Testo e soluzioni

COMPITO DI MECCANICA - LUGLIO 2014
Meccanica Classica: es. 1 in 1.5 ore.
Meccanica de
dei Sistemi Continui: es. 2+3 in 2 ore. Esame completo:: es. 1+2+3 in 3 ore.
Esercizio 1. Durante un esperimento si invia un punto materiale, in modo che strisci, con velocità iniziale
su un
piano orizzontale scabro caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico µd .
a)
Sapendo che il punto materiale si ferma dopo aver percorso, rispetto al
piano, la distanza
determinare µd.
Successivamente l'esperimento viene ripetuto imprimendo una accelerazione
verticale costante al piano orizzontale.
b) Quando il piano orizzontale viene accelerato verso l'alto con
accelerazione
si nota che il punto materiale, il cui moto relativo
rispetto al piano è ancora caratterizzato da una velocità iniziale
parallela al piano stesso, si arresta
arrest dopo aver
percorso, lungo il piano, la distanza D/2
D/2.
Determinare il valore di
.
Se il piano viene accelerato, con accelerazione costante verso il basso, si nota che dopo aver percorso, rispetto al piano,
la distanza D la velocità del punto materiale si è dimezzata:
c) Calcolare in quanto tempo (tP –tO) il punto materiale arriva in P.
d) Determinare quale accelerazione costante va impressa al piano per far sì che la velocità relativa del punto rispetto al
piano rimanga costante.
v0 = 4.62 m s-1 ; D = 1.81 m
Esercizio 2. Un disco omogeneo di massa m1 e raggio R, che ruota
attorno al proprio asse con velocità angolare ω, scivola su un piano
liscio orizzontale con velocità del centro di massa pari a v1. Nel suo
moto urta in modo completamente anelastico un punto materiale di
massa m2 che si muove lungo la stessa direzione ma in verso opposto
con velocità v2. Determinare:
a) la velocità del centro di massa del sistema prima dell'urto
dell'urto;
b) la velocità del centro dii massa del sistema dopo l'urto;
c) quale deve essere la distanza D tra le traiettorie dei due corpi
prima dell'urto, si veda la figura, affinché nell'urto si annul
annulli
ogni rotazione;
d) l'energia dissipata nell'urto.
m1 =1.5 kg, R = 6.2 cm, ω = 47 rad/s, v1 = 2.4 ms-1 , m2 = 0.300 kg, v2 = 12.0 m/s
Esercizio 3. Un cilindro (1) di massa m1 e raggio R si trova inizialmente
fermo su un piano scabro orizzontale con coefficiente di attrito statico µs.
All’asse del cilindro è connessa una fune
ne inestensibile e di massa
trascurabile, che si avvolge senza strisciare per un quarto di giro su di una
carrucola (2) di momento di inerzia I2 e raggio r. La fune è poi connessa
al capo opposto ad un corpo (3) di massa m3 libero di muoversi lungo la
verticale come in figura.
a)
Determinare il valore minimo del coefficiente d’attrito statico
µs,min per cui il cilindro (1) rotola senza strisciare.
b) Calcolare la velocità del centro di massa del cilindro (1) dopo che il corpo (3) è sceso di una altezza h ;
c)
Calcolare le tensioni Τ12 , Τ23 della fune tesa tra i corpi (1) e (2), (2) e (3) rispettivamente.
m1 =8.0 kg ,
m3 =12.0 kg ,
R = 12.0 cm ,
r = 2.0 cm ,
I2 = 0.0020 kg m2 , h = 30.0 cm
SOLUZIONI COMPITO DI MECCANICA – 18 LUGLIO 2014
ESERCIZIO 1.Durante un esperimento si invia un punto materiale, in modo che strisci, con velocità
iniziale
1)
su un piano orizzontale scabro caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico µd .
Sapendo che il punto materiale si ferma dopo aver percorso, rispetto al piano, la distanza
determinare il coefficiente di attrito dinamico.
Successivamente l'esperimento viene ripetuto imprimendo una accelerazione verticale costante al
piano orizzontale.
