EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA I equazione cardinale Fest dPcm dt ∑ ( Fx ,estiˆ + Fy ,est ˆj + Fz ,est kˆ) = Se la risultante delle forze esterne è NULLA, si CONSERVA nel tempo la quantità di moto del sistema d ( Px ,cmiˆ + Py ,cm ˆj + Pz ,cmkˆ) dt Poiché questa relazione è vettoriale, essa vale per ogni componente cartesiana indipendentemente: se la risultante delle forze per esempio è diretta lungo la direzione x di un dato sistema di riferimento, varierà nel tempo la sola componente x della quantità di moto del sistema, Px,cm, mentre le componenti in direzione y e z della quantità di moto del sistema, Py,cm Pz,cm , si CONSERVANO EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA II equazione cardinale (P) est ( P ) dL dt Se la risultante dei momenti delle forze esterne rispetto ad un polo P è NULLA, si CONSERVA nel tempo il momento della quantità di moto del sistema rispetto allo stesso polo P Questo non implica che la risultante delle forze esterne sia nulla: se però questa ultima condizione è verificata, il momento meccanico diventa indipendente dalla scelta del polo (come dimostreremo). Il momento meccanico totale può essere nullo perché la risultante è nulla o perché il momento meccanico delle forze presenti è nullo. Ci sono forze il cui momento meccanico rispetto ad un polo è sempre nullo: ad esempio in un moto di rotazione attorno ad un asse (fisso), le forze di reazione al perno e le forze radiali. ESEMPIO 1 (vedi figura). ESEMPIO 2 figura sotto ESEMPIO 3 (vedi figura), polo O LEGGI DI CONSERVAZIONE In un sistema isolato le forze esterne sono NULLE. Si conservano sempre, allora: ENERGIA TOTALE L’energia non si crea e non si distrugge, si trasforma. Anche quando non si conserva l’energia meccanica di un sistema, l’energia totale si conserva sempre. Esistono altre forme di energia oltre a quella cinetica e potenziale, come per esempio l’energia termica (CALORE) VETTORE QUANTITA’ DI MOTO Se un sistema è isolato, non agiscono FORE ESTERNE su di esso (sui corpi che lo costituiscono). Sono presenti solo FORZE INTERNE (fra coppie di corpi). Poiché dP Fest dt dove P è la quantità di moto totale del sistema (è la quantità di moto del suo centro di massa,Pcm ), in un sistema isolato il vettore quantità di moto totale si conserva VETTORE MOMENTO ANGOLARE (POLO) (POLO) Nell’urto a due corpi le forze impulsive sono forze interne al sistema costituito dai due corpi: non cambiano la quantità di moto del sistema Urti a due corpi: riassunto Si definisce QUASI ISOLATO una sistema formato da una coppia di corpi che si urtano in presenza di forze esterne (come la forza di gravità) così deboli da risultare trascurabili rispetto alle intense forze impulsive che agiscono mutuamente fra i due corpi durante l’urto. La conservazione di quantità di moto e momento angolare può ancora essere applicata (in modo approssimato), ma va intesa come ristretta all’intervallo di tempo di durata dell’urto, cioè la quantità di moto che ha il sistema appena prima dell’urto deve essere uguagliata alla quantità di moto che ha il sistema appena dopo l’urto. Analogamente per il momento angolare (calcolato sempre rispetto allo stesso polo). Se le forze esterne sono intense e confrontabili con le intense forze impulsive che agiscono mutuamente fra i due corpi durante l’urto il sistema è NON ISOLATO Casi particolari ‘ ‘ cm (Nelle pagine di seguito saranno trattate solo grandezze osservate nel SdR del CM: per semplicità di scrittura sarà omesso “l’apostrofo” con cui sono state finora caratterizzate le grandezze nel SdR mobile) (sistemi di riferimento in moto relativo) ESEMPIO 4 (vedi figura). , Figura. ESEMPIO 5 vedi figura , ESEMPIO 6 ESEMPIO 7 vedi fig. ESEMPIO 8 Urto di due palle da biliardo vedi Figura). ESEMPIO 9 vedi Figura). polo v0 R ESEMPIO 10 Un’asta omogenea di massa m1 e lunghezza l è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro. Inizialmente l’asta è in quiete in posizione orizzontale. Un punto materiale di massa m2 cade dall’alto con direzione ortogonale all’asta e colpisce l’asta in corrispondenza di un suo estremo con velocità vi. Dopo l’urto la massa m2 rimane attaccata all’estremo dell’asta. (i) Determinare la velocità angolare ωf del sistema asta + punto materiale immediatamente dopo l’urto (l’asta è ancora in posizione orizzontale (a)) e la velocità vfCM del suo centro di massa (determinare la posizione del centro di massa del sistema rispetto ad O). (ii) Determinare inoltre in questo istante (immediatamente dopo l’urto, posizione (a)) la accelerazione angolare αf del sistema e la reazione vincolare Rf. (iii) Determinare infine la velocità angolare ωv, l’accelerazione angolare αv del sistema e la reazione vincolare Rv nel momento in cui il sistema, ruotando, passa per la verticale (posizione (b)). ωf , αf vi · (a) · O · (b) ωv , αv
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