Elementi di Teoria dei Sistemi
Universit`a di Perugia
Dipartimento di Ingegneria
Paolo Valigi
Versione del Febbraio 2014
Indice
1 Modellazione di sistemi dinamici
1.1 I sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Un semplice sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Un ulteriore sistema meccanico: oscillatore smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Un circuito elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Un motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Il pendolo: un robot ad un grado di libert`
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Un altro approccio alla modellazione di sistemi meccanici: le equazioni di Lagrange
1.8 Modelli decisionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Dinamica di popolazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Successione di Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Un modello di magazzino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Sistemi a segnali campionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Algoritmi per il calcolo numerico: la radice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14 Il modello di un motore a combustione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15 Un modello dell’apparato cardio-circolatorio umano . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16 Un circuito elettrico nonlineare: l’oscillatore di Van der Pol . . . . . . . . . . . . .
1.17 Un sistema preda-predatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.18 Modellazione di fenomeni alla scala biomolecolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.19 Un modello di sistema dinamico ad eventi discreti: un sistema soggetto a guasti . .
1.20 Un sistema soggetto a guasti: modello stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.21 Un impianto di produzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.22 Modellazione della corsa agli armamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.23 Colonna di distillazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.24 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Analisi di sistemi lineari stazionari a tempo continuo
2.1 Rappresentazione esplicita per sistemi lineari, stazionari, a tempo continuo
2.1.1 Matrice di transizione dello stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Risposta libera e risposta forzata per sistemi LSTC . . . . . . . . . .
2.2 Analisi modale per sistemi LSTC: approccio nel dominio del tempo . . . . .
2.2.1 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori reali . . . . . . . .
2.2.2 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori complessi . . . . .
2.2.3 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori reali . . . . .
2.2.4 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori complessi . . .
2.2.5 Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Caratterizzazione di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.8 Il significato fisico del concetto di autovettore . . . . . . . . . . . . .
2.2.9 Decomposizione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.10 Il piano delle fasi per sistemi planari . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.11 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 La trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Propriet`a della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Trasformata di Laplace di segnali notevoli . . . . . . . . . . . . . . .
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2.4
2.5
2.6
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2.8
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 0-3
2.3.3 Alcuni teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Esponenziale di matrice e matrice di trasferimento per sistema LSTC
2.3.5 Antitrasformata di funzioni razionali proprie . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Esercizi svolti sulla trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . .
Analisi modale per sistemi LSTC: approccio nel dominio di Laplace . . . . .
2.4.1 Il caso di autovalori distinti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Il caso di autovalori qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analisi del comportamento ingresso-uscita per sistemi LSTC . . . . . . . . .
2.5.1 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Risposta indiciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Risposta ad ingresso sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Il caso dei poli immaginari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Risposta permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risposta armonica e diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Tracciamento dei diagrammi di Bode: esempio . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Tracciamento dei diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Esempio: analisi di un circuito elettrico RLC . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Analisi di un ulteriore circuito elettrico a componenti passivi . . . . .
2.7.3 Esempio: analisi circuito RLC [RLC100] . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Analisi di sistemi lineari stazionari a tempo discreto
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rappresentazione esplicita per sistemi LTDS . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Risposta libera e risposta forzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 La trasformata Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Propriet`a della trasformata Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Trasformata Zeta di segnali notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Alcuni teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Esponenziale di matrice e matrice di trasferimento per sistemi LSTD
3.3.5 Antitrasformata di funzioni razionali proprie . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Analisi modale per sistemi LSTD: approccio nel dominio del tempo . . . . .
3.4.1 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori reali . . . . . . . .
3.4.2 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori complessi . . . . .
3.4.3 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori reali . . . . .
3.4.4 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori complessi . . .
3.4.5 Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 Caratterizzazione dei modi naturali rispetto alla convergenza . . . .
3.4.7 Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.8 Eccitazione di singoli modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Analisi modale per sistemi LSTD: approccio nel dominio Zeta . . . . . . . .
3.5.1 Il caso di autovalori distinti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Il caso di autovalori qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Analisi del comportamento ingresso-uscita per sistemi LSTD . . . . . . . .
3.6.1 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Risposta indiciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Risposta ad ingresso sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Risposta permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 0-4
4 Stabilit`
a
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Definizione di stabilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Stabilit`
a di sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 L’equazione di Lyapunov . . . . . . . . . . . .
4.4 Il criterio ridotto di Lyapunov per sistemi non lineari .
4.5 Il metodo diretto di Lyapunov per sistemi non lineari .
4.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Stabilit`
a esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Retroazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Analisi di circuiti con OpAmp . . . . . . . . . . . . . .
4.9.1 Modelli ideali per un OpAmp . . . . . . . . . .
4.9.2 OpAmp in configurazione non invertente . . . .
4.9.3 OpAmp in configurazione invertente . . . . . .
4.9.4 Interconnesione di pi`
u OpAmp . . . . . . . . .
4.9.5 Convertitore tensione-corrente . . . . . . . . .
4.10 Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.1 Diagramma di Nyquist . . . . . . . . . . . . . .
4.10.2 Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.3 Stabilit`
a e robustezza . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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183
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184
185
187
189
191
193
193
199
202
205
5 Propriet`
a strutturali:
5.1 Introduzione . . . .
5.2 Definizioni . . . . .
5.3 Raggiungibilit`a per
5.4 Raggiungibilit`a per
5.5 Risultati notevoli .
5.6 Esercizi risolti . . .
5.7 Esercizi proposti .
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207
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214
6 Allocazione degli autovalori per sistemi scalari
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Regolazione e dinamica d’errore . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Allocazione degli autovalori: formulazione del problema .
6.4 Allocazione degli autovalori: soluzione . . . . . . . . . . .
6.4.1 Le funzioni di trasferimento a ciclo aperto e a ciclo
6.5 Il caso dei sistemi non completamente raggiungibili . . . .
6.6 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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chiuso
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221
222
224
7 Propriet`
a strutturali: Osservabilit`
a
7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Osservabilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Dualit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Sistemi a singola uscita, tempo discreto
7.4.2 Sistemi a due uscite, tempo discreto . .
7.4.3 Sistemi a singola uscita, tempo continuo
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233
233
235
237
raggiungibilit`
a
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. . . . . . . . . .
sistemi LSTD . .
sistemi LSTC . .
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8 Osservatori asintotici dello stato e regolatori in retroazione dall’uscita per
8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Osservatori asintotici dello stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Regolatori dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Un esempio: regolazione di un motore a corrente continua . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Le propriet`
a strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Progetto del controllore in retroazione dinamica dall’uscita . . . . . . .
sistemi
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scalari 238
. . . . . 238
. . . . . 238
. . . . . 239
. . . . . 241
. . . . . 241
. . . . . 242
SysDin
8.5
8.6
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 0-5
Ulteriori problemi di controllo . . . . . .
8.5.1 Un problema di regolazione . . .
8.5.2 Inseguimento di traiettoria . . .
8.5.3 Sistemi a segnali campionati . .
8.5.4 Stima dei disturbi . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.1 Osservatori asintotici e regolatori
9 Esercizi di riepilogo risolti
9.1 Esercizi di riepilogo . . . . . . . .
9.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Soluzione esercizio 9.1 . .
9.2.2 Soluzione esercizio 9.2 . .
9.2.3 Esercizio 9.3: traccia della
9.2.4 Esercizio 9.4: traccia della
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per
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sistemi a singolo ingresso e singola
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uscita
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266
A Strumenti geometrici per l’analisi di sistemi dinamici lineari
A.1 Autovalori ed autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Trasformazioni di similarit`
a algebrica . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Forme canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Forma diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2 Forma canonica reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.3 Forma di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Esponenziale di matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.1 Forma canonica reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 Forma di Jordan di sistemi in forma canonica di controllore . .
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soluzione
soluzione
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B Riferimenti
280
B.1 Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-7
Capitolo 1
Modellazione di sistemi dinamici
1.1
I sistemi dinamici
In questo capitolo verranno presentati alcuni modelli dinamici di sistemi reali, con lo scopo di illustrare sia
i metodi e gli strumenti tipici della Teoria dei Sistemi sia i problemi di analisi e progetto che possono essere
affrontati in tale contesto.
Il concetto di sistema `e ampio e generico, e viene utilizzato in molto contesti ed ambiti, con molteplici significati. Nel quadro di questo testo, ed in generale nel quadro dell’Automatica, il riferimento `e ai sistemi dinamici,
cio`e a degli “enti” reali (nel senso di enti esistenti nella realt`
a), in grado di avere interazioni con l’ambiente
esterno ed il cui comportamento dipende sia dalla storia passata del sistema stesso sia da tali interazioni.
La dipendenza del comportamento del sistema dalla storia passata `e una caratteristica fondamentale per la
connotazione “dinamica”, anzi, `
e la caratteristica fondamentale di tale connotazione.
L’approccio della Teoria dei Sistemi consiste nell’introdurre un modello astratto, matematico, dell’ente reale
di interesse, che prescinda dalla specifica natura fisica sia del sistema stesso sia delle interazioni con l’ambiente
esterno. Le propriet`
a del sistema reale vengono dedotte dalla propriet`
a del modello matematico astratto.
Un modello matematico, nel senso di questo testo, `e costituito da relazioni tra tre classi di segnali, cio`e tre
classi di funzioni del tempo: a) i segnali di ingresso, che descrivono le interazioni tra ambiente e sistema, b)
le variabili di stato, che descrivono in modo completo il comportamento del sistema e che tengono conto della
storia passata del sistema, e infine, c) i segnali di uscita, che descrivono in modo sintetico il comportamento del
sistema (si noti che i segnali di uscita non descrivono entit`
a o quantit`
a che “escono” dal sistema, bens`ı grandezze
di specifico interesse nello studio del sistema).
Tali relazioni tra gli ingressi, lo stato e le uscite possono essere molto diverse al variare della natura fisica
del sistema.
In questo testo l’attenzione verter`
a principalmente sui sistemi a variabile continua, sia a tempo discreto sia
a tempo continuo, e cio`e su sistemi il cui comportamento sia ben descritto da variabili di ingresso, stato e uscita
definite nell’insieme dei reali o degli interi e a valori nell’insieme dei reali.
Per completezza, verranno presentati anche alcuni esempi di sistemi ad eventi discreti, per i quali le grandezze
che ne descrivono il comportamento assumono valori solo in un insieme discreto.
Una ulteriore caratterizzazione molto importante riguarda la natura delle relazioni tra ingresso, stato ed
uscita, che possono essere lineari o non lineari, ed essere indipendenti dal tempo o meno.
Pi`
u esplicitamente, il testo tratta (quasi esclusivamente) sistemi lineari, a dimensione finita, stazionari,
causali, con evoluzione guidata dal tempo, e descritti da equazioni differenziali, se il tempo `e una grandezza
reale:
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t) + Du(t),
x ∈ Rn ,
y ∈ Rp ,
u ∈ Rm
(1.1a)
(1.1b)
o da equazioni alle differenze finite, se il tempo `e una quantit`
a intera:
x(t + 1) =
y(t) =
Ax(t) + Bu(t),
Cx(t) + Du(t),
x ∈ Rn ,
y ∈ Rp .
u ∈ Rm
(1.2a)
(1.2b)
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-8
In entrambe le classi di modelli, le quattro matrici A, B, C e D sono matrici ad elementi reali costanti, di
dimensioni compatibili con le dimensioni del vettore di stato x, del vettore dei segnali di ingresso u e dl vettore
delle funzioni di uscita y. La matrice A `e detta anche matrice dinamica o matrice del sistema, la matrice B
descrive le modalit`
a con le quali l’ingresso influenza lo stato (sinteticamente, matrice di ingresso), la matrice
C descrive le modalit`
a con le quali lo stato determina l’uscita (sinteticamente, matrice di uscita), ed infine la
matrice D descrive il legame diretto ingresso-uscita.
La natura “stazionaria” corrisponde al fatto che le quattro matrici A, B, C e D sono matrici costanti, la
natura “a dimensione finita” corrisponde al fatto che i vettori di ingresso, stato ed uscita hanno dimensione
finita, la natura causale, e cio`e il fatto che il futuro non inflenzi il passato e il presente corrisponde al fatto che
le equazioni differenziali e alle differenze finite dipendono solo dal valore corrente del segnale di ingresso (non
dipendono n´e da valori futuri, n´e da derivate temporali dell’ingresso).
Alcuni risultati verranno presentati per la classe pi`
u ampia dei sistemi non lineari, sinteticamente descritti
dai modelli:
x ∈ Rn ,
y ∈ Rp ,
x(t)
˙
= f (x(t), u(t)),
y(t) = h(x(t), u(t)),
u ∈ Rm
(1.3a)
(1.3b)
nel caso di sistemi a tempo continuo e, nel caso dei sistemi a tempo discreto, dai modelli:
x(t + 1) =
y(t) =
x ∈ Rn ,
y ∈ Rp .
f (x(t), u(t)),
h(x(t), u(t)),
u ∈ Rm
(1.4a)
(1.4b)
In alcune situazioni, in particolare nei sistemi del tipo (1.2) o (1.4), la variabile indipendente pu`
o anche
essere diversa dal tempo. Tale variabile sar`a comunque indicativa dell’evoluzione del sistema.
Nelle sezioni seguenti vengono presentati esempi di calcolo di modelli dinamici, prevalentemente descritti da
equazioni diffenziali e alle differenze finite, e con alcuni esempi di altra natura.
1.2
Un semplice sistema meccanico
Il sistema meccanico rappresentato in Figura 1.1 `e costituito da un corpo rigido di massa m che scorre lungo
un binario poggiato su di un piano perfettamente liscio, senza attrito, collegato tramite una molla lineare ad
una parete rigida e sottoposto all’azione di una forza esterna. Si vuole determinare un modello matematico che
consenta di descrivere il moto del corpo, ed in particolare la traiettoria seguita dal centro di massa.
Il comportamento del sistema pu`
o essere descritto a partire dall’equazione fondamentale del moto (secondo principio della dinamica): F = m a, tenendo conto di tutte le forze agenti sul sistema, e ricavando la
corrispondente equazione del moto.
m
fa
ke
ℓ0
ℓ
Figura 1.1: Sistema meccanico massa-molla
Nel caso in esame, sulla massa agiscono la forza esterna fa (t), esercitata il tramite un opportuno attuatore,
e la forza fe (t) esercitata dalla molla. Indicando con ℓ0 la posizione del centro di massa del corpo quando la
molla `e a riposo, con ℓ(t) la posizione del centro di massa all’istante t e con ke , ke > 0, la costante di elasticit`
a,
la forza esercitata dalla molla `e pari a:
fe (t) = −ke (ℓ(t) − ℓ0 ).
(1.5)
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-9
La risultate delle forze applicate al corpo `e quindi:
f (t) = fe (t) + fa (t) = −ke (ℓ(t) − ℓ0 ) + fa (t),
(1.6)
da cui, indicando con p(t) := ℓ(t) − ℓ0 la posizione della massa rispetto a quella di riposo, e ricordando che
a = p,
˙ il moto della massa `e descritto dalla seguente equazione differenziale del secondo ordine:
m¨
p(t) + ke p(t) = fa (t),
(1.7)
La soluzione dell’equazione differenziale omogenea associata alla (1.7), data da:
m¨
p(t) + ke p(t) = 0,
(1.8)
`e legata alle radici dell’equazione caratteristica:
mλ2 + ke = 0,
(1.9)
che sono immaginarie pure. Ne segue, per noti risultati sulle equazioni differenziali, che la soluzione nella
variabile p(t) `e una sinusoide di pulsazione determinata dalle costanti m e ke e con fase ed ampiezza determinate dalle condizioni iniziali. Pi`
u precisamente, la pulsazione `e data dalla parte immaginaria delle radici
dell’equazione caratteristica, e quindi, in questo caso, vale:
r
ke
.
(1.10)
ω=
m
Un tipico andamento della risposta libera in uscita, per ke = 1, m = 1, e per un vettore condizioni iniziali
x1 (0) = 1, x2 (0) = 0 (cio`e, massa inizialmente nella posizione p = 1, con velocit`
a nulla) `e riportato in figura
1.2.
Risposta libera di un sistema massa−molla [m=1, ke=1]
1
Posizione p(t) del centro di massa (m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (secs)
14
16
18
20
Figura 1.2: Risposta libera nella variabile p(t).
L’equazione omogenea descrive il sistema in evoluzione libera, cio`e nelle situazioni in cui la forza esterna `e
nulla. La soluzione sinusoidale individuata implica quindi che, se la forza esterna `e nulla, una perturbazione
della condizione di riposo induce un moto oscillatorio permanente della massa.
L’equazione del moto pu`
o essere riscritta sotto forma di sistema di equazioni lineari del primo ordine introducendo le variabili x1 (t) := p(t), x2 (t) := p(t)
˙ = v(t) e u(t) := fa (t):
x˙ 1
x˙ 2
= x2
1
ke
= − x1 + u(t).
m
m
(1.11a)
(1.11b)
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-10
Il sistema di equazioni (1.11) viene detto modello dinamico nello spazio di stato. In particolare, le due
variabili x1 ed x2 , cio`e la posizione e la velocit`
a della massa, costituiscono il vettore di stato del sistema, in
quanto racchiudono tutte le informazioni sulla storia passata del sistema rilevanti per determinare l’evoluzione
futura.
La connotazione di modello dinamico deriva dal fatto che la storia passata del sistema, attraverso il vettore
di stato, ne influenza il comportamento corrente e futuro. Viceversa, nel caso di un modello statico, il valore
passato delle variabili non ha alcun ruolo nella determinazione dei rispettivi valori all’istante corrente, n´e tanto
meno dei loro valori futuri.
Un modello dinamico nello spazio di stato, di norma, `e descritto in modo compatto, con una notazione
matriciale. Si consideri il vettore di stato x = [x1 x2 ]T , e le matrici:
A=
"
0
ke
−
m
1
0
#
,
b=
"
0
1
m
#
,
c=
1
0
,
(1.12)
allora il modello (1.11), insieme all’equazione che descrive il comportamento della variabile di interesse (in questo
caso la posizione della massa), pu`
o essere posto nella forma:
x˙
= Ax + bu
(1.13a)
y
= cx.
(1.13b)
La seconda equazione descrive il legame tra la variabile di interesse, detta funzione di uscita, e lo stato del
sistema. Si noti infine che il polinomio caratteristico della matrice A, dato da p(λ) = det(λI − A), coincide
con l’equazione caratteristica (1.9). Infatti, gli autovalori della matrice A determinano la forma della soluzione
dell’equazione differenziale (1.11), cio`e determinano i modi naturali del sistema.
` bene precisare che la forma matriciale (1.13) `e strettamente legata alla natura lineare dei fenomeni e delle
E
corrispondenti equazioni.
La disponibilit`a di un modello dinamico del sistema in esame consente di analizzarne in modo rigoroso il
comportamento. Ad esempio, note le condizioni iniziali della massa (posizione e velocit`
a) e nota la legge oraria
della forza esterna applicata, si pu`
o determinare la posizione della massa e la sua velocit`
a in qualunque istante
futuro. Il modello dinamico ha insomma un ruolo predittivo, che risulta di fondamentale importanza nell’analisi
del comportamento di un sistema.
1.3
Un ulteriore sistema meccanico: oscillatore smorzato
Un modello pi`
u realistico per il sistema massa-molla considera anche la presenza di un termine di attrito
viscoso fv , proporzionale alla velocit`
a v(t) della massa tramite un coefficiente di attrito viscoso kv :
fv (t) = −kv v(t).
(1.14)
Il sistema `e illustrato in figura 1.3.
m
fa
ke
kv
ℓ0
ℓ
Figura 1.3: Sistema meccanico massa-molla-smorzamento
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-11
In questo caso, la risultante delle forze applicate alla massa `e pari a:
f (t) = fe (t) + fv (t) + fa (t) = −ke p(t) − kv v(t) + fa (t),
(1.15)
e quindi l’equazione che descrive il moto della massa rispetto alla posizione di riposo `e:
m¨
p(t) + kv p(t)
˙ + ke p(t) = u(t).
(1.16)
La soluzione dell’equazione omogenea associata alla (1.16) dipende dalle radici dell’equazione caratteristica
associata:
mλ2 + kv λ + ke = 0,
(1.17)
che in generale non sono immaginari pure. A seconda del valore della costante di smorzamento kv , tali soluzioni
possono avere parte reale negativa, nulla o positiva. Nel caso in cui la parte reale sia nulla, che si verifica solo se
ka = 0, si ricade nel sistema precedente. Se il parametro kv `e positivo si hanno due zeri di (1.17) con parte reale
negativa (e cio`e due autovalori della matrice A con parte reale negativa), e quindi la soluzione nella variabile
p(t) `e una funzione decrescente in modo esponenziale (si veda la figura 1.4), eventualmente con un termine
sinusoidale moltiplicativo se le radici dell’equazione caratteristica sono complesse coniugate.
Risposta libera di un sistema massa−molla [m=1, ke=20, kv=1]
1
Posizione p(t) del centro di massa (m)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
0
5
10
15
Tempo (secs)
Figura 1.4: Risposta libera nella variabile p(t), con smorzamento positivo.
Viceversa, se il parametro kv fosse negativo, le radici dell’equazione caratteristica avrebbero parte reale
positiva (e cio`e due autovalori della matrice A con parte reale positiva) e quindi la soluzione nella variabile p(t),
cio`e la posizione del centro di massa, sarebbe una funzione con crescita esponenziale (si veda la figura 1.5),
anche in questo caso con un possibile fattore sinusoidale moltiplicativo.
Da un punto di vista fisico, la massa tende a fermarsi nel caso di soluzione decrescente, mentre tende ad
allontanarsi sempre di pi`
u dalla posizione di riposo nel caso di soluzione crescente: in questo ultimo caso (in cui
gli autovalori hanno parte reale positiva) il sistema `e instabile.
L’equazione differenziale del secondo ordine (1.17) pu`
o essere riscritta nella forma matriciale:
"
#
"
#
0
1
0
1
x˙ =
,
kv x +
ke
−
−
m
m
m
1 0 x.
y =
(1.18a)
(1.18b)
e pu`
o essere utilizzato, tra l’altro, per studiare il comportamento di una sospensione attiva. In effetti, in tal caso
il moto, di norma, avviene in un piano verticale, e quindi si deve tenere conto anche della forza di gravit`a. Ci`o
per`o avrebbe il solo effetto di modificare la posizione di riposo della molla, senza modificare il comportamento
dinamico (pi`
u precisamente, il comportamento dinamico di interesse in queste note).
La scelta di un opportuno segnale di ingresso, e cio`e di una opportuna forza fa (t) applicata dall’esterno,
dipendente dalla misura istantanea della posizione e dalla velocit`
a della massa, consente di imporre un comportamento assegnato alla sospensione attiva. In altre parole, una scelta opportuna della forza esterna consente di
controllare la sospensione attiva. Si veda, a titolo di esempio, quanto detto alla fine del prossimo esempio.
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-12
Risposta libera di un sistema massa−molla [m=1, ke=20, kv=−1]
1500
Posizione p(t) del centro di massa (m)
1000
500
0
−500
−1000
−1500
−2000
0
5
10
15
Tempo (secs)
Figura 1.5: Risposta libera nella variabile p(t), con smorzamento negativo.
Risposta libera di un sistema massa−molla controllato [m=1, k =15, k =8]
1
2
1
Posizione p(t) del centro di massa (m)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Tempo (secs)
3.5
4
4.5
5
Figura 1.6: Risposta libera “desiderata” nella variabile p(t) per il sistema controllato 1.17.
Fino ad ora abbiamo utilizzato il modello dinamico per analizzare il comportamento di questo semplice
sistema massa-molla, ed in particolare per studiare la sua risposta libera. In effetti, il modello `e particolarmente
utile anche per capire in che modo agire sul sistema qualora tale comportamento non risulti soddisfacente.
Si supponga ad esempio che lo smorzamento non sia adeguato, perch`e troppo basso (cio`e, la massa torna
alla posizione di riposo troppo lentamente). Se il sistema massa-molla `e il modello di una sospensione di un
autoveicolo, questo significa che, a seguito di una perturbazione nella posizione, il veicolo stesso continuer`
a ad
oscillare, sia pure in modo smorzato, per troppo tempo e con oscillazioni troppo ampie.
Si potrebbe cercare di utilizzare la forza esterna applicabile alla massa per modificare il suo comportamento
naturale (sospensione attiva). Il modello dinamico introdotto consente di capire come scegliere questa azione
da esercitare sulla massa. Si supponga di disporre di sensori per misurare in modo continuo la posizione della
massa rispetto a quella di riposo e la sua velocit`
a. Si supponga inoltre di avere determinato due valori k1 e k2
per i parametri che caratterizzano il modello, in corrispondenza dei quali il sistema avrebbe il comportamento
desiderato, ad esempio quello riportato in figura 1.6.
Allora, `e facile vedere come una forza esterna del tipo:
u(t) = kv v(t) + ke p(t) − k2 v(t) − k1 p(t),
(1.19)
applicata al corpo, dia luogo ad un modello “controllato” del tipo:
m¨
p(t) + k2 p(t)
˙ + k1 p(t) = 0,
che, per la scelta dei parametri k1 e k2 , ha il comportamento desiderato.
(1.20)
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-13
L’equazione (1.19) definisce una legge di controllo in reazione dallo stato, perch`e, sulla base di misure dello
stato, consente di modificare, cio`e di controllare, il comportamento del sistema per renderlo conforme a delle
assegnate specifiche di comportamento. La legge di controllo definita dalla (1.19) `e detta statica, perch`e la forza
da applicare, in ogni istante di tempo, dipende solo dalla posizione e dalla velocit`
a allo stesso istante.
Nel seguito di questo corso, e nei corsi successivi, si vedranno anche leggi di controllo dinamiche, che
determinano il valore istantaneo del segnale di controllo non solo sulla base di misure relative allo stesso istante,
ma anche sulla base della storia passata, descritta dallo stato di un opportuno sistema aggiuntivo: il controllore
o compensatore.
1.4
Un circuito elettrico
In modo del tutto simile a quanto fatto per i sistemi meccanici precedenti, `e possibile ricavare un modello
dinamico nello spazio di stato per un circuito elettrico. Si consideri il semplice sistema illustrato in figura 1.4,
costituito da un generatore di corrente e dal parallelo di un resistore R, un condensatore C ed un induttore L.
Si indichi con iG (t) la corrente erogata dal generatore e con vR (t) la tensione ai capi della resistenza, e cio`e la
grandezza di interesse, detta funzione di uscita.
iG
C
L
R
Figura 1.7: Circuito elettrico a componenti passivi.
La tensione vL (t) ai capi di un induttore percorso da una corrente iL (t) `e pari a:
vL (t) = L
d iL (t)
.
dt
(1.21)
La corrente iC (t) che fluisce in un condensatore ai cui capi sia applicata una differenza di potenziale vC (t) `e
data da:
d vC (t)
iC (t) = C
.
(1.22)
dt
L’applicazione della legge di Kirchhoff ai nodi permette di scrivere:
iG (t)
= iR (t) + iL (t) + iC (t)
d vC (t)
vR
+ iL (t) + C
,
=
R
dt
(1.23a)
(1.23b)
dove vR e iR indicano, rispettivamente, la tensione ai capi del resistore R e la rispettiva corrente.
Assumendo come grandezza di interesse, cio`e come funzione di uscita vO (t), la tensione vR (t) ai capi del
resistore, il modello del circuito pu`
o essere riscritto in forma di equazione differenziale del secondo ordine:
C v¨O (t) +
1
1
iG (t)
v˙O (t) + vO (t) =
.
R
L
dt
(1.24)
Se l’interesse `e solo per il legame dinamico tra la grandezza di ingresso iG (t) e l’uscita vO (t), cio`e per la
mappa ingresso-uscita,il modello precedente `e sufficiente.
Lo studio del legame ingresso-uscita di norma `e condotto utilizzando la trasformata di Laplace, che costituisce
una diversa rappresentazione di una funzione del tempo. Sotto ipotesi abbastanza deboli, una data funzione del
tempo pu`
o essere rappresentata, senza perdere alcuna informazione, in un dominio diverso da quello temporale:
il dominio della variabile di Laplace s. L’interesse nell’uso di questa rappresentazione risiede principalmente
nel fatto che in questo dominio l’operazione di differenziazione rispetto al tempo corrisponde semplicemente al
prodotto per s, e quindi le equazioni differenziali vengono trasformate in equazioni algebriche. Se f (t) `e una data
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-14
funzione del tempo, differenziabile, e F (s) indica la sua trasformata di Laplace, brevemente F (s) := L{f (t)},
allora la trasformata di Laplace della derivata rispetto al tempo di f (t) `e pari a s · F (s) (assumendo f (0) = 0).
Indicando allora con V (s) la trasformata di Laplace della tensione ai capi del resistore, ed utilizzando la regola
di derivazione, l’equazione differenziale (1.24), nel dominio di Laplace, diviene:
1
1
2
VO (s) s C + s +
= sIG (s),
(1.25)
R L
che pu`
o essere riscritta nella seguente forma, di prodotto tra funzioni di s, ove la funzione razionale propria
W (S) ´e detta funzione di trasferimento:
VO (s) = W (s)IG (s),
W (s) :=
s/C
.
1
1
s2 +
s+
RC
LC
(1.26)
Ad esempio, volendo calcolare la risposta in uscita ad un ingresso sinusoidale del tipo iG (t) = sin(t), applicato
a partire dall’istante t = 0 ed assumendo condizioni iniziali nulle, si ottiene in modo immediato, nel dominio di
Laplace, la funzione di uscita:
1
s/C
(1.27)
VO (s) =
2+1
1
1
s
s2 +
s+
RC
LC
1
rappresenta la trasformata di Laplace del segnale sinusoidale sin(t). L’andamento
dove il fattore moltiplicativo 2
s +1
nel tempo della risposta si pu`
o ottenere con un’operazione di trasformazione inversa del segnale VO (s) trovato.
Si noti comunque che l’uscita dipende sia dal segnale applicato, attraverso la trasformata del segnale di ingresso,
che dalla caratteristiche del circuito, attraverso i termini che derivano dalla funzione di trasferimento.
Un modello del circuito elettrico che tenga conto anche delle variabili di stato pu`
o essere ottenuto costruendo
una realizzazione di tale funzione di trasferimento. Come si vedr`
a successivamente, il modello nello spazio di
stato corrispondente alla funzione di trasferimento in esame ha due variabili di stato (poich´e il denominatore `e
un polinomio di grado due). Siano z1 (t) e z2 (t) tali variabili di stato e si indichi con u(t) il segnale di ingresso:
u(t) = iG (t). Una possibile realizzazione di tale funzione di trasferimento `e data da:
z˙1
z˙2
y
= z2
(1.28a)
1
1
z1 −
z2 (t) + u(t),
= −
LC
RC
1
=
z2
C
(1.28b)
(1.28c)
ed in termini matriciali:
z˙
y
con il vettore di stato e le matrici date da:
"
0
z1
1
, A=
z=
z2
−
LC
= Az + bu
= cz.
1
1
−
RC
#
,
b=
(1.29a)
(1.29b)
0
1
,
c=
0
1
C
.
(1.30)
Il significato fisico delle variabili di stato, nel modello precedente, non `e immediato. La particolare forma delle
matrici A e c dipende solo dai coefficienti della matrice di trasferimento.
La risposta libera del circuito `e riportata in figura 1.8. Si noti come sia del tutto identica alla risposta libera
dell’oscillatore meccanico smorzato analizzato nella precedente sezione.
La risposta dello stesso sistema a fronte del segnale di ingresso u(t) = sin(2t), `e riportato nella seguente
figura 1.9.
Commento 1.1
Val la pena sottolineare come il modello appena ricavato ed il modello dell’oscillatore meccanico smorzato
abbiano esattamente la stessa struttura, e si differenzino solo per i valori dei parametri. Questa caratteristica
`e uno dei punti di forza della Teoria dei Sistemi. Attraverso l’uso di sistemi astratti orientati, cio`e di modelli
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-15
Risposta libera di un circuito RLC [R=1, L=1/20, C=1]
1
0.8
Tensione ai capi di R (Volt)
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
0
5
10
15
Tempo (secs)
Figura 1.8: Risposta libera del circuito nella variabile vR (t).
Risposta alla funzione sin(2 t) di un circuito RLC [R=1, L=1/20, C=1]
0.15
Tensione ai capi di R (Volt)
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
0
5
10
15
Tempo (secs)
Figura 1.9: Risposta forzata per ingresso u(t) = sin(2t), del circuito nella variabile vR (t).
differenziali indipendenti dalla specifica natura fisica del sistema fisico (o processo) in esame, si possono introdurre strumenti di analisi e sintesi di validit`a generale. Nel seguito vedremo spesso come i risultati astratti
ricavati in questo modo, quando vengono poi calati nello specifico ambito applicativo di interesse, hanno sempre
interpretazioni fisiche evidenti e notevoli.
Tornando al sistema in esame, le matrici A e b che caratterizzano il modello hanno una struttura particolare,
detta forma canonica di controllo ad un ingresso. Quando le matrici che descrivono un sistema sono in questa
forma, `e possibile determinare in modo immediato una legge di controllo che consenta di modificare gli autovalori
del sistema, e quindi i suoi modi naturali.
Per ottenere un modello nello spazio di stato, si possono introdurre, in alternativa alla scelta precendente,
le variabili x1 (t) = iL (t) e x2 (t) = vC (t), che hanno un significato fisico pi`
u immediato. In tal caso si ottiene il
sistema di equazioni:
x˙ 1
x˙ 2
y
1
x2
L
1
1
1
= − x1 −
x2 + u(t)
C
RC
C
= x2 .
=
(1.31a)
(1.31b)
(1.31c)
I due modelli nello spazio di stato del circuito elettrico, descritti dalle equazioni (1.29) e (1.31), sono detti
simili o algebricamente equivalenti, ed hanno le stesse propriet`
a, e costituiscono due diverse rappresentazioni dello
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-16
stesso sistema, espresse tramite due insiemi distinti di variabili, o, meglio, tramite due diversi, ma equivalenti,
sistemi di coordinate. A seconda del tipo di studio da condurre pu`
o essere utile esprimere un modello dinamico
utilizzando diversi sistemi di coordinate.
Il modello del circuito dipende, ovviamente, dai valori dei componenti passivi che lo costituiscono. Se tali
componenti non cambiano valore nel corso del funzionamento, il sistema `e detto stazionario, `e cio`e descritto
da matrici i cui elementi sono costanti, non cambiano valore al trascorrere del tempo. Pu`o accadere che, ad
esempio per effetto di variazioni della temperatura ambiente, uno o pi`
u componenti cambiano valore. In tal caso,
il sistema `e detto non stazionario, o anche tempo variante. Tale considerazione pu`
o essere estesa a qualsiasi
sistema dinamico.
L’analisi dei sistemi non stazionari richiede strumenti sensibilmente pi`
u avanzati del caso stazionario. In
vero, nel caso generale, non vi sono strumenti per il loro studio se non l’analisi simulativa al calcolatore. In
questo testo verranno presi in considerazione solo sistemi stazionari.
1.5
Un motore in corrente continua
Il modello dinamico di un motore in corrente continua, a magneti permanenti e con alimentazione d’armatura,
pu`
o essere determinato a partire dalle equazioni che descrivono il comportamento della parte elettrica e di quella
meccanica. Per una trattazione pi`
u dettagliata e precisa della modellazione delle macchine elettriche si rimanda
a testi specifici, tra cui [1, 2, 3, 4]. Il diagramma1 in figura 1.10 illustra il principio di funzionamento del motore
elettrico in corrente continua.
Figura 1.10: Principio di funzionamento di un motore in corrente continua.
Il circuito di armatura pu`
o essere descritto dalla seguente equazione differenziale:
La
d ia
+ Ra ia + Ke ω = va ,
dt
(1.32)
in cui ia indica la corrente nel circuito di armatura, La ed Ra sono l’induttanza e la resistenza equivalenti
d’armatura, Ke `e la costante di proporzionalit`a velocit`
a/tensione relativa alla forza contro-elettromotrice ec =
Ke ω, ed infine va indica la tensione di armatura, e rappresenta il segnale di ingresso.
La sezione meccanica del motore pu`
o essere descritta tramite le due equazioni differenziali:
J
dω
+ kv ω + τd
dt
dθ
dt
=
Km ia ,
(1.33a)
=
ω,
(1.33b)
in cui ω e θ indicano, rispettivamente, velocit`
a e posizione angolari del rotore del motore, J indica il momento
di inerzia del rotore e di un eventuale carico, kv indica il coefficiente di attrito viscoso (o smorzamento), km
indica la costante di coppia ed infatti il termine km ia indica la coppia meccanica fornita dal campo magnetico,
ed infine τd indica una eventuale coppia di disturbo.
1 Immagine
elaborata da hyperphysics.phy-astr.gsu.edu
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-17
Si consideri il caso, di notevole interesse reale, in cui sia accessibile per la misura solo la posizione del rotore
θ, che svolge quindi il ruolo di uscita (misurata).
Introducendo, per semplicit`a di notazione, le variabili x1 = θ, x2 = ω, x3 = ia , x = [x1 x2 x3 ]T , u = ea ,
ed i parametri f22 = kv /J, f23 = km /J, f32 = ke /La , f33 = Ra /La e b3 = 1/La , d = τd m2 = 1/J, ed infine
considerando come funzione di uscita la posizione del rotore, il modello dinamico del motore `e dato da:
x˙ 1
x˙ 2
x˙ 3
y
= x2
= −f22 x2 + f23 x3 − m2 d
= −f32 x2 − f33 x3 + b3 u
= x1
ed in termini matriciali:
x˙
y
con le matrici descritte da:

0
1
A =  0 −f22
0 −f32

0
f23  ,
−f33
= Ax + bu + mu
= cx


0
b =  0 ,
b3

0
m =  −m2  ,
0

c=
1 0
0
.
(1.35)
Un insieme realistico di parametri `e dato, ad esempio, da: Ra = 1Ω, La = 10−2 H, ke = 0.5volts/rps,
km = 0.7N − m/A, J = 2 × 10−3 Kg − m3 , kv = 2 × 10−5 N − m/rps.
1.6
Il pendolo: un robot ad un grado di libert`
a
Il sistema illustrato in figura 1.11 `e un pendolo ideale, costituito da un braccio rigido di lunghezza ℓ, collegato
ad un estremo ad un motore in grado di produrre una coppia τ (t), e con una massa puntiforme m fissata all’altro
estremo. Il pendolo si muove in un piano verticale, ed `e quindi soggetto alla forza di gravit`a. La configurazione
del pendolo, ad un dato istante, `e completamente caratterizzata dalla misura dell’angolo θ che il braccio forma
con l’asse verticale del sistema di riferimento (x, y) (si noti che la configurazione del pendolo non coincide con
il vettore di stato).
Il sistema in esame `e, ad esempio, il modello della parte meccanica di un robot ad un solo grado di libert`
a.
Nella maggior parte dei casi, un robot industriale `e costituito da una insieme di braccia (e quindi, di pendoli
ad un grado di libert`
a), collegati tra loro in successione. Per una trattazione dettagliata del problema della
modellazione di robot si veda, tra l’altro, [5]. Il sistema `e detto anche pendolo semplice, e costituisce un ottimo
modello per lo studio della stabilit`a di corpi rigidi sospesi tramite un vincolo, soggetti alla forza di gravit`a e,
in taluni casi, anche all’azione di forze esterne ulteriori. In certe situazioni un quadricottero rientra uin questa
classe di sistemi.
x
l
θ
m
y
Figura 1.11: Pendolo verticale
Per determinare il moto del pendolo si pu`
o procedere applicando l’equazione di Newton per moti rotazionali:
Jα = τR . Il contributo della forza di gravit`a `e dato dalla componente perpendicolare al braccio (giacch´e quella
allineata al braccio viene compensata dalla assunta non estendibilit`
a del braccio stesso):
τg = −mgℓ sin(θ(t)),
(1.36)
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-18
mentre il momento di inerzia J della massa `e pari a mℓ2 , per cui il moto del pendolo `e descritto dall’equazione:
mℓ2 α(t) = −mgℓ sin(θ(t)) + τ (t),
(1.37)
¨ indica l’accelerazione angolare del pendolo.
dove α(t) = θ(t)
¨ si trova il seguente modello non lineare:
Riordinando le equazioni e ricordando che ω = θ˙ e α = θ,
¨ = − g sin(θ(t)) + 1 τ (t).
θ(t)
ℓ
mℓ2
(1.38)
Lo studio di questo modello, ed il suo controllo, pu`
a essere condotto con tecniche di controllo non lineare
[11], oppure introducendo un modello lineare approssimato.
Quest’ultimo pu`
o essere ottenuto linearizzando la funzione f (θ) = sin(θ) in un intorno dell’origine, che
costituisce una posizione di equilibrio per il sistema autonomo, ottenendo:
¨
˜ + 1 τ (t),
˜ = − g θ(t)
θ(t)
ℓ
mℓ2
(1.39)
dove θ˜ indica lo scostamento del pendolo rispetto alla posizione di equilibrio. Questo modello descrive con
un’approssimazione lineare il pendolo, e quindi vale solo in un’intorno piccolo, di norma molto piccolo, dell’origine.
Il vantaggio della linearit`a del modello `e cos`ı importante che assai spesso si utilizza tale approssimazione, detta
anche approssimazione a piccoli segnali.
Il modello completo, non lineare, pu`
o essere posto in forma di spazio di stato. Si scelgano come variabili di
stato posizione e velocit`
a angolari del pendolo, cio`e x1 = θ ed x2 = θ˙ = ω, e si indichi con u(t) = τ (t) la coppia
di ingresso. Si trova:
x˙ 1
=
x˙ 2
=
x2
1
g
u.
− sin(x1 ) +
ℓ
mℓ2
(1.40)
(1.41)
Il modello dinamico in questo caso `e non lineare, e quindi non pu`
o essere scritto in forma matriciale. La forma
compatta abitualmente utilizzata (se il sistema conserva la linearit`a negli ingressi, come in questo caso) `e del
tipo:
x˙ =
y =
f (x) + g(x)u
h(x)
(1.42)
(1.43)
con le funzioni f , g ed h date da:
f (x) =
"
x2
g
− sin(x1 )
ℓ
#
,
g(x) =
"
0
1
mℓ2
#
,
h(x) = x1 ,
(1.44)
assumendo interesse per la posizione angolare del pendolo (funzione di uscita).
Le tecniche di controllo non lineare (che esulano dagli scopi di questo testo), consentono di indurre un
comportamento effettivamente lineare per il pendolo, in modo globale e non solo in un’intorno dell’origine,
agendo tramite il segnale di controllo.
Si supponga di poter misurare la posizione e la velocit`
a del pendolo per mezzo di opportuni sensori. Allora,
si pu`
o pensare di applicare al pendolo una coppia data da:
i
hg
(1.45)
sin(θ) − k1 θ − k2 θ˙ ,
τ = mℓ2
ℓ
ottenendo, per il sistema controllato, il modello:
˙
¨ = −k1 θ − k2 θ,
θ(t)
(1.46)
e cio`e un modello lineare, con parametri che possono essere scelti liberamente, e quindi con un comportamento
a ciclo chiuso che pu`
o essere scelto a piacere. Insomma, in certi casi, `e possibile utilizzare il segnale di controllo
per compiere una operazione di linearizzazione esatta tramite retroazione.
Capitolo 1: Modelli dinamici
1.7
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-19
Un altro approccio alla modellazione di sistemi meccanici: le
equazioni di Lagrange
Nel caso particolare dei sistemi meccanici (ed anche per alcune classi di sistemi elettromeccanici [12]) un
approccio alternativo a quello seguito nell’esempio precedente `e basato sull’uso delle equazioni di Lagrange
[13, 14]. Infatti l’approccio basato sull’equilibrio delle forze, nel caso di sistemi meccanici composti da pi`
u corpi
rigidi interconnessi, richiede di tener conto di tutte le forze agenti sui vari corpi, comprese le forze di reazione
vincolare. Ci`o rende il metodo particolarmente complesso da un punto di vista computazionale.
Viceversa, la determinazione del modello per mezzo delle equazioni di Lagrange richiede solo il calcolo
dell’energia cinetica e potenziale dei vari corpi, e di norma tale calcolo `e pi`
u semplice della determinazione di
tutte le forze agenti.
Pi`
u precisamente, la derivazione del modello `e fatta a partire dalla funzione Lagrangiana L, definita da:
L(q, q)
˙ := T (q, q)
˙ − V (q)
(1.47)
dove T (q, q)
˙ indica l’energia cinetica del sistema, V (q) l’energia potenziale e q indica il vettore ad n componenti
delle coordinate generalizzate, cio`e il vettore dell’insieme di grandezze che descrivono in modo completo la
configurazione degli n corpi che compongono il sistema. Indicato con τ il vettore delle forze e coppie agenti sul
sistema, le equazioni del moto sono date dalle seguenti equazioni di Lagrange:
∂L
d ∂L
−
= τi ,
dt ∂ q˙i
∂qi
i = 1, 2, . . . , n.
(1.48)
Nel caso particolare del pendolo, il vettore delle coordinate generalizzate `e dato semplicemente da q =
θ. L’energia cinetica del sistema, assumendo la massa del braccio nulla (perch´e concentrata nella masssa
puntiforme), `e data da:
1
T (q, q)
˙ = mℓ2 θ˙2 ,
(1.49)
2
mentre l’energia potenziale `e data da:
V (q) = −mgℓ cos(θ).
(1.50)
La funzione Lagrangiana `e quindi:
1 2 ˙2
mℓ θ + mgℓ cos(θ).
2
da cui, sostituendo nelle equazioni di Lagrange, si ottiene:
L(q, q)
˙ =
d ∂L
dt ∂ q˙
∂L
∂q
e quindi:
1.8
(1.51)
=
d
˙ = mℓ2 θ¨
(mℓ2 θ)
dt
(1.52a)
=
−mgℓ sin(θ)
(1.52b)
mℓ2 θ¨ + mgℓ sin(θ) = τ.
(1.53)
Modelli decisionali
Una classe molto importante di sistemi dinamici `e costituita dai modelli decisionali, cio`e da modelli utilizzati
per valutare l’effetto di possibili decisione alternative. Nel caso dei sistemi a tempo continuo tali modelli possono
essere facilmente descritti in termini di modelli fluidi.
Si consideri, a titolo di esempio, il caso di un’azienda di trasporti che gestisce un parco autoveicoli molto
numeroso. L’azienda organizza gli autoveicoli in due insiemi: gli autoveicoli che hanno percorso meno di 15.000
Km, indicati come autoveicoli di classe A, e quelli che hanno percorso pi`
u di 15.000 Km, indicati come autoveicoli
di classe B. Entrambe le classi di autoveicoli sono soggette a guasti e/o a manutenzioni periodiche. Ogni veicolo
guasto, in funzione dell’entit`
a del guasto stesso, verr`a riparato o dismesso.
Complessivamente quindi l’intero parco pu`
o essere diviso in quattro insiemi (o compartimenti):
• compartimento (o insieme) 1: autoveicoli di classe A (meno di 15.000 Km) funzionanti;
• compartimento (o insieme) 2: autoveicoli di classe A (meno di 15.000 Km) guasti/in manutenzione;
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-20
• compartimento (o insieme) 3: autoveicoli di classe B (pi`
u di 15.000 Km) funzionanti;
• compartimento (o insieme) 4: autoveicoli di classe B (pi`
u di 15.000 Km) guasti/in manutenzione.
Per costruire un modello decisionale, ad esempio finalizzato a studiare il numero previsto di veicoli in
ogni classe, o il tasso al quale inserire nuovi veicoli, od altri elementi di interesse, `e importante caratterizzare
ulteriormente il modello. In particolare `e importante conoscere il tasso di transizione tra i vari insiemi, e cio`e
quale frazione di autoveicoli di ogni insieme transita ad un insieme contiguo.
In particolare, si assuma che ogni giorno:
• lo 0.1 % dei veicoli della classe A si danneggi e/o debba essere sottoposto a manutenzione;
• lo 0.15% dei veicoli della classe B si danneggi e/o debba essere sottoposto a manutenzione;
• il 1% dei veicoli della classe A danneggiati venga rimesso in operazione;
• lo 0.20% dei veicoli di classe A danneggiati venga dismesso;
• il 1.5 % dei veicoli della classe B danneggiati venga rimesso in operazione;
• lo 0.25% dei veicoli di classe B danneggiati venga dismesso.
• il 0.10% dei veicoli funzionanti della classe B venga dismesso.
` bene precisare che la scala temporale utilizzata per i precedenti parametri, il giorno, corrisponde all’unit`a
E
di misura del tempo.
Il sistema in esame pu`
o essere descritto tramite un modello fluido se il numero di elementi coinvolti `e alto
(in questo esempio il numero di veicoli), in modo tale da poter approssimare i valori interi con valori reali,
e se i singoli eventi, cio`e i “fatti” che influenzano il comportamento del sistema stesso, avvengono in modo
indipendente. In tal caso, si pu`
o associare ad ogni compartimento una variabile di stato reale, e descrivere le
transizioni degli autoveicoli tra i vari insiemi in termini di flussi (o velocit`
a), assumendo che i passaggi tra due
insiemi avvengano con continuit`
a.
Una rappresentazione grafica del sistema `e riportata nella seguente figura 1.8. Si tratta di un grafo bipartito,
in cui cio`e i nodi sono di due classi distinte: nodi compartimento (indicati con un cerchio vuoto) e nodi
sorgente/pozzo (indicati con un triangolo).
I nodi sono collegati tra loro da archi pesati ed orientati. Il peso di ciascun arco indica la frazione di
contenuto del nodo origine che fluisce nel nodo destinazione nell’unit`a di tempo. In assenza di etichetta di peso,
si assume peso unitario.
A ciascun nodo di tipo compartimento deve essere associata una variabile di stato, mentre i nodi sorgente/pozzo determinano variazioni nette di flusso nel sistema. In particolare, i nodi sorgente/pozzo autonomi
sono indicati con un triangolo vuoto, caratterizzato da un parametro (u1 nell’esempio in figura 1.8) che indica
il flusso indotto dal nodo. Per tali nodi, nel caso di un arco da una sorgente verso un nodo compartimento `e
positivo per il nodo compartimento, mentre nel caso di un arco da un compartimento ad un pozzo il flusso `e
negativo per il nodo di tipo compartimento.
I nodi di tipo pozzo dipendenti dallo stato del sistema sono indicati con un triangolo nero, ed assorbono un
flusso caratterizzato dall’arco in ingresso. Tale flusso `e quindi un flusso negativo per il nodo origine dell’arco
pesato con destinazione il pozzo. Nell’esempio in esame, si tratta dei nodi legati tra loro dagli archi con peso
a2,0 , a3,0 e a4,0 .
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-21
a1,3
u1
1
x1
x3
a1,2
a2,1
a3,4
a4,3
x2
a3,0
x4
a2,0
a4,0
Per tali classi di modelli, le variabili di stato descrivono ciascun singolo insieme (o compartimento), e
tipicamente denotano la quantit`
a di beni (materiali, oggetti, liquidi, etc ...) contenuti nell’insieme.
Nel caso del sistema in esame si pu`
o quindi porre:
1. x1 : numero di veicoli nel compartimento (o insieme) 1, cio`e numero di veicoli di classe A (meno di 15.000
Km) funzionanti;
2. x2 : numero di veicoli nel compartimento (o insieme) 2, cio`e numero di veicoli di classe A (meno di 15.000
Km) guasti/in manutenzione;
3. x3 : numero di veicoli nel compartimento (o insieme) 3, cio`e numero di veicoli di classe B (pi`
u di 15.000
Km) funzionanti;
4. x4 : numero di veicoli nel compartimento (o insieme) 4, cio`e numero di veicoli di classe B (pi`
u di 15.000
Km) guasti/in manutenzione.
Si indichi con ai,j il flusso di veicoli dall’insieme i all’insieme j. Nel caso in esame si ha quindi:
• a1,2 = 1 × 10−3 (% dei veicoli della classe A che si danneggia e/o debba essere sottoposto a manutenzione);
• a1,3 = 1 × 10−3 (% dei veicoli della classe A che passano alla classe B);
• a2,1 = 10 × 10−3 (% dei veicoli della classe A danneggiati e rimessi in operazione);
• a2,0 = 2 × 10−3 (% dei veicoli di classe A danneggiati e dismessi);
• a3,0 = 1.0 × 10−3 (% dei veicoli funzionanti della classe B dismessi);
• a3,4 = 1.5×10−3 (% dei veicoli della classe B che si danneggia e/o debba essere sottoposto a manutenzione);
• a4,3 = 15 × 10−3 (% dei veicoli della classe B danneggiati e rimessi in operazione);
• a4,0 = 2.5 × 10−3 (% dei veicoli di classe B danneggiati e dismessi).
Il comportamento dinamico del sistema `e quindi descritto dalle seguenti equazioni
x˙ 1
=
x˙ 2
x˙ 3
=
=
x˙ 4
=
−a1,2 x1 − a1,3 x1 + a2,1 x2 + u1
(1.54)
−a4,3 x3 + a3,4 x3 2 − a4,0 x4 .
(1.57)
a1,2 x1 − a2,1 x2 − a2,0 x2
a1,3 x1 − a3,4 x3 + a4,3 x4 − a3,0 x3
(1.55)
(1.56)
Assumendo inoltre come grandezze di interesse il numero di veicoli di classe A operativi ed il numero totale
di veicoli operativi, si hanno le due funzioni di uscita (cio`e l’uscita vettoriale)
y1
y2
=
=
x1
x1 + x3 .
(1.58)
(1.59)
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-22
Si noti come i flussi verso un dato compartimento, ad esempio il flusso descritto dal parametro a1,2 , dia luogo
ad un termine positivo nella seconda equazione, e ad un corrispondente termine negativo nella prima equazione.
In termini matriciali il modello pu`
o quindi essere scritto nella forma seguente:
x˙ =
y =
Ax + Bu
Cx
ove le matrici che descrivono il modello sono date da:

−a1,2 − a1,3
a2,1
0

a
−a
−
a
0
1,2
2,1
2,0
A = 

a1,3
0
−a3,4 − a3,0
0
0
−a4,3
1 0 0 0
C =
1 0 1 0
1.9
(1.60)
(1.61)
0
0


,

a4,3
+a3,4 − a4,0

1
 0 

B=
 0 
0

(1.62)
(1.63)
Dinamica di popolazioni
I modelli matematici vengono utilizzati spesso anche per studiare dinamiche di popolazioni. Anche in questo
caso si fa riferimento a modelli fluidi.
A titolo di esempio, si consideri un corso di studio universitario di durata triennale. La popolazione di tale
corso pu`
o essere organizzata in tre insiemi di studenti:
• compartimento (o insieme) 1: studenti iscritti al primo anno di corso;
• compartimento (o insieme) 2: studenti iscritti al secondo anno di corso;
• compartimento (o insieme) 3: studenti iscritti al terzo anno di corso e studenti fuori corso (iscritti da pi`
u
di tre anni).
Anche per tali classi di modelli, le variabili di stato descrivono ciascun singolo insieme (o compartimento),
ed in particolare misurano la popolazione in ogni compartimento. Nel caso del sistema in esame si pu`
o quindi
porre:
• x1 : numero di studenti iscritti al primo anno di corso;
• x2 : numero di studenti iscritti al secondo anno di corso;
• x3 : numero di studenti iscritti al terzo anno di corso e studenti fuori corso (iscritti da pi`
u di tre anni).
Le variabili di stato, e cio`e la popolazione che contraddistingue ciascun anno di corso, cambia con cadenza
annuale, in corrispondenza del processo di iscrizione, ed `e (sostanzialmente) costante nel corso di ciascun anno. I
cambiamenti nelle variabili di stato possono quindi essere associati ad un indice intero che descriva il trascorrere
degli anni accademici: la quantit`
a reale x1 (k) indica il numero di studenti iscritti al primo anno nel corso del
k-esimo anno accademico e la quantit`
a reale x1 (k + 1) indica la popolazione iscritta al primo anno nel successivo
anno accademico. Il modello `e quindi a tempo discreto: la variabile indipendente “tempo” assume solo valori
interi.
Analogamente a quanto visto nel caso del modello decisionale, la derivazione delle equazioni che descrivono
l’evoluzione della popolazione di interesse si basa sulla conoscenza delle caratteristiche del sistema, e nello
specifico sia sulla conoscenza dei tassi di passaggio degli studenti da un anno al successivo, sia sulla conoscenza
dei tassi di abbandono ai vari anni e del tasso di laurea.
A titolo di esempio, si assuma che:
• il 70 % degli studenti iscritti al primo anno passi, nel successivo anno accademico, al secondo;
• il 5 % degli studenti iscritti al primo anno rimanga, nel successivo anno accademico, al primo;
• il 25 % degli studenti iscritti al primo anno abbandoni gli studi nel corso dell’anno accademico;
• il 90 % degli studenti iscritti al secondo anno passi, nel successivo anno accademico, al terzo;
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-23
• il 5 % degli studenti iscritti al secondo anno rimanga, nel successivo anno accademico, al secondo;
• il 5 % degli studenti iscritti al secondo anno abbandoni gli studi nel corso dell’anno accademico;
• il 50 % degli studenti iscritti al terzo anno o successivi, consegua la laurea nel corso dell’anno accademico;
• il 5 % degli studenti iscritti al terzo anno abbandoni gli studi nel corso dell’anno accademico;
• ogni anno si immatricoli un numero noto di studenti (al primo anno).
Il sistema in esame, analogamente a quanto visto per il precedente modello decisionale, pu`
o essere descritto
tramite un modello fluido. Una rappresentazione grafica del sistema `e riportata nella seguente figura 1.9.
A differenza del precedente modello, in questo caso (cio`e nel caso dei modelli fluidi a tempo discreto) ciascun
arco determina un flusso positivo per il nodo destinazione, ma non determina alcun flusso per il nodo origine.
7
10
u1
1
9
10
x1
25
100
x2
5
100
5
100
x3
5
100
5
100
45
100
Il comportamento dinamico del sistema `e quindi descritto dalle seguenti equazioni, dette equazioni alle
differenze finite
x1 (k + 1) =
x2 (k + 1) =
x3 (k + 1) =
5
x1 (k) + u1 (k)
100
5
7
x1 (k) +
x2 (k)
10
100
45
9
x2 (k) +
x3 (k).
10
100
(1.64)
(1.65)
(1.66)
Assumendo come grandezza di interesse il numero complessivo di studenti:
y(k) =
x1 (k) + x2 (k) + x3 (k)
(1.67)
(1.68)
il modello pu`
o essere scritto nella seguente forma matriciale:
x(k + 1) =
y(k) =
ove le matrici che descrivono il modello sono date da:

