ESEMPIO 11 (progetto condizionato). Progettare le armature dei

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ESEMPIO 11 (progetto condizionato). Progettare le armature dei gradini a sbalzo della
scala a ginocchio dell’esempio 10. Si ipotizzino gli stessi materiali resistenti e la medesima
analisi dei carichi. Per il calcolo si assumano validi gli schemi riportati in figura 10.80.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_80.tif
Figura 10.80 – Schema statico gradini e sezione resistente all’incastro (misure e quotature in mm).
SOLUZIONE. Dall’esempio precedente si è calcolato:
fcd = 110 daN / cm2 ;
conglomerato:
acciai:
fyd = 3260daN / cm2 .
Carichi caratteristici (singolo gradino):
peso proprio gradino (per metro di lunghezza):
0, 5 (0,30 m) (0, 16 m) (2500 daN / m 3 ) = 60 daN / m .
Peso proprio soletta inferiore (6 cm):
(0, 34 m) (0,06 m) (2500 daN / m3 ) = 51daN / m .
Peso proprio rivestimento in lastra di marmo:
[(0,32 m) (0, 03 m) + (0, 16 m) (0, 02 m)] (2700 daN / m 3 ) 35 daN / m .
Carico variabile esercizio (su singolo gradino: larghezza impronta calpestabile di 32 cm):
(400 daN / m2 ) (0, 32 m) = 128 daN / m .
Carico concentrato (corrimano su singolo gradino): 40 daN.
Carichi di progetto (per metro lineare):
G = 1, 4 (60 + 51+ 35) daN / m = 205 daN / m ;
F = 1, 4 (40 daN) = 56 daN ;
Q = 1, 5 (128 daN / m) 192 daN / m .
Calcolo sollecitazione flettente di progetto (all’incastro con schema isostatico di mensola):
1
MSd = F L + (G + Q) L2 =
2
= (56 daN) (1, 35 m) + 0,5 [(205 daN / m) + (192 daN / m)] (1, 35 m) 2 75, 6 daNm + 361, 8 daNm = 437, 5 daNm = 43740 daNcm .
Sollecitazione flettente adimensionale di calcolo:
MSd
(43740 daNcm)
mSd =
=
0, 046 .
2
b h fcd (34 cm) (15 cm)2 (110daN / cm2 )
In condizioni di flessione semplice, risultando:
A
0,180
1 =
=
= 3, 94 > 1
mSd 0,046
432
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è sufficiente un’armatura singola. Si pone, perciò, C = 0. I rapporti meccanici di armatura che
portano la sezione in condizioni di massima duttilità si calcolano:
m
m
0, 046
0, 053
f = = Sd =
0,87
B
B
= 0.
f
L’armatura tesa da disporre è (per singolo gradino):
f
(110daN / cm 2 )
Ff = f b h cd = 0,059 (34 cm) (15 cm) 1, 01cm 2 / gradino ;
(3260 daN / cm2 )
fyd
realizzabile ponendo 112 nello spigolo del gradino (vedere schema in figura 10.80):
Ff = 1 12 = 1,13 cm2 > 1,01 cm 2 .
In virtù dello schema di calcolo adottato per la sezione resistente del gradino, non essendo la
sezione reale resistente di forma rettangolare (usata invece nel modello di calcolo), si prevede
per ragioni sia di sicurezza che di semplicità di esecuzione in cantiere di disporre il ferro 12
a forma di staffa chiusa (molla) e ben ancorato alla trave portante. Inoltre, sempre per il
medesimo motivo, si aggiunge una barra 8 interna (piegata secondo lo schema in figura
10.81) in modo da aumentare leggermente la sezione resistente all’incastro
( Ff = 1 12+ 18 = 1, 63 cm2 > 1, 01 cm 2 ).
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_81.tif
Figura 10.81 – Proposta di carpenteria esecutiva di un gradino in c.a. di una scala a ginocchio.
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Come si può notare dalla figura, per assorbire le sollecitazioni taglianti (seppur contenute
dalla resistenza del conglomerato stesso) si è disposta comunque una staffatura minima in
ragione di 16 / 20 per singolo gradino.
Infine, per agevolare un’uniforme distribuzione delle sollecitazioni sul conglomerato, volendo
evitare sforzi concentrati durante l’esercizio della scala, si disporranno delle barre di
ripartizione in ragione di 18 / 20 .
ESEMPIO 12 (progetto condizionato). Progettare le armature della trave di testata relativa
al pianerottolo di riposo di una rampa a soletta piena, analoga a quella analizzata nell’esempio
9. Si tenga, però, in conto in questo caso della presenza di murature di tompagno nella trave
di testata, La sezione della trave sia di 30 cm x 50 cm e il ricoprimento delle armature più
esterne sia fissato pari a c = 2,5 cm e la staffatura sia realizzata con barre di diametro 10 mm.
