Soluzione appello 4 febbraio 2014

Appello di Elettromagnetismo per la trasmissione dell’Informazione, 4 Febbraio 2014
1) Data un’impedenza di carico ZL=100+j100 Ohm, dimensionare un adattatore in singolo stub serie, per
trasformare tale impedenza in 50 Ohm. Si considerino stub in corto circuito.
Soluzione: il carico normalizzato è 2+j2; lo individuiamo sulla Carta di Smith e tracciamo una circonferenza
che passa attraverso questo carico e interseca la circonferenza a parte reale 1. Abbiamo due soluzioni
possibili (ne basta una): un’intersezione a z1=1-j1.58 ad una distanza d1=0.113 nel quadrante inferiore ed
una nel quadrante superiore: z2=1+j1.58 ad una distanza d2=0.47. Lo stub posto a d1 deve produrre una
reattanza X=j1.58. Dalla Carta Di Smith, partiamo dal cortocircuito per le impedenze (il punto -1,0) e
ruotiamo verso il generatore (senso orario) fino a leggere 1.58 (quadrante superiore) per la reattanza:
otteniamo così che la lunghezza dello stub nel primo caso è 0.16. Nel secondo caso invece la reattanza da
produrre è la medesima ma nel quadrante inferiore. A tal fine occorre una rotazione di 0.34.
2) Una linea di trasmissione con impedenza caratteristica di 50 Ohm è chiusa su di un carico con
impedenza Zl=j150; quanto valgono l'impedenza massima e quella minima lungo tale linea?
soluzione: il carico è puramente reattivo: avremo un valore minimo di 0 e massimo infinito.
3) Data un’impedenza di carico ZL=100+j100 Ohm, trasformarla in Zo=200 Ohm con un adattatore a
costanti concentrate, immaginando una frequenza di lavoro di 1 GHz.
soluzione: Qui la parte reale del carico è minore di Zo: occorre l'elemento serie in prossimità del carico.
Disegniamo la circonferenza ruotata di 180° e la impedenza jx ci deve portare su tale circonferenza
cambiando la sola parte immaginaria. Notiamo che la zl si trova già su tale circonferenza ruotata, così che la
prima possibilità è proprio z1= 0.5+j0.5, mentre la seconda è oppure z2=0.5-j0.5. Nel primo caso
l'impedenza serie normalizzata è 0.Quindi si tratta di un corto circuito. Nel secondo caso l'impedenza serie
normalizzata è x=-1, cioè denormalizzata -200, quindi una capacità pari a 0.79pF. Ora ribaltiamo sulla
circonferenza unitaria i valori di z1 e z2. Nel primo caso troviamo y1=1-j 1; occorre quindi un'ammettenza
j1, denormalizzata B=5e-3. E' positiva, quindi una capacità di valore 0.79pF. Nel secondo caso y2=1+j1. B=5e-3: è un'induttanza di valore 31.8nH.
4) In un sistema di telecomunicazioni quale è il range di frequenze (monomodalità) in cui possiamo
usare una guida cilindrica di diametro 5mm riempita con polietilene (er=2.3)?
soluzione: il range è quello tra il modo fondamentale, il TE11V fc  1.84 /( 2r 0 0 r ) =23.16GHz
ed il primo modo superiore, il TM01 fc  2.405 /( 2r 0 0 r ) =30.27 GHz
5) Quanto vale la matrice ABCD del circuito in figura (si tratta del parallelo di due serie di linee,
ciascuna linea lunga un ottavo d’onda)? Quali sarebbero i valori di A,B,C,D nel caso particolare in
cui zo1=50 Ohm e zo2=100 Ohm?
Z0=zo1 Ohm
/8
Z0=zo2 Ohm
/8
PORTA1
PORTA 2
C=1nF
Z0=zo1 Ohm
/8
Z0=zo2 Ohm
/8
soluzione: Conviene sfruttare la simmetria (pari), che consente di dividere la parte superiore e la
parte inferiore del circuito con un muro magnetico (due punti corrispondenti tra la metà superiore
e quella inferiore sono sempre allo stesso potenziale). Si noti che il condensatore non ha ai suoi
capi differenza di potenziale, quindi non ha effetto e può essere rimosso. Quindi possiamo
analizzare la matrice ABCD della sola metà. Tuttavia per avere la matrice ABCD complessiva
dobbiamo sapere come ricombinare i risultati delle due metà: intuitivamente sappiamo che sono
circuiti identici in parallelo, e nel parallelo le impedenze si dimezzano e le ammettenze
raddoppiano, così che potremmo aspettarci un raddoppio della C ed un dimezzamento della B.
Verifichiamolo: la corrente che entra nella porta 1 (o nella porta 2) si divide in parti uguali alla
prima biforcazione. Quindi se I1 è la corrente a sinistra e I2 è la corrente a destra, analizzando solo
metà circuito dovremmo scrivere:
 V1   A B   V2 
 I / 2  C D   I / 2 dove la matrice ABCD è solo quella della metà superiore (o inferiore) ovvero, se
 2 
 1  
esplicitiamo i contributi: V1=AV2+(B/2)I2 e I1=2CV2+DI2, per cui, in modo compatto avremmo che
V1   A
 I   2C
 1 
B / 2 V2 
D   I 2 
Confermando la nostra prima intuizione. A questo punto dobbiamo solo calcolare la matrice ABCD della
metà del circuito , che è una cascata di linee in cui i conti sono semplificati dalla lunghezza elettrica /8, per
cui sia seno che coseno restituiscono
 2

 2
j 2
 2
 zo1
2  2

2  2
 j 2
2  2
2   zo2
jzo1
2 / 2:
2  1
zo1 

2   2 1  zo2 


j 1
1


2   

 2  zo1 zo2 

2

jzo 2
j
zo1  zo2
2

1
zo2  
1 

2
zo1  
Quindi la matrice ABCD totale, considerando quanto detto sopra, sarà:
 1
zo1 
 2 1  zo2 

 
1
1


 j


  zo1 zo2 
j
zo1  zo2
4
 che è il risultato cercato.
1  zo2  
1 

2
zo1  
Nel caso in cui zo1=50 Ohm e zo2=100 Ohm, sostituendo i valori numerici si ha:
A=0.25, B=j37.5 Ohm, C=j0.03 Siemens, D=-0.5. Notate che la struttura è reciproca (il determinante
restituisce sempre 1) ma non simmetrica (A e D sono diversi)

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