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16.4.7 Esempi di stima della freccia elastica di elementi inflessi di sezione trasversale costante
Nota. Si riportano, di seguito, alcuni esempi per la stima della freccia elastica di elementi
inflessi (trascurando il contributo degli effetti taglianti). In particolare, viene proposto un
esempio di calcolo con spiegazione della procedura analitica (metodo dei lavori virtuali) e,
infine, due esempi che sfruttano la procedura rapida del Prof. Ettore Pozzo (vedere
paragrafo 16.4.6).
ESEMPIO 1(1). Si consideri la trave semplicemente appoggiata in figura 16.26, di luce L = 6
m e con carico (caratteristico) uniformemente distribuito pari a p = 4 t/m. Supponendo che il
modulo elastico del conglomerato sia pari a Ec = 285000 daN / cm 2 e che la sollecitazione
flettente di prima fessurazione sia pari a MF = 6, 129 10 5 daNcm , valutare sia la freccia
elastica (breve periodo) che la freccia a tempo infinito, prescindendo per sicurezza dalle
armature superiori ( 212 ) e da quelle di parete ( 212 ).
1
Esempio dal testo: ”Teoria e tecnica delle costruzioni” – vol. I; capitolo 14; Elio Giangreco; Liguori Editore.
995
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Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_26.tif
Figura 16.26 – Schema di carico e schematizzazione di calcolo della sezione trasversale della trave.
In particolare, si valuti la freccia elastica istantanea fe assumendo una condizione di carico di
breve durata tale che 1 2 = 1 ; e la freccia a tempo infinito f assumendo una condizione di
carico di lunga durata tale che 1 2 = 0, 5 , considerando un coefficiente di viscosità pari a
= 3 . Per semplicità e per sicurezza, nelle calcolazioni, si trascurino le armature superiori
compresse ( Ff = 212 ) e anche le armature di parete ( 212 ).
SOLUZIONE. Calcolo estensione tratto non fessurato della trave (dagli appoggi) per una
trave appoggiata:
996
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pL
p z2
M( z) =
z 2
2
M( z ) = M
F
F
MF =
pL
p zF2
zF .
2
2
Sostituendo i valori numerici, si ottiene:
(40 daN / cm) (600 cm)
(40 daN / cm) z 2F
(6,129 10 5 daNcm) =
zF .
2
2
Risolvendo l’equazione si trova: zF 56, 38 cm .
Calcolo freccia elastica (breve periodo).
Risultati integrazione numerica dell’equazione dei lavori virtuali
Si utilizza l’equazione dei lavori virtuali per il calcolo della freccia:
f = 1 M ds + m M ds ;
s1
s2
avendo discretizzato metà asse della trave (fino alla mezzeria) in conci di ampiezza tale che:
s1 = 28, 19 cm = zF / 3 ;
in zona non fessurata:
in zona fessurata:
s2 60,91 cm =
( L / 2) z F
.
4
Inoltre, per il modulo elastico degli acciai, si è utilizzato:
Ef = 2, 1 10 6 daN / cm2 ;
nei conci non fessurati:
Ef
nei conci fessurati:
Ef eff =
1 1 2 M F M
(
)
2
.
I coefficienti di omogenizzazione impiegati sono:
per le frecce istantanee (breve periodo):
n eff =
E f eff
Ec
;
Ef eff
Ec eff
n eff = per le frecce a tempo infinito:
Ec
.
Ec eff =
1 +
Per ottenere i valori riassunti nelle tabelle 16.6 e 16.7 (vedere più avanti), i valori medi
dell’asse neutro sono stati calcolati partendo dalla nota equazione generale (con n = neff ):
b ( H xm ) 2
b xm2
+ neff Ff (x m h ) neff Ff (h xm ) =0.
2
2
In particolare, sempre per sezione rettangolare, ma con semplice armatura ( Ff = 0 ), si sono
utilizzate le espressioni:
b H2
+ n eff Ff h
x = 2
nei conci non fessurati ( = 1 ):
m
b H + neff Ff ,
M M ;
F
x = n eff Ff 1 + 1 + 2 b h b
neff Ff nei conci fessurati ( = 0 ):
M > MF .
Infine, una volta calcolato il momento d’inerzia della sezione reagente Jm (con gli acciai
omogenizzati attraverso il coefficiente n eff ), si sono utilizzate le equazioni:
997
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M
cm
=
xm ;
E c E c Jm
M
fm =
(h xm ) ;
E c Jm
1 cm + fm
m =
=
.
