DEFINIRE I COEFFICIENTI KT (COEFFICIENTE DI

DEFINIRE I COEFFICIENTI KT (COEFFICIENTE DI INTAGLIO TEORICO) E KS (COEFFICIENTE DI INTAGLIO
SPERIMENTALE) ED EFFETTUARE UN CONFRONTO COMPARATIVO PER UN MATERIALE DUTTILE
𝐾𝑡 -> rapporto tra lo sforzo effettivo massimo dovuto all’intaglio e lo sforzo in assenza di intaglio. Quantifica l’effetto
geometrico sulla sollecitazione. Dipende dalla geometria del problema e dal tipo di carico applicato e non dal
materiale. Noto tale coefficiente si risale allo sforzo massimo agente in una sezione a partire dal calcolo delle
𝜍
sollecitazioni nominali: 𝐾𝑡 = 𝜍𝑚𝑎𝑥
𝑛𝑜𝑚
′
𝐾𝑠 -> rapporto tra il carico limite in un elemento non intagliato 𝐹𝐿𝐼𝑀 e l’effettivo carico limite 𝐹𝐿𝐼𝑀
del componente
intagliato con la stessa sezione resistente del provino liscio. 𝐾𝑠 dice di quanto si riduce il carico limite applicabile per
𝐹
la presenza della variazione geometrica: 𝐾𝑠 = 𝐹𝑙𝑖𝑚
′
𝑙𝑖𝑚
Entrambi valgono per legame costitutivo lineare.
Per i materiali duttili il valore del coefficiente di intaglio sperimentale
varia a seconda della condizione limite utilizzata e cioè:
- Plasticizzazione totale (condizione limite è lo snervamento) :
Ks = 1 [l’intaglio non determina alcuna penalizzazione della
capacità di carico ultima della sezione]
- Prima plasticizzazione (condizione limite è la rottura): Ks = Kt
[comportamento dei materiali fragili]
Si ha un effetto di intaglio molto più penalizzante nei materiali fragili rispetto ai materiali duttili poiché raggiunto il
cedimento locale si va a rottura.
SI ILLUSTRI IL CRITERIO DI MINER PER LA VERIFICA A FATICA AD AMPIEZZA VARIABILE
Si consideri un provino sottoposto a fatica alternata con sollecitazioni più
elevate del limite di fatica, in cui però l’ampiezza 𝑎 non sia costante:
per esempio viene applicata 𝜍𝑎 = 𝜍1 per n1 cicli, poi 𝜍𝑎 = 𝜍2 per n2 cicli.
La resistenza con sollecitazioni di questo tipo va valutata con apposite
metodologia, sviluppate sulla base di quanto proposto da Miner.
Si consideri il diagramma di Wohler, sia N1 il numero di cicli di
sollecitazione, di ampiezza 𝜍𝑎 = 𝜍1 , che il materiale può sopportare
prima di giungere a rottura: dovrà essere n1<N1, per evitare di
raggiungere la rottura. Si può in particolare pensare che dopo n1 cicli con
𝜍𝑎 = 𝜍1 sia utilizzata una frazione di vita pari a n1/N1, cosicchè rimane una frazione utile data da 1 – n1/N1 . Secondo
Miner, questa frazione può essere spesa ad un altro livello di carico. Detto N2 l’analogo di N1 per 𝜍𝑎 = 𝜍2 , il massimo
𝑛
𝑛
numero di n2 di cicli con 𝜍𝑎 = 𝜍2 sarà tale da soddisfare la relazione : 2 = 1 − 1 . Generalizzando tale approccio,
𝑁2
𝑁1
nel caso di frazioni di danneggiamento differente, possiamo applicare la legge di Miner (o del danneggiamento
𝑛
𝑛
cumulativo): 𝑁𝑖 = 1. In realtà la legge di Miner presenta una forte dispersione e si può trovare 𝑁𝑖 = 0 ÷ 10 (un
𝑖
𝑖
errore fino al 10%). Queste relazioni sono, di regola, valide per sollecitazioni in campo elastico.
DEFINIRE I COEFFICIENTE KT ( COEFFICIENTE DI INTAGLIO TEORICO) E KF (COEFFICIENTE DI INTAGLIO A FATICA),
DESCRIVENDO IL LEGAME PRESENTE TRA I DUE PARAMETRI
Il coefficiente di intaglio teorico viene utilizzato nell’ambito di prove statiche per provini soggetti ad uno o più intagli.
