Corso di Dinamica delle Strutture
Dispense - parte #1
A.A. 2014∼2015
Versione 1.0.0
Indice
1 Grandezze fisiche
1.1 Un Esempio semplice ma non banale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2 Il Modello di Oscillatore Semplice
2.1 Potenza & Lavoro . . . . . . . . . . . . .
2.2 Principio di Bilancio . . . . . . . . . . . .
2.3 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Potenze & Energie dell’oscillatore . . . . .
2.5 Principio di Dissipazione . . . . . . . . . .
2.6 Principio di Dissipazione per l’Oscillatore
2.7 Il moto dell’oscillatore . . . . . . . . . . .
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3
4
5
5
6
6
7
8
3 Oscillatore libero
3.1 ζ = 0: moto armonico . . . . .
3.2 0 < ζ < 1: moto sotto-smorzato
3.3 ζ = 1: smorzamento critico . .
3.4 1 < ζ: moto sovra-smorzato . .
3.5 Esempi: la soluzione omogenea
3.6 Decremento logaritmico . . . .
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9
9
10
11
12
12
13
4 Oscillatore forzato
4.1 Moto con forzante armonica . . . .
4.1.1 Esempi . . . . . . . . . . .
4.2 Esempio ‘fai da te’ . . . . . . . . .
4.3 Forzante periodica . . . . . . . . .
4.4 Risposta alla forzante periodica . .
4.4.1 Esempio: onda quadra . . .
4.5 Analisi nel dominio della frequenza
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15
15
19
20
20
23
24
26
z
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z
1
z
1
Grandezze fisiche
La nozione di grandezza fisica `e fondamentale; tale nozione non va confusa con quella di unit`
a
di misura. Nel Sistema Internazionale di unit`a di misura (SI), le grandezze fisiche si dividono in
sette grandezze base e numerose grandezze derivate. Le sette grandezze fisiche fondamentali del Sistema Internazionale, con le relative unit`a di misura, sono riportate in tabella (1).
Nell’ambito di questo corso avremo a che fare essenzialmente con le prime tre grandezze fonSimbolo
Grandezza fisica
Unit`a di misura
Simbolo unit`a
l
lunghezza
metro
m
m
massa
kilogrammo
Kg
t
intervallo di tempo
secondo
s
i
intensit`
a di corrente
ampere
A
T
temperatura assoluta
kelvin
K
n
quantit`
a di sostanza
mole
mol
Iv
intensit`
a luminosa
candela
cd
Tabella 1: Le Grandezze Fisiche Fondamentali g_fisiche
damentali (lunghezza, massa e intervallo di tempo) e con alcune grandezza derivate di notevole
importanza meccanica. Per evitare di scrivere scomode combinazioni di grandezze, introduciamo
dei simboli per le quattro grandezze derivate di uso pi`
u frequente, vedi tabella (2); il numero
1 denota le grandezze adimensionali. Per indicare la grandezza fisica di una data quantit`a α
Simbolo
Grandezza fisica
Definizione
Unit`a di misura
Simbolo unit`a
F
forza
F = m l t−2
newton
N
E
energia, lavoro
E=Fl
joule
J
P
potenza
P = E t−1
watt
W
ϑ
angolo
ϑ =arco/raggio
radiante
rad
Tabella 2: Grandezze Fisiche Derivate g_derivate
useremo la notazione [α]. Ad esempio:
[dv] = ln
volume di un corpo n-dimensionale;
[da] = l(n−1)
area di una superficie (n-1)-dimensionale;
(1)
[ω] = [rad/s] = 1/t radianti al secondo, ossia, velocit`a angolare.
1.1
Un Esempio semplice ma non banale
Sapete la differenza tra forza, lavoro, potenza, energia? Quale di queste nozioni `e la pi`
u importante? Quello che probabilmente sapete `e che alcune volte si ‘paga la potenza’ (un aspirapolvere
2
esempio
potente costa di pi`
u di uno meno potente, cos`ı come un forno a microonde, oppure una automobile); altre volte si ‘paga il lavoro’ (l’energia elettrica, il pieno di benzina). In entrambe i due
ultimi casi (energia elettrica, benzina), in realt`a paghiamo per un qualcosa che saremo poi in
grado di convertire in lavoro.
Prendiamo un esempio pi`
u semplice e pi`
u ‘meccanico’: il signor A. deve raggiungere il quarto
piano di un edificio, salendo le scale a piedi, allora:
• l’unica forza in gioco `e la forza peso F = m g, dove m `e il peso di A. e g = 9.8 m/s2
l’accelerazione di gravit`
a;
• indichiamo con h il dislivello da superare; allora, il lavoro necessario sar`a L = F h;
• indichiamo con T il tempo impiegato per salire le scale; allora, la potenza sviluppata sar`
a
P = L/T .
La cosa importante da notare `e che il signor A. non arriver`a mai alla meta se non svilupper`
a,
istante per istante, una certa potenza P : `e la potenza che consente di compiere un lavoro.
Possiamo dire che il lavoro `e una nozione integrale, in quanto si riferisce ad un intero percorso;
la potenza `e una nozione istantanea, in quanto considera un solo istante. Riassumendo:
la potenza `
e la nozione fondamentale della meccanica.
Continuando con il nostro esempio, possiamo aggiungere che:
• il lavoro meccanico viene estratto dal lavoro metabolico con un’efficienza η < 1;
• il lavoro metabolico Lm necessario sar`a dato da Lm = L/η;
• inoltre, il metabolismo `e sensibile alla potenza sviluppata (avete sentito parlare di esercizi
aerobici e anaerobici?) e quindi non `e cos`ı semplice calcolare quanti calorie ‘brucier`a’ il
signor A. per fare le sue scale.
E l’energia? L’energia non entra in gioco in questo esempio. Nonostante la parola energia sia
una delle parole di origine tecnico-scientifica pi`
u usate da tutti, la maggior parte delle cose che
accadono sotto i nostri occhi non ha nulla a che fare con l’energia; piuttosto, il fenomeno pi`
u
importane `e la dissipazione. Ed infatti, il signor A., riscendendo se scale non riacquister`a il lavoro
che ha usato per salirle; anzi, dovr`
a spendere altro lavoro per scendere le scale. Ne spender`
a
per`o di meno perch`e in nostri muscoli sono progettati per ‘frenare’ e non per ‘accelerare’: avete
notato che quando tornate dalla montagna impiegate meno tempo di quello che avete dedicato
alla salita? Eppure il lavoro fatto `e lo stesso (forza peso x dislivello): il motivo `e che le gambe
sono in grado di erogare una potenza maggiore quando si va in discesa.
2
Il Modello di Oscillatore Semplice
Un oscillatore semplice `e un sistema ad un solo grado di libert`a, soggetto a forze di varia natura;
la configurazione del sistema `e descritta dalla funzione x(τ ) che associa ad ogni istante di tempo
τ una posizione x sulla retta reale:
T 3 τ 7→ x(τ ) ∈ R ;
3
(2)
osci_0
T = (0, τ1 ) rappresenta il generico intervallo temporale. Data la descrizione del moto (2),
indicheremo con un punto la derivata rispetto al tempo e con una tilde la velocit`a virtuale:
x˙ , velocit`a;
x
˜ , velocit`a virtuale.
(3)
Il moto dell’oscillatore semplice `e descritto dalle seguenti tre equazioni
mx
¨(τ ) + c x(τ
˙ ) + k x(τ ) = f (τ ) , bilancio delle forze, verificato ∀τ ∈ T ;
x(0) = xo ,
posizione iniziale, verificata per τ = 0;
x(0)
˙
= vo ,
velocit`a iniziale, verificata per τ = 0.
(4)
osci
dove la massa m, la viscosit`
a c, e la rigidezza k sono tre grandezze scalari positive. L’equazione
di bilancio delle forze pu`
o essere riscritta in modo pi`
u significativo dal punto di vista meccanico,
definendo:
Tipo di forza
Prescrizione
Analisi dimensionale
Forza esterna:
f ext (τ ) = f (τ ) ,
Forza elastica:
f ela (τ ) = −k x(τ ) , [x] = L , [k] = F/L ;
Forza viscosa:
f vis (τ )
= −c x(τ
˙ ),
Forza d’inerzia: f ine (τ ) = m x
¨(τ ) ,
[f ] = F ;
(5)
forze
(6)
eq_bala
[x]
˙ = L/T , [c] = F T /L ;
[¨
x] = L/T 2 , [m] = M ;
Allora, l’equazione (4)1 si riscrive
f ine (τ ) = f ela (τ ) + f vis (τ ) + f ext (τ ) ,
∀τ ∈ T .
Notiamo che le ultime tre definizioni di forza che appaiono in (5) rappresentano delle relazioni
costitutive, ossia, delle prescrizioni che legano il moto alla forza; ad esempio, la prescrizione per
la forza d’inerzia pu`
o essere letta nel seguente modo: prendere il moto x(τ ), derivarlo due volte
rispetto al tempo, e infine moltiplicare il risultato per lo scalare m che rappresenta la massa
del sistema. La prescrizione per la forza viscosa f vis ci dice che tale forza `e proporzionale alla
velocit`a (con il segno meno); la prescrizione per la forza elastica f ela ci dice che tale forza `e
proporzionale allo spostamento e si oppone ad esso.
