori di x per i quali f (x) ≤ 26. d) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a) trova il valore f (α) sapendo che 5 + α = 13 α Giacomo Tommei Funzioni razionali fratte - Soluzione 1 a) L’insieme di definizione della funzione, qualunque siano i parametri (supposti entrambi √ diversi da 1), ` e R − {0}. Imponendo le condizioni f (−1) = 26 e f (− 5) = 10 si arriva al sistema lineare di due equazioni nelle due incognite a e b a + b = 28 5 (a − 1) + (b − 1)/5 = 10 che ha come soluzione a = 2 e b = 26 (si pu` o risolvere, ad esempio, per sostituzione). La funzione cercata ` e quindi 25 2 f (x) = x + x2 b) La prima trasformazione da applicare ` e x → x − 1 ottenendo la funzione h(x) = (x − 1)2 + 25/(x − 1)2 ; tenendo poi fissa la funzione e dividendo per 2 le ordinate, si ha un riscalamento che porta alla trasformazione h(x) → 2 h(x) ottenendo " 2 g(x) = 2 (x + 1) + 25 (x + # 1)2 Se la divisione per 2 delle ordinate fosse stata interpretata come divisione dei valori della funzione avremmo avuto g(x) = 1 " 2 Giacomo Tommei 2 (x + 1) + 25 (x + 1)2 # Funzioni razionali fratte - Soluzione 1 c) Imponenedo f (x) ≤ 26 si ha 2 x + ⇔ 25 x2 2 ≤ 26 ⇔ x4 + 25 x2 2 (x − 1) (x − 25) ≤ 0 ⇔ ≤ 26 x2 x2 ⇔ ⇔ 4 2 x − 26 x + 25 ≤ 0 (x − 1) (x + 1) (x − 5) (x + 5) ≤ 0 −5 ≤ x ≤ −1 ∨ 1≤x≤5 d) Per trovare f (α) potresti risolvere l’equazione in α 5 α + α = 13 e successivamente andare a sostituire il risultato nell’equazione che definisce f (x). C’` e per` o un modo pi` u semplice. Eleva al quadrato ambo i membri della precedente uguaglianza: 2 25 5 5 2 2 +α = 13 ⇔ · α + α = 169 +2 α α2 α ⇔ 25 α2 +α 2 = 169 − 10 = 159 Ma il primo membro dell’uguaglianza precedente non ` e altro che f (α), da cui segue che f (α) = 159. Giacomo Tommei Funzioni razionali fratte - Esercizio 2 Sia data la funzione f (x) = a x2 − b |x − 2| con i parametri a, b ∈ R ∧ a, b 6= 0. a) Calcola i parametri a e b sapendo che f (−1) = 3/2 e f (−2) = 5. b) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), individua l’insieme di definizione e trova i valori di x per i quali f (x) = 0. c) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), calcola i limiti agli estremi dell’insieme di definizione. Giacomo Tommei Funzioni razionali fratte - Soluzione 2 a) Imponiamo le condizioni f (−1) = 3/2 e f (−2) = 5: a (−1)2 −b |−1−2| a (−2)2 −b |−2−2| = 3 2 ⇔ 2a − 2b = 9 =5 ⇔ 4 a − b = 20 Risolvendo il sistema si trova a = 31/6 e b = 2/3, ovvero la funzione ` e f (x) = 31 x2 − 4 6 |x − 2| b) La funzione non ` e definita quando si annulla il denominatore, quindi il suo insieme di definizione ` e {x ∈ R : x 6= 2}. f (x) = 0 ⇔ 2 31 x − 4 = 0 ⇔ 2 x = ±√ 31 c) Dobbiamo calcolare quattro limiti, a ±∞ e a 2 da destra e sinistra. A ±∞, numeratore e denominatore tendono a +∞, ma il numeratore ` e un polinomio di grado superiore rispetto al denominatore, quindi il risultato del limite ` e +∞: lim x→+∞ f (x) = +∞ lim x→−∞ f (x) = +∞ Per x che tende a 2, sia da destra che da sinistra, il numeratore tende a un numero finito, mentre il denominatore tende a 0, quindi lim x→2+ f (x) = +∞ Giacomo Tommei lim x→2− f (x) = +∞ Probabilit` a - Esercizio 1 Considera 2 eventi A e B tali che P(A)=1/4, P(B|A)=1/2 e P(A|B)=1/4. Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: a) Gli eventi A e B sono incompatibili b) A `e un sottoevento di B c) P(¬A|¬B)=3/4 d) P(A|B)+P(A|¬B)=1 Giacomo Tommei Probabilit` a - Soluzione 1 a) Gli eventi A e B sono incompatibili se e solo se P(A ∩ B)=0, ma P(A ∩ B)= P(B|A) P(A)=1/8 quindi i due eventi non sono incompatibili; sapendo inoltre che P(A|B)=1/4 si ricava facilmente la probabilit` a di B: P(B)=P(B|A) P(A)/ P(A|B)=1/2. b) A ` e un sottoevento di B se e solo se P(A ∩ B)=P(A), ma questo ` e falso perch´ e P(A ∩ B)=1/8, mentre P(A)=1/4. c) Guardando con attenzione i valori delle probabilit` a di cui disponiamo ci si rende subito conto che i due eventi A e B sono indipendenti: P(A ∩ B)=P(A) P(B). Sono indipendenti anche gli eventi ¬A e ¬B? L’evento ¬A ` e unione disgiunta degli insiemi (¬A ∩ ¬B) e (¬A ∩ B) quindi si ha: P(¬A)=P(¬A ∩ ¬B) + P(¬A ∩B) ; ` e facile dimostrare che se A e B sono indipendenti allora lo sono anche ¬A e B per cui P(¬A ∩B)=P(¬A) P(B) e si ha P(¬A)=P(¬A ∩ ¬B)+P(¬A) P(B) , da cui P(¬A ∩ ¬B)=P(¬A)-P(¬A) P(B)= P(¬A)(1-P(B))=P(¬A) P(¬B) e quindi gli eventi ¬A e ¬B sono indipendenti. Poich´ e i due eventi sono indipendenti si ha P(¬A|¬B)=P(¬A)=1-P(A)=3/4 d) Come detto prima ` e facile provare che A e ¬B sono eventi indipendenti quindi P(A|B)+P(A|¬B)=P(A)+P(A)=2 P(A)=1/2 6= 1 Giacomo Tommei Probabilit` a - Esercizio 2 In una certa popolazione la probabilit` a che un individuo sia affetto dalla malattia M `e il 20%. A seguito di indagini epidemiologiche si constata che, mentre il 10% degli individui di quella popolazione presenta un dato sintomo S, tra coloro che sono affetti dalla malattia M la percentuale di chi presenta tale sintomo sale al 40%. a) Calcola la probabilit` a che un individuo scelto a caso nella popolazione sia affetto da M, ma non presenti il sintomo S. b) Calcola la probabilit` a che un individuo che presenta il sintomo S sia affetto da M. c) Calcola la probabilit` a per chi NON presenta il sintomo di NON essere affetto da M. Giacomo Tommei Probabilit` a - Soluzione 2 Indichiamo con P (M ): probabilit` a che un individuo scelto a caso nella popolazione sia affetto dalla malattia M P (¬M ): probabilit` a che un individuo scelto a caso nella popolazione NON sia affetto dalla malattia M P (S): probabilit` a che un individuo celto a caso nella popolazione presenti il sintomo S P (¬S): probabilit` a che un individuo scelto a caso nella popolazione NON presenti il sintomo S Per ipotesi sappiamo che P (M ) = 20% = 1/5 (di conseguenza P (¬M ) = 80% = 4/5), che P (S) = 10% = 1/10 (di conseguenza P (¬S) = 90% = 9/10) e che P (S|M ) = 40% = 2/5 (di conseguenza P (¬S|M ) = 60% = 3/5) a) Dobbiamo calcolare P (M ∩ ¬S): P (M ∩ ¬S) = P (¬S|M ) P (M ) = 3 1 5 5 3 = 25 b) Dobbiamo calcolare P (M |S): P (M |S) = P (S|M ) P (M ) P (S) 2 4 = 25 = 1 5 10 c) Dobbiamo calcolare P (¬M |¬S), ma per far questo ci serve la probabilit` a P (¬S|¬M ): P (S) = P (S|M ) P (M ) + P (S|¬M ) P (¬M ) da cui P (S|¬M ) = P (S) − P (S|M ) P (M ) P (¬M ) 1 = 40 , e quindi P (¬S|¬M ) = 1 − P (S|¬M ) = 39 40 . Allora P (¬M |¬S) = P (¬S|¬M ) P (¬M ) P (¬S) = 39 45 Un modo forse pi` u veloce di fare lo stesso conto ` e il seguente: Giacomo Tommei = 13 15 Probabilit` a HW - Esercizio Il gruppo sanguigno `e