5
0
 100

 7
5
A = 
 10 100


9
0
10
1 0 0
C =
Ax(k) + Bu(k)
Cx(k)
0




0 
,

45 
100
(1.69)
(1.70)


1
B= 0 
0
(1.71)
(1.72)
Capitolo 1: Modelli dinamici
1.10
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-24
Successione di Fibonacci
La successione di Fibonacci 2 `e una successione di numeri interi naturali, con la propriet`
a che ciascun numero
della successione `e il risultato della somma dei due precedenti.
I numeri di tale successione, detti numeri di Fibonacci, trovano applicazione in molti contesti. Una delle
caratteristiche di tali numeri `e che il rapporto tra due valori consecutivi tende alla sezione aurea o numero di
Fidia. Indicato con F (k) il generico numero di Fibonacci, si ha insomma:
√
F (k)
1+ 5
lim
=
.
(1.73)
k→∞ F (k − 1)
2
Il calcolo di un assegnato numeri di elementi consecutivi della successione di Fibonacci pu`
o essere condotto
utilizzando la definizione ricorsiva del generico termine:
F (k) = F (k − 1) + F (k − 2),
∀k ≥ 2,
(1.74)
a partire dalle condizioni iniziali F (0) = 0 e F (1) = 1. Il calcolo della sequenza `e frequentemente utilizzato nei
corsi di programmazione come esempio di realizzazione ricorsiva o iterativa di algoritmi.
La stessa sequenza pu`
o essere studiata introducendo un modello a tempo discreto nello spazio di stato. La
soluzione di tale modello consente il calcolo, in forma chiusa, di un generico elemento, mentre la sua analisi
consente di ricavare le propriet`
a di tale sequenza, ad esempio la propriet`
a sintetizzata dalla (1.73).
Per costruire un modello nello spazio di stato che descriva la successione di Fibonacci si considerino le due
variabili di stato:
x1 (k)
F (k)
x1 (k)
=
, x :=
, x ∈ R2 .
(1.75)
x2 (k)
F (k + 1)
x2 (k)
Dalla definizione di tali variabili e dei numeri di Fibonacci (1.74) segue facilmente che:
x1 (k + 1) =
F (k + 1) = x2 (k)
(1.76a)
x2 (k + 1) =
y(k) =
F (k + 2) = F (k + 1) + F (k) = x1 (k) + x2 (k)
F (k) = x1 (k)
(1.76b)
(1.76c)
da cui il modello matriciale:
x(k + 1) =
y(k) =
Ax(k)
Cx(k)
(1.77)
(1.78)
con
A
=
0 1
1 1
,
C=
1 0
.
(1.79)
Rispetto alla propriet`
a (1.73), ci si limita in questa sede a notare come la sezione aurea sia uno degli
autovalori della matrice A.
1.11
Un modello di magazzino
Un ulteriore tipico esempio di sistema a tempo discreto `e costituito dal modello dinamico di un magazzino.
Si indichi con y(k), k ∈ Z, il livello della merce presente nel magazzino all’inizio di un fissato intervallo di
tempo, ad esempio all’inizio di ogni settimana, prima degli approvvigionamenti e delle consegne della settimana
stessa. Si supponga che gli ordini per il rifornimento del magazzino vengano inviati al fornitore all’inizio della
settimana, cio`e all’inizio del k-esimo periodo di tempo, e che il fornitore consegni nell’arco di tempo tra l’inizio
e la fine del periodo k-esimo la merce ordinata all’inizio del periodo k − 1; si indichi con u(k) tale quantit`
a.
Infine, si indichi con v(k) la merce consegnata ai clienti del magazzino durante il periodo k.
Considerando le funzioni u(k) e v(k) come ingressi al sistema, ed assumendo che l’interesse `e nello studio del
livello della merce nel magazzino, indicato tramite la funzione di uscita y(k), il legame tra le varie grandezze `e
espresso dalla seguente equazione alle differenze finite del secondo ordine:
y(k + 1) = y(k) + u(k − 1) − v(k).
2 Leonardo
da Pisano, detto Leonardo Fibonacci, (Pisa, 1170 - Pisa, 1240 ca.)
(1.80)
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-25
Una possibile scelta delle variabili di stato `e:
x1 (k) = y(k),
x2 (k) = u(k − 1).
(1.81)
x1 (k) + x2 (k) − v(k)
u(k)
(1.82a)
(1.82b)
x1 (k)
(1.82c)
Con tale scelta, il modello del magazzino diviene:
x1 (k + 1) =
x2 (k + 1) =
y(k) =
In forma matriciale il sistema pu`
o essere scritto come:
x(k + 1) =
y(k) =
con
A=
1.12
1
0
1
0
,
B=
Ax(k) + Bu(k)
(1.83)
Cx(k)
(1.84)
−1
0
0
1
,
C=
1
0
.
(1.85)
Sistemi a segnali campionati
Il controllo dei sistemi dinamici `e ormai realizzato, salve rarissime eccezioni, esclusivamente tramite controllori digitali, e quindi con leggi di controllo a tempo discreto, per l’intrinseca natura discreta degli elaboratori
digitali. In modo analogo, la quasi totalit`
a degli apparati di elaborazione e trasmissione dei segnali `e basata su
tecnologie digitali.
Viceversa, la maggior parte dei sistemi reali sono intrinsecamente a tempo continuo. Si pone quindi il
problema di studiare sistemi di controllo a segnali campionati, in cui cio`e siano presenti elementi a tempo
discreto ed elementi a tempo continuo.
Un primo approccio allo studio di tali sistemi `e quello di condurre l’intero processo di analisi e sintesi del
controllore a tempo continuo, e poi discretizzare il controllore cos`ı ottenuto. In alternativa, si pu`
o discretizzare
il modello del processo, e poi condurre l’analisi e la sintesi a tempo discreto. In entrambi i casi, si pone il
problema di passare da un modello a tempo continuo ad un modello a tempo discreto.
Un concetto fondamentale per trattare tali argomenti `e quello di intervallo di campionamento: si assume
che i seganli a tempo continuo di interesse, abitualmente detti segnali analogici, vengano acquisiti ad istanti di
tempo regolari. La distanza di tempo tra due acquisizioni consecutive `e detta periodo di campionamento.
Se si dispone di un modello nello spazio di stato del sistema da discretizzare, si pu`
o procedere come segue.
Per semplicit`a, si considera un sistema con una sola variabile di stato; l’approccio `e comunque generale. Quello
presentato `e uno degli approcci possibili: in altri corsi verranno introdotte altre procedure.
Dato il sistema:
x˙ =
ax + bu,
y
cx,
=
x ∈ R, u ∈ R,
y ∈ R,
(1.86)
(1.87)
la sua soluzione nella variabile x(t), a partire dalla condizione iniziale x(0) = x0 , `e data da:
at
x(t) = e x0 +
Z
t
e a(t−τ ) bu(τ )dτ.
(1.88)
0
Nel caso di sistemi a segnali campionati, le grandezze di controllo sono costanti all’interno di un periodo di
campionamento. Sia T la durata del periodo campionamento/controllo, e sia u(k) il valore assunto dal segnale
di controllo durante il k-esimo periodo di controllo. Si ha:
u(τ ) = u(k),
∀τ ∈ [kT, (k + 1)T ).
(1.89)
Si consideri ora la soluzione nella variabile di stato x(t) del sistema (1.88) all’interno del k-esimo intervallo
di controllo:
Z t
x(t) = e a(t−kT ) x(kT ) +
e a(t−τ ) bu(τ )dτ, t ∈ [kT, (k + 1)T ).
(1.90)
kT
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-26
Poich´e il segnale di controllo `e costante in tale intervallo, pu`
o essere portato fuori dall’integrale, ottenendo:
!
Z
x(t) = e a(t−kT ) x(kT ) +
kT +t
e a(t−τ ) dτ
bu(k),
kT
t ∈ [kT, (k + 1)T ),
(1.91)
da cui, ponendo l’attenzione sull’istante di tempo t = (k + 1)T e cambiando variabile di integrazione, si trova:
!
Z
T
x((k + 1)T ) = e aT x(kT ) +
e aσ dσ bu(k).
(1.92)
0
L’equazione precedente descrive la legge di aggiornamento dei valori dello stato in corrispondenza degli istanti
di campionamento. Definite le costanti:
"Z
#
aD := e aT ,
T
bD :=
e aσ dσ b,
(1.93)
0
lo stato del sistema, in corrispondenza degli istanti di campionamento e sotto l’ipotesi che il segnale di controllo
sia costante tra due istanti di campionamento successivi, `e descritto dall’equazione alle differenze finite:
x(k + 1) = aD x(k) + bD u(k),
y(k) = cx(k),
(1.94a)
(1.94b)
dove l’equazione di uscita `e ottenuta semplicemente ricordando che il legame stato-uscita `e statico, e la durata
del periodo di controllo `e stata omessa dall’argomento dello stato e dell’ingresso (cio`e, x(k + 1) indica in effetti
x((k + 1)T )).
Con procedimento del tutto analogo, salvo l’uso di operazioni matriciali, si pu`
o ricavare il modello a tempo
discreto di un sistema continuo di dimensione maggiore di uno.
Si noti che il modello a tempo discreto ricavato, sotto le ipotesi fatte, ed in particolare sotto l’ipotesi che il
segnale di controllo sia costante in un periodo, non `e una approssimazione del sistema a tempo continuo, ma
invece `e una descrizione esatta del comportamento dello stato in corrispondenza degli istanti di campionamento.
1.13
Algoritmi per il calcolo numerico: la radice quadrata
Un’altra classe molto importante di sistemi dinamici a tempo discreto `e costituita da algoritmi iterativi per
il calcolo numerico. Un esempio di tale classe di sistemi `e dato dal semplice algoritmo per il calcolo della radice
quadrata del numero reale α, descritto dall’equazione:
x(k + 1) = x(k) + α − x(k)2 .
(1.95)
` immediato verificare che il valore xe = +α `e un punto di equilibrio del sistema, asintoticamente stabile (cio`e,
E
tale che l’evoluzione libera del sistema tende alla soluzione cercata) per α ∈ (0, 1) e per condizioni iniziali
sufficientemente vicine alla soluzione cercata.
Un altro algoritmo per il calcolo della radice quadrata, valido per un insieme pi`
u ampio di valori del parametro
α3 , `e dato dalla legge iterativa:
x(k)2 − α
x(k + 1) = x(k) −
.
(1.96)
2x(k)
Si suggerisce di studiare gli algoritmi (1.95) e (1.96) per via simulativa, realizzando due semplici programmi
in un qualsiasi linguaggio di programmazione.
1.14
Il modello di un motore a combustione
L’approccio seguito finora per la determinazione di modelli dinamici di sistemi reali `e basato principalmente
sull’uso delle leggi fisiche che regolano il funzionamento del sistema stesso.
3 formalmente:
xe = α.
un insieme pi`
u ampio di valori del parametro α cui corrisponda la stabilit`
a asintotica del punto di equilibrio
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-27
Nel caso di sistemi complessi si ricorre spesso a modelli approssimati costruiti sulla base di procedimenti
di identificazione del legame ingresso-uscita che caratterizza il sistema. Tipicamente, si determina prima un
modello parametrico del sistema o sulla base di alcune considerazioni fisiche, o sulla base di misure preliminari,
e si procede poi all’identificazione del valore numerico dei parametri. Un approccio molto comune per risolvere
tale problema `e quello di immettere in ingresso al sistema segnali sinusoidali, misurare l’uscita corrispondente,
in un intervallo di frequenze ritenuto di interesse, e risolvere poi un problema di minimizzazione, calcolando i
valori numerici dei parametri che danno luogo allo scarto minimo tra le uscite misurate e quelle ottenute dal
modello.
Procedendo in questo modo `e possibile costruire, ad esempio, il modello dinamico di un motore a combustione
interna. L’esempio che segue descrive il modello del motore di una Lancia Dedra [15].
Si considerino come grandezze di ingresso l’anticipo di accensione, a(s), e l’apertura della valvola a farfalla,
d(s). Le grandezze di uscita di interesse, di norma, sono la pressione nel collettore di aspirazione, p(s), e la
velocit`
a del motore, n(s). Sulla base di alcune considerazioni circa i principi di funzionamento del motore, si
ritiene che i legami tra queste grandezze siano bene rappresentati dal seguente modello parametrico in forma di
matrice di trasferimento:
p(s)
g1,1 (s) g1,2 (s)
a(s)
=
,
(1.97)
n(s)
g2,1 (s) g2,2 (s)
d(s)
in cui le quattro funzioni gi,j (s) sono descritte da:
−q3 q6
,
+ q5 )s + (q3 q4 + q2 q5 )
q1 (q7 s + q5
,
g1,2 (s) =
2
q7 s (q2 q7 + q5 )s + (q3 q4 + q2 q5 )
q6 (s + q2 )
,
g2,1 (s) =
q7 s2 (q2 q7 + q5 )s + (q3 q4 + q2 q5 )
q1 q4
g2,2 (s) =
.
2
q7 s (q2 q7 + q5 )s + (q3 q4 + q2 q5 )
g1,1 (s) =
q7 s2 (q2 q7
(1.98)
(1.99)
(1.100)
(1.101)
Per quanto riguarda il valore dei parametri q1 , . . ., q7 , si `e visto che per ogni condizione di funzionamento
`e conveniente scegliere un insieme diverso di valori. Per una descrizione pi`
u accurata del modello, per i valori
numerici dei parametri e per ulteriore bibliografia sull’argomento si veda [15, Cap. 3 e Cap. 10].
Il problema della stima dei parametri di un modello dinamico, ad esempio del tipo analizzato in questa
sezione, sulla base di misure dei segnali di ingresso ed uscita `e detto problema di identificazione.
1.15
Un modello dell’apparato cardio-circolatorio umano
GLi strumenti di modellazione ed analisi tipici dell’ingegneria dell’informazione sono molto utili anche nel
settore della medicina e della biologia.
In tale contesto, un interessante esempio di sistema dinamico `e costituito dall’apparato cardio-circolatorio
umano. Per la realizzazione di efficienti sistemi di ausilio meccanico alla circolazione (cuore artificiale e ventricolo
artificiale (VAD)), `e necessario disporre di un accurato modello di tale apparato. Sono stati proposti vari
modelli, di complessit`
a ed accuratezza diversa. In quasi tutti i casi, la struttura del modello `e definita a partire
da considerazioni di meccanica dei fluidi, mentre la determinazione dei parametri numerici `e fatta sulla base di
opportune procedure di identificazione. Un problema assai rilevante, in questo caso, `e legato al fatto che non si
pu`
o ricorrere, se non in misura assai contenuta, alla stimolazione esterna del sistema con segnali sinusoidali di
frequenza arbitraria!
I modelli del sistema circolatorio sono di solito descritti facendo ricorso ad analogie elettriche. La determinazione del modello in spazio di stato del sistema `e quindi possibile seguendo la traccia vista nella sezione
1.4. Un modello di uso molto frequente per la descrizione semplificata del sistema circolatorio, che tiene conto
solo del ventricolo sinistro e del carico arterioso, `e riportato in figura 1.12 [16]. Il sistema `e non lineare, per la
presenza dei diodi che modellano le valvole mitrale ed aortica. Il generatore controllato che appare nello schema
descrive il funzionamento interno del ventricolo, secondo il modello pi`
u accreditato in questo momento, detto
modello ad elastanza variabile. Secondo tale modello, il volume VLV e la pressione interna PLV del ventricolo
sinistro (Left Ventricle) sono legati dalla relazione:
PLV (t) = PL0 + (VLV (t) − VL0 )E(t) + RV˙ LV (t),
(1.102)
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-28
in cui il parametro E(t), variabile nel tempo in modo periodico, con periodo pari a quello cardiaco, descrive le
capacit`a elastiche del muscolo, e le costanti PL0 e VL0 sono invece parametri di traslazione.
Rc
R
D
QLV
L
E(t)
=
PLV
Ca
Rid
Piso
Figura 1.12: Sistema cardio-circolatorio (Interazione ventricolo-carico)
Partendo dall’analogia elettrica, in base alla quale una pressione (differenza di pressione) corrisponde ad
una tensione (differenza di potenziale) ed un flusso corrisponde ad una corrente (flusso di cariche), si ricava
facilmente il vettore di stato del sistema, costituito dal flusso QL attraverso l’induttanza di carico Lc (inertanza
del sangue in aorta), dalla tensione P1 ai capi del condensatore Ca (complianza arteriosa), ed infine dal volume
del ventricolo VLV , che ne descrive lo stato interno. Le variabile di interesse, che possono essere scelte come
funzioni di uscita del modello, sono invece la pressione in ventricolo, PLV , la pressione in aorta, PAo , ed il flusso
in uscita dal ventricolo. Le grandezze esogene (cio`e, i segnali esterni che influenzano il comportamento del
sistema, ma che, in questo caso, non possono essere modificati dal “controllo”) sono invece dati dal parametro
di traslazione PL0 (assumendo nullo il parametro VL0 ) e dalla pressione media nel ciclo in atrio Pmc . Con tale
scelta delle variabili, il modello nello spazio di stato diviene:
d
P1
dt
d
QL
dt
d
VLV
dt
=
=
=
QLV
=
PAo
PLV
=
=
No Γ +
1
RT P
No ΓRC
No ΓE(t)
No Γ
P1 +
QL +
VLV +
PL0
(1.103a)
CA
CA
CA
CA
No ΓRC
RC (No ΓRC − 1)
No ΓRC E(t)
No ΓRC
−
P1 +
QL +
VL +
PL0
(1.103b)
L
L
L
L
N1 RRC No Γ
Ni RNo Γ
Ni E(t)
P1 −
(1 − No ΓR) VLV(1.103c)
No Γ −
QL − No ΓE(t) −
Rid
Rid − RC No Γ
Rid
Ni (1 − No ΓR
Ni
PL0
(1.103d)
Pmc − No Γ +
+
Rid
Rid
−No ΓP1 + No ΓRC QL + No ΓE(t)VLV + No ΓPLO
(1.103e)
−
2
(1 − RC No Γ)P1 + (No ΓRC
− RC )QL + No ΓRC E(t)VLV + No ΓRC PLO
No ΓRP1 − No ΓRRC QL − (No ΓR − 1)E(t)VLV + (1 − No ΓR)PLO
(1.103f)
(1.103g)
(1.103h)
Per una descrizione pi`
u dettagliata del modello e del corrispondente problema di identificazione, nonch´e per
ulteriori riferimenti bibliografici, si pu`
o vedere [16, 17].
1.16
Un circuito elettrico nonlineare: l’oscillatore di Van der Pol
Un sistema nonlineare molto studiato `e l’oscillatore armonico di van der Pol.4 Il sistema `e costituito da un
semplice circuito RLC con elementi in parallelo, con induttanza e capacit`a lineari e resistenza non lineare, con
caratteristica corrente-tensione descritta da:
4 Balthasar
2
iR (vR ) = αvR (vR
− 1),
van der Pol (Utrecht, 1889 - Wassenaar, 1959).
α > 0,
(1.104)
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-29
dove iR e vR indicano, rispettivamente, la corrente attraverso la resistenza e la corrente ai suoi capi. Si noti che
per piccoli valori della tensione il componente ha un comportamento attivo.
Il modello dinamico del sistema, ricordando che i tre elementi sono collegati in parallelo, indicando con vC
la tensione ai capi del condensatore (e quindi di tutti gli elementi) e con iL la corrente nell’induttanza, ed
assumendo parametri unitari, `e dato da:
diL
dt
dvC
dt
=
vC
(1.105a)
=
2
−iL − vC (vC
− 1).
(1.105b)
L’oscillatore di van der Pol pu`
o essere descritto anche nella seguente forma, diversa nel termine non lineare:
x˙1
x˙2
=
=
x2
(1.106a)
−x1 + x2 (1 −
x21 ).
(1.106b)
Si noti che, per entrambe le formulazioni, l’origine `e punto di equilibrio. Tuttavia, l’equilibrio `e instabile. Il
comportamento del sistema `e caratterizzata da un ciclo limite stabile. In altri termini, traiettorie con origine
al di fuori del ciclo limite convergono ad esso, mentre traiettorie con origine sul ciclo limite vi rimangono.In
considerazione di tale comportamento, il sistema costituisce un oscillatore autosostenuto: il ciclo limite infatti
non dipende dalle condizioni iniziali, ma solo dai parametri che caratterizzano il sistema.
Il comportamento del sistema, nella variante (1.106), `e illustrato dai due diagrammi in figura 1.13. Il
diagramma a sinisra illustra l’evoluzione temporale delle due variabili di stato, quello a destra il piano delle
fasi. La curva magenta rappresenta il ciclo limite, le frecce gialle l’andamento del flusso, la curva in colore verde
l’evoluzione, nel piano delle fasi, di una traiettoria con punto di origine all’interno del ciclo limite, ed infine la
curva in blu descrive l’evoluzione di una traiettoria con origine al di fuori del ciclo limite.
Modello di van der Pol − Andamenti temporali
Modello di van der Pol − Piano delle fasi
2.5
3
2
2
Ciclo limite
1
1
2
0.5
Coordinata x
Variabili di stato x1 (blu) & x2 (verde)
1.5
0
−0.5
0
−1
−1
−1.5
−2
−2
−3
−2.5
0
5
10
tempo
15
20
−3
−2
−1
0
1
Coordinata x
2
3
1
Figura 1.13: Comportamento dell’oscillatore di van der Pol.
1.17
Un sistema preda-predatore
Il comportamento di un sistema ecologico, con due specie diverse, una specie preda ed un specie predatore, pu`
o
essere descritto tramite un sistema dinamico. Il modello, detto modello di Volterra-Lotka, ha origine dagli studi
di Vito Volterra5 su alcune popolazioni ittiche dell’Adriatico. Indicando con x1 il livello di popolazione (numero
5 Vito
Volterra, (Ancona, 1860 - Roma, 1940)
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-30
di individui, assunto continuo) della specie preda e con x2 il livello della specie predatore, il modello `e descritto
dalla seguente coppia di equazioni:
x˙ 1
x˙ 2
= ax1 − bx1 x2
= cx1 x2 − dx2 ,
dove i parametri a, b, c e d sono tutti positivi. L’equazione pu`
o essere giustificata sulla base di alcune considerazioni qualitative:
• in assenza di predatori (cio`e, x2 = 0) il livello delle prede cresce con tasso a, e ci`o giustifica il termine ax1
nella prima equazione;
• in assenza di predatori (cio`e, x1 = 0) il livello dei predatori decresce con tasso d, e ci`o giustifica il termine
−dx2 nella seconda equazione;
• se sono presenti entrambe le specie, il numero di prede decresce in funzione del numero di incontri predapredatore, e ci`
o giustifica il termine −bx1 x2 nella prima equazione;
• se sono presenti entrambe le specie, il numero di predatori cresce in funzione del numero di incontri
preda-predatore, e ci`
o giustifica il termine cx1 x2 nella seconda equazione.
Il modello, pur estremamente semplice, riesce a riprodurre, per scelte opportune dei parametri, alcuni importanti
fenomeni che si osservano nella realt`
a. La soluzione del modello descrive andamenti della popolazione oscillante:
nei periodi in cui vi sono molti predatori il livello delle prede `e basso, nei periodi con pochi predatori vi sono
molte prede.
Si noti come le popolazioni delle prede e dei predatori siano descritte tramite variabili reali: si tratta di un
ulteriore esempio di modello fluido.
Il comportamento del sistema `e illustrato dai due diagrammi in figura 1.14. Il diagramma a sinisra illustra
l’evoluzione temporale delle due variabili di stato, quello a destra il piano delle fasi.
Modello di Volterra − Lotka − Andamenti temporali
Modello di Volterra − Lotka − Piano delle fasi
2.2
2.5
1.8
2
Coordinata x
2
1.6
1.4
1
2
Variabili di stato x (blu) & x (verde)
2
1.2
1
1.5
1
0.8
0.5
0.6
0.4
0
0
5
10
15
tempo
20
25
0
0.5
1
1.5
Coordinata x1
2
2.5
Figura 1.14: Comportamento del modello di Volterra-Lotka.
1.18
Modellazione di fenomeni alla scala biomolecolare
Gli strumenti di modellazione matematica possono essere utilizzati anche per descrivere il comportamento di
reazioni biochimiche alla scala dei fenomeni genetici e di quelli interni ad una cellula. Si tratta di un approccio
oramai comune nel campo della systems biology [7]).
A titolo di esempio, si consideri la catena di reazioni biochimiche che si incontrano nel percorso cellulare dai
recetottori EGFR and IGF1R, posti sulla membrana cellulare, fino alle proteine MAPK e PIK3, all’interno della
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-31
cellula e dello stesso nucleo cellulare. Il modello matematico che si pu`
o costruire descrive il comportamento
complessivo del sistema e le interdipendenze funzionali e dinamiche tra i recettori, le proteine e le altre sostanze
coinvole [6]). Lo schema di principio della rete biochimica `e illustrato nella figura 1.15.
Figura 1.15: Lo schema della rete EGFR e IGF1R.
Per descrivere l’approccio modellativo, si consideri una singola reazione, quella che porta alla attivazione
della proteina Ras da parte di SOS. La corrispondente reazione biochimica, di tipo enzimatico, `e data da:
a
1
k1
⇀
SOS + Ras −
↽
− SOS − Ras −→ Ras∗ + SOS,
d1
(1.107)
dove Ras∗ rappresenta la forma attiva della proteina Ras e SOS − Ras il prodotto intermedio della reazione.
In termini matematici, tale reazione pu `
o essere descritta dalle sequenti equazioni differenziali, che conseguono
da una semplice applicazione della legge di azione di massa:
d[SOS]
dt
d[Ras]
dt
d[SOS − Ras]
dt
d[Ras∗ ]
dt
= −a1 [SOS][Ras] + d1 [SOS − Ras] + k1 [SOS − Ras]
(1.108a)
= −a1 [SOS][Ras] + d1 [SOS − Ras]
(1.108b)
= +a1 [SOS][Ras] − d1 [SOS − Ras] − k1 [SOS − Ras]
(1.108c)
= k1 [SOS − Ras].
(1.108d)
Nelle equazioni precedenti, [S] indica la concentrazione della sostanza “S ′′ . In considerazione della specifica
natura delle reazioni enzimatiche, viene abitualmente introdotta una forma approssimata di tali equazioni,
basata sulla della cinetica di Michaelis-Menten. Nel caso della reazione in (1.107), si ha:
k
1
Ras∗ + SOS,
SOS + Ras −→
(1.109)
cui corrisponde il sistema di equazioni differenziali:
[Ras]
d[Ras∗ ]
= k1 [SOS]
dt
kM + [Ras]
[Ras]
d[Ras]
= −k1 [SOS]
,
dt
kM + [Ras]
(1.110a)
(1.110b)
dove [SOS] indica la concentrazione di enzima e kM `e la costante di Michaelis, legata alle costanti del modello
completo (1.108) dalla relazione kM = (d1 + k1 )/a1 .
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-32
L’approccio descritto sopra pu`
o essere utilizzato per l’intera rete EGFR-IGF1R, ottenendo il modello completo riportato sotto, e composto da 18 variabili di stato, 3 segnali di ingresso e 39 parametri.
d
[EGF R∗ ]
dt
d
[IGF 1R∗ ]
dt
d
[SOS]
dt
=
−γEGF R [EGF R∗ ]
=
−γIGF 1R [IGF 1R∗ ]
=
−
d
[DSOS]
dt
=
−
d
[Ras∗ ]
dt
d
[Ras]
dt
d
[Raf ∗ ]
dt
=
=
=
−
d
[Raf ]
dt
=
+
d
[M EK]
dt
d
[M EK ∗ ]
dt
d
[Erk∗ ]
dt
d
[Erk]
dt
d
[p90Rsk∗ ]
dt
d
[p90Rsk]
dt
d
[P IK3∗ ]
dt
=
=
=
=
=
=
=
+
d
[P IK3]
dt
=
−
d
[Akt∗ ]
dt
d
[Akt]
dt
=
=
[DSOS]
[DSOS]
+ kSOS:I [IGF R∗ ]
KMSOS:E + [DSOS]
KMSOS:I + [DSOS]
[SOS]
kDSOS:p90Rsk[p90Rsk∗ ]
KMDSOS:p90Rsk + [SOS]
[SOS]
kDSOS:p90Rsk[p90Rsk∗ ]
KMDSOS:p90Rsk + [SOS]
[DSOS]
[DSOS]
kSOS:E [EGF R∗ ]
− kSOS:I [IGF R∗ ]
KMSOS:E + [DSOS]
KMSOS:I + [DSOS]
[Ras]
[Ras∗ ]
kRas:SOS [SOS]
− kRas:RasGab [RasGab]
KMRas:SOS + [Ras]
KMRas:RasGab + [Ras∗ ]
[Ras]
[Ras∗ ]
−kRas:SOS [SOS]
+ kRas:RasGab [RasGab]
KMRas:SOS + [Ras]
KMRas:RasGab + [Ras∗ ]
[Raf ]
[Raf ∗ ]
kRaf :Ras[Ras∗ ]
− kRaf :Raf P P [Raf P P ]
KMRaf :Ras + [Raf ]
KMRaf :Raf P P + [Raf ∗ ]
∗
[Raf ]
kRaf :Akt [Akt∗ ]
KMRaf :Akt + [Raf ∗ ]
[Raf ]
[Raf ∗ ]
−kRaf :Ras[Ras∗ ]
+ kRaf :Raf P P [Raf P P ]
KMRaf :Ras + [Raf ]
KMRaf :Raf P P + [Raf ∗ ]
∗
[Raf
]
kRaf :Akt [Akt∗ ]
KMRaf :Akt + [Raf ∗ ]
[M EK]
[M EK ∗ ]
−kM EK:Raf [Raf ∗ ]
+ kM EK:P P 2A [P P 2A]
KMM EK:Raf + [M EK]
KMM EK:P P 2A + [M EK ∗ ]
[M EK]
[M EK ∗ ]
+kM EK:Raf [Raf ∗ ]
− kM EK:P P 2A [P P 2A]
KMM EK:Raf + [M EK]
KMM EK:P P 2A + [M EK ∗ ]
[Erk]
[Erk∗ ]
kErk:M EK [M EK ∗ ]
− kErk:P P 2A [P P 2A]
KMErk:M EK + [Erk]
KMErk:P P 2A + [Erk∗ ]
[Erk]
[Erk∗ ]
−kErk:M EK [M EK ∗ ]
+ kErk:P P 2A [P P 2A]
KMErk:M EK + [Erk]
KMErk:P P 2A + [Erk∗ ]
[p90Rsk]
kp90Rsk:Erk [Erk∗ ]
− kdp90Rsk [p90Rsk∗ ]
KMp90Rsk:Erk + [p90Rsk]
[p90Rsk]
kdp90Rsk [p90Rsk∗ ] − kp90Rsk:Erk [Erk∗ ]
KMp90Rsk:Erk + [p90Rsk]
[P IK3]
[P IK3]
kP IK3:Ras [Ras∗ ]
+ kP IK3:IGF 1R [IGF 1R∗ ]
KMP IK3:Ras + [P IK3]
KMP IK3:IGF 1R + [P IK3]
[P IK3]
kP IK3:EGF R [EGF R∗ ]
− kfP IK3 ∗ [P IK3∗ ]
KMP IK3:EGF R + [P IK3]
[P IK3]
[P IK3]
−kP IK3:Ras [Ras∗ ]
− kP IK3:IGF 1R [IGF 1R∗ ]
KMP IK3:Ras + [P IK3]
KMP IK3:IGF 1R + [P IK3]
[P IK3]
kP IK3:EGF R [EGF R∗ ]
+ kfP IK3 ∗ [P IK3∗ ]
KMP IK3:EGF R + [P IK3]
[Akt]
+kAkt:P IK3 [P IK3∗ ]
− kdAkt [Akt∗ ]
KMAkt:P IK3 + [Akt]
[Akt]
−kAkt:P IK3 [P IK3∗ ]
+ kdAkt [Akt∗ ]
KMAkt:P IK3 + [Akt]
kSOS:E [EGF R∗ ]
Capitolo 1: Modelli dinamici
1.19
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-33
Un modello di sistema dinamico ad eventi discreti: un sistema
soggetto a guasti
I modelli visti fino ad ora sono relativi a sistemi per i quali lo stato `e costituito da un vettore di variabili
continue.
Un’altra classe molto importante `e costituita dai sistemi dinamici ad eventi discreti, cio`e sistemi dinamici
per i quali lo stato pu`
o assumere valori in un insieme discreto, ad esempio l’insieme degli interi non negativi.
Modelli di questo tipo sono utilizzati per studiare sistemi di produzione industriale, sistemi di comunicazione,
reti di elaboratori, sistemi di traffico [18, 19, 20].
Un semplice sistema di questo tipo, molto utile nella modellazione degli impianti di produzione industriale, `e
costituito da un sistema con due soli stati, e transizioni descritte dal verificarsi di eventi (automa a stati finiti).
Ad esempio, l’automa rappresentato in figura 1.16 pu`
o trovarsi in due soli stati, lo stato F e lo stato G, ed il
passaggio da uno stato all’altro avviene solo in corrispondenza del verificarsi dell’evento g o dell’evento r.
g
F
G
r
Figura 1.16: Un semplice automa a stati finiti
Tale automa `e utile, ad esempio, per descrivere il comportamento di dispositivi soggetti a guasti. Se il
sistema si trova inizialmente nello stato F , cio`e nello stato “funzionante”, pu`
o passare allo stato G (stato di
guasto) in corrispondenza del verificarsi di un evento di guasto g. Similmente, se il sistema si trova nello stato
G, torner`a allo stato di funzionamento F in corrispondenza del verificarsi di un evento di riparazione r. Si noti
che nello stato F `e considerato ammissibile solo l’evento g, mentre l’evento r non `e ammissibile, come indica
l’assenza di un arco con etichetta r in uscita da tale stato. In modo analogo, l’evento g non `e ammissibile a
partire dallo stato G. Per questo automa, lo stato pu`
o assumere quindi solo i due valori F o G. Un automa `e
spesso rappresentato, formalmente, tramite un grafo orientato o tramite una matrice di transizione [18, 19, 20].
Si noti che in questo caso lo stato non indica la misura di una grandezza fisica, come tipicamente avviene
nel caso dei pi`
u comuni sistemi di variabile continua, ma piuttosto indica una configurazione del sistema, una
situazione nella quale si trova il sistema: lo stato di un sistema ad eventi discreti ha spesso un significato
simbolico, rappresentativo.
1.20
Un sistema soggetto a guasti: modello stocastico
Un automa pu`
o essere anche non deterministico, e cio`e l’evoluzione dello stato dipende anche da fenomeni
descrivibili solo in termini probabilistici.
Relativamente all’automa della sezione precedente, un caso molto importante da un punto di vista applicativo
`e quello in cui la transizione tra due stati sia descritta solo in termini stocastici, e vi sia interesse, ad esempio,
a conoscere con quale probabilit`
a la macchina sar`a nello stato funzionante nel prossimo futuro.
Nel caso in cui i tempi di permanenza in ciascuno stato sono descritti per mezzo di variabili aleatorie con
distribuzione geometrica (esponenziale) l’intero sistema `e descrivibile tramite una catena (processo) di Markov.
In particolare, si consideri una catena con due stati F e G, sia g il parametro della distribuzione geometrica
che descrive la transizione da F a G ed r il parametro della distribuzione geometrica che descrive la transizione
da G ad F . Infine, sia σ(t), t ∈ Z, σ(·) ∈ {F, G}, lo stato della catena all’istante t. L’ipotesi che il sistema sia
markoviano corrisponde allora alla condizione:
Prob {σ(t + 1) = σ1 |σt = σ0 , σt−1 = σ−1 , σt−2 = σ−2 , . . .} = Prob {σ(t + 1) = σ1 |σt = σ0 }
(1.112)
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-34
ove σi , i = 1, 0, −1, −2, . . ., ∈ {F, G}. Si definisca ora il vettore π(t) = [πF (t) πG (t)]T , πF (·), πG (·) ∈ R, come
πF (t)
=
πG (t)
=
Prob {σ(t) = F },
(1.113a)
Prob {σ(t) = G},
(1.113b)
che rappresenta la probabilit`
a che lo stato dell’automa, all’istante t, sia F o G. Si definisca inoltre la probabilit`
a
di transizione
Pij = Prob {σ(t + 1) = i|σ(t) = j}, ∀t ≥ 0,
(1.114)
e si assuma che tale probabilit`
a non dipenda dal tempo t (cio`e, equivalentemente, si assuma che la catena di
Markov corrispondente sia omogenea rispetto al tempo).
Si ricordi inoltre il seguente teorema della probabilit`
a totale.
Teorema 1.1 Se E1 , E2 , E3 , . . ., ES
e, Prob {Ei ∩ Ej } = 0, ∀ i 6= j)
n sono n eventi mutuamente esclusivi (cio`
e complessivamente esaustivi (cio`e, i Ei = Ω}, ove Ω indica lo spazio campione), ed A `e un generico evento,
allora:
n
X
Prob {A|Ei } Prob {Ei }.
(1.115)
Prob {A} =
i=1
Il teorema della probabilit`
a totale ha un ruolo fondamentale nella costruzione di processi stocastici, ed in particolare di processi (e catene) di Markov. Si consideri infatti il caso E1 = Prob {σ(t) = F }, E2 = Prob {σ(t) =
` facile vedere che E1 ed E2 sono mutuamente esclusivi e completamente esaustivi. Si considerino ora
G}. E
gli eventi Prob {σ(t + 1) = F } e Prob {σ(t + 1) = G} e si ricordi che, secondo le notazioni introdotte,
πj (t) = Prob {σ(t) = j}, j = F, G. Allora:
πF (t + 1) = PF,F πF (t) + PF,G πG (t),
(1.116a)
πG (t + 1) = PG,F πF (t) + PG,G πG (t),
(1.116b)
e cio`e:
πF (t + 1) = (1 − g)πF (t) + rπG (t),
(1.117a)
πG (t + 1) = gπF (t) + (1 − r)πG (t),
ed in forma matriciale:
π(t + 1) = P π(t),
P =
1−g
g
r
1−r
(1.117b)
.
(1.118)
Il sistema di equazioni alle differenze (1.118) descrive la dinamica della conoscenza dello stato della catena di
Markov, e non, si badi bene, la dinamica della catena. In altre parole, il modello (1.118) non descrive l’evoluzione
` di interesse determinare la soluzione
dello stato della catena, ma solo la conoscenza che si ha di tale evoluzione. E
di regime dell’equazione (1.118), cio`e π = limt→∞ π(t). Se tale soluzione esiste, deve soddisfare l’equazione
π = P π,
(1.119)
πF + πG = 1.
(1.120)
insieme all’equazione di consistenza
La soluzione di tale sistema `e data da:
πF
=
πG
=
r
,
r+g
g
.
r+g
(1.121a)
(1.121b)
Si noti che la catena di Markov in esame `e ergodica, o che, e ci`o `e equivalente, la matrice di transizione dello
stato P ha un, ed uno solo, autovalore pari ad uno. La soluzione del sistema di equazioni alle differenze (1.118)
`e data da:
r
πF (t) = (1 − r − g)t πF (0) +
[1 − (1 − r − g)t ],
(1.122a)
r+g
g
[1 − (1 − r − g)t ],
(1.122b)
πG (t) = (1 − r − g)t πG (0) +
r+g
da cui si vede facilmente che
lim π(t) = π.
t→∞
Per una trattazione pi`
u approfondita del tema si pu`
o vedere, tra l’altro, [21, 22, 19].
(1.123)
Capitolo 1: Modelli dinamici
1.21
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-35
Un impianto di produzione
Il modello stocastico della sezione precedente `e particolarmente utile se si vuole studiare il comportamento
di una macchina rispetto ai guasti. Se invece l’interesse `e per il comportamento logico di un sistema, ad esempio
se si `e interessati a studiare la possibilit`a che il sistema finisca in una situazione di stallo, sono utili modelli di
altro tipo. In particolare, il funzionamento logico di sistemi ad eventi discreti `e descritto bene tramite l’uso di
reti di Petri.
Si consideri un semplice sistema di produzione, costituito da una macchina per l’assemblaggio automatico.
La funzione della macchina `e quella di prelevare, da appositi magazzini, una scocca e montare su di essa un
componente. Ad esempio, una macchina di questo tipo `e utilizzata nell’industria automobilistica per montare i
cruscotti. La macchina pu`
o procedere al montaggio di una nuova parte solo se `e disponibile almeno una scocca
ed almeno un componente. Questo fenomeno di sincronizzazione `e descritto in modo naturale dalla rete di Petri
riportata in figura 1.17.
T1
P1
T3
T2
P3
T4
P2
Figura 1.17: Una rete di Petri.
Una rete di Petri `e un grafo bipartito, cio`e costituito da due tipi di nodi, detti posti e transizioni, collegati
tra loro da archi orientati. I posti sono indicati con cerchi e le transizioni con barre. Ogni arco ha origine in un
posto e termina in una transizione, o viceversa. Non sono ammessi archi con origine e destinazione in due posti
o in due transizioni.
All’interno dei posti vi possono essere dei gettoni, ed un posto che contiene almeno un gettone si dice marcato.
Una transizione `e abilitata a scattare quando tutti i posti a monte sono marcati. Quando una transizione scatta,
preleva un gettone da ciascuno dei posti a monte ed aggiunge un gettone a ciascuno dei posti a valle (in effetti, gli
archi possono essere pesati, ed il peso di un arco indica il numero di gettoni spostati dalla transizione collegata
all’arco).
Si consideri la rete in figura 1.17, in cui il posto P1 indica la disponibilit`a di scocche, il posto P2 la disponibilit`a
di parti da montare, ed il posto P3 indica la macchina.
Allora, `e immediato vedere che la transizione T3 immette un nuovo gettone nella macchina (cio`e, mette la
macchina in condizioni di produrre una nuova parte) solo se `e disponibile sia una scocca che un componente.
Infatti, a monte di questa transizione vi sono i due posti P1 e P2 .
Si consideri poi il caso in cui la macchina `e in grado di produrre una sola parte alla volta. Questo fatto pu`
o
tenuto in conto semplicemente aggiungendo un nuovo posto P4 , come in figura 1.18.
T1
P1
T3
T2
P3
T4
P2
P4
Figura 1.18: Una rete di Petri.
In questo modo la transizione T3 pu`
o scattare solo se, oltre alla disponibilit`a di una scocca ed un componente,
la macchina `e libera, cio`e il posto P4 `e marcato.
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-36
Da un punto di vista formale, una rete di Petri pu`
o essere descritta ed analizzata, a partire dalla matrice
di incidenza, cio`e una matrice n × m, con n pari al numero di posti ed m pari al numero di transizioni. Il
generico elemento di posizione i, j della matrice di incidenza vale 1 se il posto i-esimo ha un arco che lo collega
in uscita alla transizione j-esima, lo stesso elemento vale invece − se il posto ha tra i suoi archi di ingresso
un arco proveniente dalla j-esima transizione. Se non vi sono archi dal posto i alla transizione j l’elemento
corrispondente vale zero [19].
La letteratura sulle Reti di Petri `e estremamente vasta. Per una trattazione pi`
u approfondita di questo
strumento di modellazione dal punto di vista del controllo dei sistemi ad eventi discreti si possono consultare,
tra l’altro, [23, 24].
1.22
Modellazione della corsa agli armamenti
Gli strumenti della modellazione matematica e della teoria dei sistemi sono stati utilizzati, ad esempio da
Lewis Fry Richardson, anche per descrivere conflitti tra nazioni e corse agli armamenti. Si indichi con x1 ed x2
il livello di armamenti disponibili ad un certo tempo t a due distinte nazioni in competizione tra loro.
Il tasso di variazione del livello di armamenti di ciascuna nazione `e proporzionale al livello di armamenti
dell’altra nazione, con un meccanismo di “corsa agli armamenti”. Al contempo, il livello di ciascun arsenale
diminuisce per obsolescenza e viene modificato in base alle politiche militari specifiche di ciascuna nazione.
In termini differenziali, questo comportamento pu`
o essere descritto dalle seguenti equazioni:
x˙1
x˙2
= −o1 x1 + c1 x2 + u1
= +c2 x1 − o2 x2 + u2 .
(1.124a)
(1.124b)
Nell’equazione precedente, i coefficienti oi descrivono il tasso di obsolescenza e in generale di disarmo, i coefficienti ci il tasso di corsa agli armamenti, ed i due segnali ui gli effetti ulteriori delle politiche militari dei due
paesi.
In forma matriciale il sistema `e descritto da:
x˙ =
con
A=
−o1
c2
c1
−o2
Ax + Bu
,
B=
(1.125)
1
0
0
1
.
(1.126)
Assumendo, per semplicit`a di analisi, che i tasso di obsolescenza siano unitari e i tassi di corsa uguali per i
due paesi, la matrice A che descrive il sistema diviene:
−1 c
A=
,
(1.127)
c −1
il cui polinomio caratteristico `e pari a:
det(λI − A) = λ2 + λ + 1 − 2c,
le cui radici sono pari a:
λ = −1 ±
√
2c,
(1.128)
(1.129)
e quindi il sistema ammette un autovalore con parte reale positiva (il che implica che le variabili di stati crescono
esponenzialmente!) se il tasso di “corsa” `
a maggiore di 1/2, e cio`e se tale tasso `e superiore alla met`a del tasso
di obsolescenza.
1.23
Colonna di distillazione
Gli strumenti che verranno introdotti in questo testo, e pi`
u in generale gli strumenti della teoria del controllo
trovano applicazione in moltissimi contesti industriali.
Tra i processi di traasformazione, qui viene citato, a titolo di esempio, il modello di una colonna di distillazione. Nello specifico, una colonna binaria, cio`e con fluido di ingresso a due sole componenti, del tipo a piatti.
Il modello tiene esplicitamente conto delle variazioni nella pressione interna.
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-37
Figura 1.19: Schema di principio di una colonna di distillazione (tratto da [26])
La dinamica del sistema, di norma, `e descritto da equazioni non lineari. Il modello proposto `e una versione
lineare, approssimata. Si tratta di un modello di dimensione undici (cio`e, lo spazio di stato `e costituito da R11 ),
con tre ingressi di controllo u, un ingresso di disturbo d e tre uscite y. Il modello pu`
o quindi essere descritto,
in forma matriciale, come segue:
x˙
y
= Ax + Bu(t) + M d(t),
= Cx, y ∈ R
3
x ∈ R11 , u ∈ R3 , d ∈ R1
(1.130)
(1.131)
in cui le variabili di stato, i segnali di ingresso ed uscita ed il disturbo hanno il significato descritto nella
tabella seguente. I valori numerici delle matrici che descrivono il sistema sono riportati nel file colonna.m,
reperibile tramite le pagine web del corso. Per una descrizione pi`
u dettagliata degli aspetti di modellazione si
pu`
o consultare [26, 27, 28, 29, 30], mentre per una descrizione di alcuni problemi di controllo per una torre di
distillazione si pu`
o vedere, tra l’altro, [30, 31, 32].
1.24
Esercizi proposti
Esercizio 1.1 (Classificazione) Classificare i modelli descritti nel corso del capitolo rispetto alla natura del
tempo (a tempo continuo o a tempo discreto), rispetto al tipo di legami funzionali tra i segnali (lineari o non
lineari), rispetto alle caratteristiche del vettore di stato (variabile continua o sistema ad eventi), e rispetto alla
dipendenza o meno dal tempo (sistemi stazionari o non stazionari).
Esercizio 1.2 (Simulazione) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di programmazione, del codice che consenta
di simulare il comportamento dei due algoritmi per il calcolo della radice quadrata introdotti nella sezione 1.13,
verificandone e confrontando i risultati per α = 14 e per α = 4
Esercizio 1.3 (Successione di Fibonacci) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di programmazione, del codice
che consenta di simulare il comportamento del sistema che descrive la successione di Fibonacci, descritto nella
sezione 1.10 e verificare per via simulativa una delle caratteristiche√di tale successione: il rapporto tra due valori
consecutivi tende alla sezione aurea o numero di Fidia, pari a 1+2 5 .
Esercizio 1.4 (Autovalori) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di programmazione, del codice che consenta di
visualizzare graficamente l’andamento degli autovalori del circuito RLC descritto nella sezione 1.4, al variare della
Capitolo 1: Modelli dinamici
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-38
Variabili
x1
x2
..
.
Significato
composizione del componente pi`
u volatile nel condensatore
composizione del componente pi`
u volatile nel primo piatto
..
.
xi
..
.
composizione del componente pi`
u volatile nel piatto i − 1-esimo
..
.
x9
x10
x11
y1
y2
y3
u1
u2
u3
d
composizione del componente pi`
u volatile
composizione del componente pi`
u volatile
pressione nella colonna
composizione del componente pi`
u volatile
composizione del componente pi`
u volatile
pressione
temperatura del vapore nel ribollitore
temperatura del liquido nel condensatore
livello di riflusso
composizione del liquido in ingresso
nel piatto n. otto
nel ribollitore
nel prodotto di coda (in basso)
nel prodotto di testa (in alto)
Tabella 1.1: Descrizione delle variabili di stato e dei segnali di ingresso-uscita per il modello di una colonna di
distillazione (tratto da [27])
resistenza R nell’insieme dei reali strettamente positivi, per valori unitari della capacit`a, C = 1, e dell’induttanza,
L = 1.
Esercizio 1.5 (Simulazione tempo continuo) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di programmazione, del
codice che consenta di simulare il comportamento del circuito RLC descritto nella sezione 1.4, per ingresso
sinusoidale u(t) = sin(t) e assumendo condizione iniziale nulla e valori unitari di tutti i componenti.
Esercizio 1.6 (Simulazione tempo continuo: linearit`
a) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di programmazione, del codice che consenta di simulare il comportamento del circuito RLC descritto nella sezione 1.4, per
valori unitari di tutti i componenti ed utilizzare tale codice per verificare la linearit`a del sistema.
Esercizio 1.7 (Sospensione attiva) Determinare il modello dinamico semplificato di una sospensione attiva,
costituita da un sistema massa-molla del tipo descritto nella sezione 1.3, ruotato in modo tale da muoversi lungo
un binario verticale anzich´e orizzontale.
Esercizio 1.8 (Simulazione tempo continuo: piano delle fasi) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di programmazione, del codice che consenta di simulare il comportamento dell’oscillatore di van der Pol descritto nella
sezione 1.16, e tracciare il comportamento della soluzione nel piano delle fasi, riproducendo la figura 1.13.
Esercizio 1.9 (Dimensioni fisiche delle grandezze fisiche) Discutere le dimensioni fisiche delle variabili
di stato di un sistema dinamico.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-39
Capitolo 2
Analisi di sistemi lineari stazionari a
tempo continuo
In questo capitolo vengono presentati strumenti per l’analisi del comportamento nel tempo di sistemi dinamici
lineari, stazionari, a tempo continuo (LSTC)
Dopo aver introdotto la rappresentazione esplicita si affronta il tema dell’analisi modale (cio`e, lo studio della
risposta libera nello stato). Viene successiamente introdotta la trasformata di Laplace e lo studio della risposta
forzata (cio`e, lo studio del comportamento in uscita a fronte di segnali noti applicati in ingresso). Il capitolo
prosegue con lo studio della risposta forzata per segnali notevoli, della risposta armonica. Segue poi uno degli
argomenti pi`
u importanti dell’intero corso: i diagrammi di Bode. Vengono inoltre presentati esercizi risolti ed
esempi, e vengono proposti esercizi di riepologo ed approfindimento.
2.1
Rappresentazione esplicita per sistemi lineari, stazionari, a tempo
continuo
La classe di sistemi dinamici considerata in questa sezione `e costituita dai sistemi lineari, a tempo continuo,
stazionari, a dimensione finita e causali, rappresentabili per mezzo di equazioni differenziali della seguente
forma:
x(t)
˙
=
y(t) =
Ax(t) + Bu(t),
Cx(t) + Du(t),
x ∈ Rn , u ∈ Rm , t ∈ R
y∈R
p
(2.1a)
(2.1b)
in cui A, B, C e D sono matrici ad elementi reali di dimensioni compatibili con il vettore di stato x, il vettore
dei segnali di ingresso u ed il vettore dei segnali di uscita y.
Molti dei modelli visti nel precedente capitolo rientrano in tale categoria di sistemi.
Nel seguito un sistema del tipo precedente verr`a sinteticamente indicato con la notazione Σ(A, B, C, D),
mentre la coppia di equazioni (2.1) verr`a indica anche con il termine rappresentazione implicita del sistema.
Lo studio del comportamento di un sistema dinamico a tempo continuo pu`
o essere condotto analizzando
le propriet`
a della soluzione dell’equazione differenziale corrispondente. In particolare, il comportamento del
vettore di stato x(t) e del vettore di uscita y(t) pu`
o essere descritto tramite la rappresentazione esplicita, cio`e
tramite la soluzione dell’equazione differenziale (2.1a) e dell’equazione algebrica (2.1b). Nel caso generale tale
rappresentazione esplicita `e data, formalmente, dalle due funzioni seguenti:
x(t)
y(t)
= x(t, t0 , x0 , u[t0 ,t) ) = x(t, t0 , x0 , u(·))
= y(t, t0 , x0 , u[t0 ,t) ) = y(t, t0 , x0 , u(·)).
(2.2a)
(2.2b)
La funzione x(t, t0 , x0 , u[t0 ,t) ), per semplicit`a indicata con la notazione x(t, t0 , x0 , u(·)), `e la rappresentazione
esplicita nello stato, e definisce il valore dello stato all’istante t, a partire dalla condizione iniziale x0 all’istante
t0 , sotto l’effetto del segnale di ingresso u(·), applicato nell’intervallo [t0 , t)1 . La funzione y(t, t0 , x0 , u(·)) `e la
1 La
notazione s[t1 ,t2 ) si riferisce alla porzione del segnale s relativa all’intervallo temporale [t1 , t2 ). Se il segnale s `
e continuo in
t = t2 , allora s[t1 ,t2 ) ed s[t1 ,t2 ] coincidono.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-40
rappresentazione esplicita in uscita, a partire dalla condizione iniziale x0 all’istante t0 , sotto l’effetto del segnale
di ingresso u(·) , applicato nell’intervallo [t0 , t).
Lo studio della risposta esplicita verr`a condotto inizialmente per un sistema scalare, cio`e per un sistema con
matrice della dinamica A pari allo scalare reale a, e cio`e con spazio di stato dato dalla retta reale.
Si consideri inizialmente il caso di un sistema omogeneo, cio`e senza segnale di ingresso; limitatamente
all’equazione che descrive l’evoluzione dello stato, il modello di interesse `e:
x˙ = ax,
(2.3)
da cui, risolvendo l’equazione differenziale per separazione ed avendo indicato con x0 il valore dello stato
all’istante iniziale t0 , si trova:
x(t) = e a(t−t0 ) x0 .
(2.4)
La soluzione nella variabile di stato del sistema dinamico omogeneo (2.3), ovvero la risposta libera nello
stato, a partire dalla condizione iniziale x0 all’instante iniziale t0 , assume quindi la forma:
x(t, t0 , x0 , 0) = e a(t−t0 ) x0 .
(2.5)
Nel caso generale di un sistema con spazio di stato di dimensione n, la soluzione `e esprimibile generalizzando
la funzione esponenziale scalare al caso matriciale. Data una matrice quadrata ad elementi reali A, la matrice
esponenziale a tempo continuo associata `e definita dalla seguente serie esponenziale matriciale:
e At :=
∞
X
Ai ti
i=0
i!
.
(2.6)
Sulla base di tale definizione, la risposta libera nello stato per un sistema a tempo continuo, omogeneo, del tipo:
x˙ = Ax,
(2.7)
a partire dallo stato x(t0 ) = x0 all’instante t0 `e data da:
x(t) = x(t, t0 , x0 , 0) = e A(t−t0 ) x0 .
(2.8)
La forma (2.8) della soluzione dell’equazione differenziale omogenea (2.7) pu`
o essere dimostrata facilmente
derivando l’esponenziale di matrice rispetto al tempo e ricordando il teorema di esistenza ed unicit`
a della
soluzione di una equazione differenziale.
Nel caso generale in (2.1), e cio`e nel caso di un sistema vettoriale sottoposto all’azione di un forzamento
esterno, si trova:
Z
x(t) = x(t, t0 , x0 , u(·)) = e A(t−t0 ) x0 +
t
e A(t−τ ) Bu(τ )dτ,
(2.9)
t0
che costituisce la soluzione, nelle variabili di stato, del sistema dinamico (2.1), e cio`e la risposta completa nello
stato, a partire dalla condizione iniziale x0 all’instante iniziale t0 , sotto l’azione della funzione di ingresso u(·).
La dimostrazione di tale risultato pu`
o essere condotta verificando che tale espressione determina un’identit`
a se
sostituita nella (2.1).
Il fatto che la risposta completa nello stato all’istante t dipenda solo dal segmento del segnale di ingresso
tra l’istante iniziale t0 e tale istante t costituisce la propriet`
a di causalit`a. Meglio, `e l’evidenza del sussistere di
tale propriet`
a.
L’integrale che compare nell’equazione precedente descrive l’effetto del segnale di ingresso sullo stato del
sistema ed `e detto integrale di convoluzione.
2.1.1
Matrice di transizione dello stato
L’esponenziale matriciale (2.6), quando riferita alla soluzione di un sistema dinamico, come in queste note,
prende anche il nome di matrice di transizione dello stato (a tempo continuo). Posto:
Φ(t, t0 ) = e A(t−t0 ) ,
(2.10)
x(t, t0 , x0 , 0) = Φ(t, t0 )x0 .
(2.11)
si ha quindi:
L’esponenziale di matrice gode di alcune importanti propriet`
a, generalizzazioni delle corrispondenti propriet`
a
della funzione esponenziale scalare.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-41
Propriet`
a 2.1 (Derivata dell’esponenziale di matrice)
d At
e = Ae At .
dt
(2.12)
Inoltre, vale la propriet`
a commutativa tra una matrice A ed il suo esponenziale, perch´e:
d At
e = Ae At = e At A
dt
(2.13)
La dimostrazione segue facilmente dalla definizione (2.6) di esponenziale di matrice.
Propriet`
a 2.2 (Composizione temporale tra esponenziali di matrice)
e At1 · e At2 = Ae A(t1 +t2 ) .
(2.14)
La dimostrazione segue facilmente dalla definizione (2.6) di esponenziale di matrice.
Propriet`
a 2.3 (Inversa di un esponenziale di matrice)
At −1
e
= e −At ,
e quindi:
e At
−1
(2.15)
· e At = I.
(2.16)
Anche questa dimostrazione segue facilmente dalla definizione (2.6) di esponenziale di matrice. La propriet`
a
appena descritta implica anche il fatto che l’esponenziale di matrice, o matrice di transizione dello stato a tempo
continuo, sia sempre una matrice non singolare e quindi ammetta sempre inversa.
Nello studio del comportamento di sistemi dinamici si fa largo uso dello strumento della trasformazione di
similarit`
a algebrica, o trasformazione di coordinate nello spazio di stato. Di fatto, si tratta di un cambio di
base nello spazio vettoriale che descrive lo spazio di stato. L’argomento `e trattato in dettaglio nella sezione A
dell’Appendice. Qui si anticipa solo che, dato un sistema descritto da una matrice dinamica Ax , nelle nuove
coordinate z = T −1 x la stessa matrice `e rappresentata da:
Az = T −1 Ax T.
(2.17)
Gli esponenziali delle due matrici algebricamente equivalenti Ax e Az sono legati tra loro da una analoga
relazione di equivalenza, come sintetizzato nella seguente propriet`
a.
Propriet`
a 2.4 (Esponenziali di matrici algebrica equivalenti) Siano Ax e Az due matrici algebricamente
equivalenti, cio`e legate dalla relazione Az = T −1 Ax T . Allora
e Az t = T −1 e Ax t T.
(2.18)
Ancora una volta, la dimostrazione segue facilmente dalle definizioni di sistemi algebricamente equivalenti e
di esponenziale di matrice, notando che, per qualsiasi matrice quadrata ad elementi reali A, si ha:
−1
i
i
(2.19)
T A T = T −1 [A] T, ∀i ∈ Z.
2.1.2
Risposta libera e risposta forzata per sistemi LSTC
Si noti come la risposta completa nello stato (2.9) risulti lineare sia rispetto alla condizione iniziale, sia
rispetto alla funzione di ingresso. In virt`
u di questa linearit`a, si ha che la risposta completa alla condizione
iniziale x0 ed alla funzione di ingresso u(·) pu`
o essere scomposta nel contributo della risposta libera xℓ (t), che
dipende solo dalla condizione iniziale, e della risposta forzata xf (t), che dipende solo dal segnale di ingresso. In
sintesi:
Z t
e A(t−τ ) Bu(τ )dτ
(2.20a)
x(t) = x(t, t0 , x0 , u(·)) = xf (t) + xℓ (t) = e A(t−t0 ) x0 +
t0
xf (t) := x(t, t0 , 0, u(·)) =
xℓ (t) := x(t, t0 , x0 , 0) = e
Z
t
e A(t−τ ) Bu(τ )dτ
t0
A(t−t0 )
x0 .
(2.20b)
(2.20c)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-42
Si noti come la risposta libera nello stato xℓ (·) descrive solo l’effetto della condizione iniziale del sistema, in
assenza di ingresso, mentre la risposta forzata nello stato xf (·) descrive solo l’effetto della funzione di ingresso,
a partire da condizioni iniziali nulle. Le relazioni (2.20) costituiscono una applicazione del ben noto principio
di sovrapposizione degli effetti.
Le considerazione relative all’evoluzione dello stato possono essere estese facilmente al caso dell’uscita,
tenendo conto del fatto che il legame uscita-stato `e statico:
y(t) = Cx(t) + Du(t).
(2.21)
La risposta completa in uscita `e data quindi da:
y(t) = y(t, t0 , x0 , u(·)) = Ce
A(t−t0 )
x0 +
Z
t
Ce A(t−τ ) Bu(τ )dτ + Du(t),
(2.22)
t0
ed analogamente per la risposta libera in uscita yℓ (·) e la risposta forzata in uscita yf (·) si trova:
yℓ (t) := y(t, t0 , x0 , 0) = Ce A(t−t0 ) x0
Z t
Ce A(t−τ ) Bu(τ )dτ + Du(t).
yf (t) := y(t, t0 , 0, u(·)) =
(2.23a)
(2.23b)
t0
La natura stazionaria dei sistemi in esame rende arbitraria la scelta dell’istante iniziale. Nel seguito del testo
si assumer`a quindi, come regola generale, nullo l’istante iniziale: t0 = 0.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.2
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-43
Analisi modale per sistemi LSTC: approccio nel dominio del
tempo
In questa sezione verranno studiate le propriet`
a di maggiore interesse, dal punto di vista della Teoria dei
Sistemi, della risposta libera nello stato per un sistema LSTC, e cio`e dell’esponenziale matriciale a tempo
continuo. Scopo di questa analisi `e lo studio del comportamento temporale delle funzioni che compogono tale
soluzione, funzioni (tutte a valori reali) che sono dette modi naturali del sistema dinamico. Tale studio costituisce
l’analisi modale, che `e di fondamentale importanza per valutare il comportamento di un sistema dinamico a
fronte di variazioni, eventualmente improvvise, del suo stato interno. In altre parole, l’analisi modale di un
sistema dinamico lineare e stazionario consente di studiare il comportamento dello stesso sistema quando il suo
stato interno viene perturbato rispetto al punto di lavoro nominale.
Si vedr`
a nel seguito come la maggior parte delle propriet`
a di un sistema dinamico dipendano dalle caratteristiche dei modi naturali, e in particolare dalla loro convergenza e dalla velocit`
a di tale convergenza.
L’analisi modale verr`a presentata secondo un approccio classico, nel dominio del tempo. In una sezione
successiva verr`a presentato un approccio nel dominio di Laplace. L’approccio nel dominio del tempo presuppone
l’uso di strumenti algebrici, ed in particolare di trasformazioni di similarit`
a tra sistemi dinamici (strumenti
descritti nel capitolo A dell’appendice).
Poich´e l’analisi riguarda la risposta libera nello stato, ci si limita alla sola equazione differenziale omogenea.
Si consideri allora il sistema dinamico:
x˙ = Ax,
x(0) = x0 ,
x ∈ Rn .
(2.24)
Sia pA (λ) = det(λI − A) il polinomio caratteristico di tale sistema:
pA (λ) = det(λI − A) =
r
Y
i=1
(λ − λi )µi ,
(2.25)
dove i numeri λi , i = 1, · · · , r, sono gli autovalori distinti del sistema, reali o complessi coniugati a coppie,
ciascuno con molteplicit`
a algebrica (cio`e molteplicit`
a come radice del polinomio caratteristico) pari a µi . Nel
caso di un autovalore complesso, se ne indichi con σi e ωi la parte reale ed immaginaria, rispettivamente:
λi = σi + ωi .
A ciascun autovalore del sistema dinamico in esame (della matrice A del sistema in esame) `e associato
un autospazio Vi , costituito da tutti gli autovettori del sistema legati a tale autovalore, cio`e da tutti i vettori
soluzione del sistema omogeneo:
Avi = λi vi ⇔ (λi I − A)vi = 0,
i = 1, · · · , r.
(2.26)
Il numero di vettori linearmente indipendenti che sono soluzione della precedente equazione omogenea, che
corrisponde alla dimensione dell’autospazio Vi , `e detto molteplicit`
a geometrica del corrispondente autovalore e
verr`a indicato con il simbolo νi . Sulla base di risultati noti, la molteplicit`
a geometrica `e uguale alla dimensione
del kernel, o nucleo, della matrice (λi I − A):
νi := dim(Vi ) = dim [ker(λi I − A)] = n − rango (λi I − A).
(2.27)
Infine, si ricordi che la molteplicit`
a algebrica `e sempre maggiore od uguale alla molteplicit`
a geometrica: µi ≥ νi ,
∀i.
Il risultato fondamentale della sezione `e sintetizzato dal seguente teorema, che descrive la totalit`
a dei modi
naturali che compogono la risposta libera di un sistema LSTC.
Teorema 2.1 (Modi naturali di un sistema LSTC) Sia dato il sistema lineare stazionario a tempo continuo, omogeneo:
x˙ = Ax, x(0) = x0 , x ∈ Rn ,
(2.28)
e siano λi , i = 1, · · · , r, i corrispondenti autovalori distinti, caratterizzati dalle molteplicit`
a algebrica e geometrica µi e νi , rispettivamente.
Allora si ha che:
• ad ogni autovalore λi ∈ R sono associati i seguenti µi modi naturali:
– λi ∈ R, µi = 1, ⇒ mi (t) = e λi t ;
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-44
– λi ∈ R, µi = νi , ⇒ mi,j (t) = e λi t , j = 1, · · · , µi ;
– λi ∈ R, µi > νi , ⇒ mi,1 (t) = e λi t , mi,2 (t) = te λi t , mi,3 (t) = · · · ;
• ad ogni coppia di autovalori complessi coniugati (λi , λ∗i ) = σi ± ωi sono associati le seguenti µi coppie di
modi naturali:
– λi ∈ C, µi = 1, ⇒ mi,c (t) = e σi t cos(ωi t), mi,s (t) = e σi t sin(ωi t) ;
– λi ∈ C, µi = νi , ⇒ mi,c,j (t) = e σi t cos(ωi t), mi,s,j (t) = e σi t sin(ωi t), j = 1, · · · , µi ;
– λi ∈ C, µi > νi , ⇒ mi,c,1 (t) = e σi t cos(ωi t), mi,s,1 (t) = e σi t sin(ωi t), mi,c,2 (t) = te σi t cos(ωi t),
mi,s,2 (t) = te σi t sin(ωi t), mi,c,3 (t) = ..., mi,c,3 (t) = .....
Dal teorema precedente emergono alcune considerazioni.
Commento 2.1
• Il modo naturale base per un sistema LSTC `e una funzione esponenziale con parametro pari all’autovalore
associato. Ci`o vale sia per un autovalore reale semplice (cio`e con molteplicit`
a algebrica unitaria), sia per
una coppia di autovalori complessi coniugati semplici.
• Se tutti gli autovalori sono reali, ed inoltre semplici (cio`e µi = 1, ∀i) o con molteplicit`
a algebriche e
geometriche uguali (cio`e µi = νi , ∀i), i modi naturali sono costituiti solo da funzioni esponenziali reali.
• Se tutti gli autovalori sono complessi ed inoltre semplici (cio`e µi = 1, ∀i) o con molteplicit`
a algebriche
e geometriche uguali (cio`e µi = νi , ∀i), i modi naturali sono costituiti solo da prodotti tra funzioni
esponenziali reali e funzioni sinusoidali e cosinusoidali.
• Se anche un solo autovalore ha molteplicit`e algebrica strettamente maggiore della molteplicit`
a geometrica,
compaiono una o pi`
u funzioni polinomiali del tempo a moltiplicare i modi naturali base (il terzo caso di
ciascuno dei due scenari citati nel teorema). In particolare, se le due molteplicit`
a sono divese compare
certamente il termine polinomiale di grado uno.
• Nei casi in cui, per uno o pi`
u autovalori λi , si abbia µi > νi , il numero ed il grado delle corrispondenti
funzioni polinomiali dipende da ulteriori considerazioni (sulla molteplicit`
a del corrispondente autovalore
come radice del polinomio minimo) che esulano dagli scopi di queste note.
I modi naturali del tipo e λi t e del tipo te λi t , associate ad autvalori reali, sono dette funzioni aperiodiche. I
modi naturali associati ad autovalori complessi coniugati, del tipo e σi t cos(ωi t), e σi t sin(ωi t), e le corrispondenti
moltiplicate per polinoni del tempo, sono dette funzioni pseudoperiodiche. Nel caso particolare di autovalori
immaginari puri e coniugati, con molteplicit`
a uguali, i modi naturali diventano funzioni periodiche: cos(ωi t) e
sin(ωi t).
Il teorema 2.1 verr`a discusso in dettaglio nelle successive sottosezioni, che ne costituiscono quindi traccia
di dimostrazione. In particolare la sottosezione 2.2.1 discute il primo e secondo caso relativo ad un autovalore
reale, la sottosezione 2.2.2 discute il primo e secondo caso relativo ad una coppia di autovalore complessi, la
sottosezione 2.2.3 completa il caso di autovalore reale e la sottosezione 2.2.4 completa l’esame della coppia
complessa. Infine, la sottosezione 2.2.5 trae delle conclusioni e completa la traccia di dimostrazione del teorema.
2.2.1
Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori reali
Si consideri inizialmente il caso di un sistema scalare, cio`e con spazio di stato di dimensione unitaria. In tal
caso la matrice A diviene uno scalare, A = a, a ∈ R, e quindi il sistema dinamico e la risposta libera nello stato
sono descritti, rispettivamente, dall’equazione e dalla funzione seguenti:
x˙ = ax(t)
at
x(t) = e x0 ,
(2.29a)
t ≥ 0, x(0) = x0 .
La funzione e at rappresenta il modo naturale del sistema in esame.
(2.29b)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-45
La soluzione del caso vettoriale `e immediata se la matrice dinamica A `e diagonale: A = diag {λ1 , λ2 , · · · , λn } =:
Λ. In questo caso il sistema dinamico `e descritto dall’equazione:


λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0 


x˙ =  .
(2.30)
..
..  x.
..
 ..
.
.
. 
0
0 · · · λn
Si noti che, poich´e la matrice `e diagonale, gli elementi λi sono anche gli autovalori della matrice stessa. Per il
calcolo della risposta libera nello stato si trova facilmente:
 λ1 t

e
0
···
0
 0
e λ2 t · · ·
0 


x(t) =  .
(2.31)
.
..  x0 , t ≥ 0, x(0) = x0 ,
.
..
..
 ..
. 
0
0
· · · e λn t
e cio`e la collezione di sistemi scalari
x1 (t) = e λ1 t x1,0
x2 (t) = e
..
.
λ2 t
(2.32a)
x2,0
(2.32b)
xn (t) = e λn t xn,0
(2.32c)
ove xi,0 indica la i-esima componente della condizione iniziale x0 .
Dalle considerazioni precedenti segue che l’esponenziale di matrice a tempo continuo del sistema (2.30),
descritto da una matrice diagonale Λ, `e dato da:

 λt
e 1
0
···
0
 0
e λ2 t · · ·
0 


(2.33)
e Λt =  .
.
..  .
..
..
 ..
.
. 
0
0
···
e λn t
Le funzioni e λi t , i = 1, 2, . . . , n, che descrivono la soluzione del sistema, sono associate agli autovalori del
sistema e sono i modi naturali del sistema Σ(Λ, ·, ·, ·), brevemente Σ(Λ) (si veda anche la figura 2.1).
Si noti com non siano state poste ipotesi sulla molteplicit`
a degli autovalori del sistema. In particolare, alcuni
autovalori (anche tutti) possono essere tra loro coincidenti.
La forma (2.31) della soluzione o, equivalentemente, la forma (2.33) dell’esponenziale di matrice, per un
sistema diagonale deriva in modo immediato dalla constatazione che tale sistema sia riconducibile ad una
collezione di sistemi scalari. In alternativa, la forma (2.33) dell’esponenziale di matrice pu`
o essere ricavata dalla
definizione stessa di esponenziale di matrice, notando la seguente relazione generale:

 i
λ1 0 · · · 0
 0 λi2 · · · 0 


i
(2.34)
Λ = .
..  , ∀i ∈ Z,
..
..
 ..
.
. 
.
0
0 · · · λin
da cui segue:
P∞ λi1 ti
i=0

i!


∞
X Λ i ti 
0
=
=

..
i!

i=0
.


0

e
Λt
0
P∞
λi2 ti
i=0
..
.
0
i!
···
···
..
.
···
0

  λ1 t
e

 
0

0
=
 ..

..
  .
.

0
P∞ λin ti 
i=0
i!
0
e λ2 t
..
.
0
···
···
..
.
0
0
..
.
···
e λn t



.

(2.35)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-46
Si noti che la forma della risposta libera, per ciascuna componente, dipende dal modo naturale relativo,
mentre l’ampiezza dipende dalla rispettiva condizione iniziale. Ad esempio, se la condizione iniziale `e pari al
vettore e1 (cio`e, la prima colonna della matrice identit`
a), la risposta libera nello stato sar`a nulla per tutte le
componenti dello stato, salvo la prima, il cui andamento sar`a descritto dalla funzione x1 (t) = e λ1 t x1,0 = e λ1 t ,
t ≥ 0.
Si consideri ora il caso di un sistema descritto da una matrice dinamica A non diagonale, ma diagonalizzabile.
Ci`o implica l’esistenza di una matrice di trasformazione di coordinate T , non singolare, tale che, nelle nuove
coordinate, la matrice A diviene una matrice Λ con struttura diagonale:


λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0 


T −1 AT = Λ,
Λ= .
(2.36)
..
..  ,
..
 ..
.
.
. 
0
0
···
λn
in cui gli elementi λi , i = 1, 2, . . . , n, sono gli autovalori della matrice A (si ricordi che gli autovalori sono
invarianti rispetto a trasformazioni di similarit`
a algebrica). In particolare, una matrice A, di dimensione n × n,
`e diagonalizzabile se, e solo se, ha n autovettori indipendenti, e cio`e se e solo se µi = νi , ∀i. In tal caso, la matrice
di trasformazione T che consente la diagonalizzazione `e la matrice costituita da n autovettori indipendenti.
Si ricordi che tale operazione (la trasformazione di coordinate) corrisponde ad un cambio di base nello spazio
vettoriale utilizzato per rappresentare la matrice.
Per quanto riguarda l’esponenziale di matrice nelle coordinate originali, cio`e relativo alla matrice A, applicando la propriet`
a 2.4 si trova facilmente:

 λ1 t
e
0
···
0
 0
e λ2 t · · ·
0 


(2.37)
e At = T e Λt T −1 = T  .
..  T −1 .
.
.
..
..
 ..
. 
0
0
· · · e λn t
L’esponenziale di matrice a tempo continuo `e quindi composta da combinazioni lineari delle funzioni e λi t ,
i = 1, 2, · · · , n, associate ai rispettivi autovalori del sistema, cio`e da combinazioni lineari dei modi naturali del
sistema.
2.2.2
Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori complessi
L’analisi condotta finora, basata sull’uso di una matrice diagonale, non `e utilizzabile se il sistema possiede
autovalori complessi. In tal caso infatti, vi sarebbero un’infinit`
a di condizioni iniziali cui corrisponderebbero
risposte libere nello stato caratterizzate da funzioni a valori complessi. Ci`o non `e ammissibile, poich´e i sistemi
dinamici di interesse in queste note sono descrizioni di processi reali, e quindi non rappresentabili con grandezze
complesse. La necessit`a di ottenere solo comportamenti reali comporta l’introduzione di vincoli nella scelta delle
possibili condizioni iniziali: tale approccio non `e soddisfacente. Per ovviare a ci`o, si introduce la cosiddetta
forma canonica reale.
Si consideri per semplicit`a un sistema planare, cio`e un sistema con spazio di stato di dimensione due, descritto
da una matrice dinamica Ap , con autovalori complessi coniugati λ e λ∗ , cio`e:
λ = σ + ω,
λ∗ = σ − ω.
(2.38)
Gli autovettori associati ai due autovalori complessi coniugati sono anch’essi complessi coniugati, e quindi
indipendenti. Indicati con v1 = vR + vI e v2 = v1∗ = vR − vI i due autovettori, tra loro indipendenti, `e facile
vedere che anche i due vettori vR e vI sono indipendenti, e quindi possono essere scelti come nuovi vettori di
base. In tal caso, scelta la matrice di trasformazione come:
(2.39)
T = vR vI ,
la matrice dinamica, nelle nuove coordinate, assume la forma:
σ
Λp = T −1 Ap T =
−ω
ω
σ
.
(2.40)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-47
La forma Λp in (2.40) `e detta forma canonica reale. L’esponenziale di matrice a tempo continuo in questo caso
`e dato da:
cos(ωt) sin(ωt)
Λp t
σt
= e σt Ω(t).
(2.41)
e
=e
− sin(ωt) cos(ωt)
dove Ω(t) indica la matrice quadrata di dimesione due che descrive la componente periodica dei due modi
naturali:
cos(ωt) sin(ωt)
Ω(t) :=
.
(2.42)
− sin(ωt) cos(ωt)
Le funzioni e σt cos(ωt) e e σt sin(ωt) sono i modi naturali del sistema con autovalori complessi coniugati
λ = σ + ω e λ∗ = σ − ω.
La risposta libera nello stato del sistema planare in esame, nelle nuove coordinate z = T −1 x, `e data da:
cos(ωt) sin(ωt)
z(0),
(2.43)
z(t) = e σt
− sin(ωt) cos(ωt)
ed `e facile vedere come non sia possibile eccitare in modo indipendente i due modi: nel caso di un sistema
planare con autovalori complessi coniugati, la risposta libera nello stato contiene sempre almeno due modi
indipendenti. Ovviamente, la stessa considerazione pu`
o essere estesa anche al sistema planare nelle coordinate
originali, poich´e la matrice di trasformazione di coordinate `e ad elementi reali. Si ottiene
cos(ωt) sin(ωt)
σt
At
Λp −1
T −1 x(0),
(2.44)
e = T e T , x(t) = T e
− sin(ωt) cos(ωt)
Si consideri ora il caso di un sistema dinamico di dimensione n, con matrice dinamica A diagonalizzabile.
Si assuma, senza perdita di generalit`
a, che i primi nr autovalori λi , i = 1, 2, · · · , nr , siano reali, ed i rimanenti
n − nr autovalori siano costituiti da nc coppie complesse coniugate, n − nr = 2nc . Siano vi , i = 1, 2, · · · , nr ,
gli autovettori associati agli autovalori reali, e (wi , wi∗ ), wi = wR,i + wI,i , i = 1, 2, · · · , nc , le coppie di autovettori associati agli autovalori complessi. Scelte come nuove coordinate gli autovettori reali e le parti reali ed
immaginarie degli autovettori complessi, la nuova matrice di cambio di coordinate `e data da:
(2.45)
T = v1 v2 · · · vnr wR,1 wI,1 wR,2 wI,2 · · · wR,nc wI,nc .
Nelle nuove coordinate la matrice dinamica `e esprimibile nella seguente forma diagonale a blocchi:


λ1 0 · · ·
0
..
.
 0 λ2 · · ·

0


0
 ..

..
.
.
.
.
 .

.
.
.
..


.
 0

0 · · · λnr

,
ΛR = 

Λp,1
0
···
0
..


.


0
Λp,2 · · ·
0


0


..
..
..
..


.
.
.
.
..
.
0
0
· · · Λp,nc
in cui i termini Λp,i , i = 1, 2, · · · , nc rappresentano forme canoniche reali del tipo (2.40):
σi ωi
.
Λp,i =
−ωi σi
Tenendo conto del fatto che la
blocchi, `e facile trovare la seguente

e λ1 t

0


..

.


0
e ΛR t = 






(2.46)
(2.47)
potenza k-esima di una matrice diagonale a blocchi `e ancora diagonale a
forma per la matrice esponenziale, nelle nuove coordinate:

0
···
0
..
λ2 t
.

e
···
0

0

..
..
..

.
.
.
..

.
λnr t

0
··· e
,
(2.48)
Λp,1 t

e
0
···
0
..

Λp,2 t
.

0
e
···
0

0

..
..
..
..

.
.
.
.
..
.
Λp,nc t
0
0
··· e
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-48
ove e Λp,i t indica la matrice di risposta libera nello stato di un sistema planare con autovalori complessi del tipo
descritta in (2.41):
cos(ωi t) sin(ωi t)
= e σi t Ωi (t).
(2.49)
e Λp,i t = e σi t
− sin(ωi t) cos(ωi t)
La risposta libera nello stato in coordinate originali `e quindi:
e At = T e ΛR t T −1 .
(2.50)
Poich´e la matrice di cambio di coordinate `e non singolare, l’esponenziale di matrice e Λt nelle coordinate diagonali
e l’esponenziale di matrice e At nelle coordinate originali contengono esattamente le stesse funzioni del tempo.
Pi`
u precisamente, ogni singolo elemento dell’esponenziale di matrice in coordinate originali sar`a costituito dalla
combinazione lineare di uno o pi`
u modi naturali del sistema. Il comportamento temporale dell’esponenziale di
matrice, e quindi dell’intero sistema, `e governato quindi esclusivamente dai modi naturali del sistema, dati dalle
funzioni esponenziali e λi t , i = 1, 2, . . . , nr , e dalle funzioni esponenziali-sinusoidali e σi t cos(ωi t) ed e σi t sin(ωi t)
i = 1, 2, . . . , nc .
2.2.3
Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori reali
L’analisi dei modi naturali ed il calcolo della risposta nello stato per un sistema non diagonalizzabile `e
basata sulla forma canonica di Jordan, che costituisce la generalizzazione della forma diagonale esaminata in
precedenza. Il blocco base per la costruzione di una forma canonica di Jordan `e costituito dal miniblocco di
Jordan Jλ , di dimensione r, associato all’autovalore reale λ, dato dalla matrice r × r della forma seguente:


λ 1 0 ··· 0 0
 0 λ 1 ··· 0 0 



.. ..  ,
(2.51)
Jλ =  ... ... ...
. . 


 0 0 0 ··· λ 1 
0 0 0 ··· 0 λ
cui corrisponde una matrice esponenziale a tempo continuo della forma:

tr−1 λt
λt
te λt · · ·
e
 e
(r − 1)!


tr−2 λt

e λt · · ·
e
e Jλ t =  0
(r − 2)!

 .
..
..
..
 ..
.
.
.
0
0
···
e λt





.



(2.52)
Le funzioni e λt , te λt , · · · , tr−1 e λt sono i modi naturali generati da un miniblocco di Jordan di dimensione r
associato all’autovalore reale λ (si veda la figura 2.3).
La forma canonica di Jordan JA di una matrice A `e una struttura diagonale a blocchi, con blocchi sulla
diagonale costituiti da miniblocchi di Jordan Jλ di dimensioni opportune:


0 ···
0
Jλ1
 0 Jλ2 · · ·
0 


JA =  .
(2.53)
.
.. 
.
..
..
 ..
. 
0
0 · · · Jλp
ed ottenibile per similarit`
a algebrica dalla matrice A tramite un’opportuna matrice di trasformazione T basata
su una generalizzazione del concetto di autovettore:
JA = T −1 AT.
(2.54)
L’esponenziale matriciale in coordinate di Jordan `e ancora una matrice diagonale a blocchi, con blocchi del
tipo riportato nella (2.52):

 Jλ t
e 1
0
···
0
 0
e J λ2 t · · ·
0 


(2.55)
e JA t =  .

..
..
..

 ..
.
.
.
0
0
· · · e J λp t
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-49
mentre l’esponenziale di matrice in coordinate originali `e dato:
e At = T e JA t T −1
(2.56)
ed `e quindi costituito da combinazioni lineari del vari modi naturali. Si noti che nella forma di Jordan di una
matrice A assegnata possono essere presenti pi`
u miniblocchi Jλ relativi ad uno stesso autovalore λ. A riguardo,
si hanno le seguenti propriet`
a e caratteristiche importanti.
L’andamento del modo naturale base e dei modi con termini polinomiali di ordine uno e di ordine due `e
illustrato nella seguente figura 2.3, pi`
u avanti nel capitolo.
Commento 2.2
• La somma delle dimensioni di tutti i miniblocchi associati ad uno stesso autovalore λ `e uguale alla
molteplicit`
a algebrica µ dello stesso autovalore, e cio`e uguale alla molteplicit`
a di tale autovalore come
soluzione del polinomio caratteristico.
• La dimensione del miniblocco pi`
u grande associato ad un dato autovalore λ `e uguale alla molteplicit`
a di
tale autovalore come soluzione del polinomio minimo.
• Il numero di miniblocchi associati ad uno stesso autovalore λ `e uguale alla molteplicit`
a geometrica ν dello
stesso autovalore, e cio`e uguale alla dimensione del sottospazio vettoriale ker(λI − A).
2.2.4
Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori complessi
Infine, per completare l’analisi dei possibili modi naturali di un sistema dinamico a tempo continuo, si deve
analizzare il caso di matrice non diagonalizzabile con autovalori complessi di molteplicit`
a maggiore di uno.
La determinazione dei modi naturali passa per la generalizzazione della forma canonica reale. Indica con Ap
una forma canonica reale planare, la sua generalizzazione al caso di una sola coppia di autovalori complessi di
molteplicit`
a pari ad r, r > 1, `e una matrice con r × r blocchi, del tipo:


..
.
0 
0
 Λp I2


..
 0 Λp I2
.
0 


,
..
(2.57)
JR = 
 0
.
0 
0 Λp


 .
.. 
..
..
..
 ..
.
. 
.
.
0
j
σt
0
···
···
Λp
j σt
cui sono associati modi naturali del tipo t e cos(ωt) e t e sin(ωt), con j = 0, 1, . . . , r − 1.
Nel caso particolare di un sistema con una coppia di autovalori complessi coniugati λ = σ + ω e λ∗ = σ − ω,
ciascuno di molteplicit`
a due, si trova la seguente forma di Jordan reale:


σ ω 1
0
 −ω σ
0
1 
,
(2.58)
JR 2 = 
 0
0 σ ω 
0
0 −ω σ
cui corrisponde il seguente esponenziale matriciale:

cos(ωt) sin(ωt) t cos(ωt) t sin(ωt)

−
sin(ωt) cos(ωt) −t sin(ωt) t cos(ωt)
e JR2 t = e σt 

0
0
cos(ωt)
sin(ωt)
0
0
− sin(ωt) cos(ωt)


.

(2.59)
Nel caso in cui il sistema abbia solo autovalori complessi, ma con molteplicit`
a arbitraria, l’esponenziale di
matrice, in coordinate reali, ricordando la notazione (2.42), assume la forma:


tr−1
Ω(t)
tΩ(t)
·
·
·
Ω(t)


(r − 1)!


r−2


t

JR t
σt 
0
Ω(t)
·
·
·
Ω(t)
e
=e 
(2.60)
.
(r − 2)!


 ..

..
.
..
..
 .

.
.
0
0
···
Ω(t)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.2.5
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-50
Il caso generale
Si consideri ora il caso generale, di un sistema con nR autovalori reali, alcuni di loro eventualmente coincidenti,
ed nC autovalori complessi coniugati, alcuni di loro eventualmente coincidenti, sia gli autovalori reali sia quelli
complessi con molteplicit`
a arbitraria. Per tale sistema, nelle coordinate di Jordan, si ha un’esponenziale di
matrice della seguente forma, che contiene tutti i modi naturali del sistema stesso:

e Jt







=






e J λ1 t
0
..
.
0
e J λ2 t
..
.
···
···
..
.
0
0
0
0
···
···
0
0
0
0
0
0
0
0
e JR1 t
0
..
.
···
···
0
e JR2 t
..
.
···
···
..
.
0
0
..
.
0
0
···
e JRn C t
0
0
..
.
e
J λn t
0
0
···
0
0
0
0
···
···
0
0
0
0
0
0
···
···
0
0
R








.






(2.61)
in cui le sottomatrici e Jλi t , i = 1, 2, · · · , nR , sono matrici (di dimensione opportuna) del tipo in equazione (2.52),
mentre le sottomatrici e JRi t , i = 1, 2, · · · , nC , sono matrici (di dimensione opportuna) del tipo in equazione
(2.60).
L’esponenziale di matrice nelle coordinate originali si ottiene per trasformazione di similarit`
a di tale matrice,
e contiene tutti e soli i modi naturali presenti nella (2.61). Ci`o completa l’analisi del teorema 2.1 relativo ai
modi naturali di un sistema lineare, stazionario, a tempo continuo.
2.2.6
Caratterizzazione di convergenza
Al variare della posizione degli autovalori nel piano complesso, i modi naturali di un sistema sono caratterizzati da specifiche propriet`
a di convergenza, che costituiscono uno degli elementi fondamentali dell’analisi modale.
Come si vedr`
a successivamente infatti, le propriet`
a di stabilit`a dei punti di equilibrio di un sistema LSTC e
dello stesso sistema dipendono unicamente da tali propriet`
a di convergenza. In modo analogo, l’esistenza della
risposta permamente per un sistema LSTC dipende esclusivamente dalle propriet`
a di convergenza dei modi
naturali.
La caratterizzazione di convergenza `
a sintetizzata dal seguente teorema.
Teorema 2.2 (Caratterizzazione di converganza del modi naturali di un sistema LSTC) Sia dato il
sistema lineare stazionario a tempo continuo, omogeneo:
x˙ = Ax,
x(0) = x0 ,
x ∈ Rn ,
(2.62)
e siano λi , i = 1, · · · , r, i corrispondenti autovalori distinti, caratterizzati dalle molteplicit`
a algebrica e geometrica µi e νi , rispettivamente.
Allora, per ciascun autovalore λi ∈ R e per ciascuna coppia di autovalori complessi (λi , λ∗i ) ∈ C, si ha che i
corrispondenti modi naturali sono:
• convergenti se la parte reale dell’autovalore `e negativa: Re(λi ) < 0, ∀µi ;
• limitati se la parte reale dell’autovalore `e nulla, Re(λi ) = 0, ed inoltre le molteplicit`
a algebrica e geometrica sono uguali, µi = νi ;
• divergenti se la parte reale dell’autovalore `e nulla, Re(λi ) = 0, ed inoltre le molteplicit`
a algebrica e
geometrica sono diverse, µi > νi ;
• divergenti se la parte reale dell’autovalore `e positiva: Re(λi ) > 0, ∀µi .
I vari casi vengono descritti, con una traccia di dimostrazione.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-51
Autovalori reali semplici
`
Nel caso di un autovalore reale semplice λ, il modo naturale associato `e dato dalla funzione esponenziale e λt . E
ben noto che in tal caso il comportamento asintotico dipende dal segno dell’autovalore. Nel caso di autovalore
negativo, si ha un modo naturale convergente, mentre nel caso di autovalore positivo (cio`e, se l’autovalore `e
alla destra dell’asse immaginario) il modo naturale `e divergente. Infine, il modo naturale `e detto limitato se
l’autovalore corrispondente `e nullo (cio`e, se l’autovalore coincide con l’origine del piano complesso): il modo
naturale `e infatti un segnale costante. La situazione `e sintetizzata dalla figura 2.1.
Autovalore reale negativo
1
Autovalore nullo
2
0.9
1.8
0.8
1.6
0.7
1.4
0.6
0.5
0.4
Modo naturale
100
Modo naturale
Modo naturale
Autovalore reale positivo
150
50
0.3
1.2
1
0.8
0.6
0.2
0.4
0.1
0.2
0
0
0
5
0
Tempo (secs)
0
5
0
5
Tempo (secs)
Tempo (secs)
Figura 2.1: Modi naturali associati ad autovalori reali.
Autovalori complessi coniugati semplici
La caratterizzazione di convergenza `e del tutto analoga nel caso di autovalori complessi, con la sola differenza
di un comportamento oscillatorio, dovuto ai termini sin(ωt) e cos(ωt) che compongono i modi naturali: i modi
naturali sono convergenti se gli autovalori hanno parte reale negativa; i modi naturali sono divergenti se gli
autovalori hanno parte reale maggiore di zero, i modi naturali sono limitati se gli autovalori hanno parte reale
nulla. Si noti che, nel caso di autovalori complessi, parte reale nulla corrisponde a modi naturali oscillatori puri,
cio`e del tipo sin(ωt) e cos(ωt). La situazione `e sintetizzata dalla figura 2.2.
Autovalori parte reale negativa
Autovalore parte reale positiva
Autovalore parte reale nulla
1.5
1.5
150
1
1
100
0.5
0
50
Modo naturale
Modo naturale
Modo naturale
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−50
−1
−1
−100
−1.5
0
1
2
3
Tempo (secs)
4
5
0
1
2
3
Tempo (secs)
4
5
−1.5
0
Figura 2.2: Modi naturali associati ad autovalori complessi.
1
2
3
Tempo (secs)
4
5
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-52
Autovalori reali non semplici
La caratterizzazione rispetto alla convergenza dei modi naturali nel caso di autovalori con molteplicit`
a algebrica
e geometrica diverse `e legata ancora al segno della parte reale dell’autovalore: si hanno modi convergenti nel
caso di autovalori con parte reale negativa e modi divergenti nel caso di autovalori con parte reale positiva. Nel
caso di un autovalore con parte reale nulla, la convergenza dei modi `e legata alla molteplicit`
a nel polinomio
minimo 2 . Ad esempio, il modo naturale te λt , per autovalore nullo, diviene la funzione t, e quindi `e una funzione
crescente del tempo. Analogamente per tutti i modi di ordine superiore, cio`e del tipo tj e λt , con 0 < j < r ed
autovalore nullo. In conclusione, per autovalori con parte reale nulla e con molteplicit`
a algebrica e geometrica
diverse 3 , i modi naturali sono divergenti, sia pure con tasso di crescita minore di quello associato ad autovalori
a parte reale positiva (si veda la figura 2.3).
t
m1(t)=e
Modo
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (secs)
m (t)=t et
3
3.5
4
4.5
5
2.5
Tempo (secs)
m (t)=t2 et
3
3.5
4
4.5
5
2.5
Tempo (secs)
3
3.5
4
4.5
5
2
Modo
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
3
Modo
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
Figura 2.3: Modi naturali associati ad autovalori reali non semplici.
Autovalori complessi coniugati non semplici
Il caso di autovalori complessi coniugati con molteplicit`
a algebrica e geometrica diverse `e del tutto analogo al
caso precedente: la presenza di termini polinomiali rende i modi naturali divergenti sia in caso di autovalori a
parte reale positiva, sia a parte reale nulla. Sono invece convergenti i modi naturali associati ad autovalori con
parte reale negativa.
2.2.7
Riepilogo
Nel caso generale una matrice dinamica A potr`
a avere autovalori sia reali che complessi, ciascuno con
molteplicit`
a unitaria o maggiore. Nel calcolo della sua matrice esponenziale saranno quindi coinvolti alcuni, od
al limite tutti, i casi particolari visti in precedenza. Tuttavia l’esponenziale di matrice sar`a sempre basata su una
combinazione lineare di modi naturali, per la cui determinazione `e sufficiente un’analisi completa degli autovalori
della matrice A. In altre parole, di norma (ad esempio, se l’interesse `e limitato allo caratterizzazione dei modi
rispetto alla convergenza), non `e richiesto il calcolo esplicito dell’esponenziale matriciale e delle relative matrici
di similarit`
a, ma `e invece sufficiente valutare in modo completo gli autovalori della matrice A, in coordinate
originali.
I possibili modi naturali di un sistema a tempo continuo sono riepilogati nella prima colonna della tabella
2.1, e le loro propriet`
a di convergenza sono riepilogate nelle successive colonne della stessa tabella.
2
che coincide con la dimensione del miniblocco associato
per molteplicit`
a non unitaria nel polinomio minimo, che corrisponde a miniblocchi di dimensione maggiore di uno associati
ad autovalori (reali) nulli
3 cio`
e
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
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Modo
Caratterizzazione di convergenza
naturale
convergente
limitato
divergente
e λt , λ ∈ R
Re(λ) < 0
Re(λ) = 0
Re(λ) > 0
tj e λt , λ ∈ R
Re(λ) < 0
Re(λ) = 0, j = 0
[Re(λ) = 0, j > 0], [Re(λ) > 0]
e σt cos(ωt), λ ∈ C
Re(λ) = σ < 0
Re(λ) = σ = 0
Re(λ) = σ > 0
e σt sin(ωt), λ ∈ C
Re(λ) = σ < 0
Re(λ) = σ = 0
Re(λ) = σ > 0
tj e σt cos(ωt), λ ∈ C
Re(λ) = σ < 0
Re(λ) = σ = 0, j = 0
[Re(λ) = σ = 0, j > 0], [Re(λ) = σ > 0]
tj e σt sin(ωt), λ ∈ C
Re(λ) = σ < 0
Re(λ) = σ = 0, j = 0
[Re(λ) = σ = 0, j > 0], [Re(λ) = σ > 0]
Tabella 2.1: Modi naturali di un sistema a tempo continuo e condizioni di convergenza
2.2.8
Il significato fisico del concetto di autovettore
Per studiare la dipendenza della risposta libera nello stato dalle condizioni iniziali, ed in particolare per studiare
la possibilit`a di eccitare singoli modi naturali con opportune condizioni iniziali, `e utile approfondire il significato
fisico del concetto di autovettore.
Si scriva il sistema in esame nelle coordinate in cui la sua matrice dinamica `e diagonale. Indicato con
z = T −1 x il nuovo vettore di stato, la dinamica corrispondente `e data da:
z˙ = Λz,
Λ = diag {λ1 , λ2 , . . . , λn }
(2.63)
Come visto in precedenza, in questo caso ciascun modo naturale pu`o essere eccitato indipendentemente, scegliendo
in modo opportuno il vettore delle condizioni iniziali. Analogamente, ciascuna condizione iniziale eccita solo i
modi naturali lungo i quali la condizione stessa ha componenti non nulle. Ad esempio, la condizione iniziale
z0 = e1 eccita solo il primo modo, descritto da e λ1 t . Viceversa, la condizione iniziale z0 = e2 + 3e4 eccita i due
modi naturali e λ2 t e e λ4 t , e la corrispondente risposta libera nello stato `e data da x(t) = e λ2 t + 3e λ4 t . (La
notazione ei indica la i-esima colonna della matrice identit`
a).
Passando alle coordinate originali, si ricordi che la matrice di cambio di coordinate che consente di diagonalizzare la matrice A `e costituita dagli n autovettori della matrice stessa (se tali autovettori non sono indipendenti,
la matrice non `e diagonalizzabile, come noto). Cio`e, detti vi , i = 1, 2, · · · , n, gli autovettori associati agli
autovalori λi , i = 1, 2, · · · , n, la matrice di trasformazione `e data da:
(2.64)
T = v1 v2 · · · vn ,
come si deduce facilmente anche dalla relazione:



AT = T Λ = T 

λ1
0
..
.
0
λ2
..
.
···
···
..
.
0
0
..
.
0
0
···
λn



.

(2.65)
Allora, `e immediato vedere che una condizione iniziale x0 eccita un solo modo naturale se `e allineata secondo il
corrispondente autovettore e viceversa. Analogamente, una data condizione iniziale eccita tutti i modi naturali
associati agli autovettori che concorrono alla rappresentazione della condizione iniziale stessa.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-54
Lo studio delle condizioni iniziali che consentono di eccitare singoli modi naturali, pu`
o essere condotto anche
per altra via, lavorando in coordinate originali.
Si assuma una condizione iniziale allineata con un autovettore. Ad esempio, sia vj l’autovettore relativo
all’autovalore λj , e sia x(0) = vj la condizione iniziale. La risposta libera nello stato `e quindi:
x(t) = e At x(0) = e At vj .
(2.66)
Ricordando le definizioni di autovettore e di matrice esponenziale:
Av = λv,
e At =
∞
X
Ai ti
i=0
i!
,
(2.67)
e notando, ad esempio per induzione, che, dato un autovettore v ed un intero positivo qualsiasi ℓ, vale la
relazione:
Aℓ v = λℓ v,
(2.68)
la risposta libera nello stato diviene:
x(t) = e At x(0) = e At vj
∞
X
Ai ti
vj
=
i!
i=0
=
∞
X
λij ti
i=0
λj t
=e
i!
vj
vj ,
(2.69a)
(2.69b)
(2.69c)
(2.69d)
e quindi tale risposta libera contiene solo ed unicamente il modo naturale relativo all’autovettore che descrive
la condizione iniziale.
Si noti che le considerazioni svolte in questa ultima parte prescindono completamente dalla molteplicit`
a
algebrica e geometrica e sono quindi di validit`a generale.
2.2.9
Decomposizione spettrale
La matrice dinamica A, rappresentativa del comportamento dinamico di un sistema, pu`o essere rappresentata
come combinazione lineare di opportune matrici quadrate, derivate dagli autovettori e pesate con gli autovalori
del sistema stesso. Sia A una matrice diagonalizzabile, siano λi i suoi autovalori, vi i corrispondenti autovettori
(destri), e wiT gli autovettori sinistri (cio`e, vettori riga che soddisfano le equazioni wiT A = λi wiT ). Allora, la
matrice A pu`
o essere riscritta secondo la seguente decomposizione spettrale:
A=
n
X
λi vi wiT .
(2.70)
i=1
Si noti che i termini vi wiT sono matrici quadrate. La decomposizione (2.70) pu`
o essere estesa anche alla
corrispondente matrice esponenziale:
n
X
e λi t vi wiT .
(2.71)
e At =
i=1
2.2.10
Il piano delle fasi per sistemi planari
Nel caso di sistemi planari, cio`e con spazio di stato di dimensione due, `e interessante studiare, in modo
qualitativo, il comportamento delle traiettorie nel piano delle fasi (cio`e, nel piano che rappresenta le due variabili
di stato). In particolare, si consideri un sistema planare autonomo, con autovalori complessi, e con condizione
iniziale pari a x0 = [1, 0]T :
σ ω
x˙ =
x.
(2.72)
−ω σ
Il comportamento nel piano delle fasi, per σ = ±0.2, ω=2, `e riportato in figura (2.4), a sinistra nel caso
di parte reale positiva e al centro nel caso di parte reale negativa. Il diagramma a destra `e relativo a parte
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-55
Modi pseudo−periodici divergenti
6
1
0
−2
−4
0.5
Coordinata x2
2
Coordinata x2
Coordinata x2
4
0
−0.5
−6
−8
−4
Modi periodici
Modi pseudo−periodici convergenti
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
2
Coordinata x
4
−1
−0.5
1
0
Coordinata x
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
Coordinata x
1
1
Figura 2.4: Comportamento nel piano delle fasi per un sistema con modi naturali pseudo-periodici divergenti.
reale nulla. Il comportamento pseudo-periodico divergente dei due modi naturtali corrisponde ad una spirale
crescente, quello dei due modi pseudo-periodici convegenti ad una spirale decrescente.
Lo studio del comportamento nel piano delle fasi per sistemi planari con autovalori reali viene lasciato come
esercizio.
2.2.11
Esercizi risolti
Esercizio 2.1 Si consideri il sistema dinamico descritto dal

−1 0
x˙ =  0 −2
0
0
modello:

0
0 x
3
(2.73)
Il sistema `e caratterizzato da una matrice A diagonale, e quindi i suoi autovalori sono semplicemente gli elementi
sulla diagonale, e cio`e:
λ1 = −1; λ2 = −2; λ3 = 3,
(2.74)
cui corrispondono, rispettivamente, i modi naturali:
m1 (t) = e −t ; m2 (t) = e −2t ; m3 (t) = e 3t .
(2.75)
I primi due modi naturali sono convergenti, il terzo modo naturale `e divergente. L’esponenziale di matrice del
sistema in esame `e dato da:
 −t

e
0
0
e −2t 0  .
e At =  0
(2.76)
0
0
e 3t
Esercizio 2.2 Si consideri il sistema dinamico descritto dal modello:


3
0
0
x˙ =  4 −2 −1  x
−4 0 −1
Il polinomio caratteristico del sistema `e dato da:
pA (λ)
=
=
det(λI − A)

λ−3
0
det  −4 λ + 2
4
0

0
1  = λ3 − 7λ − 6,
λ+1
(2.77)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-56
che pu`
o essere fattorizzato nella forma pA (λ) = (λ + 1)(λ + 2)(λ − 3), e quindi i suoi autovalori sono:
λ1 = −1; λ2 = −2; λ3 = 3,
(2.78)
cui corrispondono, rispettivamente, i modi naturali:
m1 (t) = e −t ; m2 (t) = e −2t ; m3 (t) = e 3t .
(2.79)
I primi due modi naturali sono convergenti, il terzo modo naturale `e divergente. Si noti che si tratta degli stessi
modi naturali dell’esempio precedente.
Infatti, presa come matrice di trasformazione (costruita utilizzando come nuova base i tre autovettori) la
matrice


1 0 1
T −1 =  0 1 1  ,
(2.80)
−1 0 0
ed indicate con A1 ed A2 le matrici, rispettivamente, dei due esempi 2.1 e 2.2, si trova:
A2 = T −1 A1 T,
da cui segue, per l’esponenziale di matrice dell’esempio corrente:

e 3t
0
A2 t
−1 A1 t
−t
e
=T e
T =  −e + e 3t e −2t
e −t − e 3t
0
(2.81)

0
−e −t + e −2t  .
e −t
(2.82)
Come atteso, tale esponenziale contiene solo combinazioni lineari dei modi naturali.
Esercizio 2.3 Si consideri il sistema dinamico descritto dal modello:


−1 1
0
x˙ =  0 −1 0  x
0
0 −1
(2.83)
Il sistema `e costituito da due miniblocchi di Jordan, il primo di dimensione due ed associato all’autovalore
λ1 = −1, il secondo di dimensione uno ed associato allo stesso autovalore. Sulla base della teoria dell’analsi
modale, `e noto che a tale situazione corrispondono, rispettivamente, i seguenti modi naturali:
m1 (t) = e −t ; m2 (t) = te −t ; m3 (t) = e −t .
(2.84)
In tal caso, tutti i modi naturali sono convergenti, poich´e la parte reale dell’unico autovalore `e negativa.
L’esponenziale di matrice del sistema in esame `e dato da:
 −t

e
te −t
0
e −t
0 .
e At =  0
(2.85)
0
0
e −t
Esercizio 2.4 Si consideri il sistema dinamico descritto dal modello:


−1 0
0
x˙ =  0 −2 −1  x
0
1
0
(2.86)
Il polinomio caratteristico del sistema vale:
pA (λ)
=
=
det(λI − A)

λ+1
0
λ+2
det  0
0
−1

0
1  = λ3 + 3λ2 + 3λ + 1 = (λ + 1)3 .
λ
Il sistema ha un solo autovalore con moltiplicit`a pari a tre:
λ1 = −1; µ1 = 3.
(2.87)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-57
Per valutare la forma dei modi naturali si deve studiare la molteplicit`
a geometrica di tale autovalore. Si tratta
quindi di valutare la dimensione del nucleo della matrice λI − A, per λ = −1, che corrisponde poi a valutare il
numero di autovettori indipendenti associati all’autovalore λ = −1. Si trova:


0 0
0
1 .
λI − A = −I − A =  0 1
0 −1 −1
Si vede facilmente che la matrice ha due righe dipendenti, e quindi il suo nucleo ha dimensione 2 (in alternativa,
la matrice ha rango uno, e quindi il nucleo ha dimensione n − 1 = 3 − 1 = 2). L’autovalore di interesse ha quindi
moltepliciti`a geometrica pari a 2. Ne segue che il sistema ha due miniblocchi di Jordan, ed appare un termine
polinomiale. I modi naturali sono quindi:
m1 (t) = e −t ; m2 (t) = te −t ; m3 (t) = e −t .
(2.88)
In tal caso, tutti i modi naturali sono convergenti, poich´e la parte reale dell’unico autovalore `e negativa.
Si noti come si tratti degli stessi modi naturali dell’esempio precedente.
Infatti, presa come matrice di trasformazione (calcolabile con procedura non parte del programma d’esame)
la matrice


1 0 1
T −1 =  0 1 1  ,
(2.89)
−1 0 0
ed indicate con A1 ed A2 le matrici, rispettivamente, dei due esempi 2.3 e 2.4, si trova:
A2 = T −1 A1 T,
da cui segue, per l’esponenziale di matrice dell’esempio corrente:
 −t
e
0
−te −t + e −t
e A2 t = T −1 e A1 t T =  0
0
te −t
(2.90)

0
.
−te −t
−t
−t
e + te
(2.91)
Come atteso, tale esponenziale contiene solo combinazioni lineari dei modi naturali.
Esercizio 2.5 Si consideri il sistema dinamico descritto dal modello:


0
0
0
x˙ =  −1 −1 −1  x
0
1
1
(2.92)
Il polinomio caratteristico del sistema vale
pA (λ)
=
=
det(λI − A)


λ
0
0
1  = λ3 .
det  1 λ + 1
0
−1 λ − 1
e quindi il sistema ha un solo autovalore λ = 0, con moltiplicit`a µ = 3.
Per valutare la forma dei modi naturali si deve studiare la molteplicit`
a geometrica di tale autovalore. Si
tratta quindi di valutare la dimensione del nucleo della matrice λI − A, per λ = 0. Si trova:


0 0
0
λI − A = −A =  1 1
1 .
0 −1 −1
Si vede facilmente che la matrice ha due righe indipendenti ed una riga nulla, e quindi il suo nucleo ha dimensione
1 (in alternativa, la matrice ha rango due, e quindi il nucleo ha dimensione n − 2 = 3 − 2 = 1). L’autovalore
nullo ha quindi moltepliciti`
a geometrica pari ad 1. Ne segue che il sistema ha un solo miniblocco di Jordan. Tra
i suoi modi naturali vi saranno quindi un termine polinomiale di grado uno ed un ulteriore termine di grado
due.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-58
I modi naturali sono quindi:
m1 (t) = δ−1 (t); m2 (t) = tδ−1 (t) = t; m3 (t) = t2 δ−1 (t) = t2 .
(2.93)
In tal caso, il primo modo naturale `e limitato, gli altri due crescono e sono quindi divergenti.
Nel caso in esame, presa come matrice di trasformazione (calcolabile con procedura non parte del programma
d’esame) la matrice


1 0 1
T −1 =  0 1 1  ,
(2.94)
−1 0 0
si trova:

0 1
AJ = T −1 AT =  0 0
0 0
cui corrisponde l’esponenziale di matrice:

δ−1 (t) tδ−1 (t)
e AJ t = 
0
δ−1 (t)
0
0

0
1 ,
0
 
t2 δ−1 (t)
δ−1 (t)
t
tδ−1 (t)  = 
0
δ−1 (t)
δ−1 (t)
0
0
(2.95)

t2

t
δ−1 (t)
da cui segue, per l’esponenziale di matrice in coordinate originali, la forma:


δ−1 (t)
0
0

−tδ−1 (t)
e At = T −1 e AJ t T =  t2 δ−1 (t) − tδ−1 (t) −tδ−1 (t) + δ−1 (t)
2
−t δ−1 (t)
tδ−1 (t)
δ−1 (t) + tδ−1 (t)


