Lezioni di Teoria delle Aste - W3.UniRoma1.it

Lezioni di Teoria delle Aste
Maria-Augusta Miceli∗
Dipartimento di Economia e Diritto
Università di Roma "La Sapienza"
Lezioni di Economia Industriale 2
November 9, 2014
1
Introduzione
1.1
Definizioni
1. Meccanismo di market clearing (alternativo a prezzo fisso, o contrattazione (bargaining).
Pro: meccanismo di formazione del prezzo è esplicito.
2. Beni per i quali non si conosce a priori il prezzo di vendita. Ovvero il venditore non sa quale
valore l’oggetto abbia per un venditore potenziale.
3. Vendita di bene per i quali non vi è un mercato ben determinato.
1.2
Tipi di Aste
1. Aperte (Open) = le offerte devono essere collezonate nello stesso luogo. In busta chiusa (Sealed
bids) possono essere trasmesse anche in via elettronica / email etc.
2. Oggetto singolo / Multiplo.
3. Prezzo crescente / Decrescente.
4. Quale prezzo si paga: primo prezzo o secondo prezzo.
5. Valutazioni:
(a) Private Values. Ogni bidder conosce la proria valutazione, ma non qualla degli altri. Es.
quando il valore dell’oggetto è per il proprio uso (utilità). Se invece viene comprato per
essere rivenduto, l’ipotesi di private value non è soddisfacente.
(b) Unknown values.
i. Interdependent bidder. Valore sconosciuto anche al bidder (auto usate, etc., serve
un segnale per determinarne il valore). Effetto gregge (herding). NB. Il termine si
riferisce alla struttura dei valori e a come essi sono influenzati dalla informazione degli
altri, non si riferisce a nessuna proprietà statistica. I segnali statistici possono essere
indipendenti, anche fra bidders interdipendenti.
∗
Department of Economics and Law, University of Rome "Sapienza" - 9 via del Castro Laurenziano - 00161 Roma Italy. Email: [email protected].
1
ii. Common Value. Il valore è sconosciuto ai singoli, ma quando si rivelerà, avrà lo stesso
valore per tutti. Es. Terreno per estrazione petrolio: non si sa se ci sia il petrolio, ma
se ci fosse, il valoresarebbe lo stesso per tutti. Direi: bene con utilitàoggettiva e non
soggettiva.
1.3
1.3.1
Classificazioni ed equivalenze
Tipi
1. Asta Inglese: asta ascendente e al primo prezzo (Ascending - First Price Auction).
bla bla Es. Christies / Sotheby’s.
2. Asta in busta chiusa al primo prezzo (First-Price Sealed-Bid). Vince il bid massimo. Usata negli
appalti.
3. Asta in busta chiusa al secondo prezzo (Second-Price Sealed-Bid o Vickrey Auction). Vince il
bid massimo, ma si paga il secondo prezzo. Usata negli appalti.
4. Asta Olandese: asta discendente, aperta. (Dutch Open Descending Price auction)
1.3.2
Equivalenze
1. L’asta Olandese (n.4.) e l’asta chiusa al I prezzo (n.2.) sono strategicamente equivalenti.
Perché? L’asta in busta chiusa non usa alcuna altra informazione che la propria. L’asta olandese
rilascia informazione soltanto quando un bidder ferma la discesa, ma a quel punto l’oggetto viene
acquistato e quindi non c’è più spazio per l’altro ad intervenire. Per ogni strategia nell’asta di
primo prezzo vi è una strategia corrispondente nell’asta olandese.
2. Quando i valori sono privati, Asta Inglese (n.1.) e l’asta in busta chiusa al secondo prezzo Vikrey (n. 3) sono equivalenti, ma in maniera più debole.
Nell’asta inglese, osservare i bidders desistere da informazione, ma nel caso di valore privato (utilità
personale, quanto mi piace il quadro), questa informazione non è utile. Lo è se voglio rivendere il
quadro.
Nell’asta inglese non è ottimo superare la propria valutazione, altrimenti si va in perdita. In
entrambe le aste la strategia ottima è scommettere alto o restare fino a quando la propria massima
valutazione non sia stata raggiunta.
1.4
Ingredienti
Elenco gli ingredienti dei modelli. I parametri specifici saranno esplicitati nelle ipotesi di ciascun
modello.