Notiamo infine che queste tre forze dipendono linearmente dal moto; per tale motivo la
soluzione del problema (4) si ricava senza problemi, ed il modello di oscillatore viene detto
semplice.
Tali tre forze descrivono in modo dettagliato cosa avviene al punto materiale sotto esame,
e non possono essere controllate dallo sperimentatore; per tale motivo due di esse, le forze f ela
ed f vis , vengono definite forze interne, dove con l’aggettivo “interne” ci si riferisce al modello,
ossia, descritte nell’ambito del modello:
f in = f ela + f vis .
(7)
L’unica forza su cui possiamo agire per controllare il moto del punto `e dunque f e per tale
motivo si usa l’aggettivo “esterna”.
2.1
Potenza & Lavoro
Tra le nozioni fondamentali della meccanica vi `e quella di potenza. Tale nozione `e una nozione
istantanea, ossia, considera il corpo ad un dato istante, e coinvolge simultaneamente sia il moto
4
del corpo che le forze che agiscono su di esso. Nel caso dell’oscillatore semplice, la potenza `e
definita dal prodotto forza per velocit`
a:
(
v(τ ) = x(τ
˙ ) potenza (effettiva);
P(v(τ )) = f (τ ) · v(τ ) ,
(8)
v(τ ) = x
˜(τ ) potenza virtuale.
Osservazione: la notazione P(v(τ )) allude al fatto che la potenza dipende dalla velocit`a v(τ ); per
semplificare la notazione scriveremo anche P(v), oppure solo P(τ ) per evidenziare la dipendenza
dal tempo. Una volta definita la potenza, possiamo introdurre il lavoro, una nozione integrale
che prende in considerazione un intervallo finito di tempo; nel nostro caso, abbiamo:
Z τ
Z τ
L(v(τ )) =
P(v(s)) ds =
f (s) · v(s) ds .
(9)
0
potenza
lavoro
0
Anche in questo caso possiamo distinguere tra lavoro (effettivo) e lavoro virtuale a seconda che
si integri una potenza od una potenza virtuale. Confrontando le due definizioni precedenti, si
nota che la potenza spesa al tempo τ dipende solo da ci`o che accade a quel tempo; al contrario,
il lavoro compiuto al tempo τ dipende da tutto il moto, dall’istante iniziale τ = 0 all’instante
considerato τ . Dalla (9) discende che la derivata temporale del lavoro `e la potenza
L˙ = P
Data la classificazione delle forze (5), compresa la nozione di forze interne, definiamo le rispettive
potenze:
P ine (v(τ )) = m x
¨(τ ) · v(τ ) ,
potenza d’inerzia;
P vis (v(τ )) = −c x(τ
˙ ) · v(τ ) ,
potenza viscosa;
P ela (v(τ )) = −k x(τ ) · v(τ ) ,
potenza elastica;
P in (v(τ ))
2.2
f vis )
· v(τ ) , potenza interna;
P ext (v(τ )) = f ext · v(τ ) ,
potenza esterna.
=
(f ela
+
(10)
Principio di Bilancio
L’equazione di bilancio delle forze (6) discende da un principio di bilancio del tutto generale che
viene espresso per il tramite della potenza o del lavoro; in questo secondo caso, prende il nome
di Principio dei Lavori Virtuali. Il principio di bilancio, espresso in termini di potenze, richiede
che:
P ine (˜
x) = P in (˜
x) + P ext (˜
x) , ∀ x
˜ virtuale .
(11)
E’ semplice verificare che la tale richiesta, dovendo valere per ogni velocit`a virtuale, equivale
alla equazione di bilancio delle forze (6).
2.3
potenze
Energia
La potenza `e una nozione fondamentale e del tutto generale: ad ogni processo meccanico `e
sempre associata una potenza; al contrario, l’energia `e una propriet`a peculiare, e solo alcuni
processi meccanici ammettono un’energia. Un processo `e detto energetico se esiste una funzione
scalare, detta energia, la cui derivata temporale risulti uguale alla potenza:
d
energia = potenza ;
dτ
5
(12)
p_bala
in tal caso si dice che la potenza pu`
o essere espressa tramite un differenziale esatto. Unendo la
definizione di energia e la relazione che sussiste tra potenza e lavoro, possiamo scrivere
d
d
energia = potenza =
lavoro .
dτ
dτ
(13)
Calcolare il lavoro compiuto durante un’intervallo di tempo diventa molto semplice: non abbiamo
bisogno di conoscere la legge di evoluzione temporale del moto, n´e di svolgere materialmente
l’integrale (9), ma basta calcolare la variazione che subisce l’energia tra l’istante iniziale e quello
finale:
Z τ1
Z τ1
d
Lavoro =
potenza dτ =
energia dτ = energia(τ1 ) − energia(0) .
(14)
dτ
0
0
2.4
Potenze & Energie dell’oscillatore
Possiamo chiederci se le potenze (10) in gioco nel modello di oscillatore ammettano un’energia;
la risposta `e positiva per la potenza delle forze d’inerzia e di quelle elastiche, mentre `e negativa
per le forze viscose; per quanto riguarda le forze esterne, la domanda rimane in sospeso fin
quando tali forze non verranno specificate. Abbiamo:
1
m x(τ
˙ ) · x(τ
˙ ) , energia cinetica;
2
1
E(x(τ )) = k x(τ ) · x(τ ) , energia elastica.
2
K(x(τ )) =
(15)
energie
Osservazione: le notazioni K(x(τ )), E(x(τ )) alludono al fatto che l’energia dipende dal moto
x(τ ) (incluse le sue derivate); per semplificare la notazione scriveremo anche in questo caso
K(x), oppure K(τ ) per evidenziare la dipendenza dal tempo; lo stesso per E.
Osservazione: al contrario della potenza e del lavoro, che possono essere effettivi o virtuali,
l’energia considera sempre e solo il moto effettivamente realizzato; si noti ad esempio che nelle
(10) compare sia il moto effettivo x(τ ) (o le sue derivate) che una generica velocit`a v(τ ), mentre
nelle (15) compare solo il moto effettivo (o le sue derivate).
Per verificare che le (15) siano delle energie, calcoliamone le derivate rispetto al tempo:
1
1
˙
K(x)
= mx
¨(τ ) · x(τ
˙ ) + m x(τ
˙ )·x
¨(τ ) = m x
¨(τ ) · x(τ
˙ ) = P ine (x)
˙ ,
2
2
1
1
˙
E(x)
= k x(τ
˙ ) · x(τ ) + k x(τ ) · x(τ
˙ ) = k x(τ ) · x(τ
˙ ) = −P ela (x)
˙ .
2
2
(16)
ene_dot
Dunque, a meno del segno, le due derivate temporali forniscono la potenza effettiva spesa dalle
forze d’inerzia ed elastiche.
2.5
Principio di Dissipazione
Il principio di dissipazione dichiara che la variazione temporale di energia cinetica ed interna del
sistema `e sempre minore od uguale alla potenza spesa dalle forze esterne:
˙
˙
K(x)
+ E(x)
≤ P ext (x)
˙ ,
qualunque sia il moto realizzato x(τ ).
(17)
Tale principio ha un significato meccanico immediato: qualunque sia il sistema con cui abbiamo
a che fare, e qualunque sia il moto che realizziamo applicando delle forze esterne, una parte del
6
p_dissi
nostro lavoro (il lavoro esterno) non sar`a immagazzinato nel sistema sotto forma di energia, ma
andr`a perso. In particolare, in assenza di forze esterne, avremo:
˙
˙
K(x)
+ E(x)
≤ 0,
qualunque sia il moto realizzato x(τ );
(18)
ossia, l’energia immagazzinata nella configurazione iniziale pu`o al massimo essere conservata
(=), altrimenti, diminuir`
a con il tempo (<). Utilizzando il principio di bilancio (11), possiamo
rappresentare la potenza esterna come differenza tra potenza d’inerzia ed interna, P ext = P ine −
P in , e riscrivere il principio di dissipazione nel seguente modo
˙
˙
K(x)
+ E(x)
≤ P ine (x)
˙ − P in (x)
˙ ,
qualunque sia il moto realizzato x(τ ).
(19)
˙
Inoltre, essendo K(x)
= P ine (x),
˙ possiamo semplificare ulteriormente la richiesta:
˙
E(x)
+ P in (x)
˙ ≤ 0,
qualunque sia il moto realizzato x(τ ).
(20)
La parte che sarebbe necessaria per verificare l’uguaglianza `e detta dissipazione, e pu`o essere
definita nel seguente modo:
˙
D = −(E(x)
+ P in (x))
˙ ;
allora, possiamo riscrivere il principio di dissipazione nel seguente modo:
˙
D + E(x)
+ P in (x)
˙ = 0,
2.6
D ≥ 0,
qualunque sia il moto realizzato x(τ ).