Si utilizzino, per i materiali, Rck25 per il conglomerato e fyk = 430 MPa per gli acciai delle
armature. La luce di calcolo della trave sia L = 3,0 m.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 110 daN / cm2 (tab. 9.2);
conglomerato:
fyd = 3740daN / cm2 (tab. 9.4).
acciai:
Calcolo distanza baricentro armature dai casseri:
h h = c + staffe + long / 2 = (2,5 cm) + (1,0 cm) + (1,6 cm) / 2 4,3 cm ;
avendo supposto di armare la trave, al più, con barre longitudinali di diametro 16 mm.
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (50 cm) (4,3 cm) = 45,70 cm .
Calcolo distanza adimensionale baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h ( 4,3 cm)
=
= =
0,094 .
h
h (45, 70 cm)
Analisi dei carichi caratteristici:
peso proprio trave di testata (30 cm x 50 cm):
(0, 30 m) (0, 50 m) (2500 daN / m 3 ) (3, 0 m) (375 daN / m) (3,0 m) 1125 daN .
Peso proprio totale rampe (totale permanenti: vedere esempio 9). Metà rampa proveniente
dalla trave di piano inferiore e metà rampa proveniente dalla trave di piano superiore
(globalmente una rampa intera):
(979 daN / m) (5, 40 m) 5287 daN ;
essendo L = 5,40 m la lunghezza (in orizzontale) di un’intera rampa.
Muratura di tompagno (sulla trave):
(3, 20 m) (200 daN / m 2 ) (3, 0 m) = (640 daN / m) (3, 0 m) 1920 daN ;
avendo considerato un’altezza d’interpiano di 3,20 m e un peso unitario della muratura di
tompagno in termini di superficie di chiusura.
Variabili esercizio sulle rampe (folla compatta: vedere esempio 9):
(480 daN / m) (5,40 m) 2592 daN .
Calcolo risultanti di progetto (sull’intera lunghezza della trave):
Gu = 1, 4 (1125 + 5287 + 1920) daN = 1, 4 (8332 daN) 11665 daN ;
Qu = 1, 5 (2592 daN) 3888 daN ;
Gu + Qu = (11665 + 3888) daN = 15553 daN .
Aumentando, per ragioni di sicurezza, i carichi del 15%, per tenere forfettariamente conto del
fatto che la rampa presenta un’inclinazione e non è tutta orizzontale, si ottiene:
(Gu + Qu ) * = 1, 15 (15553 daN ) 17886 daN .
434
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Ammettendo poi, per la trave di testata, un vincolo di semplice appoggio per la sezione di
mezzeria e un vincolo di incastro perfetto per la sezione all’incastro, si ha:
per la mezzeria:
1
1
MSd(mezzeria) = (G u + Qu ) * L = (17886 daN ) ( 3,0 m) 6707, 3 daNm = 670730 daNcm ;
8
8
per l’incastro:
1
1 1
M (mezzeria)
.
MSd(incastro) =
(Gu + Qu )* L =
(Gu + Qu ) * L = Sd
1, 5
12
1, 5 8
Calcolo sollecitazione adimensionale flettente in mezzeria:
MSd
(670730 daNcm)
mSd =
=
0,0973 .
2
b h fcd (30 cm) ( 45, 70 cm) 2 (110 daN / cm 2 )
Risultando, per flessione semplice (A = 0,180; B = 0,87):
A
0,180
1 =
=
1, 85 > 1
mSd 0,0973
teoricamente non risulta necessaria armatura in zona superiore (compressa) per portare la
sezione alla massima duttilità. Risulta, infatti:
m
m
0, 0973
0,112
f = = Sd =
0,87
B
B
= 0.
f
L’armatura inferiore, necessaria in mezzeria in zona tesa, si calcola:
f
(110daN / cm 2 )
Ff = f b h cd = 0,112 ( 30 cm) (45,7 cm) 4, 51cm2 .
(3740 daN / cm2 )
fyd
Si dispongono, quindi, 314 = 3 (1, 54 cm2 ) = 4,62 cm2 > 4,51cm 2 .
Risultando all’incastro:
A
A
0,180
1 = ( incastro) = 1, 5 = 1, 5 2,77 > 1 ;
mSd
mSd
0,0973
nella relativa zona tesa si rendono necessari:
(4,51 cm2 )
Ff =
3, 0 cm2 ,
1, 5
realizzabili disponendo 214 = 2 (1, 54 cm 2 ) = 3, 08 cm2 > 3,0 cm 2 . Per semplicità di
esecuzione in cantiere (vedere figura 10.82), si disporranno lungo tutta la trave le armature di
progetto della sezione di mezzeria, maggiormente cimenta. Ovviamente, nella sezione
all’incastro, l’armatura effettivamente presente è (vedere dettaglio in figura 10.82):
Ff = 214 (correnti necessari all’incastro);
Ff = 3 14 (correnti necessari in mezzeria, ancorati fino all’incastro);
mentre, l’armatura calcolata in condizioni di massima duttilità prevede:
Ff = 214 ;
Ff = 0 .