determinato da un locus genetico con tre possibili alleli A, B, 0. Il fenotipo A corrisponde ai genotipi AA, A0; il fenotipo B ai genotipi BB, B0; il fenotipo AB corrisponde al genotipo AB; il fenotipo 0 corrisponde al genotipo 00. Sapendo che in una data popolazione l’allele A ha frequenza 0.6, l’allele B ha frequenza 0.3 e l’allele 0 ha frequenza 0.1, calcola: a) le frequenze genotipiche e le frequenze fenotipiche; b) la probabilit` a che un individuo, preso a caso nella popolazione abbia gruppo sanguigno AB, sapendo che entrambi i genitori hanno gruppo sanguigno AB; c) la probabilit` a che un individuo preso a caso nella popolazione abbia gruppo sanguigno AB, sapendo che la madre ha gruppo sanguigno AB ed il padre ha gruppo sanguigno A. Giacomo Tommei Probabilit` a HW - Soluzione Indichiamo con p, q ed r le frequenze degli alleli A, B e 0 rispettivamente, quindi p = 0.6 q = 0.3 r = 0.1 Si ha p + q + r = 1 da cui 2 2 2 p + q + r + 2pq + 2qr + 2qr = 1 dove p 2 = 0.36, q 2 = 0.09, r 2 = 0.01, 2 p q = 0.36, 2 q r = 0.06 e 2 p r = 0.12. a) Le frequenze genotipiche sono i numeri calcolati precedentemente, ovvero 2 f (AA) = p f (AB) = 2 p q f (BB) = q 2 f (00) = r f (B0) = 2 q r 2 f (A0) = 2 p r Le frequenze fenotipiche sono 2 f (A) = p + 2 p r = 0.48 f (AB) = 2 p q = 0.36 2 f (B) = q + 2 q r = 0.15 f (0) = r 2 = 0.01 b) P(AB|PAB ∩ MAB ) = P(AB ∩ PAB ∩ MAB ) = P(PAB ∩ MAB ) 2 (2 p q/2) (2 p q/2) (2 p q)2 = P(AB ∩ PAB ∩ MAB ) P(PAB ) P(MAB ) = 1 2 c) P(AB|PA ∩ MAB ) = P(AB ∩ PA ∩ MAB ) P(PA ∩ MAB ) (p2 + p r) p q (p2 + 2 p r) (2 p q) Giacomo Tommei = = P(AB ∩ PAB ∩ MAB ) 21 48 P(PA ) P(MAB ) = Programmazione lineare - Esercizio Una ditta di elettrodomestici produce due modelli di forno a microonde, un modello economico e uno multiaccessoriato. Analisi di mercato prevedono una vendita di almeno 100 modelli economici e 80 multiaccessoriati al giorno. La ditta `e in grado di produrre al massimo 200 modelli economici e 170 multiaccessoriati al giorno; il contratto di distribuzione prevede la spedizione di almeno 300 forni al giorno. La ditta fissa i prezzi vendendo sottocosto il modello economico con una perdita di 10 euro al pezzo, ma guadagnando 25 euro al pezzo sul modello multiaccessoriato. Supponi che la ditta riesca a vendere tutto ci` o che produce e indica con x il numero di forni economici prodotti(=venduti) al giorno e con y il numero forni multiaccessoriati prodotti(=venduti) al giorno. a) Imposta il sistema di disequazioni che definisce la regione ammissibile e disegna tale regione nel piano cartesiano. b) Esplicita la funzione che definisce il profitto giornaliero della ditta. c) Trova quanti forni economici e quanti multiaccessoriati devono essere prodotti al giorno per massimizzare il profitto. d) Trova quanti forni economici e quanti multiaccessoriati devono essere prodotti al giorno per minimizzare il profitto. Giacomo Tommei Programmazione lineare - Soluzione Regione ammissibile 100 ≤ x ≤ 200 80 ≤ y ≤ 170 x + y ≥ 300 Funzione da massimizzare/minimizzare G(x, y) = 25 y − 10 x Guadagno massimo: 130 forni economici e 170 forni multiaccessoriati Guadagno minimo: 200 forni economici e 100 forni multiaccessoriati Giacomo Tommei
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