(21)
p_dissi2
Principio di Dissipazione per l’Oscillatore
sub:dissi
Verifichiamo ora che il modello di oscillatore soddisfi il principio (21) (se ci`o non fosse vero, il
modello sarebbe sbagliato), e vediamo come `e fatta la dissipazione D. Nel nostro caso la potenza
delle azioni interne `e la somma di due contributi, uno elastico ed uno viscoso:
˙
D + E(x)
+ P ela (x)
˙ + P vis (x)
˙ = 0,
D ≥ 0,
qualunque sia il moto realizzato x(τ ).
(22)
˙
Inoltre, essendo E(x)
= −P ela (x),
˙ e P vis (x)
˙ = −c x˙ · x,
˙ possiamo scrivere:
D = −P vis (x)
˙ = c x˙ · x˙ ,
D ≥ 0,
qualunque sia il moto realizzato x(τ ).
(23)
dissi
Dunque la dissipazione `e dovuta alle sole forze viscose, ed il principio `e sempre verificato (D ≥ 0)
in quanto c > 0 e x˙ · x˙ ≥ 0 (zero solo nel caso di velocit`a nulla); inoltre, la dissipazione `e una
caratteristica del sistema e prescinde dalla presenza di forze esterne. Data la (23), e tenuto conto
del principio di bilancio (11), e della nozione di energia (16), possiamo scrivere:
˙
˙
˙
˙
K(x)
+ E(x)
+ D = K(x)
+ E(x)
− P vis (x)
˙
˙
˙
= K(x)
+ E(x)
+ P ela (x)
˙ − P ine (x)
˙ + P ext (x)
˙
(24)
ene_dissi
= P ext (x)
˙ .
Quest’ultima rappresentazione ci dice che una parte della potenza spesa dalle azioni esterne
contribuisce a variare l’energia del sistema, mentre un’altra parte viene dissipata (si ricordi che
D ≥ 0). Nel caso di forze viscose nulle abbiamo c = 0 e dunque D = 0: la (24) dice che la potenza
delle azioni esterne viene tutta impiegata per variare l’energia del sistema; in particolare, se il
sistema `e libero, ossia, in assenza di azioni esterne, si scopre che l’energia rimane costante nel
tempo:
d
˙
˙
(K(x) + E(x) ) = 0 ⇒ K(x) + E(x) = costante .
(25)
K(x)
+ E(x)
=
dτ
Il risultato (25) viene chiamato Principio di Conservazione dell’energia;
7
ene_dissi2
2.7
Il moto dell’oscillatore
Il moto dell’oscillatore semplice `e descritto dalla funzione x(τ ), soluzione del sistema (4) che
riscriviamo per comodit`
a:
mx
¨(τ ) + c x(τ
˙ ) + k x(τ ) = f ext (τ ) , bilancio delle forze, verificato ∀τ ∈ T ;
x(0) = xo ,
posizione iniziale, verificata in τ = 0;
x(0)
˙
= vo ,
velocit`a iniziale, verificata in τ = 0.
(26)
osci_bis
La soluzione del sistema (26) viene affrontato utilizzando una tecnica piuttosto semplice che qui
riassumiamo:
1. L’equazione di bilancio delle forze (26)1 `e una equazione lineare che conviene riscrivere in
forma compatta, mettendo in evidenza l’operatore lineare L che descrive l’equazione:
L x(τ ) = f (τ ) ,
∀τ ∈ T ,
con
L=m
d2
d
+c
+k.
dτ 2
dτ
(27)
osci_1
2. Si cercano le auto-funzioni dell’operatore lineare, ossia quelle funzioni che vengono trasformate in se stesse, a meno di una costante:
L ϕ(τ ) = cost ϕ(τ ) ,
∀τ ∈ T .
(28)
Tutte le funzioni del tipo ϕ(τ ) = u exp(λ τ ), con u, λ costanti, verificano la (28); in
particolare abbiamo:
L ϕ(τ ) = ( m λ2 + c λ + k ) ϕ(τ )
(29)
eigenfun
eigenfun_1
3. Le auto-funzioni sono il punto di partenza per costruire le soluzioni dell’equazione omogenea, ossia, per risolvere il caso con forzante nulla:
L x(τ ) = 0 ,
∀τ ∈ T
⇒
L ϕ(τ ) = ( m λ2 + c λ + k ) ϕ(τ ) = 0 ,
∀τ ∈ T .
(30)
eigenfun_2
L’equazione (30) deve essere verificata ad ogni istante; allora, abbiamo due sole possibilit`
a:
soluzione banale con auto-funzione nulla:
ϕ(τ ) = u exp(λ τ ) = 0 ⇔ u = 0 ,
soluzione interessante con auto-funzione non nulla: m λ2 + c λ + k = 0 .
(31)
4. La soluzione generale xg `e la somma della soluzione omogenea xom , corrispondente a
forzante nulla, e della soluzione particolare xf , che risolve il caso con forzante f :
xg (τ ) = xom (τ ) + xf (τ ).
Inserendo xg nella (27) si ottiene infatti
L xg = L (xom + xf ) = L xf = f
.
8
eigenfun_3
La ricerca di soluzioni non banali ci porta a risolvere l’equazione algebrica di secondo grado
(31)2 , detta equazione caratteristica: solo alcuni valori di λ sono ammissibili, e il tipo di moto
dipende proprio da tali valori. L’equazione caratteristica viene riscritta nel seguente modo
m λ2 + c λ + k = 0
⇒
λ2 +
c
k
λ+
=0
m
m
⇒
λ2 + 2 ζ ω λ + ω 2 = 0 ,
che evidenzia i due parametri importanti che caratterizzano la risposta del sistema:
r
c
c
k
, pulsazione naturale; ζ =
= √
, fattore di smorzamento.
ω=
m
2ωm
2 km
(32)
cara_1
(33)
om_zeta
Le soluzioni della equazione caratteristica (32)3 , scritte in termini di ζ ed ω sono due, a cui
corrispondono due auto-funzioni:
p
λ1,2 = −ζ ± ζ 2 − 1 ω ⇒ ϕ1,2 (τ ) = u1,2 exp(λ1,2 τ ) .
(34)
cara_2
La natura del moto dipende dal valore del termine sotto radice ζ 2 − 1. Infatti, sia ζ che ω sono
numeri reali maggiori od uguali a zero, e le soluzioni λ1,2 possono essere reali e distinte (ζ 2 > 1),
reali e coincidenti (ζ 2 = 1), oppure complesse coniugate (ζ 2 < 1).
3
Oscillatore libero
Iniziamo considerando il sistema (26) in assenza di forzanti esterne; in questo caso il moto `e
innescato da condizioni iniziali non nulle. Si distinguono i seguenti quattro casi.
3.1
ζ = 0: moto armonico
Il caso pi`
u semplice `e quello in cui lo smorzamento `e nullo (c = 0 ⇒ ζ = 0); l’equazione
caratteristica fornisce
m λ2 + k = 0
⇒
λ2 +
k
=0
m
⇒
λ2 + ω 2 = 0 ,
⇒
λ1,2 = ±i ω .
(35)
cara_armoni
Abbiamo dunque due radici complesse e coniugate, con parte reale nulla; la soluzione completa
del problema omogeneo pu`
o essere scritta come combinazione lineare delle due auto-funzioni:
xom (τ ) = u1 exp(i ω τ ) + u2 exp(−i ω τ ) ;
(36)
sol_armo1
le costanti u1,2 , che in generale saranno complesse e coniugate, sono determinate dalle condizioni
iniziali. La soluzione (36) ammette altre due rappresentazioni che si ricavano a partire della
fondamentale formula di Eulero
exp(± i α) = cos(α) ± i sin(α) ,
α ∈ R.
(37)
eulero
Ponendo nella (36) u1,2 = (a ∓ i b)/2, e usando la (37), si ottiene la prima rappresentazione
cercata
a − ib
a + ib
[cos(ω τ ) + i sin(ω τ ) ] +
[cos(ω τ ) − i sin(ω τ ) ]
2
2
= a cos(ω τ ) + b sin(ω τ ) .
xom (τ ) =
9
(38)
sol_armo2
La (38) `e la soluzione generale del problema omogeneo (26) in assenza di forze viscose: l’aggettivo generale si riferisce al fatto che abbiamo risolto solo la prima delle tre equazioni del
modello di oscillatore, senza tener conto delle altre due equazioni che esprimono le condizioni
iniziali; l’aggettivo omogeneo, invece, allude al fatto che abbiamo considerato forze esterne nulle.
Una seconda rappresentazione della soluzione (36) si ottiene a partire dalla (38), utilizzando la
seguente relazione trigonometrica
cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) .