δ−1 (t)
0
0
.
−t
=  t2 − t −t + δ−1 (t)
2
−t
t
δ−1 (t) + t
Come atteso, tale esponenziale contiene solo combinazioni lineari dei modi naturali.
(2.96)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.3
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-59
La trasformata di Laplace
Lo studio dei sistemi lineari stazionari a tempo continuo, ed in particolare lo studio dei legami ingresso-uscita
di tali sistemi, `e di solito condotto facendo uso delle strumento formale-simbolico della trasformata di Laplace4 .
In queste note la trasformata di Laplace viene presentata in modo estremamente sintetico ed operativo. Per
tutti gli aspetti formali, di esistenza della trasformata, e per i legami con altre trasformate ed integrali, ad
esempio con la trasformata di Fourier, si rimanda a testi specifici.
Si consideri una funzione del tempo f (·), a valori complessi, nulla per t < 0, e maggiorata da M e γt , per
qualche valore di M > 0 e γ > 0: f : R → C, f (t) = 0, t < 0, f (t) < M e γt , t > 0.
La trasformata di Laplace della funzione f (·), indicata (sia pure impropriamente) con la notazione:
F (s) := L[f (t)],
(2.97)
`e definita dal seguente integrale, supposto che converga:
Z ∞
Z ∞
−st
F (s) := lim
f (t)e −st dt
f (t)e
dt =
0−
ǫ → 0 −ǫ
ǫ>0
(2.98)
Se l’integrale (2.98) converge per un certo s0 = σ0 + ω0 , allora converge per tutti i valori s tali che Re(s) ≥ σ0 .
Il pi`
u piccolo valore di σ0 tale che, per ogni s con Re(s) > σ0 l’integrale (2.98) converge, `e detto ascissa di
convergenza, e sar`a indicato con α; la regione del piano complesso E := s ∈ C : Re(s) > α `e detta regione di
esistenza. La funzione F (s) ha lo stesso contenuto informativo del segnale di origine f (t); pi`
u precisamente,
F (s) ed f (t) sono due diverse rappresentazioni dello stesso segnale: F (s) `e la rappresentazione nel dominio della
variable di Laplace, mentre f (t) `e la rappresentazione dello stesso segnale nel dominio del tempo.
Nota la trasformata di Laplace F (s) di un segnale, la sua rappresentazione nel dominio del tempo, f (t),
pu`
o essere ricostruita a partire dalla trasformata inversa di Laplace o antitrasformata di Laplace, definita
dall’integrale di linea:
Z σ+∞
1
−1
f (t) = L [F (s)] =
F (s)e st ds, t ≥ 0
(2.99)
2π σ−∞
cio`e:
f (t) = L−1 [F (s)] =
1
2π
Z
∞
F (σ + ω)e (σ+ω)t dω,
−∞
t≥0
(2.100)
ove σ `e un qualunque numero reale maggiore dell’ascissa di convergenza α. Si noti che l’integrale `e calcolato
lungo una retta del piano complesso parallela all’asse immaginario. Di norma, tale integrale si calcola tramite
il teorema dei residui, considerando il percorso chiuso costituito dalla retta verticale s = σ + ω e da un arco di
cerchio antiorario di raggio infinito.
La trasformata di Laplace ha interesse perch`e le due trasformazioni (2.98) e (2.99) rappresentano una relazione biunivoca tra funzioni del tempo e corrispondenti trasformate, nel senso meglio precisato dalla seguente
propriet`
a di unicit`
a.
2.3.1
Propriet`
a della trasformata di Laplace
Le seguenti propriet`
a della trasformata di Laplace sono di fondamentale importanza.
Propriet`
a 2.5 (Propriet`
a di unicit`
a) Se L[x(t)] = L[y(t)] lungo una qualche linea s = σ + ω, con σ >
max{αx , αy }, allora le due funzioni del tempo coincidono, cio`e x(t) = y(t), t ≥ 0 (quasi ovunque).
Propriet`
a 2.6 (Linearit`
a) Siano u(t) e y(t) due funzioni del tempo, con trasformata U (s) ed Y (s), rispettivamente. Allora, vale la seguente propriet`
a di linearit`
a:
L[c1 u(t) + c2 y(t)] = c1 U (s) + c2 Y (s),
4 Pierre
∀c1 , c2 ∈ R.
(2.101)
⊓
⊔
Simon Laplace (Beaumont-en-Auge, 1749 – Parigi, 5 marzo 1827).
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-60
Le due propriet`
a di unicit`
a e linearit`a sono di fondamentale importanza concettuale: se non valessero, la
trasformata di Laplace non sarebbe di alcun interesse pratico.
Le sequenti propriet`
a hanno invece un significato operativo: descrivono le situazioni specifiche nelle quali la
trasformata riveste interesse e le corrispondenti forme di impiego.
Propriet`
a 2.7 (Ritardo finito) Siano u(t) ed U (s) un segnale del tempo e la sua trasformata, con ascissa di
convergenza αu . Allora, dato un reale T > 0, la funzione traslata nel tempo u(t − T ) ha trasformata ed ascissa
di convergenza pari a:
L[u(t − T )] = e −sT U (s), α = αu .
(2.102)
Dimostrazione
L[u(t − T )] =
=
Z ∞
u(t − T )e −st dt =
u(τ )e −s(τ +T ) dτ
−
0
−T
Z ∞
−sT
−sτ
e
u(τ )e
dτ = e −sT U (s), Re(s) > αu .
Z
∞
0−
⊓
⊔
Propriet`
a 2.8 (Trasformata di una derivata) Siano u(t) ed U (s) un segnale del tempo e la sua trasformata. Allora, la derivata temporale u(t)
˙
della funzione u(t) ha trasformata pari a:
d u(t)
= sU (s) − u(0− ).
(2.103)
L
dt
Dimostrazione Integrando per parti si trova:
Z ∞
Z ∞
∞
d
d
u(t)
=
u(t)e −st dt = u(t)e −st 0 + s
u(t)e −st dt = −u(0− ) + sU (s).
L
dt
0− dt
0−
⊓
⊔
La dimostrazione assume, implicitamente, che valga il seguente limite: limt→∞ u(t)e −st = 0. Perch´e ci`o `e
vero? Si veda anche l’esercizio proposto 2.14.
Propriet`
a 2.9 (Trasformata di una derivata seconda) Siano u(t) ed U (s) un segnale del tempo e la sua
d2
trasformata. Allora, la derivata temporale seconda 2 u(t) della funzione u(t) ha trasformata pari a:
dt
2
d
d
2
L
u(t) = s U (s) − su(0) −
u(t) |t=0 .
(2.104)
dt2
dt
Propriet`
a 2.10 (Trasformata di un integrale) Siano u(t) ed U (s) un segnale del tempo e la sua trasforRt
mata. Allora, l’integrale 0 u(τ )dτ ha trasformata pari a:
L
Z
0
t
1
u(τ )dτ = U (s).
s
(2.105)
Dimostrazione. Integrando per parti si trova:
∞
Z t
Z
Z
Z ∞ Z t
1 ∞
1
1 t
+
u(τ )dτ e −st
u(t)e −st dt = U (s).
L
u(τ )dτ
=
u(τ )dτ e −st dt = −
s
s
s
−
−
0
0
0
0
0
0
⊓
⊔
Propriet`
a 2.11 (Traslazione nel dominio di s (traslazione complessa)) Siano u(t) ed U (s) un segnale
del tempo e la sua trasformata. Allora, la funzione e at u(t) ha trasformata pari a:
L[e at u(t)] = U (s − a).
(2.106)
⊓
⊔
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-61
Propriet`
a 2.12 (Trasformata di un integrale di convoluzione) Siano u(t) ed y(t) due funzioni del tempo,
U (s) ed Y (s) le loro trasformate. Allora, l’integrale di convoluzione delle due funzioni del tempo, se esiste, ha
trasformata pari a:
Z
t
L
0
u(t − τ )y(τ )dτ = U (s)Y (s).
(2.107)
⊓
⊔
Propriet`
a 2.13 (Antitrasformata della derivata rispetto ad s) Siano u(t) ed U (s) un segnale del tempo
d
U (s) ha antitrasformata pari a:
e la sua trasformata. Allora, la funzione
ds
d
−1
L
U (s) = −tu(t).
(2.108)
ds
⊓
⊔
2.3.2
Trasformata di Laplace di segnali notevoli
Si danno ora le trasformate di alcuni segnali elementari, di interesse nello studio di sistemi dinamici.
Propriet`
a 2.14 (Gradino unitario) Sia δ−1 (t) la funzione gradino unitario:
0 t<0
,
δ−1 (t) =
1 t≥0
(2.109)
la sua trasformata di Laplace e la corrispondente ascissa di convergenza α sono date da:
L[δ−1 (t)] =
1
,
s
α = 0.
(2.110)
Dimostrazione
L [δ−1 (t)]
=
Z
∞
0−
e
−st
e −st
dt = −
s
∞
0−
=−
1
1
lim e −st − lim e −st = ,
t→0
s t→∞
s
Re(s) > 0.
⊓
⊔
Propriet`
a 2.15 (Rampa unitaria) Sia δ−2 (t) una rampa con pendenza unitaria:
0 t<0
δ−2 (t) =
,
t t≥0
(2.111)
la sua trasformata di Laplace e la corrispondente ascissa di convergenza sono:
L [δ−2 (t)] =
1
,
s2
α = 0.
(2.112)
Dimostrazione Si ottiene facilmente a partire dalla trasformata di un gradino, applicando la propriet`
a (2.10) di
trasformazione di un integrale. Si noti che δ−2 (t) = tδ−1 (t). Si noti inoltre che per il calcolo della trasformata
(2.112) si potrebbe applicare anche la propriet`
a 2.13, riscritta come:
L [tu(t)] = −
d
U (s).
ds
(2.113)
⊓
⊔
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-62
Propriet`
a 2.16 (Segnale esponenziale) Sia u(t) un segnale esponenziale con costante a positiva:
0
t<0
u(t) =
,
e at t ≥ 0
(2.114)
la sua trasformata di Laplace ed ascissa di convergenza sono:
L[e at δ−1 (t)] =
1
,
s−a
α = a.
(2.115)
Dimostrazione Innanzitutto, si noti che la funzione u(t) definita sopra coincide con la funzione e at δ−1 (t). Data
una generica funzione del tempo f (t), la notazione f (t)δ−1 (t) `e usata per indicare il fatto che la funzione in
esame `e nulla per tempi negativi.
∞
Z ∞
e −(s−a)t
=
L e at δ−1 (t) =
e at e −st dt = −
s − a 0−
0−
1 1
= −
lim e −(s−a)t − lim e −(s−a)t =
, Re(s) > a.
t→∞
t→0
s−a
s−a
⊓
⊔
Propriet`
a 2.17 (Segnale sinusoidale) Sia u(t) un segnale sinusoidale con pulsazione ω: u(t) = sin(ωt). La
sua trasformata di Laplace ed ascissa di convergenza sono:
L[sin(ωt)δ−1 (t)] =
ω
,
s2 + ω 2
α = 0.
(2.116)
La dimostrazione di questa propriet`
a `e lasciata per esercizio.
A scopo esemplificativo, la tabella 2.2 raccoglie le trasformate dirette ed inverse di alcune funzioni di uso
comune. Di norma, tali trasformate si ottengono facilmente a partire da quelle riportate sopra, tramite le
propriet`
a descritte in precedenza.
2.3.3
Alcuni teoremi
Nello studio dei sistemi dinamici sono utili alcuni teoremi sui legami tra i valori limite di un segnale del
tempo e della corrispondente trasformata di Laplace.
Teorema 2.3 (Valore finale) Sia u(t) una funzione del tempo, con trasformata U (s). Allora, il limite per t
che tende ad infinito di tale funzione, se esiste ed `e finito, `e dato da:
lim u(t) = lim+ sU (s).
t→∞
s→0
(2.117)
Si noti che il teorema `e applicabile solo se il punto s = 0 `e interno alla regione di convergenza, cio`e solo se
l’ascissa di convergenza `e nel semipiano complesso sinistro. In effetti, l’esistenza del limite di interesse, cio`e
limt→∞ u(t), garantisce tale posizione dell’ascissa di convergenza (e viceversa).
A titolo di esempio, per sottolineare l’importanza del commento precedente, si consideri la funzione u(t) =
sin(ωt). Apparentemente, si ha:
ω
= 0.
(2.118)
lim sin(ωt) = lim s 2
t→∞
s→0+ s + ω 2
Teorema 2.4 (Valore iniziale) Sia u(t) una funzione del tempo, con trasformata U (s). Allora il valore iniziale per t che tende a zero da destra di tale funzione, se esiste ed `e finito, `e dato da:
lim u(t) = lim sU (s).
t→0+
s→∞
(2.119)
Teorema R2.5 (Valore dell’integrale) Sia u(t) una funzione del tempo, con trasformata U (s). Allora, se
∞
l’integrale 0 u(t)dt esiste, il suo valore `e dato da:
Z ∞
(2.120)
u(t)dt = lim U (s).
0
s→0
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.3.4
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-63
Esponenziale di matrice e matrice di trasferimento per sistema LSTC
Si consideri il sistema dinamico:
x˙ = Ax, x(0) = x0 .
(2.121)
`
E noto che la soluzione di tale equazione differenziale omogenea, cio`e la risposta libera nello stato, `e descritta
dall’esponenziale di matrice:
x(t) = e At x0 , t ∈ R+ .
(2.122)
Per il calcolo dell’esponenziale di matrice e At si pu`
o far uso alla trasformata di Laplace. Infatti, per la
propriet`
a della trasformata di una funzione derivata, il sistema precedente, nel dominio di Laplace, pu`
o essere
scritto come:
sX(s) − x(0) = AX(s),
(2.123)
da cui segue facilmente:
(sI − A)X(s) = x(0).
(2.124)
X(s) = (sI − A)−1 x(0),
(2.125)
x(t) = L−1 (sI − A)−1 x(0),
(2.126)
e At = L−1 (sI − A)−1 .
(2.127)
Nel campo delle funzioni razionali (e non, si badi bene, nel campo dei reali o dei complessi), la matrice
(sI − A) `e non singolare, infatti il suo determinante `e il polinomio caratteristico del sistema, per cui l’equazione
precedente pu`
o essere risolta rispetto alla trasformata dello stato, trovando:
da cui, antitrasformando, segue:
e quindi, dal confronto con (2.122), segue:
Per quanto riguarda invece l’analisi di un sistema lineare a tempo continuo, il metodo della trasformata di
Laplace consente di determinare in modo semplice il legame ingresso-uscita, e cio`e la matrice di trasferimento,
di tale sistema. Si consideri allora il sistema:
x˙ =
Ax + Bu,
y
Cx + Du,
=
x ∈ Rn , u ∈ Rm ,
(2.128)
y ∈ Rp .
(2.129)
AX(s) + BU (s)
(2.130)
CX(s) + DU (s),
(2.131)
Nel dominio di Laplace il sistema `e quindi descritto da:
sX(s) − x(0) =
Y (s) =
e quindi, tenendo conto della non-singolarit`
a della matrice (sI − A) nel campo delle funzioni razionali, si trova:
X(s) =
Y (s) =
(sI − A)−1 BU (s) + (sI − A)−1 x(0),
C(sI − A)−1 BU (s) + DU (s) + C(sI − A)−1 x(0).
(2.132a)
(2.132b)
Le due equazioni (2.132) descrivono completamente il sistema: la (2.132a) la risposta completa nello stato,
la (2.132b) la risposta completa in uscita.
I termini delle (2.132) che descrivono l’effetto delle condizioni iniziali sullo stato e sull’uscita sono dette
risposte libere, nello stato e nell’uscita, rispettivamente:
Xℓ (s) = (sI − A)−1 x(0),
Yℓ (s) = C(sI − A)−1 x(0)
(2.133)
(2.134)
mentre i termini che descrivono l’effetto del segnale (vettoriale) di ingresso sullo stato e sull’uscita sono dette
risposte forzate, nello stato e nell’uscita, rispettivamente:
Xf (s) = (sI − A)−1 BU (s),
Yf (s) = C(sI − A)−1 BU (s) + DU (s).
(2.135)
(2.136)
Infine, la matrice di funzioni razionali
W (s) = C(sI − A)−1 B + D,
(2.137)
che descrive completamente il legame tra il segnale di ingresso e quello di uscita (nel caso di condizioni iniziali
nulle), `e detta matrice di trasferimento del sistema. Nel caso in cui sia il segnale di ingresso che quello di uscita
siano scalari, e cio`e nel caso m = 1 e p = 1, si parla di funzione di trasferimento.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.3.5
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-64
Antitrasformata di funzioni razionali proprie
Il legame ingresso-uscita di un sistema lineare stazionario a tempo continuo `e rappresentabile con una matrice
di funzioni razionali proprie nella variabile s. Tenendo conto della forma della trasformata di segnali esponenziali
` quindi
e polinomiali, anche la corrispondente risposta forzata in uscita `e descritta da una funzione razionale. E
di notevole importanza vedere come antitrasformare una funzione razionale.
Si consideri allora la seguente funzione Y (s), propria e con denominatore monico:
Y (s) =
βn sn + βn−1 sn−1 + · · · + β1 s + β0
,
sn + αn−1 sn−1 + · · · + α1 s + α0
(2.138)
e si assuma, per semplicit`a, che le radici del denominatore siano tutte distinte (e complesse coniugate a coppia,
se non reali), cio`e:
n
Y
(s − pi ), pi 6= pj , i 6= j.
(2.139)
sn + αn−1 sn−1 + · · · + α1 s + α0 =
i=1
Per ben noti risultati sulle funzioni razionali, la funzione Y (s) pu`
o essere scomposta in frazioni parziali
(detto anche sviluppo di Heaviside):
Y (s) = A0 +
A1
A2
An
+
+ ···+
,
s − p1
s − p2
s − pn
(2.140)
con A0 = lims→∞ Y (s) ed inoltre Ai = lims→pi (s − pi )Y (s), per il teorema dei residui. Il calcolo dei residui Ai ,
i = 1, 2, . . . , n, pu`
o essere verificato in modo immediato. Infatti dalla (2.139) si ha, per il generico residuo Ai :
(s − pi )Y (s) = (s − pi )A0 + (s − pi )
n
Y
Aj
+ Ai
s − pj
j=1
j 6= i
(2.141)
A partire dalla scomposizione in frazioni parziali (2.140), tenendo conto della propriet`
a di linearit`a (2.12) e
delle trasformate di segnali elementari, si vede immediatamente che il segnale y(t) `e dato da:
y(t) = A0 δ(t) + A1 e p1 t + A2 e p2 t + · · · + An e pn t .
(2.142)
Nel caso in cui alcuni degli zeri del denominatore della funzione razionale da anti-trasformare, (cio`e alcuni
poli della funzione), abbiano molteplicit`
a maggiore di uno, il procedimento `e analogo, salvo la forma della
espansione in frazioni parziali ed il calcolo dei residui.
Sia allora W (s) una generica funzione razionale propria,
W (s) =
βn sn + βn−1 sn−1 + · · · + β1 s + β0
.
sn + αn−1 sn−1 + · · · + α1 s + α0
(2.143)
W (s) pu`
o essere espansa in frazioni parziali nella forma:
W (s) = A0 +
qi
r X
X
i=1 j=1
Ai,j
,
(s − pi )j
(2.144)
dove r indica il numero di zeri distinti del denominatore della W (s), qi indica la molteplicit`
a di pi come zero di
tale denominatore, A0 indica il legame diretto, cio`e A0 = limt→∞ W (s), ed il generico residuo Ai,j `e calcolato
come:
dqi −j
1
qi
W
(s)]
.
(2.145)
[(s
−
p
)
Ai,j = lim
i
s→pi
(qi − j)! dsqi −j
In tal caso, tenendo conto delle varie propriet`
a della trasformata di Laplace, si ha:
−1
w(t) = L
[W (s)] = A0 δ(t) +
qi
r X
X
i=1 j=1
Ai,j
tj−1
e pi t .
(j − 1)!
(2.146)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-65
Funzione del tempo
Trasformata di Laplace
δ(t) (impulso di Dirac)
1
δ−1 (t) (gradino unitario)
1
s
δ−2 (t) = tδ−1 (t) (rampa unitaria)
1
s2
δ−1 (t − a) (gradino unitario con inizio in t = a)
1 −as
e
s
e at (esponenziale)
1
s−a
tn−1
e at (esponenziale polinomiale)
(n − 1)!
1
(s − a)n
sin(ωt) (sinusoide)
s2
ω
+ ω2
cos(ωt) (cosinusoide)
s
s2 + ω 2
p
1
p
e −ζωn t sin(ωn 1 − ζ 2 t)
2
ωn 1 − ζ
s2
e −at cos(ωt)
s+a
(s + a)2 + ω 2
e −at sin(ωt)
ω
(s + a)2 + ω 2
x(t)
˙
s X(s) - x(0)
Rt
s−1 X(s)
0
x(τ )dτ
1
(fattore trinomio)
+ 2ζωn s + ωn2
x(t − T ), T > 0
e −sT X(s)
e at x(t)
X(s − a)
Rt
X1 (s)X2 (s)
0
x1 (t − τ )x2 (τ )dτ
tx(t)
−
d
X(s) (derivata nel dominio di s)
ds
Tabella 2.2: Trasformate ed antitrasformate di Laplace di uso comune
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.3.6
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-66
Esercizi svolti sulla trasformata di Laplace
Esercizio 2.6 Si considerino le funzioni ξ1 (t) = e t x1 (0), ξ2 (t) = e −t x2 (0), con valore iniziale x1 (0) = x1,0 6= 0
e x2 (0) = x2,0 6= 0, e si definisca la seguente funzione:
y(t) = (1 + t)ξ1 (t)δ−1 (t) + t2 ξ2 (t − 1)δ−1 (t − 1),
t ∈ R,
dove δ−1 (·) `e la funzione gradino unitario. Calcolare la trasformata di Laplace della y(t).
Soluzione La trasformata della funzione y(t) si pu`
o calcolare usando le propriet`
a enunciate in precedenza, e
facendo uso delle trasformate notevoli riportate in tabella.
Si introducano le funzioni y1 (t) = e t x1,0 δ−1 (t) e y2 (t) = e −t x2,0 δ−1 (t). Il termine (1 + t)ξ1 (t)δ−1 (t) pu`
o
allora essere riscritto come:
(1 + t)ξ1 (t)δ−1 (t) = (1 + t)y1 (t),
mentre il secondo termine, tenendo conto che t2 = (t − 1)2 + 2(t − 1) + 1, pu`
o essere riscritto come:
t2 ξ2 (t − 1)δ−1 (t − 1) = (t − 1)2 y2 (t − 1) + 2(t − 1)y2 (t − 1) + y2 (t − 1).
La funzione di interesse `e quindi:
y(t) = (1 + t)y1 (t) + (t − 1)2 y2 (t − 1) + 2(t − 1)y2 (t − 1) + y2 (t − 1).
Dalle trasformate notevoli segue facilmente che:
Y1 (s) =
Y2 (s) =
x1,0
,
s−1
x2,0
.
L[y2 (t)] =
s+1
L[y1 (t)] =
Inoltre, tenendo conto della forma della trasformata della funzione esponenziale-polinomiale, si ha:
x1,0
L[ty1 (t)] =
,
(s − 1)2
x2,0
,
L[ty2 (t)] =
(s + 1)2
2x1,0
L[t2 y1 (t)] =
,
(s + 1)3
ed infine, tenendo conto della trasformata di una funzione traslata, si trova:
x2,0
L[y2 (t − 1)] = e −s
,
(s + 1)
x2,0
,
L[(t − 1)y2 (t − 1)] = e −s
(s + 1)2
2x1,0
L[(t − 1)2 y1 (t − 1)] = e −s
.
(s + 1)3
Complessivamente quindi, per linearit`a, la trasformata di Laplace della funzione y(t) `e pari a:
L[y(t)] =
x2,0
2x1,0
x1,0
x2,0
x1,0
+ e −s
+ e −s
.
+
+ e −s
s − 1 (s − 1)2
(s + 1)
(s + 1)2
(s + 1)3
Esercizio 2.7 Calcolare le trasformate di Laplace delle seguenti tre funzioni del tempo:
α(t+1)
e
t ≥ 0,
x1 (t) =
0
t < 0,
α(t−1)
e
t ≥ 1,
x2 (t) =
0
t < 1,
α(t−1)
e
t ≥ 0,
x3 (t) =
0
t < 0.
Discutere le differenze fra le varie trasformate.
(2.147)
♦
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-67
Soluzione. Ci si limita a calcolare la trasformata della funzione x1 (t). Il calcolo delle altre due trasformate
viene lasciato per esercizio. Si noti che gli intervalli di tempo in cui le due funzioni x2 (t) ed x3 (t) sono non nulle
non coincidono.
Per quanto riguarda la funzione x1 (t) si trova facilmente:
= L[e α(t+1) ] = L[e α e αt ]
1
= e α L[e αt ] = e α
.
s−α
L[x1 (t)]
♦
Esercizio 2.8 Calcolare la trasformata di Laplace delle seguenti funzioni:

t ∈ R, t < 0,
 0,
sin(2πt), t ∈ R, 1/2 ≥ t ≥ 0,
y(t) =

0,
t ∈ R, t > 1/2,
e

 0,
|cos(2πt)|,
x(t) =

0,
t ∈ R, t < 0,
t ∈ R, 1 ≥ t ≥ 0,
t ∈ R, t > 1,
dove | · | indica la funzione valore assoluto.
Soluzione. In questo caso ci si limita a considerare la funzione y(t). La trasformata del segnale x(t) pu`
o essere
calcolata in modo simile.
Si noti che la funzione in esame, riportata in figura 2.5, `e ottenibile combinando opportunamente funzione
sinusoidali troncate (cio`e, moltiplicate per un gradino) ed opportunamente traslate nel tempo.
Grafico della funzione u(t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 2.5: Esercizio (2.8): funzione y(t)
In particolare, la funzione `e ottenibile sommando alla funzione seno (troncata) la stessa funzione traslata in
avanti di un semiperiodo. Sia y1 (t) = sin(2πt)δ−1 (t) la funzione seno troncata, allora `e facile vedere che
y(t) = y1 (t) + y1 (t − 1/2).
(2.148)
Per quanto riguarda la trasformata di Laplace si ottiene allora, usando, nell’ordine, la propriet`
a di linearita, la
regola per il calcolo della trasformata di una funzione traslata e la trasformata della funzione seno:
L[y(t)] =
=
=
L[y1 (t)] + L[y1 (t − 1/2)]
(1 + e −s/2 )L[y1 (t)]
2π
.
(1 + e −s/2 ) 2
(s + 4π 2 )
♦
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-68
Esercizio 2.9 Calcolare la funzione antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni:
X1 (s) =
X2 (s) =
X3 (s) =
X4 (s) =
4
,
(s − 2)
5
,
(s − 2)(s + 3)
1
,
(s − 2)2
1
,
(s2 − 2)2
Soluzione. L’antitrasformata della funzione X1 (s) `e immediata:
4
L−1
= 4e 2t , t ∈ R+ .
(s − 2)
Per antitrasformare la funzione X2 (s) conviene effettuare prima l’espansione in frazioni parziali:
X2 (s) =
1
1
5
=
−
,
(s − 2)(s + 3)
(s − 2) (s + 3)
tenendo conto che i residui sono A1 = lims→2 (s − 2)X2 (s) = lims→2
= lims→−3
5
= 1, ed A2 = lims→−3 (s + 3)X2 (s)
(s + 3)
5
= −1. La funzione antitrasformata `e quindi:
(s − 2)
1
1
−1
−1
L [X2 (s)] = L
−
(s − 2) (s + 3)
=
e 2t − e −3t .
L’antitrasformata della funzione X3 (s) `e ancora immediata:
1
−1
−1
= te 2t ,
L [X3 (s)] = L
(s − 2)2
t ∈ R+ .
Infine, per antitrasformare la funzione X4 (s) conviene espandere in frazioni parziali, tenendo conto della
presenza di poli con molteplicit`
a maggiore di uno. Basandosi sulle relazioni (2.145) si trova:
X4 (s) =
con
A1,2
=
A1,1
=
A2,2
=
A2,1
=
A1,1
A2,1
A1,2
A2,2
+
,
+
+
(s − 2) (s − 2)2
(s + 2) (s + 2)2
(2.149)
1
1
=
,
(s + 2)2
16
1
−2
1
d
d 2
= lim
(s − 2) X4 (s) = lim
=− ,
lim
s→2 (s + 2)3
s→2 ds (s + 2)2
s→2 ds
32
1
1
lim (s + 2)2 X4 (s) = lim
=
,
s→−2
s→−2 (s − 2)2
16
d 1
1
−2
d
lim
= lim
(s + 2)2 X4 (s) = lim
=
.
2
3
s→−2 ds
s→−2 (s − 2)
s→−2 ds (s − 2)
32
lim (s − 2)2 X4 (s) = lim
s→2
s→2
Dalle relazioni precedenti segue quindi:
X4 (s)
=
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
+
16 (s − 2)2
32 (s − 2) 16 (s + 2)2
32 (s + 2)
da cui segue immediatamente:
x4 (t) =
1
1
1
1 2t
te − e 2t + te −2t + e −2t , t ∈ R+ .
16
32
16
32
♦
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-69
Esercizio 2.10 Data la seguente matrice

4
 1
B=
 1
1
0
4
0
0
0
0
4
0

0
0 

1 
4
determinare, per mezzo della trasformazione di Laplace, la matrice eBt , t ∈ R+ .
Soluzione. Il calcolo dell’esponenziale di matrice richiede l’inversione della matrice polinomiale:


s−4
0
0
0
 −1 s − 4
0
0 
,
(sI − B) = 
 −1
0
s − 4 −1 
−1
0
0
s−4
(2.150)
che, per la struttura della B, `e diagonale a blocchi. In tal caso, nel calcolo dell’inversa si pu`
o far uso della
seguente relazione, di immediata dimostrazione:
−1
M1,1
0
M1,1
0
, M −1 =
M=
,
(2.151)
−1
−1
−1
M2,1 M2,2
−M2,2
M2,1 M1,1
M2,2
in cui le matrici M1,1 , M1,2 e M2,2 sono generiche matrici, di dimensioni tra loro compatibili, ed inoltre le
matrici M1,1 ed M2,2 sono nonsingolari.
Facendo uso della regola precedente, l’inversa di interesse si pu`
o calcolare ponendo:




s−4
0
0
−1
s − 4 −1  , M2,1 =  −1  .
M1,1 = (s − 4), M2,2 =  0
(2.152)
0
0
s−4
−1
La matrice M2,2 si pu`
o invertire precedente allo stesso modo, oppure utilizzando la relazione:
M −1 =
adj(M )
.
det(M )
(2.153)
In ogni caso si trova:
−1
M1,1
1
,
=
(s − 4)
ed inoltre:
−1
M2,2
1
 (s − 4)


0
=


0

−1
−1
M2,2
M2,1 M1,1
per cui la matrice (sI − B)−1 `e data da:

−1
(sI − B)
1
(s − 4)
1
(s − 4)2





=
 s−3


 (s − 4)3

1
(s − 4)2




=



1
(s − 4)
1
(s − 4)2
1
(s − 4)
0




,



1
(s − 4)2 

s−3 
,
−

(s − 4)3 

1
−
(s − 4)2
1
(s − 4)
0
0
(2.154)
−
0
0
0
0
(2.155)
0
0
0
1
(s − 4)
1
(s − 4)2
1
(s − 4)
0






.





(2.156)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-70
Si tratta ora di calcolare la trasformata inversa dei vari elementi della matrice. Per il termine
s−3
, ricor(s − 4)3
dando che moltiplicare per s corrisponde a derivare nel tempo, si trova:
s−3
s
−3
d t2 4t
3t2 4t
1
−1
−1
−1
L
=
L
+
L
=
−
e
e = te 4t + t2 e 4t .
(s − 4)3
(s − 4)3
(s − 4)3
dt 2
2
2
(2.157)
La trasformata inversa appena determinata pu`
o essere calcolata anche utilizzando il metodo dell’espansione in
frazioni parziali. In questo caso si ha:
F (s) :=
A1
A3
A2
s−3
=
+
,
+
3
2
(s − 4)
(s − 4) (s − 4)
(s − 4)3
(2.158)
con
A3
=
A2
=
A1
=
(s − 4)3 F (s)|s=4 = (s − 3)|s=4 = 1,
d
(s − 4)3 F (s) |s=4 = 1,
ds
d2
(s − 4)3 F (s) |s=4 = 0,
2
ds
e quindi la trasformata inversa `e semplicemente data da:
s−3
1
−1
L
= te 4t + t2 e 4t .
3
(s − 4)
2
(2.159)
La trasformata inversa degli altri elementi `e invece immediata:
1
= e 4t ,
L−1
(s − 4)
1
L−1
= te 4t ,
(s − 4)2
e quindi:
e 4t
te 4t



e Bt = 
 te 4t + 1 t2 e 4t

2
te 4t
0
e 4t
0
0
0
0
0
e 4t
te 4t
0
0
e 4t



.


(2.160)
♦
Esercizio 2.11 Calcolare l’uscita di un sistema dinamico caratterizzato dalla funzione di trasferimento:
W (s) =
2s + 3
,
s3 + 6s2 + 11s + 6
per un segnale di ingresso sinusoidale di pulsazione ω compresa tra 0.1 e 100 rad/sec, ed assumendo condizioni
iniziali nulle.
Soluzione. Il calcolo dell’uscita del sistema in esame si pu`
o determinare facilmente, considerando la trasformata della funzione seno, ed espandendo in frazioni parziali il prodotto della funzione di trasferimento per la
trasformata della funzione seno.
La funzione di uscita ha quindi una trasformata di Laplace data da:
Y (s) =
s3
ω
2s + 3
.
2
2
+ 6s + 11s + 6 (s + ω 2 )
(2.161)
Tale trasformata, notando che i poli del sistema sono pari a −1, −2 e −3, pu`
o essere riscritta nella forma:
Y (s) =
A1
A2
A3
B1
B2
+
+
+
+
.
s + 1 s + 2 s + 3 (s − ω) (s + ω)
(2.162)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-71
I due residui relativi alla coppia di poli immaginari complessi coniugati ±ω sono anch’essi complessi coniugati,
e possono quindi essere scritti, in termini di modulo e fase, come
B1 =
B2 = −
1
Mω e ϕω
2
1
Mω e −ϕω .
2
Con questa notazione, i due termini dell’espansione in frazioni parziali relativi al segnale di ingresso divengono:
B2
Mω e ϕω
Mω e ϕω
B1
+
=
+
(s − ω) (s + ω)
2(s − ω) 2(s + ω)
(2.163)
e quindi la loro trasformata inversa `e data da:
ricordando che
1
Mω e ωt e ϕω − e −ωt e −ϕω = Mω sin(ωt + ϕω ),
2
sin(α) =
1
e α − e −α .
2
(2.164)
(2.165)
Complessivamente quindi, il segnale di uscita `e descritto dalla funzione:
y(t) = A1 e −t + A2 e −2t + A3 e −3t + Mω sin(ωt + ϕω ).
(2.166)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.4
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-72
Analisi modale per sistemi LSTC: approccio nel dominio di
Laplace
In questa sezione viene presentato un approccio nel dominio di Laplace per l’analisi modale di un sistema
lineare a tempo continuo.
Si consideri il sistema dinamico:
x˙ = Ax, x(0) = x0 .
(2.167)
` noto (si veda la sezione 2.3.4) che la soluzione di tale equazione differenziale omogenea, cio`e la risposta
E
libera nello stato, `e descritta dall’esponenziale di matrice:
x(t) = e At x0 ,
t ∈ R+ .
(2.168)
Per il calcolo dell’esponenziale di matrice e At si pu`
o ricorrere alla trasformata di Laplace. Infatti, per la
propriet`
a della trasformata di una funzione derivata, il sistema precedente, nel dominio di Laplace, pu`
o essere
scritto come:
sX(s) − x(0) = AX(s),
(2.169)
da cui segue facilmente:
(sI − A)X(s) = x(0),
(2.170)
X(s) = (sI − A)−1 x(0),
(2.171)
e quindi
da cui, per confronto con l’equazione (2.168), segue immediatamente:
e At = L−1 (sI − A)−1
(2.172)
Per determinare la forma assunta nel dominio del tempo dall’esponenziale di matrice a partire dalla sua
rappresentazione nel dominio di Laplace, conviene ricordare la seguente espressione per l’inversa di una matrice
M data:
adj (M )
M −1 =
,
(2.173)
det(M )
da cui segue:
(sI − A)−1 =
adj (sI − A)
.
det(sI − A)
(2.174)
L’esponenziale di matrice nel dominio di Laplace ha alcune propriet`
a che saranno utili per trattare in modo
completo l’analisi modale:
Propriet`
a 2.18 Gli elementi della matrice (sI − A)−1 sono funzioni razionali strettamente proprie, poich´e
adj (sI − A) `e una matrice polinomiale.
Propriet`
a 2.19 Le radici del denominatore di ciascun elemento della matrice (sI − A) sono un sottoinsieme
delle radici del polinomio det(sI − A), e quindi sono un sottoinsieme degli autovalori della matrice A.
Propriet`
a 2.20 Ciascun autovalore della matrice A `e radice del denominatore di almeno un elemento della
matrice (sI − A)−1 .
Per analizzare in dettaglio il comportamento della risposta libera di un sistema lineare a tempo continuo, `e
bene esaminare inizialmente alcuni casi particolari.
2.4.1
Il caso di autovalori distinti
Si consideri inizialmente il caso di un sistema con tutti gli autovalori distinti, e quindi il caso in cui il
denominatore della matrice esponenziale nel dominio di Laplace abbia tutte le radici del suo denominatore
distinte. In tale caso si pu`
o porre:
det(sI − A) =
n
Y
i=1
(s − λi ),
λi 6= λj , i 6= j,
(2.175)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-73
ove n indica l’ordine del sistema, e quindi il numero dei suoi autovalori.
n (s)
Sia p(s) = dpp(s) un generico elemento della matrice (sI − A)−1 , dopo eventuali cancellazioni di termini comuni numeratore/denominatore. La corrispondente antitrasformata, e cio`e il corrispondente elemento
dell’esponenziale di matrice, si pu`
o ottenere facilmente tramite espansione
in frazioni parziali.
Qm
Tenendo conto dell’ipotesi di autovalori distinti, si ha dp (s) = i=1 (s − λi ), (ove m ≤ n, perch´e possono
esservi cancellazioni) e quindi la seguente espansione in frazioni parziali5 :
A1
A2
Am
np (s)
=
+
+ ···+
s − λ1
s − λ2
s − λm
i=1 (s − λi )
p(s) = Qm
(2.176)
cui corrisponde, nel dominio del tempo, la funzione:
p(t) = A1 e λ1 t + A2 e λ2 t + · · · + Am e λm t
(2.177)
La singola funzione esponenziale e λi t `e detta modo naturale associato all’autovalore λi , e descrive appunto il
comportamento naturale del sistema, cio`e il comportamento proprio, specifico del sistema, indipendentemente
dalla sollecitazione eventualmente esercitata dall’ambiente esterno tramite il segnale di ingresso.
Gli elementi della matrice esponenziale sono quindi costituiti da combinazioni lineari di modi naturali,
ciascun modo associato ad un diverso autovalore, ed i coefficienti della combinazioni lineare sono i residui
dell’espansione in frazioni parziali dell’elemento stesso.
` importante esaminare con maggior dettaglio il caso in cui tra i valori autovalori vi siano coppie complesse
E
coniugate (`e ben noto che non vi possono essere autovalori complessi non “accompagnati” dal corrispondente
coniugato). Siano quindi λi = σ + ω e λj = λ∗i = σ − ω due autovalori complessi coniugati. I termini
corrispondenti dell’espansione in frazioni parziali sono dati da:
Aj
Ai
A∗i
Ai
+
=
+
,
s − λi
s − λj
s − λi
s − λ∗i
(2.178)
poich´e ad autovalori coniugati corrispondono residui coniugati. Nel dominio del tempo, indicando con Ai =
1
ϕi
il residuo, il suo modulo e la sua fase, si ottiene quindi:
2 Mi e
Ai
1
A∗i
1
L−1
= Mi e ϕi e σi t e ωt + Mi e −ϕi e σi t e −ωt
+
(2.179)
s − λi
s − λ∗i
2
2
cui corrisponde la funzione reale
Mi e σi t cos(ωt + ϕi ).
(2.180)
Ad una coppia di autovalori complessi coniugati `e quindi associata una funzione pseudo-periodica esponenzialecosinusoidale, con pulsazione pari alla parte immaginaria dell’autovalore e parametro del termine esponenziale
pari alla parte reale dell’autovalore.
` ben noto che la funzione cos(ωt + ϕi ) pu`
E
o essere ottenuta per combinazione lineare delle funzioni di base
cos(ωt) e sin(ωt), e `e quindi evidente che sono sempre presenti, per ciascun coppia di autovalori complessi
coniugati, sia la funzione cosinusoidale e σi t cos(ωt) che la sua ortogonale sinusoidale e σi t sin(ωt). In altre
parole, alla coppia di autovalori complessi coniugati λi e λ∗i sono associati i due modi naturali reali e σi t sin(ωt)
e e σi t sin(ωt).
Esempio 2.1 (Sistema con autovalori reali) Si consideri il sistema dinamico planare
0 1
x˙ =
x,
2 −1
(2.181)
il cui polinomio caratteristico `e dato da det(sI − A) = λ2 + λ − 2 = (λ + 2)(λ − 1), ed i cui autovalori sono
quindi λ1 = 1 e λ2 = −2. I modi naturali associati sono quindi le due funzioni esponenziali pure e t ed e −2t .
Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Laplace.
Seguendo la traccia delineata sopra, e ricordando le regole per l’espansione in frazioni parziali, si ottiene:
s
−1
s+1 1
(sI − A) =
,
adj (sI − A) =
, det(sI − A) = s2 + s − 2
(2.182)
−2 s + 1
2
s
5 Si noti che il termine A non `
e presente, poich´
e tutti gli elementi della matrice sI − A sono funzioni razionali strettamente
0
proprie
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-74
e quindi
(sI − A)−1

1
s2 + s − 2 
.

s
s+1
 s2 + s − 2
=

2

s2 + s − 2
(2.183)
s2 + s − 2
Espandendo in frazioni parziali il primo elemento della matrice si trova:
m1,1 (s) =
2 1
1 1
s+1
=
+
s2 + s − 2
3s−1 3s+2
(2.184)
e quindi, per il corrispondente elemento dell’esponenziale di matrice, si ha:
m1,1 (t) =
2 t 1 −2t
e + e
.
3
3
(2.185)
Procedendo in modo analogo per gli altri elementi si trova la seguente matrice esponenziale a tempo continuo:
e At
2 t 1 −2t
e + e
 3
3

=
2 t 2 −2t
e − e
3
3


1 t 1 −2t
e − e

3
3
,
1 t 2 −2t 
e + e
3
3
(2.186)
che, come `e immediato vedere, `e costituita da combinazioni lineari dei due modi naturali gi`a individuati sulla
base della semplice analisi degli autovalori.
♦
Esempio 2.2 (Sistema con autovalori complessi) Si consideri il sistema dinamico planare
x˙ =
−1 2
−2 −1
x,
(2.187)
il cui polinomio caratteristico `e dato da det(sI − A) = (λ + 1)2 + 4 = λ2 + 2λ + 5 = (λ + 1 − 2)(λ + 1 + 2), ed
i cui autovalori sono quindi λ1 = −1 − 2 e λ2 = −1 + 2. I modi naturali associati sono quindi le due funzioni
esponenziali-cosinusoiali e −t cos(2t) ed e −t sin(2t).
Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Laplace.
s + 1 −2
s+1
2
(sI − A) =
,
adj (sI − A) =
, det(sI − A) = (s + 1)2 + 4
(2.188)
2
s+1
−2 s + 1
e quindi
(sI − A)−1
s+1
 (s + 1)2 + 4
=

−2

(s + 1)2 + 4

2
2
(s + 1) + 4 
.

s
(2.189)
(s + 1)2 + 4
Ricordando le trasformate di segnali notevoli, per i vari elementi della matrice esponenziale si trova facilmente:
s+1
2
−1
−t
−1
L
= e cos(2t), L
= e −t sin(2t),
(2.190)
(s + 1)2 + 4
(s + 1)2 + 4
e quindi la matrice esponenziale, nel dominio del tempo, `e data da:
 −t

e cos(2t) e −t sin(2t)
,
e At = 
−t
−t
−e sin(2t) e cos(2t)
(2.191)
che, come `e immediato vedere, `e costituita da combinazioni lineari (in questo caso banali) dei due modi naturali
gi`a individuati sulla base della semplice analisi degli autovalori.
♦
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.4.2
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-75
Il caso di autovalori qualsiasi
Si passi ora ad esaminare il caso di un sistema dinamico con autovalori comunque piazzati nel piano complesso
(salvo, ovviamente, il vincolo della chiusura rispetto alla coniugazione complessa).
In tal caso il polinomio caratteristico pu`
o essere fattorizzato nella forma:
det(sI − A) =
r
Y
(s − λi )ni ,
i=1
r
X
ni = n
(2.192)
i=1
ove l’intero r indica il numero di autovalori distinti ed il generico intero ni indica la molteplicita dell’autovalore
λi . La molteplicit`
a di un autovalore come radice del polinomio caratteristico `e detta molteplict`
a algebrica
dell’autovalore.
Nel caso generale quindi, in virt`
u della forma (2.192) del polinomio caratteristico, l’esponenziale di matrice
nel dominio di Laplace `e costituita da funzioni razionali che possono avere radici del denominatore di molteplicit`
a
maggiore di uno.
Sia m(s) il minimo comune denominatore degli elementi di Exp(A, L), matrice di funzioni razionali. Esso
pu`
o essere fattorizzato nella forma:
m(s) =
r
Y
i=1
(s − λi )mi ,
1 ≤ mi ≤ n i .
(2.193)
In merito a tale fattorizzazione, `e importante notare come 1) ogni autovalore (cio`e, ogni radice di det(sI − A))
compare come radice di tale polinomio; 2) la molteplicit`
a mi di ciascun autovalore come radice del polinomio
in (2.193) pu`
o essere minore della molteplicit`
a algebrica.
Il polinomio m(s) `e detto polinomio minimo del sistema, e la molteplicit`
a mi dell’autovalore λi come radice
di m(s) `e detta molteplicit`
a come radice del polinomio minimo.
Si consideri ora la forma dell’esponenziale di matrice nel dominio del tempo, nel caso generale in esame. Sia
p(s) = np (s)/dp (s) il generico elemento della matrice (sI − A)−1 . Ricordando la forma della trasformata inversa
di una funzione razionale si ottiene, per un qualche intero q e per un opportuno ordinamento degli autovalori:
Aq,mq
Aq,1
A1,m1
np (s)
A1,1
+ +···+
+ ··· +
+ ··· +
p(s) = Q
=
m
m
1
i
(s − λ1 )
(s − λ1 )
(s − λq )
(s − λq )mq
(s − λi )
(2.194)
dove i q autovalori sono un sottoinsieme degli autovalori del sistema. Tenendo conto di tale forma dell’espansione
in frazioni parziali ed antitrasformando nel dominio del tempo si trova il generico elemento dell’esponenziale di
matrice:
p(t) = A1,1 e λ1 t + · · · +
Aq,mq mq −1 λq t
A1,m1 m1 −1 λ1 t
t
e
+ · · · + Aq,1 e λq t + · · · +
t
e .
(m1 − 1)!
(mq − 1)!
(2.195)
Gli elementi della matrice esponenziale sono quindi composti da combinazioni lineari di funzioni polinomialeesponenziale del tipo:
tµ e λt
(2.196)
in cui la potenza µ del termine polinomiale varia tra zero e la molteplicit`
a meno uno del corrispondente autovalore
come radice del polinomio minimo.
Analogamente a quanto gi`
a visto nel caso di autovalori distinti, nel caso di coppie di autovalori complessi
coniugati λ = σ + ω, di molteplicit`
a arbitraria m, si ottengono modi naturali costituiti da funzioni del tipo:
tµ e σt cos(ωt),
tµ e σt sin(ωt),
(2.197)
con la potenza µ del termine polinomiale compresa tra zero ed m − 1.
Le funzioni (2.196) sono i modi naturali associati ad autovalori reali di molteplicit`
a maggiore di uno.
Le funzioni (2.197) sono i modi naturali reali associati ad autovalori complessi coniugati di molteplicit`
a
maggiore di uno.
Riepilogando, ad ogni autovalore, reale o complesso, semplice o con moltiplicit`a maggiore di uno, possono
essere associati modi naturali di forma determinata solo dalla posizione dall’autovalore stesso nel piano complesso
ed in numero pari alla molteplicit`
a dell’autovalore come radice del polinomio minimo.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-76
Esempio 2.3 (Sistema planare con molteplicit`
a non unitaria) Si consideri il sistema dinamico planare
−1 1
x˙ =
x.
(2.198)
0 −1
il cui polinomio caratteristico `e dato da det(sI−A) = (λ+1)2 , ed i cui autovalori sono quindi λ = −1, molteplicit`
a
algebrica pari a due. I modi naturali associati potrebbero essere quindi le due funzioni esponenziali-polinomiale
e −t ed te −t , in dipendenza della molteplicit`
a dell’autovalore nel polinomio minimo.
Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Laplace.
s + 1 −1
s+1
1
(sI − A) =
,
adj (sI − A) =
, det(sI − A) = s2 + 2s + 1
(2.199)
0
s+1
0
s+1
e quindi
(sI − A)−1
s+1
 (s + 1)2
=

0

 
1
1
2
(s + 1)   (s + 1)
=
s+1  
0
(s + 1)2

1
(s + 1)2 
.

1
(2.200)
(s + 1)
Come si vede, in questo caso nel calcolo dell’esponenziale nel dominio di Laplace vi sono delle cancellazioni
polo/zero in alcuni termini. Il polinomio minimo, `e immediato vedere, coincide con il polinomio caratteristico, e
quindi i modi naturali sono dati sia dalla funzione esponenziale pura che dalla funzione esponenziale polinomiale.
Ricordando le trasformate di segnali notevoli, per i vari elementi della matrice esponenziale si trova facilmente:
1
1
−1
−t
−1
L
= e −t ,
(2.201)
= te , L
(s + 1)2
(s + 1)
e quindi la matrice esponenziale, nel dominio del tempo, `e data da:
 −t

e
te −t
,
e At = 
0
e −t
(2.202)
che, come `e immediato vedere, `e costituita da combinazioni lineari dei due modi naturali gi`a individuati sulla
base dell’analisi degli autovalori e del polinomio minimo.
♦
Esempio 2.4 Si consideri il sistema dinamico planare
−1 0
x˙ =
x,
0 −1
(2.203)
il cui polinomio caratteristico `e dato da det(sI − A) = (λ + 1)2 , ed i cui autovalori sono quindi λ = −1,
molteplicit`
a algebrica pari a due. Si noti come il polinomio caratteristico, e quindi gli autovalori e la loro
molteplicit`
a algebrica, siano del tutto identici all’esempio precedente. I modi naturali associati potrebbero
quindi essere le due funzioni esponenziali-polinomiale e −t ed te −t , o la sola funzione esponenziale e −t .
Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Laplace.
s+1
0
s+1
0
(sI − A) =
,
adj (sI − A) =
, det(sI − A) = s2 + 2s + 1
(2.204)
0
s+1
0
s+1
e quindi
(sI − A)−1
s+1
 (s + 1)2
=

0

0
s+1
(s + 1)2
1
  (s + 1)
=
 
0


0
1
(s + 1)


.