Rm
h
I risultati delle calcolazioni, eseguite ad esempio con un semplice foglio elettronico del tipo
Excel, sono riassunte nella tabella 16.6.
cm =
m
Ef eff
Zona:
si
M
Ec
M
n eff
fm
cm
–1
2
[daNcm]
[daNcm] [daN/cm 2]
i
[cm]
[cm
]
[daN/cm ]
Non
0
0
0
285000
2,1 x106
7,97
0
0
0
fessurata:
1
Non
3,2x105
14,1
285000
2,1 x106
7,97
0,056 x103
0,046 x103 0,160 x105
fessurata: 28,19
2
Non
28,2
285000
2,1 x106
7,97
0,107 x103
0,088 x103 0,304 x105
fessurata: 56,38 6,129 x105
3
Fessurata:
117,28 11,3 x105
58,6
285000
1,97 x106
10,42
0,264 x103
0,533 x103 1,244 x105
4
Fessurata:
178,19 15,0 x105
89,1
285000
2,52 x106
8,84
0,371 x103
0,827 x103 1,873 x105
5
Fessurata:
239,09 17,3 x105
119,6
285000
2,40 x106
8,43
0,433 x103
0,994 x103 2,229 x105
6
Fessurata:
300,00 18,0 x105
150,0
285000
2,38 x106
8,33
0,454 x103
1,048 x103 2,346 x105
7
Tabella 16.6 – Risultati calcolazioni (su metà trave) per la valutazione della freccia elastica (breve periodo).
In particolare, sono stati calcolati i valori delle sollecitazioni flettenti M e M negli estremi
dei 7 intervalli di discretizzazione; dove la sollecitazione flettente M è relativa al carico
distribuito uniformemente, mentre M è il valore della sollecitazione flettente per un carico
unitario con retta d’azione verticale passante per il punto della trave di cui si vuole conoscere
la freccia (z = L/2). Quindi, si utilizzeranno le formule:
pL
p z2
;
M(z) =
z 2
2
z
M (z) =
2
z L / 2.
Integrando l’equazione su tutta la trave:
f = 1 M ds + m M ds
s1
s2
tramite equazione alle differenze finite (metodo dei trapezi), utilizzando i seguenti passi di
integrazione:
s1 = 28, 19 cm ;
in zona non fessurata:
in zona fessurata:
si può scrivere:
fe = 2 s1 ( 2 m 2 M 2 + m 3 M3 ) +
s2 = 60, 91cm ,
998
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+ s 2 ( m 3 M 3 + 2 m4 M 4 + 2 m 5 M 5 + 2 m6 M6 + m 7 M 7 ) .
Sostituendo, quindi, i valori riassunti in tabella 16.6 nella suddetta equazione, in funzione dei
valori relativi ai 7 intervalli d’integrazione presenti, si ha:
5
fe = 2 28, 19 ( 2 0,160 14, 09 + 0, 304 28,19 ) 10 +
+ 60,91 (0, 304 28,19 + 2 1, 244 58, 64+ 2 1,873 89, 09+
+ 2 2, 229 119,55 + 2,346 150,00) 10
5
0, 84 cm .
Calcolo freccia a tempo infinito.
Si assume, quindi, 1 2 = 0, 5 (carico di lunga durata) e = 3 (effetti viscosi di lungo
periodo). In questo modo, risulta:
E
E
E (285000 daN / cm 2 )
Ec,eff = c = c = c =
= 71250 daN / cm 2 .
4
1 + 1+ 3 4
Risulta, quindi:
E f,eff
E f ,eff
.
n eff =
=
Ec,eff (71250daN / cm2 )
Eseguendo, nuovamente tutte le calcolazioni si arriva a scrivere la tabella 16.7.
m
Ec eff
Ef eff
Zona:
si
M
M
n eff
fm
cm
[daNcm]
[daNcm] [daN/cm 2]
i
[cm]
[cm – 1]
[daN/cm 2]
Non
0
0
0
285000
2,1 x106
29,47
0
0
0
fessurata:
1
Non
3,2x105
14,1
285000
2,1 x106
29,47
0,194 x103
0,124 x103 0,498 x105
fessurata: 28,19
2
Non
28,2
285000
2,1 x106
29,47
0,369 x103
0,236 x103 0,947 x105
fessurata: 56,38 6,129 x105
3
Fessurata:
117,28 11,3 x105
58,6
285000
2,46 x106
34,53
0,279 x103
0,690 x103 2,218 x105
4
Fessurata:
178,19 15,0 x105
89,1
285000
2,29 x106
32,15
0,986 x103
0,980 x103 3,072 x105
5
Fessurata:
239,09 17,3 x105
119,6
285000
2,24 x106
31,46
1,239 x103
0,148 x103 3,573 x105
6
Fessurata:
300,00 18,0 x105
150,0
285000
2,23 x106
31,29
1,190 x103
1,203 x103 3,739 x105
7
Tabella 16.7 – Risultati calcolazioni (su metà trave) per la valutazione della freccia elastica (lungo periodo).