Pertanto, nel caso di Ff 0 , l’asse neutro si sposta verso il baricentro delle armature
superiori compresse ( Ff = 3 14 ), portando l’accorciamento unitario massimo
del
conglomerato a valori c < 3, 5 / 1000 ; mentre, l’acciaio inferiore ( Ff = 214 ) rimane ad
allungamenti del 10/1000. Ovviamente, la sezione è sicuramente verificata a rottura perché il
quantitativo di armatura effettiva è maggiore di quella prevista in condizioni di massima
duttilità.
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OSSERVAZIONI. Volendo tenere in conto la presenza di momenti torcenti, soprattutto nei
nodi, in prossimità dell’innesto della trave di testata sui pilastri, e volendo considerare anche
l’effetto dei carichi orizzontali come il vento sull’intero telaio della struttura, è bene
prevedere una staffatura almeno pari a 18 / 10 per una distanza paragonabile all’altezza
della sezione a sinistra e a destra da filo pilastro e staffe 18 / 20 nel restante tronco di trave.
Come integrazione, almeno delle armature di parete 1 + 1 10 . Una proposta di carpenteria
esecutiva è riportata nella figura 10.82.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_82.tif
Figura 10.82 – Proposta di carpenteria esecutiva della trave di testata relativa ad un pianerottolo di
riposo. Le armature per il taglio e la torsione vanno considerate orientative.
ESEMPIO 13 (progetto condizionato). Si progettino le sole armature a flessione per un
plinto basso di forma parallelepipeda, avente una base di appoggio sul terreno di 2,40 m x
2,40 m. Si ipotizzi un’altezza minima della base del plinto di H = 50 cm e una larghezza della
mensola del plinto di L = 90 cm da filo pilastro (quest’ultimo di sezione 60 cm x 60 cm). I
materiali siano Rck25 per il conglomerato e fyk = 430 MPa per gli acciai delle armature. Si
ammetta che il valore della tensione ammissibile per il terreno, nel piano di imposta della
superficie della fondazione, sia t adm = 1, 8 daN / cm2 .
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 110 daN / cm2 (tab. 9.2);
conglomerato:
fyd = 3740daN / cm2 (tab. 9.4).
acciai:
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri (assumendo in fondazione un
ricoprimento c = 4,0 cm e per le barre portanti un diametro massimo di 20 mm):
( h h ) max = c + long x + lomg y / 2 = (4, 0 cm) + (2, 0 cm) + (2, 0 cm) / 2 = 7,0 cm ;
436
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avendo supposto di disporre un’armatura portante disposta a rete nelle due direzioni
orizzontali x e y (vedere, più avanti, figura 10.83).
Calcolo altezza utile resistente:
h = H h = (50 cm) (7,0 cm) = 43,0 cm ;
risultando quindi:
h h (7, 0 cm)
= =
=
0,163 .
h
h (43, 0 cm)
Calcolo pressione ultima del terreno:
t lim 1, 5 t adm = 1, 5 (1, 8 daN / cm 2 ) 2, 7 daN / cm2 ;
che, per il calcolo delle armature a flessione, viene arrotondato per sicurezza al valore di
3daN / cm2 .
Calcolo sollecitazione flettente di progetto con b = 100 cm (per sicurezza conteggiata a filo
pilastro. Vedere più avanti figura 10.83):
2
pu L2 (t lim b) L [( 3daN / cm 2 ) (100 cm)] (90 cm) 2
MSd =
=
=
1215000 daNcm .
2
2
2
Calcolo sollecitazione flettente adimensionale di progetto:
MSd
(1215000 daNcm)
mSd =
=
0, 060 .
2
b h fcd (100 cm) (43, 0 cm)2 (110daN / cm2 )
Risultando per flessione semplice (A = 0,180; B = 0,87):
A
0,180
1 =
=
3, 01 > 1
mSd 0,060
teoricamente non risulta necessaria armatura in zona superiore (compressa) se si vuole portare
la sezione alla massima duttilità. Poiché, però, il plinto è interrato, ad ogni sollecitazione di
flessione trasmessa dal pilastro reagiscono entrambe le mensole del plinto: sono quindi
necessarie delle armature sia superiormente che inferiormente a ciascuna mensola. Di
conseguenza, essendo (almeno teoricamente):
m
m
0, 060
0,069
f = = Sd =
0, 87
B
B
= 0;
f
si assume, in virtù dell’osservazione precedente:
f = f = 0,069 .