(2.205)
Come si vede, in questo caso nel calcolo dell’esponenziale nel dominio di Laplace vi sono delle cancellazioni
polo/zero in alcuni termini. Il polinomio minimo, `e immediato vedere, in questo caso non coincide con il
polinomio caratteristico, ed dato da: m(s) = (s + 1). L’autovalore ha quindi molteplicit`
a unitaria nel polinomio
minimo. Ci`o implica che il sistema ha un solo modo naturale, dato dalla funzione esponenziale pura e −t .
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-77
Ricordando le trasformate di segnali notevoli, per l’elemento significativo della matrice esponenziale si trova
facilmente:
1
−1
= e −t ,
L
(2.206)
(s + 1)
e quindi la matrice esponenziale, nel dominio del tempo, `e data da:
 −t

e
0
,
e At = 
−t
0
e
(2.207)
che, come `e immediato vedere, contiene solo il modo naturale gi`a individuato sulla base dell’analisi degli autovalori e del polinomio minimo.
♦
Si consiglia al lettore di svolgere i due esercizi seguenti, che saranno particolarmente utili nello studio di
condizioni di stabilit`a, nel seguito.
Esercizio 2.12 Si consideri il sistema dinamico planare
0 1
x˙ =
x,
0 0
e si conduca l’analisi modale.
Esercizio 2.13 Si consideri il sistema dinamico planare
0 0
x˙ =
x,
0 0
e si conduca l’analisi modale.
(2.208)
▽
(2.209)
▽
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.5
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-78
Analisi del comportamento ingresso-uscita per sistemi LSTC
In questa sezione si studier`
a il problema del calcolo della risposta in uscita di un sistema dinamico ad un
segnale u(·) applicato in ingresso, secondo lo schema di principio in figura 2.6.
Ingresso u(·) (noto)
✲
Uscita y(·) =?
✲
Sistema
Figura 2.6: Analisi ingresso-uscita di un sistema dinamico
Il sistema dinamico `e descritto da un modello differenziale del tipo seguente
x˙ =
Ax + Bu,
y
Cx + Du,
=
x ∈ Rn , u ∈ Rm ,
y ∈ Rp ,
la cui rappresentazione nel dominio di Laplace, gi`a determinata in precedenza, `e data dalla risposta completa
nello stato (comprendente sia la risposta libera Xℓ gi`a studiata con l’analisi modale sia la risposta forzata Xf ):
X(s) = (sI − A)−1 x(0) + (sI − A)−1 BU (s),
X(s) = Xℓ (s) + Xf (s),
Xℓ (s) := (sI − A)−1 x(0),
Xf (s) := (sI − A)−1 BU (s),
e dalla risposta completa in uscita, che pu`
o anch’essa essere decomposta nella risposta libera Yℓ ed in quella
forzata Yf (si vedano anche la sezione 2.1 e la sezione 2.3.4)
Y (s)
= C(sI − A)−1 x(0) + [C(sI − A)−1 B + D]U (s),
Y (s)
= Yℓ (s) + Yf (s),
Yℓ (s) = C(sI − A)−1 x(0),
Yf (s) = C(sI − A)−1 BU (s) + DU (s).
Si noti come, dalla linearit`a dell’operatore trasformata, discenda in modo immediato il principio sovrapposizione degli effetti: dato un segnale u(·), combinazione lineare di segnali elementari u1 (·) ed u2 (·), la risposta
complessiva in uscita `e pari alla somma delle risposte ai singoli segnali elementari:
U (s) = L {u(t)} = L {c1 u1 (·) + c2 u2 (·)} = c1 U1 (s) + c2 U2 (s)
Y (s) = W (s)U (s) = W (s) · (c1 U1 (s) + c2 U2 (s)) = c1 Y1 (s) + c2 Y2 (s)
(2.210a)
(2.210b)
In questa sezione l’interesse specifico `e per l’analisi della risposta forzata, che `e determinata in modo immediato (nel dominio di Laplace, si veda ancora la sezione 2.3.4) come prodotto tra la funzione di trasferimento e
la trasformata del segnale di ingresso:
Yf (s) = C(sI − A)−1 BU (s) + DU (s) = C(sI − A)−1 B + D U (s) = W (s)U (s)
(2.211)
W (s) =
C(sI − A)−1 B + D.
(2.212)
Si noti come, in virt`
u delle propriet`
a dell’esponenziale di matrice nel dominio di Laplace, la funzione di
trasferimento sia una matrice di funzioni razionali.
` molto importante sottolineare le seguenti caratteristiche della risposta forzata (e quindi della matrice di
E
trasferimento quale modello descrittivo): da un lato ne sottolineano l’estrema importanza, dall’altro evidenziano
alcuni limiti ed elementi di attenzione.
Commento 2.3
• La risposta forzata di un sistema dinamico descrive il legame ingresso-uscita del sistema stesso.
• La risposta forzata di un sistema dinamico assume condizioni iniziali nulle.
• La risposta forzata di un sistema dinamico pu`
o trascurare alcune componenti del comportamento dinamico
interno (si veda, ad esempio il circuito elettrico riportato nell’esercizio 2.7.1 e la Fig. 2.39).
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-79
Si consideri ora, per semplicit`a e senza perdit`
a di generalit`a, il caso di un sistema scalare (dal punto di vista
ingresso-uscita, cio`e con un solo ingresso ed una sola uscita). Sia
W (s) = c(sI − A)−1 b + d =
c · adj (sI − A) · b
+d
det(sI − A)
(2.213)
la sua funzione di trasferimento che, come gi`
a notato in precedenza, `e una funzione razionale propria (se d 6= 0)
o strettamente propria (se d = 0).
Commento 2.4 Per semplicit`a notazionale, l’ordine del denominatore di una generica funzione di trasferimento
(e quindi il numero di poli) verr`a ancora indicato con la lettera n, analogamente alla notazione utilizzata per
indicare la dimensione dello spazio di stato di un generico sistema (e quindi il numero di autovalori). Si ricordi
tuttavia che, in generale, il numero di poli pu`
o essere minore del numero di autovalori. Si veda, a titolo di
esempio, il gi`a citato esercizio 2.7.1.
2.5.1
Risposta impulsiva
L’analisi della risposta forzata di norma viene condotta considerando alcuni segnali notevoli. Tra le possibile
risposte forzate, la pi`
u semplice `e la risposta impulsiva, e cio`e la risposta ad un segnale di ingresso dato da un
impulso di Dirac δ(t) (illustrato nella figura 2.7 insieme ad una possibile sequenza di funzioni approssimanti).
15
10
5
0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 2.7: Impulso di Dirac.
L’impulso di Dirac `e un segnale di estrema importanza, bench´e non fisicamente realizzabile. Una delle sue
caratteristiche principali consiste nel descrivere una variazione istantanea dell’energia interna del sistema. Una
seconda caratteristica fondamentale `e la sua propriet`
a campionatrice.
Una descrizione di tale segnale, del tutto qualitiva e informale, `e riportata in figura 2.7; per una definizione
rigorosa dell’impulso di Dirac si rimanda a testi di teoria dei segnali o ad altri testi di teoria dei sistemi. Qui,
ci si limita a sottolineare che la trattazione formale di questo argomento richiede l’introduzione del concetto di
distribuzione, che estende e generalizza la nozione classica di funzione.
Ricordando come la trasformata di Laplace di un impulso sia pari ad uno, si ricava la considerazione che la
risposta impulsiva, e cio`e la risposta del sistema ad una variazione istantanea e finita dell’energia interna, ha
una forma (cio`e un andamento nel tempo) che dipende solo dalle caratteristiche del sistema stesso.
Esaminando in dettaglio tale uscita, si trova infatti:
Y (s) = W (s)U (s) ⇒ Yimp (s) = W (s) · 1.
(2.214)
Assumendo, per semplicit`a, un sistema con funzione di trasferimento strettamente proprio e con tutti i poli
distinti, si ha:
n
Yimp (s) =
X Ai
βn−1 sn−1 + βn−2 sn−2 + · · · + β1 s + β0
=
,
n
n−1
s + αn−1 s
+ · · · + α1 s + α0
(s − pi )
i=1
(2.215)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-80
da cui segue, per la risposta nel dominio del tempo:
−1
yimp (t) = L
[Yimp (s)] =
n
X
Ai e pi t .
(2.216)
i=1
Poich`e i poli sono un sottoinsieme degli autovalori, le funzioni che appaiono nella risposta impulsiva sono
un sottoinsieme dei modi naturali del sistema: la risposta impulsiva contiene tutti, e soli, i modi naturali
del sistema che influenzano il legame ingresso-uscita. Nel caso in cui alcuni poli siano complessi coniugati a
coppie, i modi naturali relativi possono essere raccolti ed espressi in termini reali, sotto forma di funzioni di
tipo esponenziale-sinusoidale e esponenziale-cosinusoidale.
Il comportamento asintotico della risposta impulsiva si ricava immediatamente dalla caratterizzazione rispetto
alla convergenza dei modi naturali che la compongono. Se tutti tali modi naturali sono convergenti, la risposta
impulsiva tende asintoticamente a zero.
Nel caso di poli qualsiasi, e quindi con molteplicit`
a anche non unitaria, si trova facilmente6 :
Yimp (s) = W (s) =
qi
r X
X
i=1 j=1
e quindi, nel dominio del tempo:
yimp (t) =
qi
r X
X
Ai,j
,
(s − pi )j
Ai,j
i=1 j=1
r
X
qi = n,
(2.217)
i=1
tj−1
e pi t .
(j − 1)!
(2.218)
La risposta `e ancora una combinazione lineare di modi naturali, che possono essere di qualsiasi tipo, e
quindi anche di tipo polinomiale-esponenziale. Considerazioni analoghe valgono anche nel caso di poli complessi
coniugati non semplici.
Anche in questo caso, il comportamento asintotico della risposta impulsiva si ricava immediatamente dalla
caratterizzazione rispetto alla convergenza dei modi naturali che la compongono. Se tutti tali modi naturali
sono convergenti, la risposta impulsiva tende asintoticamente a zero. In tutti i casi, la presenza anche di un solo
modo limitato o divergente, e cio`e di un solo autovalore con parte reale non negativa, rende l’intera risposta
impulsiva non convergente.
Infine, `e facile vedere, dal confronto tra la risposta impulsiva in uscita e la risposta libera in uscita, rispettivamente date da:
Yimp (s) = c(sI − A)b · 1, Yℓ (s) = c(sI − A)x(0)
(2.219)
come la risposta impulsiva possa essere interpretata anche come una risposta libera a partire dalla condizione
iniziale x(0) = b. Qualitativamente, l’impulso di Dirac trasferisce istantaneamente al sistema una quantit`
a di
energia pari a quella descritta da una condizione iniziale x(0) = b.
Esempio 2.5 (Circuito elettrico: modello I/O) Si consideri il circuito elettrico in figura 2.8, di cui si `e gi`a
determinato il modello nello spazio di stato nel primo capitolo (sezione 1.4).
iG
C
L
R
Figura 2.8: Circuito elettrico a componenti passivi.
Procedendo al calcolo della funzione di trasferimento, a partire dal modello seguente, gi`a determinato:
6 si
x˙
= Ax + bu
y
= cx
assume ancora una funzione di trasferimento strettamente propria
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC


A=

si trova:
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-81
−
1
RC
1
L

1
C 
,

0

1


b =  C ,
0

−
c=
1
0
,
(2.220)
s/C
.
(2.221)
1
1
s2 +
s+
RC
LC
In modo dettagliato, i vari elementi che concorrono al calcolo della matrice di trasferimento sono l’aggiunta
di (sI − A):


 
1
1
1
s+
s
−



RC C 
C
,
=
adj (sI − A) = adj 
(2.222)



1
1 
1
s
s+
−
L
L
RC
il polinomio c adj (sI − A)b, che costituisce il numeratore



1
1
s
−


C
 C 
(2.223)
c adj (sI − A)b = 1 0 
 , = s/C
 1
1 
0
s+
L
RC
W (s) = W (s) =
ed infine in denominatore:
1
1
s+
.
(2.224)
RC
LC
Assumendo i valori R = 0.1, C = 1 ed L = 1 per i parametri che caratterizzano il circuito, si ottiene:
det(sI − A) = s2 +
W (s) =
s
s2 + 10s + 1
(2.225)
i cui poli sono dati da:
s2 + 10s + 1 = (s + 9.9)(s + 0.1); p1 = −9.9, p2 = −0.1.
(2.226)
Poich´e i due poli (e quindi i due autovalori) sono reali e negativi, il sistema ha due modi convergenti.
Procedendo al calcolo della risposta impulsiva si ottiene:
Yimp (s) = W (s) · 1 =
s2
s
A1
A2
1.01
0.01
=
+
≃
−
,
+ 10s + 1
(s + 9.9) (s + 0.1)
(s + 9.9) (s + 0.1)
avendo calcolato i residui corrispondenti:
s s
=
≃ 1.01,
A1 = (s + 9.9)
(s + 9.9)(s + 0.1) s=−9.9
s + 0.1 s=−9.9
s
s A2 = (s + 0.1)
=
≃ −0.01.
(s + 9.9)(s + 0.1) s=−0.1
s + 9.9 s=−0.1
(2.227)
(2.228a)
(2.228b)
La risposta impulsiva nel dominio del tempo `e quindi:
yimp (t) = 1.01e −9.9t − 0.01e −0.1t ,
(2.229)
ed il corrispondente andamento nel tempo `e illustrato in figura 2.9.
Nel caso in cui il sistema fosse caratterizzato dai seguenti diversi parametri R = 1, C = 1 ed L = 1, si
otterrebbe la seguente funzione di trasferimento:
W (s) =
s
s2 + s + 1
(2.230)
cui corrispondono poli complessi coniugati:
(s2 + s + 1) = (s + 0.5 + 0.866)(s + 0.5 − 0.866)
(2.231)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-82
Riposta impulsiva
1
0.9
0.8
0.7
Uscita
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
Tempo (secs)
Figura 2.9: Risposta impulsiva per il circuito in figura 2.8 (R = 0.1, C = 1, L = 1).
Risposta Impulsiva
1
0.8
Ampiezza
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0
1
2
3
4
5
Tempo (sec)
6
7
8
9
10
Figura 2.10: Risposta impulsiva per il circuito in figura 2.8 (R = 1, C = 1, L = 1).
e quindi modi naturali pseudo-periodici (cio`e esponenziale-periodico), con termine reale e −0.5t e termini periodici
di pulsazione ω = 0.866.
In tal caso, la risposta impulsiva ha l’andamento illustrato nella figura 2.10.
Per completezza, in figura 2.11 viene riportato l’andamento della risposta impulsiva nel caso di un circuito
costituito dal solo palallelo L − C, senza resistenza eletttrica. Si noti il comportamento periodico della risposta
impulsiva, dovuto all’assenza, in questo caso, di termini dissipativi.
Esempio 2.6 (Circuito elettrico: modello diretto ingresso/uscita)
Il modello dinamico, in termini di funzione di trasferimento, pu`
o essere determinato direttamente, introducendo modelli ad “impedenza” dei vari componenti elettrici. Tale approccio consente di giungere pi`
u velocemente alla determinazione della funzione di trasferimento, ma perde la completezza modellativa dello spazio di
stato.
A titolo esemplificativo, si consideri il sistema in figura 2.12, in cui i componenti vengono modellati come
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-83
Riposta impulsiva
1
0.8
0.6
0.4
Uscita
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
5
10
15
Tempo (sec)
20
25
30
Figura 2.11: Risposta impulsiva per il circuito in figura 2.8 (R = ∞, C = 1, L = 1).
C
vG
R
Figura 2.12: Circuito elettrico a componenti passivi: modello ingresso/uscita
“impedenze”, introducendo un modello equivalente nel dominio di Laplace:
Resistenza:
vR (t) = RiR (t) → VR (s) = RIR (s),
(2.232a)
Induttanza:
vL (t) = L
(2.232b)
d iL (t)
→ VL (s) = sLIL (s),
dt
d vC (t)
iC (t) = C
→ IC (s) = sCVC (s).
dt
Capacit`
a:
(2.232c)
Assumendo come grandezze di interesse le tensioni di ingresso ed uscita:
• Tensione di ingresso u(t) → U (s)
• Tensione di uscita y(t) = vR (t) → Y (s) = VR (s)
l’uso delle leggi di Kirchoff
U (s) = VC (s) + VR (s);
IC (s) = IR (s) = I(s),
(2.233)
e delle relazioni (2.232) porta in modo immediato al seguente modello ingresso-uscita:
I(s)
+ VR (s)
sC
sRC + 1
VR (s) 1
+ VR (s) =
VR (s)
=
R sC
sRC
cui corrisponde la seguente funzione di trasferimento
U (s) = VC (s) + VR (s) =
VR (s) =
sRC
U (s),
sRC + 1
W (s) =
sRC
.
sRC + 1
(2.234)
(2.235)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.5.2
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-84
Risposta indiciale
Un secondo segnale notevole, molto importante per lo studio del comportamento di sistemi dinamici, `e il
gradino unitario, che verr`a indicato con δ−1 (t), e che pu`
o essere interpretato anche come integrale dell’impulso
di Dirac. In tal caso l’uscita forzata viene indicata con il termine risposta al gradino, o risposta indiciale.
1
La trasformata di Laplace del gradino `e pari a , e quindi la risposta forzata `e data da:
s
1
Ygra (s) = W (s) .
(2.236)
s
La risposta nel dominio del tempo di ottiene facilmente per espansione in frazioni parziali e trasformazione
inversa. Si assuma inizialmente un sistema con funzione di trasferimento priva di poli nell’origine. In tal caso
la risposta indiciale pu`
o essere espansa in frazioni parziali:
Ygra (s) =
qi
r X
X
i=1 j=1
Ai,j
B
+
(s − pi )j
s
(2.237)
dove r indica il numero di poli distinti del denominatore della W (s), qi indica la molteplicit`
a del polo pi , ed il
generico residuo Ai,j `e calcolato come indicato nella condizione (2.145).
La risposta indiciale nel dominio del tempo `e quindi:
ygra (t) = L−1 [Ygra (s)] =
qi
r X
X
Ai,j
i=1 j=1
tj−1
e pi t + Bδ−1 (t).
(j − 1)!
(2.238)
Si vede facilmente i termini che costituiscono la risposta indiciale possano essere organizzati in due gruppi.
Il primo gruppo contiene tutti i termini che derivano dai poli della funzione di trasferimento e coincide, a meno
dei coefficienti della combinazione lineare, con la risposta impulsiva:
ygra,t (t) =
qi
r X
X
Ai,j
i=1 j=1
tj−1
e pi t ,
(j − 1)!
(2.239)
mentre il secondo gruppo contiene solo un termine della stessa forma del segnale di ingresso ed ampiezza variata:
ygra,p (t) = Bδ−1 (t).
(2.240)
L’ampiezza B con cui il segnale di ingresso appare in uscita `e pari al guadagno in continua del sistema:
B := s · Ygra (s)|s=0 = W (s)|s=0 = W (0).
(2.241)
Analogamente a quanto accade per la risposta impulsiva (e pi`
u in generale per l’antitrasformata di una generica funzione razionale), nel caso di coppie di poli complessi coniugati le corrispondenti funzioni esponenziale
possono essere raccolte nella forma di funzioni reali di tipo esponenziale-sinusoidale, eventualmente con termini
polinomiali se i poli non sono semplici.
La risposta indiciale quindi pu`
o essere decomposta nella somma di termini che descrivono la risposta impulsiva, e cio`e di modi naturali, e di un termine con la stessa forma dell’ingresso. Nel caso particolare in cui la
risposta impulsiva sia convergente a zero, si ottiene una risposta che converge asintoticamente ad un gradino di
ampiezza B = W (0). In tal caso, si suole indicare con la dizione di risposta transitoria la somma ygra,t (t) di
tutti i termini che dipendono dai poli del sistema, mentre il termine derivante dall’ingresso viene indicato con
la dizione di risposta permanente:
Se
ygra,t (t)
=
lim ygra,t (t) = 0 ⇒
t→∞
qi
r X
j−1
X
Ai,j
i=1 j=1
ygra,p (t)
ygra (t) = ygra,t (t) + ygra,p (t),
t
e pi t risposta transitoria
(j − 1)!
= Bδ−1 (t) risposta permanente.
(2.242)
(2.243)
(2.244)
Il caso di un sistema con un polo nullo viene lasciato per esercizio al lettore (una situazione simile verr`a
discussa nel paragrafo 2.5.4).
Nello studio dei sistemi dinamici, e pi`
u in particolare nell’analisi e nel progetto di sistemi di controllo, `e molto
importante considerare la risposta al gradino per un sistema del primo e del secondo ordine. I comportamenti
tipici sono descritti dalle seguenti figure. La risposta indiciale pu`
o essere influenzata in modo significativo anche
dalla presenza di uno zero nella funzione di trasferimento, come descritto dalla figura 2.16.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-85
Risposta indiciale sistema del primo ordine (p=−1)
1
0.9
0.8
0.7
Uscita
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
Tempo (secs)
4
5
6
Figura 2.13: Risposta indiciale di un sistema del primo ordine
Risposta indiciale secondo ordine (p =−1, p =−2)
Risposta indiciale secondo ordine (p =−1, p =−10)
2
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
Uscita
Uscita
1
1
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
2
4
Tempo (secs)
6
2
0
0
2
4
Tempo (secs)
6
Figura 2.14: Risposta indiciale di un sistema del secondo ordine, con poli reali.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-86
Risposta indiciale secondo ordine (p1=−1+5j, p2=−1−5j)
1.6
1.4
1.2
Uscita
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
Tempo (secs)
4
5
6
Figura 2.15: Risposta indiciale di un sistema del secondo ordine, con poli complessi.
Risposta indiciale (z1=−5 (r); z1=−3 (b); z1=−1 (v))
1.4
1.2
1
Uscita
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
Tempo (secs)
4
5
6
Figura 2.16: Risposta indiciale di un sistema del secondo ordine, al variare della posizione dello zero (poli
p1 = −2, p2 = −4).
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.5.3
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-87
Risposta ad ingresso sinusoidale
Il segnale sinusoidale `e uno dei pi`
u rilevanti, anche in considerazione del suo ruolo fondamentale come
componente di base nella costruzione di segnali arbitrari, secondo quanto noto dalla teoria dell’analisi armonica
dei segnali.
Per lo studio della risposta forzata in uscita si consideri quindi un sistema dinamico descritto dalla seguente
funzione di trasferimento:
βn sn + βn−1 sn−1 + · · · + β1 s + β0
W (s) = n
.
(2.245)
s + αn−1 sn−1 + · · · + α1 s + α0
Applicando in ingresso un segnale sinusoidale di ampiezza unitaria e pulsazione pari ad ω rad/s, con trasformata come sotto indicato:
ω
,
(2.246)
u(t) = sin(ωt),
U (s) = 2
s + ω2
assumendo che il sistema non abbia poli immaginari coniugati posti in ±ω, si ottiene la seguente risposta
forzata, nel dominio di Laplace:
r
Ysin (s) =
qi
X X Ai,j
βn sn + βn−1 sn−1 + · · · + β1 s + β0
ω
B1
B2
· 2
=
+
+
(2.247)
n
n−1
2
j
s + αn−1 s
+ · · · + α1 s + α0
s +ω
(s − pi )
s − ω s + ω
i=1 j=1
che, nel dominio del tempo, pu`
o essere scritta nella forma seguente, raggruppando insieme i termini che derivano
dai poli del sistema e quelli che derivano dai poli della trasformata del segnale di ingresso:
ysin (t)
qi
r X
X
=
Ai,j
i=1 j=1
tj−1
e pi t + B1 e ωt + B2 e −ωt , .
(j − 1)!
dove la somma
qi
r X
X
Ai,j
i=1 j=1
tj−1
e pi t
(j − 1)!
raccoglie tutti i termini generati dal sistema (cio`e tutti i modi naturali presenti nella risposta forzata in uscita),
mentre la somma
B1 e ωt + B2 e −ωt
rappresenta il contributo dovuto al segnale di ingresso.
Il calcolo dei residui procede come nel caso generale. In particolare i residui Ai , relativi ai poli del sistema,
richiedono, nel caso generale, l’uso delle relazioni valide per punti singolari non semplici, mentre i residui B1 e
B2 , relativi ai due termini caratterizzanti il segnale di ingresso, possono essere calcolati sulla base delle relazioni
per i poli semplici, in considerazione dell’ipotesi precedente di non coincidenza tra i poli del segnale e quelli del
sistema. Si ottiene quindi:
1
dqi −j
qi
Ai,j = lim
Y
(s)]
,
(2.248)
[(s
−
p
)
i
s→pi
(qi − j)! dsqi −j
B1
= [(s − ω)Y (s)]s=ω = (s − ω) W (s)
=
ω
W (s)
(s + ω)
dove
B2
= W (ω)
s=ω
Mω := |W (ω)|,
ω
(s − ω)(s + ω)
=
ω
W (s)
(s − ω)
dove ancora
s=−ω
(2.249a)
s=ω
ω
1
1
=
W (ω) =
Mω e ϕω ,
2ω
2
2
ϕω := ∠W (ω),
ω
(s − ω)(s + ω) s=−ω
1
ω
1
= − W (−ω) = − Mω e −ϕω ,
= W (−ω) · −
2ω
2
2
= [(s + ω)Y (s)]s=−ω = (s + ω) W (s)
Mω := |W (ω)|,
ϕω := ∠W (ω).
(2.249b)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-88
La risposta forzata ad ingresso sinusoidale, nel dominio del tempo, vale quindi:
ysin (t)
=
ysin,t (t) + ysin,p (t)
ysin,t (t)
=
qi
r X
X
Ai,j
i=1 j=1
ysin,p (t)
=
=
(2.250a)
tj−1
e pi t
(j − 1)!
B1 e ωt + B2 e −ωt
Modi del sistema
(2.250b)
Modi del segnale di ingresso
(2.250c)
1
Mω e ωt+ϕω − e −ωt−ϕω = Mω sin(ωt + ϕω ),
2
in cui il termine ysin,t (t) raccoglie tutti i modi naturali del sistema e coincide, a meno dei coefficienti della
combinazione lineari, cio`e a meno dei residui, con la risposta impulsiva, mentre il termine ysin,p (t) contiene una
replica del segnale di ingresso, modificato in ampiezza e fase in modo dipendente solo dal valore della funzione
di trasferimento alla pulsazione del segnale stesso.
Se il sistema ha tutti i poli con parte reale negativa (cio`e, come vedremo in seguito, se il sistema `e esternamente stabile), allora, e solo in questo caso, il termine ysin,t (t) pu`
o prendere il nome di risposta transitoria e
converge a zero esponenzialmente (in modo del tutto analogo a quanto visto per il caso dell’ingresso a gradino).
In tal caso, il termine ysin,p (t) `e il solo segnale che “permane” dopo l’esaurimento del transitorio, ed `e la
risposta permanente per ingressi sinusoidali.
Si noti come, sia nel caso di ingressi sinusoidali sia nel caso precedente di ingressi a gradino, la risposta
transitoria esiste solo se la risposta impulsiva converge asintoticamente a zero. In tal caso, la risposta transitoria e
la risposta impulsiva sono costruite dalle stesse funzioni elementari, i modi naturali associati ai poli del sistema,
combinate linearmente con diversi coefficienti (i residui relativi). Il concetto di risposta permanente `e pi`
u
articolato di quanto detto sommariamente nelle righe precedenti, e verr`a ripreso pi`
u estesamente nella sezione
2.5.5.
2.5.4
Il caso dei poli immaginari
Infine, alcune considerazione circa l’ipotesi di poli della funzione di trasferimento non coincidenti con i
poli del segnale. Nel seguito si considera il caso in cui il segnale di ingresso sia sinusoidale, rimandando ad
approfondimenti personali il caso della risposta indiciale per un sistema con un polo nullo.
Si consideri un sistema caratterizzato da due poli immaginari in ±ω. Nell’espansione in frazioni parziali
della risposta forzata riportata in (2.247) non `e pi`
u possibile separare tra loro i termini che derivano da tali poli
e quelli che derivano dai poli del segnale. La risposta forzata, nel dominio di Laplace, deve quindi essere scritta
nella forma seguente:
Y (s)
=
=
ω
βn sn + βn−1 sn−1 + · · · + β1 s + β0
· 2
n
n−1
s + αn−1 s
+ · · · + α1 s + α0
s + ω2
q
r
i
X X Ai,j
B1,1
B2,1
B1,2
B2,2
+
+
+
+
j
2
(s
−
p
)
(s
−
ω)
(s
−
ω)
(s
+
ω)
(s
+ ω)2
i
i=3 j=1
(2.251a)
(2.251b)
avendo assunto, senza perdita di generalit`
a, che i poli p1 e p2 siano i due poli immaginari in ±ω. La risposta
forzata in uscita allora conterr`
a termini che derivano dai poli non immaginari del sistema, e termini che derivano
dall’effetto congiunto dei poli in ±ω. Tali termini, nel dominio del tempo, danno luogo ad una funzione
sinusoidale di fase ed ampiezza opportune (in corrispondenza delle frazioni parziali con poli semplici) ed una
funzione rampa-sinusoidale (in corrispondenza delle frazioni parziali con poli multipli) del tipo:
M2 t sin(ωt + ϕ2 )
(2.252)
la cui ampiezza cresce al crescere del tempo secondo una rampa. In tal caso la risposta permanente non `e ben
definita, ed infatti la risposta impulsiva non `e convergente a zero. La risposta impulsiva infatti, a motivo della
coppia di poli immaginari, avrebbe una componente limitata di tipo sinusoidale. La coppia di poli immaginari
nella funzione di trasferimento caratterizza la presenza di una frequenza di risonanza. Su tale concetto si torner`a
anche nella sezione relativa ai diagrammi di Bode.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-89
Ovviamente, nel caso in cui il sistema avesse coppie di poli immaginari di molteplict`a non unitaria, la risposta
in uscita a segnali sinusoidali coincidenti con tali poli sarebbe caratterizzata da termini polinomiali di ordine
pari alla molteplicit`
a dei poli del sistema.
Esempio 2.7 (Risposta forzata per ingressi sinusoidali)
Si consideri un sistema dinamico descritto dalla seguente funzione di trasferimento:
W (s)
=
2s + 3
2s + 3
=
,
s3 + 6s2 + 11s + 6
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
(2.253)
e sottoposto all’effetto di un segnale di ingresso sinusoidale di pulsazione ω = 1 rad/s:
u(t) = sin(t),
U (s) =
(s2
1
.
+ 1)
(2.254)
Il sistema ha tre poli reali, rispettivamente in −1, −2 e −3, e quindi ammette risposta transitoria e risposta
permanente in uscita.
La risposta forzata in uscita `e descritta dalla funzione razionale:
Y (s) =
s3
2s + 3
1
· 2
,
2
+ 6s + 11s + 6
(s + 1)
(2.255)
che pu`
o essere espansa in frazioni parziali come segue:
Y (s) =
A1
A2
A3
B1
B2
+
+
+
+
.
s + 1 s + 2 s + 3 (s + ) (s − )
(2.256)
I residui relativi ai vari poli del sistema sono dati da:
A1
= (s + 1)Y (s)|s=−1 =
(2s + 3)
1
1
|s=−1 =
(s + 2)(s + 3) (s2 + 1)
4
(2.257a)
A2
= (s + 2)Y (s)|s=−2 =
1
1
(2s + 3)
|s=−2 =
(s + 1)(s + 3) (s2 + 1)
5
(2.257b)
A3
= (s + 1)Y (s)|s=−3 =
1
3
(2s + 3)
|s=−3 = −
2
(s + 1)(s + 2) (s + 1)
20
(2.257c)
mentre quelli relativi al segnale sono:
B1
=
=
B2
=
=
1
(s − )(2s + 3)
·
(s − )Y (s)|s= =
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
(s + )(s − ) s=
(2s + 3)
1
1
= M e ϕ ,
·
M = 0.36, ϕ = −0.98
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
(s + ) s= 2
1
(s + )(2s + 3)
·
(s + )Y (s)|s=− =
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
(s + )(s − ) s=−
(2s + 3)
1
1
= − M e −ϕ ,
·
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
(s − ) s=−
2
(2.258a)
(2.258b)
Il termine relativo al segnale di ingresso, e cio`e la risposta permanente, in Laplace `e quindi pari a:
B1 =
1
M e ϕ ,
2
B2 = −
cui corrisponde, nel dominio del tempo:
B1
B2
=
+
L−1
(s − ) (s + )
=
1
M e −ϕ ,
2
M = 0.36, ϕ = −0.98
1
1
M e ϕ e t − M e −ϕ e −t
2
2
1
M e (t+ϕ) − e −(t+ϕ) = M sin(t + ϕ)
2
B1 e t + B2 e −t =
(2.259)
(2.260)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-90
La risposta forzata infine `e data da:
y(t) = A1 e −t + A2 e −2t + A3 e −3t + M sin(ωt + ϕ),
(2.261)
mentre la sola risposta transitoria vale:
y(t) = A1 e −t + A2 e −2t + A3 e −3t .
(2.262)
Gli andamenti delle risposte forzata, permanente e transitoria in uscita sono riportati nella figura 2.17,
ove la curva verde indica la riposta forzata, la curva rossa la risposta transitoria e la curva ciano la risposta
permanente.
La figura 2.18 `e invece relativa ad un sistema con la stessa funzione di trasferimento gi`a studiata, salvo il
primo polo posto in p = 1, e quindi instabile. La figura riporta la risposta forzata, nonch`e i termini legati ai
poli del sistema ed i termini legati al segnale di ingresso. Mentre tale ultimo contributo `e identico nei due casi,
il contributo legati ai poli del sistema `e sostanzialmente diverso, e quindi le due risposte forzate sono del tutto
diverse.
Risposte dinamiche in uscite, per ingresso sinusoidale
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
0
2
4
6
8
10
tempo
12
14
16
18
20
Figura 2.17: Risposte forzata, permanente e transitoria per il sistema 2.253.
2.5.5
Risposta permanente
La risposta permanente descrive il comportamento di un sistema dinamico, a fronte dell’applicazione di un
segnale di ingresso e dopo molto tempo dall’istante di applicazione iniziale del segnale stesso. Pi`
u precisamente,
descrive la risposta completa in uscita e nello stato, dopo molto tempo dall’istante iniziale di tale applicazione. In
questa sezione il concetto, gi`
a introdotto informalmente in precedenza, verr`a discusso in modo pi`
u approfondito,
presentando anche le relative condizioni di esistenza.
Affinch´e la riposta permanente sia ben definita, essa deve essere indipendente dalla condizione iniziale, cio`e,
dato un assegnato sistema dinamico e fissato il segnale di ingresso, si deve avere la stessa risposta permanente
al variare della condizione iniziale.
Ricordando le espressioni della risposta completa in uscita, nel dominio del tempo e di Laplace secondo comodit`
a, `e evidente come il concetto di risposta permanente in uscita sia ben posto solo se (condizione necessaria)
tutti i poli del sistema sono a parte reale negativa, cos`ı da dar luogo ad una risposta impulsiva convergente asintoticamente a zero. In aggiunta, per avere anche indipendenza dalla condizione iniziale, `e sufficiente che tutti
gli autovalori abbiano parte reale negativa. Tale condizione `e pi`
u forte della convergenza a zero della risposta
impulsiva, perch´e, in generale, non tutti gli autovalori compaiono tra i poli della funzione di trasferimento, e
quindi tra i poli della risposta impulsiva.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-91
Risposte dinamiche in uscite, per ingresso sinusoidale
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
0
2
4
6
8
10
tempo
12
14
16
18
20
Figura 2.18: Risposta forzata per un sistema con polo positivo.
Si vedano, a titolo di esempio, i grafici nelle due figure 2.17 e 2.18 ed il corrispondente sistema.
Per discutere con maggior dettaglio la relazione tra le due condizioni citate (quella necessaria e quella
sufficiente) sono richiesti concetti non ancora discussi. In particolare `e richiesto il concetto di osservabilit`a dello
stato e di sottosistema osservabile: verranno trattati in un capitolo successivo. In questa sede `e sufficiente
ricordare, come si `e gi`
a visto in alcuni esempi, il fatto che la risposta completa in uscita, in generale, ha un
contenuto di modi naturali pi`
u ricco rispetto alla corrispondente risposta forzata.
Si consideri, a titolo di esempio, il seguente sistema dinamico:
−p1
0 −p1 p2
x+
x˙ =
u
(2.263a)
1
1 p1 + p2
0 1 x
y =
(2.263b)
1
.
Il sistema (2.263) ha polinomio caratteristico pari a (λ − p1 )(λ − p2 ) e funzione di trasferimento W (s) = s−p
2
Uno dei due autovalori non figura come polo, e quindi il corrispondente modo naturale non figura nella risposta
impulsiva. Entrambi i modi naturali sono presenti nella risposta libera in uscita.
Ci`o implica che la risposta forzata in uscita del sistema contiene, rispetto ai modi naturali, solo la funzione
e p2 t , mentre la risposta libera in uscita, data da yℓ (t, x0 ) = ce At x0 , contiene entrambe le funzioni e p1 t e e p2 t .
La risposta impulsiva tende quindi a zero solo se (condizione necessaria) l’autovalore p2 `e negativo, mentre la
risposta libera tende a zero, per qualsiasi condizione iniziale, se (e solo se) entrambi gli autovalori sono negativi.
Formalmente, la risposta permanente in uscita, yp (t), `e il limite, se esiste, cui tende la risposta completa,
per istante di applicazione t0 del segnale di ingresso tendente a meno infinito:
yp (t) :=
lim yc (t, t0 , x(t0 ), u(·)),
t0 →−∞
∀x(t0 ),
(2.264)
ove yc (t, t0 , x(t0 ), u(·)) indica la risposta completa in uscita, corrispondente all’applicazione del segnale u(·) a
partire dall’istante t0 , con condizione iniziale in t0 pari a x(t0 ).
In modo equivalente, si assuma l’esistenza di una funzione yp (t), dipendente dal sistema considerato e dal
segnale di ingresso, ma indipendente dalla condizioni iniziali. Una tale funzione si chiama risposta permanente
se e solo se vale il seguente limite:
lim (yc (t, t0 , x(t0 ), u(·)) − yp (t)) = 0,
t→∞
∀ x(t0 ).
(2.265)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-92
In tal caso, la funzione yp (t) viene detta risposta permanente e la funzione
yt (t) := yc (t, t0 , x(t0 ), u(·)) − yp (t),
(2.266)
viene detta risposta transitoria.
Si noti che la risposta permanente non corrisponde al limite della risposta forzata per tempi tendenti ad
infinito (come talora si afferma, in modo qualitativo). Tale limite infatti, per molti segnali di interesse tra cui
quelli sinusoidali, non `e definito.
` possibile dare una definizione analoga per la risposta permanente nello stato. Nel seguito si prester`
E
a
maggiore attenzione al caso del segnale di uscita, riservando qualche commento conclusivo al caso della risposta
nello stato.
Il concetto di risposta permanente `e di interesse per tutti i segnali con trasformata di Laplace razionale
propria e con i corrispondenti poli a parte reale non negativa, e cio`e per tutti i segnali con trasformata razionale
` opportuno sottolineare
propria che permangono nel tempo, cio`e che non convergono asintoticamente a zero. E
il fatto che i segnali a trasformata razionale propria sono di interesse particolare perch´e sono “autofunzioni”
(modi naturali, come vengono chiamati in questo corso), cio`e possono essere generati come risposta libera in
uscita di opportuni sistemi lineari a tempo continuo. Tali segnali quindi sono naturalmente associati ai sistemi
dinamici che vengono studiati in questo capitolo.
Si consideri quindi un segnale di ingresso u(t) la cui trasformata U (s) sia una funzione razionale:
U (s) =
γµ sµ + γµ−1 sγ−1 + · · · + γ1 s + γ0
γµ sµ + γµ−1 sγ−1 + · · · + γ1 s + γ0
Qρ
=
µ
µ
µ−1
s + ηµ−1 s
+ · · · + η1 s + η0
i=1 (s − πi )i
(2.267)
e tutti i poli πi , i = 1, . . . , ρ, abbiano parte reale non negativa (eventuali poli del segnale con parte reale
negativa fornirebbero componenti che svanirebbero al crescere del tempo, e quindi irrilevanti rispetto alla risposta
permanente).
Si consideri un sistema dinamico
x˙
y
= Ax + bu,
= cx + du,
(2.268a)
(2.268b)
indicato per brevit`
a con la notazione Σ(A, b, c, d), descritto da una funzione di trasferimento di forma generale:
W (s) =
βn sn + βn−1 sn−1 + · · · + β1 s + β0
βn sn + βn−1 sn−1 + · · · + β1 s + β0
Qr
=
q
n
n−1
s + αn−1 s
+ · · · + α1 s + α0
i=1 (s − pi )i
(2.269)
caratterizzata da poli arbitrari, salvo l’avere tutti parte reale negativa (per la condizione necessaria vista sopra).
Ci`o implica che la risposta impulsiva del sistema tende a zero.
In tal caso, la risposta forzata in uscita pu`
o essere scritta, dopo l’espansione in frazioni parziali, nella forma:
βn sn + βn−1 sn−1 + · · · + β1 s + β0 γµ sµ + γµ−1 sγ−1 + · · · + γ1 s + γ0
Qr
Qρ
·
(2.270a)
q
µ
i=1 (s − pi )i
i=1 (s − πi )i
µi
ρ X
qi
r X
X
X
Bi,j
Ai,j
+
= YW (s) + Yu (s),
j
(s − pi )
(s − πi )j
i=1 j=1
i=1 j=1
Yf (s) = W (s)U (s) =
=
YW (s) :=
qi
r X
X
i=1 j=1
Ai,j
,
(s − pi )j
Yu (s) :=
µi
ρ X
X
i=1 j=1
Bi,j
.
(s − πi )j
(2.270b)
Antitrasformando nel domino del tempo si ottiene quindi:
yf (t) =
yW (t) =
yu (t) =
yW (t) + yu (t),
(2.271a)
L−1 {YW (s)} =
L−1 {Yu (s)} =
qi
r X
X
i=1 j=1
µi
ρ X
X
j−1
Bi,j
i=1 j=1
t
e pi t
(j − 1)!
(2.271b)
tj−1
e πi t .
(j − 1)!
(2.271c)
Ai,j
Si notino alcuni fatti rilevanti per la forma della risposta forzata scritta sopra.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-93
Commento 2.5
• Innanzitutto, il fatto che i poli del sistema siano a parte reale negativa e quelli del segnale siano a parte reale
nulla o positiva rende vuota l’intersezione dei rispettivi insiemi, e quindi rende possibile, nell’espansione
in frazioni parziali operata nella (2.270b), separare i termini derivanti dai poli del sistema dai termini
derivanti dai poli del segnale.
• Ci`o implica, come secondo fatto, che la funzione yW (t) definita sopra contenga solo i modi naturali
associati ai poli della funzione di trasferimento W (s), e quindi il fatto che il comportamento asintotico di
tale funzione sia lo stesso della risposta impulsiva.
• Il terzo fatto importante `e che la funzione yu (t) contiene solo le funzioni del tempo presenti nel segnale di
ingresso, trasferite in uscita al sistema con la stessa forma e, in generale, con pesi relativi diversi.
• Il quarto fatto importante `e che, come visto in pi`
u esempi, l’insieme dei poli della funzione di trasferimento
`e, in generale, un sottoinsieme proprio dell’insieme degli autovalori del sistema.
Se vale l’ipotesi, ricordata sopra, che tutti i poli del sistema sono a parte reale negativa, il termine yW (t)
converge asintoticamente a zero ed allora la funzione yu (t) rappresenta ci`o che “permane” in uscita dopo
l’esaurimento a zero della risposta yW (t) (che, come detto sopra, ha lo stesso comportamento asintotico della
risposta impulsiva). Tale analisi per`
o `e riferita alla sola risposta forzata, ed assume quindi condizioni iniziali
nulle, cio`e trascura la risposta libera in uscita.
Come si `e visto anche con il semplice esempio (2.263), la risposta libera in uscita pu`
o contenere modi naturali
aggiuntivi rispetto a quelli presenti nella risposta forzata, e quindi la risposta completa in uscita pu`
o, in funzione
delle condizioni iniziali e della caratterizzazione di convergenza di tali modi aggiuntivi, avere un comportamento
asintotico diverso da quello che caratterizza la sola risposta forzata.
` opportuno formalizzare tale concetto qualitativo. Si consideri un generico sistema dinamico Σ(A, b, c, d),
E
con funzione di trasferimento del tipo (2.269), e con poli di tale funzione di trasferimento che possono anche
essere un sottoinsieme proprio degli autovalori dello stesso sistema. Si assuma un segnale di ingresso u(t) con
trasformata razionale del tipo in (2.267). La risposta completa in uscita, a partire da una generica condizione
iniziale x0 all’istante t0 = 0 e sotto l’effetto del segnale di ingresso u(t), tenendo conto della scomposizione
(2.271a) per la risposta forzata, assume la forma:
yc (t, 0, x0 , u(·))
= yℓ (t, x0 ) + yW (t) + yu (t).
(2.272)
Se vale il seguente limite:
lim yc (t, 0, x0 , u(·)) − yu (t) = 0,
t→∞
∀ x0 ,
(2.273)
allora il termine yu () `e la risposta permanente in uscita del sistema ed il termine yℓ (t, x0 ) + yW (t) `e la risposta
transitoria in uscita, cio`e:
yp (t)
:= yu (t)
(2.274a)
yt (t)
:= yℓ (t, x0 ) + yW (t).
(2.274b)
Il limite 2.273 vale se tutte le funzioni del tempo che compaiono in yℓ (t, x0 ) e in yW (t) convergono a zero, e
quindi se tutti i poli della funzione di trasferimento hanno parte reale negativa (per il termine yW (t)) e se tutti
gli autovalori che compaiono nella risposta libera in uscita (il termine yℓ (t, x0 )) hanno parte negativa. Si noti
come questo secondo insieme contenga (in generale strettamente) tutti i poli della funzione di trasferimento.
Complessivamente quindi, si pu`
o formulare il seguente teorema, che descrive il criterio di esistenza della
risposta permanente in uscita.
Teorema 2.6 (Criterio di esistenza della risposta permanente in uscita per sistemi LSTC)
Un sistema dinamico Σ(A, b, c, d) ammette risposta permanente in uscita, indipendente dalla condizione
iniziale, se e solo se tutti gli autovalori associati ai modi naturali presenti nella risposta libera in uscita hanno
parte reale negativa.
⋄
Da un punto di vista pratico, la determinazione della risposta permanente, qualora esista, pu`
o essere condotta
limitando il calcolo alla porzione di risposta forzata in uscita relativa ai soli termini che costituiscono il segnale
di ingresso, e cio`e ai soli termini Yu (s) nella relazione generale (2.270b).
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-94
Commento 2.6 La condizione citata nel criterio, e cio`e la condizione “se e solo se tutti gli autovalori associati
ai modi naturali presenti nella risposta libera in uscita hanno parte reale negativa” corrisponde, formalmente,
alla condizione: “se e solo se tutti gli autovalori del sottosistema osservabile hanno parte reale negativa”. Ci`o
emerger`a con maggior chiarezza nel capitolo dedicato alle propriet`
a strutturali dell’uscita.
Si noti come la trattazione riportata sopra sia relativa al solo segnale di uscita, in analogia con il tipo di
trattazione pi`
u comune per tale argomento. Ancora pi`
u precisamente: in molte discipline la trattazione della
risposta permanente si limita alla sola risposta forzata, ed addirittura, spesso si trascura il contributo della
risposta transitoria e si considera come risposta in uscita di un sistema dinamico il solo contributo che abbiamo
qui chiamato “permanente”. Ci`o deriva dal fatto che in tali discipline la stabilit`a interna del sistema, che
implica la esistenza della risposta permamente, viene data per valida in virt`
u di una adeguata progettazione e
realizzazione del sistema stesso. In questo corso invece lo studio della stabilit`a `e argomento centrale e quindi
non pu`
o esser dato per certo: anzi, studiare la stabilit`a e, per quanto possibile, garantirla, `e uno degli obiettivi
principali degli strumenti che vengono proposti.
Si richiama ancora una volta l’attenzione sulle figure 2.17 e 2.18 e sul corrispondente sistema per sottolineare come l’assumere come risposta in uscita il solo contributo “permanente” costituisca una approssimazione
accettabile del comportamento effettivo solo in alcuni casi e non abbia validit`a generale.
Come mostrato dall’esempio (2.263) all’inizio della sezione, il contributo della risposta libera a volte pu`
o
essere determinante. Il prossimo esempio mostra come, nel caso generale, si debba estendere l’attenzione anche
alla risposta nello stato, e non ci si possa limitare alla risposta in uscita, sia pure nella forma completa.
Si consideri il seguente sistema dinamico:
0
0
1
x+
u
(2.275a)
x˙ =
1
−p1 p2 p1 + p2
−p1 1 x.
y =
(2.275b)
caratterizzato da un polinomio caratteristico pari a (λ − p1 )(λ − p2 ) e da una funzione di trasferimento W (s) =
1
s−p2 . Uno dei due autovalori non figura come polo, e quindi il corrispondente modo naturale non figura nella
risposta impulsiva. In questi termini, tale sistema ha le stesse caratteristiche del sistema (2.263).
Una analisi della risposta libera in uscita consente di capire che il modo naturale e p1 t non figura neanche
nella risposta libera in uscita. Ne segue che la risposta completa in uscita contiene, rispetto ai modi naturali,
solo la funzione e p2 t .
Per verificare tale forma per la risposta libera in uscita (non potendo ancora utilizzare il concetto di osservabilit`a) si considerino i due autovettori del sistema. Si trova facilmente, per i due autovalori λ1 = p1 e λ2 = p2 ,
la coppia di rispettivi autovettori:
1
1
.
(2.276)
, v2 =
v1 =
p2
p1
Poich´e tali vettori sono linearmente indipendenti se gli autovalori sono distinti, possono essere scelti come
nuova base nello spazio di stato. Ne consegue che una generica condizione iniziale x0 pu`
o essere espressa come
combinazione lineare di questi due vettori:
x0 = α1 v1 + α2 v2 ,
(2.277)
per opportuni valori dei coefficienti reali α1 e α2 . La risposta libera in uscita, per una generica condizione
iniziale, vale quindi:
yℓ (t, x0 ) = ce At x0 = ce At (α1 v1 + α2 v2 ) = α1 cv1 e p1 t + α2 cv2 e p2 t ,
(2.278)
in cui si `e tenuto conto del fatto che una condizione iniziale allineata con un autovettore eccita solo il corrispondente modo naturale. Notando poi che, per il sistema in esame, la matrice di uscita c `e ortogonale all’autovettore
v1 , e quindi cv1 = 0, ne segue:
yℓ (t, x0 ) = ce At x0 = α2 (p2 − p1 )e p2 t ,
(2.279)
e quindi il modo naturale e p2 t appare in tale risposta, ma il modo naturale e p1 t non vi appare mai.
La risposta libera nello stato invece, data da xℓ (t, x0 ) = e At x0 , contiene, ovviamente, entrambe le funzioni
p1 t
e
ed e p2 t .
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-95
La risposta permanente in uscita quindi, in base al criterio visto in precedenza, esiste se e solo se l’autovalore
p2 `e negativo. La risposta libera nello stato, invece, tende a zero per qualsiasi condizione iniziale se, e solo se,
entrambi gli autovalori sono negativi. Ne segue che, se il sistema ha autovalore p1 positivo, per un fissato
ingresso si ha risposta completa in uscita tendente alla risposta permanente, e risposta completa nello stato
divergente verso infinito.
La formalizzazione della risposta permanente nello stato pu`
o essere fatta utilizzando lo stesso approccio
seguito per l’uscita. La risposta completa nello stato, a partire da una generica condizione iniziale x0 all’istante
t0 = 0 e sotto l’effetto del segnale di ingresso u(t), tenendo conto di una scomposizione della risposta forzata
nello stato analoga alla (2.271a), assume la forma:
xc (t, 0, x0 , u(·)) =
xℓ (t, x0 ) + xH (t) + xu (t),
(2.280)
ove i termini xH (t) e xu (t) vanno intesi come i contributi nella risposta forzata nello stato derivanti dai poli
legati alla relazioni ingresso-stato in Laplace7 e dai poli del segnale di ingresso, rispettivamente.
Se il limite seguente vale:
lim xc (t, 0, x0 , u(·)) − xu (t) = 0, ∀ x0 ,
(2.281)
t→∞
allora il termine xu () `e la risposta permanente nello stato del sistema ed il termine xℓ (t, x0 ) + xH (t)`e la risposta
transitoria nello stato.
Il limite 2.281 vale se tutte le funzioni del tempo che compaiono in xℓ (t, x0 ) e in xH (t) convergono a zero, e
quindi se tutti i poli del legame ingresso-stato hanno parte reale negativa (per il termine xH (t)) e se tutti gli
autovalori (per il termine xℓ (t, x0 )) hanno parte negativa. Si noti come questo secondo insieme contenga (in
generale strettamente) tutti i poli del legame ingresso-stato.
Complessivamente quindi, si pu`
o formulare il seguente criterio di esistenza della risposta permanente nello
stato, che garantisce anche l’esistenza della risposta permanente in uscita (come condizione sufficiente ma non
necessaria).
Teorema 2.7 (Criterio di esistenza della risposta permanente nello stato per sistemi LSTC)
Un sistema dinamico Σ(A, b, c, d) ammette risposta permanente nello stato, indipendente dalla condizione iniziale, se e solo se tutti i suoi autovalori hanno parte reale negativa.
⋄
2.6
Risposta armonica e diagrammi di Bode
L’analisi della risposta permanente per segnali sinusoidali `e di estrema importanza nello studio di un sistema
dinamico. Si `e visto che, se tale risposta permanente esiste, allora il segnale di ingresso `e riportato in uscita,
a regime (cio`e, dopo l’esaurimento della risposta transitoria), con una ampiezza ed una fase dati dal modulo e
dalla fase della funzione di trasferimento, rispettivamente, alla pulsazione del segnale di ingresso.
Cio`e, se la risposta transitoria esiste, allora la risposta completa in uscita, per ingresso u(t) = sin(ωt), tende
asintoticamente alla risposta permanente:
yp (t) = M (ω) sin(ωt + ϕ(ω)),
M (ω) = |W (ω)|, ϕ(ω) = ∠W (ω).
(2.282)
` quindi utile studiare la risposta armonica, e cio`e l’andamento della funzione di trasferimento, in modulo
E
e fase, in funzione della pulsazione ω: insomma le due funzioni reali M (ω) e ϕ(ω).
1
,
Considerando, a titolo di esempio, il sistema del primo ordine con funzione di trasferimento W (s) = s+1
per il modulo della risposta armonica si trova l’andamento nella seguente figura 2.19.
Per consentire una migliore rappresentazione delle ascisse (per dilatare la zona di basse pulsazioni e contrarre
quella della alte) e per rappresentare meglio la parte di bassi valori del modulo, di norma si utilizza una scala
logaritmica per le pulsazioni, sia per il diagramma dei moduli sia per quello delle fasi. In aggiunta, il modulo `e
abitualmente espresso in decibel:
MdB (ω) := 20 log10 (|W (ω)|).
(2.283)
I due andamenti, del modulo in decibel e della fase in gradi, sono dati in forma grafica in funzione della
pulsazione. Tale coppia di diagrammi viene indicata con il termine diagrammi di Bode8 del sistema. A titolo
1
di esempio, i diagrammi di Bode del sistema con funzione di trasferimento W (s) = s+1
sono riportati nella
seguente figura 2.20.
7 tale
relazione `
e data da: H(s) = (sI − A)−1 b
Wade Bode.(Madison, 1905 – Cambridge, 1982)
8 Hendrik
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-96
Risposta in frequenza (scala lineare)
1
Mudulo risposta armonica M(ω)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
ω rad/sec
3
3.5
4
4.5
Figura 2.19: Modulo della risposta armonica per W (s) =
5
1
s+1 .
Diagrammi di Bode
Magnitude (dB)
0
−10
−20
−30
Phase (deg)
−40
0
−45
−90
−2
10
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
Figura 2.20: Diagrammi di Bode per W (s) =
2
10
1
s+1 .
L’analisi dei diagrammi di Bode consente quindi di determinare in modo immediato la risposta in frequenza
di un sistema dinamico, e cio`e il modo in cui un segnale con dato contenuto armonico transita attraverso un
sistema.
Si ricorda, ancora una volta, come i diagrammi di Bode descrivano in modo corretto la risposta armonica in
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-97
uscita solo per sistemi con autovalori del sottosistema osservabile a parte reale negativa (i poli rendono conto
solo della risposta forzata e non della risposta libera in uscita). In caso contrario, il diagramma di Bode descrive
solo una parte della risposta armonica, tralasciando termini legati ai modi naturali, che sono divergenti o tali
da poter generare segnali con crescita lineare o polinomiale.
2.6.1
Tracciamento dei diagrammi di Bode: esempio
I diagrammi di Bode si possono tracciare utilizzando semplici regole grafiche. Si consideri, a titolo di esempio
1
, con p numero reale. Per motivi che saranno chiari
iniziale, il sistema con funzione di trasferimento W (s) = s+p
nel seguito, conviene riscrivere la funzione di trasferimento nella forma di costanti di tempo:
W (s) =
1
1/p
.
=
s+p
1 + ps
(2.284)
Il diagramma dei moduli corrisponde quindi al grafico di9 :
!
1/2 !
ω2
|1/p|
= −20 log(|p|) − 20 log
MdB (ω) = 20 log
1+ 2
.
|1 + ω
p
p |
(2.285)
Si noti come, grazie alla presenza della funzione logaritmo, i due contributi del numeratore e del denominatore
– che sono moltiplicativi nella funzione di trasferimento – siano ora additivi: possono quindi essere analizzati
separatamente e poi sommati.
Il termine di “guadagno” 20 log(p) `e una retta orizzontale, con ordinata positiva, nulla o negativa a seconda
che il fattore moltiplicativo positivo |p| sia, rispettivamente, maggiore, uguale o minore di uno. Nel caso in
esempio, fissato p = 2, si trova il diagramma riportato in figura 2.21.
Diagramma asintotico di Bode (moduli) − Termine guadagno
−5
M
dB
−5.5
−6
−6.5
−7
−7.5
−2
10
−1
10
0
10
ω (rad/sec)
1
10
2
10
Figura 2.21: Diagramma di Bode dei moduli, asintotico, per un guadagno p = 2.
2
Il termine −20 log((1 + ωp2 )1/2 ) pu`
o essere analizzato per valori della pulsazione ω molto piccoli o molto
grandi, rispetto a p. Nel primo
caso
si
ottiene una funzione nulla, nel secondo caso, trascurando il termine
1/2 ω2
≃ −20 log( ωp ). Poich´e l’asse delle ascisse `e logaritmico, e quindi la variabile
1, si ha −20 log 1 + p2
indipendente ω aumenta esponenzialmente, la funzione −20 log( ωp ) risulta essere una retta con pendenza di
−20dB per ogni decade di aumento della pulsazione. Tenendo conto che tale retta assume il valore zero (in
decibel) per ω = p, si pu`
o tracciare un diagramma asintotico costituito da una spezzata: la semiretta con
ordinata nulla fino al valore ω = p, detto punto di rottura o anche pulsazione di rottura, e la semiretta con
pendenza pari a −20dB per decade da tale valore in avanti. Il diagramma asintotico relativo (assumendo p = 2)
`e riportato in figura 2.22.
Il diagramma asintotico complessivo si ottiene sommando i due contributi, ottenendo il risultato riportato
in figura 2.23. Si noti che il diagramma dei moduli, dipendendo dal modulo del polo p, `e lo stesso sia per poli
a parte negativa sia per poli a parte reale positiva.
9 Nel
seguito si ometter`
a il pedice 10 nella indicazione del logaritmo
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-98
Diagramma asintotico di Bode (moduli) − Termine polo
0
−5
MdB
−10
−15
−20
−25
−30
−35
−2
10
−1
10
0
10
ω (rad/sec)
1
10
Figura 2.22: Diagramma di Bode dei moduli, asintotico, per il polo
2
10
1
1+s/2 .
Diagramma asintotico di Bode (moduli)
−5
−10
MdB
−15
−20
−25
−30
−35
−40
−2
10
−1
10
0
10
ω (rad/sec)
1
10
Figura 2.23: Diagramma di Bode dei moduli, asintotico, per W (s) =
2
10
2
1+s/2 .
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-99
Per valutare lo scostamento tra tale diagramma asintotico (e quindi approssimato) ed il diagramma corretto,
2
si consideri il punto di rottura ω = p. Qui il valore esatto del diagramma, per il termine −20 log((1 + ωp2 )1/2 ),
√
2
vale MdB (p) = −20 log((1 + pp2 )1/2 ) = −20 log( 2) ≃ −3. Il diagramma esatto del termine associato al polo nel
punto di rottura vale −3dB. Tale valore `e anche l’errore massimo che si commette nel considerare il diagramma
asintotico in luogo di quello corretto.
La figura 2.24 illustra l’andamento della differenza tra diagramma asintotico e diagramma corretto in un
intervallo di quattro decadi a cavallo del punto di rottura ω = p. Come si vede, i due diagrammi hanno una
differenza apprezzabile solo da una decade prima il punto di rottura ad una decade dopo, mentre sono del tutto
identici fuori da tale intervallo.
Diagramma asintotico di Bode (moduli) − Correzione binomio
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−3.5
−2
10
−1
10
0
10
1
2
10
10
Figura 2.24: Diagramma di Bode dei moduli, asintotico, per W (s) =
.
2
1+s/2
Ne segue che il diagramma esatto (corretto) pu`
o essere ottenuto da quello asintotico con una curva di
raccordo che parte da ω = 0.1p, passa per il punto di quota −3dB in corrispondenza del punto di rottura ω = p
e si raccorda nuovamente al diagramma asintotico in ω = 10p. La figura 2.25 illustra il diagramma asintotico e
quello corretto per il sistema in esame.
0
−10
−20
−30
−40
−50
−2
10
−1
10
0
10
1
10
Figura 2.25: Diagrammi di Bode dei moduli, asintotico e corretto, per W (s) =
.
2
10
2
1+s/2
Il diagramma delle fasi viene tracciato in modo analogo. La propriet`a di additivit`
a vale ancora, e quindi i
contributi dei singoli termini possono essere determinati separatamente e poi sommati. Il diagramma della fasi
del termine di guadagno p vale 0 o, alternativamente, −180o, in funzione del segno di p.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-100
Per il termine associato al polo si procede con l’analisi del diagramma asintotico e poi si introducono le
correzioni opportune. La fase, al contrario del modulo, dipende dal segno del polo. Si assume nel seguito un
polo a parte reale negativa (e quindi un valore positivo per il parametro p).
La fase del termine 1 + ω
p vale zero per valori della pulsazione piccoli rispetto a p, e vale novanta gradi per
valori grandi della pulsazione (rispetto a p). Poich´e il termine in esame `e a denominatore, il valore della fase
deve essere cambiato di segno. Ne segue che la fase di tale termine parte da un valore nullo e diminuisce fino ad
un valore di −90 gradi. La forma pi`
u semplice di diagramma asintotico per la fase `e costituita da una funzione
gradino, con valore nullo fino al punto di rottuta ω = p e con valore pari a −90o dopo tale punto, come riportato
in figura 2.26.
0
−20
−40
−60
−80
−100
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
Figura 2.26: Diagramma di Bode delle fasi, asintotico a gradino, per W (s) =
1
s+2 .
Una forma pi`
u accurata di diagramma asintotico si basa su una curva spezzata, ma continua, con fase nulla
fino ad una decade prima del punto di rottura, fase pari a −90o a partire da una decade dopo il punto di rottura,
e fase decrescente linearmente nelle due decadi a cavallo del punto di rottura, e con valore pari a −45o nel punto
ω = p. L’andamento `e illustrato in figura 2.27.
0
−20
−40
−60
−80
−100
−2
10
−1
10
0
10
1
10
Figura 2.27: Diagramma di Bode delle fasi, asintotico, per W (s) =
2
10
1
s+2 .
L’andamento esatto della fase di un termine polo `e riportato in figura 2.28: si noti che la fase corretta nel
punto di rottura `e −45 gradi10 .
2.6.2
Tracciamento dei diagrammi di Bode
Le regole utilizzate nell’esempio precedente per la costruzione dei diagrammi di Bode possono essere estese allo
studio di una generica funzione di trasferimento.
In generale, un sistema dinamico espresso tramite funzione di trasferimento ha poli e zeri reali e non nulli,
poli e zeri nulli, poli e zeri complessi coniugati, ed un numeratore che pu`
o essere non monico. Una tale funzione
di trasferimento `e rappresentabile nella seguente forma:
Q
Q
2
¯ n,i s + ω
¯ n,i
)
k i (s + zi ) i (s2 + 2ξ¯i ω
Q 2
,
(2.286)
W (s) = q Q
2
s
i (s + 2ξi ωn,i s + ωn,i )
i (s + pi )
10 Infatti
per ω = p parte reale e parte immaginaria del termine in esame, a denominatore, sono uguali a meno del segno.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-101
0
−20
−40
−60
−80
−100
−2
10
−1
0
10
1
10
10
2
10
Figura 2.28: Diagrammi di Bode delle fasi, asintotico e corretto, per W (s) =
1
s+2 .
dove i parametri zi e pi indicano gli zeri ed i poli reali non nulli, l’intero q indica il numero netto di poli e zeri
nulli, i parametri ξ¯i e ω
¯ n,i caratterizzano le coppie di zeri complessi coniugati, i parametri ξi e ωn,i caratterizzano
le coppie di poli complessi coniugati, ed il termine costante k indica il coefficiente di grado massimo del polinomio
a numeratore. Le produttorie a numeratore e denominatore si intendono estese ad un numero opportuno di
termini, a seconda del sistema, che per semplicit`a di notazione non vengono indicati esplicitamente.
Per la costruzione dei diagrammi di Bode conviene scrivere il sistema nella forma di costanti di tempo, detta
anche forma di Bode:
Q
Q
2
¯i s
g i (1 + zsi ) i ( ω¯s2 + 2 ω¯ξn,i
+ 1)
n,i
W (s) = Q
,
(2.287)
Q
2
ξ
s
i
+ 1)
sq i (1 + psi ) i ( ωs2 + 2 ωn,i
n,i
ove il guadagno g, che nel caso di assenza di poli e zeri nulli coincide con il guadagno in continua, vale:
Q Q 2
¯
k i zi i ω
Q 2n,i .
g= Q
i pi
i ωn,i
(2.288)
Con questa rappresentazione, i vari fattori che compongono la funzione di trasferimento (eccezion fatta per
il guadagno g e per eventuali poli e zeri nulli) hanno contributo nullo a basse frequenze.
Una generica funzione di trasferimento si ottiene quindi dalla combinazione moltiplicativa di quattro termini
fondamentali, corrispondenti al guadagno g, ad un termine binomio per rappresentare poli e zeri reali, ad
un termine s per rappresentare poli o zeri nulli (nell’origine del piano complesso), e ad un termine trinomio
per rappresentare poli e zeri complessi coniugati. Poich´e il modulo, espresso in decibel, rende additiva tale
combinazione di termini e poich´e anche la fase di tali termini `e additiva, il tracciamento dei diagrammi di Bode
di una funzione di trasferimento corrisponde al tracciamento dei diagrammi dei singoli termini ed alla loro
successiva somma, analogamente a quanto visto nell’esempio iniziale.
I quattro termini da analizzare sono quindi:
wg (s)
w0 (s)
wb (s)
wt (s)
= g,
= s,
s
= 1+ ,
p
s
s2
+ 2ξ
+ 1,
=
ωn2
ωn
(2.289a)
(2.289b)
(2.289c)
(2.289d)
tenendo conto che, salvo il guadagno, tutti gli altri termini possono essere sia a numeratore sia a denominatore.
Diagrammi di Bode del termine wg (s) = g
Per tale termine sia il diagramma dei moduli sia il diagramma delle fasi sono costanti. Il diagramma dei moduli
`e una retta di ordinata pari a 20 log(|g|), mentre il diagramma delle fasi vale 0o se g `e positivo e −180o se g `e
negativo. Si vedano le due coppie di diagrammi in figura 2.29.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-102
Diagramma di Bode termine w (s)=g, g=10
g
21
Magnitude (dB)
20.5
20
19.5
19
1
Phase (deg)
0.5
0
−0.5
−1
−1
10
0
10
ω (rad/sec)
1
10
Diagramma di Bode termine wg(s)=g, g=−4
13.5
Magnitude (dB)
13
12.5
12
11.5
11
181
Phase (deg)
180.5
180
179.5
179
−1
10
0
10
ω (rad/sec)
1
10
Figura 2.29: Diagrammi di Bode del termine wg (s) = g, per g = 10 (alto) e g = −4 (basso).
Diagrammi di Bode del termine w0 (s) = s
Il termine relativo ad un polo o uno zero nullo corrisponde ai diagrammi delle funzioni 20 log(ω) per il modulo e
arg (ω) per la fase. In considerazione della scala logaritmica per le pulsazioni il diagramma dei moduli `e quindi
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-103
una retta con pendenza costante e pari a +20 decibel per decade nel caso di uno zero (termine a numeratore
e quindi crescente con ω) e pari invece a −20 dB/decade nel caso di un polo nell’origine. In entrambi i casi le
rette passano per il punto di ordinata 0 db per pulsazione pari a ω = 1. Si vedano le due coppie di diagrammi
in figura 2.30.
Diagramma di Bode termine w (s)=s, (zero)
0
20
Magnitude (dB)
10
0
−10
Phase (deg)
−20
91
90.5
90
89.5
89
−1
10
0
1
10
ω (rad/sec)
10
Diagramma di Bode termine w0(s)=1/s, (polo)
20
15
Magnitude (dB)
10
5
0
−5
−10
−15
−20
−89
Phase (deg)
−89.5
−90
−90.5
−91
−1
10
0
1
10
ω (rad/sec)
Figura 2.30: Diagrammi di Bode del termine w0 (s) = s (alto) e w0 (s) =
10
1
s
(basso) .
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-104
Diagrammi di Bode del termine binomio wb = 1 +
s
p
I diagrammi di tale termine, nel caso di polo positivo, sono stati analizzati con cura nell’esempio precedente. In
generale, si deve tener conto del fatto che tale termine pu`
o descrivere uno zero od un polo, e in entrambi i casi
sia positivo sia negativo. La forma dei due diagrammi rimane invariata, salvo riflessioni rispetto all’asse delle
ascisse.
Nel caso di un polo p, il diagramma dei moduli ha valore iniziale nullo e decresce al crescere della pulsazione.
Il diagramma delle fasi invece dipende dal segno del polo: la fase iniziale vale 0o mentre la fase finale vale −90o
per poli negativi e +90o per poli positivi.
Nel caso in cui il termine wb (s) faccia riferimento ad uno zero, e quindi sia un termine a numeratore, il
diagramma dei moduli cresce al crescere della pulsazione, ed asintoticamente cresce con pendenza pari a +20
dB/decade a partire dal punto di rottura: si ottiene quindi per ribaltamento del corrispondente diagramma di
un polo rispetto all’asse delle ascisse. Anche in questo caso la posizione nel piano complesso dello zero non `e
rilevante. Per quanto riguarda la fase, il diagramma parte da fase iniziale nulla e poi ci si muove verso una fase
finale pari a −90o per zeri positivi e +90o per zeri negativi (anche in questo caso con ribaltamento rispetto alla
ascisse del corrispondente diagramma dei poli).
Le situazioni possibili sono illustrare nelle figure 2.31 e 2.32 per il caso di un polo reale ed nelle figure 2.33
e 2.34 per il caso di uno zero reale. In entrambe le figure, l’asse delle ascisse riporta le pulsazioni normalizzate
al parametro p (cio`e riporta la quantit`
a ω/p, e quindi il punto di rottura vale ω/p = 1). I diagrammi dei
moduli sono rappresentati nella forma asintotica e corretta. I diagrammi delle fasi sono rappresentati con due
forme approssimate e nella forma corretta per le due varianti associate ai poli, mentre nel caso degli zeri (per
semplicit`a) si riporta solo la forma asintotica a gradino e la forma corretta.
Diagrammi di Bode termine w (s)=1+s/p, (polo positivo)
b
0
Modulo (dB)
−10
−20
−30
−40
−50
−2
10
−1
10
0
1
10
ω/|p| (rad/sec)
10
2
10
100
Fase (gradi)
80
60
40
20
0
−2
10
−1
10
0
Figura 2.31: Diagrammi di Bode del termine wb (s) = 1 +
Diagrammi di Bode del termine trinomio wt =
2
1
10
ω/|p| (rad/sec)
s2
2
ωn
10
s
p
2
10
nel caso di un polo negativo.
+ 2 ωξ ns + 1,
Il polinomio wt = ωs 2 + 2 ωξ ns + 1 descrive un termine trinomio ed `e caratterizzato da due radici, la cui posizione
n
nel piano complesso, per un fissato valore del parametro ωn , detto frequenza naturale, dipende dal parametro ξ,
detto smorzamento. Nelle applicazioni di interesse pratico lo smorzamento `e un numero reale compreso tra zero
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-105
Diagrammi di Bode termine wb(s)=1+s/p, (polo negativo)
Modulo (dB)
0
−10
−20
−30
−40
−50
−2
10
−1
10
0
1
10
ω/|p| (rad/sec)
10
2
10
0
Fase (gradi)
−20
−40
−60
−80
−100
−2
10
−1
10
0
1
10
ω/|p| (rad/sec)
Figura 2.32: Diagrammi di Bode del termine wb (s) = 1 +
10
s
p
2
10
nel caso di un polo positivo.
Diagrammi di Bode termine w (s)=1+s/p, (zero negativo)
b
50
Modulo (dB)
40
30
20
10
0
−2
10
−1
10
0
1
10
ω/|p| (rad/sec)
10
2
10
100
Fase (gradi)
80
60
40
20
0
−2
10
−1
10
0
1
10
ω/|p| (rad/sec)
Figura 2.33: Diagrammi di Bode del termine wb (s) = 1 +
10
s
p
2
10
nel caso di un zero negativo.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-106
Diagrammi di Bode termine wb(s)=1+s/p, (zero positivo)
50
Modulo (dB)
40
30
20
10
0
−2
10
−1
10
0
1
10
ω/|p| (rad/sec)
10
2
10
0
Fase (gradi)
−20
−40
−60
−80
−100
−2
10
−1
10
0
1
10
ω/|p| (rad/sec)
Figura 2.34: Diagrammi di Bode del termine wb (s) = 1 +
10
s
p
2
10
nel caso di un zero positivo.
ed uno. Le due radici sono reali, coincidenti e pari a ωn per smorzamento di valore unitario, sono complesse
coniugate e con parte reale negativa per tutti i valori ξ ∈ [0, 1). In particolare, al diminuire dello smorzamento
da uno verso zero le due radici si muovono lungo la semicirconferenza centrata nell’origine, di raggio pari a ωn
e posta a sinistra dell’asse immaginario. Per smorzamento nullo le due radici sono sull’asse immaginario nelle
posizioni ±ωn .
Per ξ = 1, il termine trinomio coincide con il quadrato di un termine binomio. I diagrammi di Bode si
ottengono quindi sommando i diagrammi di due termini binomio identici. Se il termine descrive una coppia
di poli, il diagramma asintotico dei moduli ha un valore nullo fino al punto di rottura ω = ωn e poi decresce
linearmente con pendenza pari a −40 dB/decade. Il diagramma delle fasi invece parte da valori iniziali nulli e
decresce fino al valore di −180o. I due diagrammi asintotici appena descritti vengono utilizzati come riferimento
per il termine trinomio, indipendentemente dal valore dello smorzamento. La costruzione dei due diagrammi
esatti si basa su una correzione che invece dipende in modo significativo dallo smorzamento. Per quanto riguarda
i moduli, al ridursi dello smorzamento da uno verso zero il diagramma si riduce (rispetto a quello asintotico)
via via pi`
u lentamente, fino allo smorzamento ξ = 0.707, a partire dal quale il diagramma corretto assume,
per un certo intervallo di pulsazioni, valori maggiori di zero (in dB) per tendere poi ad assestarsi, una decade
dopo la pulsazione naturale, al diagramma asintotico (si veda il diagramma in alto nella figura 2.35). In questo
ultimo scenario il sistema `e in grado di amplificare il segnale applicato in ingresso. Ci`o `e vero anche per sistemi
a componenti passivi. In tal caso si parla di frequenza di risonanza 11 . Si noti come, nel caso di smorzamento
nullo, in corrispondenza di ω = ωn il diagramma dei moduli abbia un asintoto verticale. Per completezza, il
lettore `e invitato a rivisitare le considerazioni fatte in precedenza nella sezione 2.5.4.
In modo analogo, il diagramma asintotico della fase `e via via pi`
u simile al diagramma asintotico a gradino,
al ridursi dello smorzamento. La figura 2.35 illustra tale comportamento. In tale figura, l’asse delle ascisse
riporta le pulsazioni normalizzate alla pulsazione naturale wn .
Il caso in cui il termine trinomio si riferisca ad una coppia di zeri (ma sempre con smorzamento positivo) si
ricava dai diagramma precedenti per ribaltamento rispetto all’asse delle ascisse, come indicato in figura 2.36.
La correzione da applicare al diagramma asintotico dei moduli di un termine trinomio in funzione del
11 Alcuni
testi parlano di frequenza di risonanza solo per smorzamento nullo, e quindi solo nel caso di asintoto verticale
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-107
Diagrammi di Bode moduli − wt(s)=s2/ω2n + 2 ζ s /ωn + 1, (coppia poli)
40
30
20
Modulo (dB)
10
0
−10
−20
−30
−40
ζ=0
ζ=0.1
ζ=0.2
ζ=0.4
ζ=0.5
ζ=0.6
ζ=0.707
ζ=0.8
ζ=1
−50
−1
10
0
10
ω/ωn (rad/sec)
2
1
10
2
Diagrammi di Bode fasi − wt(s)=s /ωn + 2 ζ s /ωn + 1, (coppia poli)
0
−20
−40
Fase (gradi)
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−180
−1
10
ζ=0
ζ=0.1
ζ=0.2
ζ=0.4
ζ=0.5
ζ=0.6
ζ=0.707
ζ=0.8
ζ=1
0
10
ω/ωn (rad/sec)
Figura 2.35: Diagrammi di Bode del termine wt (s) =
.
s2
2
ωn
1
10
+ 2 ωξ ns + 1 nel caso di una coppia di poli
parametro di smorzamento `e riportata in figura 2.37.
Infine, i diagrammi relativi al caso di poli o zeri con parte reale positiva (cio`e il caso di smorzamenti negativi)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-108
2
2
n
Diagrammi di Bode moduli − w (s)=s /ω + 2 ζ s /ω + 1, (coppia zeri)
t
n
50
40
30
Modulo (dB)
20
10
0
ζ=0
ζ=0.1
ζ=0.2
ζ=0.4
ζ=0.5
ζ=0.6
ζ=0.707
ζ=0.8
ζ=1
−10
−20
−30
−40
−1
10
0
1
10
ω/ω (rad/sec)
10
n
Diagrammi di Bode fasi − wt(s)=s2/ω2n + 2 ζ s /ωn + 1, (coppia poli)
0
−20
−40
Fase (gradi)
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−180
−1
10
ζ=0
ζ=0.1
ζ=0.2
ζ=0.4
ζ=0.5
ζ=0.6
ζ=0.707
ζ=0.8
ζ=1
0
10
ω/ωn (rad/sec)
Figura 2.36: Diagrammi di Bode del termine wt (s) =
.
s2
2
ωn
1
10
+ 2 ωξ ns + 1 nel caso di una coppia di zeri
si ottengono dai corrispondenti diagrammi a smorzamento positivo per ribaltamento del solo diagramma delle
fasi. Non vengono riportati esplicitamente per il loro scarso uso.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-109
Diagramma di Bode (moduli) − Correzione per termine trinomio
25
ζ=0
ζ=0.1
ζ=0.2
ζ=0.4
ζ=0.5
ζ=0.6
ζ=0.77
ζ=0.8
ζ=1
20
15
MdB
10
5
0
−5
−10
−1
10
0
1
10
ω/ωn (rad/sec)
Figura 2.37: Diagrammi di Bode - correzione di wt (s) =
.
10
s2
2
ωn
+ 2 ωξ ns + 1
Il diagramma in figura 2.38 illustra il caso di un sistema con funzione di trasferimento data da:
W (s) =
1
,
(s2 + 1)
(2.290)
e quindi caratterizzato da una frequenza di risonanza in ωn = 1, con smorzamento nullo (insomma, due poli
sull’asse immaginario). Come si vede, il diagramma di Bode dei moduli presenta un asintoto verticale in
corrispondenza della frequenza di risonanza.
Bench`e in tal caso il diagramma di Bode non descriva correttamente la risposta armonica (in questa situazione
il sistema non ammette risposta permanente), pur tuttavia l’asintoto verticale indica che un segnale sinusoidale
in ingresso, con pulsazione ω = 1, sarebbe riportato in uscita con ampiezza infinita. Ci`o `e qualitativamente
vicino al reale comportamento della risposta forzata, che in tal caso `e caratterizzata dalla presenza di un termine
seno con ampiezza a crescita lineare, a motivo della doppia coppia di poli immaginari nella espressione in Laplace
della risposta forzata (si veda la relazione (2.252)).
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-110
Diagrammi di Bode sistema con smorzamento nullo
Magnitude (dB)
40
20
0
−20
Modulo (dB) (deg)
−40
0
−45
−90
−135
−180
−1
10
0
10
ω/ωn (rad/sec) (rad/sec)
1
10
Figura 2.38: Diagramma di Bode per un sistema con frequenza di risonanza in ω = 1
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
2.7
2.7.1
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-111
Esercizi di riepilogo
Esempio: analisi di un circuito elettrico RLC
Il modello dinamico di un circuito elettrico a componenti passivi pu`
o essere determinato facilmente seguendo
l’approccio gi`a visto nel primo capitolo. In questa sezione l’esercizio viene risolto in forma parametrica, fin
quando possibile, per generalit`
a. Di norma, salvo richiesta e/o necessit`a diversa, esercizi di questo tipo posso
essere risolti pi`
u agevolmente sostituendo i valori numerici dei parametri.
R1
L1
R3
R2
C2
Vin
C1
R4
Figura 2.39: Circuito RLC1 .
Si consideri il circuito elettrico illustrato in figura 2.39. In tal caso le equazioni costitutive dei componenti
descrivono l’induttanza, le due capacit`a ed i vari resistori. Indicata con iL la corrente lungo l’induttanza, con
vC1 e vC2 le tensioni ai capi della prima e della seconda capacit`a, ed utilizzando analoga notazione per le altre
correnti e tensioni nel circuito, si ha:
d
iL
dt
d
vC
C1
dt 1
vRi
L
= vL
(2.291a)
= iC1 ,
d
vC = iC2 ,
dt 2
i = 1, . . . , 4.
C2
= Ri iRi ,
(2.291b)
(2.291c)
Le leggi di Kirchoof, per il sistema in esame, sono date da due equazioni sulle tensioni, relative a due maglie
indipendenti, e da una equazione delle correnti, relativa alle correnti nell’induttanza, nel resistore R2 e nel
resistore R3 . Le equazioni relative alle correnti in componenti in serie, ed in particolare R1 ed L, R2 e C1 , R3 ,
C2 ed R4 , sono omesse per semplicit`a. Le equazioni rilevanti,posto u = vin , sono quindi:
vR2 + vC1
=
=
vR1 + vL + vR2 + vC1 ,
vR3 + vC2 + vR4 ,
(2.292a)
(2.292b)
iL
=
iC1 + iC2 .
(2.292c)
u
Le variabili di stato, per un circuito elettrico a componenti passive, sono date dalle correnti lungo tutte le
induttanze e dalle tensioni ai capi dei condensatori. Nel caso in esame si hanno quindi tre variabili di stato:
x1
x2
=
=
iL
vC1
(2.293a)
(2.293b)
x3
=
vC2
(2.293c)
Le equazioni costitutive dei componenti con memoria, riscritte in termini di equazioni differenziali del primo
ordine, sono quindi:
x˙1
=
x˙2
=
x˙3
=
1
vL
L
1
iC
C1 1
1
iC .
C2 2
(2.294a)
(2.294b)
(2.294c)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-112
Per determinare il modello nello spazio di stato `e quindi richiesta la conoscenza delle grandezze vL , iC1 ed
iC2 rispetto alle variabili di stato ed al segnale di ingresso. Tali relazioni possono essere ricavate utilizzando le
equazioni di equilibrio e le relazioni costitutive delle resistenze (cio`e, le equazioni non ancora utilizzate).
Dalle precedenti equazioni (2.292) si ricava il sistema algebrico:
u
=
R1 x1 + vL + R2 iC1 + x2 ,
(2.295a)
R2 iC1 + x2
iL
=
=
R3 iC2 + x3 + R4 iC2 ,
iC1 + iC2
(2.295b)
(2.295c)
la cui soluzione, nelle variabili vL , iC1 ed iC2 rispetto alle variabili di stato ed ingresso `e data da:
vL
=
iC1
=
iC2
=
R1 (R2 + R3 + R4 ) + R2 (R3 + R4 )
R3 + R4
R2
x1 −
x2 −
x3 + u (2.296a)
R2 + R3 + R4
R2 + R3 + R4
R2 + R3 + R4
R3 + R4
1
1
x1 −
x2 +
x3
(2.296b)
R2 + R3 + R4
R2 + R3 + R4
R2 + R3 + R4
R2
1
1
x1 +
x2 −
x3 .
(2.296c)
R2 + R3 + R4
R2 + R3 + R4
R2 + R3 + R4
−
Il modello dinamico del circuito elettrico in esame si ottiene combinando le equazioni (2.294) con le (2.296):
R3 + R4
R2
u
R1 (R2 + R3 + R4 ) + R2 (R3 + R4 )
x1−
x2−
x3+ (2.297a)
L(R2 + R3 + R4 )
L(R2 + R3 + R4 )
L(R2 + R3 + R4 )
L
1
1
R3 + R4
x1 −
x2 +
x3
(2.297b)
=
C1 (R2 + R3 + R4 )
C1 (R2 + R3 + R4 )
C1 (R2 + R3 + R4 )
R2
1
1
=
x1 +
x2 −
x3 .
(2.297c)
C2 (R2 + R3 + R4 )
C2 (R2 + R3 + R4 )
C2 (R2 + R3 + R4 )
x˙1 = −
x˙2
x˙3
Tali equazioni vanno completate con l’equazione di uscita. Se la grandezza di interesse (cio`e, l’uscita), `e la
tensione vR4 ai capi della resistenza R4 , si ha:
1
1
R2
(2.298)
x1 +
x2 −
x3
yR4 = R4 iR4 = R4
R2 + R3 + R4
R2 + R3 + R4
R2 + R3 + R4
In forma matriciale il modello dinamico, sulla base delle (2.297) e della (2.298), `e quindi:
x˙ =
Ax + bu,
(2.299a)
y
cx
(2.299b)
=
con le matrici A, b e c pari a:

