Il moto del proiettile

STEP 4
Il moto del proiettile
Se in barca tentate di attraversare un fiume remando sempre in direzione
perpendicolare alla corrente, che scorre da destra a sinistra, non arriverete al punto
esattamente simmetrico a quello di partenza, ma un po’ più avanti, perché, rispetto
alla Terra, la barca è soggetta a un moto composto: mentre tenta di muoversi
perpendicolarmente alla corrente, viene trascinata avanti dalla corrente stessa.
Un corpo si muove di moto composto quando è soggetto contemporaneamente a più moti semplici.
Per studiare il moto composto può essere utile conoscere il principio di
indipendenza dei movimenti formulato da Galileo Galilei.
Principio di indipendenza dei movimenti
Un corpo soggetto a due o più moti si trova, dopo un certo intervallo di tempo,
nella stessa posizione che avrebbe se i moti fossero avvenuti uno dopo l’altro,
ciascuno nello stesso intervallo di tempo.
Cioè, nel moto composto, i diversi moti semplici che ne sono componenti
avvengono contemporaneamente senza influenzarsi l’uno con l’altro, ciascuno con
le stesse leggi che lo regolerebbero se avvenisse singolarmente.
In base a questo principio, spostamento e velocità del moto composto si otterranno
sommando vettorialmente spostamenti e velocità dei singoli moti:
Dr→ = Dr→1 + Dr→2
v→ = v→1 + v→2
dove Dr→ è lo spostamento complessivo, Dr→1 lo spostamento dovuto al primo moto,
Dr→2 lo spostamento dovuto al secondo moto, v→ è la velocità risultante, v→1 la velocità
del primo moto, v→2 la velocità del secondo moto.
Consideriamo ora il moto di una pallina di vetro che rotola su un tavolo a una
certa velocità e poi cade. Il moto risultante della pallina sarà determinato dalla
composizione di due moti: moto rettilineo uniforme in avanti, che la pallina
tenderà a mantenere per inerzia, e moto uniformemente accelerato verso il basso
dovuto all’accelerazione di gravità (figura 1).
y
vx
x
vx
vy
v
vx
vy
v
vx
vy
v
Chiamiamo vx la velocità in avanti, nella direzione dell’asse x del sistema di
riferimento e vy la velocità verso il basso, nella direzione dell’asse y del sistema di
riferimento; essa si calcola, come sappiamo, nel modo seguente:
vy = g t
1
Fig. 1 La pallina cade dal
tavolo seguendo una
traiettoria parabolica. Nel
disegno sono rappresentate
→
le componenti orizzontale vx
→
e verticale vy della velocità
→
→
v. Come si può vedere, vy
aumenta durante la caduta,
→
mentre vx rimane costante.
Unità
3
Il moto
vx e vy sono le componenti “orizzontale” e “verticale” della velocità del v→ moto. Per
ottenere v→ si devono sommare vettorialmente le sue componenti:
v→ = v→x + v→y
Per ottenere la traiettoria del moto occorre conoscere la posizione del corpo in
ogni istante, sapendo che la sua posizione lungo l’asse x si trova con l’espressione:
x = vx · t(1)
e la posizione lungo l’asse y con w:
1 2
gt
(2)
2
dal momento che la pallina si muove nel verso dei valori decrescenti dell’asse y.
Ricaviamo t dalla (1):
x
t=−
vx
y=−
e sostituiamo il suo valore nella (2); otteniamo:
y=−
x2
g
1
g ⋅ 2 = − 2 ⋅ x2
2 vx
2v x
(3)
Sostituendo a g e vx i loro valori, possiamo determinare la coordinata y per ogni
valore della coordinata x. Unendo i punti così ottenuti nel sistema di assi che
rappresenta il sistema di riferimento, ricaviamo la traiettoria del moto.
Consideriamo, per esempio, il moto di una pallina che abbia velocità orizzontale
vx = 1 m/s.
Per semplicità poniamo g = 10 m/s2 e compiliamo, in base alla (3), la tabella di
correlazione tra le coordinate x e y.
Tabella di correlazione tra le coordinate x e y per il moto della pallina
x (m) 0 0,1 0,2 0,330,4
y (m)
0
–0,05
–0,27
–0,45
–0,8
Successivamente disegniamo il grafico che passa per ognuno dei punti così
ottenuti (figura 2).
y
0
0,2
0,4
0,6 x (m)
x
–0,2
–0,4
–0,6
Fig. 2 Traiettoria della pallina
che cade dal tavolo con
velocità vx = 1 m/s.