𝜍𝑚𝑎𝑥
𝐾𝑡 =
𝜍𝑛𝑜𝑚
Essendo 𝜍𝑚𝑎𝑥 lo sforzo effettivo dovuto alla presenza dell’intaglio e 𝜍𝑛𝑜𝑚 lo sforzo nominale, ovvero lo sforzo che si
avrebbe nella sezione senza l’effetto dell’intaglio.
Nell’ambito di prove a fatica, lo sforzo assumera un valore di 𝜍𝐹𝐴 (sforzo di fatica alternata), che ovviamente risulta
diverso nel caso di provini con presenza di intaglio. Il rapporto fra i due limiti è il coefficiente di intaglio a fatica,
definito come:
𝜍𝐹𝐴
𝐾𝑓 = ′
𝜍𝐹𝐴 (𝐾𝑡 )
Il coefficiente di intaglio a fatica 𝐾𝑓 risulta minore del coefficiente di intaglio teorico 𝐾𝑡 , sebbene , in generale,
questa differenza non sia grande; infatti, utilizzando 𝐾𝑡 al posto di 𝐾𝑓 nel dimensionamento e nella verifica, si opera
in maniera cautelativa.
La relazione tra i due coefficienti può essere espressa nella forma: 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞 𝐾𝑡 − 1 dove 𝑞 è la sensibilità
all’intaglio a fatica ed è compreso tra 0 (totale insensibilità) e 1 (massima sensibilità). 𝑞 dipende sia dal gradiente
degli sforzi in corrispondenza della zona intagliata (pendenza 𝑑𝜍/𝑑𝑥 ) che dalle caratteristiche meccaniche del
materiale. Può essere ricavata attraverso l’utilizzo dei grafici in funzione del raggio di raccordo oppure utilizzando le
1
formule di Peterson o di Neuber rispettivamente : 𝑞 = 1+𝑎/𝑟 (r raggio di raccordo e a parametro caratteristico del
materiale) o 𝑞 =
1
1+ 𝜌/𝑟
( 𝜌 è caratteristica del materiale, funzione del carico di rottura del materiale stesso e r
raggio di raccordo).
DEFINIRE LA TENACITA’ ALLA FRATTURA 𝑲𝑰𝑪 , METTENDO IN EVIDENZA LA DIPENDENZA DEL PARAMETRO 𝑲𝑪
DALLO SPESSORE
Il fattore K è un parametro di similitudine: strutture con differenti geometrie, carichi e lunghezza di cricca, ma con lo
stesso valore di K, sono caratterizzate da uno stato di sforzo all’apice della cricca simile e si comportano, quindi, allo
stesso modo (per uguale campo di sollecitazione). La condizione di cedimento (propagazione instabile della cricca) è
espressa dall’uguaglianza del fattore K nel componente con un fattore critico caratteristico del materiale: 𝐾𝐼𝐶 .
La propagazione instabile della cricca avviene quando gli sforzi all’apice della cricca raggiungono un valore critico,
troppo elevato perché sia sopportabile dal materiale. Poiché lo stato di sforzo è caratterizzato dal
fattore di intensità degli sforzi si può anche dire che la frattura si manifesta se K raggiunge un valore
critico, chiamato 𝐾𝐼𝐶 : 𝐾𝐼 = 𝐾𝐼𝐶 (𝐾𝐼𝐶 : tenacità alla frattura o fattore di intensità degli sforzi critico in
𝑃
stato di deformazione piana, la cui unità di misura è 𝑀𝑃𝑎 𝑚 ): 𝐾𝐼𝐶 = 𝐾𝐼 = 𝛽𝜍 𝜋𝑎 = 𝑊𝐵 𝜋𝑎 dove è
𝑎
funzione di tutti i fattori geometrici che influenzano lo sforzo all’apice della cricca e se 𝑊 < 0.5 → 𝛽 = 1
altrimenti 𝛽 = 1.12.
Nella realtà, il fattore di intensità degli sforzi critico è variabile con lo spessore (stato di sforzo). La frattura si
raggiunge non perché si raggiunga un determinato valore di K, ma perché i valori degli sforzi diventano troppo
elevati per essere sopportati dal materiale.
