Urti Normali Meccanica dei Fluidi: Modulo di Fluidodinamica AA 2013-2014 A cura di: Alessandro Di Marco, PhD Effetto del Ma sul flusso compressibile nei condotti Flusso Stazionario compressibile quasi unidimensionale (QU) Condotto a sezione debolmente variabile Re , Fr , St u2=u3=0 d 0, 0 x1 dx1 x2 x3 Valutiamo condizioni di flusso in funzione dell’area A. Dalla CdM: u A const Differenzio: d u A 0 dx Divido per uA: 1 dA 1 du 1 d 0 A dx u dx dx Ricordo che CQM: u u P d dA du u A uA 0 dx dx dx du dP u dx dx du 2 d u c0 dx dx Effetto del Ma sul flusso compressibile nei condotti Quindi: 1 dA 1 du 1 d 1 dA 1 du u du 1 dA 1 du u 2 1 2 0 2 A dx u dx dx A dx u dx c0 dx A dx u dx c0 Da cui: 1 dA 1 du Ma 2 1 A dx u dx Ugello Convergente-Divergente (De Laval) • Consente di accelerare i gas oltre Mach 1; • È una delle configurazioni più usate in alcune applicazioni aerospaziali (propulsione); • Inventata da Gustaf de Laval nel 1888 per essere utilizzata nelle turbine a vapore; • Utilizzata nei razzi da Robert Goddard; • La temperatura e la pressione statica diminuiscono all’aumentare del Mach dei gas di scarico; • Maggiore è il Mach in uscita maggiore sarà la spinta. Ugello Convergente-Divergente (De Laval) Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval a) Pressione esterna (pe) poco inferiore a p0 Il flusso accelera nel convergente Non raggiunge M=1 nella sezione di gola Essendo quindi Subsonico si ricomprime nel divergente. b) Diminuisco Pressione esterna (pe) Il flusso accelera ma non abbiamo ancora condizioni soniche in gola. Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval c) Diminuisco pressione esterna (pe) Si raggiunge una condizione per la quale si ha M=1 in gola. Il flusso è ancora subsonico nel divergente. Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval j) Condizioni di progetto (pe= pj) Il flusso si espande isentropicamente fino alla pressione pj. Il flusso è supersonico nel divergente. Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval d-f) Condizione (pf≤pe< pc) Abbassando la pe da pc la pressione in gola non varia più. La portata non aumenta ulteriormente (choking). In queste condizioni non esiste alcuna soluzione isentropica. Si verificherebbe una discontinuità! Si ha la comparsa di un Onda D’Urto: dopo l’espansione supersonica si ha una brusca ricompressione. Poi subsonico. Al diminuire della pe l’onda si sposta verso l’uscita. In f l’urto si verifica nella sezione di uscita. Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval g-h) Condizione (pj<pe< pf) Il flusso è supersonico in tutto il divergente ma la pressione di uscita è inferiore a quella esterna. La compressione si verifica all’esterno con un sistema di Urti Obliqui. Ugello sovraespanso. Effetto del rapporto tra le pressioni sul flusso in un ugello di De Laval k) Condizione (pe< pj) L’espansione prosegue all’esterno del divergente. Ugello Sottoespanso. Modello matematico per onda d’urto Modello Matematico Processi dissipativi quindi non si può far uso delle isentropiche. Notevoli variazioni di entropia. Urto di spessore infinitesimo dell’ordine del cammino medio. Ipotesi di Unidimensionalità. Equazioni di partenza 1u1 2u2 Equazione di CdM 1u12 P1 2 u22 P2 Equazione di CQM Modello Unidimensionale (U) Si trascurano: d 0, 0 x1 dx1 x2 x3 u2=u3=0 Si trascurano le variazioni di area, quindi: d u 0 dx D u 0 Dt u 0 Du P Dt d u2 d P 0 dx dx u cos t d u 2 P 0 dx u 2 P cost Da cui: 1u1 2u2 u P1 u P2 2 1 1 2 2 2 Onda d’urto normale Dalla QM sostituendo l’equazione di stato: P1 2 P2 2 P1 u1 P2 u2 RT1 RT2 Riarrangio con g: g u12 g u2 2 P2 1 P1 1 g R T1 g R T2 Ottengo il rapporto delle pressioni monte e valle dell’urto: P1 1 g M 22 P2 1 g M 12 Onda d’urto normale Dalla CdM e dall’equ di stato: P1 1 RT1 u2 T1 gRT2 T1 M 2 P2 2 RT2 u1T2 gRT 12 T2 M1 1 1 2 Cioè: P1 T1 P2 T2 1 2 M2 M1 T1 H M1 , M 2 T2 1 g M 22 M2 1 2 M1 , M 2 2 H M1 1 g M1 Combinando le precedenti equazioni si ottengono: 2 M 12 g 1 2 M2 2g M 12 1 g 1 γ 1 2 2γ M 1 M 12 1 1 2 T2 γ 1 . γ 1 M 2 T1 1 2γ 1 2 P2 2 g M 1 g 1 P1 g 1 g 1 M12 2 1 2 g 1 M12 Onda d’urto normale Dalle relazioni precedenti eliminando M1 si ottengono le relazioni di Rankine-Hugoniot: P2 g 1 P2 1 P1 g 1 P1 P T2 f1 2 P2 g 1 T1 P1 P1 g 1 P2 g 1 1 P1 g 1 P 2 f2 2 P2 g 1 1 P1 P1 g 1 2 g 1 1 1 g 1 P2 f3 2 g 1 2 P1 1 g 1 1 Variazione dell’entropia nell’urto Nell’urto c’è una degradazione di energia meccanica in energia termica che darà luogo ad un aumento di entropia. La temperatura totale si conserva: Tt 1 Tt 2 Tt Che implica: Ct 1 Ct 2 Ct Variazione dell’entropia nell’urto Ricordando che: R cv g 1 Integro tra due stati 1 e 2: dp d dT dv cv dS cv g R T v p g 1 T2 v2 T2 1 S 2 S1 cv ln cv g 1 ln cv ln ln T1 2 T1 v1 T S 2 S1 cv ln 2 1 T1 2 g 1 g T p cv ln 2 2 1 cv ln 2 1 T1 1 2 p1 2 g 2g S 2 S1 2 g 1 g 1 2 Si può ottenere un’equazione: f M 1 g ln M1 ln 2 Cv g 1 g 1 M 1 g 1 g 1 Variazione dell’entropia nell’urto L’andamento dell’equazione: 2g S 2 S1 2 g 1 g 1 2 f M 1 g ln M1 ln 2 Cv g 1 g 1 M 1 g 1 g 1 M1<1 non è fisicamente realizzabile Intorno a M1=1 urti deboli Aumentando M1 cresce l’intensità dell’urto
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