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(*)ESEMPIO 4. Sia data la trave di sezione rettangolare delle dimensioni di 20 cm x 40 cm,
descritta all’esempio 1 (vedere particolari in figura 16.22). Supponendo che la struttura sia
stata confezionata con un conglomerato C20/25 e con acciai nervati tipo S440, verificare la
stessa allo stato limite di fessurazione secondo la EN 1992-1-1, ipotizzando che la massima
ampiezza delle lesioni (immediatamente all’applicazione dei carichi) debba rispettare il
vincolo w k 0,10 mm nella combinazione di carico rara con sollecitazione flettente pari a:
MSe = 2, 4 10 5 daNcm . Si supponga fct ,eff = fctm e una posizione dell’asse neutro ad incipiente
fessurazione pari a x = 17,4 cm. Si tenga conto di quanto raccomandato nella EN 1992-1-1.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fck = 200 daN / cm 2 (tab. 9.3_b);
conglomerato:
fctk = 15daN / cm2 (tab. 9.3_b);
fctm = 22daN / cm 2 (tab. 9.3_b);
acciai:
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo parametri di progetto per la fessurazione.
Calcolo coefficiente di omogenizzazione (breve periodo).
In virtù dell’equazione 6.2 al paragrafo 6.7, si calcola il modulo elastico secante secondo
l’Eurocodice 2, coerentemente anche con i dati riportati in tabella 6.2b:
Ecsec [N / mm 2 ] = 9500 3 fck [ N / mm2 ] + 8 = 9500 3 (20 N / mm 2 ) + 8 28848 N / mm 2 ;
(2, 1 106 daN / cm 2 )
n =
=
7, 3 .
Ec (288480 daN / cm2 )
Si assume, inoltre, per il conglomerato in trazione 0, 5 .
*
Ef
Calcolo dell’altezza dell’area efficace di conglomerato teso:
Come si può notare dalla figura 16.22, in condizioni di sezione ad incipiente fessurazione
(vedere posizione asse neutro ad incipiente formazione delle fessure):
2,5 (H h) = 2,5 [( 40 cm) (36 ,8 cm)] = 8 cm
d eff = 7, 5 cm = min ( H x) / 3 = [( 40 cm) (17, 4 cm)] / 3 = 7, 5 cm ;
H / 2 = (40 cm) / 2 = 20 cm.
Calcolo del coefficiente di forma del diagramma delle tensioni.
Per una generica sezione rettangolare sottoposta a flessione semplice (quindi con asse neutro
passante all’interno della sezione) si pone k2 = 0,5 .
Calcolo area efficace di conglomerato teso.
Fc eff = b eff deff = (20 cm) (7, 5 cm) = 150 cm2 .
Calcolo rapporto (di armatura efficace).
Considerando le sole armature tese comprese nell’area efficace di conglomerato teso, si ha:
Ff eff
Ff
4 (1, 13 cm 2 )
eff =
=
=
0,0301 .
Fc eff Fc eff
(150 cm2 )
Calcolo distanza media delle fessure.
Come da Normativa, si utilizza la seguente formula:
l srm [mm] = k3 cnom + k1 k2 k 4 / eff ;
980
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avendo considerato un copriferro nominale pari a 20 mm (come riportato in figura) e un
diametro delle barre longitudinali di 12 mm ( Ff = 4 12 ). Inoltre, si pone k 4 = 0,425 e
k 3 = 3, 4 , come raccomandato da Normativa. Sostituendo i valori numerici, e avendo
calcolato precedentemente il valore di k2 = 0,5 , si ha:
l srm [mm] = 3,4 (20 mm) + 0,8 0, 5 0, 425 (12 mm) / 0,0301 136 mm = 13, 6 cm ;
con il valore di k1 = 0, 8 perché si utilizzano barre nervate (S440).
Calcolo posizione asse neutro sezione omogenizzata parzialmente reagente
(conglomerato fessurato).
Per una sezione rettangolare semplicemente inflessa, in fase fessurata ( = 0 ) deve risultare
all’equilibrio:
b x 2
+ n Ff (x h ) n Ff (h x) = 0 .