(39)
La (39) consente di riscrivere la soluzione facendo comparire una sola funzione trigonometrica
p
xom (τ ) = A cos(ω τ − φ) , con A = a2 + b2 , φ = arctan(b/a) ,
(40)
trigo
sol_armo3
e per tale motivo il moto viene detto armonico; quest’ultima rappresentazione `e molto utile
in quanto mette in evidenza l’ampiezza A e la fase φ del moto. I parametri importanti che
caratterizzano il moto armonico sono i seguenti:
r
k
2π
1
ω=
, pulsazione naturale; T =
, periodo; f = , frequenza.
(41)
m
ω
T
Il valore delle costanti a e b, ovvero il valore di A e φ, sono determinati dalla condizioni iniziali;
allo scopo, conviene usare la rappresentazione (38) che fornisce
a = xo ,
xom (0) = a cos(ω 0) + b sin(ω 0) = xo ,
(42)
⇒
x˙ om (0) = −a ω sin(ω 0) + b ω cos(ω 0) = vo .
b = vo .
ω
E’ importante notare che il valore delle costanti si trova risolvendo un problema lineare di due
equazioni in due incognite; tale fatto `e del tutto generale, e tipico dei problemi differenziali
lineari ordinari. La (42) si riscrive infatti
"
#" # "
#" # "
#
cos(ω 0)
sin(ω 0)
a
1 0
a
xo
=
=
.
(43)
−ω sin(ω 0) ω cos(ω 0)
b
0 ω
b
vo
sol_armo4
sol_armo5
Dunque, la soluzione del problema omogeneo (26) in assenza di forze viscose si scrive:
xom (τ ) = xo cos(ω τ ) +
vo
sin(ω τ )
ω
= A cos(ω τ − φ) ,
3.2
con
p
A = x2o + (vo /ω)2 ,
φ = arctan
vo
ω xo
(44)
sol_armo6
.
0 < ζ < 1: moto sotto-smorzato
In questo caso l’equazione caratteristica (32) ha due radici complesse e coniugate, che conviene
riscrivere nel seguente modo
p
λ1,2 = −ζ ω ± i ωd , con ωd = ω 1 − ζ 2 ;
(45)
la pulsazione ωd , pi`
u piccola della pulsazione naturale ω, viene detta pulsazione smorzata. La
soluzione omogenea del problema sotto-smorzato `e data da
xom (τ ) = exp(−ζω τ ) [ u1 exp(i ωd τ ) + u2 exp(−i ωd τ ) ] .
10
(46)
sol_sotsmo1
Il termine tra parentesi quadre `e del tutto analogo alla soluzione armonica (36); ripetendo quanto
fatto per quel caso, possiamo riscrivere la (46) come segue
xom (τ ) = exp(−ζω τ ) [ a cos(ωd τ ) + b sin(ωd τ ) ]
= A exp(−ζω τ ) cos(ωd τ − φ) ,
con
A=
√
a2
+
b2 ,
b
.
φ = arctan
a
(47)
sol_sotsmo2
La (47) rappresenta un moto oscillatorio di pulsazione ωd e fase φ, la cui ampiezza decade
esponenzialmente con legge A exp(−ζω τ ); `e immediato verificare le seguenti due propriet`a
− A exp(−ζω τ ) ≤ xom (τ ) ≤ A exp(−ζω τ ) ,
lim xom (τ ) = 0 ,
τ →∞
(48)
ossia, le oscillazioni del moto sono comprese tra le due curve ±A exp(−ζω τ ), e l’ampiezza tende
a zero al passare del tempo. La velocit`
a del moto armonico smorzato si ottiene derivando rispetto
al tempo la (47)
x˙ om (τ ) = exp(−ζω τ ) [ (−a ζ ω + b ωd ) cos(ωd τ ) − (a ωd + b ζ ω) sin(ωd τ ) ]
(49)
sol_sotsmo3
= −A exp(−ζω τ ) [ ζ ω cos(ωd τ − φ) + ω sin(ωd τ − φ) ] ;
la velocit`a si annulla negli istanti τ che verificano la condizione
sin(ωd τ − φ)
= −ζ
cos(ωd τ − φ)
⇒
τ=
arctan(−ζ) + φ
.
ωd
(50)
Le costanti a, b, ovvero, A, φ, che compaiono nella (47) si determinano dalle condizioni iniziali
xom (0) = exp(−ζ ω 0) [ a cos(ω 0) + b sin(ω 0) ] = xo ,
x˙ om (0) = exp(−ζω 0) [ (−a ζ ω + b ωd ) cos(ωd 0) − (a ωd + b ζ ω) sin(ωd 0) ] = vo ,
ossia, in forma matriciale
"
1
0
−ζ ω ωd
3.3
#"
a
b
#
"
=
xo
vo
#
⇒
(51)
sol_sotsmo4
(52)
sol_sotsmo5
a = xo ,
b = v o + ζ ω xo .
ωd
ζ = 1: smorzamento critico
Questo
caso si verifica quando la viscosit`a c assume un valore, detto critico, pari a ccr = 2 m ω =
√
2 k m; l’equazione caratteristica (32) ha due radici reali coincidenti
λ1,2 = −ω .
(53)
La soluzione omogenea del problema con smorzamento critico `e data da
xom (τ ) = exp(−ω τ ) [ a + b τ ] .
(54)
La (54) rappresenta un moto che avviene senza oscillazioni, la cui ampiezza decade esponenzialmente con legge τ exp(−ζω τ ), e con velocit`a x˙ om (τ ) = exp(−ω τ ) [ −a ω + b (1 − ω τ ) ]. Le
costanti a, b si determinano al solito dalle condizioni iniziali; in forma matriciale abbiamo
"
#" # "
#
(
1 0
a
xo
a = xo ,
⇒
(55)
=
−ω 1
b
vo
b = vo + ω xo .
Il caso ζ = 1 segnala il confine tra i moti oscillatori e quelli senza oscillazioni; il moto con
smorzamento critico `e quello che, a parit`a di condizioni iniziali, tende pi`
u velocemente alla
posizione stazionaria.
11
sol_smocri1
sol_smocri5
3.4
1 < ζ: moto sovra-smorzato
In questo caso l’equazione caratteristica (32) ha due radici reali e distinte che conviene riscrivere
nel seguente modo
p
λ1,2 = −ζ ω ± ωd , con ωd = ω ζ 2 − 1 ;
(56)
La soluzione omogenea del problema sovra-smorzato `e data da
xom (τ ) = exp(−ζω τ ) [ a exp(ωd τ ) + b exp(− ωd τ ) ] .
(57)
sol_sovsmo1
La (57) rappresenta un moto che avviene senza oscillazioni, la cui ampiezza decade esponenzialmente; come al solito, le costanti a, b si determinano dalle condizioni iniziali.
3.5
Esempi: la soluzione omogenea
ζ=0
ζ = 0.2
ζ=1
ζ = 1.5
0.4
0.2
xom
ζ=3
ζ=2
ζ = 1.1
0.4
xom 0.2
0
−0.2
0
−0.4
0
1
2
τ
3
4
0
2
4
6
8
10
τ
Figura 1: Andamento nel tempo delle soluzioni (58) (sinistra), e del solo caso sovrasmorzato
(destra), per diversi valori di ζ e con vo = 1, ω = 3.
fig.01
0.4
± vo exp(−ζ ω τ )
xom (τ )
0.2
xom
0
−0.2
−0.4
0
2
4
6
8
10
τ
Figura 2: Andamento nel tempo della soluzione sotto-smorzata (58)2 racchiusa dall’inviluppo
± vo exp(−ζ ω τ ); ζ = 0.2, vo = 1, ω = 3.
12
fig.02
Consideriamo il sistema (26) non forzato, e cerchiamo la soluzione omogenea nei 4 casi
esaminati, assumendo come condizioni iniziali xo = 0, x˙ o > 0; abbiamo
vo
sin(ω τ ) ,
ω
vo
0 < ζ < 1) xom (τ ) =
exp(−ζ ω τ ) sin(ωd τ ) ,
ωd
ζ = 0) xom (τ ) =
ωd = ω
p
1 − ζ2 ,
(58)
x_omo
ζ = 1) xom (τ ) = vo τ exp(−ω τ ) ,
1 < ζ) xom (τ ) =
vo
exp(−ζ ω τ ) sinh(ωd τ ) ,
ωd
ωd = ω
p
ζ2 − 1 .
Si ricordi che sinh(α) = [exp(α) − exp(−α)]/2. Alcuni esempi sono disegnati nelle figure 1 e 2.
