Flessione elasto-plastica e coefficiente di intaglio A. Manes Flessione elasto-plastica 2 Un altro modo per valutare il comportamento meccanico dei materiali è quello di sottoporre un provino a flessione, sia a tre punti (quindi con gradiente del momento flettente lungo il provino) sia a 4 punti, con una zona centrale ove il momento flettente è costante. A. Manes Flessione elasto-plastica 3 A differenza della prova di trazione, che induce nel materiale uno stato di sforzo uniforme su tutta la sezione del provino, la flessione induce un gradiente di sforzo, per cui le fibre del materiale non sono tutte sollecitate allo stesso modo. A. Manes Flessione elasto-plastica 4 Consideriamo un caso elementare della prova di flessione eseguita su un provino prismatico, a sezione rettangolare (flessione retta). Il materiale sia un materiale duttile, schematizzabile con il modello elastico-perfettamente plastico e simmetrico a trazione-compressione A. Manes Flessione elasto-plastica 5 •La prova consiste nell’applicare al provino un momento flettente M crescente attraverso l’incremento del carico centrale P. •Le sezioni del provino si mantengono piane man mano che aumenta M e tutte le fibre sono indipendenti le une dalle altre, ossia non vi è scambio di sollecitazioni nella direzione normale all’asse del provino. A. Manes Flessione elasto-plastica Il momento flettente applicato M cresce linearmente fino a quando viene raggiunto il valore cioè fino a quando le fibre esterne (tese e compresse) raggiungono lo sforzo di snervamento σsn. Oltre questo valore di deformazione lo sforzo nelle fibre non può che rimanere costante al livello di σsn; quindi man mano che il momento flettente cresce le sezioni continuano a deformarsi mantenendosi piane, sollecitando al livello σsn fibre via via sempre più interne; il diagramma M-ε non è più lineare dall’inizio della plasticizzazione in poi. In una condizione generica il fronte plastico ha raggiunto una distanza ĥ/2 dall’asse neutro A. Manes 6 Flessione elasto-plastica A. Manes 7 Flessione elasto-plastica 8 E’ intuitivo pensare che, man mano che il fronte plastico si avvicina all’asse neutro, la capacità di sopportare incrementi di M diminuisca, come dimostra l’andamento del diagramma M-ε, che tende a un asintoto che rappresenta il momento flettente Mpt sopportato dalla sezione quando è plasticizzata fino all’asse neutro. Trattasi di una condizione del tutto astratta, in quanto vi corrisponderebbe ε = ∞ sulla fibra esterna; ma è un’utile condizione di riferimento, anche perchè è facile dimostrare che Mpt è quasi uguale al momento che plasticizza, per esempio, il 90% della sezione. A. Manes Flessione elasto-plastica 9 Si definisce momento di inizio plasticizzazione il momento Me per il quale le fibre esterne della sezione raggiungono lo snervamento σsn. Si definisce momento di plasticizzazione totale Mpt il momento per il quale tutta la sezione è plasticizzata. Si definisce il coefficiente di collaborazione a snervamento a flessione CSf il rapporto: che quantifica l’ulteriore capacità della sezione di sopportare carico dopo che è stato raggiunto lo snervamento nella fibra più esterna. A. Manes Flessione elasto-plastica A. Manes 10 Flessione elasto-plastica A. Manes 11 Flessione elasto-plastica 12 Nel caso di sezione rettangolare e di materiale elasticoperfettamente plastico simmetrico. In una situazione generica, con parziale plasticizzazione, il momento sopportato dalla sezione può essere diviso in due parti; la parte Mel del cuore elastico di altezza e la parte Mpe della parte esterna plasticizzata: A. Manes 13 Flessione elasto-plastica Sommando i due contributi la sezione sopporta: I due casi estremi sono l’inizio plasticizzazione, cui corrisponde = h e il momento flettente e la plasticizzazione totale, cui