2
Sostituendo i valori numerici, si ha (omettendo le unità di misura per ragioni di spazio):
20 x2
+ 7, 3 1, 57 ( x 3,1) 7, 3 4, 52 (36, 8 x ) = 0 .
2
Risolvendo l’equazione, si ottiene x = 9, 2 cm .
Calcolo momento d’ineriza sezione omogenizzata parzialmente reagente (conglomerato
fessurato).
Nel caso di sezione rettangolare sempicemente inflessa e in stato fessurato, dovendo
prescindere dal conglomerato in zona tesa ( = 0 ), deve risultare all’equilibrio:
b x3
2
2
Jci =
+ n Ff ( h x ) + n Ff ( x h ) .
3
Sostituendo i valori numerici con n = n * = 7, 3 e con x = 9, 2 cm (omettendo le unità di
misura per ragioni di spazio), si ha:
20 9,2 3
2
2
Jci =
+ 7,3 4,52 ( 36,8 9, 2 ) + 7, 3 1, 57 ( 9,2 3,1) 30753 cm 4 .
3
Calcolo tensione nelle armature longitudinali tese.
Con ovvio significato dei simboli, indicando con h = 36,8 cm l’altezza utile della sezione
resistente, si calcola (con x = 9, 2 cm ):
f = n* MSe
(2, 4 105 daNcm)
(h x) = 7, 3 [(36, 8 9,2) cm] 1607 daN / cm 2 ;
Jci
(30753 cm 4 )
Verifica stato limite di fessurazione.
Avendo ipotizzato dei carichi di breve durata, si pone kt = 0, 6 . Inoltre, si è calcolato:
Ef
( 2,1 10 6 daN / cm2 )
e = n* =
=
7, 3 .
Ecsec (288480 daN / cm2 )
Risulta, quindi, sostituendo i valori numerici:
fct ,eff
f kt (1 + e eff )
eff
fm cm =
=
Ef
=
(22 daN / cm2 )
(1 + 7, 3 0, 0301)
0,0301
0,00051 .
(2,1 106 daN / cm2 )
(1607 daN / cm2 ) 0,6 981
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Risulta verificata intanto la condizione:
f
(1607 daN / cm2 )
fm cm 0,6 = 0,6 0,00046 .
(2,1 10 6 daN / cm 2 )
Ef
L’ampiezza caratteristica delle fessure si calcola, infine:
w k = srm ( fm cm ) = (136 mm) 0,00051 0,07 mm .
Risultando w k = 0,07 mm < 0,10 mm , la sezione della trave rientra nel limite della verifica
positiva.
(*)ESEMPIO 5. Sia data la trave a spessore di sezione rettangolare delle dimensioni di 120
cm x 24 cm analizzata nell’esempio 2 (vedere particolari in figura 16.23). Supponendo che la
struttura sia stata confezionata con un conglomerato C20/25 e con acciai nervati tipo S440,
verificare la stessa allo stato limite di fessurazione secondo la EN 1992-1-1, ipotizzando
un’ampiezza massima delle lesioni (immediatamente all’applicazione dei carichi) tale che
w k 0,15 mm nella combinazione di carico quasi permanente con sollecitazione flettente
pari a: MSe = 7,85 105 daNcm . Si assuma fct ,eff = fctm e una posizione dell’asse neutro in
condizioni di incipiente fessurazione pari a x = 10,3 cm. Si tenga conto di quanto
raccomandato nella EN 1992-1-1.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fck = 200 daN / cm 2 (tab. 9.3_b);
conglomerato:
fctm = 22daN / cm 2 (tab. 9.3_b);
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
acciai:
Calcolo parametri di progetto per la fessurazione.
Calcolo coefficiente di omogenizzazione (breve periodo).
In virtù dell’equazione 6.2 al paragrafo 6.7, si calcola il modulo elastico secante secondo
l’Eurocodice 2, coerentemente anche con i dati riportati in tabella 6.2b:
Ecsec [N / mm 2 ] = 9500 3 fck [ N / mm2 ] + 8 = 9500 3 (20 N / mm 2 ) + 8 28848 N / mm 2 ;
(2, 1 106 daN / cm 2 )
7, 3 .