3.6
Decremento logaritmico
Lo smorzamento pu`
o essere stimato sperimentalmente misurando la riduzione dell’ampiezza
dell’oscillazione che avviene in un ciclo; dalla (47) segue infatti:
xom (τ )
exp(−ζ ω τ ) cos(ωd τ − φ)
=
.
xom (τ + T )
exp[−ζ ω (τ + T )] cos[ωd (τ + T ) − φ]
(59)
Ponendo T pari al periodo di un ciclo, T = 2 π/ωd , abbiamo
cos[ωd (τ + T ) − φ] = cos(ωd τ − φ + ωd T ) = cos(ωd τ − φ + 2 π) = cos(ωd τ − φ) ;
(60)
dunque, possiamo scrivere il rapporto xom (τ )/xom (τ + T ) nel seguente modo
xom (τ )
exp(−ζ ω τ )
=
= exp(ζ ω T ) .
xom (τ + T )
exp[−ζ ω (τ + T )]
Si definisce decremento logaritmico il logaritmo del rapporto xom (τ )/xom (τ + T ), ossia
xom (τ )
2πζ
δ = log
= ζωT = p
.
xom (τ + T )
1 − ζ2
(61)
(62)
Per determinare il valore dello smorzamento `e sufficiente misurare le ampiezze del moto in due
istanti qualsiasi separati dall’intervallo T = 2 π/ω, calcolare il logaritmo del loro rapporto e
ottenere ζ dalla (62)
δ
δ
ζ=p
=
+ O(δ 2 ) .
(63)
2π
(2 π)2 + δ 2
decre_log
decre_log2
Nel caso di smorzamento molto piccolo, si ottiene una stima pi`
u attendibile misurando due
ampiezze del moto in due istanti qualsiasi separati da un’intervallo multiplo del periodo, ad
esempio n T ; abbiamo allora
xom (τ )
= exp(n ζ ω T ) ,
xom (τ + n T )
(64)
ed il decremento logaritmico δ `e dato da
1
δ = log
n
xom (τ )
xom (τ + n T )
13
.
(65)
decre_log3
Ad esempio, sapendo che l’ampiezza di un moto `e diminuita del 50% dopo 5 oscillazioni, possiamo
calcolare
1
1
1
xom (τ )
xom (τ )
= log
= log 2 = 0.1386 ,
δ = log
(66)
5
xom (τ + n T )
5
0.5 xom (τ )
5
decre_log4
da cui, usando l’approsimazione lineare, si ottiene
ζ'
0.1386
δ
=
= 0.0221 .
2π
2π
(67)
decre_log5
0.4
0.2
xom
0
x(τ )
x(τ + T )
−0.2
T = 2 π/ωd
−0.4
0
1
2
3
τ
4
5
6
Figura 3: Misurando l’ampiezza dell’oscillazione in due istanti separati dall’intervallo T = 2 π/ωd
`e possibile calcolare il coefficiente di smorzamento ζ.
14
fig.03
4
Oscillatore forzato
Ci occupiamo ora di descrivere il moto dell’oscillatore soggetto a forze esterne, considerando problemi con difficolt`
a crescente: 1) forzante armonica; 2) forzante periodica; 3) forzante impulsiva;
4) forzante generica. Riscriviamo qui per comodit`a il problema da risolvere
mx
¨(τ ) + c x(τ
˙ ) + k x(τ ) = f ext (τ ) , bilancio delle forze, verificato ∀τ ∈ T ;
x(0) = xo ,
posizione iniziale, verificata in τ = 0;
x(0)
˙
= vo ,
velocit`a iniziale, verificata in τ = 0.
(68)
osci_tris
Come gi`a detto, la risposta generale xg di un sistema forzato `e data dalla somma della soluzione
omogenea xom , corrispondente a forzante nulla, e della soluzione particolare xf , che risolve il
caso con forzante f :
xg (τ ) = xom (τ ) + xf (τ ).
Inserendo la funzione xg nel sistema (68), si ottiene
mx
¨f (τ ) + c x˙ f (τ ) + k xf (τ ) = f ext (τ ) , bilancio delle forze, verificato ∀τ ∈ T ;
xom (0) + xf (0) = xo ,
posizione iniziale, verificata in τ = 0;
x˙ om (0) + x˙ f (0) = vo ,
velocit`a iniziale, verificata in τ = 0.
(69)
osci_forzat
Dunque, la soluzione dell’omogenea xom scompare dall’equazione differenziale, ma rimane nelle
condizioni iniziali: le costanti di integrazione a, b dell’omogenea, vedi (38), vanno trovate tenendo
conto anche della soluzione particolare xf .
4.1
Moto con forzante armonica
Consideriamo una forza esterna del tipo
f ext (τ ) = k A cos(α τ ) .
(70)
f_armonica
La costante A ha le dimensioni fisiche di una lunghezza, e la scrittura (70) risulter`a utile nel
seguito. Data la (70), possiamo riscrivere l’equazione del moto (69)1 dividendo tutti i termini
per la massa m, ottenendo
x
¨f (τ ) + 2 ζ ω x˙ f (τ ) + ω 2 xf (τ ) = ω 2 A cos(α τ ) .
(71)
Si suppone che la soluzione particolare xf sia una funzione armonica avente la stessa pulsazione
α della forzante:
xf (τ ) = a cos(α τ ) + b sin(α τ )
(72)
moto_farmo
sol_farmo
Inserendo la (72) nell’equazione del moto si ottiene
(ω 2 − α2 ) [a cos(α τ ) + b sin(α τ )] + 2 ζ ω α [b cos(α τ ) − a sin(α τ )] = ω 2 A cos(α τ ) .
(73)
Eguagliando i coefficienti delle funzioni seno e coseno si ottiene un sistema lineare che permette
di determinare le costanti a e b
" 2
#" # " 2 #
ω − α2 2 ζ ω α
a
ω A
=
.
(74)
−2 ζ ω α ω 2 − α2
b
0
15
moto_farmo2
moto_farmo3
Risolvendo il sistema, abbiamo
a=A
1 − (α/ω)2
,
(1 − (α/ω)2 )2 + (2 ζ α/ω)2
b=A
2 ζ α/ω
.
(1 − (α/ω)2 )2 + (2 ζ α/ω)2
(75)
moto_farmo4
Il valore delle costanti a, b dipende sia dalle caratteristiche del sistema ω, ζ, sia dalla pulsazione
della forzante α; in particolare, il rapporto β = α/ω ha un ruolo molto importante. L’ampiezza
X e la fase φ del moto xf vengono dunque rappresentate come funzioni di ζ e β:
A
,
[ (1 − β 2 )2 + (2 ζ β)2 ]1/2
b
2ζ β
φ1 (ζ, β) = arctan
= arctan
,
a
1 − β2
X(ζ, β) = (a2 + b2 )1/2 =
(76)
moto_fcos
(77)
moto_farmo5
(78)
f_sin
(79)
moto_farmo8
(80)
moto_fsin
e la soluzione particolare (72) si riscrive
xf (τ ) = X(ζ, β) cos[ α τ − φ1 (ζ, β) ] .
Considerando una forza esterna del tipo
f ext (τ ) = k A sin(α τ ) ,
`e possibile ripetere tutta la procedura appena vista ed ottenere
a=A
−2 ζ α/ω
,
(1 − (α/ω)2 )2 + (2 ζ α/ω)2
b=A
1 − (α/ω)2
;
(1 − (α/ω)2 )2 + (2 ζ α/ω)2
dunque, l’ampiezza X(ζ, β) del moto rimane la stessa, mentre la fase sar`a data da
b
1 − β2
φ2 (ζ, β) = π + arctan
= π + arctan
.
a
−2 ζ β
In questo caso, per mettere in evidenza lo sfasamento, conviene rappresentare la soluzione
particolare per il tramite della funzione seno; ripartendo dalla (72), si ottiene
xf (τ ) = X(ζ, β) cos[ α τ − φ2 (ζ, β) ] = X(ζ, β) sin[ α τ − φ3 (ζ, β) ] ,
con
φ3 (ζ, β) = π/2 + arctan
1 − β2
−2 ζ β
(81)
sol_fsin
.
(82)
Esaminiamo ora cosa accade nei casi estremi di pulsazione nulla, α = 0, corrispondente ad una
forzante stazionaria, e di pulsazione che tende all’infinito, α =→ ∞, ossia, forzante estremamente
veloce; dalla (81) abbiamo:
α=0
⇒ β=0
⇒ X = A,
φ3 = 0
⇒ xf (τ ) = A = cost ,
(83)
α =→ ∞ ⇒ β =→ ∞ ⇒ X → 0 ,
φ3 → π ⇒ xf (τ ) → 0 .
Dunque, la costante A che abbiamo introdotto nella (70) rappresenta lo spostamento xf (τ )
prodotto da una forza esterna costante nel tempo; inoltre, anche una forzante molto veloce
produce uno spostamento che tende a quello stazionario (addirittura nullo), ma in opposizione
di fase. Per tale motivo viene definito il rapporto G = X/A, detto fattore di amplificazione, che
16
moto_farmo6
quantifica gli effetti dovuti ad una forzante armonica rispetto ad una forza di pari intensit`a, ma
stazionaria
X(ζ, β)
1
G(ζ, β) =
=
.