2)
Quando il piano orizzontale viene accelerato verso l'alto con accelerazione
rispetto al piano è ancora caratterizzato da una velocità iniziale
piano, la distanza D/2. Determinare il valore di
3)
4)
.
si nota che il punto materiale, il cui moto relativo
parallela al piano stesso, si arresta dopo aver percorso, lungo il
Se il piano viene accelerato, con accelerazione costante verso il basso, si nota che dopo aver percorso, rispetto al piano, la distanza D la
velocità del punto materiale si è dimezzata:
Calcolare in quanto tempo (tP) il punto materiale arriva in P.
Determinare quale accelerazione costante va impressa al piano per far sì che la velocità relativa del punto rispetto al piano rimanga
costante.
v0= 4.62 m s-1 ; D= 1.81 m
Soluzione
Sul punto materiale agiscono la forza peso, la reazione normale del vincolo e la forza d'attrito dinamico:
, proiettando tale relazione lungo la direzione di
e lungo l'asse z abbiamo:
.
1) La forza d'attrito si oppone al moto del punto materiale e, per il teorema della energia cinetica
da questa relazione ricaviamo
=0.601
2) Quando il piano orizzontale è accelerato verso l'alto con accelerazione az l'accelerazione del punto materiale
. Quindi nel S.R. non inerziale possiamo
nel S.R. non inerziale connesso con il piano è data da
scrivere
abbiamo
energia cinetica abbiamo
. Proiettando tale relazione sull'asse x' parallelo a
da cui
RN = m(g+az). Applicando ancora il teorema della
.
otteniamo
e sull'asse z'
da cui, ricordando il valore di µd
3) Ora l'accelerazione è verso il basso quindi RN = m(g-az). Il moto lungo l'asse x' in tali condizioni è
uniformemente accelerato con accelerazione costante
necessario per arrivare a P la velocità del punto materiale passa da v0 a v0/2:
sappiamo che
. Da queste due relazioni ricaviamo
. Nel tempo
=0.522s
, inoltre
4) La condizione richiesta si ottiene quando il piano viene accelerato verso il basso con accelerazione pari a g, in
tali condizioni RN=0 e sul punto materiale non agisce la forza d'attrito.
ESERCIZIO 2
Un disco omogeneo di massa m1 e raggio R, che ruota attorno al
proprio asse con velocità angolare ω, scivola su un piano liscio
orizzontale con velocità del centro di massa pari a v1. Nel suo
moto urta in modo completamente anelastico un punto materiale
di massa m2 che si muove lungo la stessa direzione ma in verso
opposto con velocità v2. Determinare:
a) la velocità del centro di massa del sistema prima dell'urto,
b) la velocità del centro di massa del sistema dopo l'urto,
c) quale deve essere la distanza D tra le traiettorie dei due
corpi prima dell'urto, si veda la figura, affinché nell'urto si
annulli ogni rotazione,
d) L'energia dissipata nell'urto.
m1 =1.5 kg, R = 6.2 cm, ω = 47 rad/s, v1 = 2.4 ms-1 , m2 = 300g, v2 = 12.0 ms-1
Soluzione
Assumiamo l'asse x coincidente con la traiettoria della massa m1 con lo stesso verso della velocità v1.
a) La velocità del centro di massa del sistema, prima dell'urto, ha componenti solo lungo l'asse x ed ha modulo
= 0.0 ms-1
b) Durante l'urto agiscono sul sistema solo forze impulsive interne, pertanto si conservano la quantità di moto
totale ed il momento della quantità di moto totale (calcolato rispetto ad un polo qualsiasi e quindi ad
esempio rispetto al c.d.m.) del sistema. Anche dopo l'urto quindi la velocità del centro di massa ha modulo
=0 ms-1, il c.d.m. resta fermo.
c) Perché sia nullo il momento angolare finale, bisogna imporre che sia nullo quello iniziale Pi. Prendendo come
polo l’origine del riferimento in figura, si ha:
Piz = -Idiscoω1 + D m2v2 = 0, e
=3.8 cm.
da
.