Ec (288480 daN / cm2 )
Si assume, inoltre, per il conglomerato in trazione 0, 5 .
n* =
Ef
=
Calcolo dell’altezza dell’area efficace di conglomerato teso:
Come si può notare dalla figura 16.23, in condizioni di sezione fessurata (vedere più avanti
calcolo posizione asse neutro per sezione fessurata):
2,5 ( H h) = 2, 5 [(24 cm) (20, 2 cm)]= 9,5 cm
d eff = 9,5 cm = min ( H x) / 3 = [(24 cm) (10, 3 cm)] / 3 = 13,7 cm ;
H / 2 = (24 cm) / 2 = 12cm.
Calcolo del coefficiente di forma del diagramma delle tensioni.
Per una generica sezione rettangolare sottoposta a flessione semplice (quindi con asse neutro
passante all’interno della sezione) si pone k2 = 0,5 .
Calcolo area efficace di conglomerato teso.
Fc eff = b eff deff = (120 cm) (9, 5 cm) = 1140 cm2 .
982
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Calcolo rapporto (di armatura efficace).
Considerando le sole armature tese comprese nell’area efficace di conglomerato teso, si ha:
Ff eff
Ff
7 (4, 52 cm2 )
μ=
=
=
0,0277 .
Fc eff Fc eff
(1140 cm 2 )
Calcolo distanza media delle fessure.
Come da Normativa, si utilizza la seguente formula:
l srm [mm] = k3 cnom + k1 k2 k 4 / eff ;
avendo considerato un copriferro nominale pari a 20 mm (come riportato in figura) e un
diametro delle barre longitudinali di 24 mm ( Ff = 7 24 ). Inoltre, si pone k 4 = 0,425 e
k 3 = 3, 4 , come raccomandato da Normativa. Sostituendo i valori numerici, e avendo
calcolato precedentemente il valore di k2 = 0,5 , si ha:
l srm [mm] = 3,4 (20 mm) + 0,8 0, 5 0, 425 (24 mm) / 0,0277 215 mm = 21, 5 cm ;
con il valore di k1 = 0, 8 perché si utilizzano barre nervate (S440).
Calcolo posizione asse neutro sezione omogenizzata parzialmente reagente
(conglomerato fessurato).
Per una sezione rettangolare semplicemente inflessa, in fase fessurata ( = 0 ) deve risultare
all’equilibrio:
b x 2
+ n Ff (x h ) n Ff (h x) = 0 .
2
Sostituendo i valori numerici, si ha (omettendo le unità di misura per ragioni di spazio):
120 x 2
+ 7, 3 31,67 (x 3, 8) 7, 3 31, 67 (20, 2 x) = 0 .
2
Risolvendo l’equazione, si ottiene x = 6, 5 cm .
Calcolo momento d’ineriza sezione omogenizzata parzialmente reagente (conglomerato
fessurato).
Nel caso di sezione rettangolare sempicemente inflessa e in stato fessurato, dovendo
prescindere dal conglomerato in zona tesa ( = 0 ), deve risultare all’equilibrio:
b x3
2
2
Jci =
+ n Ff ( h x ) + n Ff ( x h ) .
3
Sostituendo i valori numerici con n = n * = 7, 3 e con x = 6, 5 cm (omettendo le unità di
misura per ragioni di spazio), si ha:
120 6, 5 3
2
2
Jci =
+ 7, 3 31,67 ( 20, 2 6, 5 ) + 7, 3 31, 67 ( 6, 5 3,8 ) 56063 cm4 .
3
Calcolo tensione nelle armature longitudinali tese.
Con ovvio significato dei simboli, indicando con h = 20,2 cm l’altezza utile della sezione
resistente, si calcola (con x = 6, 5 cm ):
f = n* MSe
(7, 85 10 5 daNcm)
(h x) = 7, 3 [(20, 2 6, 5) cm] 1400daN / cm2 ;
Jci
(56063 cm 4 )
Verifica stato limite di fessurazione.
Avendo ipotizzato dei carichi di lunga durata, si pone kt = 0, 4 . Inoltre, si è calcolato:
983
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( 2,1 10 6 daN / cm2 )
7, 3 .