(84)
2
2
A
[ (1 − β ) + (2 ζ β)2 ]1/2
moto_farmo7
Possiamo riassumere quanto detto con il seguente prospetto:
IN:
OUT:
f ext (τ ) = k A cos(α τ )
⇒
xg (τ ) = xom (τ ) + G(ζ, β) A cos[α τ − φ1 (ζ, β)] ,
f ext (τ ) = k A sin(α τ )
⇒
xg (τ ) = xom (τ ) + G(ζ, β) A sin[α τ − φ3 (ζ, β)] .
f = kA
ζ=0
ζ = 0.1
ζ = 0.2
ζ = 0.4
ζ=1
4
2
ζ=0
ζ = 0.1
ζ = 0.2
ζ = 0.4
ζ=1
π/2
1
0
0
1
2
0
3
β
0
1
2
β
3
Figura 4: Andamento del fattore di amplificazione G(ζ, β) (sinistra) e della fase φ3 (ζ, β) (destra)
al variare del rapporto β, per diversi valori dello smorzamento ζ.
Gli aspetti importanti della risposta di un oscillatore semplice con forzante armonica sono colti
dalle seguenti nozioni:
Pulsazione neutra. La pulsazione α cui corrisponde un fattore di amplificazione unitario viene
detta pulsazione neutra; il corrispondente valore di β viene indicato con βn :
√ p
G(ζ, β) = 1 ⇒ βn = 2 1 − 2 ζ 2 .
(86)
√
√
Per ζ = 0 abbiamo βn = 2; per ζ > 1/ 2 abbiamo sempre G(ζ, β) < 1 tranne che in β = 0.
Pulsazione di risonanza. La pulsazione α che rende massimo il fattore di amplificazione
viene detta pulsazione di risonanza ed indicata con αr ; il corrispondente valore di β viene detto
rapporto di risonanza ed indicato con βr = αr /ω. Il valore βr che rende massima la risposta
dipende dal coefficiente di smorzamento ζ e si trova cercando gli zeri della derivata di G(ζ, β)
rispetto a β; :
p
∂
G(ζ, β) = 0 ⇒ βr = 1 − 2 ζ 2 .
(87)
∂β
Fattore di qualit`
a. Il valore massimo del fattore di amplificazione viene detto fattore di qualit`
a
ed indicato con la lettera Q; tale massimo dipende ovviamente da ζ
Q(ζ) = G(ζ, βr ) = p
1
4 ζ 4 + 4 ζ 2 (1 − 2 ζ 2 )
17
moto_sincos
π
φ3
G 6
(85)
=
1
+ 0(ζ) = G(ζ, 1) + 0(ζ) .
2ζ
(88)
fig.04
L’ultima eguaglianza indica che, per piccoli smorzamenti, il massimo si ha in prossimit`a di β = 1.
Per ζ = 0 la risonanza
√ si verifica quando βr = 1, ossia αr = ω, e comporta una amplificazione
infinita; per ζ > 1/ 2 la risposta non ha pi`
u massimi (Q < 1).
√
Pulsazioni di mezza potenza. I due valori βi in cui si verifica G(ζ, βi ) = Q(ζ)/ 2 sono detti
punti di met`
a potenza
Q(ζ)
G(ζ, βi ) = √
2
⇒
1/2
p
.
βi = 1 − 2 ζ 2 ± 2 ζ 2 − ζ 4
(89)
Qsqrt2
Tale definizione discende dal fatto che la potenza assorbita dallo smorzatore `e proporzionale
al quadrato dell’ampiezza: allora, quando la forzante ha pulsazione αi = βi ω, lo smorzatore
dissipa met`a potenza rispetto al massimo che si verifica per αr .
Banda passante. L’intervallo compreso tra i√due punti βi `e detto banda passante: per valori
della pulsazione α1 ≤ α ≤ α2 , avremo G > Q/ 2. Abbiamo dalla (89)
β2 − β1 = 2 ζ + 2 ζ 2 + o(ζ 4 ) .
(90)
Si noti che questa nomenclatura ha origine nelle applicazioni elettriche e non meccaniche, dove
l’obiettivo `e spesso quello di amplificare e non di smorzare. La Fig.5 riassume tutte queste
nozioni per il caso specifico ζ = 0.3.
Banda passante
G
3
ζ=0
ζ = 0.3
√
ζ = 1/ 2
ζ=1
2
Q
√
Q/ 2
1
0
0
β1
βr 1
√
β2 1/ 2
2
3
β
Figura 5: Andamento del fattore di amplificazione G(ζ, β) al variare del rapporto β, per alcuni
valori di ζ. La curva G(0.3, β) (blu) raggiunge il massimo valore Q, indicato con un cerchio,
quando
√ βr = 0.9055; si noti che per β compreso tra β1 e β2 , tale curva `e sempre maggiore
√ di
Q/ 2; la fascia colorata verticale rappresenta dunque la banda passante. La curva G(1/ 2, β)
(rosso) decresce in modo monotono a partire da β = 0.
18
fig.05
4.1.1
Esempi
ζ = 0: moto armonico. In questo caso abbiamo
G(0, β) =
1
;
1 − β2
φ(0, β) = 0 per β < 1 ,
φ(0, β) = π per β > 1 .
(91)
Quindi, la soluzione particolare `e in fase per β < 1 e in opposizione di fase per β > 1; quando
α 6= ω, ossia β 6= 1, possiamo usare la (77) che fornisce
f ext (τ ) = k A cos(α τ )
⇒
xg (τ ) = xom (τ ) +
A
cos[α τ − φ1 (0, β)]
1 − β2
(92)
La risonanza si ha per α = ω, e l’amplificazione diventa infinita; in questo caso la formula
precedente non ha pi`
u valore e la soluzione particolare `e data da una oscillazione armonica la
cui ampiezza cresce linearmente con il tempo:
f ext (τ ) = k A cos(ω τ )
⇒
xg (τ ) = xom (τ ) +
A
ω τ sin(ω τ )
2
(93)
Dissipazione. Utilizziamo quanto imparato nella sezione (2.6) per calcolare potenza e lavoro dissipati in un sistema sotto-smorzato (0 < ζ < 1), sottoposto ad una forzante armonica
f ext (τ ) = k A cos(α τ ). La soluzione omogenea decade con il tempo; esaurito questo contributo,
il sistema si muover`
a a regime con legge xf e velocit`a x˙ f
xf (τ ) = G(ζ, β) A cos(α τ − φ1 ) ,
x˙ f (τ ) = −α G(ζ, β) A sin[α τ − φ1 (ζ, β)] .
(94)
xf_sin
Calcoliamo ora la potenza dissipata D = −P vis = c x˙ f · x˙ f e la potenza esterna immessa nel
sistema P ext = f · x˙ f ; utilizzando la (94), possiamo scrivere
D(x˙ f (τ )) = c (G A)2 α2 sin2 (α τ − φ1 ) ,
(95)
P ext (x˙ f (τ )) = −k A2 G α cos(α τ ) sin(α τ − φ1 ) .
Dalla precedente espressione si vede che la potenza dissipata dipende dal quadrato dell’ampiezza
del moto X = G A; inoltre, per il tramite di G, dipende da ζ e β:
Dmax = c G2 (ζ, βr ) A2 α2 sin2 (α τ − φ1 ) = c Q2 (ζ) A2 α2 sin2 (α τ − φ1 ) .
(96)
Nei punti di met`
a potenza abbiamo
Dmax/2 = c G2 (ζ, βi ) A2 α2 sin2 (α τ − φ1 ) =
1
Dmax .
2
Il lavoro compiuto in un ciclo si ottiene integrando la potenza tra zero e Ta = 2 π/α
Z Ta
d
L =
D(τ ) dτ = c α π (A G)2 ,
(97)
(98)
0
L
ext
Z
=
Ta
P ext (τ ) dτ = −k π A2 G sin φ1 .
(99)
0
Per confrontare le due espressioni occorre eliminare k e sin φ1 da Lext ; dalla (76) otteniamo
G=
1
=
[ (1 − β 2 )2 + (2 ζ β)2 ]1/2
1
"
2ζ β
19
1−β
2ζ β
sin φ1
#1/2 = 2 ζ β ,
2 2
+1
(100)
power1
mentre dalla (33) si ha k = m ω 2 ; utilizzando queste relazioni si ottiene
Lext = −k π A2 G sin φ1 = −c α π (A G)2 = −Ld .
(101)
ossia, tutto il lavoro esterno fatto sul sistema viene dissipato dallo smorzatore.
4.2
Esempio ‘fai da te’
Il modo migliore per comprendere il significato del fattore di amplificazione `e fare un semplice
esperimento utilizzando le proprie mani ed un pendolo (un filo con un peso attaccato in basso).
Prendiamo un pendolo di massa m e lunghezza L e sottoponiamo il punto di sospensione ad uno
spostamento armonico orizzontale η(τ ) = ηo sin(α τ ), ad esempio, muovendo la nostra mano
a destra e sinistra; in conseguenza di ci`o, il pendolo assumer`a un moto oscillatorio e la massa
subir`a uno spostamento x(τ ) rispetto la posizione di riposo. Sia θ l’angolo formato dal filo
rispetto la verticale, T la tensione nel filo, m g la forza peso verticale; assumendo oscillazioni
piccole, possiamo dire che la tensione nel filo T `e circa pari a m g, mentre la sua componente
orizzontale vale circa m g sinθ, vedi Fig.(6)
m g = T cos θ ' T ,
T sin θ ' m g sin θ ,
sin θ '
x−η
.