Pertanto, le armature da disporre per metro (b = 100 cm) sono:
f
(110daN / cm2 )
Ff = Ff = f b h cd = 0, 069 (100 cm) ( 43, 0 cm) 8,73 cm 2 / m .
(3740daN / cm2 )
fyd
Si dispongono, quindi:
Ff = Ff = 116 / 20 = 5 16 / m = 5 (2, 01cm2 / m) = 10, 05 cm2 / m > 8,73 cm2 / m .
Al solito, avendo disposto un maggiore quantitativo di armatura in zona compressa, rispetto al
quantitativo calcolato in condizioni di massima duttilità, l’asse neutro a rottura risulterà
spostato dalla posizione b = 0,2593 verso il baricentro delle armature compresse ( Ff ).
Di conseguenza, visto il maggiore quantitativo di armatura disposta, la sezione è sicuramente
verificata nel campo di rottura 2, con f = 10 / 1000 e c < 3, 5 / 1000 .
Un esempio di carpenteria esecutiva delle armature a flessione del plinto progettato è
riportato nella figura 10.83.
437
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Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_83.tif
Figura 10.83 – Esempio di carpenteria esecutiva per le armature a flessione del plinto. (Nota: la
verifica al taglio del plinto è stata riportata, per ordine di trattazione, al paragrafo 13.13 nell’esempio
7).
Come si può notare, l’armatura a flessione viene disposta in maniera identica in entrambe le
direzioni, creando delle maglie quadrate di armatura (reti), disposte superiormente e
inferiormente alla suola del plinto.
OSSERVAZIONI. La particolare carpenteria del plinto proposta è stata stabilita in modo da
rispettare la massima tensione ammissibile del terreno sul piano di posa, e in modo che le
sollecitazioni taglianti e di punzonamento siano assorbite interamente dalla resistenza al
taglio del solo conglomerato. L’armatura a flessione è stata calcolata trascurando il rigrosso
attorno al pilastro, in modo da contenere le fessurazioni e le tensioni al limite di esercizio.
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ESEMPIO 14 (progetto condizionato). Progettare le armature a flessione di una travata a
due campate porta solaio, con luce di calcolo L = 5,0 m per ciascuna campata. Si assuma un
solaio per edificio di civile abitazione dello spessore di 24 cm (20 + 4). Si assuma un
ricoprimento delle armature più esterne di c = 2,5 cm. Per i materiali si assuma Rck25 per il
conglomerato e fyk = 430 MPa per gli acciai. Si ipotizzi una luce del solaio di 6,0 m e una
travata di sezione costante di 30 cm x 60 cm. Per semplicità, si suppongano assenti
sollecitazioni di tipo sismico.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 110 daN / cm2 (tab. 9.2);
conglomerato:
fyd = 3740daN / cm2 (tab. 9.4).
acciai:
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h = c + staffe + long / 2 = (2,5 cm) + (0,8 cm) + (2, 4 cm) / 2 4,5 cm ;
avendo supposto una staffatura con diametro al più di 8 mm e barre longitudinali portanti di
diametro massimo di 24 mm.
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (60 cm) (4,50 cm) = 55,5 cm ;
risultando quindi:
h h (4, 5 cm)
=
= =
0,081 .
h
h (55, 5 cm)
Analisi dei carichi caratteristici:
180 daN / m 2 ;
solaio misto (20 cm):
caldana (4 cm):
(0, 04 m) (2500 daN / m 3 ) 100daN / m2 ;
intonaco (1,5 cm):
(0, 015 m) (2000 daN / m3 ) 30daN / m 2 ;
malta di sottofondo (2 cm):
(0, 02 m) (2000 daN / m 3 ) 40 daN / m2 ;
pavimento di piastrelle (2 cm):
(0, 02 m) (2000 daN / m 3 ) 40 daN / m2 ;
tramezzi (uniformemente distribuiti):
120 daN / cm 2 ;
peso proprio trave (30 x 60 cm):
(0, 30 m) (0, 60 m) (2500 daN / m3 ) = 450 daN / m ;
carico variabile esercizio:
200daN / cm 2 .
Totali permanenti caratteristici:
[(180 + 100 + 30 + 40 + 40 + 120)daN / m 2 ] (6, 0 m) + 450 daN / m =
= (510 daN / m 2 ) (6, 0 m) + 450 daN / m = 3060 daN / m + 450 daN / m = 3510 daN / m .
Totali variabili esercizio:
(200 daN / m 2 ) (6,0 m) = 1200 daN / m .
Calcolo carichi lineari di progetto (SLU):
G = 1, 4 ( 3510 daN / m) = 4914 daN / m ;
Q = 1, 5 (1200 daN / m) = 1800 daN / m .