Ecsec (288480 daN / cm2 )
Risulta, quindi, sostituendo i valori numerici:
fct ,eff
f kt (1 + e eff )
eff
fm cm =
=
Ef
e = n* =
Ef
=
(22 daN / cm 2 )
(1+ 7, 3 0,0277)
0, 0277
=
0,00039 .
(2, 1 106 daN / cm 2 )
Non risulta verificata la condizione:
f
(1400 daN / cm2 )
fm cm 0,6 = 0,6 0,00040 ;
(2,1 10 6 daN / cm 2 )
Ef
(1400 daN / cm 2 ) 0,4 pertanto si pone: fm cm = 0,00040
L’ampiezza caratteristica delle fessure si calcola, infine:
w k = srm ( fm cm ) = (215 mm) 0,00040 0, 09 mm .
Risultando w k = 0,09 mm < 0,15 mm , la sezione della trave rientra nel limite della verifica
positiva.
(*)ESEMPIO 6. Si debba verificare allo stato limite di fessurazione (immediatamente
all’applicazione dei carichi) la sezione tensoinflessa del ritto di sezione rettangolare 30 cm x
60 cm, trattato nell’esempio 3 (vedere particolari in figura 16.24). Supponendo che il pilastro
sia stato confezionato con un conglomerato C30/37 e con acciai nervati del tipo S440,
considerare la seguenti sollecitazioni di pressoflessione per combinazione di carico quasi
permanente:
N Se = 19000 daN (trazione);
MSe = 1, 5 10 6 daNcm (tendente le armature inferiori Ff ).
Si ipotizzi, infine, che la Committenza pretenda un’ampiezza massima delle lesioni
(immediatamente all’applicazione dei carichi) che rispetti il vincolo w k 0,30 mm . Si tenga
conto di quanto raccomandato nella EN 1992-1-1. Si consideri fct ,eff = 0, 80 fctm (fessurazione
prevista prima dei 28 giorni).
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fck = 300 daN / cm 2 (tab. 9.3_b);
conglomerato:
fctk = 20 daN / cm 2 (tab. 9.3_b);
fctm = 29daN / cm 2 (tab. 9.3_b);
fct ,eff = 0, 80 (29 daN / cm2 ) 23daN / cm 2 ;
acciaio:
fyk = 4400 daN / cm 2 (tabella 9.4_b).
Calcolo parametri di progetto per la fessurazione.
Calcolo coefficiente di omogenizzazione (breve periodo).
In virtù dell’equazione 6.2 al paragrafo 6.7, si calcola il modulo elastico secante secondo
l’Eurocodice 2, coerentemente anche con i dati riportati in tabella 6.2b:
Ecsec [N / mm 2 ] = 9500 3 fck [ N / mm2 ] + 8 = 9500 3 (30 N / mm2 ) + 8 29519 N / mm 2 ;
(2,1 106 daN / cm 2 )
n =
=
7,1 .
Ec (295190 daN / cm2 )
*
Ef
984
Documento #:
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Si assume, inoltre, per il conglomerato in trazione 0, 5 .
Calcolo dell’altezza dell’area efficace di conglomerato teso:
in condizioni di sezione fessurata (vedere più avanti calcolo posizione asse neutro per sezione
fessurata):
2, 5 ( H h) = 2, 5 [(60 cm) ( 55, 5 cm)] = 11, 25 cm
d eff = 11, 25 cm = min (H x) / 3 = [(60 cm) (21, 4 cm)] / 3 = 12, 9 cm
;
H / 2 = (60 cm) / 2 = 30 cm.
Calcolo area efficace di conglomerato teso.
Fc eff = b eff deff = (30 cm) (11, 25 cm) = 337, 5 cm 2 .
Calcolo rapporto (di armatura efficace).
Considerando le sole armature tese comprese nell’area efficace di conglomerato teso, si ha:
Ff eff
Ff
4 (2, 54 cm 2 )
μ=
=
=
0,03016 .
( 337, 5 cm2 )
Fc eff Fc eff
Calcolo posizione dell’asse neutro della sezione omogenizzata interamente reagente.
