DIMENSIONAMENTO SISMICO DI PARATIE ANCORATE Luigi

DIMENSIONAMENTO SISMICO DI PARATIE ANCORATE
Luigi Callisto
Sapienza Università di Roma
[email protected]
Ilaria Del Brocco
Sapienza Università di Roma
[email protected]
Sommario
Questa nota descrive un approccio prestazionale al dimensionamento sismico delle paratie ancorate, basato
sull’analisi dei principali meccanismi plastici attivabili durante la fase intensa del terremoto. Poiché gli elementi
di ancoraggio trovano la propria resistenza in un volume di terreno che durante l’evento è soggetto ad
accelerazioni, all’aumentare della resistenza degli ancoraggi si passa da meccanismi plastici locali, caratterizzati
dal raggiungimento della resistenza del bulbo e del terreno immediatamente a contatto con la paratia, a
meccanismi globali che chiamano in causa l’intero volume di terreno compreso fra la paratia e il bulbo. Ciascun
meccanismo plastico individuato può essere studiato con buona approssimazione mediante i metodi
dell’equilibrio limite, per ottenere il relativo coefficiente sismico critico da mettere in relazione con la
prestazione sismica dell’opera. Si esamina inoltre la possibilità di legare il coefficiente sismico critico alle
massime sollecitazioni subite dalla paratia.
1. Introduzione
Nella logica della progettazione prestazionale è utile ammettere che nel corso di eventi sismici severi,
caratterizzati da elevati periodi di ritorno, un’opera di sostegno possa subire spostamenti permanenti
derivanti dalla mobilitazione della resistenza globale dell’opera stessa. Si ammette in altri termini che
nelle fasi più intense del sisma possa attivarsi in via transitoria un meccanismo plastico, costituito da
elementi dissipativi ed elementi non dissipativi. Lo studio dei meccanismi plastici fornisce da un lato il
coefficiente sismico critico, che può essere considerato un indicatore sintetico della resistenza del
sistema all’azione sismica, e dall’altro le massime sollecitazioni che gli elementi non dissipativi
devono sopportare per svolgere correttamente la propria funzione (Callisto 2014). Il coefficiente
sismico critico può a sua volta essere legato allo spostamento permanente, che descrive la prestazione
sismica dell’opera.
2. Strumenti di analisi
Per una paratia vincolata con un livello di ancoraggi a bulbo iniettato, il relativo meccanismo plastico
può essere di non immediata individuazione, poiché l’ancoraggio trova la sua resistenza in una zona di
terreno che, sebbene distante dalla paratia, risulta comunque interessata dal moto sismico. In questo
lavoro, il principale strumento per l’individuazione e lo studio dei meccanismi plastici è costituito da
analisi numeriche di tipo pseudo-statico, condotte in condizioni di deformazione piana con il metodo
delle differenze finite (codice FLAC v. 5.0, Itasca 2005), nelle quali le azioni sismiche, rappresentate
da un campo di accelerazioni uniforme, sono state incrementate progressivamente fino alla completa
mobilitazione della resistenza del sistema. La Figura 1.a mostra una delle griglie di calcolo utilizzate.
La paratia ha una lunghezza di 7.5 m e sostiene uno scavo di altezza H = 5.5 m, realizzato in un
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30m
contorno laterale
contorno laterale
5.5m
2m
30.75m
1m
30m
bedrock
60.75m
(a)
(b)
Fig 1. (a) Reticolo per le analisi numeriche; (b) dettaglio della descrizione dell’ancoraggio.
terreno a grana grossa in assenza di pressioni interstiziali; il livello di ancoraggio si trova alla
profondità di 1 m. La paratia è descritta con una serie di elementi trave, collegati al terreno da elementi
di interfaccia con una resistenza attritiva pari ai 2/3 di quella del terreno. Il livello di ancoraggio è
descritto attraverso elementi cable, reagenti soltanto per azioni assiali, che nel tratto connesso al
terreno sono vincolati ai nodi della griglia attraverso un legame elastico-perfettamente plastico, come
rappresentato schematicamente in Figura 1.b.