R1 (R2 + R3 + R4 ) + R2 (R3 + R4 )
−

L(R2 + R3 + R4 )

R3 + R4

A = 

C1 (R2 + R3 + R4 )

R2
C2 (R2 + R3 + R4 )
b

1


=  L
0 ,
0

c=
R2 R4
(R2 + R3 + R4 )
R3 + R4
L(R2 + R3 + R4 )
1
−
C1 (R2 + R3 + R4 )
1
C2 (R2 + R3 + R4 )
R2
x3
L(R2 + R3 + R4 )
1
C1 (R2 + R3 + R4 )
1
−
C2 (R2 + R3 + R4 )
−
R4
(R2 + R3 + R4 )
−
R4
−
(R2 + R3 + R4 )
.




(2.300a)


(2.300b)
Per valori fissati dei componenti, ad esempio:
R1 = 1, R2 = 2, R3 = 1, R4 = 1 L =
si ottengono le seguenti matrici,


−4 −1 −1
A =  2 −1 1  ,
2
1 −1


2
b =  0 ,
0
1
1
1
, C1 = , C2 =
2
4
4
c=
1
2
1
4
1
−
4
(2.301)
.
(2.302)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-113
Il calcolo della matrice di trasferimento pu`
o essere condotto in modo dettagliato, esaminando la forma della
matrice c adj (sI − A)−1 b e la forma del polinomio det(sI − A). Si trova:
c adj (sI − A) b
=
det(sI − A)
=
s(s + 2),
3
(s + 2)
(2.303)
(2.304)
e quindi, dopo aver operato la cancellazione polo-zero, si ottiene la seguente funzione di trasferimento:
wR4 (s) =
s2
s
.
+ 4s + 4
(2.305)
Si noti, infine, come uno degli autovalori del sistema, cancellandosi con uno zero, non appare nella funzione
di trasferimento. Ci`o implica una “perdita di informazione” sulla struttura interna del sistema nell’uso della
funzione di trasferimento come modello. Si vedr`
a nel seguito che tale fenomeno `e legato ad una carenza della
propriet`
a strutturale di “raggiungibilit`a”. Approfondendo la cancellazione polo-zero, si pu`
o notare, dal calcolo
dettagliato della matrice adj (sI − A) e del polinomio det(sI − A), che lo zero interessato alla cancellazione
emerge dal prodotto adj (sI − A) b, e quindi tale cancellazione dipende dal modo in cui il segnale di ingresso
(il cui effetto sullo stato `e legato alla matrice b) interagisce con la dinamica. Tale interazione `e estremamente
importante, e sar`a studiata in modo particolarmente approfondito in un capitolo successivo.
In questo caso particolare (ma il fatto non ha assolutamente validit`a generale) vi `e anche una perdita di
osservabilit`a. Infatti, anche dal polinomio c adj (sI − A) emerge un termine comune con il denominatore che
porta, per altra via, alla stessa cancellazione.
Si noti infine, anche la presenza di uno zero nell’origine.
` interessante studiare la risposta al gradino del circuito in esame. Il calcolo della risposta forzata, condotto
E
nel dominio di Laplace, consente di ottenere:
Y (s)
= wR4 (s)
1
s
1
= 2
.
s
s + 4s + 4 s
(2.306)
Omettendo di semplificare il termine polo-zero comune (allo scopo di illustrare l’effetto dello zero), che deriva
dall’interazione ingresso-sistema, si ottiene:
Y (s) =
A1
B
A2
+ ,
+
2
s + 2 (s + 2)
s
(2.307)
in cui i residui A1 ed A2 , legati ai modi naturali del sistema, sono dati da:
A2
=
A1
=
lim (s + 2)2 Y (s) = 1,
(2.308)
d
[1] = 0
s→2 d s
(2.309)
s→2
lim
Il guadagno in continua del sistema, che descrive la variazione in ampiezza del gradino, vale:
B = lim sY (s) =
s→0
s
|s=0 = 0.
(s + 2)2
(2.310)
Tale guadagno `e nullo proprio per la presenza dello zero nell’origine, il cui significato `e esattamente quello di
bloccare la trasmissione attraverso il sistema di un segnale con polo nullo, e cio`e un segnale a gradino. Ci`o
corrisponde ad una propriet`
a generale degli zeri di una funzione di trasferimento, che vengono anche detti zeri
di blocco o zeri di trasmissione.
Infine, l’analisi in frequenza del sistema consente di tracciare il diagramma dei moduli riportato nella seguente
figura 2.40. La risposta forzata in uscita per ingresso sinusoidale, di pulsazione ω1 = 1 e di pulsazione ω2 = 100,
`e riportata nelle successive figure 2.41 e 2.42.
Se, in alternativa alla tensione vR4 si considera come funzione di uscita la tensione vC2 ai capi della seconda
capacit`a, si ottiene la relazione:
(2.311)
yC2 = x2 ,
cui corrisponde la matrice di uscita:
c=
0
0 1
,
(2.312)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-114
Bode Diagram
0
−10
Magnitude (dB)
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
90
Phase (deg)
45
0
−45
−90
−2
−1
10
0
10
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 2.40: Risposta in frequenza del circuito RLC1 .
mentre le matrici A e b non vengono modificate. Procedendo come sopra per il calcolo della funzione di
trasferimento si trova:
c adj (sI − A)−1 b =
det(sI − A) =
2(s + 2),
(s + 2)3
(2.313)
(2.314)
e quindi, dopo aver operato la cancellazione polo-zero, si ottiene la seguente funzione di trasferimento:
wC2 (s) =
2
.
s2 + 4s + 4
(2.315)
Si noti come sia ancora presente una cancellazione polo-zero, ma il sistema non abbia pi`
u uno zero nell’origine.
L’assenza dello zero nell’origine porta ad una risposta al gradino non nulla a regime.
Il modello dinamico del circuito elettrico pu`
o essere analizzato estesamente ricorrendo ad un semplice modello
di simulazione in Matlab, utilizzando il codice riportato di seguito.
R1=1; R2=2; R3=1; R4=1; R234=(R2+R3+R4);
L=1/2; C1=1/4; C2=1/4;
A=[-(R1*R234+R2*(R3+R4))/(R234*L), -(R3+R4)/(R234*L), -R2/(R234*L);
(R3+R4)/(R234*C1), -1/(R234*C1), 1/(R234*C1);
(R2)/(R234*C2), 1/(R234*C2), -1/(R234*C2)];
b=[1/L; 0; 0]; c=[R2*R4/R234, R4/R234, -R4/R234];
sys=ss(A,b,c,0); systf=tf(sys)
zero(systf) pole(systf)
bode(systf)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-115
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Figura 2.41: Risposte forzata, permamente e transitoria per ingresso sin(t) del circuito RLC1 .
om1=1; W1=(i*om1/((i*om1+2)^2)); M1=abs(W1); phi1=angle(W1);
t=0:0.1:20; s1=sin(om1*t); ys1=lsim(sys,s1,t); ys1=ys1’; yp1=M1*sin(om1*t+phi1); yt1=ys1-yp1;
plot(t,ys1,t,yp1,t,yt1);
om2=100; W2=((i*om2)/((i*om2+2)^2)); M2=abs(W2); phi2=angle(W2);
figure(2)
t2=0:0.001:0.8; s2=sin(om2*t2); ys2=lsim(sys,s2,t2); ys2=ys2’; yp2=M2*sin(om2*t2+phi2);
yt2=ys2-yp2;
plot(t2,ys2,t2,yp2,t2,yt2);
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-116
0.02
0.015
0.01
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Figura 2.42: Risposta forzata, permamente e transitoria per ingresso sin(100t) del circuito RLC1 .
2.7.2
Analisi di un ulteriore circuito elettrico a componenti passivi
Si consideri il circuito elettrico illustrato in figura 2.43, il cui modello dinamico pu`
o essere ottenuto utilizzando
le equazioni di Kirkoff, analogamente a quanto gi`a visto in precedenti esempi.
RG
C2
R1
Vin
C1
C3
Figura 2.43: Circuito RLCN C .
Indicate con vC1 , vC2 e vC3 le tensioni ai capi delle tre capacit`a, ed utilizzando analoga notazione per le
altre correnti e tensioni nel circuito, si ottengono le seguenti equazioni dinamiche, costitutive dei componenti
con memoria:
d
vC
dt 1
d
C2 vC2
dt
d
C3 vC3
dt
C1
=
iC1 ,
(2.316a)
=
iC2 ,
(2.316b)
=
iC3 ,
(2.316c)
e le seguenti equazioni algebriche, costitutive delle resistenze:
vRi
= Ri iRi ,
i = 1, 2.
(2.317)
Le leggi di Kirchoof, per il sistema in esame, sono date da due equazioni sulle tensioni, relative a due maglie
indipendenti, e da una equazione delle correnti. Le equazioni relative alle correnti in componenti in serie, ed in
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-117
particolare C2 R2 C3 , sono omesse per semplicit`a. Le equazioni rilevanti,posto u = Vin , sono quindi:
u
vC1
i R1
= vR1 + vC1 ,
(2.318a)
= vC2 + vR2 + vC3 ,
= iC1 + iC2 .
(2.318b)
(2.318c)
Le variabili di stato, per un circuito elettrico a componenti passive, sono date dalle correnti lungo tutte le
induttanze e dalle tensioni ai capi dei condensatori. Nel caso in esame si hanno quindi tre variabili di stato:
x1
=
vC1
(2.319a)
x2
x3
=
=
vC2
vC3
(2.319b)
(2.319c)
Le equazioni costitutive dei componenti con memoria, riscritte in termini di equazioni differenziali del primo
ordine, sono quindi:
x˙1
=
x˙2
=
x˙3
=
1
iC
C1 1
1
iC
C2 2
1
iC .
C3 3
(2.320a)
(2.320b)
(2.320c)
Per determinare il modello nello spazio di stato `e quindi richiesta la conoscenza delle grandezze iC1 , iC2 ed
iC3 rispetto alle variabili di stato ed al segnale di ingresso. Tali relazioni possono essere ricavate utilizzando le
equazioni di equilibrio e le relazioni costitutive delle resistenze (cio`e, le equazioni non ancora utilizzate).
Dalle precedenti equazioni (2.318) si ricava il sistema algebrico:
u
x1
i R1
= R1 iR1 + x1 ,
(2.321a)
= x2 + x3 + R2 iR2 ,
= iC1 + iC2
(2.321b)
(2.321c)
la cui soluzione, nelle variabili iC1 , iC2 ed iC3 rispetto alle variabili di stato ed ingresso, `e data da (assumendo
componenti di valore unitario):
iC1
=
iC2
iC3
=
=
u − 2x1 + x2 + x3
(2.322a)
x1 − x2 − x3
x1 − x2 − x3 .
(2.322b)
(2.322c)
Il modello dinamico del circuito elettrico in esame si ottiene combinando le equazioni (2.320) con le (2.322):
x˙1
x˙2
x˙3
= −2x1 + x2 + x3 + u
= x1 − x2 − x3
(2.323a)
(2.323b)
= x1 − x2 − x3 .
(2.323c)
Tali equazioni vanno completate con l’equazione di uscita. Se la grandezza di interesse (cio`e, l’uscita), `e la
tensione vR2 + vC3 ai capi della serie resistenza R2 e capacit`a C3 , si ha:
y = x1 − x2
(2.324)
In forma matriciale il modello dinamico, sulla base delle (2.323) e della (2.324), `e quindi:
x˙ =
Ax + bu,
(2.325a)
y
cx
(2.325b)
=
con le matrici A, b e c pari a:
A =


−2 1
1
 1 −1 −1  ,
1 −1 −1


1
b =  0 ,
0
c=
1 −1 0
.
(2.326a)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-118
Gli autovalori della matrice A risultano essere: λ1 = 0, λ2 = −0.58 e λ3 = −3.41, cui sono quindi associati
i tre modi naturali reali:
m1 (t)
=
m2 (t)
m3 (t)
=
=
e 0t = δ−1 (t),
(2.327a)
e −0.58t ,
e −3.41t .
(2.327b)
(2.327c)
Il calcolo della matrice di trasferimento pu`
o essere condotto in modo dettagliato, esaminando la forma della
matrice c adj (sI − A)−1 b e la forma del polinomio det(sI − A). Si trova:
c adj ((sI − A)) b
det((sI − A))
=
=
s(s + 1),
(2.328)
2
s(s + 4s + 2)
(2.329)
e quindi, dopo aver operato la cancellazione polo-zero, si ottiene la seguente funzione di trasferimento:
w(s) =
s+1
.
s2 + 4s + 2
(2.330)
Da un punto di vista meramente algebrico, si noti come, in virt`
u della forma delle matrici b e c del sistema, sia
sufficiente calcolare solo i primi due elementi della prima riga della matrice adj (sI − A) per determinare la
funzione di trasferimento. Infatti, la forma della matrice b implica che la seconda e terza riga di adj (sI −A) non
sono rilevanti (poich´e vengono moltiplicate per zero), mentre la forma della matrice c implica la non rilevanza
della terza colonna di tale matrice.
Si noti come uno degli autovalori del sistema, quello nell’origine, cancellandosi con uno zero, non appare
nella funzione di trasferimento. Ci`o implica una “perdita di informazione” sulla struttura interna del sistema
nell’uso della funzione di trasferimento come modello. Si vedr`
a nel seguito che tale fenomeno `e legato, come nel
caso del precedente esercizio, ad una carenza della propriet`
a strutturale di “raggiungibilit`a”.
Approfondendo la cancellazione polo-zero, si pu`
o notare, dal calcolo dettagliato della matrice adj (sI − A)
e del polinomio det(sI − A), che lo zero interessato alla cancellazione emerge dal prodotto adj (sI − A) b, e
quindi tale cancellazione dipende dal modo in cui il segnale di ingresso (il cui effetto sullo stato `e legata alla
matrice b) interagisce con la dinamica. Ci`o `e del tutto analogo a quanto gi`a visto nell’esempio riportato nella
sezione precedente.
Tale interazione `e estremamente importante, e sar`a studiata in modo particolarmente approfondito in un
capitolo successivo.
A titolo di esercizo, in questo caso si propone lo studio dell’intera matrice esponenziale. Lavorando nel
dominio di Laplace, verr`a studiata quindi l’intera matrice (sI − A)−1 :
 2

s + 2s
s
s
s
s2 + 3s + 1
−s − 1  ,
adj (sI − A) = 
(2.331a)
s
−s − 1
s2 + 3s + 1
 2

s + 2s
s
s
1
s
s2 + 3s + 1
−s − 1 
(2.331b)
(sI − A)−1 = 
s(s2 + 4s + 2)
2
s
−s − 1
s + 3s + 1


1
1
s+2
=
 s2 + 4s + 2

1

 s2 + 4s + 2


1
2
s + 4s + 2
s2 + 4s + 2
s2 + 3s + 1
s(s2 + 4s + 2)
−s − 1
2
s(s + 4s + 2)
s2 + 4s + 2
−s − 1
2
s(s + 4s + 2)
s2 + 3s + 1
s(s2 + 4s + 2)



.


(2.331c)
Si noti come gli elementi relativi alla seconda e terza variabile di stato (cio`e, gli elementi in posizione (2, 2),
(2, 3), (3, 2) e (3, 3)) non presentino la cancellazione dell’autovalore nell’origine. Si noti che tali elementi (in
base alla considerazione riportata poco sopra) non concorrono a determinare la funzione di trasferimento.
` molto utile anche esaminare l’autovettore associato all’autovalore nullo, verificare la corrispondente soluzione
E
nel dominio del tempo, ed utilizzare la forma di tale autovettore per dedurre indicazioni sul significato fisico del
modo naturale costante e della sua mancata presenza nel legame ingresso/uscita.
Per studiare meglio la cancellazione polo-zero (in attesa di approfondire il tema con lo studio delle propriet`
a
strutturali) che porta alla “perdita di informazione”, per cui un autovalore non appare come polo, si pu`
o provare
a studiare l’autovettore associato all’autovalore “perso”.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-119
Ricordando che la relazione tra una matrica A, un suo autovalore λ ed il corrispondente autovettore v `e
λv = Av, per il caso dell’autovalore nullo del modello in esame si trova:
Av

−2 1
=  1 −1
1 −1


1
v1
−1   v2  = 0,
−1
v3
(2.332)
la cui soluzione si trova facilmente essere v1 = 0, v2 = −v3 , e quindi l’autovettore cercato `e:


0
v =  1 .
−1
(2.333)
Le condizioni iniziali che eccitano solo il modo naturale costante associato a tale autovalore sono quindi
caratterizzate dal fatto che il condensatore C1 `e scarico, mentre i condensatori C2 e C3 sono carichi con due
tensioni uguali ed opposte. In tale situazione, la caduta di tensione ai capi della resistenza di uscita `e nulla.
Tale condizione iniziale, se osservata solo a partire dalla funzione di uscita, `e quindi del tutto indistinguibile
dalla condizione iniziale nulla. Su questo aspetto si torner`a con maggiore dettaglio in occasione dello studio
della propriet`
a strutturale di osservabilit`a.
Analogamente, un punto dello spazio di stato caraterizzato dalla prima componente dello stato nulla, come
l’autovettore in esame, corrisponde ad un circuito equivalente del tipo in figura 2.44, da cui si evince facilmente
l’ostruzione che trova il segnale di ingresso. Su questo aspetto si torner`a con maggiore dettaglio in occasione
dello studio della propriet`
a strutturale di raggiungibilit`
a.
RG
C2
R1
Vin
C3
Figura 2.44: Circuito RLCN C ridotto.
2.7.3
Esempio: analisi circuito RLC [RLC100]
Dato il seguente circuito elettrico, con R1 = α, e tutti gli altri parametri di valore unitario, a) determinare il
modello dinamico, parametricamente rispetto al reale α, e inoltre b), fissato α = 1, tracciare i diagrammi di
Bode del sistema.
Modello dinamico
Il sistema, caratterizzato da tre componenti con memoria, pu`
o essere descritto da un modello dinamico con tre
variabili di stato, ed in particolare dalla caduta di tensione ai capi del condensatore e dalla corrente lungo i due
induttori:
x1
= VC
(2.334)
x2
x3
= iL1
= iL2 .
(2.335)
(2.336)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-120
RG
L2
C
L1
Ro VRo = Vout
Vin
R1
Figura 2.45: Schematico del circuito RLC100.
Si ricava facilmente il modello differenziale:
x˙ 1
x˙ 2
x˙ 3
= x2 + x3
= −x1 − (1 + α)x2 − x3 + u
(2.337a)
(2.337b)
= x3 ,
(2.337d)
= −x1 − x2 − 2x3 + u
y
(2.337c)
che in forma matriciale `e descritto da:
x˙
y

0
1
=  −1 −(1 + α)
−1
−1
0 0 1 x.
=



1
0
−1  x +  1  u
−2
1
(2.338a)
(2.338b)
Per il calcolo della funzione di trasferimento si pu`
o procedere con la formula classica:
W (s) = c(sI − A)−1 b =
c adj (sI − A) b
.
det(sI − A)
(2.339)
Per il numeratore si tratta di calcolare il prodotto:
c adj (sI − A) b =
trovando:
0 0
1

∗
 ∗
∗
∗
∗
e3,2
∗
∗
e3,3


0
 1 
1
c adj (sI − A) b = s2 + s = s(s + 1).
(2.340)
(2.341)
Per il denominatore si trova facilmente:
det(sI − A) = s3 + 4s2 + 5s + 2 = (s + 1)2 (s + 2),
(2.342)
e quindi la funzione di trasferimento, operando la semplificazione del fattore comune numeratore/denominatore,
`e pari a:
s(s + 1)
s
W (s) =
=
.
(2.343)
(s + 1)2 (s + 2)
(s + 1)(s + 2)
Tracciamento dei diagrammi di Bode
Per il tracciamento dei diagrammi di Bode si parte dalla funzione di trasferimento, gi`a calcolata al punto
precedente, riscrivendola nella forma di costanti di tempo e guadagno:
W (s) =
s
s
1
=
.
(s + 1)(s + 2)
2 (1 + s)(1 + s/2)
(2.344)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-121
Diagramma asintotico di Bode (moduli)
40
30
20
10
M
dB
0
−10
−20
−30
−40
−50
−1
10
0
1
10
10
2
10
rad/sec
Figura 2.46: Circuito RLC100: diagramma di Bode del termine di guadagno
Diagramma asintotico di Bode (moduli)
40
30
20
10
M
dB
0
−10
−20
−30
−40
−50
−1
10
0
1
10
10
2
10
rad/sec
Figura 2.47: Circuito RLC100: diagramma di Bode asintotico del polo p1 = −1.
Si procede tracciando i diagrammi asintotici dei moduli per il termine di guadagno (pari a g = 1/2), per i
termini associati ai due poli e per il termine associato allo zero nell’origine.
Il guadagno `e un termine costante pari a 20 log10 (1/2) = −6dB:
Il contributo del primo polo, p1 = −1, `e nullo fino ad una pulsazione pari a 1 rad/s (Fig. 2.47). Il contributo
del secondo polo, p2 = −2, `e nullo fino ad una pulsazione pari a 2rad/s (Fig. 2.48).
Infine, il contributo dello zero nell’origine `e una retta con pendenza costante su tutto lo spettro e pari a
20dB/dec (Fig. 2.49).
Sommando tutti i singoli diagrammi asintotici, si ottiene il diagramma asintotico complessivo (Fig. 2.50),
che si trasforma facilmente nel diagramma esatto tenendo conto delle correzioni da apportare in corrispondenza
dei punti di rottura associati a ciascun polo (Fig. 2.51).
Per quanto riguarda il diagramma delle fasi, si riporta solo il diagramma corretto, ottenuto con l’utilizzo di
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-122
Diagramma asintotico di Bode (moduli)
40
30
20
10
M
dB
0
−10
−20
−30
−40
−50
−1
10
0
1
10
10
2
10
rad/sec
Figura 2.48: Circuito RLC100: diagramma di Bode asintotico del polo p2 = −2.
Diagramma asintotico di Bode (moduli)
40
30
20
10
M
dB
0
−10
−20
−30
−40
−50
−1
10
0
1
10
10
2
10
rad/sec
Figura 2.49: Circuito RLC100: diagramma di Bode asintotico dello zero nell’origine z1 = 0.
Matlab (Fig. 2.52).
2.8
♦
Esercizi proposti
Esercizio 2.14 Si dimostri, con riferimento sia alla propriet`
a 2.8 di trasformazione di una derivata sia alla
notazione utilizzata in tale contesto e alle relative ipotesi, che:
lim u(t)e −st = 0.
t→∞
(2.345)
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-123
Diagramma asintotico di Bode (moduli)
40
30
20
10
M
dB
0
−10
−20
−30
−40
−50
−1
10
0
1
10
10
2
10
rad/sec
Figura 2.50: Circuito RLC100: diagramma di Bode asintotico (moduli)
Diagramma asintotico e corretto di Bode (moduli)
40
30
20
10
M
dB
0
−10
−20
−30
−40
−50
−1
10
0
1
10
10
2
10
rad/sec
Figura 2.51: Circuito RLC100: diagramma di Bode dei moduli corretto
Esercizio 2.15 Si dimostri, con riferimento alla propriet`
a 2.17, la trasformata di Laplace di una funzione
sinusoidale.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-124
Diagramma corretto di Bode (fasi)
100
80
60
40
deg
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−2
10
−1
0
10
10
rad/sec
1
10
2
10
Figura 2.52: Circuito RLC100: diagramma di Bode delle fasi corretto
Esercizio 2.16 Si consideri il sistema dinamico planare
0 1
x˙ =
x,
0 0
(2.346)
e si conduca l’analisi modale.
Esercizio 2.17 Si consideri il sistema dinamico planare
0 0
x˙ =
x,
0 0
(2.347)
e si conduca l’analisi modale.
Esercizio 2.18 Calcolare la funzione trasformata di Laplace della funzione del tempo:
x(t)
= e3t (t + 1)2 (δ−1 (t − 2) − δ−1 (t − 5)),
t ∈ R,
dove δ−1 (·) `e la funzione a gradino unitario.
Esercizio 2.19 Data le seguenti matrici


λ 1 0
A= 0 λ 1 
0 0 λ


λ 1 0
F = 0 λ 0 
0 0 λ
determinare, per mezzo della trasformazione di Laplace, gli esponenziali di matrice definiti da e At , t ∈ R+ e da
e F t , t ∈ R+ .
Discutere le due funzioni matriciali trovate.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-125
Esercizio 2.20 Data la seguente matrice

λ1
A= 0
0
1
λ2
0

0
1 
λ3
determinare, per mezzo della trasformazione di Laplace, la matrice e At , t ∈ R+ .
Esercizio 2.21 Calcolare la trasformata di Laplace delle seguenti funzioni:
Y1 (s)
=
Y2 (s)
=
Y3 (s)
=
e −2s
,
(s + 2)(s + 3)
2
,
s2 (s + 1)(s − 1)
s
.
(s + 6π)2
Esercizio 2.22 Calcolare la trasformata di Laplace della seguente funzione:

t ∈ R, t < 0,

 0,
2πt
x(t) =
| sin(
)|, t ∈ R, 6 ≥ t ≥ 0,

6

0,
t ∈ R, t > 6,
dove | · | indica la funzione valore assoluto. Si consiglia di disegnare la funzione, ed esprimerla poi come
combinazione lineare di funzioni trasformabili in modo semplice.
Esercizio 2.23 Per mezzo della trasformazione di Laplace, calcolare il valore numerico del seguente integrale:
Z +∞
τ 4 e−3τ dτ.
0
Esercizio 2.24 Calcolare la funzione antitrasformata di Laplace della seguente funzione:
X(s) =
s
.
(s2 + 4)2
Esercizio 2.25 Calcolare la funzione antitrasformata di Laplace della seguente funzione:
X(s) =
(s2
s
.
− 4)(s2 − 9)
Esercizio 2.26 Calcolare la funzione antitrasformata di Laplace della seguente funzione:
X(s) =
s
.
(s2 + 4)(s2 + 9)
Esercizio 2.27 Calcolare la funzione antitrasformata di Laplace della seguente funzione:
X(s) =
(s2
1
.
+ 1)(s2 − 1)
Esercizio 2.28 Calcolare la funzione antitrasformata di Laplace della seguente funzione:
X(s) =
(s2
1
.
− 16)(s2 + 9)
Esercizio 2.29 Calcolare la funzione trasformata di Laplace della seguente funzione:
x(t) = e 2t (2t + 1)(δ−1 (t − 2) − δ−1 (t − 4)),
dove δ−1 (t) `e la funzione gradino unitario.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-126
Esercizio 2.30 Calcolare la funzione trasformata di Laplace della seguente funzione:
x(t) = e 2t (t + 2)(δ−1 (t − 1) − δ−1 (t − 3)),
dove δ−1 (t) `e la funzione gradino unitario.
Esercizio 2.31 Determinare la trasformata di Laplace della seguente funzione
x(t) = |e 10 − e 2t |δ−1 (t),
t ∈ R,
dove δ−1 (·) `e la funzione a gradino unitario.
Esercizio 2.32 Data la seguente matrice