Si definisce momento statico (rispetto all’asse neutro) dell’intera sezione omogenizzata
interamente reagente la grandezza:
b x2
b ( H x) 2
Sx = + n Ff ( x h ) n Ff (h x ) .
2
2
Inoltre, si definisce momento d’inerzia (rispetto all’asse neutro) della sezione omogenizzata
interamente reagente la grandezza:
b
3
2
2
J = x 3 + ( H x ) + n Ff ( h x ) + n Ff ( x h ) .
3
Come noto dalla teoria elastica, una sezione sollecitata da pressoflessione con grande
eccentricità presenta sempre un momento statico non nullo ( S x 0 ). Inoltre, la posizione
dell’asse neutro dal lembo maggiormente compresso del conglomerato soddisfa sempre la
seguente relazione di antipolarità tra centro di pressione ed asse neutro:
H J
x + e =
.
2 Sx
Si dimostra che all’equilibrio, nel caso di sezione rettangolare sottoposta a pressoflessione
retta con grande eccentricità, detta con N la generica sollecitazione assiale, si ha:
N
c = x ;
Sx
N
ct = (H x ) ;
Sx
N
f = n ( x h ) ;
Sx
N
f = n (h x ) .
Sx
In particolare, dalla seconda delle suddette equazioni, ponendo ct = fctk deve corrispondere
la sollecitazione assiale di prima fessurazione (mantenendo l’eccentricità geometrica
ovviamente invariata): N N F ; ovvero la sollecitazione flettente di prima fessurazione
MF = N F e0 . Pertanto, si scriverà:
985
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fctk = NF
( H x)
Sx
NF =
fctk Sx
.
(H x)
Ponendo n = n * = 7,1 e 0, 5 , considerando che risulta: H = 60 cm ; b = 30 cm ;
h = H h = (60 cm) (4,5 cm) = 55, 5 cm ; h = 4,5 cm ; Ff = 10,18 cm 2 ; Ff = 10,18 cm 2 , si
calcola (omettendo le unità di misura per ragioni di spazio):
30 x 2
30 (60 x) 2
Sx = + 7, 1 10,18 (x 4,5) 7,1 10, 18 ( 55, 5 x) 0,5 ;
2
2
30 3
3
2
2
J=
x + 0, 5 ( 60 x ) + 7,1 10, 18 ( 55, 5 x ) + 7, 1 10,18 ( x 4, 5 ) .
3
Tenendo conto che il centro di trazione si trova al di sotto del baricentro delle armature tese
Ff e che in tensoflessione risulta N Se < 0 si calcola: e0 = MSe / NSe 78, 95 cm . Di
conseguenza, risolvendo per tentativi l’equazione di antipolarità:
(60 cm) J (x )
x + ( 78,95 cm) =0,
2 Sx (x )
si ottiene x 21, 4 cm . Sostituendo il valore trovato per l’asse neutro, nell’espressione del
momento statico e del momento d’inerzia (della sezione omogenizzata interamente reagente),
si trova rispettivamente:
S x (x = 21, 4) 5602 cm3 (valore negativo in tensoflessione);
J ( x = 21, 4) 490695 cm 4 .
Calcolo del coefficiente di forma del diagramma delle tensioni.
La sezione risulta soggetta ad una sollecitazione di trazione eccentrica. Ad incipiente
fessurazione (quindi con sezione ancora integra), nella fibra di conglomerato più esterna si
deve avere:
fctk
fctk
(20, 3 daN / cm 2 )
1 =
=
=
0,000137 .
Ect Ec 0,5 (295190 daN / cm2 )
Inoltre, detta x = 21, 4 cm la posizione dell’asse neutro ad incipiente fessurazione (sempre a
sezione ancora integra) e chiamata con 2 la deformazione unitaria a quota d eff = 11, 25 cm
dalla fibra di conglomerato maggiormente tesa, si deve avere:
H x ( H x ) d eff
=
.
1
2
Sostituendo i valori numerici, si ottiene:
(60 21, 4) cm [(60 21, 24) 11, 25] cm
=
2 0, 000098 ..