• L’incertezza sulla valutazione degli altri partecipanti all’asta viene tradotta, al solito, nel fatto
che ogni partecipante possa essere di diversi "tipi", ciascuno distinto da una diversa valutazione.
Pertanto l’asta è un gioco fra n partecipanti che potrebbero anche essere rappresentazioni di tipi
diversi, ponderati con diverse probabilità, di un unico individuo. In questa analisi, vi saranno
n bidders ovvero n tipi e non ci occupiamo di sapere se sono diverse "facce" di un numero più
piccolo di agenti.
1. Bidders: i = 1, ..., n. Indicherò con (i) il bidder di cui stiamo valutando la decisione e (−i) la
totalità degli "altri" partecipanti all’asta, ovvero i contendenti.
2. Valutazioni soggettive indipendenti (i.i.d. = identically and independently distributed) vi ∈ iid
[0, 1] , secondo una funzione di distrubuzione cumulata F (.) non decrescente, e funzione di densità
f ≡ F 0 (.) .
2
3. La distribuzione delle valutazioni degli altri sarà il prodotto delle (n − 1) funzioni di distribuzione:
• se sono tutti uguali:
Q
−i F−i (v−i ),
F (v)n−1 .
• se sono tutte diverse:
4. Per semplicità raggruppiamo le valutazioni degli altri e ne consideriamo solo la più alta.
Definizione 1 Sia la massima valutazione degli avversari
V−i = max {v1 , v2 , ..., vi−1 , .., vi+1 , ...vn }
= max {v−i } ,
(1)
dove i tipi (−i) sono "tutti gli altri".
Qualora utile, chiamo il bid relativo al bidder con massima valutazione
B−i = β −i (V−i )
(2)
5. La funzione di distribuzione cumulata della 1a massima valutazione è
V−i ∼ G (v) = F (v)n−1
G (v) = F (v)n−1
(3)
g (v) = G0 (v) = (n − 1) F (v)n−2 f (v)
(4)
e la cui relativa funzione di densità è
6. La funzione di distribuzione cumulata della 2a massima valutazione, che scriviamo
come F2 (v) , ovvero la probabilità che la seconda più alta estrazione fra N estrazioni da una
distribuzione fissa sia inferiore alla prima v è pari a
Pr {v2 < v} = F2 (v)
= F (v)n + nF (v)n−1 [1 − F (v)]
(5)
dove:
• F (v)n = probabilità che tutte le valutazioni siano ≤ v;
• nF (v)n−1 = vi sono n modi di scegliere la valutazione più alta, e F (v)n−1 rappresenta la
probabilità che (n − 1) valutazioni siano inferiori a v e
• [1 − F (v)] = una valutazione sia pari a v.
La derivata della funzione F2 (v) o funzione di densità è
F20 (v) = f2 (v)
= nF (v)n−1 f (v) + n (n − 1) F (v)n−2 f (v) (1 − F (v)) − nF (v)n−1 f (v)
= n (n − 1) F (v)n−2 f (v) [1 − F (v)]
(6)
dove il primo e l’ultimo termine della seconda riga si elidono.
7. Il prezzo scommesso, bid, è una funzione crescente (e differenziabile) della valutazione propria
e degli avversari, a meno di ipotesi semplificatrici. Tipicamente non supererà la valutazione,
perché se la superasse, il payoff del bidder diventerebbe negativo
bi = β i (vi , v−i ) e bi ∈ [0, vi ]
3
8. Payoffs. Possono essere definiti come (i) funzioni di utilità, le cui grandezze sono solo "ordinabili"
o (ii) funzioni di profitto, lecui grandezze sono "cardinali" (ovvero comparabili anche in senso
numerico). Le funzioni sono usate in questo contesto come sinonimi, a meno di precisazioni
eventuali
⎧
⎨ vi − bi se bi > bj
vi −bi
(7)
ui (bi , b−i ) =
se bi = b−k , dove k @ −i
⎩ k
0
se bi < b−i
9. I bidders possono essere neutrali (RN = risk neutral = β i (vi ) lineare) o avversi al rischio (RA
= risk averse).
10. I bidders possono avere o non avere vincoli di liquidità o di bilancio. In assenza di vincoli di
bilancio o liquidità, si suppone che abbiano risorse sufficienti per effettuare un bid pari alla loro
valutazione.