–0,8
1
y (m)
Come si vede, si tratta di un ramo di parabola.
Il moto ottenuto dalla composizione di un moto orizzontale rettilineo uniforme e da un moto verticale uniformemente accelerato è dotato di una traiettoria parabolica. Per questo viene chiamato moto parabolico.
2
STEP 4
Mediante un ragionamento simile a questo si può dimostrare che la traiettoria
di un proiettile lanciato da terra in direzione non verticale è di forma parabolica
(figura 3).
Notiamo che “proiettile” è un termine tecnico che non indica necessariamente
l’oggetto che viene sparato da un’arma da fuoco, ma qualsiasi corpo venga lanciato
con una certa velocità all’interno del campo gravitazionale terrestre. Anche il
pallone rilanciato da un portiere o la pallina considerata per illustrare il moto
parabolico sono, quindi, in termini tecnici, dei proiettili.
Supponiamo che un proiettile venga lanciato da terra con velocità v→ inclinata di
45° sull’asse delle ascisse (figura 4). Per un cannone si direbbe che l’alzo è di 45°;
v→ è la velocità iniziale del proiettile, v0x e v0y le sue componenti cartesiane. Si
tratta dei lati di un quadrato di cui v→ è la diagonale, dunque:
v
v
v0 x =
v0 y =
2
2
Fig. 3 Il cannone che spara
ha una certa inclinazione.
L’angolo compreso
fra questa direzione e
la congiungente tra la
posizione del cannone e il
bersaglio si chiama alzo.
y
v
v0y
45°
O
Fig. 3
x
v0x
Fig. 4
Il moto orizzontale (lungo l’asse x) sarà rettilineo uniforme; se nell’istante iniziale
il proiettile si trova nell’origine del sistema di riferimento, lo spazio percorso in
funzione del tempo lungo l’asse x sarà:
v
x = v0 x ⋅ t =
⋅t
2
In base a questa espressione possiamo ricavare t in funzione di x:
2 ⋅x
(4)
v In verticale, lungo l’asse y, il moto sarà uniformemente accelerato verso il basso
a causa dell’accelerazione di gravità. Inizialmente, tuttavia, il proiettile parte con
una velocità v0y diretta verso l’alto, mentre l’accelerazione di gravità è diretta verso
il basso, per cui l’equazione oraria del moto in verticale sarà:
t=
v
1 2
1
(5)
gt =
t − gt2
2
2
2
x e y sono le coordinate del proiettile in ogni istante e nella (5) viene esplicitato il
segno negativo dell’accelerazione di gravità.
Per vedere la traiettoria del proiettile, basta esprimere y in funzione di x sostituendo
nella (5) a t il valore calcolato nell’equazione (4):
y = v0 y t −
y=
gx2
v
2 ⋅x 1  2 ⋅x
1 2 x2
x
⋅
− g ⋅
=
x
−
g
⋅
=
−
v
2  v 
2
v2
v2
2
3
(6)
Fig. 4 Velocità iniziale
scomposta lungo le direzioni
degli assi cartesiani che
individuano il piano il cui si
svolge il moto del proiettile.
Unità
3
Il moto
Sia v = 10 m/s e, per semplicità, g = 10 m/s2. Compiliamo la tabella di correlazione
tra le coordinate x e y.
Tabella di correlazione tra le coordinate x e y di un proiettile lanciato verso l’alto con v0 = 10 m/s inclinata di 45°
rispetto alla direzione orizzontale in assenza di attriti
x (m)
012345
6789
10
y (m)0 0,91,62,12,42,5
2,42,11,60,90
Fig. 6 Traiettoria teorica
e reale di un proiettile.
La traiettoria reale non è
perfettamente parabolica
a causa della presenza
dell’aria che esercita un
certo attrito, cioè una forza
che si oppone al moto.
y (m)
Fig. 5 Traiettoria di un
proiettile lanciato verso l’alto
con un angolo di 45°.
y (m)
Riportando i punti calcolati nel sistema di assi cartesiani che rappresenta il
sistema di riferimento, otteniamo la traiettoria del moto (figura 5). Nel caso reale,
la traiettoria non è perfettamente parabolica, perché il moto, soprattutto il moto
orizzontale, è frenato dall’attrito con l’aria (figura 6).
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Fig. 5
8
9 10
x (m)
traiettoria reale in
presenza di attrito
traiettoria teorica
0
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x (m)
Fig. 6
4
1

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