L
(102)
L’equazione di bilancio relativa al moto orizzontale, considerando anche una forza viscosa, si
scrive
mx
¨(τ ) + c x(τ
˙ ) + m g sin θη(τ ) = 0
⇒
mx
¨(τ ) + c x(τ
˙ )+
mg
mg
x(τ ) =
ηη(τ ) ;
L
L
(103)
ossia, dividendo tutto per m e ricordando che η = ηo sin(α τ )
2
r
2
x
¨(τ ) + 2 ω ζ x(τ
˙ ) + ω x(τ ) = ω ηo sin(α τ ) ,
ω=
g
.
L
(104)
La precedente equazione `e analoga alla (71): il moto del supporto η(τ ) ha lo stesso effetto di
una forzante. Per tale motivo valgono gli stessi risultati della (83) che conviene ripetere qui con
qualche commento:
La mano si sposta:
⇒ X = A,
φ3 = 0
⇒ il pendolo si sposta insieme alla mano;
velocemente: α =→ ∞ ⇒ X → 0 ,
φ3 → π
⇒ il pendolo rimane fermo;
lentamente: α = 0 ,
alla risonanza: α = ω
⇒ X →→ ∞ ,
φ3 →
π
2
⇒ il pendolo oscilla molto.
(105)
Dunque, muovendo la mano con il periodo giusto `e possibile innescare nel pendolo oscillazioni
molto ampie anche se la mano si muove pochissimo;√se il filo `e lungo un metro, la risonanza
dovrebbe avvenire con un periodo T = 2 π/ω ' 6.28/ 9.8 ' 2 s.
4.3
Forzante periodica
Consideriamo una forza esterna periodica di periodo Ta , ossia, tale che
f (τ + Ta ) = f (τ ) .
20
(106)
es_faidate
endoloWalter
η
θ
L
T
T
T cos θ
T sin θ
L sin θ
mg
x
mg
Figura 6: A sinistra vediamo il pendolo in condizioni di riposo, mentre a destra vediamo una
generica configurazione assunta durante il moto, inclinata dell’angolo θ rispetto la verticale. I
due parametri η e x misurano gli spostamenti orizzontali del punto di sospensione e della massa
posta in basso, rispettivamente. L’ipotesi di piccoli spostamenti comporta L sin θ = x − η,
cos θ = 1.
L’insieme delle funzioni periodiche di egual periodo, corredato delle operazioni di somma tra
funzioni e di prodotto tra una funzione ed uno scalare, `e uno spazio lineare:
F = {f : R → R, tali che f (τ + Ta ) = f (τ )} ,
insieme delle funzioni periodiche ;
f (τ ) , g(τ ) ∈ F
somma di funzioni ;
α ∈ R , f (τ ) ∈ F
⇒
⇒
f (τ ) + g(τ ) ∈ F ,
α f (τ ) ∈ F ,
(107)
prodotto funzione per uno scalare .
In questo spazio lineare introduciamo anche la seguente operazione di prodotto interno o prodotto
scalare che associa a due funzioni uno scalare:
Z τ +Ta
2
f (τ ) · g(τ ) =
f (s) g(s) ds .
(108)
Ta τ
scala_f
Il prodotto scalare permette di definire il modulo di una funzione e di misurare la distanza tra
due funzioni
kf (τ )k = ( f (τ ) · f (τ ) )1/2 ,
modulo di una funzione ;
(109)
d(f (τ ) , g(τ )) = kf (τ ) − g(τ )k , distanza tra due funzioni .
Lo spazio delle funzioni periodiche di periodo Ta `e dotato di una base costituita da una funzione costante e dalle funzione armoniche seno e coseno aventi pulsazione multipla di quella
fondamentale α = 2 π/Ta
Base: { 1, cos(j α τ ), sin(j α τ ) } ,
21
con j = 1, 2, . . . ,
α=
2π
.
Ta
(110)
base_f
Per semplificare la notazione, definiamo αj = j α, con j = 1, 2, . . . le pulsazioni multiple di
α; α1 = α `e detta pulsazione fondamentale, mentre tutte le altre sono chiamate pulsazioni
superiori. Si noti che le funzioni armoniche vengono ordinate secondo la pulsazione; cos(α1 τ )
e sin(α1 τ ) sono chiamate armoniche fondamentali, le altre armoniche superiori. Si noti anche
che gli elementi della base sono tutti ortogonali tra loro: infatti, per ogni i, j, abbiamo
Z τ +Ta
2
1 · cos(αj τ ) =
cos(αj s) ds = 0 ,
Ta τ
1 · sin(αj τ ) =
2
sin(αj τ ) · cos(αi τ ) =
Ta
Z
2
Ta
τ +Ta
sin(αj s) ds = 0 ,
τ
τ +Ta
Z
sin(αj s) cos(αi s) ds = 0 ;
(111)
τ
inoltre, le funzioni armoniche hanno modulo uno:
Z τ +Ta
2
2
k cos(αj τ )k =
cos2 (αj s) ds = 1 ,
Ta τ
2
k sin(αj τ )k =
Ta
2
Z
τ +Ta
sin2 (αj s) ds = 1 ,
(112)
τ
(113)
Ogni funzione periodica di periodo Ta pu`o essere rappresentata come combinazione lineare di
elementi della base, detta sviluppo di Fourier
∞
f (τ ) = ao
1 X
+
[ aj cos(αj τ ) + bj sin(αj τ ) ] ;
2
(114)
Fourier_f
j=1
l’insieme delle costanti ao , aj , bj , con j = 1, 2, . . . viene detto spettro della funzione f , e caratterizza completamente una funzione periodica di periodo Ta e pulsazione fondamentale α = 2 π/Ta ;
ogni costante ha le dimensioni fisiche di una forza. Lo spettro di una funzione `e costituito dalle
componenti della funzione data rispetto alle funzioni della base, e si trova proiettando la funzione
sulla base
Z τ +Ta
2
ao = f (τ ) · 1 =
f (s) ds ,
Ta τ
aj
bj
2
= f (τ ) · cos(αj τ ) =
Ta
Z
2
= f (τ ) · sin(αj τ ) =
Ta
Z
τ +Ta
f (s) cos(j α s) ds ,
τ
τ +Ta
f (s) sin(j α s) ds .
(115)
τ
Notiamo infine che il primo termine della serie rappresenta il valor medio f¯ della funzione f (τ )
Z τ +Ta
1
¯
f=
f (s) ds .
(116)
Ta τ
22
medio_f
Infatti, il prodotto scalare di f (τ ) per la funzione costante 1 fornisce
2
f (τ ) · 1 =
Ta
τ +Ta
Z
2
f (s) ds = 2 f¯ =
Ta
τ
τ +Ta
Z
τ
∞
1 X
( ao +
[ . . . ] ) ds = ao
2
⇒
j=1
ao
.
f¯ =
2
(117)
Ricordiamo che una funzione viene detta pari o dispari a seconda che un cambio si segno
dell’argomento provochi o meno un cambio di segno del valore della funzione:
dispari: f (τ ) = −f (−τ ) .
pari: f (τ ) = f (−τ ) ;
(118)
L’importanza di tale classificazione risiede nel fatto che, rispetto al prodotto scalare scelto,
le funzioni pari e dispari sono ortogonali tra loro; indichiamo con p(τ ) e d(τ ) due funzioni
rispettivamente pari e dispari: allora, centrando gli estremi di integrazione nell’origine, possiamo
scrivere
!
Z Ta /2
Z Ta /2
Z 0
2
2
p(τ ) · d(τ ) =
p(s) d(s) ds =
p(s) d(s) ds . (119)
p(s) d(s) ds +
Ta −Ta /2
Ta
0
−Ta /2
scala_f2
pari_d
pari_dis1
Utilizzando le propriet`
a dell’integrale e delle funzioni pari e dispari, il primo addendo nel termine
di destra pu`
o essere trasformato come segue
Z
0
Z
0
Z
p(s) d(s) ds =
−Ta /2
Ta /2
Ta /2
Z
Ta /2
p(−s) d(−s) ds = −
p(−s) d(−s) (−ds) =
0
p(s) d(s) ds ,
0
(120)
pari_dis2
Usando questo risultato nella (119) si ottiene quanto detto
2
p(τ ) · d(τ ) =
Ta
Z
Ta /2
−Ta /2
2
p(s) d(s) ds =
Ta
Z
−
Ta /2
Z
p(s) d(s) ds +
0
!
Ta /2
p(s) d(s) ds
= 0.
0
(121)
Data l’ortogonalit`
a tra funzioni pari e dispari, la rappresentazione (114) di una funzione pari
conterr`a solo armoniche pari, e dunque bj = 0 per ogni j; analogamente, per una funzione dispari
avremo aj = 0.