11. Esempio. Strategia lineare diretta
bi = β (vi ) ≡ ai + ci vi ,
∀i = 1, .., n
Strategia lineare inversa
vi = β −1 (bi ) =
bi − ai
ci
Per vi ∈ [0, 1] , β (vi ) ∈ [ai , ai + ci ] .
1.4.1
Ipotesi ulteriori
Già menzionate sopra in alternativa alle valutazioni IID.
a. Valutazioni Interdipendenti (Interdependent Values)
b. Valutazioni Comuni (Common Value).
1.5
Obiettivi dei modelli d’asta = Domande d’esame
Dati gli ingredienti detti, modulati secondo le ipotesi specifiche di ogni tipo di asta, gli obiettivi dei
modelli sono:
1. Il calcolo della strategia ottima di bidding la quale massimizzi la funzione di payoffs del
bidder rispetto al proprio bid. Da questa operazione si ottiene come risultato una funzione di
miglior risposta o di reazione alla valutazione/bid degli altri. In casi semplificati la soluzione
può dipendere dalla sola valutazione propria.
max ui (bi , b−i )
bi
∂ui (bi , b−i )
=0
∂bi
bi = β ∗i (vi , V−i )
=⇒
∀i = 1, ...n
osservazione 1 Dettaglio di modellazione per la strategia "barare".. Qualora il bidder voglia
effettuare un bid diverso dalla funzione di strategia ottima applicata alla propria valutazione, si
può procedere in due modi:
• si può usare un bi esogeno, che non sia espresso dalla strategia di miglior risposta bi 6=
β ∗i (vi , V−i ) . ovvero variare la strategia β ∗i (.) . Per esempio la strategia potrebbe essere il
maximin o altro.
4
• invece di usare un risultato bi , esogeno, ovvero invalidare la funzione di miglio riposta
β ∗i (vi , V−i ) , si assume che il bidder applichi la strategia ottima ad una valutazione falsa
(tipicamente inferiore alla propria valutazione), immaginando che il bidder possa essere di
un altro "tipo". Questo metodo è adottato più spesso, perché lascia la struttura del modello
intatta e varia o aggiunge solo il parametro vi _falso.
Dal sistema delle n condizioni del primo ordine si ottengono le n soluzioni per le incognite bids
b∗i in funzione dei parametri.
Da cui si ottengono le ricadute del risultato:
2. Calcolo del pagamento atteso del bidder i-esimo. Ovvero il valore del pagamento dovuto
alla valutazione vi moltiplicato per la probabilità che nessuno offra un bid più alto.
β ∗i (vi , V−i ) × Pr [V−i < vi ] ⇔ β ∗i (vi , V−i ) × F (vi )
3. Calcolo del pagamento atteso medio della strategia β ∗i (vi , V−i ) su tutte le valutazioni
comprese nell’intervallo considerato β ∗A (.) , per ogni meccanismo d’asta A = I, II.
Z vmax
X
β ∗i (vi , V−i ) · Pr [V−i < vi ] · p (vi ) ⇔
β ∗i (vi , V−i ) F 0 (vi ) dv
0
vi ∈V
4. Calcolo del ricavo atteso del venditore (seller) conseguente allo specifico meccanismo
d’asta.
5. A questo punto il seller si chiede: quale meccanismo d’asta massimizzi il ricavo del seller?
Teorema di Equivalenza del Ricavo(Revenue Equivalence Theorem).: se le valutazioni sono
private e IID =⇒ i 4 formati d’asta (1.3.1) creano un reddito per il seller equivalente
Nelle altre ipotesi, cade l’equivalenza?
6. Risultati di statica comparata: come varia al crescere del numero dei bidders n, e del meccanismo d’asta:
(a) il pagamento medio per ogni meccanismo d’asta per ogni bidder e per la totalità dei bidders?
(b) il ricavo del seller proveniente da ogni bidder e proveniente dalla totalità dei bidders?
(c) il surplus da spartire?
7. Prossimamente (o soggetto di tesi): Ripetere estensione di tutti questi risultati al caso di:
(a) esistenza di prezzo di riserva e/o costo d’entrata,
i. la sensibilità dei risultati di statica comparata varia?
(b) valutazioni interdipendenti;
(c) valutazioni condivise (common knowledge).
1.6
Ragioni di esistenza delle aste: ricavo o efficienza?
Chi vende vuole massimizzare il ricavo / reddito.
