GARA DI MATEMATICA ON-LINE (13/10/2014) 1. DOVE SI TROVA LUIGI? [3] Sia ABC il triangolo di lati AC 6 , AB 8 e CB 10 km e sia P il punto in cui si trova l’officina di Luigi. Chiamando a , b e c le altezze relative ai due cateti e all’ipotenusa, l’area del triangolo la possiamo scrivere come somma delle aree dei tre triangolini in cui rimane diviso dai segmenti AP , BP e CP . AAPC AAPB ABPC A 6a 8b 10c 48 2 2 2 2 3a 4b 5c 24 C c a P b A B Cerchiamo ora soluzioni a, b, c non negative. Se c 4 non vi è alcuna soluzione. Se c 3 l’equazione diventa 3a 4b 9 che non ha soluzioni nell’insieme richiesto. Se c 2 l’equazione 3a 4b 14 ha per soluzione solo a b 2 . Se c 1 l’equazione 3a 4b 19 ammette le soluzioni a 1 , b 4 e a 5 , b 1 . In totale vi sono 3 punti a distanza intera dai lati del triangolo. A E 2. LOGO 1 [7854] Dalla figura si scopre subito che se CD 10 cm , CM 5 2 cm in quanto CMD è mezzo quadrato. L’area della parte richiesta è: A 102 2 (5 2)2 2 C M 25 78,54 cm2 7854 mm2 D B 3. TUNNEL [44] Calcoliamo quanti cubetti sono stati tolti: Ciascun foro rimuove 3 cubetti più 1 cubetto che è in comune a tre fori (prendendone uno per faccia). In totale sono stati tolti 6 3 2 20 cubetti. Ne restano 44 . 4. LOGO 2 [3] Tracciamo le parallele ai lati del triangoli a partire dai punti toccati dal triangolo grigio interno. Il triangolo grande risulta diviso in 9 triangoli tutti congruenti tra loro per costruzione. I lati del triangolo interno dividono in due parti uguali due dei 9 triangolini così costruiti. La sua area è quindi pari a 3 dei triangolini. Il rapporto tra le due aree è 9 3. 3 5. L'ESPONENTE [512] Per iniziare fattorizziamo a0 20 22 5 . Applicando la definizione di @ n , a1 (2 1)2 (5 1) 32 2 3 2 33 . Siccome per il chiocciolato dalle potenze di 2 si ottengono le potenze di 3 e dalle potenze di 3 si ottengono potenze di 4 22 , si fa presto a calcolare le potenze degli ai con i 2 . In particolare tra ai e ai 2 la potenza è raddoppiata. Siamo interessati alla potenza di 3 di a20 (che indichiamo con (3) 20 , quindi (3)20 2 (3)18 22 (3)16 ... 29 (3)2 29 512 visto che a2 26 3 . 6. FERIE PER GUIDO [1313] Costruiamo una tabella indicando la probabilità di vittoria di Guido facendo il confronto tra i dadi a 2 a 2 ed evidenziando per riga il valore più basso: Luigi sceglie: Dado 1 Dado 2 Dado 3 Dado 4 Guido sceglie: Dado 1 X 2 3 Dado 2 1 3 5 9 4 9 X Dado 3 Dado 4 1 3 1 2 4 9 2 3 X 1 3 5 9 1 2 2 3 X La situazione più favorevole si presenta scegliendo il dado 1, scelta alla quale Luigi risponderà cercando di massimizzare la sua probabilità scegliendo il dado 3. Guido ha quindi una probabilità di meritate ferie. 4 di avere le 9 7. BULLONI [91] Il numero di bulloni venduto è sempre multiplo di 44 22 11 . Affinché il numero sia composto solo da cifre “ 0 ” e “ 5 ” deve necessariamente terminare con due zeri, visto che deve essere multiplo di 4 . Resta da garantire la divisibilità sulle restanti nove cifre disponibili. Numeriamo le cifre rimaste da 1 a 9: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 Se la cifra al posto 1 è “ 0 ”, le altre possono contenere un numero qualsiasi di “ 5 ” o “ 0 ” purché sia garantito il criterio di divisibilità per 11 e cioè, in questo caso, lo stesso numero di cifre “ 5 ” nelle caselle di posto pari e di posto dispari: 4 4 4 4 4 4 4 4 69 1 1 2 2 3 3 4 4 Se la cifra al posto 1 è “ 5 ”, abbiamo il caso del numero 55.000.000.000 , ultimo numero possibile oppure nella cifra di posto 2 vi è uno “ 0 ”. Restano da contare gli altri casi che verificano il criterio di divisibilità per 11 : 4 3 4 3 4 3 21 . 0 1 1 2 2 3 In totale vi sono 69 21 1 91 numeri che godono della proprietà indicata. 