Si è assunto che il modulo di elasticità tangenziale a piccole deformazioni del terreno sia legato alla
tensione efficace media p' attraverso la relazione:
⎛ p′ ⎞
G0
⎟⎟
= K G ⎜⎜
pref
⎝ pref ⎠
0 .5
(1)
nella quale la pressione di riferimento pref è pari a 100 kPa e il moltiplicatore KG è stato posto pari a
1000. Nelle fasi di calcolo statiche si è adoperato per il terreno un legame costitutivo elasticoperfettamente plastico con legge di flusso non associata (dilatanza nulla), un valore operativo del
modulo di elasticità tangenziale pari al 30 % di G0 e un coefficiente di Poisson ν pari a 0.20. La
Tabella I riassume le principali proprietà meccaniche del terreno, della paratia e degli elementi di
ancoraggio (c' è la coesione, ϕ' è l’angolo di resistenza al taglio, ψ è la dilatanza, EI è la rigidezza
flessionale della paratia, EA è la rigidezza assiale degli elementi cable, che varia a seconda dello
schema analizzato).
Tabella I. proprietà meccaniche dei terreni e degli elementi strutturali per le analisi statiche
terreno
paratia
ancoraggio
c'
ϕ'
ψ
G
ν
EI
EA
5
2
0
35°
0
0.3 G0
0.20
1.26×10 kNm /m
1.5-9.1 ×104 kN/m
Gli stessi reticoli delle analisi pseudo-statiche sono stati poi impiegati, modificando opportunamente le
condizioni al contorno e il legame costitutivo del terreno, per lo svolgimento di analisi dinamiche nel
dominio del tempo, nelle quali sono stati applicati al contorno inferiore delle registrazioni di eventi
sismici di intensità sufficiente ad attivare la resistenza del sistema. (In particolare, i risultati mostrati in
questa nota sono relativi alla registrazione di Tolmezzo amplificata con un fattore di scala pari a 2). Ai
contorni laterali sono stati applicati contorni assorbenti di tipo free field (Itasca 2005), mentre per il
terreno si è utilizzato un legame costitutivo di tipo isteretico, calibrato per riprodurre la curva di
decadimento della rigidezza tangenziale di Seed e Idriss (1979), accoppiato al criterio di MohrCoulomb caratterizzato dai parametri di resistenza riportati in Tabella I.
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Con le analisi dinamiche si è controllato che i meccanismi plastici trovati nelle analisi pseudo-statiche
fossero rappresentativi dell’effettivo comportamento delle opere di sostegno durante un evento
sismico. Infine, è stata esplorata la possibilità di trattare i meccanismi plastici ricavati dai risultati delle
analisi numeriche mediante i comuni metodi dell’equilibrio limite, allo scopo di fornire uno strumento
di analisi immediatamente impiegabile nella progettazione.
3. Analisi pseudo-statiche e interpretazione dei meccanismi plastici
La Figura 2 mostra tre diversi schemi, caratterizzati da paratie di uguale geometria ma con livelli di
ancoraggio di proprietà diverse. In particolare, passando dallo schema A allo schema C la lunghezza
del tratto connesso aumenta notevolmente. Nel caso A la resistenza Tlim allo sfilamento
dell’ancoraggio, pari a 70 kN/m, deriva dal dimensionamento della paratia in corrispondenza di un
coefficiente sismico modesto, pari a 0.1. Gli schemi B e C sono invece caratterizzati da una maggiore
resistenza del tratto connesso, pari a 500 kN/m; nei due schemi questa stessa resistenza è però ottenuta
attraverso due diverse combinazioni fra la lunghezza del bulbo L e la resistenza unitaria Tlim/L al
contatto tra il bulbo e il terreno: in particolare, passando dal caso B al caso C è stata raddoppiata la
lunghezza del bulbo e dimezzata la resistenza unitaria.