Socialmente e soprattutto nel caso di appalti di beni pubblici si desidererebbe massimizzare
l’efficienza (Surplus Sociale).
Ma. l’efficienza, non è un ruolo del mercato? Se il bene viene allocato in maniera inefficiente,
rivenderlo sul mercato ripara il danno?
Dipende dai contesti. Ma una volta che l’appalto è stato affidato, i clienti per la rinegoziazione
sono pochi e con poca informazione ...
Resale conditions sono inefficienti.
5
1.7
Indice
Gli argomenti verranno esposti secondo la lista degli "obiettivi".
Di ogni risultato sarà data:
• la derivazione generale, dove la sola ipotesi è che le valutazioni siano iid. (Non per gli esercizi
d’esame, ma per soddisfare la curiosità di molti).
• la derivazione per la funzione di probabilità cumulata uniforme F (v) = (va )(n−1) , dove a =esponente
della funzione, per ipotesi a = 1, e n = numero dei bidders e la relativa funzione di densità è la
F 0 (v) = (n − 1) · vn−2 · 1.
• il caso semplice di n = 2, a = 1 : F (v) = v e F 0 (v) = 1.
2
Strategia Ottima di Bidding
L’obiettivo è cercare la strategia di bidding che massimizzi il payoff del bidder. Il calcolo sarà effettuato
innanzitutto per l’Asta di I prezzo in busta chiusa (First-Price-Sealed-Bid, FPSB) e poi per l’Asta di
II prezzo in busta chiusa (Second Price Sealed Bid, SPSB).
2.1
Aste di I Prezzo in busta chiusa (FPSB)
Espongo prima il caso generale a n bidders e poi presento il caso lineare con 2 bidders.
2.1.1
Caso n bidders (avanzato, facoltativo)
Si consideri il payoff del bidder i-esimo come da
⎧
⎨ vi − bi
vi −bi
ui (bi , b−i ) =
⎩ k
0
eq. (7)
se bi > max b−i
se bi = b−k , dove k @ −i
se bi < max b−i
Come avversari possiamo considerare:
1. tutti i bidders −i, e quindi la distribuzione delle valutazioni degli altri sarà il prodotto delle
(n − 1) funzioni di distribuzione:
• se sono tutti uguali: F (v)n−1 ,
Q
• se sono tutti diversi: −i F−i (v−i ),
2. colui che ha la valutazione massima v−i ≡ max−i (v2 , ...vn ) , la cui funzione di distribuzione
cumulata
G (v) = F (v)n−1
e la cui relativa funzione di densità
g (v) = G0 (v) = (n − 1) F (v)n−2 f (v)
Dunque il bidder 1 vince, quando il massimo bid degli altri è inferiore al proprio
β (v−1 ) < b1 e dunque v−1 < β −1 (b1 )
Il problema del bidder è
max Eui (bi , b−i )
bi
:
(vi − bi ) Pr {(bi > b1 ) , (bi > b2 ) , .., (bi > bi−1 ) , (bi > bi+1 ) , .., (bi > bn )}
= (vi − bi ) F (vi )n−1
¡
¢n−1
= (vi − bi ) F β −1
i (bi )
6
(8)
oppure, lo si può scrivere utilizzando soltanto la probabilità che bi sia maggiore del più alto fra i bids
degli altri
max Eui (bi , b−i )
bi
Derivando rispetto a bi
:
(vi − bi ) Pr {bi > max {b−i }}
= (vi − bi ) G (vi )
¡
¢
= (v1 − bi ) G β −1
i (b1 )
(9)
¢
¡
¡ −1
¢
g β −1 (bi )
∂Eui (bi , b−i )
¢ =0
: −G β (bi ) + (vi − bi ) 0 ¡ −1
∂bi
β β (bi )
sapendo che β −1 (b1 ) = v1 e riscrivendo tutto in vi , si può esprimere la stessa equazione in termini
delle valutazioni
g (vi )
∂Eui (v1 , v−1 )
=0
: −G (vi ) + (vi − β (vi )) 0
∂vi
β (vi )
da cui
G (vi ) β 0 (vi ) + g (vi ) β (vi ) = vi g (vi )
equivalente a
d
[G (vi ) β (vi )] = vi g (vi )
dvi
(10)
da cui, poiché β (0) = 0, integrando, trovo la soluzione, espressa verso la sola valutazione avversaria
massima.