Sempre utilizzando l’equazione alle differenze finite dei trapezi, si ha:
f = 2 s1 ( 2 m 2 M 2 + m 3 M3 ) +
+ s 2 ( m 3 M 3 + 2 m4 M 4 + 2 m 5 M 5 + 2 m6 M6 + m 7 M 7 ) .
Sostituendo, questa volta, i valori riassunti in tabella 16.7, si ha:
5
f = 2 28, 19 ( 2 0,498 14, 09 + 0,947 28,19 ) 10 +
+ 60, 91 (0, 498 28, 19 + 2 2,218 58, 64 + 2 3, 072 89, 09+
+ 2 3, 573 119, 55+ 3, 739 150, 00) 10
5
1, 38 cm .
Risulta, infine:
999
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f
fe
=
1, 38 cm
1,64 .
0,84 cm
ESEMPIO 2. Sia data la trave semplicemente appoggiata di luce L = 5,0 m a sezione
rettangolare costante, schematizzata in figura 16.27.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_27.tif
Figura 16.27 – Schema di carico e schematizzazione di calcolo della sezione trasversale della trave.
Supponendo che la trave sia stata confezionata con un conglomerato C20/25 e con barre ad
aderenza migliorata, si determini la freccia elastica nella sezione di mezzeria quando la trave
sia caricata con due carichi concentrati di intensità caratteristica pari a P1 = P2 = 15 kN . Si
trascuri, per semplicità, il peso proprio della trave stessa.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fck = 200 daN / cm 2 (tab. 9.3_b);
conglomerato:
fctd (SLE ) = fctk = 15, 47 daN / cm 2 (tab. 9.3_b).
1000
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Calcolo modulo elastico del conglomerato (si utilizza la relazione 6.2 al paragrafo 6.7):
Ec = Ec sec [ N / mm2 ] = 9500 3 fck [N / mm 2 ] + 8 = 9500 3 (20 N / mm 2 ) + 8 28848 N / mm2 .
Calcolo grandezze geometriche sezione.
Adottando la condizione = Ect / Ec = 1 (ovvero, non distinguendo tra conglomerato
compresso e teso in una sezione non fessurata), il momento d’inerzia della sezione
rettangolare, pensata senza armature longitudinali, risulta semplicemente:
b H 3 (20 cm) (40 cm) 3
Jc =
=
106667 cm 4 .
12
12
Di conseguenza, l’asse neutro in condizioni di flessione semplice retta si calcola
semplicemente:
H ( 40 cm)
x= =
= 20 cm .
2
2
Calcolo momento di prima fessurazione.
In base a quanto riportato nella figura 16.27, il momento flettente agente sulla sezione di
mezzeria è pari a M(L / 2) = 35 kNm = 3,5 105 daNcm . Utilizzando l’espressione:
2,1 Jc fctk MF = ,
(H x ) e sostituendo i valori numerici, si ottiene:
2,1 (106667 cm 4 ) (15, 47daN / cm2 ) MF = 173200 daNcm .
[( 40 20) cm]
Risulta, quindi:
M
(173200 daNcm)
= F =
0, 4949 .
M ( 3,5 10 5 daNcm)
Si calcola, di conseguenza:
0,15 0,15 4
4
4
Jic = Jc 0,7 4 +
36809 cm .
= (106667 cm ) 0,7 (0, 4949) +
(0,4949) Calcolo dell’espressione matematica della freccia.
Stante la schematizzazione adottata in figura 16.27, dalla teoria di Scienza delle Costruzioni
si ha:
Pa
fe =
( 3 L2 4 a 2 ) .
24 Ec J
Sostituendo i valori numerici (vedere figura 16.27) e, in particolare, a J il valore calcolato
Jic , si ottiene (con P = P1 = P2 = 15 kN = 1500 daN ):
Pa
fe ( 3 L2 4 a 2 ) =
24 Ec Jic
=
(1500 daN) (175 cm)
[ 3 (500 cm) 2 4 (175 cm) 2 ] 0,65 cm = 6, 5 mm .
24 (288480 daN / cm2 ) (36809 cm4 )
ESEMPIO 3. Sia data una trave a spessore (80 cm x 30 cm) perfettamente incastrata agli
estremi e di luce L = 6,0 m, schematizzata in figura 16.28.
1001
Documento #:
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Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_28.tif
Figura 16.28 – Schema di carico e schematizzazione di calcolo della sezione trasversale della trave.