corrisponde flettente: A. Manes = 0 e il momento Flessione elasto-plastica 14 Ne deriva che il coefficiente di collaborazione a snervamento a flessione vale: Per = 0,1h, ossia quando la sezione è plasticizzata al 90% e resta un nucleo elastico del 10%, il momento sopportato dalla sezione vale: cioè il 99,97% di quello di plasticizzazione totale Mpt. A. Manes Flessione elasto-plastica 15 La fase di scarico (ossia di rimozione del momento flettente M) equivale alla sovrapposizione di un momento uguale e di segno contrario a quello applicato in fase di carico. Il modello di materiale che è stato adottato (elasto-plastico perfetto e simmetrico) comporta che la fase di scarico (dopo una fase di carico che ha plasticizzato il materiale) avvenga linearmente con pendenza pari al modulo elastico E fino a raggiungere lo sforzo −σsn; proseguendo la deformazione, lo sforzo deve restare costante al valore −σsn A. Manes Flessione elasto-plastica 16 Dunque lo scarico equivale ad applicare −M alla barra già caricata con M. Poniamoci nella condizione di parziale plasticizzazione, ossia con 0 < < h . L’applicazione di −M comporta la deformazione della sezione indicata nella figura e, poichè il legame σ-ε allo scarico segue una legge lineare, ne consegue lo stato di sforzo residuo nella sezione che è indicato con b) A. Manes Flessione elasto-plastica plasticizzazione totale A. Manes 17 18 Flessione elasto-plastica Un caso reale Bending 180 simulation 160 140 Load (kN) 120 experiment 100 80 60 40 20 0 0 5 10 15 20 25 30 Deflection (mm) A. Manes 35 40 45 50 55 60 19 Flessione elasto-plastica Un caso reale Bending 180 simulation 160 140 Load (kN) 120 experiment 100 80 60 40 20 0 0 5 10 15 20 25 30 Deflection (mm) A. Manes 35 40 45 50 55 60 20 Effetto di intaglio La forma è molto diversa da quella di una trave ideale Come calcoliamo lo stato di sforzo ? A. Manes 21 Effetto di intaglio concetto di intaglio Coefficiente d’intaglio, che quantifica l’effetto geometrico sulla sollecitazione e che ci permetterà di ricavare la sollecitazione massima della particolare geometria di interesse Condizione limite di un organo di macchina al variare del tipo di materiale e della sollecitazione imposta, per ricavare il carico massimo che un organo di macchina può sopportare. A. Manes 22 Effetto di intaglio Spesso, i vincoli, le modalità di applicazione dei carichi e la forma dei componenti meccanici differiscono da quelle ipotizzate nelle analisi teoriche. Questo comporta modifiche nella distribuzione degli sforzi e provoca localmente sollecitazioni più elevate, ma in genere confinate in una piccola zona attorno alla discontinuità. Concentrazione degli sforzi detta effetto di forma o di intaglio Nelle zone prossime alla discontinuità geometrica non è quindi lecito riferirsi alla distribuzione teorica degli sforzi (detta anche distribuzione nominale), ma occorre conoscerne il reale andamento, e in particolare il punto di massima sollecitazione, allo scopo di impostare una corretta verifica di resistenza. A. Manes 23 Effetto di intaglio Nella zona 2 raccordata con raggio r , che segna la variazione della larghezza da h a H, non è verificata l’uniformità della sezione. Con le ipotesi di de Saint Venant possiamo allora calcolare lo stato di sforzo esclusivamente nelle zone 1 e 3, lontane dalla variazione di sezione, per le quali risulta: A. Manes 24 Effetto di intaglio Lo sforzo al centro della sezione è invece minore di σnom, in quanto nella sezione intagliata deve essere verificata la relazione di equilibrio: A. Manes L’effettiva distribuzione degli sforzi nella sezione 2, rappresentata qualitativamente nella Figura, è quindi caratterizzata da un valore massimo dello sforzo σmax al bordo che è maggiore dello sforzo nominale σnom, calcolato facendo riferimento alle formule di de SaintVenant.Tale concentrazione degli sforzi è detta effetto d’intaglio. La sezione 2, la sezione minima della trave in corrispondenza della variazione di forma, è detta sezione d’intaglio o sezione intagliata. 