In Figura 2.a sono rappresentate le zone di terreno nelle quali all’attivazione del meccanismo plastico
la resistenza del terreno risulta completamente mobilitata; in corrispondenza del bulbo di ancoraggio è
anche rappresentato il grado di mobilitazione della resistenza allo sfilamento. La Figura 2.b mostra
invece un’interpretazione qualitativa dei meccanismi ottenuti e riporta i corrispondenti valori del
coefficiente sismico critico kc. Per lo schema A dalle analisi numeriche pseudo-statiche si ottiene
kc = 0.25 e un cinematismo rotazionale per la paratia, associato alla formazione di cunei di spinta a
tergo e a valle della paratia e alla completa mobilitazione della resistenza allo sfilamento
dell’ancoraggio. Nel caso B il cinematismo è invece prevalentemente traslazionale e sembra chiamare
in causa la resistenza dell’intero volume di terreno compreso fra la paratia e l’ancoraggio, mentre la
resistenza allo sfilamento risulta solo parzialmente mobilitata; il coefficiente sismico critico per questo
schema vale 0.35. I risultati ottenuti per lo schema C indicano che aumentando la lunghezza del bulbo
ma lasciandone invariata la resistenza complessiva il cinematismo critico rimane di tipo globale, ma
tende ad assumere un carattere leggermente rotazionale, con superfici di scorrimento convesse che
raccordano l’inclinazione del cuneo di spinta attiva alla giacitura del bulbo stesso. A parità di
resistenza totale allo sfilamento, l’incremento di lunghezza del bulbo produce una resistenza
complessiva maggiore, espressa da un valore del coefficiente sismico critico pari a 0.41. Attraverso
alcune analisi parametriche si è verificato che i meccanismi plastici trovati sono sostanzialmente
indipendenti dalle caratteristiche di rigidezza dei materiali e dall’eventuale stato di pretensione negli
ancoraggi.
I diversi meccanismi plastici associati agli schemi A, B e C possono essere studianti mediante analisi
di equilibrio limite condotte iterativamente a rottura, come illustrato in Figura 3. Nel primo schema si
assume una rotazione rigida della paratia intorno a un punto prossimo alla base e si assume
completamente mobilitata la resistenza allo sfilamento dell’ancoraggio; si ricercano iterativamente i
valori del coefficiente sismico critico e della profondità del punto di rotazione, imponendo che siano
soddisfatte le equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale e alla rotazione della paratia soggetta
alle tensioni di contatto e alla reazione dell’ancoraggio. Le tensioni di contatto sono una funzione del
coefficiente sismico e possono essere calcolate utilizzando la soluzione di estremo inferiore di
Lancellotta (2007) estesa alle condizioni limite attive da Rampello et al. (2011). In questo modo, per il
modello A si è ottenuto un valore del coefficiente sismico critico kc = 0.27 e distribuzioni delle
tensioni di contatto e delle sollecitazioni praticamente coincidenti con quelle trovate per via numerica
(Figura 3.a). Per il caso B il meccanismo può essere studiato ricercando iterativamente il valore del
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m
3
A
o
l
l
e
d
o
M
(a)
/
li m (-)
0.99
1.00
=
kc
=
L
=/
m i
m=
i
Tlkc
Tl
70kN/m
23.3kPa
0.25
(b)
0.27
m
5
B
o
l
l
e
d
o
M
/
li m (-)
0.99
1.00
=
kc
=
L
=/
m m=
il
Tl
Tikc
500kN/m
100kPa
0.35
0.38
m
0
1
C
o
l
l
e
d
o
M
/
li m (-)
0.99
1.00
=
kc
=
L
=/
m m=
i l
Tikc
Tl
500kN/m
50kPa
0.41
0.42
Fig 2. (a) grado di mobilitazione della resistenza del terreno e dell’ancoraggio; (b) interpretazione dei meccanismi plastici
B
Sa
WR
Sp
A
B
A
G
C
D
WR
Sa
C=f
O=D=i
Sp
R1
Sa
WR
R1
Sp
0.38
Cs
C
o
l
l
e
d
o=
M kc
B
o
l
l
e
d
o=
M kc
A
o
l
l
e
d
o=
M kc
0.27
0.42
Fig 3. Analisi dei meccanismi plastici con metodi dell’equilibrio limite.