Lo stesso risultato si ottiene usando come polo il c.d.m.
dell’intero sistema. Chiamiamo ycm la coordinata y del
c.d.m., ed
le distanze del centro del disco e della
massa m2 dal c.d.m.. Il momento angolare del disco e del
punto materiale prima dell'urto sono dati rispettivamente
e
Avendo preso l'asse z perpendicolare al piano orizzontale
ed uscente dal foglio le proiezioni dei vettori momento
angolare sull'asse z sono dati da:
e
. Il problema chiede le condizioni per le quali dopo l'urto il
sistema non ruoti. Visto che il momento angolare totale non può cambiare durante l'urto la condizione
richiesta impone che prima dell'urto il momento angolare totale sia nullo:
e ricordando che il c.d.m. rimane fermo,
da cui
, si ha
=3.8 cm.
d) Il sistema nello stato finale è quindi FERMO: vcdm=0 e velocità angolare=0. La variazione di energia durante
l'urto è pari alla variazione della energia cinetica:
=-29.1 J
ESERCIZIO 3 Un cilindro (1) di massa m1 e raggio R si trova inizialmente fermo
su un piano scabro con coefficiente di attrito statico µs. All’asse del cilindro è
connessa una fune inestensibile e di massa trascurabile, che si avvolge senza
strisciare per un quarto di giro su di una carrucola (2) di momento di inerzia non
trascurabile I2 e raggio r. La fune è poi connessa al capo opposto ad un corpo (3)
di massa m3 libero di muoversi come in figura.
Determinare il valore minimo µs,min per cui il cilindro (1) rotola senza
strisciare.
b) Calcolare la velocità del centro di massa del cilindro (1) dopo che il corpo (3) è sceso di una altezza h ;
c) Calcolare le tensioni Τ12 , Τ23 della fune tesa tra i corpi (1) e (2), (2) e (3) rispettivamente.
a)
m1 =8.0 kg ,
m3 =12.0 kg , R = 12 cm ,
r = 2 cm , I2 = 0.002 kg m2 , h = 30 cm
Soluzione
(a) Consideriamo una ascissa curvilinea lungo la fune con verso positivo verso destra nel tratto (1)-(2) e verso il
basso nel tratto (2)-(3), e chiamando

f a la forza d’attrito, diretta verso sinistra, tra il piano e il cilindro (1), e T12
la tensione della fune nel tratto (1)-(2), le equazioni cardinali per il moto del cilindro (1) si scrivono:
dove I1,CM è il momento di inerzia del cilindro rispetto al suo centro di massa, che vale ½ m1R2. Sviluppando si ha:
(1):
3
𝑇𝑇12 = 𝑚𝑚1 𝑎𝑎
2
|𝑓𝑓𝑎𝑎 | =
𝑇𝑇12 𝑚𝑚1 𝑎𝑎
=
≤ 𝜇𝜇𝑠𝑠 𝑚𝑚1 𝑔𝑔
3
2
(2):
(𝑇𝑇23 − 𝑇𝑇12 )𝑟𝑟 = 𝐼𝐼2
Per trovare la tensione T12 risolviamo il moto degli altri due corpi:
(3):
𝑎𝑎
(solo moto rotatorio)
𝑟𝑟
𝑚𝑚3 𝑔𝑔 − 𝑇𝑇23 = 𝑚𝑚3 𝑎𝑎
(solo moto traslatorio)
da cui otteniamo T23 = m3(g-a) che poi risostituiamo in (2) insieme alla relazione trovata per T12 in funzione di a
dall’equazione del moto di (1):
3
(𝑇𝑇23 − 𝑇𝑇12 ) = 𝑚𝑚3 (𝑔𝑔 − 𝑎𝑎) − 2𝑚𝑚1 𝑎𝑎 =
3
𝐼𝐼2
�𝑚𝑚3 + 𝑚𝑚1 + 2 � 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚3 𝑔𝑔
2
𝑟𝑟
da cui a = 4.06 m/s2
𝐼𝐼2
𝑎𝑎
𝑟𝑟2
(12+(3/2)*8+5)kg * a=12kg * g
Possiamo ora calcolare il coefficiente minimo di attrito statico per cui si ha rotolamento perfetto:
𝜇𝜇𝑠𝑠 ≥
𝑇𝑇12
𝑎𝑎
=
= 0.21
3𝑚𝑚1 𝑔𝑔 2𝑔𝑔
(b) Il moto del centro di massa del cilindro (1) è uniformemente accelerato con accelerazione a.
𝑣𝑣 = √2𝑎𝑎ℎ =1.56 m/s
(c)
𝑇𝑇23 = 𝑚𝑚3 (𝑔𝑔 − 𝑎𝑎) = 69 N
𝑇𝑇12 = 32𝑚𝑚1 𝑎𝑎 = 49 N

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