ENUNCIARE LA FORMULAZIONE E IL CAMPO DI VALIDITA’ DEI CRITERI DI RESISTENZA DI HUBER-HENCKY-VON
MISES E GUEST-TRESCA, E DISCUTERE LE DIFFERENZE TRA I DUE
Si tratta di due criteri utilizzati per studiare la resistenza statica di un materiale duttile (cioè con un rapporto tra Rm e
Rs percentuale superiore al 5-10%) in cui la modalità di cedimento si presenta con uno snervamento marcato
(fenomeno della strizione) e un allungamento notevole con particolare facilità a deformarsi plasticamente. Come
sollecitazione limite si considera lo snervamento ( cedimento non catastrofico e coefficiente di sicurezza minore
rispetto a materiali fragili).
Il criterio di GT si basa sul fatto che i materiali duttili raggiungono il cedimento per scorrimento, cioè quando lo
sforzo tangenziale massimo eguaglia il massimo valore dello sforzo tangenziale che si ottiene dalla prova di trazione,
quando si raggiunge lo snervamento. La grandezza indice del pericolo è il massimo sforzo tangenziale, che si
raggiunge sui piani inclinati a 45° rispetto alle direzioni principali, ossia sono equivalenti al pericolo del cedimento
tutti gli stati di sforzo che presentano uguale 𝜏𝑀𝐴𝑋 . Si ha:
𝜍𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐 ,𝑚𝑎𝑥 − 𝜍𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐 ,𝑚𝑖𝑛
𝑅𝑆𝑁
𝑅𝑆𝑁
∗
𝜏𝑀𝐴𝑋 =
≤
; 𝜍𝐺𝑇
= 𝜍𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐 ,𝑚𝑎𝑥 − 𝜍𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐 ,𝑚𝑖𝑛 ≤
2
2η
η
La curva limite risulta un esagono: i punti all’interno rappresentano tutti gli stati di sforzo con 𝜍𝐼𝐼𝐼 = 0 accettabili,
mentre per i punti all’esterno non è verificata la condizione del criterio di GT.
Secondo HHV si ha snervamento quando l’energia di distorsione è uguale all’energia di distorsione che provoca lo
snervamento in un provino sollecitato a trazione. La grandezza indice del pericolo è quindi l’energia specifica elastica
di deformazione relativa alla variazione di forma (tensore deviatorico).
Ogni materiale sollecitato elasticamente subisce un piccolo cambiamento di forma, di
volume o di entrambi, l’energia necessaria a produrre tale cambiamento viene
immagazzinata nel corpo sotto forma di energia elastica. Tuttavia, un certo materiale ha
una limitata e definita capacità di assorbire energia di distorsione, ossia energia tendente
a cambiare la forma ma non il volume, ogni tentativo di incrementare l’energia di
distorsione ceduta al corpo oltre quel dato limite produce lo snervamento.
L’impiego di questo criterio implica l’utilizzo del concetto di tensione equivalente, definita
come la tensione uniassiale di trazione che produrrebbe lo stesso valore di energia di distorsione prodotto
dall’effettivo stato di tensione in esame. In termini di tensioni principali, l’equazione della tensione equivalente è:
∗
2
2
𝜍𝑉𝑀
= 𝜍𝐼2 + 𝜍𝐼𝐼2 + 𝜍𝐼𝐼𝐼
− 𝜍𝐼 𝜍𝐼𝐼 − 𝜍𝐼𝐼 𝜍𝐼𝐼𝐼 − 𝜍𝐼𝐼𝐼 𝜍𝐼 → 𝜍𝐼2 + 𝜍𝐼𝐼2 − 𝜍𝐼 𝜍𝐼𝐼 = 𝜍𝑠𝑛
che corrisponde all’equazione di
un’ellisse. Il criterio di von Mises predice nel caso della torsione pura una 𝑠𝑛 che è superiore di circa il 15% rispetto
a quella determinata con il criterio di Guest Tresca. Le verifiche sperimentali hanno mostrato che il criterio di von
Mises descrive meglio il comportamento dei materiali duttili. Inoltre, se sono note le direzioni e le grandezze degli
sforzi principali, è di più semplice utilizzo rispetto a quello di Geust-Tresca. Confrontando questo criterio con quello
di Guest-Tresca, si osserva che quest'ultimo è più restrittivo, poiché la curva limite nel piano 𝜍𝐼𝐼𝐼 = 0 è
completamente contenuta in quella del criterio di von Mises.