1
 4
B=
 1
1
0
0
0
4
0
0
0
0

0
0 

4 
4
determinare, per mezzo della trasformazione di Laplace, la matrice e Bt , t ∈ R+ .
Esercizio 2.33 Si consideri il seguente sistema di due equazioni differenziali lineari e stazionarie:
x˙ 1 (t) =
x˙ 2 (t) =
y(t) =
−x2 (t) − et + 1,
x2 (t) + et ,
x1 (t) + x2 (t).
Si determini, per mezzo della trasformazione di Laplace, la soluzione di tale sistema (sia nelle variabili di
stato che nella variabile di uscita) a partire da una condizione iniziale x(0) = (x1 (0), x2 (0))T nulla.
Esercizio 2.34 Si consideri il seguente sistema di due equazioni differenziali lineari e stazionarie:
x˙ 1 (t) =
x˙ 2 (t) =
y(t) =
−x2 (t),
x2 (t),
x1 (t) + x2 (t).
Si determini, per mezzo della trasformazione di Laplace, la soluzione di tale sistema (sia nelle variabili di
stato che nella variabile di uscita) a partire da una condizione iniziale x1 (0) = 1, x2 (0) = 0 ed a partire da una
condizioni iniziale x1 (0) = 0, x2 (0) = 1.
Esercizio 2.35 Dato il sistema lineare a tempo continuo:
x˙ 1
x˙ 2
y(t)
= x2
= −p1 x1 − (p1 + 1)x2 + u(t),
= 2x1 ,
se ne determini la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(t) e l’uscita y(t), parametricamente rispetto al
parametro p1 .
Si studi poi la forma della risposta nelle variabili x1 (t) ed y(t) per ingresso forzante u(t) = u1 (t), u1 (t) =
δ−1 (t) e per ingresso forzante u(t) = u2 (t), u2 (t) = sin(6πt), al variare del parametro p1 nell’insieme dei numeri
reali.
Esercizio 2.36 Dato il sistema lineare a tempo continuo:
x˙ 1
x˙ 2
y(t)
= x2
= −p1 x1 − (p1 + 1)x2 + u(t),
= x1 + x2 ,
se ne determini la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(t) e l’uscita y(t), al variare del parametro p1
nell’insieme dei reali.
Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-127
Esercizio 2.37 Dato il sistema lineare a tempo continuo:
x˙ 1
=
x2
x˙ 2
=
−6x1 − 5x2 + u(t),
y(t) =
x1 ,
si risolvano i seguenti problemi.
1. Determinare la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(t) e l’uscita y(t).
2. Calcolare la risposta in uscita per i seguenti segnali di ingresso, assumendo condizioni iniziali nulle:
u(t) =
u(t) =
sin(0.1t);
sin(t);
u(t) =
u(t) =
sin(10t);
2δ1 (t);
u(t) =
e 2t ;
u(t) =
t.
3. Valutare l’esistenza della risposta permanente del sistema.
4. Calcolare, se esiste, il vettore di condizioni iniziali x1 (0) = x1,0 , x2 (0) = x2,0 cui corrisponde una risposta
completa coincidente con la risposta permanente, assumendo come segnale di ingresso un gradino unitario.
Esercizio 2.38 Dato il sistema lineare a tempo continuo:
x˙ 1
=
x˙ 2 =
y(t) =
x2
−x1 − 2x2 + 2u(t),
x1 ,
risolvere i seguenti problemi.
1. Determinare la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(t) e l’uscita y(t).
2. Calcolare la risposta in uscita per i seguenti segnali di ingresso, assumendo condizioni iniziali nulle:
u(t) =
u(t) =
sin(0.5t);
sin(t);
u(t) =
u(t) =
δ2 (t);
e 4t .
3. Valutare l’esistenza della risposta permanente del sistema.
4. Calcolare, se esiste, il vettore di condizioni iniziali x1 (0) = x1,0 , x2 (0) = x2,0 cui corrisponde una risposta
completa coincidente con la risposta permanente, assumendo come segnale di ingresso una rampa con
pendenza unitaria.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-128
Capitolo 3
Analisi di sistemi lineari stazionari a
tempo discreto
3.1
Introduzione
In questo capitolo vengono presentati strumenti per l’analisi del comportamento nel tempo di sistemi dinamici
lineari, stazionari, a tempo discreto (LSTD).
Dopo aver introdotto la rappresentazione esplicita e la trasformata Zeta, si affronta il tema dell’analisi
modale, del comportamento ingresso-uscita e della risposta forzata. Il capitolo si conclude con lo studio della
risposta permamente e con esempi ed esercizi.
3.2
Rappresentazione esplicita per sistemi LTDS
La classe di sistemi a tempo discreto considerata in queste note `e costituita dai sistemi lineari, stazionari, a
dimensione finita e causali, rappresentabili per mezzo di equazioni alle differenze finite della seguente forma:
x(k + 1) =
y(k) =
Ax(k) + Bu(k),
Cx(k) + Du(k),
x ∈ Rn , u ∈ Rm , k ∈ Z
y ∈ Rp
(3.1a)
(3.1b)
in cui A, B, C e D sono matrici ad elementi reali di dimensioni compatibili con il vettore di stato x, il vettore
delle sequenze di ingresso u ed il vettore delle sequenze di uscita y.
Nel seguito un sistema del tipo precedente verr`a sinteticamente indicato con la notazione Σ(A, B, C, D),
mentre le equazioni alle differenze finite verranno indicate anche con il termine rappresentazione implicita del
sistema.
Lo studio del comportamento dei sistemi dinamici a tempo discreto pu`
o essere condotto analizzando le
propriet`
a della soluzione dell’equazione alle differenze finite corrispondente. In particolare, il comportamento
del vettore di stato x(k) e del vettore di uscita y(k) pu`
o essere descritto tramite la rappresentazione esplicita,
cio`e tramite la soluzione dell’equazione alle differenze finite (3.1) e dell’equazione algebrica (3.1b). Nel caso
generale tale rappresentazione esplicita `e data, formalmente, dalle due funzioni seguenti:
x(k)
=
x(k, k0 , x0 , u[k0 ,k] ) = x(k, k0 , x0 , u(·))
(3.2a)
y(k) =
y(k, k0 , x0 , u[k0 ,k] ) = y(k, k0 , x0 , u(·)).
(3.2b)
La funzione x(k, k0 , x0 , u[k0 ,k] ), per semplicit`a indicata con la notazione x(k, k0 , x0 , u(·)) `e la rappresentazione
esplicita nello stato, e definisce il valore dello stato all’istante k, a partire dalla condizione iniziale x0 all’istante k0
sotto l’effetto della sequenza di ingresso u(·), ristretta all’intervallo temporale [k0 , k]1 . La funzione y(k, k0 , x0 , u(·))
`e la rappresentazione esplicita in uscita, a partire dalla condizione iniziale x0 all’istante k0 sotto l’effetto della
sequenza di ingresso u[k0 ,k] .
Nel caso dei sistemi a tempo discreto la forma della rappresentazione esplicita, cio`e della soluzione dell’equazione
alle differenze, pu`
o essere ricavata per semplice ragionamento induttivo. Si consideri inizialmente il caso di un
1 La
notazione s[k1 ,k2 ] indica la porzione di seguenza s relativa all’intervallo [k1 , k2 ].
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-129
sistema omogeneo, cio`e senza segnale di ingresso, caratterizzato dalla condizione iniziale x(0) = x0 . In tal caso,
limitatamente alla dinamica dello stato ed assumendo nullo l’istante iniziale, il sistema `e descritto dall’equazione:
x(k + 1) = Ax(k),
(3.3)
da cui, per induzione:
x(1)
x(2)
= Ax(0)
= Ax(1) = A2 x0
(3.4a)
(3.4b)
x(3)
= Ax(2) = A3 x0
..
.
= Ax(k − 1) = Ak x0 .
(3.4c)
x(k)
(3.4d)
La soluzione nelle variabili di stato del sistema dinamico omogeneo (3.3), ovvero la risposta libera nello stato, a
partire dalla condizione iniziale x0 all’instante iniziale k0 = 0, assume quindi la forma:
x(k, 0, x0 , 0) = Ak x0 .
(3.5)
La matrice Ak verr`a detta nel seguito matrice esponenziale a tempo discreto, brevemente matrice esponenziale
` detta anche matrice di transizione dello stato a tempo discreto.
discreta. E
Nel caso generale di sistema forzato, descritto quindi dalla rappresentazione implicita:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
(3.6)
procedendo ancora per induzione si trova:
x(1) =
Ax0 + Bu(0)
x(2) =
=
Ax(1) + Bu(1)
A2 x0 + ABu(0) + Bu(1)
=
A2 x0 +
1
X
(3.7a)
A2−1−i Bu(i)
(3.7b)
i=0
x(3) =
=
=
Ax(2) + Bu(2)
A3 x0 + A2 Bu(0) + ABu(1) + Bu(2)
2
X
A3−1−i Bu(i)
A3 x0 +
(3.7c)
i=0
x(k)
..
.
=
=
=
Ax(k − 1) + Bu(k − 1)
Ak x0 + Ak−1 Bu(0) + · · · + ABu(k − 2) + Bu(k − 1)
Ak x0 +
k−1
X
Ak−1−i Bu(i),
(3.7d)
i=0
e quindi la soluzione del sistema dinamico (3.6) nello stato, ovvero la risposta completa nello stato, a partire
dalla condizione iniziale x0 all’instante iniziale k0 = 0, sotto l’azione della sequenza di ingresso u(·), assume la
forma:
k−1
X
k
Ak−1−i Bu(i).
(3.8)
x(k, 0, x0 , u(·)) = A x0 +
i=0
Pk−1
k−1−i
La sommatoria
Bu(i) nell’equazione (3.8) `e l’equivalente a tempo discreto dell’integrale di
i=0 A
convoluzione, ed `e chiamata convoluzione discreta.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
3.2.1
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-130
Risposta libera e risposta forzata
Si noti che la risposta completa nello stato `e lineare sia rispetto alla condizione iniziale, sia rispetto alla sequenza
di ingresso. In virt`
u di questa linearit`a per la risposta completa vale il ben noto principio di sovrapposizione degli
effetti: la risposta completa alla condizione iniziale x0 ed alla sequenza di ingresso u(·) pu`
o essere scomposta
nel contributo della risposta libera xℓ )(·) e della risposta forzata xf (·):
x(k)
x(k)
=
=
xf (k) + xℓ (k),
(3.9a)
x(k, 0, x0 , u(·)) = Ak x0 +
k
X
Ak−1−i Bu(i)
(3.9b)
i=0
xf (k) =
xℓ (k) =
x(k, 0, 0, u(·)) =
x(k, 0, x0 , 0) =
k
X
Ak−1−i Bu(i)
i=0
Ak x0 .
(3.9c)
(3.9d)
Si noti come la risposta libera nello stato xℓ (·) descrive solo l’effetto della condizione iniziale del sistema, in
assenza di ingresso, mentre la risposta forzata nello stato xf (·) descrive solo l’effetto della sequenza di ingresso,
a partire da condizioni iniziali nulle.
Le considerazione relative all’evoluzione dello stato possono essere estese facilmente al caso dell’uscita,
tenendo conto del fatto che il legame uscita-stato `e statico:
y(k) = Cx(k) + Du(k).
(3.10)
La risposta completa in uscita `e data quindi da:
y(k) = y(k, 0, x0 , u(·)) = CAk x0 +
k−1
X
CAk−1−i Bu(i) + Du(k),
(3.11)
i=0
ed analogamente per la risposta libera in uscita yℓ (·) e la risposta forzata in uscita yf (·):
yℓ (k)
yf (k)
= y(k, 0, x0 , 0) = CAk x0
= y(k, 0, 0, u(·)) =
k−1
X
i=0
CAk−1−i Bu(i) + Du(k).
(3.12a)
(3.12b)
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
3.3
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-131
La trasformata Z
Lo studio dei sistemi lineari stazionari a tempo discreto, ed in particolare lo studio dei legami ingresso-uscita
di tali sistemi, `e di solito condotto facendo uso delle strumento formale-simbolico della trasformata Z.
In queste note la trasformata Z viene presentata in modo estremamente sintetico ed operativo. Per tutti gli
aspetti formali e di esistenza della trasformata si rimanda a testi specifici.
Si consideri una sequenza f : Z+ → C, {f (k) = fk , k = 0, 1, 2, . . .}. La trasformata Z `e un operatore
dallo spazio di tali sequenze allo spazio di funzioni di variabile complessa, ed associa ad ogni sequenza f (·) una
funzione, indicata (impropriamente) con F (z) = Z[f (k)], e definita dalla serie:
F (z) :=
∞
X
f (k)z −k ,
(3.13)
k=0
ammesso che tale serie converga. Tenendo conto del fatto che F (z) `e definita a partire da una serie in z −1 ,
la convergenza sar`a ottenuta all’esterno di un cerchio centrato nel’origine del piano complesso e di raggio R
sufficientemente grande. Il valore di tale raggio `e detto raggio di convergenza della trasformata U (z), e dipende
dalla specifica sequenza considerata. La regione del piano complesso esterna al cerchio di raggio R centrato
nell’origine `e detta regione di convergenza o dominio di convergenza.
Ad esempio, si consideri la funzione (a tempo discreto) impulso unitario, definito da:
1 k=0
δ(k) =
(3.14)
0 k 6= 0
La trasformata Z di u(k) = δ(k) `e data da:
U (z) = Z[u(k)] = 1,
(3.15)
infatti, dalla definizione, segue immediatamente:
U (z) = u(0) + u(1)z −1 + u(2)z −2 + · · · = u(0) = 1.
(3.16)
Da quanto precede, segue facilmente che il raggio di convergenza `e R = 0.
Nota la trasformata Z di una sequenza, sia essa X(z), la sua rappresentazione nel dominio del tempo pu`
o
essere ottenuta tramite la anti-trasformata Z, o trasformata inversa, definita dal seguente integrale di inversione:
Z
1
x(k) = Z −1 [X(z)] =
z k−1 X(z)dz, ∀k ∈ Z+ ,
(3.17)
2π Γ
dove l’integrale di linea `e calcolato lungo una circonferenza Γ interna alla regione di convergenza e con centro
nell’origine del piano z.
L’uso della trasformata Z, analogamente a quanto visto per la trasformata di Laplace, `e reso particolarmente
agevole da alcune propriet`
a fondamentali, che consentono di ricavare la trasformata della maggior parte dei
segnali di interesse a partire da quella di pochi segnali notevoli (si veda le seguente tabella 3.1).
3.3.1
Propriet`
a della trasformata Zeta
Le seguenti propriet`
a della trasformata Zeta sono di fondamentale importanza.
Propriet`
a 3.1 (Propriet`
a di unicit`
a) Data una funzione olomorfa U (z), definita nella regione di piano complesso esterna ad un cerchio di raggio ρ, esiste ed `e unica una funzione x(k), k ∈ Z+ , che soddisfa la condizione:
U (z) = Z[x(k)],
(3.18)
e che pu`
o essere calcolata per mezzo dell’integrale (3.17), con Γ cerchio di raggio maggiore di ρ.
Propriet`
a 3.2 (Linearit`
a) Siano u(k) e y(k), k ∈ Z+ , due sequenze temporali, con trasformata Zeta U (z) ed
Y (z), rispettivamente. Allora, vale la seguente propriet`
a di linearit`
a:
Z[c1 u(k) + c2 y(k)] = c1 U (z) + c2 Y (z),
∀c1 , c2 ∈ R.
(3.19)
⊓
⊔
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-132
Analogamente a quanto gi`
a visto nel caso dei sistemi a tempo continuo, le due propriet`
a di unicit`
a e linearit`a
sono di fondamentale importanza concettuale, e senza di loro la trasformata Zeta non sarebbe di alcun interesse
pratico. Le sequenti propriet`
a hanno invece un significato operativo: descrivono le situazioni specifiche nelle
quali la trasformata riveste interesse e le corrispondenti forme di impiego.
Propriet`
a 3.3 (Ritardo (Scorrimento a destra)) Siano u(k) ed U (z) una sequenza temporale e la sua
trasformata. Allora, dato un intero h > 0, la funzione traslata nel tempo u(k − h) ha trasformata:
Z[u(k − h)] = z −h U (z).
(3.20)
Dimostrazione.
Z[u(k − h)] =
∞
X
k=0
u(k − h)z
−t
=
∞
X
u(k)z
−(k+h)
=z
−h
k=−h
∞
X
u(k)z
−k
=z
k=−h
−h
∞
X
u(k)z −k = z −h U (z).
k=0
⊓
⊔
Propriet`
a 3.4 (Anticipo (Scorrimento a sinistra)) Siano u(k) ed U (z) una sequenza temporale e la sua
trasformata. Allora, dato un intero h > 0, la funzione traslata nel tempo a sinistra (anticipata) u(k + h) ha
trasformata:
#
"
h−1
X
−t
h
.
(3.21)
u(k)z
Z[u(k + h)] = z U (z) −
k=0
Nel caso particolarmente importante in cui lo scorrimento `e di un solo passo, si ha:
Z[x(k + 1)] = zU (z) − zu(0).
(3.22)
Dimostrazione. La trasformata di interesse `e data da:
Z [x(k + h)]
=
∞
X
x(k + h)z −t =
t=0
= zh
∞
X
k=h
∞
X
x(k)z −(k−h) = z h
k=h
x(k)z −k ± z h
∞
X
x(k)z −k
k=h
h−1
X
x(k)z −k = z h
k=0
∞
X
k=0
x(k)z −k − z h
h−1
X
k=0
x(k)z −k = z h X(z) − z h
h−1
X
x(k)z −k
k=0
⊓
⊔
Propriet`
a 3.5 (Traslazione nel dominio di z (traslazione complessa)) Siano u(k), k ∈ Z+ , ed U (z) un
segnale del tempo e la sua trasformata. Allora, la funzione ak u(k) ha trasformata pari a:
z
Z[ak u(k)] = U ( ).
a
(3.23)
⊓
⊔
Propriet`
a 3.6 (Convoluzione) Siano u(k) ed y(k) due sequenze del tempo, k ∈ Z+ , U (z) ed Y (z) le loro
trasformate. Allora, la convoluzione delle due sequenze, definita da:
u(k) ∗ y(k) :=
k
X
τ =0
u(k − τ )y(τ ) =
k
X
τ =0
u(τ )y(k − τ )
(3.24)
ha trasformata pari a:
Z [u(k) ∗ y(k)] = U (z)Y (z).
(3.25)
⊓
⊔
Propriet`
a 3.7 (Differenziazione rispetto a z) Siano u(k), k ∈ Z, ed U (z) un segnale del tempo e la sua
trasformata. Allora, la funzione ku(k) ha trasformata Zeta pari a:
Z [ku(k)] = −z
d
U (z).
dz
(3.26)
⊓
⊔
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
3.3.2
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-133
Trasformata Zeta di segnali notevoli
Si danno ora le trasformate di alcuni segnali elementari, di interesse nello studio di sistemi dinamici.
Propriet`
a 3.8 (Gradino unitario) Sia δ−1 (k), k ∈ Z la funzione gradino unitario:
0 ∈ Z, < 0
δ−1 (k) =
,
1 k ∈ Z, k ≥ 0
la sua trasformata Zeta `e data da:
Z[δ−1 (k)] =
z
.
(z − 1)
(3.27)
(3.28)
Dimostrazione In questo caso la serie formale che definisce la trasformata Zeta diviene:
∞
X
u(k)z −k =
k=0
∞
X
z −k ,
(3.29)
k=0
e tale serie converge, per tutti i valori z con |z| > 1, ed ha come somma:
1
z
=
.
−1
1−z
z−1
Propriet`
a 3.9 (Rampa unitaria) Sia δ−2 (k) una rampa con pendenza unitaria:
0 k ∈ Z, k < 0
δ−2 (k) =
,
k k ∈ Z, k ≥ 0
la sua trasformata Zeta `e data da:
Z [δ−2 (k)] =
z
.
(z − 1)2
(3.30)
⊓
⊔
(3.31)
(3.32)
Dimostrazione Si ottiene facilmente a partire dalla trasformata di un gradino, applicando la propriet`
a (3.7) di
differenziazione rispetto a z.
⊓
⊔
Propriet`
a 3.10 (Segnale esponenziale) Sia u(k) un segnale esponenziale (a tempo discreto) con costante
a:
0
k ∈ Z, k < 0
u(k) =
,
(3.33)
ak k ∈ Z, k ≥ 0
la sua trasformata Zeta `e data da:
Z[ak δ−1 (k)] =
z
.
z−a
(3.34)
o dimostrare a partire dalla trasformata di un gradino, tenendo conto della
Dimostrazione Il risultato si pu`
propriet`
a 3.5 di traslazione nel dominio di z.
⊓
⊔
Propriet`
a 3.11 (Segnale esponenziale-rampa) Sia u(k) il prodotto di un esponenziale per una rampa:
0
k ∈ Z, k < 0
,
(3.35)
u(k) =
kak k ∈ Z, k ≥ 0
la sua trasformata Zeta `e data da:
Z[kak ] =
az
.
(z − a)2
(3.36)
a (3.7) di
Dimostrazione Si ottiene facilmente a partire dalla trasformata di un gradino, applicando la propriet`
differenziazione rispetto a z.
⊓
⊔
A scopo esemplificativo, la tabella 3.1 raccoglie le trasformate dirette ed inverse di alcune funzioni di uso
comune. Di norma, tali trasformate si ottengono facilmente a partire da quelle riportate sopra, tramite le
propriet`
a descritte in precedenza.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
3.3.3
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-134
Alcuni teoremi
Nello studio dei sistemi dinamici sono utili alcuni teoremi sui legami tra i valori limite di un segnale del
tempo e della corrispondente trasformata Zeta.
Teorema 3.1 (Valore finale) Sia u(k), k ∈ Z+ , una funzione del tempo, con trasformata U (z). Allora, il
limite per k che tende ad infinito di tale funzione, se esiste ed `e finito, `e dato da:
lim u(k) = lim
k→∞
z→1+
z−1
U (z).
z
(3.37)
Si noti che il teorema `e applicabile solo se il raggio di convergenza `e minore di uno, cio`e solo se il cerchio unitario
`e tutto interno alla regione di convergenza.
Teorema 3.2 (Valore iniziale) Sia u(k), k ∈ Z+ , una funzione del tempo, con trasformata U (z). Allora il
valore iniziale della sequenza, u(0), `e dato da:
u(0) = lim U (z).
|z|→∞
(3.38)
(3.39)
3.3.4
Esponenziale di matrice e matrice di trasferimento per sistemi LSTD
Si consideri il sistema dinamico:
x(k + 1) = Ax(k),
x(0) = x0 , k ∈ Z+
(3.40)
` noto che la soluzione di tale equazione omogenea alle differenze finite, cio`e la risposta nello stato del sistema
E
alla data condizione iniziale, la risposta libera nello stato, `e descritta dall’esponenziale di matrice (a tempo
discreto):
x(k) = Ak x0 , k ∈ Z+ .
(3.41)
Per il calcolo di tale esponenziale di matrice si pu`
o far uso della trasformata Zeta. Infatti, per la propriet`
a
della trasformata di una funzione traslata nel tempo, il sistema precedente, nel dominio della variabile z, pu`
o
essere scritto come:
zX(z) − zx0 = AX(z),
(3.42)
da cui segue facilmente:
(zI − A)X(z) = zx0 .
(3.43)
Nel campo razionale (e non, si badi bene, nel campo dei reali o dei complessi), la matrice (zI − A) `e non
singolare, infatti il suo determinante `e il polinomio caratteristico del sistema, per cui l’equazione precedente pu`
o
essere risolta rispetto alla trasformata dello stato, trovando:
X(z) = z(zI − A)−1 x0 ,
(3.44)
x(k) = Z −1 z(zI − A)−1 x0 ,
(3.45)
Ak = Z −1 z(zI − A)−1 .
(3.46)
da cui, antitrasformando, segue:
e quindi, dal confronto con (3.41), segue:
Per quanto riguarda invece l’analisi di un sistema lineare a tempo discreto, il metodo della trasformata Zeta
consente di determinare in modo semplice il legame ingresso-uscita, e cio`e la matrice di trasferimento, di tale
sistema. Si consideri allora il sistema:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),
y(k) = Cx(k) + Du(k),
x ∈ Rn , u ∈ Rm , k ∈ Z+
y ∈ Rp .
(3.47)
(3.48)
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-135
Nel dominio della variabile z il sistema `e quindi descritto da:
zX(z) − zx0 =
Y (z) =
AX(z) + BU (z)
CX(z) + DU (z),
(3.49)
(3.50)
e quindi, tenendo conto della non-singolarit`
a della matrice (zI − A) nel campo delle funzioni razionali, si trova:
X(z) =
Y (z) =
(zI − A)−1 BU (z) + z(zI − A)−1 x0 ,
−1
C(zI − A)
(3.51a)
−1
BU (z) + DU (z) + zC(zI − A)
x0 .
(3.51b)
Le due equazioni (3.51) descrivono completamente il sistema. La (3.51a) descrive l’effetto delle condizioni
iniziali e dell’ingresso sullo stato, mentre la seconda descrive il legame tra le stesse grandezze e la funzione di
uscita.
I termini delle (3.51) che descrivono l’effetto delle condizioni iniziali sullo stato e sull’uscita sono dette
risposte libere, nello stato e nell’uscita, rispettivamente:
Xℓ (z) = z(zI − A)−1 x0 ,
Yℓ (z) = zC(zI − A)−1 x0
(3.52)
(3.53)
mentre i termini che descrivono l’effetto del segnale (vettoriale) di ingresso sullo stato e sull’uscita sono dette
risposte forzate, nello stato e nell’uscita, rispettivamente:
Xf (z) = (zI − A)−1 BU (z),
Yf (z) = C(zI − A)−1 BU (z) + DU (z).
(3.54)
(3.55)
Infine, la matrice di funzioni razionali
W (z) = C(zI − A)−1 B + D,
(3.56)
che descrive completamente il legame tra il segnale di ingresso e quello di uscita (nel caso di condizioni iniziali
nulle), `e detta matrice di trasferimento del sistema. Nel caso in cui sia il segnale di ingresso che quello di uscita
siano scalari, e cio`e nel caso m = 1 e p = 1, si parla di funzione di trasferimento.
3.3.5
Antitrasformata di funzioni razionali proprie
Il legame ingresso-uscita di un sistema lineare stazionario a tempo discreto `e rappresentabile con una matrice
di funzioni razionali proprie nella variabile z. Tenendo conto della forma della trasformata di segnali esponenziali
e polinomiali, anche l’uscita di un sistema lineare, in risposta a segnali di questo tipo, `e descritta, nel dominio
` quindi di notevole importanza vedere come calcolare la trasformata inversa
di z, da una funzione razionale. E
di una data funzione razionale Y (z). Si procede esattamente come nel caso dei sistemi a tempo continuo, salvo
1
l’opportunit`a di lavorare con la funzione Y (z) := Y (z). Si noti che la funzione Y (z) `e propria, o strettamente
z
propria, e quindi la funzione Y (z) `e sempre strettamente propria.
Si consideri allora la seguente funzione Y (z), propria e con denominatore monico:
Y (z) =
βn z n + βn−1 z n−1 + · · · + β1 z + β0
,
z n + αn−1 z n−1 + · · · + α1 z + α0
(3.57)
e si assuma, per semplicit`a, che le radici del denominatore siano tutte distinte (e complesse coniugate a coppia,
se non reali), e non sia presente un polo nell’origine (perch`e introdotto artificialmente nel seguito), cio`e:
z n + αn−1 z n−1 + · · · + α1 z + α0 =
n
Y
(z − pi ),
i=1
pi 6= pj , i 6= j, pi 6= 0.
(3.58)
1
Per ben noti risultati sulle funzioni razionali, la funzione Y (z) = Y (z), che `e sempre strettamente propria,
z
pu`
o essere scomposta in frazioni parziali:
Y (z) =
A0
A2
An
A1
+
+ ··· +
,
+
z
z − p1
z − p2
z − pn
(3.59)
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-136
(z − pi )
Y (z).
z
A partire dalla scomposizione in frazioni parziali (3.59), la funzione originale Y (z) pu`
o essere riscritta come:
con A0 = limz→0 zY (z) = limz→0 Y (z) ed inoltre Ai = limz→pi (z − pi )Y (z) = limz→pi
Y (z) = A0 + A1
z
z
z
+ A2
+ · · · + An
,
z − p1
z − p2
z − pn
(3.60)
e quindi, tenendo conto della propriet`
a 3.2 di linearit`a e delle trasformate di segnali notevoli, si vede immediatamente che il segnale y(k) `e dato da:
y(k) = A0 δ(k) + A1 pk1 + A2 pk2 + · · · + An pkn .
(3.61)
Nel caso in cui alcuni poli del sistema abbiano molteplicit`
a maggiore di uno, il procedimento `e analogo, salvo
la forma della espansione in frazioni parziali. In questo caso, possono essere presenti un numero qualsiasi di poli
nell’origine. Sia allora Y (z) una generica funzione razionale propria,
Y (z) =
βn z n + βn−1 z n−1 + · · · + β1 z + β0
.
z n + αn−1 z n−1 + · · · + α1 z + α0
(3.62)
1
o essere espansa in frazioni
e si consideri la funzione Y (z) = Y (z), che `e strettamente propria. Tale funzione pu`
z
parziali nella forma:
qi
r X
X
Ai,j
Y (z) =
,
(3.63)
(z
− pi )j
i=1 j=1
dove r indica il numero di poli distinti della Y (z), compreso il polo nell’origine, sicuramente presente, qi indica
la molteplicit`
a del polo pi , ed il generico residuo Ai,j `e calcolato come:
1
1
dqi −j dqi −j (z − pi )qi
qi
=
lim
Ai,j = lim
W
(z)
(z
−
p
)
W
(z)
.
(3.64)
i
z→pi
z→pi
(qi − j)! dz qi −j
(qi − j)! dz qi −j
z
In tal caso, tenendo conto delle varie propriet`
a della trasformata Zeta, ed assumendo che p1 indica il polo
nell’origine (p1 = 0), si ha:
y(k) = Z −1 [Y (z)] =
q1
X
j=1
A1,j δ(k − j) +
qi
r X
X
i=2 j=1
Ai,j
k
j
pi k−j .
(3.65)
Un modo alternativo per tenere conto di possibili poli nell’origine nella funzione razionale da trattare consiste
nel notare che un fattore z ν a denominatore corrisponde ad un ritardo di ν passi della corrispondente funzione del
tempo. Si possono quindi trascurare tali poli nulli, calcolare la trasformata inversa della funzione Yˆ (z) = z ν Y (z),
e poi traslare a destra (ritardare) di ν passi il segnale cos`ı ottenuto.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-137
Funzione del tempo (sequenza)
Trasformata Zeta
δ(k) (impulso unitario)
1
δ−1 (k) (gradino unitario)
z
(z − 1)
kδ−1 (k) (rampa unitaria)
z
(z − 1)2
δ−1 (k − a) (gradino unitario con inizio in k = a)
z −a
ak (potenza)
z
z−a
kak (potenza-polinomio)
az
(z − a)2
sin(kωT ) (sinusoide)
z sin(ωT )
z 2 − 2z cos(ωT ) + 1
cos(kωT ) (cosinusoide)
z[z − cos(ωT )]
z 2 − 2z cos(ωT ) + 1
a
k−h
k
h
(esponenziale-fattore binomio)
z
(z − 1)
z
(z − a)h+1
u(k − h)
z −h U (z)
u(k + h)
z h U (z) − z h
ak u(k)
U ( az )
u(k) ∗ y(k)
U (z)Y (z)
ku(k)
−z
Ph−1
t=0
u(k)z −k
d
U (z)
dz
Tabella 3.1: Trasformate ed antitrasformate Zeta di uso comune
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
3.3.6
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-138
Esercizi risolti
Esercizio 3.1 Calcolare la trasformate z delle due funzioni seguenti:
k+1
k
(δ−1 (k − 2) − δ−1 (k − 5)), k ∈ Z
x(k) = 3
2
k+2
(δ−1 (k − 1) − δ−1 (k − 3)), k ∈ Z,
x(k) = 2k
3
k+h
dove
, con h e k positivi, k < t + h, `e definito nel modo seguente:
k

 0,
k ∈ Z, k < k − h,
k+h
(k + h)!
=
k
, k ∈ Z, k ≥ k − h.

(k + h − k)!k!
ed inoltre δ−1 (·) `e la funzione gradino unitario.
Soluzione Per risolvere l’esercizio conviene scrivere le funzioni di interesse come somma di segnali con trasformata nota, eventualmente traslati nel tempo. In questo caso la presenza dei due gradini unitari traslati suggerisce di costruire opportune funzioni del tempo traslate allo stesso modo. Nel seguito si risolvere l’esercizio
solo relativamente alla prima funzione, lasciando la seconda al “lettore”.
Conviene cominciare scrivendo in modo esplicito il termine binomio:
(k + 1)k(k − 1)!
(k + 1)!
k+1
=
, k ≥ 1,
=
2
(k − 1)! 2!
(k − 1)! 2!
(k + 1)t
=
.
2
La funzione di interesse pu`
o quindi essere riscritta, per la parte relativa a k ≥ 1, come:
x(k)
x2 (k)
x5 (k)
(k + 1)k
(δ−1 (k − 2) − δ−1 (k − 5)) = x2 (k) − x5 (k),
2
(k + 1)k
δ−1 (k − 2),
:= 3k
2
(k + 1)k
δ−1 (k − 5).
:= 3k
2
=
3k
Si scriva ora la funzione x2 (k) sotto forma di funzione del tempo traslata di due passi:
x2 (k)
[(k − 2) + 3][(k − 2) + 2]
(k + 1)k
δ−1 (k − 2) = 32 3(k−2)
δ−1 (k − 2)
2
2
2
[(k − 2) + 5(k − 2) + 6]
δ−1 (k − 2)
= 32 3(k−2)
2
32 (k−2)
=
3
[(k − 2)2 + 5(k − 2) + 6]δ−1 (k − 2)
2
= 3k
e quindi tale funzione `e interpretabile come combinazione lineare delle funzioni k 2 3k , k3k e 3k , traslate di due
passi. Si devono quindi determinare le seguenti trasformate:
Z k 2 3k
=
Z 3k
=
Z k3k
=
3z(z + 3)
,
(z − 3)3
3z
,
(z − 3)2
z
.
(z − 3)
La trasformata del termine k 2 3k si pu`
o ottenere dalla propriet`
a di differenziazione rispetto a z:
3z(z + 3)
3z
d d
=
.
Z k 2 3k = −z Z k3k = −z
dz
dz (z − 3)2
(z − 3)3
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-139
Sulla base delle identit`
a precedenti, la trasformata della funzione x2 (k), tenendo conto del ritardo di due
passi che la caratterizza, `e pari a:
32 −2 3z(z + 3)
3z
z
−2
−2
z
,
X2 (z) =
+ 5z
+ 6z
2
(z − 3)3
(z − 3)2
(z − 3)
32 3(z + 3)
15
6
=
.
+
+
2 z(z − 3)3
z(z − 3)2
z(z − 3)
Per determinare la trasformata della funzione x5 (k) si procede in modo analogo. Si scriva la funzione x5 (k)
sotto forma di funzione del tempo traslata di cinque passi:
x5 (k)
= 3k
=
[(k − 5) + 6][(k − 5) + 5]
(k + 1)k
δ−1 (k − 5) = 35 3(k−5)
δ−1 (k − 5)
2
2
35 (k−5)
3
[(k − 5)2 + 11(k − 5) + 30]δ−1 (k − 5)
2
e quindi anche questa funzione `e interpretabile come combinazione lineare delle funzioni k 2 3k , k3k e 3k , traslate
di cinque passi. Sulla base delle trasformate calcolate in precedenza, la funzione X5 (z) `e pari a:
3z
z
35 −5 3z(z + 3)
−5
−5
z
,
+
11z
+
30z
X5 (z) =
2
(z − 3)3
(z − 3)2
(z − 3)
35
3(z + 3)
33
30
=
.
+
+
2 z −4 (z − 3)3
z −4 (z − 3)2
z −4 (z − 3)
Infine, la trasformata della funzione x(k) `e data da:
X(z) =
=
X2 (z) + X5 (z)
15
6
32 3(z + 3)
+
+
+
2 z(z − 3)3
z(z − 3)2
z(z − 3)
35
3(z + 3)
33
30
.
+ −4
+ −4
2 z −4 (z − 3)3
z (z − 3)2
z (z − 3)
♦
Esercizio 3.2 Date le matrici:

2 1
A= 0 2
0 0

0
1 ,
2

λ 1
B= 0 λ
0 0

0
1 ,
λ

λ
F = 0
0

1 0
λ 0 ,
0 λ
calcolare gli esponenziali di matrice (a tempo discreto) Ak , k ∈ Z+ , B k , k ∈ Z+ e F k , k ∈ Z+ , per mezzo della
trasformata z. Commentare il risultato, in termini di presenza di termini polinomiale-esponenziale nel risultato.
Soluzione Si tratta di determinare l’esponenziale (a tempo discreto) relativa alla matrice:


2 1 0
A =  0 2 1 .
0 0 2
utilizzando la relazione Ak = Z −1 [z(zI − A)−1 ]. Punto di partenza `e quindi il calcolo della matrice (zI − A)−1 ,
data da:


z − 2 −1
0
adj
(zI
−
A)
, (zI − A) =  0
z − 2 −1  .
(zI − A)−1 =
det(zI − A)
0
0
z−2
Per quanto riguarda il determinante, si trova facilmente:
det(zI − A) = (z − 2)3 ,
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-140
mentre per l’aggiunta:
complementi algebrici =
aggiunta =
(z − 2)2
 (z − 2)
1

2
(z − 2)

0
0

(z − 2)
(z − 2)2
0
e quindi la trasformata zeta dell’esponenziale di matrice `e pari a:

z
z
 (z − 2) (z − 2)2

z
−1
0
z(zI − A) = 

(z − 2)

0
0
Ricordando che Z a
matrice:
(k−h)
k
h
=

0
,
0
(z − 2)2

1
(z − 2)  ,
(z − 2)2
0
(z − 2)2
(z − 2)
z
(z − 2)3
z
(z − 2)2
z
(z − 2)



.


z
si trova facilmente, per la trasformata dei vari elementi della
(z − a)h+1
z
Z −1
z−2
z
Z −1
(z − 2)2
z
Z −1
(z − 2)3
= (2)k ,
= (2)(k−1)
= (2)(k−2)
k
1
k
2
,
.
Complessivamente quindi l’esponenziale di matrice a tempo discreto cercata `e data da:


k
k
(2)k (2)(k−1)
(2)(k−2)


1
2


k

.
k
A =
k
(k−1)

0
(2)
(2)


1
k
0
0
(2)
La soluzione relativamente alle matrici B ed F `e lasciata per ulteriore esercizio, che non presenta difficolt`
a,
alla luce di quanto gi`
a risolto.
♦
Esercizio 3.3 Dato il sistema dinamico a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni alle differenze finite:
x1 (k + 1) =
x2 (k + 1) =
y(k) =
x2 (k),
1
x1 (k) + u(k),
4
x1 (k),
si determini:
1. la sua funzione di trasferimento;
2. l’esponenziale di matrice soluzione dell’equazione alle differenze;
3. la risposta libera nello stato e in uscita alle condizioni iniziali x1 (0) = 1, x2 (0) = 1;
4. la risposta forzata in uscita per un segnale di ingresso u(k) = 2δ−1 (k);
5. le condizioni iniziali a partire dalle quali la risposta completa nell’uscita per un ingresso a gradino unitario
`e costante per ogni istante di tempo (cio`e, le condizioni iniziali per le quali la risposta completa al gradino
coincide con la corrispondente risposta permanente).
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-141
Soluzione Ci si limita a risolvere esplicitamente solo il punto 5, relativo alla determinazione di opportune
condizioni iniziali. Per ottenere questo risultato tuttavia sar`a necessario risolvere, di fatto, anche alcuni degli
altri punti.
La risposta completa in uscita del sistema in esame, riscritto nella forma:
x(k + 1) = Ax(k) + bu(k),
y(k) = cx(k),
con
A=
0 1
1/4 0
,
b=
0
1
,
c=
ha una trasformata zeta pari a:
1 0
,
(3.66)
Y (z) = c(zI − A)−1 bU (z) + zc(zI − A)−1 x0 ,
dove x0 = (x1,0 , x2,0 )T indica la generica condizione iniziale. Si vede facilmente che il determinante ∆ e l’inversa
della matrice (zI − F )−1 sono pari a:
1
1
z 1
−1
2
.
∆ = z − , (zI − A) =
4
∆ 14 z
La funzione di trasferimento del sistema in esame `e data da:
−1
W (z) = c(zI − A)
1 1
b=
∆
0
z
1
4
1
z
0
1
1
=
z2 −
1
4
(si noti che il sistema di interesse `e in forma canonica di controllore, e quindi la sua funzione di trasferimento
si pu`
o calcolare in modo immediato senza passare per il prodotto c(zI − A)−1 b).
z
, la funzione Y (z) vale:
Considerando un gradino in ingresso, con trasformata pari a
z−1
Y (z) =
z
z 2 x1,0 + zx2,0
+
.
1
(z − 1)(z 2 − 4 )
(z 2 − 41 )
Espandendo in frazioni parziali si trova:
Y (z) = A
z
z
z
+B
+C
(z − 1)
(z − 21 )
(z + 12 )
con i parametri A, B e C dati da:
A
=
B
=
C
=
4
z−1
1
Y (z)|z=1 = 2 1 |z=1 = ,
z
3
(z − 4 )
z − 21
1
1 + (z − 1)(zx1,0 + x2,0 )
|z=1/2 = −2 + x1,0 + x2,0 ,
Y (z)|z= 21 =
1
z
2
(z − 1)(z + 2 )
z + 21
1 + (z − 1)(zx1,0 + x2,0 )
2 1
Y (z)|z=− 21 =
|z=−1/2 = + x1,0 − x2,0 .
1
z
3 2
(z − 1)(z − 2 )
Ne segue quindi che la risposta completa, nel dominio del tempo, `e data da:
k
k
−1
1
y(k) = Aδ−1 (k) + B
+C
, k ≥ 0,
2
2
e quindi si ottiene una risposta costante per tutti gli istanti, cio`e si ottiene fin dall’istante iniziale la risposta
permanente, se le costanti B e C sono nulle, cio`e se valgono le:
1
−2 + x1,0 + x2,0
2
2 1
+ x1,0 − x2,0
3 2
= 0,
= 0,
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-142
la cui soluzione `e data da:
4
4
, x2,0 = .
3
3
Con queste condizioni iniziali la risposta completa del sistema nella funzione di uscita `e quindi:
x1,0 =
y(k) =
cio`e:
4
δ−1 (k),
3
k ≥ 0,
4 4 4 4
(y(0), y(1), y(2), y(3), . . .) = ( , , , , . . .).
3 3 3 3
♦
Esercizio 3.4 Trovare la soluzione, a partire della condizioni iniziali X(0) = 1, x(1) = e (e numero di Nepero),
della seguente equazione non lineare alle differenze finite:
x(n + 2) = x(n + 1)3 x(n)4 ,
n ∈ Z+ ,
utilizzando il metodo della trasformata z.
Soluzione Per trovare la soluzione dell’equazione alle differenze finite
x(n + 2) = x(n + 1)3 x(n)4 ,
n ∈ Z+ ,
conviene innanzitutto rimuove, attraverso un opportuno cambio di coordinate, i termini non lineari (qualora
possibile). In questo caso, notando che i termini non lineari sono prodotto di potenze, si pu`
o provare applicando
la funzione logaritmo ai due lati dell’equazione. Si trova:
ln (x(n + 2)) = 3 ln (x(n + 1)) + 4 ln (x(n)) ,
da cui, operando il cambio di variabili y(n) = ln(x(n)), si trova:
y(n + 2) = 3y(n + 1) + 4y(n).
Insomma, il sistema “appariva” non lineare perch`e descritto in un sistema di coordinate “non idoneo”. Si noti
che, date le condizioni iniziali, la sequenza x(·) assume sempre valori positivi (e reali), e quindi la trasformazione
proposta `e biunivoca.
Utilizzando la propriet`
a di anticipo nel tempo, l’equazione alle differenze finite di interesse pu`
o essere riscritta
come:
z 2 Y (z) − z 2 (y(0) + z −1 y(1)) = 3(zY (z) − zy(0)) + 4Y (z),
da cui:
Y (z) z 2 − 3z − 4 = (z 2 − 3z)y(0) + zy(1),
e quindi:
Y (z) =
z 2 − 3z
z
y(0) + 2
y(1).
− 3z − 4)
(z − 3z − 4)
(z 2
La trasformata inversa della Y (z) determinata sopra, per le condizioni iniziali date, risolve il problema nella
variabile trasformata. Si tratta poi di utilizzare la funzione esponenziale per trovare la soluzione nella variabile
x originale. Si noti ora che le condizioni iniziali date corrispondono, nella nuova variabile, a:
y(0) = ln(x(0)) = ln(1) = 0,
y(1) = ln(x(1)) = ln(e) = 1
e quindi `e sufficiente determinare la trasformata inversa del solo secondo termine (diviso per z). Notando che i
poli del sistema sono p1 = 4 e p2 = −1, si trova:
z
1
A1
A2
= 2
=
+
,
z(z 2 − 3z − 4)
(z − 3z − 4)
(z − 4) (z + 1)
con
A1 =
(z − 4)
1
1
|z=4 =
|z=4 = ,
(z 2 − 3z − 4)
z+1
5
A2 =
(z + 1)
1
1
|z=−1 =
|z=−1 = − .
(z 2 − 3z − 4)
z−4
5
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-143
La funzione del tempo y(k) si ottiene quindi calcolando la trasformata inversa della funzione:
Y (z) =
z
z
−
,
5(z − 4) 5(z + 1)
vale:
1 k 1
4 − (−1)k ,
5
5
ed ovviamente soddisfa alle condizioni iniziali date. Infine, la soluzione nella variabile originale x(k) vale:
y(k) = Z −1 [Y (z)] =
x(k) = e y(k)
(4k − (−1)k )
5
=e
.
♦
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
3.4
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-144
Analisi modale per sistemi LSTD: approccio nel dominio del
tempo
In questa sezione verranno studiate le propriet`
a di maggiore interesse dell’esponenziale matriciale a tempo
discreto, seguendo un approccio nel dominio del tempo, del tutto analogo a quanto visto per i sistemi a tempo
continuo.
Nella prossima sezione verr`a presentato un approccio basato sulla trasformata Zeta.
Il risultato fondamentale della sezione `e sintetizzato dal seguente teorema, che descrive la totalit`
a dei modi
naturali che compogono la risposta libera di un sistema lineare, stazionario, a tempo discreto. A differenza di
quanto visto nel caso dei sistemi LSTC2 , qui gli autovalori complessi verranno descritti con la notazione modulo
(indicato con σ) e fase (indicata conω): λ ∈ C ⇒ λ = σe ω .
Teorema 3.3 (Modi naturali di un sistema LSTD) Sia dato il sistema lineare stazionario a tempo discreto, omogeneo:
x(k + 1) = Ax, x(0) = x0 , x ∈ Rn , k ∈ Z,
(3.67)
e siano λi , i = 1, · · · , r, i corrispondenti autovalori distinti, caratterizzati dalle molteplicit`
a algebrica e geometrica µi e νi , rispettivamente.
Allora si ha che:
• ad ogni autovalore λi ∈ R sono associate le seguenti µi funzioni reali:
– λi ∈ R, µi = 1, ⇒ mi (k) = λi k ;
– λi ∈ R, µi = νi , ⇒ mi,j (k) = λi k , j = 1, · · · , µi ;
– λi ∈ R, µi > νi , ⇒ mi,1 (k) = λi k−1 , mi,2 (k) = kλi k , mi,3 (k) = · · · ;
• ad ogni coppia di autovalori complessi coniugati (λi , λ∗i ) = σi e ±ωi sono associate le seguenti µi coppie di
funzioni reali:
– λi ∈ C, µi = 1, ⇒ mi,c (k) = σ k cos(ωk), mi,s (k) = σ k sin(ωk) ;
– λi ∈ C, µi = νi , ⇒ mi,c,j (k) = σ k cos(ωk), mi,s,j (k) = σ k sin(ωk), j = 1, · · · , µi ;
– λi ∈ C, µi > νi , ⇒ mi,c,1 (k) = σ k sin(ωk), mi,s,1 (k) = σ k sin(ωk), mi,c,2 (k) = kσ k−1 sin(ωk),
mi,s,2 (k) = kσ k−1 sin(ωk), mi,c,3 (k) = ..., mi,c,3 (k) = .....
Dal teorema precedente emergono alcune considerazioni, ancora del tutto analoghe alle corrispondenti a
tempo continuo.
Commento 3.1
• Il modo naturale base per un sistema LSTD `e una funzione esponenziale a tempo discreto con parametro
pari all’autovalore associato. Ci`o vale sia per un autovalore reale semplice (cio`e con molteplicit`
a algebrica
unitaria), sia per una coppia di autovalori complessi coniugati semplici.
• Se tutti gli autovalori sono reali, ed inoltre semplici (cio`e µi = 1, ∀i) o con molteplicit`
a algebriche e
geometriche uguali (cio`e µi = νi , ∀i), i modi naturali sono costituiti solo da funzioni esponenziali reali.
• Se tutti gli autovalori sono complessi ed inoltre semplici (cio`e µi = 1, ∀i) o con molteplicit`
a algebriche
e geometriche uguali (cio`e µi = νi , ∀i), i modi naturali sono costituiti solo da prodotti tra funzioni
esponenziali reali e funzioni sinusoidali e cosinusoidali.
• Se anche un solo autovalore ha molteplicit`e algebrica strettamente maggiore della molteplicit`
a geometrica,
compaiono una o pi`
u funzioni polinomiali del tempo a moltiplicare i modi naturali base (il terzo caso di
ciascuno dei due scenari citati nel teorema). In particolare, se le due molteplicit`
a sono divese compare
certamente il termine polinomiale di grado uno.
2 Si noti come nel caso dei sistemi a tempo discreto si sia scelto di indicare con il simbolo σ il modulo dell’autovalore complesso,
e non la sua parte reale, come nel caso a tempo continuo. Analogamente, il simbolo ω indica ora la fase e non la parte immaginaria
di un autovalore. Il motivo di questa diversa notazione apparir`
a chiaro dalla dipendenza dei modi dai parametri σ ed ω e dalla
caratterizzazione di convergenza.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-145
• Nei casi in cui, per uno o pi`
u autovalori λi , si abbia µi > νi , il numero ed il grado delle funzioni polinomiali
che appaiono dipende da ulteriori considerazioni (sulla molteplicit`
a del corrispondente autovalore come
radice del polinomio minimo) che esulano dagli scopi di queste note.
I modi naturali del tipo λi k e del tipo kλi k , associate ad autvalori reali, sono dette funzioni aperiodiche. I
modi naturali associati ad autovalori complessi coniugati, del tipo σi k cos(ωi k), σi k sin(ωi k), e le corrispondenti
moltiplicate per polinoni del tempo, sono dette funzioni pseudoperiodiche. Nel caso particolare di autovalori
immaginari puri e coniugati, con molteplicit`
a uguali, i modi naturali diventano funzioni periodiche: cos(ωi k) e
sin(ωi k).
Il teorema 3.3 verr`a discusso in dettaglio nelle successive sottosezioni, con un approccio analogo a quello
seguito nel caso dei sistemi LSTC.
3.4.1
Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori reali
Si consideri inizialmente il caso di un sistema scalare, cio`e con spazio di stato di dimensione unitaria. In tal
caso la matrice A diviene uno scalare, A = a, a ∈ R, e quindi il sistema dinamico e la risposta libera nello stato
sono descritti, rispettivamente, dall’equazione e dalla successione seguenti:
x(k + 1) = ax(k)
x(k)
k
= a x0 ,
(3.68)
k ≥ 0, x(0) = x0
(3.69)
La successione ak rappresenta il modo naturale del sistema in esame.
La soluzione del caso vettoriale `e immediata se la matrice dinamica A `e diagonale: A = diag {λ1 , λ2 , · · · , λn }.
In questo caso il sistema dinamico `e descritto dall’equazione:


λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0 


x(k + 1) =  .
(3.70)
..
..  x(k).
..
 ..
.
.
. 
0
0 · · · λn
Si noti che, poich´e la matrice `e diagonale, gli elementi λi sono
calcolo della risposta libera nello stato si trova facilmente:
 k
λ1 0 · · ·
 0 λk2 · · ·

x(k) =  .
..
..
 ..
.
.
0
0
···
anche gli autovalori della matrice stessa. Per il
0
0
..
.
λkn
e cio`e la collezione di sistemi scalari



 x0 ,

(3.71)
x1 (k)
= λk1 x1,0
(3.72)
x2 (k)
λk2
(3.73)
xn (k)
=
x2,0
..
.
= λkn xn,0 .
(3.74)
Si noti che la forma della risposta libera, per ciascuna componente, dipende dal modo naturale relativo,
mentre la corrispondente ampiezza dipende dalla rispettiva condizione iniziale. Ad esempio, se la condizione
iniziale `e pari al vettore e1 (cio`e, la prima colonna della matrice identit`
a), la risposta libera nello stato sar`a
nulla per tutte le componenti dello stato, salvo la prima, il cui andamento sar`a descritto dalla sequenza x1 (k) =
λk1 x1,0 = λk1 , k ≥ 0.
L’esponenziale matriciale a tempo discreto del sistema in esame `e dato da:
 k

λ1 0 · · · 0
 0 λk2 · · · 0 


Ak =  .
(3.75)
..
..  .
..
 ..
.
.
. 
0
0 · · · λkn
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-146
Le successioni temporali λki , i = 1, 2, . . . , n, che descrivono la soluzione del sistema, sono associate agli
autovalori del sistema e sono dette modi naturali del sistema Σ(A).
Si noti che non sono state poste ipotesi sugli autovalori del sistema. In particolare, alcuni autovalori (od
anche tutti) possono essere coincidenti.
Si consideri ora il caso di un sistema descritto da una matrice dinamica A non diagonale, ma diagonalizzabile.
Ricordando le relazioni (2.36) e (2.19) (che, si noti bene, descrivono propriet`
a della matrice A e non del sistema
dinamico associato), e ricordando l’invarianza degli autovalori rispetto a trasformazioni di similarit`
a, si trova,
per l’esponenziale di matrice nelle coordinate originali:
Ak
= (T ΛT −1 )k
(3.76)
= T Λk T −1
 k
λ1 0
 0 λk2

= T .
..
 ..
.
0
0
(3.77)
···
···
..
.
0
0
..
.
···
λkn


 −1
T .

(3.78)
L’esponenziale di matrice a tempo discreto `e quindi composto da combinazioni lineari delle sequenze λki , i =
1, 2, · · · , n, e cio`e da combinazioni lineari dei modi naturali del sistema.
3.4.2
Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori complessi
L’analisi condotta finora, basata sull’uso di una matrice diagonale, non `e utilizzabile se il sistema ammette
autovalori complessi (ovviamente, complessi coniugati a coppie). In tal caso infatti vi sono un’infinit`
a di condizioni iniziali cui corrispondono risposte libere nello stato caratterizzate da funzioni a valori complessi. Ci`o
non `e ammissibile, poich´e i sistemi dinamici di interesse in queste note sono descrizioni di processi reali, e quindi
non rappresentabili con grandezze complesse. Per ovviare a ci`o, si introduce la forma canonica reale.
Si consideri per semplicit`a un sistema planare, cio`e un sistema con spazio di stato di dimensione due, descritto
da una matrice dinamica Ap , con autovalori complessi coniugati λ e λ∗ , cio`e (λ, λ∗ ) = σe ±ω .
In questo caso, con opportuan scelta dei nuovi vettori di base, si ottiene la matrice dinamica nella forma
seguente:
cos(ω) sin(ω)
−1
Λp = T Ap T = σ
,
(3.79)
− sin(ω) cos(ω)
` facile calcolare in forma chiusa l’esponenziale di matrice a tempo
detta forma canonica reale a tempo discreto. E
discreto in questo caso, trovando:
cos(ωk) sin(ωk)
k
k
= σ k Ω(k),
(3.80)
Λp = σ
− sin(ωk) cos(ωk)
ove Ω(k) indica la matrice delle componenti periodiche a tempo discreto:
cos(ωk) sin(ωk)
Ω(k) =
.
− sin(ωk) cos(ωk)
(3.81)
Le funzioni σ k cos(ωk) e σ k sin(ωk) sono i modi naturali (reali) del sistema con autovalori complessi coniugati
λ = σe ω e λ∗ = σe −ω .
La risposta libera nello stato del sistema planare in esame, nelle nuove coordinate e a partire dalla condizione
iniziale x
¯(0), `e data da:
cos(ωk) sin(ωk)
k
x
¯(0) = σ k Ω(k)¯
x(0),
(3.82)
x
¯(k) = σ
− sin(ωk) cos(ωk)
ed `e facile vedere come non sia possibile eccitare in modo indipendente i due modi: nel caso di sistema con
autovalori complessi coniugati, la risposta libera nello stato contiene sempre almeno due modi distinti. Ovviamente, la stessa considerazione pu`
o essere estesa anche al sistema planare nelle coordinate originali, poich´e la
matrice di trasformazione di coordinate `e ad elementi reali.
Si consideri ora il caso di un sistema dinamico di dimensione n, con matrice dinamica A diagonalizzabile.
Si assuma, senza perdita di generalit`
a, che i primi nr autovalori λi , i = 1, 2, · · · , nr , siano reali, ed i rimanenti
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-147
n − nr autovalori siano costituiti da nc coppie complesse coniugate, n − nr = 2nc . Siano vi , i = 1, 2, · · · , nr ,
gli autovettori associati agli autovalori reali, e (wi , wi∗ ), wi = wR,i + wI,i , i = 1, 2, · · · , nc , le coppie di autovettori associati agli autovalori complessi. Scelte come nuove coordinate gli autovettori reali e le parti reali ed
immaginarie degli autovettori complessi, la nuova matrice di cambio di coordinate `e data da:
(3.83)
T = v1 v2 · · · vnr wR,1 wI,1 wR,2 wI,2 · · · wR,c wI,nc .
Nelle nuove coordinate la matrice dinamica `e esprimibile nella seguente forma diagonale a blocchi:


λ1 0 · · ·
0
..
.
 0 λ2 · · ·

0


0
 ..

..
.
.
.
.
 .

.
.
.
..


.
 0

0 · · · λnr
,
ΛR = 


Λp,1
0
···
0
..


.


0
Λp,2 · · ·
0


0


..
..
.
..
..


.
.
.
..
.
0
0
· · · Λp,nc
in cui i termini Λp,i , i = 1, 2, · · · , nc rappresentano matrici di dimensione due della forma:
cos(ωi ) sin(ωi )
Λp,i = σi ·
.
− sin(ωi ) cos(ωi )
(3.84)
(3.85)
Tenendo conto del fatto che la potenza k-esima di una matrice diagonale a blocchi `e ancora diagonale
a blocchi, `e facile trovare la seguente forma per la matrice di transizione del sistema dinamico, nelle nuove
coordinate:


λk1 0 · · ·
0
..
.

 0 λk2 · · ·
0


0

..
..
 ..
..

 .
.
.
.
..


.
k


0
0 · · · λnr
,
(3.86)
ΛkR = 
k


Λp,1
0
···
0
..


.


0
Λkp,2 · · ·
0


0


.
.
.
..
..
..
..


.
..
.
0
0
· · · Λk
p,nc
ove
Λkp,i
indica la matrice di risposta libera nello stato di un sistema planare:
cos(ωi k) sin(ωi k)
= σik Ωi (k).
Λkp,i = σik
− sin(ωi k) cos(ωi k)
(3.87)
La risposta libera nello stato in coordinate originali `e quindi:
Ak = T ΛkR T −1
(3.88)
e quindi `e costituita da combinazioni lineari dei modi naturali del sistema, dati dalle successioni λk , σ cos(ωk)
e σ sin(ωk).
3.4.3
Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori reali
L’analisi dei modi naturali ed il calcolo della risposta nello stato per sistemi con matrice dinamica non diagonalizzabile `e basata sulla forma canonica di Jordan, gi`a introdotta nel caso di sistemi LSTC: una struttura
diagonale a blocchi, con blocchi sulla diagonali costituiti da miniblocchi di Jordan. Un miniblocco di Jordan Jλ
di dimensione r associato all’autovalore reale λ:


λ 1 0 ··· 0 0
 0 λ 1 ··· 0 0 



.. ..  ,
Jλ =  ... ... ...
(3.89)
. . 


 0 0 0 ··· λ 1 
0 0 0 ··· 0 λ
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-148
ha una matrice esponenziale a tempo discreto dato dalla seguente funzione matriciale del tempo:


k
k
k
k−1
k−(r−1)
λ
λ
·
·
·
λ


1


r−1 

k
k
k−(r−2)


λ
···
λ
Jλk =  0
.
r
−
2



 ..
.
..
.
.
.

 .
.
.
.
0
0
···
λk
(3.90)
k
k
k−1
Le successioni λ ,
λ
, ···,
λk−(r−1) sono i modi naturali generati da un miniblocco di
1
r−1
Jordan di dimensione r associato all’autovalore reale λ.
La caratterizzazione dei modi naturali `e legata ancora al modulo dell’autovalore: si hanno modi convergenti
nel caso di autovalori con modulo minore di uno e modi divergenti nel caso di autovalori con modulo maggiore
di uno. Nel caso di un autovalore
reale di modulo unitario, si tratta da valutare la dimensione del miniblocco
k
associato. Il modo naturale
λk−1 per autovalore di modulo unitario, diviene la successione k(sign(λ))k−1 ,
1
e quindi `e una funzione crescentedel tempo. Analogamente per tutti i modi di ordine superiore, cio`e del tipo
k
(e tutti i modi del tipo
λk−(r−j) , con 0 < j < r ed autovalore reale di modulo unitario. In tal caso,
r−j
e cio`e per miniblocchi di dimensione maggiore di uno associati ad autovalori (reali) a modulo unitario, i modi
naturali sono divergenti.
k
3.4.4
Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori complessi
Infine, per completare l’analisi dei possibili modi naturali di un sistema dinamico a tempo discreto, si deve
analizzare il caso di matrice non diagonalizzabile con autovalori complessi di molteplicit`
a maggiore di uno. La
determinazione dei modi naturali passa per la generalizzazione della forma canonica reale, del tipo:

 Λp


JR =  0
 .
 ..
0
I2
Λp
..
.
0
..
.
..
.
..
.
···

0 

0 
,
.. 
. 
(3.91)
Λp
k
k
k−(r−1)
cui sono associati modi naturali del tipo
σ
cos(ωk) e
σ k−(r−1) sin(ωk). Analogar−1
r−1
mente a quanto visto nel caso immediatamente precedente, questi modi sono: convergenti per autovalori con
modulo minore di uno; divergenti per autovalori con modulo maggiore di uno; limitati per modulo unitario e dimensione del miniblocco pi`
u grande uguale ad uno; divergenti per modulo unitario e dimensione del miniblocco
pi`
u grande maggiore di uno.
Nel caso in cui il sistema abbia solo autovalori complessi, ma con molteplicit`
a arbitraria, l’esponenziale di
matrice a tempo discreto, in coordinate reali, assume quindi la forma:


k
k
Ω(k) · · ·
Ω(k) 
 Ω(k)
1


r−1 

k
k
k
Ω(k)
···
Ω(k) 
JR = σi  0
(3.92)
.
r
−
2


 ..

..
..
..
 .

.
.
.
0
0
···
Ω(k)
3.4.5
Il caso generale
Si consideri ora il caso generale, di un sistema con nR autovalori reali, alcuni di loro eventualmente coincidenti,
ed nC autovalori complessi coniugati, alcuni di loro eventualmente coincidenti, sia gli autovalori reali sia quelli
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-149
complessi con molteplicit`
a arbitraria. Per tale sistema, nelle coordinate di Jordan, si ha un’esponenziale di
matrice a tempo discreto della seguente forma, che contiene tutti i modi naturali del sistema stesso:


0
0
···
0
0
···
0
Jλ1 k

 0
0
Jλ2 k · · ·
0
0
···
0



 .
..
..
..

 ..
.
.
.
0
0
···
0



 0
k
0
· · · JλnR
0
0
···
0


.
(3.93)
Jk = 



 0
0
···
0
0
···
0
JR 1 k



 0
0
0
JR 2 k · · ·
0
···
0


..
..
..


..