8. TARGHE [480] Visto che il problema chiede quante migliaia di targhe vi sono, trascuriamo la richiesta del numeri centrali che sono proprio 1000 per ogni sequenza di quattro lettere. Le lettere usate per la targa sono 24 visto che non è possibile usare né la “I” né “O”. Calcoliamo quante sono le possibili sequenze di lettere per le ultime due posizioni: Dal totale di 24 24 576 possibilità devo togliere la coppia “EE” e le targhe del tipo “Ax” “Bx” “Cx” “Dy” con x una lettera qualunque e y una lettera qualunque tranne la “Z” per un totale di 4 24 1 95 casi. In totale vi sono 576 1 95 480 migliaia di targhe. 9. SOLO CALCOLI [1333] Prima soluzione. Scomponiamo in fattori il primo termine del polinomio: ( x2 3x 2)(1 x2 )(1 x4 )(1 x8 )(1 x16 )(1 x32 ) = ( x 1)( x 2)(1 x2 )(1 x4 )(1 x8 )(1 x16 )(1 x32 ) I termini di grado più alto saranno: x 64 con coefficiente 1 in quanto per ottenerlo ho dovuto moltiplicare tra loro tutti i monomi di grado più alto di ciascuna parentesi. Il secondo termine sarà di grado x 63 rinunciando ad un termine di primo grado e quindi con coefficiente 1 2 3 Il termine successivo avrà grado x 62 ottenuto rinunciando al monomio di secondo grado o ai due monomi di primo grado. Il coefficiente è 1 2 3 . Il quarto termine cercato è di grado x 61 ottenuto rinunciando al monoio di secondo grado e ad uno dei due monomi di primo grado ed ha coefficiente 1 2 3 . Seconda soluzione. Moltiplichiamo e dividiamo il polinomio per ( x 1) : ( x 1)( x 2)(1 x 2 )(1 x 4 )(1 x8 )(1 x16 )(1 x32 )( x 1) ( x 64 1)( x 2) x 65 2 x 64 x 2 x 1 x 1 x 1 Eseguiamo la divisione tra i due polinomi usando il metodo di Ruffini, limitandoci al calcolo dei primi quattro coefficenti: 1 2 0 0 … 1 1 3 3 … 1 3 3 3 10. I BIGLIETTI [6790] Siccome la somma delle dieci cifre è un numero pari, i due numeri sono consecutivi al cambio di decina, e quindi uno finisce con lo zero e l’altro con il 9. La somma 35 è possibile averla con cifre consecutive: 56789. I due numeri cercati sono 56789 e 56790. 11. UN SOLO VUOTO [2315] La somma delle capacità di tutti i contenitori è 140 litri. Esprimendo il totale dei liquidi acqua (“ a ”), gasolio (“ g ”) e olio (“ o ”) in gasolio si ottiene che a g o 3 2 g g 2 g 9 g . Il totale dei liquidi deve essere un multiplo di 9 . Il contenitore vuoto sarà congruente a 140 modulo 9 . 140 5mod9 e tra le capacità a disposizione solo 23 5mod9 . Il contenitore vuoto è quello da 23 litri. Il gasolio è nei contenitori da 10 e da 3 litri, l’olio nei recipienti da 15 e da 11 litri mentre l’acqua nei restanti. 12. LA CALCOLATRICE DI LUIGI [12] Cerchiamo il più piccolo valore di n per cui accade che (1,3)2 21024 . Eseguendo la radice 2n -esima si n 1024 ottiene 1,3 2 2 . Per n 10 a destra della disuguaglianza si ottiene 2 , per n 10 si ottiene più grande di 1,3 . Solo da n 11 in poi il numero sarà più piccolo di 1,3 . n 2 che è 13. DUE QUADRATI [65] Sia x il lato del quadrato ABCD e sia y il lato del quadrato BEFG . Dai dati forniti si ottiene x 2 y 2 194 x y 18 G D L’area cercata di BEHC è pari a xy . A F C B H E Elaborando la prima equazione si può scrivere: x y ( x y) 2 xy 194 , da cui, sostituendo il valore x y fornito dalla seconda equazione si ricava xy 65 . 2 2 2 14. IL QUESTIONARIO [135] Indicando con g il numero di risposte giuste, con n il numero di risposte non date e con e il numero di risposte errate, un candidato totalizza 5 g 2n punti. Il massimo valore raggiungibile, rispondendo a tutte le domande correttamente è 150 . Per ottenere due punteggi uguali con un numero diverso di risposte giuste, è necessario che i punti persi da chi ne ha sbagliate di più siano recuperati con le risposte non date. Con 29 risposte giuste non ci sono possibilità, così come con 28 . Con 27 risposte giuste si ottiene un punteggio di 135 che è possibile realizzare con 25 risposte corrette e 5 non date. 15. L'ALLENAMENTO [1033] Le ore di allenamento di Saetta possono essere solo 0 3 6 9 12 15 18 21, anche ripetute in giorni * consecutivi. Tutti i possibili programmi settimanali sono le combinazioni con ripetizione C8,7 . I possibili * * C5,3 programmi che prevedono 9 ore di allenamento al quarto giorno sono C4,3 . La probabilità cercata è P C C * 4,3 * C8,7 * 5,3 4 3 1 5 3 1 6 7 3 3 3 3 20 35 175 . 