Z vi
1
x · g (x) · dx
(11)
β ∗ (vi ) =
G (vi ) 0
ovvero
Z vi
h
i
1
(n−2)
∗
β (vi ) =
x
·
(n
−
1)
F
(x
)
/
f
(x)
· dx
(12)
F (vi )n−1 0
dove abbiamo usato le (4) e (3) per passare dalla (11) alla ((??)) .
Il risultato, il bid d’equilibrio di un giocatore con valutazione vi è pari la valore atteso della seconda
valutazione più alta V−i , condizionata al fatto che vi sia la valutazione più alta.
β ∗ (vi ) = E [V−i |V−i < vi ]
Fin qui è stata determinata soltanto la condizione necessaria per la "Miglior Risposta o Funzione
di Reazione", proveniente dalle condizioni del I ordine. Adesso bisogna stabilire la condizione sufficiente, verificando le condizioni del secondo ordine. Ovvero, verificare che non convenga utilizzare una
valutazione maggiore o minore di quella d’equilibrio.
Condizioni del secondo ordine (Facoltativo).
Proposizione 1 Le strategie simmetriche di equilibrio in un’asta al primo prezzo sono date dalla
regola
β (vi ) = E [V−i |V−i < vi ]
dove v−i = il massimo delle (n − 1) valutazioni indipendenti estratte.
Proof. Sappiamo che β (vi ) è una funzione monotòna continua e crescente. Quindi in equilibrio
chi ha la massima valutazione propone il bid più alto e vince. Inoltre non è ottimo che il bidder 1
scommetta bi > β (vi ) . Vediamo cosa succede per un’offerta inferiore al bid d’equilibrio bi ≤ β (vi ) .
7
Sia zi ≤ vi , la valutazione che genera il bid inferiore a quello di equilibrio, ovvero tale che zi =
β −i (bi ) e calcoliamo quale sia il payoff
Eui (bi , vi ) = [v1 − β (zi )] G (zi )
= G (zi ) vi − G (zi ) β (zi )
= G (zi ) vi − G (zi ) E [v−i |v−i < zi ]
= usiamo la (11)
Z zi
xg (x) dx
= G (zi ) vi −
0
=
integrando per parti
Z
zi
G (x) dx
= G (zi ) vi − G (zi ) zi +
0
Z zi
G (x) dx
= [vi − zi ] G (zi ) +
0
Adesso compariamo l’utilità nel caso del bid d’equilibrio β (vi ) e quello relativo all’applicazione della
stessa funzione su una valutazione zi < vi ., inferiore alla massima vi .
½
¾ ½
¾
Z vi
Z zi
G (vi ) [vi − vi ] +
G (x) dx − G (zi ) [vi − zi ] +
G (x) dx
Eui [β (vi ) , vi ] − Eui [β (zi ) , zi ] =
0
0
Z vi
Z zi
= 0+
G (x) dx − G (zi ) [vi − zi ] +
G (x) dx
0
0
Z zi
= G (zi )[zi − vi ] −
G (x) dx ≥ 0, per zi R 0
| {z }| {z }
vi
|
{z
}
altezza base
area−sotto−curva
l’equilibrio si ottiene quando le due aree si bilanciano.
osservazione 2 La logica di ottimizzazione è il trade-off fra l’ottenere l’oggetto e non spendere "troppo"
per ottenerlo, perché pagando bi = vi il profitto è lo stesso che nel caso del perdere l’oggetto.
Proposizione 2 Shading. (facoltativo, ma il risultato numerico SI). L’equazione di equilibrio del
bid (11) si può riscrivere come
Z vi
G (x)
I
dx
β (vi ) = vi −
G
(v )
| 0 {z i }
deg ree−of −shading
8
Dim.. Dalla integrazione per parti sappiamo
Z b
Z b
b
u · dz = u · z]a −
z · du
a
a
Sia z = G(v) e dz = g (x) dx, u = xi , si ha
Z
Z vi
vi
x · g (x) · dx = xi g (xi )]0 −
0
0
vi
G (x) · dx
il membro di sinistra per la (10) e il membro di destra viene integrato. Risulta
Z vi
G (vi ) β (vi ) = vi G (vi ) −
G (x) · dx
0
da cui
R vi
∗
0
β (vi ) = vi −
|
G (x) · dx
G (vi )
{z
}
(13)
deg ree−of −shading
oppure
∗
β (vi ) = vi −
R vi
0
|
F (x)n−1 · dx
F (v)n−1
{z
(14)
}
deg ree−of −shading
• Lo shading diminuisce al crescere di n.