25 Effetto di intaglio Analogia del flusso di un fluido Poichè l’addensamento delle linee di flusso dipende dai rapporti delle dimensioni che caratterizzano la discontinuità, si può intuire come le grandezze dalle quali dipende l’effetto d’intaglio siano ancora i rapporti adimensionali H/h, che descrive l’entità del restringimento della sezione, e r/h, che descrive la severità dell’intaglio. A. Manes 26 Effetto di intaglio Dal punto di vista del calcolo della resistenza, il problema della valutazione dell’effetto di intaglio si affronta introducendo un opportuno coefficiente correttivo, detto coefficiente d’intaglio teorico o coefficiente di sovrasollecitazione teorico Kt, che esprime il rapporto tra lo sforzo effettivo massimo dovuto all’intaglio e lo sforzo in assenza di intaglio: quest’ultimo è definito sforzo nominale. A. Manes 27 Effetto di intaglio Tale definizione presuppone il rispetto della linearità del legame costitutivo del materiale (ipotizzato anche omogeneo e isotropo): Kt dipende allora solo dalla geometria del problema in esame e dal tipo di carico applicato (flessione, trazione, torsione ecc.), come sarà illustrato tra breve, e non dal materiale. Quindi con geometrie che presentano gli stessi rapporti geometrici caratteristici il valore di Kt è lo stesso. A. Manes 28 Effetto di intaglio Il coefficiente di sovrasollecitazione teorico Kt di solito viene rappresentato graficamente in funzione dei parametri adimensionali che caratterizzano la geometria dell’intaglio. A. Manes 29 Effetto di intaglio A. Manes 30 Effetto di intaglio Un tipo comune di intaglio in una trave sottile a sezione rettangolare sottile è il foro passante, con asse perpendicolare al piano della trave. In questo caso la massima perturbazione del flusso degli sforzi si ha in corrispondenza del piano contenente l’asse del foro e normale all’asse della barretta, e il massimo valore degli sforzi è posto su questo piano, in corrispondenza del bordo del foro. La sollecitazione nominale nella sezione minima è data da: A. Manes 31 Effetto di intaglio Se il foro è di piccole dimensioni rispetto alla trave (d/H → 0), il coefficiente d’intaglio vale Kt = 3. E’ altresì interessante notare come per un foro molto grande rispetto alla larghezza della trave Kt → 2. A. Manes 32 Effetto di intaglio c Kt = 1 + 2 ⋅ a Kt per fori ellittici Kt = 1 + 2 ⋅ A. Manes c ρ 33 Effetto di intaglio Si consideri un intaglio a U in una trave sottile soggetta ad azione assiale e un analogo intaglio in un albero a sezione circolare, anch’esso sollecitato da un carico assiale: lo stato di sforzo dei due componenti risulta completamente diverso. Nella lastra si ha uno stato di sforzo monoassiale nel punto pi`u sollecitato, mentre nell’albero, per la presenza dell’intaglio, lo stato di sforzo è biassiale poichè è presente una componente di sforzo σ2 circonferenziale, dovuta alle contrazioni trasversali impedite nella zona dell’intaglio, che tende a ν · σ1 A. Manes 34 Effetto di intaglio In questi casi il Kt si definisce come il rapporto tra lo sforzo principale massimo σ1 e lo sforzo monoassiale nominale: Per alberi soggetti a torsione si definisce un coefficiente d’intaglio per gli sforzi torsionali come: A. Manes 35 Effetto di intaglio A. Manes 36 Effetto di intaglio A. Manes 37 Effetto di intaglio A. Manes 38 Effetto di intaglio A. Manes 39 Effetto di intaglio A. Manes 40 Effetto di intaglio A. Manes 41 Effetto di intaglio Per valutare le conseguenze della presenza degli intagli sul dimensionamento degli organi di macchina occorre analizzare in dettaglio la condizione