Facendo riferimento allo schema di travata continua a due campate su tre appoggi, si assume
un momento sollecitante di progetto pari a:
1
1
MSd = (G + Q) L2 = [(4914 daN / m) + (1800 daN / m)] (5,0 m 2 ) 2 =
8
8
= 20981, 3 daNm = 2098130 daNcm .
Calcolo momento sollecitante di progetto:
439
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MSd
(2098130 daNcm)
=
0, 206 .
2
b h fcd (30 cm) ( 55, 5 cm) 2 (110 daN / cm 2 )
In condizioni di flessione semplice con massima duttilità (A = 0,180; B = 0,87) risultando:
A
0,180
1 =
=
0, 872 < 1
mSd 0,206
mSd =
è necessaria anche un’armatura superiore ( Ff 0 ):
C = 1
(contributo armature superiori)
m = A = 0,180 (massimo cimento conglomerato compresso).
Inoltre, dai dati in tabella 10.1, per acciai fyk = 430 MPa e per valori di = 0,081 0,112
risulta sempre f = 1, 00 . Pertanto, i rapporti meccanici di armatura che portano la sezione
resistente in condizioni di massima duttilità ( b = 0,2593 ) si calcolano:
m
m A 0,180
0,206 0,180
f = + C Sd
=
+ 1
0, 2356 ;
B
0, 87
1 0,081
1 C mSd A
1 0,206 0,180
f =
=
0, 0287 .
1, 00
1 0,081
f 1 Le relative aree di armatura risultano:
f
(110daN / cm2 )
Ff = f b h cd = 0,2356 (30 cm) ( 55, 5 cm) 11, 54 cm2 ;
fyd
(3740daN / cm 2 )
Ff = f b h fcd
(110daN / cm2 )
= 0,0287 (30 cm) (55, 5 cm) 1, 41cm 2 .
(3740daN / cm2 )
fyd
Si dispongono:
Ff = 3 22 = 3 (3, 80 cm2 ) = 11, 54 cm2 ;
Ff = 212 = 2 (1, 13 cm2 ) = 2,26 cm 2 > 1, 41cm 2 .
Volendo però semplificare il più possibile la carpenteria esecutiva della travata, si dispongono
su tutte le travi:
Ff = Ff = 3 22 = 11, 40 cm 2 .
Le sezioni presenteranno una rottura nel campo 2 con le seguenti deformazioni unitarie:
f = 10 / 1000 ;
c < 3, 5 / 1000 .
Nella figura 10.84 è riportato, infatti, il semidominio resistente della sezione progettata.
440
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Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_84.tif
Figura 10.84 – Semidominio di rottura sezione progettata.
Un calcolo rigoroso della sezione porta ai seguenti valori:
c 2 / 1000 ;
f = 10 / 1000 ;
x 9 ÷ 10 cm .
Nella figura 10.85 si riporta una proposta di carpenteria esecutiva della trave progettata.
441
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Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_85.tif
Figura 10.85 – Proposta di carpenteria esecutiva della travata progettata.
442
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ESEMPIO 15 (progetto condizionato). Progettare le armature a flessione di una travata a tre
campate uguali di luce L = 6,0 m (distanza asse pilastri). La sezione della travata sia costante
e pari a 30 cm x 50 cm. Supporre una pilastrata in pianta a maglie quadrate di 6,0 m x 6,0 m.
Per l’analisi dei carichi del solaio portato e per i materiali fare riferimento a quanto visto
nell’esempio 14. Per semplicità, si suppongano assenti sollecitazioni sismiche.
SOLUZIONE. Resistenza di progetto materiali (esempio 14):
fcd = 110 daN / cm2 ;
conglomerato:
fyd = 3740daN / cm2 .
acciai:
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h = c + staffe + long / 2 = (2,5 cm) + (0,8 cm) + (2,6 cm) / 2 4,6 cm ;
avendo supposto una staffatura con barre da 8 mm e barre longitudinali di diametro massimo
di 26 mm.
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (50 cm) (4,6 cm) = 45, 40 cm .
Risulta:
h h (4,6 cm)
=
= =
0,101 .
h
h (45, 4 cm)
Dall’analisi dei carichi per un solaio di civile abitazione di 24 cm di spessore (20 + 4) si ha
(vedere esempio 14):
totale permanenti caratteristici:
(510 daN / m2 ) (6, 0 m) + (0, 30 m) (0, 50 m) (2500 daN / m 3 ) =
= 3060 daN / m + 375 daN / m = 3435 daN / m .
Totale variabili esercizio (caratteristici):
(200 daN / m 2 ) (6,0 m) = 1800 daN / m .
Carichi lineari di progetto:
G = 1, 4 ( 3060 daN / m + 375 daN / m) = 4809 daN / m ;
Q = 1, 5 (1800 daN / m) = 2700 daN / m .