3432 858 8 7 1 14 7 7 16. IL RADIATORE [325] Calcoliamo i quadrati come se il foro centrale non ci fosse: 10 11 21 385 (usando la nota formula della somma dei 6 n (n 1) (2n 1) primi n quadrati 12 22 32 .. n2 ). 6 Il numero è 12 22 32 .. 102 Ora dobbiamo calcolare quanti quadrati abbiamo contato in più, che sono quelli che “attraversano” con uno dei lati il quadrato centrale. Intanto per simmetria il numero sarà un multiplo di 4 : Quadrati che hanno un vertice del tipo uno da 1x1, uno da 2x2, uno da 3x3 uno da 4x4 ed uno da 5x5 per un totale di 5 4 20 quadrati. Quadrati che hanno un vertice del tipo uno da 2x2, due da 3x3 tre da 4x4 e quattro da 5x5 per un totale di 10 4 40 quadrati. In totale vi sono 385 20 40 325 quadrati. 17. COME POLLICINO [990] Il problema chiede, in sostanza, di trovare due numeri triangolari la cui somma sia il quarantacinquesimo numero triangolare: 45 46 1035 . 2 Ci è sufficiente controllare a partire dal valore precedente al 45 quale risolve il problema: 1035 44 45 9 10 . 1035 990 45 che è proprio il triangolare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 Cricchetto si troverà a 990 m di distanza dal punto D . 18. DI CORSA AL CORSO [3] Gli 83 fuoristrada dovranno prima di tutto occupare le aree dispari con un numero doppio rispetto a quanto indicato: (1 3 5 7 9) 2 50 . Ne restano 33 per occupare le aree contrassegnate con un numero pari. Dobbiamo trovare tutte le combinazioni 1 6 2 7 4 5 9 10 3 8 (1 o 4) (2 o 8) (3 o 12) (4 o 16) (5 o 20) 33 Le uniche possibili sono: 4 2 3 4 20 33 , 1 8 3 16 5 33 e 4 8 12 4 5 33 . B 19. CORDE PERPENDICOLARI [6400] In realtà l’informazione sulla lunghezza delle due corde è inutile, infatti proveremo che date due corde perpendicolari la somma dei quadrati delle parti in cui mutamente si dividono è costante. In accordo con le informazioni riportate in figura a lato, siano AB a b e BC c d le due corde perpendicolari date che si intersecano nel A punto H . A partire dal punto A costruiamo il diametro AE ed uniamo E con B . Sia F il piede della perpendicolare a CD tracciato da E . Si osserva che CH FD Per il Teorema di Pitagora AB2 BE 2 (2r )2 , sostituendo le misure a , b , c e d si ottiene C c b H a d E F D (a b)2 (d c)2 4r 2 che eseguendo i calcoli diventa a2 2ab b2 c2 2cd d 2 4r 2 . Per il teorema delle corde accade che a : d c : b , cioè che ab cd che messo nell’equazione sopra riportata permette di scrivere a2 b2 c2 d 2 4r 2 . La soluzione cercata è 4 402 6400 cm2 . 20. LE “CURVY” SON DI MODA [50] Sia x il raggio della rotatoria e siano a e b i tratti che vanno dall’autofficina alla rotatoria e dalla ferramenta alla rotatoria. Prima della costruzione della rotatoria il tratto di strada era lungo a b 2x 1 km . Ora, in andata la lunghezza della strada è diventata 3 1 a b 2 x e in ritorno a b 2 x . 4 4 Scriviamo la proporzione a data dal problema: x O 200 :100 che possiamo anche scrivere (proprietà del comporre) 36 200 andata ritorno : ritorno :100 36 andata : ritorno 100 b b x a O Da cui si ottiene che 3 1 200 a b 4 2 x a b 4 2 x 100 36 200 1 100 x a b x 36 2 2 1 x 1 2 x x 36 2 x(36 ) 2 4 x x 40 x 2 1 x km 50 m 20 1 a b 2 x 4 21. IL CIRCUITO ESAGONALE [150] Dividiamo, a partire dai punti medi dei lati, l’esagono in triangoli equilateri (come in figura). Tracciando da H le altezze relative ai lati dell’esagono, si osserva che, detta h la più piccola, le altre sono 2h e 3h , di conseguenza le velocità relative ai lati sono: vAF vAB 300 km km , vEF vBC 150 h h km . Se x è la misura del lato dell’esagono (in km ), h x x tempi impiegati sono: t AF t AB h , tEF t BC h 150 300 x t DE h da cui è possibile calcolare la velocità media: 100 E O F e vCD vDE 100 i tCD vm 6x 3x 3x km . 300 150 x x x 2 x 3x 6 x h x 2 300 300 150 100 D C H A B
© Copyright 2024 Paperzz