coefficiente sismico critico che soddisfa l’equilibrio alla traslazione del volume di terreno trapezoidale
compreso fra la paratia e l’estremo dell’ancoraggio, soggetto, oltre alle forze di massa, alle risultanti
della spinta passiva SP e della spinta attiva SA esercitata dal terreno a monte dell’ancoraggio lungo la
verticale BC e alla reazione R1 esercitata dal terreno in posto lungo la superficie di scorrimento (Figura
3.b); SA e SP possono essere calcolate con le già menzionate soluzioni di estremo inferiore; l’equilibrio
alla traslazione può essere utilmente scritto nella direzione normale a R1. Si è ottenuto così per lo
schema B un coefficiente sismico critico pari 0.38; trattandosi di un equilibrio globale, in questo caso
l’analisi non può fornire indicazioni sulle tensioni di contatto e quindi sulle sollecitazioni. Nel caso C,
è possibile ipotizzare che il meccanismo attivi la resistenza lungo una superficie curvilinea,
approssimabile con un arco di spirale logaritmica di anomalia ϕ', univocamente determinato dalla
condizione di passaggio per il piede della paratia e per l’estremità dell’ancoraggio. La soluzione si
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ricava ricercando iterativamente il coefficiente sismico che soddisfa l’equilibrio alla rotazione della
porzione di terreno delimitata dalla paratia, dalla superficie di scorrimento e dalla verticale BC (Fig.
3.c). Utilizzando questa procedura si è ottenuto per il caso C un coefficiente sismico critico prossimo a
quello ricavato per via numerica, e pari a 0.42; anche in questo caso il carattere globale del
meccanismo non consente di ricavare informazioni sulle tensioni di contatto fra il terreno e la paratia e
quindi sulle sollecitazioni.
4. Analisi del comportamento dinamico e discussione dei risultati
La Figura 4 mostra per i tre diversi schemi le griglie deformate al termine dell’evento sismico
considerato. La configurazione finale per ciascuno dei tre casi studiati appare descritta con sufficiente
accuratezza dai meccanismi plastici di Figura 2.b. Inoltre le storie temporali del grado di mobilitazione
della resistenza allo sfilamento degli ancoraggi diagrammate in Figura 5.a mostrano, in accordo con i
meccanismi ricavati dalle analisi pseudo-statiche, che effettivamente solo per lo schema A si verifica
la completa mobilitazione della resistenza dell’ancoraggio; per i modelli B e C la forza assiale nel
livello di ancoraggio è sempre minore del 40 % della rispettiva resistenza allo sfilamento. In Figura
5.b sono invece rappresentati, per i tre diversi schemi analizzati, gli spostamenti orizzontali medi della
paratia e la differenza Δu tra lo spostamento della testa e quello del piede, proporzionale alla rotazione
della paratia. La prestazione sismica del sistema appare immediatamente correlabile al coefficiente
sismico critico del corrispondente meccanismo plastico di Figura 2: al crescere della resistenza sismica
del sistema, rappresentata sinteticamente da kc, gli spostamenti decrescono rapidamente. Inoltre i
risultati mostrati in figura concordano con la cinematica dei meccanismi plastici di Figura 2,
confermando che gli spostamenti subiti dalla paratia dello schema A sono associati a rotazioni non
trascurabili, mentre le paratie dei rimanenti due schemi subiscono prevalentemente delle traslazioni. È
interessante osservare l’andamento delle massime sollecitazioni nella paratia in funzione di kc,
mostrato in Figura 5.c. Con riferimento ai risultati delle analisi pseudo-statiche, si osserva che
all’aumentare del coefficiente sismico critico si verifica un aumento delle massime sollecitazioni. Per
il problema in esame, analisi aggiuntive non discusse in questa nota hanno mostrato che il passaggio
dal meccanismo locale ai meccanismi di tipo globale si verifica in corrispondenza di kc ≈ 0.33. Dalla
Figura 5.c si osserva che per valori di kc maggiori di questa soglia le sollecitazioni massime nella
paratia aumentano con un gradiente modesto; una stima delle massime sollecitazioni nella paratia può
pertanto ottenersi, con buona approssimazione, dall’analisi del meccanismo di tipo A per una
resistenza allo sfilamento dell’ancoraggio che corrisponde al passaggio dal meccanismo locale a
quello globale. Questo particolare valore della resistenza allo sfilamento può essere ricavato studiando
l’equilibrio limite della paratia imponendo che il punto di rotazione coincida con il piede.