Ammettendo, in prima approssimazione, che agli incastri il momento flettente sia prossimo a
quello relativo all’incastro perfetto, si ha:
1
1
MSd(incastro) =
(G + Q) L2 = [(4809 daN / m) + (2700 daN / m)] (6,0 m) 2 12
12
22600 daNm = 2260000 daNcm .
Mentre, in campata si assuma un valore della sollecitazione flettente pari a circa l’80% di
quello calcolato all’incastro:
1
80
MSd(mezzeria) = (G + Q) L2 =
MSd(incastro) = 0,8 (2260000 daNcm) 1810000 daNcm .
15
100
Le relative sollecitazioni adimensionali di progetto sono:
MSd(incastro)
(2260000 daNcm)
(incastro)
mSd
=
=
0,332 ;
2
b h fcd (30 cm) (45, 4 cm) 2 (110daN / cm 2 )
M (Sdmezzeria )
(1810000 daNcm)
=
0, 266 .
2
b h fcd ( 30 cm) (45, 4 cm) 2 (110 daN / cm 2 )
Calcolo armature necessarie per una rottura in condizioni di massima duttilità
( b = 0,2593 ):
in condizioni di flessione semplice (A = 0,180; B = 0,87), risultando
A
0,180
1 = ( incastro) =
0, 542 < 1 ;
mSd
0, 332
mSd(mezzeria) =
443
Documento #:
Doc_a8_(7).doc
0,180
0,676 < 1
m
0,266
è necessaria armatura in zona compressa per entrambe le sezioni. Risulta, quindi:
C = 1
(contributo armatura superiore)
m = A = 0,180 (sollecitazione flettente di progetto).
1 =
A
( mezzeria)
Sd
=
I rapporti meccanici di armatura si calcolano per la sezione all’incastro:
m
m( incastro) A 0,180
0,332 0,180
f = + C Sd
=
+ 1
0,376 ;
0, 87
1 0,101
1 B
C m(Sdincastro) A
1 0,332 0,180
f =
=
0,169 ;
f
1 1, 00
1 0,101
avendo letto dalla tabella 10.1 il valore di f = 1, 00 in corrispondenza del valore
= 0,101 0,112 per acciai fyk = 430 MPa . Risulta, pertanto, all’incastro:
Ff = f b h fcd
(110 daN / cm 2 )
= 0, 376 (30 cm) (45, 4 cm)
15,08 cm 2 ;
fyd
( 3740daN / cm 2 )
Ff = f b h fcd
(110 daN / cm2 )
= 0,169 (30 cm) (45, 4 cm) 6,79 cm 2 .
(3740 daN / cm 2 )
fyd
Mentre, per la sezione in mezzeria, si ha:
m
m(Sdmezzeria) A 0,180
0, 266 0,180
f =
+C
=
+ 1
0,303 ;
0,87
1 0, 101
1 B
C m(Sdmezzeria) A
1 0, 266 0,180
f =
=
0,096 .
f
1 1,00
1 0, 101
Si ha, quindi:
fcd
(110daN / cm2 )
Ff = f b h = 0, 303 (30 cm) ( 45, 4 cm) 12,13 cm2 ;
2
fyd
(3740daN / cm )
Ff = f b h fcd
(110daN / cm 2 )
= 0,096 ( 30 cm) (45, 4 cm) 3, 84 cm 2 .
(3740daN / cm 2 )
fyd
Per poter agevolare la sistemazione delle barre longitudinali di armatura nei casseri e dovendo
prevedere delle zone di sovrapposizione, si decide di utilizzare un unico diametro
sufficientemente grande che sia in grado di “coprire” le armature calcolate in condizioni di
massima duttilità oltre che di consentire una carpenteria esecutiva il più semplice possibile. Si
utilizza, ad esempio, il diametro di 24 mm. Pertanto, nella sezione all’incastro:
Ff = 4 24 = 4 (4, 52 cm2 ) = 18, 10 cm 2 > 15, 08 cm2 ;
Ff = 2 24 = 2 ( 4,52 cm 2 ) = 9,05 cm 2 > 6,79 cm 2 .
Nella sezione in mezzeria:
Ff = 3 24 = 3 (4, 52 cm2 ) = 13, 57 cm 2 > 12,13 cm2 ;
Ff = 1 24 = (4,52 cm2 ) > 3, 84 cm 2 .
Poiché l’armatura Ff in mezzeria si trova sul fondo del cassero, mentre all’incastro Ff si
trova sulla parte alta, si decide di adottare la seguente disposizione di armatura all’incastro:
Ff = 3 24 (correnti) + 1 24 (spezzone)
Ff = 3 24 (correnti) .
In mezzeria, invece, si pongono:
Ff = 3 24 (correnti)
Ff = 3 24 (correnti) .Si riporta una carpenteria esecutiva della travata così progettata, nella
figura 10.86.