1
2
Si calcola, quindi:
+ 2 0,000137 + 0, 000098
k2 = 1
=
0, 86 .
2 0, 000137
2 1
Calcolo distanza media delle fessure.
Come da Normativa, si utilizza la seguente formula:
l srm [mm] = k3 cnom + k1 k2 k 4 / eff ;
avendo considerato un copriferro nominale pari a 30 mm (come riportato in figura) e un
diametro delle barre longitudinali di 18 mm ( Ff = 4 18 ). Inoltre, si pone k 4 = 0,425 e
k 3 = 3, 4 , come raccomandato da Normativa. Sostituendo i valori numerici, e avendo
calcolato precedentemente il valore di k2 = 0,86 , si ha:
986
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l srm [mm] = 3,4 (30 mm) + 0,8 0,86 0,425 (18 mm) / 0,03016 277 mm = 27,7 cm ;
con il valore di k1 = 0, 8 perché si utilizzano barre nervate (S440).
Calcolo posizione asse neutro sezione omogenizzata parzialmente reagente
(conglomerato fessurato).
Per una sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta, in fase fessurata ( = 0 ) deve
risultare all’equilibrio:
b x2
Sx = + n Ff ( x h ) n Ff (h x ) 0 ,
2
con momento d’inerzia della sezione parzializzata ( J J ci ) pari a:
b x3
2
2
Jci =
+ n Ff ( h x ) + n Ff ( x h ) .
3
Sostituendo i valori numerici, si ottiene:
30 x 2
Sx = + 7, 1 10,18 (x 4,5) 7,1 10, 18 ( 55, 5 x) ;
2
3
30 x
2
2
Jci =
+ 7,1 10, 18 ( 55, 5 x ) + 7,1 10,18 ( x 4, 5) .
3
Risolvendo, anche in questo caso per tentativi, l’equazione di antipolarità:
(60 cm) Jci (x )
x + ( 78,95 cm) =0 ,
2 S x (x )
si ottiene: x 9,4 cm . Sostituendo il valore trovato per l’asse neutro, nell’espressione del
momento statico e del momento d’inerzia (della sezione omogenizzata parzialmente reagente)
si trova, rispettivamente:
S x (x = 9,4) 1644 cm 3 (in condizioni di tensoflessione è negativo);
Jci (x = 9, 4) 163579 cm4 .
Calcolo tensioni nelle armature longitudinali tese.
Sfruttando le equazioni monomie introdotte precedentemente (in questo caso, dovendo
considerare la sezione parzializzata S x S x ), si ha con N = N Se :
N
( 19000 daN)
f = n Se (h x ) = 7,1
[( 55, 5 9, 4) cm] 3782daN / cm 2 .
3
( 1644cm )
Sx
Verifica stato limite di fessurazione.
Avendo ipotizzato dei carichi di lunga durata, si pone kt = 0, 4 . Inoltre, si è calcolato:
Ef
( 2,1 10 6 daN / cm2 )
e = n* =
=
7, 1 .
Ecsec (295190 daN / cm2 )
Risulta, quindi, sostituendo i valori numerici:
fct ,eff
f kt (1 + e eff )
eff
fm cm =
=
Ef
(22 daN / cm2 )
(1+ 7, 3 0, 03016)
0,03016
=
0, 00155 .
(2, 1 106 daN / cm 2 )
Risulta intanto verificata la condizione:
(3782daN / cm 2 ) 0, 4
987
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fm cm 0,6 f
Ef
= 0,6 (1400 daN / cm2 )
0,00108 ;
(2,1 10 6 daN / cm 2 )
L’ampiezza caratteristica delle fessure si calcola, infine:
w k = srm ( fm cm ) = (277 mm) 0,00155 0,43 mm .
Risultando w k = 0, 43 mm > 0, 30 mm , la sezione del ritto non rientra nel limite della verifica
positiva: armature insufficienti.