Esempio 1 Calcolare strategia di bidding come "miglior risposta" per il meccanismo d’asta al I prezzo,
data la funzione di densità uniforme F (x) = v =⇒ per n bidders G (x) = F (x)n−1 = vn−1 .
Date la (12) e la (11) si ha:
β ∗I (vi ) = E [V−i |V−i < vi ]
Z vi
1
x · g (x) · dx
=
G (vi ) 0
Z vi
h
i
1
(n−2)
x
·
(n
−
1)
F
(x
)
/
f
(x)
· dx
=
F (vi )n−1 0
Z
£ n−2 ¤
(n − 1) vi
x
·
x
· 1 · dx
=
vin−1 0
¸
(n − 1) xn vi
=
·
n 0
vin−1
(n − 1) vin
(n − 1)
=
vi
n−1 n =
n
vi
vi
=
2
Utilizzando invece le formule che esplicitano lo "shading", le (13) e (14) si ha:
β ∗I (vi )
= vi −
Z
|
0
vi
xn−1
dx
vin−1
{z
}
deg ree−of −shading
1
n−1
vi =
vi =
n
n
i
Ry
n+1 vi
vin+1
*Regola: 0 xn dx = xn+1
= n+1
= vi −
0
= vi −
Z
0
vi
x3−1
dx = vi −
vi3−1
2
vi
3
−
0n+1
n+1
.
9
Z
0
vi
x2
x3
dx
=
∗
=
v
−
i
vi2
3vi2
¸vi
0
=
2.1.2
Esempio con funzioni lineari e n = 2 (SI)
max Eui (bi , bj )
bi
:
(vi − bi ) Pr {bj < bi }
= (vi − bi ) Pr {β (vj ) < bi }
Si noti che
Pr {β (vj ) < bi }
ª
©
Pr vj > β −1 (bi )
ª
©
Pr vj < β −1 (bi ) = β −1 (bi )
In questo caso
Pr {aj + cj vj < bi }
¾
½
bi − aj
bi − aj
=
Pr vj <
cj
cj
dove l’ultimo passaggio è in ragione della distribuzione uniforme delle valutazioni, per la quale g (x) =
1. Dunque
¶
µ
bi − aj
max ui (bi , bj ) : (vi − bi )
bi
cj
∂ui (bi , bj )
bi − aj
1
: −1 ·
+ (vi − bi ) = 0
∂bi
cj
cj
da cui la funzione di reazione
aj + vi
2
che tuttavia è già una soluzione, perché non dipende dalla valutazione dell’avversario.
Dal momento che
b∗i (vi = 0) = 0 =⇒ aj = 0
b∗i (vi ) =
da cui
b∗i (vi ) =
vi
2
è un equilibrio.
2.2
Asta al II prezzo in busta chiusa (SPSB)
Definizione 2 Asta al II prezzo. Il bidder che propone il bid più alto vince, ma paga un prezzo pari
alla seconda offerta più alta pi = max b−i .
Payoffs
⎧
se bi > max b−i
⎨ vi − max b−i
(v − max (b−i )) /k se bi = b−k , dove k @ −i
ui (bi , b−i ) =
⎩ i
0
se bi < max b−i
(15)
Andiamo a dimostrare che
1. β II (vi ) = vi
2. pII (vi ) = β I (vi ) perché la funzione di profitto richiede la stessa probabilità di vittoria ovvero
che la vale Pr(win) · E [2◦ bid più alto | v1 è il max]
osservazione 3 La strategia al II prezzo non si può trovare ottimizzando perché il payoff andrebbe a
zero. Quindi si procede come nella Proposizione seguente, utilizzando il valore atteso del payoffs su
tutti i bids possibili.
10
osservazione 4 La strategia al II prezzo non si può trovare ottimizzando perché il profitto andrebbe
a zero.
osservazione 5 Né si può usare l’equivalenza in termini di funzione cumulate, perché l’equivalenza è
solo in termini di funzioni di densitàProposizione 3 In un’asta in busta chiusa al secondo prezzo, la strategia debolmente dominante è
∗
bII
i = β II (vi ) = vi
Dim.. Il bidder i offre bi > max b−i , l’offerta (= bid) competitiva più alta.