444
Documento #:
Doc_a8_(7).doc
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_86.tif
Figura 10.86 – Proposta di carpenteria esecutiva della travata progettata. Le armature al taglio devono
considerarsi orientative.
445
Documento #:
Doc_a8_(7).doc
Per completezza, si riportano di seguito i diagrammi di rottura delle sezioni all’incastro e in
mezzeria. Come si può notare, per entrambe la rottura è nel campo 2 essendo sufficientemente
allineate alla retta di massima duttilità. Entrambe le sezioni, ricadendo nel campo 2,
presentano le seguenti deformazioni unitarie:
c < 3, 5 / 1000 ;
f = 10 / 1000 .
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_87.tif
Figura 10.87 – Semidominio di rottura sezione resistente agli incastri.
446
Documento #:
Doc_a8_(7).doc
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_88.tif
Figura 10.88 – Semidominio di rottura sezione resistente in mezzeria.
ESEMPIO 16 (progetto condizionato). Progettare le armature a flessione di una travata a tre
campate uguali di luce L = 5,0 m (distanza asse pilastri). La sezione della travata sia costante
e pari a 120 cm x 24 cm (trave a spessore di solaio). Supporre una luce del solaio portato di
6,0 m. Per l’analisi dei carichi del solaio portato e per i materiali fare riferimento a quanto
visto nell’esempio 14. Per semplicità, si suppongano assenti sollecitazioni sismiche.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 110 daN / cm2 (tab. 9.2);
conglomerato:
447
Documento #:
Doc_a8_(7).doc
fyd = 3740daN / cm2 (tab. 9.4).
acciai:
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h = c + staffe + long / 2 = (2,5 cm) + (0,8 cm) + (2,6 cm) / 2 = 4,60 cm ;
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (24 cm) (4,60 cm) = 19, 40 cm ;
risultando, quindi:
h h (4, 60 cm)
=
= =
0,237 .
h
h (19, 40 cm)
Dall’analisi dei carichi per un solaio di civile abitazione di 24 cm di spessore (20 + 4) si ha
(vedere esempio 14):
totale permanenti (caratteristici):
(510 daN / m2 ) (6, 0 m) + (1, 20 m) (0, 24 m) (2500 daN / m 3 ) =
= 3060 daN / m + 720 daN / m = 3780 daN / m .
Totale variabili (caratteristici):
(200 daN / m 2 ) (6,0 m) = 1800 daN / m .
Calcolo carichi di progetto:
G = 1, 4 ( 3780 daN / m) 5292 daN / m ;
Q = 1, 5 (1800 daN / m) 2700 daN / m .
Ammettendo, in prima approssimazione, che agli incastri il momento flettente sia prossimo a
quello relativo all’incastro perfetto, si ha:
1
1
MSd(incastro) =
(G + Q) L2 = [(5292 daN / m) + (2700 daN / m)] (5, 0 m) 2 12
12
16650 daNm = 1665000 daNcm .
Mentre, in campata si assuma in prima approssimazione una sollecitazione flettente pari
all’80% di quella all’incastro:
1
1
MSd(mezzeria) = (G + Q) L2 = 0,8 (G + Q) L2 = 0,8 (1665000 daNcm) 1332000 daNcm .
15
12
Calcolo sollecitazioni flettenti adimensionali:
M (incastro)
(1665000 daNcm)
mSd(incastro) = Sd2
=
0, 335 ;
b h fcd (30 cm) (19, 40 cm) 2 (110 daN / cm 2 )
M (Sdmezzeria )
(1332000 daNcm)
m
=
=
0, 268 .
2
b h fcd ( 30 cm) (19,40 cm)2 (110daN / cm2 )
In condizioni di flessione semplice (A = 0,180; B = 0,87), risultando:
A
0,180
1 = ( incastro) =
0, 537 < 1 ;
mSd
0, 335
A
0,180
1 = ( mezzeria) =
0,671 < 1 ,
mSd
0,268
è necessaria armatura in zona compressa (superiore) per entrambe le sezioni. I rapporti
meccanici di armatura in condizioni di massima duttilità possibile (C = 1; m = A = 0,180 )
risultano, per la sezione all’incastro:
m
m( incastro) A 0,180
0,335 0,180
f = + C Sd
=
+ 1
0, 410 ;
0, 87
1 0,237
1 B
C m(Sdincastro) A
1
0,335 0,180
f =
=
1, 203 ;
f
1 0,169
1 0,237
(mezzeria)
Sd
avendo calcolato il valore f per mezzo della reazione (eq. 10.13 per = 0,2593 ):
448
Documento #:
Doc_a8_(7).doc
f =
Ef
fyd
10 sup (2,110 6 daN / cm 2 ) 10 0,2593 0,237
=
0,169 ;
(3740 daN / cm 2 ) 1000
1000 1 1 0,2593
non essendo presente il valore = 0,237 nella tabella 10.1.