Supponendo che la trave sia stata confezionata con un conglomerato C30/37 e con barre ad
aderenza migliorata, si determini la freccia elastica nella sezione di mezzeria.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fck = 300 daN / cm 2 (tab. 9.3_b);
conglomerato:
fctd (SLE ) = fctk = 20, 28daN / cm2 (tab. 9.3_b).
Calcolo modulo elastico del conglomerato (si utilizza la relazione 6.2 al paragrafo 6.7):
Ec = Ec sec [ N / mm2 ] = 9500 3 fck [N / mm 2 ] + 8 = 9500 3 (30 N / mm2 ) + 8 31939 N / mm2 .
Calcolo grandezze geometriche sezione.
Adottando la condizione = Ect / Ec = 1 (ovvero, non distinguendo tra conglomerato
compresso e teso in una sezione non fessurata), il momento d’inerzia della sezione
rettangolare, pensata senza armature longitudinali, risulta semplicemente:
b H 3 (80 cm) (30 cm) 3
Jc =
=
180000 cm 4 .
12
12
Di conseguenza, l’asse neutro in condizioni di flessione semplice retta si calcola
semplicemente:
1002
Documento #:
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x=
H ( 30 cm)
=
= 15 cm .
2
2
Calcolo momento di prima fessurazione.
In base a quanto riportato nella figura 16.27, il momento flettente agente sulla sezione di
mezzeria è pari a M(L / 2) = 76, 5 kNm = 7, 65 10 5 daNcm . Utilizzando l’espressione:
2,1 Jc fctk MF = ,
(H x ) e sostituendo i valori numerici, si ottiene:
2,1 (180000 cm 4 ) (20, 28daN / cm2 ) MF = 511056 daNcm .
[(30 15) cm]
Risulta, quindi:
M
(511056 daNcm)
= F =
0, 6680 .
M (7,65 105 daNcm)
Si calcola, di conseguenza:
0,15 0,15 4
4
4
Jic = Jc 0,7 4 +
= (180000 cm ) 0,7 (0, 6680) +
65508 cm .
(0, 6680) Calcolo dell’espressione matematica della freccia.
Stante la schematizzazione adottata in figura 16.28, dalla teoria di Scienza delle Costruzioni
si ha:
2 P L3
q L4
fe =
+
.
384 Ec J 384 Ec J
Sostituendo i valori numerici (vedere figura 16.28) e, in particolare, a J il valore calcolato
Jic , si ottiene (con P = 9000 daN e con q = 6 daN / cm ):
fe 2 P L3
q L4
+
=
384 Ec Jic 384 Ec Jic
fe 2 (9000 daN ) (600 cm) 3 + (6 daN / cm) (600 cm) 4
0,58 cm = 6 mm .
384 (319390 daN / cm2 ) (65508 cm 4 )
OSSERVAZIONI. In generale, a causa degli effetti differiti, la deformata elastica viene col
tempo incrementata da componenti tutt’altro che trascurabili, tra cui quelle di origine viscosa.
Tale fenomeno è influenzato da diversi fattori (temperatura, quantità di armatura compressa,
superfici esposte, età del conglomerato al momento del carico, entità dei carichi permanenti) e
fa si che a tempo teoricamente infinito (nel lungo periodo) il valore finale delle frecce
risultino alquanto maggiori rispetto a quella elastica del breve periodo (anche oltre il doppio).
Volendo, quindi, procedere con relazioni matematiche il più possibile semplificate, si ritiene
utile riportare all’attenzione una piccola formula riportata nel testo: “Teoria e tecnica delle
strutture” (vol. II) di Ettore Pozzo(2). Considerando, quindi, una certa approssimazione, la
deformata finale può essere semplicemente espressa dalla relazione:
;
f fe 1 + 50 μ f
dove:
2
Vedere particolari in bibliografia.
1003
Documento #:
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μf =
Ff
è la percentuale delle sole armature compresse rispetto all’intera sezione di solo
Fc
conglomerato;
il parametro assume i seguenti valori in funzione del tempo in cui si vuole stimare la
freccia:
2
per un tempo t 5 anni
1, 4
per un tempo t = 1 anno
=
per un tempo t = 0, 5 anni
1, 2
per un tempo t = 3 mesi.
1
Ad esempio, volendo valutare velocemente l’ordine di grandezza della freccia a tempo
infinito (quindi, t 5 anni ), si assume: = 2 . In base a quanto riportato in figura 16.28, si
calcola:
Ff
Ff
4 ( 3,14 cm2 )
μf =
=
=
0,00523 .
Fc b H (80 cm) (30 cm)
Si ottiene, quindi:
f
2
=
1, 6 .
fe 1 + 50 μ f 1+ 50 (0, 00523)
1004

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