4.4
pari_dis2
Risposta alla forzante periodica
A questo punto, determinare la risposta dell’oscillatore ad una forzante periodica `e piuttosto
semplice; le considerazioni importanti da fare sono tre:
1. conosciamo la risposta in caso di forzante armonica, vedi (85);
2. una funzione periodica si rappresenta come somma di una costante pi`
u le varie armoniche,
vedi la (114);
3. il sistema `e lineare.
Dunque, la risposta ad una forzante periodica di periodo Ta = 2 π/α sar`a data da
∞
X
1
1
xf (τ ) = ao +
Gj [ aj cos(αj τ − φ1j ) + bj sin(αj τ − φ3j ) ] ;
k
2
j=1
23
(122)
Fourier_x
dove
jα
,
(123)
ω
sono il fattore di amplificazione e la fase relativi ad ogni singola armonica. La (122) mostra che
una armonica, anche di piccola ampiezza ma avente una pulsazione simile a quella di risonanza,
βj ' βr , ha un effetto sulla risposta molto grande. Questo aspetto `e molto importante soprattutto per un oscillatore con smorzamento piccolo o nullo, e quindi con fattore di qualit`a grande
o infinito: una forzante con una piccola armonica vicino alla risonanza provoca risposte enormi.
Gj = G(ζ, βj ) ,
4.4.1
φ1j = φ1 (ζ, βj ) ,
φ3j = φ3 (ζ, βj ) ,
βj =
Esempio: onda quadra
Consideriamo la funzione periodica onda quadra, di periodo Ta e ampiezza A, centrata nell’origine; tale funzione `e definita dalla richiesta
...
−A per Ta /2 < τ < Ta ,
A per 0 < τ < Ta /2 ,
f (τ ) =
(124)
−A
per
−
T
/2
<
τ
<
0
,
a
A per − Ta < τ < −Ta /2
...
Un esempio di onda quadra `e mostrato nella Fig.(7) per il caso A = 1, Ta = 2; si noti che tale
funzione `e costante a tratti, e non `e definita nei punti ±i Ta /2; inoltre, `e una funzione dispari e
dunque il suo sviluppo di Fourier conterr`a solo le armoniche dispari, ossia, ai = 0.
1.0
0.5
�4
�2
2
4
2
4
�0.5
�1.0
1.0
0.5
�4
�2
�0.5
�1.0
Figura 7: Sopra: grafico della funzione onda quadra, con A = 1 e Ta = 2; tale funzione `e costante
a tratti e non `e definita nei punti ±i Ta /2. Sotto: grafico dell’onda quadra con sovrapposta la
sua rappresentazione di Fourier contenente solo le tre armoniche di ampiezze b1 , b3 , b5 .
24
fig:onda_q
Il calcolo dei coefficienti bi fornisce
4 A , j dispari,
2 [−1 +
2
iπ
f (s) sin(j α s) ds = −
bj = f (τ ) · sin(i α τ ) =
=
Ta τ
jπ
0 , j pari.
(125)
e dunque lo spettro dell’onda quadra contiene solo le costanti bi con i dispari; il suo sviluppo di
Fourier fornisce
∞
4A X 1
f (τ ) =
sin(αj τ ) ;
(126)
π
j
Z
τ +Ta
(−1)j ]
Fourier_sw
j=1,3,5,...
Un confronto tra l’onda quadra e la sua rappresentazione di Fourier troncata alle prime tre
armoniche non nulle `e mostrata in Fig.(7). La risposta dell’oscillatore all’onda quadra sar`
a
fornita dalla (122) adattata al caso in esame
∞
X
Gj
1
4A
xf (τ ) =
sin(αj τ − φ3j ) ;
(127)
k
π
j
j=1,3,5,...
Un grafico molto importante si ottiene sovrapponendo lo spettro della forzante (una caratteristica
dell’ingresso) al fattore di amplificazione (una caratteristica del sistema): in questo modo `e
possibile visualizzare a colpo d’occhio le armoniche che saranno amplificate oppure ridotte.
La Fig.(8) si riferisce ad un oscillatore con caratteristiche ζ = 0.2, ω = 10. Lo spettro
dell’onda quadra la variare della pulsazione `e mostrato con dei pallini blu: il primo pallino risiede
nel punto (α, b1 ) = (π, 4/π), il secondo in (2 α, b2 ) = (2 π, 0), il terzo in (3 α, b3 ) = (3 π, 4/(3 π)) e
cos`ı via; si nota che i pallini in posizione dispari hanno valori sempre pi`
u bassi, mentre i pallini in
posizione pari hanno valore nullo. La curva continua rappresenta il grafico di G(ζ, β) al variare
della pulsazione, e presenta il massimo in prossimit`a della pulsazione naturale ω = 10.
La terza armonica ha pulsazione 3 π ' 9.424, un valore molto vicino a quello della pulsazione
naturale e dunque vicino alla risonanza. I quadrati rossi rappresentano lo spettro del moto xf e
mostrano l’effetto del fattore di amplificazione: il valore della loro ordinata `e dato dal prodotto
bj G(ζ, βj ). Si nota che la prima armonica, alta, viene leggermente amplificata; la seconda
armonica ha valore nullo; la terza armonica, meno importante della prima, viene amplificata
tanto che il suo contributo diventa paragonabile a quello della prima armonica; da qui in poi, i
contributi sono trascurabili.
25
x_sw
Adf
2.5
2.0
1.5
�
�
�
1.0
0.5
�
�
�
�
10
�
�
20
�
�
�
�
�
30
�
�
�
�
�
�
40
�
�
�
�
50
�
�
�
�
�
60
�
�
�
rad
70
sec
Figura 8: Grafico del fattore di amplificazione G(ζ, β) per il caso ζ = 0.2, ω = 10, al variare
della pulsazione (curva blu). I pallini blu rappresentano lo spettro bi dell’onda quadra, mentre
i quadrati rossi sono lo spettro della risposta xf ; la posizione relativa del quadrato rispetto al
pallino mostra l’effetto del fattore di amplificazione sulle varie armoniche.
4.5
fig:onda_q2
Analisi nel dominio della frequenza
Fino ad ora abbiamo risolto le equazioni del moto nel dominio del tempo, ossia, cercando al
funzione τ 7→ x(τ ). Inoltre, abbiamo appena visto come sia importante determinare la risposta
ad una forzante periodica, e come tale risposta dipenda dal contenuto armonico della forzante.
Tutto ci`o suggerisce di studiare il moto del pendolo nel cosiddetto dominio della frequenza: data
una forzante con un determinato spettro, come sar`a fatto lo spettro della risposta?
Data la forzante di periodo Ta , con α = 2 π/Ta = α1 armonica fondamentale, le importanti
relazioni di Eulero forniscono
i
sin(αj τ ) = − [exp(i αj τ ) − exp(−img αj τ )] .
2
(128)
Tali relazioni permettono di rappresentare la serie di Fourier (114) in forma esponenziale
cos(αj τ ) =
1
[exp(i αj τ ) + exp(−i αj τ )] ,
2
f (τ ) =
∞
X
Pj exp(i αj τ ) .
(129)
j=−∞
I coefficienti della serie Pj saranno in questo caso numeri complessi, dati dalla relazione
1
Pj =
Ta
Z
Ta
f (τ ) exp(−i αj τ ) dτ ,
j = 0, ±1, ±2, . . . .
(130)
0
Si noti che, per definizione, i coefficienti Pj e P−j sono complessi coniugati; grazie a questo,
i termini immaginari della serie (129) si elidono a vicenda e si ottiene una funzione reale. I
numeri complessi Pj definiscono lo spettro della forzante, analogamente ai numeri reali aj e bj .
La risposta alla forzante si ottiene moltiplicando lo spettro Pj per il fattore di amplificazione
26
Fourier_exp
complesso Hj definito da
Hj = H(ζ, βj ) =
(1 −
βj2 )2
1
.
+ i (2 ζ βj )
(131)
Dunque, le componenti armoniche di pulsazione αj presenti nella forzante saranno amplificate
di Hj volte, producendo un’uscita di intensit`a Hj Pj .
Algoritmo
1. f (τ ) funzione di periodo Ta
2. Sviluppo in serie di Fourier:
∞
f (τ ) = ao
1 X
+
[ aj cos(αj τ ) + bj sin(αj τ ) ] , serie reale
2
j=1
∞
X
f (τ ) =
(132)
Pj exp(i αj τ ) ,
serie complessa
j=−∞
3. Spettro
ao , a j , b j ∈ R ,
j = 1, 2, . . . , spettro reale
(133)
Pj ∈ C ,
j = ±1, ±2, . . . ,
spettro complesso
4. Amplificazione:
Gj aj , Gj bj , amp. reale
(134)
Hj Pj ,
amp. complessa
5. Campionamento della funzione negli istanti tj = j ∆τ , j = 0, 1, . . .
fj = f (τj )
27
fattore_com
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