Per la sezione in mezzeria, si calcola invece:
m
m( mezzeria) A 0,180
0, 268 0,180
f = + C Sd
=
+ 1
0, 322 ;
0,87
1 0, 237
1 B
C m(Sdmezzeria) A
1 0, 268 0,180
f =
=
0,683 .
f
1 0,169
1 0, 237
Volendo semplificare il più possibile la carpenteria esecutiva, rinunciando ovviamente a parte
della duttilità della sezione, si pone:
per la sezione all’incastro:
f = 0,410 ;
f = 0,322 (uguale a f della sezione di mezzeria);
per la sezione in mezzeria:
f = 0,322 (uguale a f della sezione di incastro);
f = 0,322 .
Pertanto, si procede alla verifica della resistenza delle sezioni così progettate. Per la sezione
d’incastro si ha:
C m(Sdincastro) A 1 0, 335 0,180 0,203
;
f = 0,322 =
=
=
f
f
f
1 1 0,237
l’effettivo valore di f è:
0, 203
f =
0, 63 con f [0; 1] ,
0, 322
il valore calcolato f = 0, 63 soddisfa l’equazione di equilibrio, spostando l’asse neutro verso
il baricentro delle armature inferiori ( Ff ) tese e portando la sezione ad una rottura nel campo
3. Analogamente, per la sezione in mezzeria si calcola:
C m(Sdmezzeria) A 1 0, 268 0,180 0,115
,
f = 0,322 =
=
=
f
f
f
1 1 0, 237
da cui si ricava:
0,115
f =
0, 36 con f [0; 1] ,
0, 322
il valore calcolato f = 0, 36 soddisfa l’equazione di equilibrio, spostando l’asse neutro verso
il baricentro delle armature inferiori ( Ff ) tese e portando la sezione ad una rottura nel campo
3. Di conseguenza, le aree di armatura all’incastro sono:
f
(110 daN / cm 2 )
Ff = f b h cd = 0, 410 ( 30 cm) (19,40 cm) 28, 1 cm 2 ;
( 3740daN / cm 2 )
fyd
Ff = f b h fcd
(110daN / cm 2 )
= 0, 322 (30 cm) (19, 40 cm) 22, 1 cm2 .
fyd
(3740 daN / cm 2 )
Utilizzando, ad esempio, delle barre di diametro di 24 mm, si pongono per l’incastro:
Ff = 6 24 (correnti) + 2 24 (spezzoni) = 8 ( 4,52 cm 2 ) = 36, 19 cm2 > 28, 10 cm 2 ;
Ff = 6 24 = 6 ( 4,52 cm 2 ) = 27, 14 cm2 > 22, 10 cm 2 .
In particolare, si accetta un’armatura leggermente superiore a quella di calcolo per evitare che
le sezioni possano avere problemi in condizioni di stato limite di esercizio con tensioni
elevate sul conglomerato compresso, essendo la trave molto contenuta in altezza.
Analogamente, nella sezione di mezzeria, si disporranno:
449
Documento #:
Doc_a8_(7).doc
Ff = Ff = 6 24 = 6 (4, 52 cm2 ) = 27,14 cm2 > 22, 10 cm 2 .
Si riportano, come verifica, i due semidomini di rottura delle sezioni così progettate. Come si
può notare, per entrambe le sezioni la rottura avviene nel campo 3. In particolare, per la
sezione all’incastro la sollecitazione di progetto (0,00; 0,27) risulta perfettamente a metà del
campo di rottura 3. Di conseguenza, l’acciaio inferiore Ff presenterà un allungamento
unitario mediato tra i due valori estremi del campo 3 (rottura duttile e rottura bilanciata):
10 ‰ + 1, 78 ‰
f 6‰.
2
Il conglomerato compresso rimane a:
c = 3,5 ‰ .
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_89.tif
Figura 10.89 – Semidominio di rottura della sezione agli incastri.
450
Documento #:
Doc_a8_(7).doc
Per quanto riguarda, invece, le sezioni di mezzeria, la sollecitazione di progetto si trova
sempre nel campo di rottura 3, ma abbastanza prossima alla retta di massima duttilità.
Pertanto, risulterà:
c = 3,5 ‰ ;
f < 10 ‰ (calcolato in maniera rigorosa, si ha: f = 8, 5 ‰ ).
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_90.tif
Figura 10.90 – Semidominio di rottura della sezione in mezzeria.
Infine, si riporta nella figura 10.91 una proposta di carpenteria esecutiva della travata
progettata.
451
Documento #:
Doc_a8_(7).doc
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 10)\Figura 10_91.tif
Figura 10.91 – Proposta di carpenteria esecutiva della travata a spessore. (Le armature al taglio
devono intendersi orientative).
452

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