DESCRIVERE BREVEMENTE IL DIAGRAMA DI WOHLER E DEFINIRE I SEGUENTI PARAMETRI DA ESSO RICAVABILI:
- VITA A FATICA
- RESISTENZA A FATICA
- LIMITE A FATICA
Il diagramma di Wohler è un diagramma in scala logaritmica ricavato sperimentalmente tramite prove di fatica e
mette in relazione lo sforzo alternato 𝜍𝑎 (ordinate) con il numero di cicli di sollecitazione N (ascisse) che il
materiale può sopportare prima di giungere a rottura, per cui è un diagramma specifico per ogni materiale.
Si definiscono:
- La vita a fatica 𝑁 che è il numero di cicli di carico in corrispondenza del quale si verifica la rottura di un
provino per un dato livello di sforzo;
- La resistenza a fatica che è il valore dell’ampiezza di sforzo che provoca la rottura in corrispondenza di 𝑁 cicli
di carico;
- Il limite di fatica 𝜍𝐹 , che è il valore di resistenza a fatica per durata cosiddetta illimitata, cioè il valore di
sforzo al di sotto del quale non si arriva a cedimento per un numero molto elevato di cicli (𝑁 = 107 ÷ 108 ).
Nel diagramma è possibile distinguere 3 diverse zone:
- una zona di vita finita K, in cui il pezzo giunge a rottura con un
numero N basso e sollecitazioni molto elevate (𝑁 = 103 );
- una zona di vita illimitata D (potenzialmente), in quanto il pezzo non
giunge a rottura o può giungere a rottura per un numero di cicli
molto alto, sebbene si abbia uno sforzo più basso di Rm,
rappresentato dallo sforzo di fatica alternata (con effetto di intaglio,
eventualmente) 𝜍′𝐹𝐴 . Gli sforzi applicati sono inferiori ma si
verificano ancora delle rotture. Il legame tra sforzi e durata è di tipo
esponenziale: 𝜍 𝑚 𝑁 = 𝑐𝑜𝑠𝑡;
- la terza zona Z è una zona di transizione tra le due appena descritte ed è la zona in cui per sollecitazioni
inferiori al limite di fatica non si verificano rotture.
DIAGRAMMA DI HAIGH
Per tenere conto della sollecitazione media sulla resistenza a fatica si utilizza di diagramma di H che rappresenta le
ampiezze delle sollecitazioni limite (ordinate) in funzione delle sollecitazioni medie (ascisse). Per 𝜍𝑚𝑒𝑑 positive, nel
caso di flessione, l’ampiezza 𝜍𝑎 diminuisce, mentre per 𝜍𝑚𝑒𝑑 negative tende ad aumentare. Nel caso di torsione, fino
allo snervamento la 𝜏𝑚𝑒𝑑 non influenza la 𝜏. La verifica ha esito positivo se il punto caratteristico dello stato di sforzo
𝜍𝑚𝑒𝑑 − 𝜍𝑎 è interno alla curva limite di H. Per valutare il coefficiente di sicurezza, bisogna trovare il punto sulla curva
limite corrispondente allo stato di sforzo che si sta considerando.
STATO DI SFORZO MULTIASSIALE: GOUGH-POLLARD E SINES
GP è utilizzabile in caso di presenza contemporanea di azioni di torsione e flessione variabili nel tempo, mentre S ha
validità più generale.
∗
La sollecitazione di confronto di Gough-Pollard è data da 𝜍𝐺𝑃
=
∗
La sollecitazione di confronto di Sines è data da: 𝜍𝐺𝑃
=
𝐾 𝜍𝐼𝑚 + 𝜍𝐼𝐼𝑚 + 𝜍𝐼𝐼𝐼𝑚 dove 𝐾 =
′
𝜍𝐹𝐴
−𝜍 𝑎𝑙𝑖𝑚
𝜍 𝑎𝑙𝑖𝑚
𝜍𝑎2 + 𝐻 2 + 𝜏𝑎2 dove 𝐻 =
′
𝜍𝐹𝐴
′
𝜏 𝐹𝐴
2
2
2
𝜍𝐼𝑎
+ 𝜍𝐼𝐼𝑎
+ 𝜍𝐼𝐼𝐼𝑎
− 𝜍𝐼𝑎 𝜍𝐼𝐼𝑎 − 𝜍𝐼𝐼𝑎 𝜍𝐼𝐼𝐼𝑎 − 𝜍𝐼𝑎 𝜍𝐼𝐼𝐼𝑎 ≤
′
𝜍𝐹𝐴
𝜂
−
dipende dalle caratteristiche del materiale utilizzato e rappresenta un
indice di quanto si riduce il limite sulle componenti alternate e all’aumentare delle componenti medie.

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