• Scommettendo bi ,il bidder vince secondo i payoffs (15) .
• Assumiamo che il bidder scommetta invece un valore bi < vi .
— Se vi > bi > pi , vince lo stesso e ottiene u1 = v1 − p1 > 0.
— Se pi > vi > bi , perde comunque.
— Se vi > pi > zi , perde, mentre se avesse scommesso v1 , avrebbe ottenuto u1 = v1 − p1 > 0.
Quindi conviene sempre scommettere b1 = v1 (truthtelling strategy). Scommettere meno non fa
mai vincere ed anzi nell’ultimo caso fa perdere.
• In sostanza il bid serve solo a vincere / perdere, ma non determina il prezzo, che dipende dai
bid degli altri.
• L’argomento non usa il fatto che le distribuzioni siano indipendenti, né che siano identiche.
Quanto dunque è il prezzo atteso che il bidder si attende di pagare?
Il bidder cerca bi tale che
Z b1
max u1 (v1 , b1 , β (.)) =
(v1 − x) g (x) dx
b1
0
Z b1
=
(v1 − x) (n − 1) F (x)n−2 f (x) dx
(16)
0
dunque
Condizioni del I ordine
∂u1 (v1 , b1 , β (.))
∂b1
:
(v1 − b1 ) (n − 1) F (x)n−2 f (x) = 0
=⇒ b1 = v1
Condizioni del II ordine
Se b1 < v1 e il bid x viene aumentato, (v1 − x) > 0 e quindi l’integrale cresce fino a quando x = v1 .
Z v1
(v1 − x) (n − 1) F (x)n−2 f (x) dx > 0
se b1 < x < v1 =⇒
b1
Se invece b1 > v1 l’integrale è negativo fino a quando x = v1 . e quindi conviene diminuire il bid fino
alla valutazione.
Z v1
(v1 − x) (n − 1) F (x)n−2 f (x) dx < 0
se b1 > x > v1 =⇒
b1
e quindi b1 −→ v1 .
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osservazione 6 Nell’Asta al 1 prezzo, la strategia dipende dallo "shading", il quale dipende dal numero dei partecipanti e dalle loro distribuzioni. Nell’asta al 2 prezzo, l’utilità è massima per bi = vi ,
indipendentemente dalle distribuzioni di probabilità, MA il prezzo sarà diverso dal bid.
osservazione 7 DISCUSSIONE BENVENUTA. Chiamiamo v1 la valutazione più alta e v2 la seconda valutazione più alta. Poiché la probabilità necessaria a vincere è la stessa dell’asta al I prezzo,
ovvero P r [V−1 < v1 ] il prezzo ottimizzante è quello dettato dalla strategia dell’Asta al I prezzzo β I (v1 ) .
Quindi, di fatto, tutti i calcoli coincidono. Semplicemente, tuttavia, non si potrà rapportare il prezzo
pagato al valore di v1 , (DA DISCUT ERE) ovvero
pII = b2 = β I (v1 ) = β II (v2 ) = v2 ?
(17)
e quindi è necessario usare la probabilità della seconda valutazione, condizionata alla probabilità che
la prima valutazione quella vincente. Ciò è dato dalla distribuzione di probabilità cumulata in eq. (5)
e dalla funzione di densità (6) . La dimostrazione dell’equivalenza (17) viene effettuata a proposito
dell’equivalenza dei ricavi del venditore (seller).
osservazione 8 (Da DISCUTERE) Non si può usare l’equivalenza in termini di funzione cumulate,
perché l’equivalenza è solo in termini di funzioni di densità-
3
Esercizio
• Parametri: v ∈ [0, 1] ,
• G (v) = F (v)n−1 = vn−1 ,
• G0 (v) = F 0 (v) = f (v) = (n − 1) F (v)n−2 f (v)
• Per n = 2 : F (v) = v,
f (v) = 1 · 1 · 1
Vogliamo calcolare per ogni tipo di asta A = I, II:
1. Strategia ottima di bidding β i (vi ) .
2. Valore medio atteso delle due strategie di bidding su tutto l’intervallo di valutazione.
3. Ricavo medio atteso del seller.
• Usare la tavola riassuntiva.
CONTINUA
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