 0
.
0
···
0
.
.
.
k
0
0
· · · JR n C
0
0
···
0
in cui le sottomatrici Jλi k , i = 1, 2, · · · , nR , sono matrici (di dimensione opportuna) del tipo in equazione (3.90),
mentre le sottomatrici JRi k , i = 1, 2, · · · , nC , sono matrici (di dimensione opportuna) del tipo in equazione
(3.92).
L’esponenziale di matrice nelle coordinate originali si ottiene per trasformazione di similarit`
a di tale matrice,
e contiene tutti e soli i modi naturali presenti nella (3.93).
3.4.6
Caratterizzazione dei modi naturali rispetto alla convergenza
Al variare della posizione degli autovalori nel piano complesso, i modi naturali di un sistema a tempo discreto,
analogamente a quanto gi`
a visto per i sistemi a tempo continuo, sono caratterizzati da propriet`
a di convergenza
di varia natura. Nel caso di un autovalore reale, cui corrisponde un modo naturale λk , il modo ha un comportamento decrescente al crescere del tempo, ed il modo `e detto convergente, se l’autovalore ha modulo minore
di uno (cio`e, se l’autovalore `e interno al cerchio unitario); il modo naturale `e detto divergente se l’autovalore
corrispondente ha modulo maggiore di uno (cio`e, se l’autovalore `e esterno al cerchio unitario); infine, il modo
naturale `e detto limitato se l’autovalore corrispondente ha modulo unitario (cio`e, se l’autovalore `e esattamente
sul cerchio unitario). Si noti che nel caso di autovalore reale a modulo unitario, il modo naturale corrispondente
pu`
o essere costante, pari ad 1, oppure oscillare tra 1 e −1.
Modulo = 0.7
Modulo = 2
1
Modulo = 1
35
0.9
Modulo = −1
1
1
0.9
0.8
0.8
0.6
0.7
0.4
0.6
0.2
0.5
0
0.4
−0.2
0.3
−0.4
0.2
−0.6
0.1
−0.8
30
0.8
25
0.7
0.6
20
0.5
15
0.4
0.3
10
0.2
5
0.1
0
0
5
Tempo
0
0
5
Tempo
0
0
5
Tempo
−1
0
5
Tempo
Figura 3.1: Modi naturali associati ad autovalori reali per sistemi a tempo discreto
La caratterizzazione dei modi naturali `e del tutto analoga nel caso di autovalori complessi, con la sola
differenza di un comportamento oscillatorio, dovuti ai termini sin(ωk) e cos(ωk) che compone i modi naturali:
i modi naturali sono convergenti se gli autovalori hanno modulo minore di uno; i modi naturali sono divergenti
se gli autovalori hanno modulo maggiore di uno, i modi naturali sono limitati se gli autovalori hanno modulo
unitario. Si noti che, nel caso di autovalori complessi, modulo unitario corrisponde a modi naturali oscillatori
puri, cio`e del tipo sin(ωk) e cos(ωk).
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-150
Modulo = 0.7
Modulo = 2
1
Modulo = 1
200
1
0.8
0.8
150
0.6
0.6
0.4
100
0.2
0.4
50
0
0.2
−0.2
0
−0.4
0
−0.6
−50
−0.2
−0.8
−0.4
0
10
Tempo
20
−100
0
10
Tempo
20
−1
0
10
Tempo
20
Figura 3.2: Modi naturali associati ad autovalori complessi per sistemi a tempo discreto
Analogamente, nel caso di autovalori non semplici, la caratterizzazione rispetto alla convergenza dei modi
naturali `e legata ancora al modulo dell’autovalore: si hanno modi convergenti nel caso di autovalori con modulo
minore di uno e modi divergenti nel caso di autovalori con modulo maggiore di uno. Nel caso di un autovalori
con modulo unitario, la convergenza dei modi `e legata alla molteplicit`a nel polinomio minimo 3 . Ad esempio, il
modo naturale k(1)k , per autovalore unitario, diviene la funzione k, e quindi `e una funzione crescente del tempo.
Analogamente per tutti i modi di ordine superiore, cio`e del tipo k j (1)k , con 0 < j < r e modulo unitario. In
tal caso, e cio`e per autovalori con unitario di molteplicit`
a non unitaria nel polinomio minimo4 , i modi naturali
sono divergenti.
3.4.7
Riepilogo
Analogamente a quanto gi`
a affermato per i sistemi lineari a tempo continuo, una matrice dinamica A potr`
a
avere autovalori sia reali che complessi, ciascuno con molteplicit`
a unitaria o maggiore. Nel calcolo della sua
matrice esponenziale a tempo discreto saranno quindi coinvolti alcuni, od al limite tutti, i casi particolari visti
in precedenza. Tuttavia l’esponenziale di matrice sar`a sempre basata su una combinazione lineare di modi
naturali, per la cui determinazione `e sufficiente un’analisi completa degli autovalori della matrice A. Di norma
insomma (ad esempio, se l’interesse `e limitato allo caratterizzazione dei modi rispetto alla convergenza), non `e
richiesto il calcolo esplicito dell’esponenziale matriciale (e delle relative matrici di similarit`
a nel caso geometrico
o dell’esponenziale nelle coordinate Zeta nel secondo caso), ma `e invece sufficiente valutare in modo completo
gli autovalori della matrice A, in coordinate originali.
Anche in ordine alla possibilit`a di eccitare modi naturali semplici (cio`e, modi naturali esponenziali discreti
puri), valgono considerazioni del tutte analoghe a quelle condotte nel caso dei sistemi a tempo continuo. In
particolare, un modo naturale semplice viene eccitato come unico modo se e solo se lo stato iniziale del sistema
`e allineato con l’autovettore corrispondente.
I possibili modi naturali di un sistema a tempo discreto sono riepilogati nella prima colonna della tabella
3.2, mentre le loro propriet`
a di convergenza sono riepilogate nelle successive colonne della stessa tabella.
3.4.8
Eccitazione di singoli modi
Per studiare la dipendenza della risposta libera nello stato dalle condizioni iniziali, e per studiare la possibilit`a
di eccitare singoli modi naturali con opportune condizioni iniziali, si pu`
o procedere esattamente come nel caso
dei sistemi a tempo continuo.
Anche in questo caso si giunge alla conclusione che una condizione iniziale x0 eccita un solo modo naturale se
`e allineata secondo il corrispondente autovettore e viceversa. Analogamente, una data condizione iniziale eccita
3 che
4 cio`
e
coincide con la dimensione del miniblocco associato
per miniblocchi di dimensione maggiore di uno associati ad autovalori (reali) nulli
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-151
Modo
Caratterizzazione
naturale
convergente
limitato
divergente
λk , λ ∈ R
|λ| < 1
|λ| = 1
|λ| > 1
λk−j , λ ∈ R
|λ| < 1
|λ| = 1
[|λ| = 1, j > 1], [|λ| > 1]
σ k cos(ωk), λ ∈ C
σ<1
σ=1
σ>1
σ k sin(ωk), λ ∈ C
σ<1
σ=1
σ>1
t
j
t
j
σ k−j cos(ωk), λ ∈ C
σ<1
σ=1
[σ = 1, j > 1], [σ > 1]
t
j
σ k−j sin(ωk), λ ∈ C
σ<1
σ=1
[σ = 1, j > 1], [σ > 1]
Tabella 3.2: Modi naturali di un sistema a tempo discreto: condizioni di convergenza
tutti i modi naturali associati agli autovettori che concorrono alla rappresentazione della condizione iniziale
stessa.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
3.5
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-152
Analisi modale per sistemi LSTD: approccio nel dominio Zeta
In questa sezione viene presentato un approccio nel dominio Zeta per l’analisi modale di un sistema lineare
a tempo discreto. La trattazione `e del tutto parallela a quanto gi`a proposto per i sistemi a tempo continuo.
Si consideri il sistema dinamico:
x(k + 1) = Ax(k),
x(0) = x0 .
(3.94)
` noto (si veda la sezione 3.2) che la soluzione di tale equazione omogenea alle differenze finite, cio`e la
E
risposta libera nello stato, `e descritta dall’esponenziale di matrice a tempo discreto:
x(k) = Ak x0 ,
k ∈ Z+ .
(3.95)
Per il calcolo dell’esponenziale di matrice a tempo discreto Ak si pu`
o ricorrere alla trasformata Zeta. Infatti,
per la propriet`
a della trasformata di una funzione traslata (anticipata) nel tempo, il sistema precedente, nel
dominio Zeta, pu`
o essere scritto come:
zX(z) − zx(0) = AX(z),
(3.96)
(zI − A)X(z) = zx(0),
(3.97)
X(z) = z(zI − A)−1 x(0),
(3.98)
da cui, per confronto con l’equazione (3.95), segue immediatamente:
Ak = Z −1 z(zI − A)−1
(3.99)
da cui segue facilmente:
e quindi
Per analizzare le propriet`
a dell’esponenziale di matrice tempo discreto, conviene ricordare la seguente espressione:
adj (zI − A)
z(zI − A)−1 = z
.
(3.100)
det(zI − A)
da cui seguono facilmente, come gi`
a visto anche per i sistemi a tempo continuo, le seguenti propriet`
a, che
saranno utili per trattare in modo completo l’analisi modale:
Propriet`
a 3.12 Gli elementi della matrice z(zI − A)−1 sono funzioni razionali proprie, poich´e adj (zI − A)
`e una matrice polinomiale.
Propriet`
a 3.13 Le radici del denominatore di ciascun elemento della matrice (zI − A)−1 sono un sottoinsieme
delle radici del polinomio det(zI − A), e quindi sono un sottoinsieme degli autovalori della matrice A.
Propriet`
a 3.14 Ciascun autovalore della matrice A `e radice del denominatore di almeno un elemento della
matrice (zI − A)−1 .
Per analizzare in dettaglio il comportamento della risposta libera di un sistema lineare a tempo discreto, `e
bene esaminare inizialmente alcuni casi particolari.
3.5.1
Il caso di autovalori distinti
Si consideri inizialmente il caso di un sistema con tutti gli autovalori distinti, e quindi il caso in cui il
denominatore della matrice esponenziale nel dominio della variabile Zeta abbia tutte le radici. In tale caso si
pu`
o porre:
n
Y
(z − λi ), λi 6= λj , i 6= j,
(3.101)
det(zI − A) =
i=1
ove n indica l’ordine del sistema, e quindi il numero dei suoi autovalori.
Sia p(z) = np (z)/dp (z) un generico elemento della matrice z(zI − A)−1 , dopo eventuali cancellazioni di
termini comuni numeratore/denominatore. La corrispondente antitrasformata, e cio`e il corrispondente elemento
dell’esponenziale di matrice a tempo discreto, si pu`
o ottenere facilmente tramite espansione in frazioni parziali.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-153
Qm
Tenendo conto dell’ipotesi di autovalori distinti, si ha dp (z) = i=1 (z − λi ), (ove m ≤ n, perch´e possono
esservi cancellazioni) e quindi la seguente espansione in frazioni parziali:
A1 z
A2 z
Am z
np (z)
=
+
+ ···+
z
−
λ
z
−
λ
z
− λm
(z
−
λ
)
1
2
i
i=1
p(z) = Qm
(3.102)
cui corrisponde, nel dominio del tempo, la funzione:
p(k) = A1 λk1 + A2 λk2 + · · · + Am λkm
(3.103)
La singola funzione esponenziale λki `e detta modo naturale associato all’autovalore λi , e descrive appunto il
comportamento naturale del sistema, cio`e il comportamento proprio, specifico del sistema, indipendentemente
dalla sollecitazione eventualmente esercitata dall’ambiente esterno tramite il segnale di ingresso.
Gli elementi della matrice esponenziale a tempo discreto sono quindi costituiti da combinazioni lineari di
modi naturali, ciascun modo associato ad un diverso autovalore, ed i coefficienti della combinazioni lineare sono
i residui dell’espansione in frazioni parziali dell’elemento stesso.
` importante esaminare con maggior dettaglio il caso in cui tra i valori autovalori vi siano coppie complesse
E
coniugate (`e ben noto che non vi possono essere autovalori complessi non “accompagnati” dal corrispondente
coniugato). Siano quindi λ = σe ω e λ∗ = σe −ω due autovalori complessi coniugati. Si noti che in questo caso
σ indica il modulo dell’autovalore, e non la parte reale, come nel caso a tempo continuo, e ω indica invece la
fase, e non la parte immaginaria, come nel caso a tempo continuo. I termini corrispondenti dell’espansione in
frazioni parziali sono dati da:
Az
A∗ z
+
,
(3.104)
z − λ z − λ∗
poich´e ad autovalori coniugati corrispondono residui coniugati. Nel dominio del tempo, indicando con A =
1
ϕ
modulo e fase del residuo A, si ottiene quindi:
2Me
Az
1
A∗ z
1
−1
Z
= M e ϕ σ k e ωk + M e −ϕ σ k e −ωk
+
(3.105)
∗
z−λ z−λ
2
2
cui corrisponde la funzione reale
M σ k cos(ωk + ϕ).
(3.106)
Ad una coppia di autovalori complessi coniugati `e quindi associata una funzione pseudo-periodica esponenzialecosinusoidale, con pulsazione pari alla fase dell’autovalore e parametro del termine esponenziale pari al modulo
dell’autovalore.
` ben noto che la funzione cos(ωk + ϕ) pu`
E
o essere ottenuta per combinazione lineare delle funzioni di base
cos(ωk) e sin(ωk), e quindi `e evidente sono sempre presenti, per ciascun coppia di autovalori complessi coniugati,
sia la funzione cosinusoidale σ k cos(ωk) che la sua ortogonale sinusoidale σ k sin(ωk). In altre parole, alla coppia
di autovalori complessi coniugati λ e λ∗ sono associati i due modi naturali reali σ k sin(ωk) e σ k cos(ωk).
Esempio 3.1 (Sistema con autovalori reali) Si consideri il sistema dinamico planare
0 1
x(k + 1) =
x(k),
2 −1
(3.107)
il cui polinomio caratteristico `e dato da det(λI − A) = λ2 + λ − 2 = (λ + 2)(λ − 1), ed i cui autovalori sono
quindi λ1 = 1 e λ2 = −2. I modi naturali associati sono quindi le due funzioni esponenziali pure 1k = 1 ed
(−2)k .
Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Zeta.
Seguendo la traccia delineata sopra, e ricordando le regole per l’espansione in frazioni parziali, si ottiene:
z
−1
z+1 1
(zI − A) =
, adj (zI − A) =
, det(zI − A) = z 2 + z − 2
(3.108)
−2 z + 1
2
z
e quindi
z(zI − A)−1
z(z + 1)
 z2 + z − 2
=

2z
z2 + z − 2


z
z2 + z − 2 
.

z2
z2 + z − 2
(3.109)
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-154
Espandendo in frazioni parziali il primo elemento della matrice si trova:
m1,1 (z) =
z(z + 1)
2 z
1 z
=
+
z2 + z − 2
3z−1 3z+2
(3.110)
e quindi, per il corrispondente elemento dell’esponenziale di matrice, si ha:
m1,1 (k) =
2
1
2 k 1
1 + (−2)k = δ−1 (k) + (−2)k .
3
3
3
3
(3.111)
Procedendo in modo analogo per gli altri elementi si trova la seguente matrice esponenziale a tempo discreto:


2
1
1
1
δ−1 (k) + (−2)k
δ−1 (k) − (−2)k
 3

3
3
3
,
Ak = 
(3.112)
 2

2
1
2
k
k
δ−1 (k) − (−2)
δ−1 (k) − (−2)
3
3
3
3
che, come `e immediato vedere, `e costituita da combinazioni lineari dei due modi naturali gi`a individuati sulla
base della semplice analisi degli autovalori.
♦
Esempio 3.2 (Sistema con autovalori complessi) Si consideri il sistema dinamico planare
1 1
x(k + 1) =
x(k),
−1 1
(3.113)
√
√
il cui polinomio caratteristico√`e dato da det(λI√− A) = λ2 − 2λ + 2 = (λ − 2e π/4 )((λ − 2e −π/4 )), ed i cui
autovalori sono quindi λ1 = 2e π/4 e λ2 = 2e −π/4 . I modi naturali associati sono quindi le due funzioni
esponenziali-cosinusoiali (1.4124)−k cos(π/4k) ed (1.4142)−k sin(π/4k).
Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Zeta.
z − 1 −1
z−1
1
(zI − A) =
,
adj (zI − A) =
, det(zI − A) = z 2 − 2z + 2
(3.114)
1
z−1
−1 z − 1
e quindi
z(zI − A)−1
z(z − 1)
 z 2 − 2z + 2
=

−z
z 2 − 2z + 2


z
z 2 − 2z + 2 
.

z(z − 1)
z 2 − 2z + 2
Ricordando le trasformate di segnali notevoli, la matrice esponenziale a tempo discreto `e data da:


cos(π/4k) sin(π/4k)
√
k
,
Ak = 2 
− sin(π/4k) cos(π/4k)
(3.115)
(3.116)
che, come `e immediato vedere, `e costituita da combinazioni lineari (in questo caso banali) dei due modi naturali
gi`a individuati sulla base della semplice analisi degli autovalori.
♦
3.5.2
Il caso di autovalori qualsiasi
Si passi ora ad esaminare il caso di un sistema dinamico con autovalori comunque piazzati nel piano complesso
(salvo, ovviamente, il vincolo della chiusura rispetto alla coniugazione complessa).
In tal caso il polinomio caratteristico pu`
o essere fattorizzato nella forma:
det(zI − A) =
r
Y
(z − λi )ni ,
i=1
r
X
ni = n
(3.117)
i=1
ove l’intero r indica il numero di autovalori distinti ed il generico intero ni indica la molteplicita dell’autovalore
λi . La molteplicit`
a di un autovalore come radice del polinomio caratteristico `e detta molteplict`
a algebrica
dell’autovalore.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-155
Nel caso generale quindi, in virt`
u della forma (3.117) del polinomio caratteristico, l’esponenziale di matrice
nel dominio Zeta `e costituita da funzioni razionali che possono avere radici del denominatore di molteplicit`
a
maggiore di uno.
Sia m(z) il minimo comune denominatore (cio`e, il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore)
degli elementi di Exp(A, Z). Esso pu`
o essere fattorizzato come:
m(z) =
r
Y
i=1
(z − λi )mi ,
1 ≤ mi ≤ n i .
(3.118)
In merito a tale fattorizzazione, `e importante notare come 1) ogni autovalore (cio`e, ogni radice di det(zI − A))
compare come radice di tale polinomio; 2) la molteplicit`
a mi di ciascun autovalore come radice del polinomio
in (3.118) pu`
o essere minore della molteplicit`
a algebrica.
Il polinomio m(z) `e detto polinomio minimo del sistema, e la molteplicit`
a mi dell’autovalore λi come radice
di m(z) `e detta molteplicit`
a come radice del polinomio minimo.
Si consideri ora la forma generale dell’esponenziale di matrice nel dominio del tempo. Sia p(z) = np (z)/dp (z)
il generico elemento della matrice z(zI − A)−1 . Ricordando la forma della trasformata inversa di una funzione
razionale si ottiene, per un qualche intero q e per un opportuno ordinamento degli autovalori:
p(z) = Q
Aq,mq z
Aq,1 z
A1,m1 z
np (z)
A1,1 z
+ ···+
+ ··· +
+ ···+
=
(z − λ1 )
(z − λ1 )m1
(z − λq )
(z − λq )mq
(z − λi )mi
(3.119)
dove i q autovalori λi , i = 1, . . . , q sono un sottoinsieme degli autovalori del sistema. Tenendo conto di tale forma
dell’espansione in frazioni parziali, ed antitrasformando nel dominio del tempo, si trova il generico elemento
dell’esponenziale di matrice:
k
k
k−(m1 −1)
p(k) = A1,1 λk1 + · · ·+ A1,m1
λ1
+ · · ·+ Aq,1 λkq + · · ·+ Aq,mq
λqk−(mq −1) . (3.120)
m1 − 1
mq − 1
Gli elementi della matrice esponenziale sono quindi composti da combinazioni lineari di funzioni polinomialeesponenziale del tipo:
k µ λk
(3.121)
in cui la potenza µ del termine polinomiale varia tra zero e la molteplicit`
a meno uno del corrispondente autovalore
come radice del polinomio minimo. Le funzioni (3.121) sono i modi naturali associati ad autovalori reali di
molteplicit`
a maggiore di uno.
Analogamente a quanto gi`
a visto nel caso di autovalori distinti, nel caso di coppie di autovalori complessi
coniugati λ = σe ω , di molteplicit`
a arbitraria m, si ottengono modi naturali costituiti da funzioni del tipo:
k µ σ k cos(ωk),
k µ σ k sin(ωk),
(3.122)
con la potenza µ del termine polinomiale compresa tra zero ed m − 1. Le funzioni (3.122) sono i modi naturali
reali associati ad autovalori complessi coniugati di molteplicit`
a maggiore di uno.
Esempio 3.3 (Sistema planare con molteplicit`
a non unitaria) Si consideri il sistema dinamico planare
−1 1
x(k + 1) =
x(k).
(3.123)
0 −1
il cui polinomio caratteristico `e dato da det(zI − A) = (λ + 1)2 , ed i cui autovalori sono quindi λ = −1,
molteplicit`
a algebrica pari a due. I modi naturali associati potrebbe essere quindi le due funzioni esponenzialik
k
polinomiale (−1) ed k(−1) , in dipendenza della molteplicit`
a dell’autovalore nel polinomio minimo.
Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Zeta.
z + 1 −1
z+1
1
(zI − A) =
,
adj (zI − A) =
, det(zI − A) = z 2 + 2z + 1
(3.124)
0
z+1
0
z+1
e quindi
z(zI − A)−1

z(z + 1)
 (z + 1)2

=

0
 
z
z

(z + 1)2 
(z
+
1)
 
=
z(z + 1) 
0
(z + 1)2
z
(z + 1)2
z
(z + 1)


.

(3.125)
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-156
Come si vede, in questo caso nel calcolo dell’esponenziale nel dominio Zeta vi sono delle cancellazioni polo/zero
in alcuni termini. Il polinomio minimo, `e immediato vedere, coincide con il polinomio caratteristico, e quindi i
modi naturali sono dati sia dalla funzione esponenziale pura che dalla funzione esponenziale polinomiale.
Ricordando le trasformate di segnali notevoli, per i vari elementi della matrice esponenziale si trova facilmente:
z
z
k
−1
−1
Z
= (−1)k ,
(3.126)
= −k(−1) , Z
(z + 1)2
(z + 1)
e quindi la matrice esponenziale, nel dominio del tempo, `e data da:

k
k 
(−1) −k(−1)
,
Ak = 
(3.127)
k
0
(−1)
che, come `e immediato vedere, `e costituita da combinazioni lineari dei due modi naturali gi`a individuati sulla
base dell’analisi degli autovalori e del polinomio minimo.
♦
Esempio 3.4 Si consideri il sistema dinamico planare
−1 0
x(k + 1) =
x(k),
0 −1
(3.128)
il cui polinomio caratteristico `e dato da det(λI − A) = (λ + 1)2 , ed i cui autovalori sono quindi λ = −1,
molteplicit`
a algebrica pari a due. Si noti come il polinomio caratteristico, e quindi gli autovalori e la loro
molteplicit`
a algebrica, siano del tutto identici all’esempio precedente. I modi naturali associati potrebbero
k
k
k
quindi essere le due funzioni esponenziali-polinomiale (−1) ed k(−1) , o la sola funzione esponenziale (−1) .
Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Zeta.
z+1
0
z+1
0
(zI − A) =
,
adj (zI − A) =
, det(zI − A) = z 2 + 2z + 1
(3.129)
0
z+1
0
z+1
e quindi
z(zI − A)−1

z(z + 1)
 (z + 1)2

=

0

z
  (z + 1)
 
=
z(z + 1)  
0
(z + 1)2
0

0
z
(z + 1)


.

(3.130)
Come si vede, in questo caso nel calcolo dell’esponenziale nel dominio Zeta vi sono delle cancellazioni polo/zero
in alcuni termini. Il polinomio minimo, `e immediato vedere, in questo caso non coincide con il polinomio
caratteristico, ed dato da: m(z) = (z + 1). L’autovalore ha quindi molteplicit`
a unitaria nel polinomio minimo.
k
Ci`o implica che il sistema ha un solo modo naturale, dato dalla funzione esponenziale pura (−1) .
Ricordando le trasformate di segnali notevoli, per l’elemento significativo della matrice esponenziale si trova
facilmente:
z
k
= (−1) ,
(3.131)
Z −1
(z + 1)
e quindi la matrice esponenziale, nel dominio del tempo, `e data da:


k
(−1)
0
,
Ak = 
k
0
(−1)
(3.132)
che, come `e immediato vedere, contiene solo il modo naturale gi`a individuato sulla base dell’analisi degli autovalori e del polinomio minimo.
♦
Esempio 3.5 Si consideri il sistema dinamico di ordine tre

0 1
x(k + 1) =  0 0
0 0

0
1  x.
0
(3.133)
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-157
Il polinomio caratteristico di tale matrice `e dato da: det(zI − A) = z 3 , cui corrisponde un autovalore nullo,
di molteplicit`
a tre. Si proceda al calcolo della matrice (zI − A)−1 , trovando:
−1
z(zI − A)

1



= 0


0
1
z
1
0
1 
z2 

1 
.

z 
(3.134)
1
Il calcolo delle trasformate inverse `e immediato, ricordando la trasformata del’impulso unitario ed il significato della moltiplicazione per z −1 (operatore di ritardo unitario). Si trova quindi che i vari termini della matrice
esponenziale sono impulsi unitari, ritardi di zero, uno e due passi. L’esponenziale di matrice nel dominio del
tempo `e quindi:


δ(k) δ(k − 1) δ(k − 2)
δ(k)
δ(k − 1)  .
Ak =  0
(3.135)
0
0
δ(k)
Come si pu`
o notare, i modi naturali del sistema vanno a zero in tre passi, e cio`e, a partire dal passo k = 3
tutti i modi naturali sono esattamente nulli. Ci`o accade solo per autovalori nulli.
Un sistema con tale caratteristica, e cio`e con tutti i modi naturali che vanno a zero in un numero finito di
passi (o, equivalentemente, con tutti gli autovalori nulli), si chiama a tempo di risposta finita od anche sistema
a risposta piatta. Tali sistemi sono di estrema importanza nel settore dei filtri digitali, dove sono noti come filtri
Finite Impulse Response (filtri FIR).
♦
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
3.6
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-158
Analisi del comportamento ingresso-uscita per sistemi LSTD
In questa sezione si studier`
a il problema del calcolo della risposta in uscita di un sistema dinamico ad una
sequenza u(·) applicata in ingresso, secondo lo schema di principio in figura 3.3.
Ingresso u(·) (noto)
✲
Uscita y(·) =?
✲
Sistema
Figura 3.3: Analisi ingresso-uscita di un sistema dinamico
Il sistema dinamico `e descritto da un modello alle differenze finite del tipo seguente
x(k + 1) =
y
=
Ax(k) + Bu(k),
Cx(k) + Du(k),
x ∈ Rn , u ∈ R,
y ∈ R,
la cui rappresentazione nel dominio della variabile Zeta, gi`a determinata in precedenza, `e data dalla risposta
completa nello stato (comprendente sia la risposta libera Xℓ gi`a studiata con l’analisi modale sia la risposta
forzata Xf ):
X(z) = z(zI − A)−1 x(0) + (zI − A)−1 BU (z),
X(z) = Xℓ (z) + Xf (z),
Xℓ (z) = z(zI − A)−1 x(0),
Xf (z) = (zI − A)−1 BU (z),
e dalla risposta completa in uscita, che pu`
o anch’essa essere decomposta nella risposta libera Yℓ ed in quella
forzata Yf (si vedano anche la sezione 3.2 e la sezione 3.3.4)
Y (z) = zC(zI − A)−1 x(0) + [C(zI − A)−1 B + D]U (z),
Y (z) = Yℓ (z) + Yf (z),
Yℓ (z) = zC(zI − A)−1 x(0),
Yf (z) = C(zI − A)−1 BU (z) + DU (z).
Si noti come, dalla linearit`a dell’operatore trasformata, discenda in modo immediato il principio sovrapposizione degli effetti: dato un segnale u(k), combinazione lineare di segnali elementari u1 (k) ed u2 (k), la risposta
complessiva in uscita `e pari alla somma delle risposte ai singoli segnali elementari:
U (z) =
Y (z) =
Z {u(k)} = Z {c1 u1 (k) + c2 u2 (l)} = c1 U1 (z) + c2 U2 (z)
W (z)U (z) = W (z) · (c1 U1 (z) + c2 U2 (z)) = c1 Y1 (z) + c2 Y2 (z)
(3.136)
(3.137)
In questa sezione l’interesse specifico `e per l’analisi della risposta forzata, che `e determinata in modo immediato (nel dominio della variabile Zeta, si veda ancora la sezione 3.3.4) come prodotto tra la funzione di
trasferimento e la trasformata del segnale di ingresso:
Yf (z) = C(zI − A)−1 BU (z) + DU (z) = C(zI − A)−1 B + D U (z) = W (z)U (z)
(3.138)
W (z) :=
C(zI − A)−1 B + D.
(3.139)
Si noti come, in virt`
u delle propriet`
a dell’esponenziale di matrice nel dominio Zeta, la funzione di trasferimento sia una matrice di funzioni razionali.
` molto importante sottolineare le seguenti propriet`
E
a della risposta forzata (e quindi della matrice di trasferimento quale modello descrittivo), che ne caratterizzano l’estrema importanza, ma anche i limiti.
Commento 3.2
• La risposta forzata di un sistema dinamico descrive il legame ingresso-uscita del sistema stesso.
• La risposta forzata di un sistema dinamico assume condizioni iniziali nulle.
• La risposta forzata di un sistema dinamico pu`
o trascurare alcune componenti del comportamento dinamico
interno.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-159
Si consideri ora, per semplicit`a e senza perdit`
a di generalit`a, il caso di un sistema scalare (dal punto di vista
ingresso-uscita). Sia
c · adj (zI − A) · b
W (z) = c(zI − A)−1 b + d =
+d
(3.140)
det(zI − A)
la sua funzione di trasferimento che, come gi`
a notato in precedenza, `e una funzione razionale propria (se d 6= 0)
o strettamente propria (se d = 0).
Commento 3.3 Per semplicit`a notazionale, l’ordine del denominatore di una generica funzione di trasferimento
(e quindi il numero di poli) verr`a ancora indicato con la lettera n, analogamente alla notazione utilizzata per
indicare la dimensione dello spazio di stato di un generico sistema (e quindi il numero di autovalori). Si ricordi
tuttavia che, in generale, il numero di poli `e minore del numero di autovalori.
3.6.1
Risposta impulsiva
L’analisi della risposta forzata di norma viene condotta considerando alcuni segnali notevoli. Tra le possibile
risposte forzate, la pi`
u semplice `e la risposta impulsiva, e cio`e la risposta ad un segnale di ingresso dato da un
impulso a tempo discreto.
Ricordando come la trasformata Zeta di un impulso sia pari ad uno, si ricava la considerazione che la risposta
impulsiva descrive la reazione del sistema in esame ad una variazione finita di energia, e la forma di tale risposta
dipende solo dalle caratteristiche del sistema stesso.
Esaminando in dettaglio tale uscita, si trova infatti:
Y (z) = W (z)U (z) ⇒ Y imp (z) = W (z) · 1.
(3.141)
Assumendo, per semplicit`a, un sistema con tutti i poli distinti e strettamente proprio, si ha:
n
Y imp (z) =
βn−1 z n−1 + βn−2 z n−2 + · · · + β1 z + β0 X Ai z
=
,
z n + αn−1 z n−1 + · · · + α1 z + α0
(z − pi )
i=1
(3.142)
da cui segue, per la risposta nel dominio del tempo:
n
X
Ai pki .
y imp (k) = Z −1 Y imp (z) =
(3.143)
i=1
Poich`e i poli sono un sottoinsieme degli autovalori, le funzioni che appaiono nella risposta impulsiva sono
un sottoinsieme dei modi naturali del sistema. Poich`e il segnale di ingresso, avendo trasformata pari ad uno,
non contribuisce con specifiche funzioni del tempo, la risposta impulsiva contiene tutti, e soli, i modi naturali
del sistema che influenzano il legame ingresso-uscita.
Il comportamento asintotico della risposta impulsiva si ricava immediatamente dalla caratterizzazione rispetto
alla convergenza dei modi naturali che la compongono. Se tutti tali modi naturali sono convergenti, la risposta
impulsiva tende asintoticamente a zero.
Nel caso di poli qualsiasi, e quindi con molteplicit`
a anche non unitaria, si trova facilmente5 :
Y imp (z) = W (z) =
qi
r X
X
i=1 j=1
Ai,j z
,
(z − pi )j
r
X
qi = n,
(3.144)
λt−(j−1) pi k−(j−1) .
(3.145)
i=1
e quindi, nel dominio del tempo:
y
imp
(k) =
qi
r X
X
i=1 j=1
Ai,j
k
j−1
La risposta `e ancora una combinazione lineare di modi naturali, che possono essere di qualsiasi tipo, e quindi
anche di tipo polinomiale-esponenziale. Nel caso in cui alcuni poli siano complessi coniugati a coppie, i modi
naturali relativi possono essere raccolti ed espressi in termini reali, sotto forma di funzioni di tipo polinomialeesponenziale-sinusoidale e polinomiale-esponenziale-cosinusoidale.
5 si
assume ancora una funzione di trasferimento strettamente propria
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-160
Anche in questo caso, il comportamento asintotico della risposta impulsiva si ricava immediatamente dalla
caratterizzazione rispetto alla convergenza dei modi naturali che la compongono. Se tutti tali modi naturali
sono convergenti, la risposta impulsiva tende asintoticamente a zero.
Infine, `e facile vedere, dal confronto tra la risposta impulsiva in uscita, data da:
Y imp (z) = c(zI − A)b · 1
(3.146)
Yℓ (z) = c(zI − A)x(0)
(3.147)
e la risposta libera in uscita, data da:
come la risposta impulsiva possa essere interpretata anche come una risposta libera a partire dalla condizione
iniziale x(0) = b.
3.6.2
Risposta indiciale
Un secondo segnale di interesse per lo studio del comportamento di sistemi dinamici `e il gradino unitario
δ−1 (k). In tal caso l’uscita forzata viene indicata con il termine risposta al gradino, o risposta indiciale.
z
La trasformata di Zeta del gradino `e pari a
, e quindi la risposta forzata `e data da:
z−1
Y gra (z) = W (z)
z
.
z−1
(3.148)
La risposta nel dominio del tempo di ottiene facilmente per espansione in frazioni parziali e trasformazione
inversa. Si assuma inizialmente un sistema con funzione di trasferimento priva di poli in uno. In tal caso la
risposta indiciale pu`
o essere espansa in frazioni parziali:
Y gra (z) =
qi
r X
X
i=1 j=1
Ai,j z
Bz
+
j
(z − pi )
z−1
(3.149)
dove r indica il numero di poli distinti del denominatore della W (z), qi indica la molteplicit`
a del polo pi , ed il
generico residuo Ai,j `e calcolato come indicato nella condizione (3.64).
La risposta indiciale nel dominio del tempo `e quindi:
y gra (k) = Z −1 [Y gra (z)] =
qi
r X
X
Ai,j
i=1 j=1
k
j−1
pi k−(j−1) + Bδ−1 (k).
(3.150)
Si vede facilmente i termini che costituiscono la risposta indiciale possano essere organizzati in due gruppi.
Il primo gruppo contiene tutti i termini che derivano dai poli della funzione di trasferimento e coincide, a meno
dei coefficienti della combinazione lineare, con la risposta impulsiva:
y gra,t (k) =
qi
r X
X
i=1 j=1
Ai,j
k
j−1
k−(j−1)
pi
,
(3.151)
mentre il secondo gruppo contiene semplicemente un termine della stessa forma del segnale di ingresso ed
ampiezza variata:
y gra,p (k) = Bδ−1 (k).
(3.152)
L’ampiezza B con cui il segnale di ingresso appare in uscita `e pari al guadagno in continua del sistema:
B = (z − 1) · Y gra (z)|z=1 = W (z)|z=1 = W (1).
(3.153)
Analogamente a quanto accade per la risposta impulsiva (e pi`
u in generale per l’antitrasformata di una generica funzione razionale), nel caso di coppie di poli complessi coniugati le corrispondenti funzioni esponenziale
possono essere raccolte nella forma di funzioni reali di tipo esponenziale-sinusoidale, eventualmente con termini
polinomiali se i poli non sono semplici.
La risposta indiciale quindi pu`
o essere decomposta nella somma di termini che descrivono la risposta impulsiva (e che sono un sottoinsieme dei termini che compongono la risposta libera in uscita del sistema) e di
un termine con la stessa forma dell’ingresso. Nel caso particolare in cui la risposta impulsiva sia convergente a
zero, si ottiene una risposta che converge asintoticamente ad un gradino di ampiezza B = W (0). In tal caso, si
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-161
suole indicare con la dizione di risposta transitoria la somma ygra,t (k) di tutti i termini che dipendono dai poli
del sistema, mentre il termine derivante dall’ingresso viene indicato con la dizione di risposta permanente:
Se
y gra,t (k)
=
lim y gra,t (k) = 0 ⇒ y gra (k) = y gra,t (k) + y gra,p (k),
k
pi k−(j−1) risposta transitoria
Ai,j
j−1
k→∞
qi
r X
X
(3.154)
(3.155)
i=1 j=1
y gra,p (k)
3.6.3
= Bδ−1 (k) risposta permanente.
(3.156)
Risposta ad ingresso sinusoidale
Si considerti ora il caso di una sequenza di ingresso sinusoidale, ad esempio ottenuta per campionamento
di un segnale a tempo continuo. Per lo studio della risposta forzata in uscita si consideri quindi un sistema
dinamico descritto dalla seguente funzione di trasferimento:
W (z) =
βn z n + βn−1 z n−1 + · · · + β1 z + β0
.
z n + αn−1 z n−1 + · · · + α1 z + α0
(3.157)
Applicando in ingresso un segnale sinusoidale di ampiezza unitaria e pulsazione pari ad ωT , con trasformata
come sotto indicato:
z sin(α)
.
(3.158)
u(k) = sin(ωT k) = sin(αk),
U (z) = 2
z − 2z cos(α) + 1
Si noti come, nel caso di sistema a tempo discreto ottenuto per campionamento di un sistema a tempo
continuo, con periodo di campionamento T , allora la sequenza di ingresso sin(ωT k) rappresenta appunto il
campionamento di un segnale a tempo continuo sin(ωt), di pulsazione pari ad ωrad/sec, mentre la pulsazione
del segnale a tempo discreto dipende anche dal periodo di campionamento. Per semplicit`a, nel seguito il termine
ωT varr`a sinteticamente indicato con α: α = ωT . I poli del segnale (cio`e, i poli della trasformata Zeta del segnale
di ingresso) sono sul cerchio unitario nelle posizioni cos(α) +  sin(α) = eα e cos(α) −  sin(α) = e−α .
Assumendo quindi che il sistema non abbia poli complessi coniugati posti in cos(α) ±  sin(α), si ottiene la
seguente risposta forzata, nel dominio Zeta:
z sin(α)
βn z n + βn−1 z n−1 + · · · + β1 z + β0
· 2
n
n−1
z + αn−1 z
+ · · · + α1 z + α0
z − 2z cos(α) + 1
qi
r X
X
Ai,j z
B1 z
B2 z
=
+
+
j
(z
−
p
)
z
−
cos(α)
−

sin(α)
z
−
cos(α)
+  sin(α)
i
i=1 j=1
Y sin (z) =
(3.159)
(3.160)
che, nel dominio del tempo, pu`
o essere scritta nella forma seguente, raggruppando insieme i termini che derivano
dai poli del sistema e quelli che derivano da dai poli della sequenza di ingresso:
y
sin
(k) =
qi
r X
X
i=1 j=1
+
Ai,j
k
j−1
B1 e αk + B2 e −αk
pi k−(j−1)
Modi sistema
Modi ingresso.
Il calcolo dei residui procede come nel caso generale. In particolare i residui Ai , relativi ai poli del sistema,
richiedono, nel caso generale, l’uso delle relazioni valide per punti singolari non semplici, mentre i residui B1 e
B2 , relativi ai due termini caratterizzanti il segnale di ingresso, possono essere calcolati sulla base delle relazioni
per i poli semplici, in considerazione dell’ipotesi precedente di non coincidenza tra i poli del segnale e quelli del
sistema. Si ottiene quindi:
Ai,j
=
lim
z→pi
1
dqi −j
(qi − j)! dz qi −j
(z − pi )qi sin
Y (z) ,
z
(3.161)
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
B1
=
=
=
W (cos(α) +  sin(α))
=
=
=
=
(3.162)
(3.163)
z=cos(α)+ sin(α)
(3.164)
sin(α)
1
=
W (cos(α) +  sin(α))
2 sin(α)
2
1
Mα e ϕα ,
2
dove
Mα := |W (cos(α) +  sin(α))| = |W (eα )|,
=
=
(z − cos(α) −  sin(α))
Y (z)
z
z=cos(α)+ sin(α)
(z − cos(α) −  sin(α))
z sin(α)
W (z)
z
(z − cos(α) −  sin(α))(z − cos(α) +  sin(α))
sin(α)
W (z)
(z − cos(α) +  sin(α)) z=cos(α)+ sin(α)
=
B2
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-162
(3.165)
ϕα := ∠W (cos(α) +  sin(α)) = ∠W (eα ),
(z − cos(α) +  sin(α))
Y (z)
z
z=cos(α)− sin(α)
(3.166)
(z − cos(α) +  sin(α))
z sin(α)
W (z)
z
(z − cos(α) −  sin(α))(z − cos(α) +  sin(α))
sin(α)
W (z)
(z − cos(α) −  sin(α)) z=cos(α)− sin(α)
W (cos(α) −  sin(α)) −  sin(α)
1
− sin(α)
= − W (cos(α) −  sin(α))
2 sin(α)
2
1
Mα e ϕα ,
2
dove
Mα := |W (cos(α) −  sin(α))| = |W (e−α )|,
(3.167)
z=cos(α)− sin(α)
(3.168)
(3.169)
−
ϕα := ∠W (cos(α) −  sin(α)) = ∠W (e−α ),
La risposta forzata ad ingresso sinusoidale, nel dominio del tempo, vale quindi:
y sin (k)
ytsin (k)
= ytsin (k) + ypsin (k)
=
qi
r X
X
i=1 j=1
ypsin (k)
Ai,j
k
j−1
= B1 e αk + B2 e −αk
=
(3.170)
pi k−(j−1)
Modi sistema
Modi ingresso
(3.171)
(3.172)
1
Mα e αk+ϕα − e −αk−ϕα = Mα sin(αk + ϕα ),
2
in cui il termine ytsin (k) raccoglie tutti i modi naturali del sistema e coincide, a meno dei coefficienti della
combinazione lineari, cio`e a meno dei residui, con la risposta impulsiva, mentre il termine ypsin (k) contiene
una replica della sequenza di ingresso, modificato in ampiezza e fase in modo dipendente solo dal valore della
funzione di trasferimento alla pulsazione del segnale stesso.
Se il sistema ha tutti i poli con modulo minore di uno (cio`e, come vedremo in seguito, se il sistema `e
esternamente stabile), allora, e solo in questo caso, il termine ytsin (k) prende il nome di risposta transitoria e
converge a zero esponenzialmente (in modo del tutto analogo a quanto visto per il caso dell’ingresso a gradino).
In tal caso, il termine ypsin (k) `e il solo segnale che “permane” dopo l’esaurimento del transitorio, ed `e la
risposta permanente per ingressi sinusoidali.
Si noti come, sia nel caso di ingressi sinusoidali sia nel caso precedente di ingressi a gradino, la risposta
transitoria esiste solo se la risposta impulsiva converge asintoticamente a zero. In tal caso, la risposta transitoria
e la risposta impulsiva sono costruite dalle stesse funzioni elementari, i modi naturali associati ai poli del sistema,
combinate linearmente con diversi coefficienti (i residui relativi).
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
3.6.4
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-163
Risposta permanente
La risposta permanente (in uscita) descrive il comportamento in uscita di un sistema dinamico, a fronte
dell’applicazione di un segnale di ingresso e dopo molto tempo dall’istante di applicazione iniziale del segnale
stesso. Analoghe considerazioni possono essere svolte per la risposta permamente nello stato.
Si noti che la risposta permanente non corrisponde al limite, per tempi tendenti ad infinito, della risposta
forzata. Tale limite infatti, per molti segnali di interesse tra cui quelli sinusoidali, non `e definito. Formalmente,
la risposta permanente `e il limite cui tende la risposta forzata, per istante di applicazione k0 del segnale di
ingresso tendente a meno infinito:
yp (k) := lim y(k, k0 , 0, u(·)),
(3.173)
k0 →−∞
ove y(k, k0 , 0, u(·)) indica la risposta forzata in uscita, corrispondente all’applicazione del segnale u(·) a partire
dall’istante k0 , con condizione iniziale in k0 pari a zero.
La risposta permamente, per essere ben definita, non deve dipendere dalle condizioni iniziali. Condizione
sufficiente per tale comportamento `e che tutti gli autovalori del sistema abbiano modulo minore di uno, con
assoluta analogia con quanto gi`
a discusso nel caso dei sistemi a tempo continuo.
I criteri di esistenza sono analoghi a quelli visti per i sistemi a tempo continuo, e sono sintetizzati dai due
seguenti teoremi.
Teorema 3.4 (Criterio di esistenza della risposta permanente in uscita per sistemi LSTD)
Un sistema dinamico Σ(A, b, c, d) ammette risposta permanente in uscita se e solo se tutti gli autovalori
associati ai modi naturali presenti nella risposta libera in uscita hanno modulo minore di uno.
⋄
Teorema 3.5 (Criterio di esistenza della risposta permanente nello stato per sistemi LSTD)
Un sistema dinamico Σ(A, b, c, d) ammette risposta permanente nello stato se e solo se tutti i suoi autovalori
hanno modulo minore di uno.
⋄
Il concetto di risposta permanente, descritto finora per segnali a gradino e per segnali sinusoidali, pu`
o essere
esteso a tutti i segnali con trasformata Zeta razionale e con poli a moduo maggiore od uguale ad uno. Ci si
limita allo studio della sola risposta forzata in uscita, lasciando al lettore l’estensione al caso della risposta
completa in uscita e nello stato.
Nel caso generale quindi, sia dato un sistema con funzione di trasferimento:
W (z) =
βn z n + βn−1 z n−1 + · · · + β1 z + β0
βn z n + βn−1 z n−1 + · · · + β1 z + β0
Qr
=
q
n
n−1
z + αn−1 z
+ · · · + α1 z + α0
i=1 (z − pi )i
(3.174)
caratterizzata da poli arbitrari, ma tutti con modulo minore di uno, e si consideri un segnale U (z) con trasformata
razionale:
γµ z µ + γµ−1 z µ−1 + · · · + γ1 z + γ0
γµ z µ + γµ−1 z µ−1 + · · · + γ1 z + γ0
Qρ
(3.175)
=
U (z) = µ
µ
z + ηµ−1 z µ−1 + · · · + η1 z + η0
i=1 (z − πi )i
e tutti i poli πi , i = 1, . . . , ρ con modulo maggiore od uguale ad uno.
In tal caso, la risposta forzata pu`
o essere scritta, dopo l’espansione in frazioni parziali, nella forma:
Y (z)
=
Yt (z) :=
βn z n + βn−1 z n−1 + · · · + β1 z + β0 γµ z µ + γµ−1 z µ−1 + · · · + γ1 z + γ0
Qr
Qρ
·
(3.176)
q
µ
i=1 (z − pi )i
i=1 (z − πi )i
µi
ρ X
qi
r X
X
X
Bi,j z
Ai,j z
+
= Yt (z) + Yp (z),
j
(z
−
p
)
(z
− πi )j
i
i=1 j=1
i=1 j=1
W (z)U (z) =
qi
r X
X
i=1 j=1
Ai,j z
,
(z − pi )j
Yp (z) :=
µi
ρ X
X
i=1 j=1
Bi,j z
.
(z − πi )j
(3.177)
Antitrasformando nel domino del tempo si ottiene quindi:
y(k) = yt (k) + yp (k),
yt (k)
yp (k)
= Z −1 {Yt (z)} =
= Z −1 {Yp (z)} =
(3.178)
qi
r X
X
i=1 j=1
µi
ρ X
X
i=1 j=1
Ai,j
Bi,j
k
j−1
pi k−(j−1)
(3.179)
k
j−1
πi k−(j−1) .
(3.180)
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-164
Se tutti i poli del sistema sono con modulo minore di uno, il termine yt (k) converge asintoticamente a zero,
e costituisce la risposta transitoria: in tal caso, e solo in tal caso, il termine yp (k), che contiene gli stessi modi
del segnale di ingresso (a meno dei coefficienti della combinazione lineare), indica la risposta permanente del
sistema all’ingresso dato.
Da un punto di vista pratico, la determinazione della risposta permanente, qualora esista, pu`
o quindi essere
condotta limitando il calcolo alla porzione di risposta forzata in uscita relativa ai soli termini che costituiscono
il segnale di ingresso, e cio`e ai soli termini Yp (z) nella relazione generale (3.177).
Come in tutti i casi precedenti, il caso in cui alcuni poli del segnale siano complessi coniugati si tratta,
a partire dalla (3.177), raccogliendo i termini esponenziali relativi alle coppie complesse (tenendo conto della
molteplicit`
a) ed esprimendo le corrispondenti combinazioni in forma reale, utilizzando funzioni polinomialeesponenziale-sinusoidale e polinomiale-esponenziale-sinusoidale.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
3.7
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-165
Esercizi proposti
Esercizio 3.5 Si consideri il sistema dinamico planare
x(k + 1) =
0
0
0
0
x,
(3.181)
e si conduca l’analisi modale.
▽
Esercizio 3.6 Determinare la trasformata z della sequenza temporale:
π k−2 h
π i
π
x(k) = k−1 1 − sin( k) − cos( k) δ−1 (k − 10),
2
2
2
k ∈ Z,
con δ−1 (k) funzione gradino unitario.
Esercizio 3.7 Calcolare la funzione antitrasformata z della seguente funzione:
X(z) =
1
.
(z 2 + 16)2
Esercizio 3.8 Calcolare le trasformate inverse delle seguenti funzioni razionali in z:
1
,
+ 2)
1
,
(z 2 − 2)
1
,
(z 2 + 2)2
z+4
.
2
(z + 2)(z + 1)(z + 3)
X1 (z) =
(z 2
X2 (z) =
X3 (z) =
X4 (z) =
2
Esercizio 3.9 La sequenza x(k), k ∈ Z+ , sia generata a partire da x(−1) = , x(0) = 1 per mezzo della
3
seguente regola induttiva sull’intero k ∈ N, k ≥ 1:
k−1 X
2
x(τ ) − 2x(τ + 1) .
x(k + 1) =
3
τ =−1
Dopo avere espresso x(k) come soluzione di un’equazione alle differenze finite, utilizzare il metodo della trasformazione z per calcolare l’espressione analitica di x(k) come funzione di k ∈ Z+ .
Esercizio 3.10 Sia assegnata la seguente serie formale
+∞ X
h+3
ρh ,
3
h=0
dove
h+3
3
ρ ∈ R,
`e definito nel modo seguente:
h+3
3
=
(
0,
h ∈ Z, h < 0,
(h + 3)!
, h ∈ Z, h ≥ 0.
h!3!
Utilizzando il metodo della trasformazione z, determinare i valori di ρ per i quali la serie converge e (nel caso
di convergenza) la somma di tale serie.
Esercizio 3.11 Data la seguente matrice

4
 1
B=
 1
1
0
4
0
0
0
0
4
0

0
0 

1 
4
determinare, per mezzo della trasformazione z, la matrice B k , k ∈ Z+ .
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-166
Esercizio 3.12 Calcolare la funzione antitrasformata z della seguente funzione:
X(z) =
z
.
(z 2 + 4)2
Esercizio 3.13 Calcolare la funzione antitrasformata z della seguente funzione:
X(z) =
(z 2
z
.
− 4)(z 2 − 9)
Esercizio 3.14 Calcolare la funzione antitrasformata z della seguente funzione:
X(z) =
z
.
(z 2 + 4)(z 2 + 9)
Esercizio 3.15 Calcolare la funzione antitrasformata z della seguente funzione:
X(z) =
1
.
(z 2 − 4)(z 2 + 1)
Esercizio 3.16 Calcolare la funzione antitrasformata z della seguente funzione:
X(z) =
(z 2
1
.
+ 1)(z 2 − 9)
Esercizio 3.17 Date le matrici:
A =
F
=

λ1
 0
0

λ1
 0
0
1
λ2
0
0
λ2
0

0
1 ,
λ3

0
0 ,
λ3
con i tre parametri λ1 , λ2 e λ3 reali e distinti tra loro, calcolare gli esponenziali di matrice (a tempo discreto)
Ak , k ∈ Z+ e F k , k ∈ Z+ , per mezzo della trasformata z. Commentare il risultato.
Esercizio 3.18 Dato il sistema dinamico a tempo discreto:
x1 (k + 1) =
1/2x1 (k) + 2x2 (k),
x2 (k + 1) =
y(k) =
−1/2x2(k) + u(k),
x1
1. determinare la funzione di trasferimento ingresso-uscita;
2. calcolare la risposta in uscita ad un gradino unitario (a partire da condizioni iniziali nulle);
3. determinare, se esistono, le condizioni iniziali che assicurano una risposta in uscita, per ingresso a gradino
unitario, costante per tutti i tempi.
Esercizio 3.19 Calcolare la funzione trasformata z della seguente funzione:
k
k
(δ−1 (k − h) − δ−1 (k − k)),
x(k) = 2
1
dove δ−1 (k) `e la funzione gradino unitario, e h, k sono numeri interi positivi.
Esercizio 3.20 Calcolare la funzione trasformata z della seguente funzione, parametrica in h e k:
k+1
k
(δ−1 (k − h) − δ−1 (k − k)),
x(k) = 4
1
dove δ−1 (k) `e la funzione gradino unitario, e h, k sono numeri interi positivi.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-167
Esercizio 3.21 Calcolare la funzione trasformata z della seguente funzione, parametrica in h e k:
k−1
k
(δ−1 (k − h) − δ−1 (k − k)),
x(k) = 6
1
dove δ−1 (k) `e la funzione gradino unitario, e h, k sono numeri interi positivi.
Esercizio 3.22 Utilizzando il metodo della trasformazione z, determinare la soluzione, a partire da condizioni
iniziali nulle all’istante k = 0, della seguente equazione alle differenze finite:
1
= k + 3k , k ∈ Z+ .
16
Utilizzando il metodo della trasformazione z, determinare inoltre la soluzione a regime permanente e la
soluzione transitoria a partire da condizioni iniziali nulle all’istante t = 0.
x(k + 4) −
Esercizio 3.23 Data la seguente matrice

2
 0
F =
 0
0

0 0
0 0 

λ 0 
0 λ∗
1
2
0
0
ove λ `e un numero complesso e λ∗ il suo coniugato, determinare, per mezzo della trasformazione z, la matrice
F k , k ∈ Z+ ,.
Esercizio 3.24 Data la seguente matrice

1
 3
B=
 1
1
0
0
0
3
0
0
0
0

0
0 

3 
3
determinare, per mezzo della trasformazione z, la matrice B k , k ∈ Z+ ,.
Esercizio 3.25 Dato il sistema dinamico a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni alle differenze
finite:
x1 (k + 1) =
x2 (k + 1) =
x2 (k),
x1 (k) + x2 (k),
y(k) =
x1 (k) + x2 (k),
si determini, per mezzo della trasformazione Zeta, la soluzione di tale sistema (sia nelle variabili di stato che
nella variabile di uscita) a partire da una condizione iniziale x1 (0) = 1, x2 (0) = 0 ed a partire da una condizioni
iniziale x1 (0) = 0, x2 (0) = 1.
Esercizio 3.26 Dato il sistema dinamico a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni alle differenze
finite:
x1 (k + 1) =
−x2 (k),
x2 (k + 1) =
x1 (k),
y(k) =
x1 (k),
si determini, per mezzo della trasformazione Zeta, la soluzione di tale sistema (sia nelle variabili di stato che
nella variabile di uscita) a partire da una condizione iniziale x1 (0) = 1, x2 (0) = 0 ed a partire da una condizioni
iniziale x1 (0) = 0, x2 (0) = 1.
Esercizio 3.27 Dato il sistema lineare a tempo discreto:
x1 (k + 1) =
x2 (k)
x2 (k + 1) =
−p1 x1 (k) − (p1 + 1)x2 (k) + u(k),
y(k) =
x1 (k) + x2 (k),
se ne determini la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(k) e l’uscita y(k), al variare del parametro p1
nell’insieme dei reali.
Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-168
Esercizio 3.28 Dato il sistema lineare a tempo discreto:
x1 (k + 1) = x2
1
x2 (k + 1) =
(x1 − x2 ) + u(k),
6
y(k) = x1 ,
si risolvano i seguenti problemi.
1. Determinare la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(k) e l’uscita y(k).
2. Determinare l’esponenziale di matrice soluzione dell’equazione omogenea associata.
3. Calcolare la risposta in uscita per i seguenti segnali di ingresso (nulli per k < 0), assumendo condizioni
iniziali nulle:
u(k) = 2δ−1 (k);
u(k) = δ(k − 2);
u(k) = 3k ;
u(k) = (−1)k .
4. Valutare l’esistenza della risposta permanente del sistema.
5. Calcolare, se esiste, il vettore di condizioni iniziali x1 (0) = x1,0 , x2 (0) = x2,0 cui corrisponde una risposta
completa coincidente con la risposta permanente, assumendo come segnale di ingresso un gradino unitario.

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