Le massime sollecitazioni ottenute dalle analisi dinamiche sono sistematicamente maggiori di quelle
ottenute in condizioni pseudo-statiche, probabilmente per effetti legati all’asincronia del moto sismico.
Tuttavia l’andamento delle sollecitazioni dinamiche in funzione di kc è molto simile a quello ottenuto
con le analisi pseudo-statiche, mostrando che il comportamento dinamico del sistema appare
effettivamente controllato dallo sviluppo dei meccanismi plastici di Figura 2. Per il caso A, le analisi
dinamiche sono state ripetute con diversi accelerogrammi e diversi fattori di scalatura, ottenendo
risultati praticamente coincidenti: questi risultati sono in accordo con il quadro concettuale descritto da
Callisto (2014) secondo il quale, nella logica del criterio della gerarchia delle resistenze, le
sollecitazioni negli elementi non dissipativi di un meccanismo plastico sono una funzione della
resistenza degli elementi dissipativi, e non dell’ampiezza delle azioni sismiche. Nel caso in esame, la
paratia funge da elemento non dissipativo, mentre gli elementi dissipativi sono costituiti da terreno e,
limitatamente al caso A, dal contatto fra il bulbo di ancoraggio e il terreno.
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A
B
C
Fig 4. Configurazione deformata delle griglie di calcolo per i tre schemi analizzati.
0.5
media
u
0.4
250
(a)
(b)
(c)
200
0.3
C
B
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
A
150
0.2
100
0.1
50
B, C
0
0
4
8
12
16
20
t (s)
Flac pseudo-statiche
Flac dinamiche
T2
A
T
A
A
kc=0.25
B
C
kc=0.35 kc=0.41
0
0.24
0.28
0.32
kc
0.36
0.4
0.44
Fig 5. (a) storia temporale del grado di mobilitazione della resistenza allo sfilamento del bulbo per i tre diversi
schemi; (b) spostamenti medi e differenziali ottenuti dall’analisi dinamica con la registrazione sismica di
riferimento; (c) massimi valori del momento flettente nella paratia, diagrammati in funzione del coefficiente
sismico critico.
5. Considerazioni conclusive
L’effettivo comportamento dinamico di un elemento strutturale interagente con il terreno è
caratterizzato da notevole complessità. Tuttavia, per molte opere di sostegno può ammettersi che la
resistenza globale del sistema possa essere raggiunta durante la fase intensa del sisma. In questo caso
una rappresentazione semplificata ma sostanzialmente attendibile del comportamento sismico
dell’opera è rappresentata da un accumulo di spostamenti prodotto dalla ripetuta attivazione di un
meccanismo plastico durante l’evento.
Nel progetto di paratie ancorate, la resistenza assunta per lo sfilamento del bulbo si basa tipicamente
su correlazioni empiriche caratterizzate da una notevole incertezza: per questo motivo viene spesso
valutata con notevole cautela. I risultati presentati in questa nota evidenziano che al crescere della
resistenza allo sfilamento si assiste a una transizione da meccanismi locali verso meccanismi globali.
Entrambi i meccanismi possono essere studiati con relativa semplicità, per prevedere diversi possibili
scenari associati alla effettiva resistenza allo sfilamento. La condizione di transizione fra i meccanismi
di tipo locale e globale può anche essere utilizzata per un previsione sufficientemente cautelativa delle
massime sollecitazioni da utilizzare nel progetto della paratia.
Bibliografia
Callisto L. (2014). Capacity design of embedded retaining structures. Géotechnique 64, 204-214,
http://dx.doi.org/10.1680/geot.13.P.091
Itasca (2005) FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua v. 5.0. User’s Manual.
Lancellotta R. (2007). “Lower bound approach for seismic passive earth resistance”, Géotechnique, 57, 319-321.
Rampello S., Callisto L. e Masini L. (2011). Spinta delle terre sulle strutture di sostegno. Atti delle XXIII
Conferenze Geotecniche di Torino.
Seed HB and Idriss IM (1979). Soil moduli and damping factors for dynamic analysis. Report No. EERC 70-10,
University of California, Berkeley.
Callisto e Del Brocco

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