(*)ESEMPIO 7. Sia data una sezione rettangolare 30 cm x 50 cm confezionata con un
conglomerato C20/25 e acciai nervati con fyk = 430 MPa . La sezione presenta un’altezza
utile pari a circa h = 46 cm e un’armatura superiore e inferiore (quest’ultima tesa) pari
rispettivamente a Ff = 214 = 3,08 cm 2 e Ff = 4 20 = 12, 57 cm 2 . Ammettendo che il
momento flettente nella combinazione di carico quasi-permanente sia pari a
MSe = 9, 0 10 5 daNcm , si determinino l’armatura minima per il controllo della fessurazione
senza calcolo diretto, per un’ampiezza delle fessure pari a w k = 0, 3 mm . Si assuma
fct ,eff = fctm = 2,2 MPa .
SOLUZIONE. La formula da utilizzare è la seguente:
kc k fct , eff Fct
.
Ff min =
f
Si assume per semplicità e sicurezza, in condizioni di flessione semplice(1):
H
(50 cm)
Fct = b = (30 cm) = 750 cm2 .
2
2
Si assume poi, in prima approssimazione:
f = fyk = 430 MPa = 4300daN / cm2 .
Sempre per una verifica spedita in sicurezza, si pone direttamente k = 1,0 e kc = 1, 0 . Infine,
in linea con la formulazione utilizzata, si assume per fctm il valore caratteristico (frattile 95%)
della resistenza a trazione del calcestruzzo(2):
fctk 0 ,95 = 1, 3 fctm = 1, 3 (22 daN / cm2 ) 29daN / cm 2 .
Di conseguenza, sostituendo i valori numerici, si ottiene:
kc k fct , eff Fct 1, 0 1, 0 (29daN / cm 2 ) (750 cm2 )
Ff min =
=
5, 06 cm2 .
2
(4300daN / cm )
f
Essendo l’armatura presente in zona tesa pari a Ff = 4 20 = 12, 57 cm 2 , risulta rispettato il
limite sull’armatura minima per fessurazione. È possibile, quindi, eseguire la verifica a
fessurazione senza calcolo diretto, utilizzando direttamente i dati riportati nei prospetti 7.2N e
7.3N della Norma.
1
In realtà, pur essendo larmatura non simmetrica, con la sezione ancora interamente reagente ad incipiente fessurazione
lasse neutro può considerarsi, senza apprezzabili errori, nei dintorni di x 0, 5 H .
2
Secondo la formulazione adottata, larea minima di armatura tesa dipende in modo direttamente proporzionale al valore
fctm
;
di conseguenza, in virtù dellutilizzo di una procedura approssimata, è ragionevole utilizzare in prima approssimazione il
frattile 95% del valore
fctm
anziché il valore minore del fratile 5%.
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Documento #:
Doc_b12(b5).doc
OSSERVAZIONI. La tensione negli acciai tesi, provocata sulla sezione parzializzata dalla
sollecitazione flettente in condizioni quasi-permanenti MSe = 9, 0 10 5 daNcm , risulta(3) pari a
f = 1780daN / cm 2 180 MPa . In base ai valori riportati nel prospetto 7.2N, per
un’apertura delle fessure pari a w k = 0, 3 mm e per una tensione dell’acciaio arrotondata per
sicurezza a 200 MPa, il diametro massimo ammissibile per le barre longitudinali in trazione
risulta di 25 mm. Analogamente, dai dati nel prospetto 7.3N, la massima distanza ammissibile
tra le barre longitudinali in trazione risulta di 250 mm. Come si può verificare
immediatamente, le condizioni sono rispettate; in particolare, la distanza media effettiva tra le
barre risulta approssimativamente:
b / (N + 1) = ( 30 cm) / 5 = 6 cm = 60 mm < 250 mm ;
avendo indicato con N = 4 il numero delle barre longitudinali in zona tesa.
In particolare, se si fosse applicato l’E.C.2 (DAN), si sarebbe ottenuto (con f = 0, 9 fyk e
con fctm = 3 MPa ):
Ff min =
3
kc k fct , eff Fct
0, 9 fyk
=
1, 0 1, 0 (30daN / cm2 ) (750 cm 2 )
5,81 cm 2 .
0,9 (4300 daN / cm 2 )
Per brevità, si omette la procedura per il calcolo della tensione sugli acciai.
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