limite dei componenti intagliati al variare del tipo di materiale. La conoscenza del Kt, infatti, non esaurisce il problema della verifica di resistenza dei componenti intagliati, in quanto non si tiene conto dell’effettiva legge costitutiva del materiale, che può presentare estese plasticizzazioni prima del cedimento, condizione che qui viene assunta come limite Si definisce allora coefficiente d’intaglio statico sperimentale, indicato con Ks, il rapporto tra il carico limite in un elemento liscio Flim e l’effettivo carico limite Flim del provino intagliato con la stessa sezione resistente del provino liscio. A. Manes 42 Effetto di intaglio Materiale perfettamente fragile, caratterizzato da un diagramma lineare fino al carico di rottura σm. Un provino liscio avente la medesima sezione A della trave forata cede quando lo sforzo nominale raggiunge il carico di rottura, ovvero in corrispondenza di una forza Flim: La condizione limite del componente intagliato si raggiunge quando nel punto più sollecitato della sezione, cioè sulla superficie interna del foro, si raggiunge uno sforzo pari a Rm: La forza massima Flim che il pezzo è in grado di sopportare è quindi pari al carico che provoca lo sforzo Rm nel punto più sollecitato A. Manes 43 Effetto di intaglio Consideriamo ora lo stesso componente realizzato con un materiale a comportamento elasto-plastico perfetto. La forza F1 (possiamo chiamarla forza di prima plasticizzazione Fsn) cheprovoca uno sforzo massimo pari allo snervamento del materiale nell’intaglio vale: A differenza di quanto accade per il materiale fragile, il componente è in grado di sopportare carichi maggiori di F1. Infatti, sollecitando il pezzo oltre F1 le fibre del materiale, se deformate oltre ¯ ε (ricordiamo che ¯ ε = σsn/E), non cedono localmente, ma si allungano mantenendo costante lo sforzo, pari allo sforzo di snervamento, fino a esaurire il campo di deformazioni plastiche. A. Manes 44 Effetto di intaglio Aumentando ulteriormente la forza, il diagramma delle deformazioni cresce in modo continuo, mentre nel diagramma degli sforzi la parte con sforzo costante σ = σsn, corrispondente alle fibre snervate, si estenderà. Come condizione limite tale plasticizzazione interesserà tutta la sezione utile del componente e quindi: A. Manes 45 Effetto di intaglio Se consideriamo una struttura di riferimento senza intaglio, costruita con lo stesso materiale e avente la medesima sezione resistente (h − d) · b, la sua condizione limite è ancora la completa plasticizzazione della sezione, cioè: Quindi per il componente intagliato in materiale perfettamente elasto-plastico risulta: A. Manes 46 Effetto di intaglio Supponiamo, per semplicità, di partire dal componente non completamente plasticizzato visto in precedenza, soggetto alla forza F2, e immaginiamo di rimuovere il carico. Rimuovere il carico corrisponde a sovrapporre alla distribuzione di sforzo corrente quella corrispondente a una forza uguale e contraria, pari quindi a −F2. Se il materiale ha un comportamento elastoplastico simmetrico, le fibre plasticizzate durante la fase di carico possono sopportare uno sforzo lineare elastico fino a −σsn: ovvero ogni fibra può sopportare uno sforzo pari a −2σsn prima di plasticizzare a compressione. A. Manes 47 Effetto di intaglio Se la forza −F2 non `e in grado di plasticizzare il materiale (ovvero se Kt · σnom < 2σsn), il diagramma degli sforzi dovuti alla forza −F2 fornisce una distribuzione di sforzi corrispondente al caso elastico. Lo stato di sforzo risultante `e dato dalla differenza dei due: A. Manes 48 Effetto di intaglio Riassumiamo le relazioni necessarie per la verifica di organi di macchina soggetti a carichi statici. materiali fragili: materiali duttili A. Manes
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